TUGAS 2 STRUKTUR ALJABAR

8/3/2019 TUGAS 2 STRUKTUR ALJABAR

1/5

TUGAS STRUKTUR ALJABAR

No 4,5,6,8a,9,10,21a

Nama : Febrina Bidasari

Nim : 20102512018

4. Buktikan bahwa )1,2,....32,(),....2,1( 1 nnnn ?Bukti :

Ambil ),1)(1,1),....(3,1)(2,1(),...2,1( nnn

Diketahui )1,2()2,1(1

)1,3()3,1(1

.

.

.

.

)1,(),1(1

nn

Maka : ),1),....(4,1)(3,1)(2,1)(1,2(),.....,2,1)(1,2( nn

= ),1),....(4,1)(3,1(1 n

= ),1(),....,4,1)(3,1( n

),1),....(4,1)(3,1)(1,3(),.....,2,1)(1,2)(1,3( nn

= ),1),....(4,1(1 n

= ),1(),....,4,1( n Dan seterusnya, sedemikian hingga diperoleh :

),1,.....2,1)(1,2)(1,3),.....(1,1)(1,( nnnn

Maka diperoleh :1

),1,....,2,1( nn = )1,3),.....(1,1)(1,( nn

= )1,2)(1,3)....(1,3)(1,2)(1,1,( nnnn

= )1,2)(1,3)....(1,3)(1,2,1,( nnnn

= )1,2)(1,3)....(1,3,2,1,( nnnn

= )1,2,3,....2,1,( nnn

Maka terbukti :1

),1,....,2,1( nn = )1,2,3,....2,1,( nnn


2/5

5. Tentukan Semua Struktur Cycles dari )8,...2,1( ?Jawab :

88

218

628

6118

538

5218

51118

448

4318

4228

42118

22)8( p

6. (a) Apakah order dari n Cycles?Jawab:

Untukn = 2, ambil 2 Cycles, misal = }2,1{

diperoleh Cyclesnya (1,2), maka ordernya 1 = 1!

Untukn =3, ambil 3 Cycles, misal = {1,2,3}diperoleh Cyclesnya (1,2,3), dan (1,3,2), maka ordernya 2.1 = 2!

Untukn = 4, ambil 4 Cycles, misal = {1,2,3,4}

Diperoleh Cyclesnya

(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3), dan (1,4,3,2),

maka ordernya 6 atau 3.2.1 = 3!

.

.

.

.

Sedemikian hingga diperoleh :

Untukn =n , ambil nCycles, misal = {1,2,.... n } diperoleh )!1( n Cycles,

maka order dari n Cycles = )!1( n

(b) Apa order dari hasil kali dua cycle yang saling lepas dengan lebar

kmmm ,.....,, 21 ?

Jawab :

Untuk 21m 2 Cycles, misal = {1,2} diperoleh (1,2) = order 1 21m 2 Cycles, misal = {3,4} diperoleh (3,4) = order 1

Maka (1,2)(3,4) memiliki order 1

411118

3328

33118

32218

321118

3111118

22228

222118

2211118

21111118

111111118


3/5

Untuk 21m 2 Cycles, misal = {1,2},diperoleh (1,2) = order 1

31m 3 Cycles, misal = {3,4,5},diperoleh (3,4,5) dan (3,5,4) = order 2

Maka{1,2}{3,4,5} diperoleh:

(1,2)(3,4,5) memiliki 2 order

Untuk 31m 3 Cycles, misal = {1,2,3},diperoleh (1,2,3), dan ( 1,3,2) = 2 order

31m 3 Cycles, misal = {4,5,6},

diperoleh (4,5,6), dan (4,6,5) = 2 order

Maka {1,2,3}{4,5,6} diperoleh:

(1,2,3)(4,5,6), (1,2,3)(4,6,5), (1,3,2)(4,5,6), dan (1,3,2)(4,6,5) memiliki

4 order

Karena order1

m Cycles = )!1( 1 m

2m Cycles = )!1( 2 m

2m Cycles = )!1( km

Maka hasil kali Cycles yang saling lepas dengan lebar kmmm ,.....,, 21

memiliki order )!1(1 m )!1( 2 m ..... )!1( km

8. (a). )4,3)(2,1(x , dan )3,1)(6,5(y

Tentukan a dimana yxaa 1

Jawab :

)3,1)(6,5()4,3)(2,1(1 aa

Misal ))()(,)(,( 654321 xxxxxxa maka

))()(,)(,())()(,)(,(654321653412

1xxxxxxxxxxxxa

))()(,)(,(654321 xxxxxx )4,3)(2,1( ))()(,)(,( 654321 xxxxxx = )3,1)(6,5(

Misal )4,1(),( 21 xx

Diperoleh :

)3,1)(6,5())()(,)(4,1)(4,3)(2,1)()()(,)(4,1( 65436543 xxxxxxxx

Pemetaannya adalah :

41 34 53 x Sehingga 31 diperoleh (1,3)

335 x 43 14 Sehingga 13 maka 35 x

Untuk menghasilkan 65 dan 56 maka pemetaanya :

43 5 xx 44 xx 534 xx

maka diperoleh 55 bukan 65

karena aa 1 maka tidak mungkin dihasilkan pemetaan 65 dan56 maka nilai a tidak ada


4/5

9. Tentukan untukm yang bagaimana m Cycles adalah permutasi genap( Even Permutasi)?Jawab :

Ambil 3 Cycles misal (1 2 3) = (1 2)(1 3) = 2 transposisi {permutasi genap}

4 Cycles misal (1 2 3 4) = (1 2)(1 3)(1 4) = 3 transposisi {permutasi

ganjil}

5 Cycles misal (1 2 3 4 5) = (1 2)(1 3)(1 4)(1 5) = 4 transposisi

{permutasi genap}

6 Cycles misal (1 2 3 4 5 6) = (1 2)(1 3)(1 4)(1 5)(1 6) = 5 transposisi

{permutasi ganjil}

.

.

.

.

Sedemikian hingga :

Untukm Cycles, misal (1,2,3,...., m ) = (1 2)(1 3)....(1, m ) =

1m transposisiUntuk menghasilkan permutasi genap maka 1m = genap

m = ganjil

Even Permutation (permutasi genap) dapat diperoleh dari mCycle untuk

m ganjil

10.Tentukan Permutasi genap(a). )2,1)(3,2,1(

Jawab :

132

123

21

12

231

123

= (1)(2 3)

= (2 3) {permutasi ganjil}

(b). )5,4)(3,2,1)(5,4,3,2,1(

1235412345

3145212345

1235412345

2314512345

2345112345

= .....

= (1 3 4 5 2)(4 5)

(c). )5,2)(4,1)(3,1)(2,1( = (1 2 3 4)(2 5)

= (1 5 2 3 4)

= (1 5)(1 2)(1 3)(1 4) {permutasi genap}


5/5

21. (a). G Grup },,,,,,,{ cbacbaeG

Dimana : 222 cba , e2 , cbaab , acbbc ,bacca

Tunjukkan bahwa didalam center z pada G dan z = },{ e

Jawab:

e a b c a b c

e e a b c a b c

e a b c a b c

a a a c b e c b

b b b c a c e a

c c c b a b a e a a a e c b c b

b b b c e a c a c c c b a e b a

Diperoleh z :

e

e e

e

TUGAS 2 STRUKTUR ALJABAR

Documents

Transcript of TUGAS 2 STRUKTUR ALJABAR