8/3/2019 TUGAS 2 STRUKTUR ALJABAR
1/5
TUGAS STRUKTUR ALJABAR
No 4,5,6,8a,9,10,21a
Nama : Febrina Bidasari
Nim : 20102512018
4. Buktikan bahwa )1,2,....32,(),....2,1( 1 nnnn ?Bukti :
Ambil ),1)(1,1),....(3,1)(2,1(),...2,1( nnn
Diketahui )1,2()2,1(1
)1,3()3,1(1
.
.
.
.
)1,(),1(1
nn
Maka : ),1),....(4,1)(3,1)(2,1)(1,2(),.....,2,1)(1,2( nn
= ),1),....(4,1)(3,1(1 n
= ),1(),....,4,1)(3,1( n
),1),....(4,1)(3,1)(1,3(),.....,2,1)(1,2)(1,3( nn
= ),1),....(4,1(1 n
= ),1(),....,4,1( n Dan seterusnya, sedemikian hingga diperoleh :
),1,.....2,1)(1,2)(1,3),.....(1,1)(1,( nnnn
Maka diperoleh :1
),1,....,2,1( nn = )1,3),.....(1,1)(1,( nn
= )1,2)(1,3)....(1,3)(1,2)(1,1,( nnnn
= )1,2)(1,3)....(1,3)(1,2,1,( nnnn
= )1,2)(1,3)....(1,3,2,1,( nnnn
= )1,2,3,....2,1,( nnn
Maka terbukti :1
),1,....,2,1( nn = )1,2,3,....2,1,( nnn
8/3/2019 TUGAS 2 STRUKTUR ALJABAR
2/5
5. Tentukan Semua Struktur Cycles dari )8,...2,1( ?Jawab :
88
218
628
6118
538
5218
51118
448
4318
4228
42118
22)8( p
6. (a) Apakah order dari n Cycles?Jawab:
Untukn = 2, ambil 2 Cycles, misal = }2,1{
diperoleh Cyclesnya (1,2), maka ordernya 1 = 1!
Untukn =3, ambil 3 Cycles, misal = {1,2,3}diperoleh Cyclesnya (1,2,3), dan (1,3,2), maka ordernya 2.1 = 2!
Untukn = 4, ambil 4 Cycles, misal = {1,2,3,4}
Diperoleh Cyclesnya
(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3), dan (1,4,3,2),
maka ordernya 6 atau 3.2.1 = 3!
.
.
.
.
Sedemikian hingga diperoleh :
Untukn =n , ambil nCycles, misal = {1,2,.... n } diperoleh )!1( n Cycles,
maka order dari n Cycles = )!1( n
(b) Apa order dari hasil kali dua cycle yang saling lepas dengan lebar
kmmm ,.....,, 21 ?
Jawab :
Untuk 21m 2 Cycles, misal = {1,2} diperoleh (1,2) = order 1 21m 2 Cycles, misal = {3,4} diperoleh (3,4) = order 1
Maka (1,2)(3,4) memiliki order 1
411118
3328
33118
32218
321118
3111118
22228
222118
2211118
21111118
111111118
8/3/2019 TUGAS 2 STRUKTUR ALJABAR
3/5
Untuk 21m 2 Cycles, misal = {1,2},diperoleh (1,2) = order 1
31m 3 Cycles, misal = {3,4,5},diperoleh (3,4,5) dan (3,5,4) = order 2
Maka{1,2}{3,4,5} diperoleh:
(1,2)(3,4,5) memiliki 2 order
Untuk 31m 3 Cycles, misal = {1,2,3},diperoleh (1,2,3), dan ( 1,3,2) = 2 order
31m 3 Cycles, misal = {4,5,6},
diperoleh (4,5,6), dan (4,6,5) = 2 order
Maka {1,2,3}{4,5,6} diperoleh:
(1,2,3)(4,5,6), (1,2,3)(4,6,5), (1,3,2)(4,5,6), dan (1,3,2)(4,6,5) memiliki
4 order
Karena order1
m Cycles = )!1( 1 m
2m Cycles = )!1( 2 m
2m Cycles = )!1( km
Maka hasil kali Cycles yang saling lepas dengan lebar kmmm ,.....,, 21
memiliki order )!1(1 m )!1( 2 m ..... )!1( km
8. (a). )4,3)(2,1(x , dan )3,1)(6,5(y
Tentukan a dimana yxaa 1
Jawab :
)3,1)(6,5()4,3)(2,1(1 aa
Misal ))()(,)(,( 654321 xxxxxxa maka
))()(,)(,())()(,)(,(654321653412
1xxxxxxxxxxxxa
))()(,)(,(654321 xxxxxx )4,3)(2,1( ))()(,)(,( 654321 xxxxxx = )3,1)(6,5(
Misal )4,1(),( 21 xx
Diperoleh :
)3,1)(6,5())()(,)(4,1)(4,3)(2,1)()()(,)(4,1( 65436543 xxxxxxxx
Pemetaannya adalah :
41 34 53 x Sehingga 31 diperoleh (1,3)
335 x 43 14 Sehingga 13 maka 35 x
Untuk menghasilkan 65 dan 56 maka pemetaanya :
43 5 xx 44 xx 534 xx
maka diperoleh 55 bukan 65
karena aa 1 maka tidak mungkin dihasilkan pemetaan 65 dan56 maka nilai a tidak ada
8/3/2019 TUGAS 2 STRUKTUR ALJABAR
4/5
9. Tentukan untukm yang bagaimana m Cycles adalah permutasi genap( Even Permutasi)?Jawab :
Ambil 3 Cycles misal (1 2 3) = (1 2)(1 3) = 2 transposisi {permutasi genap}
4 Cycles misal (1 2 3 4) = (1 2)(1 3)(1 4) = 3 transposisi {permutasi
ganjil}
5 Cycles misal (1 2 3 4 5) = (1 2)(1 3)(1 4)(1 5) = 4 transposisi
{permutasi genap}
6 Cycles misal (1 2 3 4 5 6) = (1 2)(1 3)(1 4)(1 5)(1 6) = 5 transposisi
{permutasi ganjil}
.
.
.
.
Sedemikian hingga :
Untukm Cycles, misal (1,2,3,...., m ) = (1 2)(1 3)....(1, m ) =
1m transposisiUntuk menghasilkan permutasi genap maka 1m = genap
m = ganjil
Even Permutation (permutasi genap) dapat diperoleh dari mCycle untuk
m ganjil
10.Tentukan Permutasi genap(a). )2,1)(3,2,1(
Jawab :
132
123
21
12
231
123
= (1)(2 3)
= (2 3) {permutasi ganjil}
(b). )5,4)(3,2,1)(5,4,3,2,1(
1235412345
3145212345
1235412345
2314512345
2345112345
= .....
= (1 3 4 5 2)(4 5)
(c). )5,2)(4,1)(3,1)(2,1( = (1 2 3 4)(2 5)
= (1 5 2 3 4)
= (1 5)(1 2)(1 3)(1 4) {permutasi genap}
8/3/2019 TUGAS 2 STRUKTUR ALJABAR
5/5
21. (a). G Grup },,,,,,,{ cbacbaeG
Dimana : 222 cba , e2 , cbaab , acbbc ,bacca
Tunjukkan bahwa didalam center z pada G dan z = },{ e
Jawab:
e a b c a b c
e e a b c a b c
e a b c a b c
a a a c b e c b
b b b c a c e a
c c c b a b a e a a a e c b c b
b b b c e a c a c c c b a e b a
Diperoleh z :
e
e e
e
Top Related