Download - teknik menganalisa rangkaian listrik

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT. RANGKAIAN LISTRIK 1

MODUL 5

Beberapa Teknik untuk Menganalisis Rangkaian (Lanjutan)

3-4 Linearitas dan Superposisi

Semua rangkaian yang telah kita analisis sampai sekarang (dan yang akan

kita analisis kelak) adalah rangkaian linear. Pada waktu ini kita harus lebih spesifik

dalam mendefiniskan sebuah rangkaian linear. Setelah melakukan hal ini, maka kita

dapat meninjau akibat linearitas yang terpenting, yakni prinsip superposisi. Ini adalah

prinsip dasar, dan kenyataan bahwa superposisi tidak dapat diterapkan untuk

rangkaian yang tak linear, adalah alasan mengapa sangat sukar menganalisis

tangkaian tak linear.

Mula-mula kita definisikan elemen linear sebagai sebuah elemen pasif yang

mempunyai hubungan arus-tegangan linear. Dengan “hubungan tegangan-arus

linear” kita maksudkan bahwa perkalian dari arus (yang berubah terhadap waktu

melalui elemen) dengan sebuah konstanta K mengakibatkan perkalian tegangan

(yang berubah terhadap waktu) dengan sebuah konstanta K. Pada waktu ini, hanya

satu elemen pasif yang telah didefinisikan, yakni tahanan, dan hubungan arus

tegangan

v(t) = Ri(t)

jelas adalah linear. Kenyataannya, jika v(t) digambarkan sebagai fungsi i(t), hasilnya

adalah sebuah garis lurus. Akan kita lihat bahwa persamaan yang mendefinisikan

tegangan–arus untuk induktansi dan kapasitansi adalah juga hubungan linear,

demikian pula persamaan yang mendefinisikan induktansi bersama.

Kita harus juga mendefinisikan sumber tak bebas linear sebagai sumber

tegangan atau sumber arus tak bebas yang tegangan atau keluarannya adalah

sebanding: dengan pangkat pertama dari variabel arus atau variabel tegangan dalam

rangkaian atau, dengan jumlah kuantitas-kuantitas seperti itu. Yakni, sebuah sumber

tegangan tak bebas, 21 146,0 vivS −= , adalah linear, tetapi 216,0 ivS = dan

216,0 vivS = tidak linear.

Sekarang kita dapat mendefinisikan rangkaian linear sebagai rangkaian yang

dibentuk seluruhnya dari sumber-sumber bebas, sumber tak bebas linear, dan

elemen linear. Dari definisi ini, dapat diperlihatkan bahwa “respons adalah sebanding

dengan sumber,” atau perkalian semua arus dan tegangan sumber bebas dengan


sebuah konstanta K menaikkan respons dari semua arus dan tegangan dengan

faktor yang sama K (termasuk konstanta keluaran arus atau tegangan sumber tak

bebas).

Teorema Superposisi biasanya muncul dalam bentuk yang serupa dengan

yang berikut :

Jadi jika ada N sumber bebas, maka kita lakukan N percobaan. Setiap

sumber bebas adalah aktif hanya dalam satu eksperimen. Sebuah sumber tegangan

yang tak aktif adalah identik dengan sebuah hubungan pendek, dan sebuah sumber

arus bebas yang tak aktif adalah sebuah rangkaian terbuka. Perhatikan bahwa

sumber-sumber tak bebas pada umumnya adalah aktif dalam setiap percobaan.

Gambar 3-6: Rangkaian yang mengandung sebuah sumber arus

bebas dan sebuah sumber tegangan bebas yang mudah dianalisis

dengan prinsip superposisi.

Untuk rangkaian dari Gambar 3-6, kita gunakan superposisi untuk menuliskan

ungkapan bagi arus cabang yang tak diketahui ix. Mula-mula kitabuat sumber arus

sama dengan nol dan didapat bagian ix yang ditimbulkan oleh sumber tegangan

sebesar 0,2 A. Selanjutnya jika kita biarkan sumber tegangan sama dengan nol dan

memakai pembagian arus, maka bagian sisa dari ix terlihat sama dengan 0,8 A. kita

dapat menuliskan jawaban terperinci sebagai

Di dalam setiap jaringan penahan linear yang mengandung beberapa sumber, tegangan atau arus yang melalui setiap tahanan atau sumber dapat dihitung dengan melakukan penjumlahan aljabar dari semua tegangan atau arus sendiri-sendiri yang dihasilkan oleh setiap sumber bebas yang bekerja sendiri, dengan semua suber tegangan bebas lain diganti oleh rangkaian-rangkaian pendek dan semua sumber arus bebas yang lain diganti oleh rangkaian terbuka.

6 Ω

9 Ω = 2 A

= 3 V

υS iS

ix

+ −


4,18,02,096

62

963

00=+=

++

+=+ ==

= xsvxi

x iii x

Gambar 3-7: Superposisi dapat digunakan menganalisis

rangkaian ini dengan mula-mula menggantikan sumber 3 A

dengan sebuah rangkaian hubung terbuka (Open Circuit). Sumber

tegangan tak bebas selalu aktif (kecuali jika ix = 0)

Sebagai contoh pemakaian prinsip superposisi pada rangkaian yang

mengandung sebuah sumber tak bebas, tinjaulah Gambar 3-7. Kita mencari ix, dan

mula-mula kita buat sumber 3 A menjadi rangkaian terbuka. Persamaan mesh

adalah

021210 ''' =+++− xxx iii

sehingga

2' =xi

Selanjutnya, kita hubung-pendekkan sumber 10 V dan kita tuliskan persamaan

simpul

31

2

2

"""

=−

+ xivv

dan menghubungkan kuantitas pengontrol sumber tak bebas kepada "v

"2" iv −=

Kita dapatkan

6,0" −=xi

dan, jadi,

4,16,02"' =−=+= xxx iii

2 Ω

3 A

ix

10 V 2ix + −

+ −

1 Ω

+ υ _


Biasanya ternyata bahwa hanya sedikit, kalau pun ada, waktu yang dihemat dalam

menganalisis sebuah rangkaian yang mengandung satu atau lebih sumber-sumber

tak bebas dengan menggunakan prinsip superposisi, karena harus selalu ada paling

sedikit dua sumber yang beroperasi; sebuah sumber bebas dan semua sumber yang

tak bebas.

Kita harus terus menerus sadar akan batasan superposisi. Ini hanya dapat dipakai

untuk respons liner, jadi respons nonlinear yang paling umum-daya-tidak memenuhi

superposisi. Misalnya, tinjaulah dua batere 1-V yang seri dengan sebuah tahanan 1-

Ω. Daya yang diberikan kepada tahanan jelaslah 4 W, tetapi jika kita secara salah

menggunakan superposisi mungkin kita akan mengatakan bahwa setiap batere

memberi 1 W sehingga daya total 2 W. Ini tak benar.

Soal Contoh

3-4 Gunakan superposisi untuk mencari ix di dalam masing-masing rangkaian

yang diperlihatkan pada Gambar 3-8.

Gambar 3-8: Lihat Contoh Soal 3-4.

+ −

0,1 Ω 0,3 Ω

0,5 A 80 mV

ix

(a)

+ −

10 Ω 40 Ω

1 V −2 V

ix

(b)

+ −

+ − 3 V

50 Ω 150 Ω 40 A

10 V

ix

(c)

120 A

− +


Jawab

(a) Jika sumber arus 0,5 A bekerja maka sumber tegangan 80 mV diganti

dengan rangkaian hubung singkat (Short Circuit) sehingga rangkaian

3-8a menjadi

Gambar 3-9a: Gambar 3-8a dengan mengganti sumber

tegangan 80 mV dengan rangkaian hubung singkat.

sehingga dengan pembagian arus akan didapat respon arus yang

ditimbulkan oleh sumber arus 0,5 A,

A

i Ax

375,0

5,01,03,0

3,0)( 5,0

−=

⋅+

−=

jika sumber tegangan 80 mV bekerja maka sumber arus 0,5 A

dihubung pendek

Gambar 3-9b: Gambar 3-8a dengan mengganti sumber arus

0,5 A dengan rangkaian hubung terbuka.

dengan analisis rangkaian pada loop tunggal maka didapat respon

arus ix yang disebabkan oleh sumber tegangan 80 mV yaitu

Ai mVx 2,01,03,0

1080)(

3

80 =+

⋅=−

sehingga respon arus totalnya merupakan jumlah respon arus yang

disebabkan oleh sumber arus 0,5 A dan sumber tegangan 80 mV

0,1 Ω 0,3 Ω

0,5 A

−i x

(a)

0,1 Ω 0,3 Ω

80 mV ix

(a)

+ −

ix


(b)

mA

A

iii mVxAxtotalx

175

175,0

2,0375,0

)()()( 805,0

−=−=

+−=+=

(b) Jika sumber tegangan 3 V bekerja maka kedua sumber tegangan 1 V

dan −2 V dihubung singkat menjadi

Gambar 3-9c: Gambar 3-8b dimana sumber tegangan 1 V dan

−2V diganti dengan rangkaian hubung singkat.

AR

i Vx 3,010

3)( 3 === υ

jika sumber tegangan 1 V bekerja maka sumber tegangan 3 V dan −2

V dihubung singkat

Gambar 3-9d: Gambar 3-8b dimana sumber tegangan 3 V dan

−2V diganti dengan rangkaian hubung singkat

A

i Vx

1,08

1

50

404010

40101

1040

40)( 1

=⋅−=

+⋅

⋅+

−=

10 Ω 40 Ω

ix

+ − 3 V

10 Ω 40 Ω

1 V

ix

(b)

+ −


jika sumber tegangan −2 V bekerja maka kedua sumber tegangan 3 V

dan 1 V diganti dengan rangkaian hubung singkat

Gambar 3-9e: Gambar 3-8b dimana sumber tegangan 3 V dan

1 V diganti dengan hubung singkat.

Ai Vx 0)( 2 =− (karena tidak dialiri arus)

sehingga total respon arusnya adalah

mA

A

iiii VxVxVxtotalx

200

2,0

01,03,0

)()()()( 213

==

+−=++= −

(c) Jika sumber arus 120 A bekerja maka sumber tegangan 10 V

dihubung singkat sedangkan sumber arus 40 A dihubung terbuka

Gambar 3-9f: Gambar 3-8c dimana sumber tegangan 10 V

dengan rangkaian hubung singkat dan sumber arus 40 A

dengan rangkaian hubung terbuka.

A

i Ax

30

12015050

50)( 120

−=

⋅+

−=

jika sumber tegangan 10 V bekerja maka kedua sumber arus 120 A

dan 40 A dihubung terbuka

10 Ω 40 Ω

−2 V

ix

(b)

+ −

50 Ω 150 Ω

ix

(c)

120 A


50 Ω 150 Ω 40 A

ix

(c)

Gambar 3-9g: Gambar 3-8c dengan mengganti sumber arus

120 A dan 40 A dengan rangkaian hubung terbuka (Open

Circuit).

A

Ri

eqVx

05,0

15050

10)( 10

=

+== υ

jika sumber arus 40 A bekerja maka sumber arus 120 A diganti

dengan rangkaian hubung terbuka sedangkan sumber tegangan 10 V

hubung singkat.

Gambar 3-9h: Gambar 3-8c dimana sumber arus 120 A

dihubung terbuka sedangkan sumber tegangan 10 V

dihubung singkat.

A

i Ax

30

4050150

150)( 40

=

⋅+

=

Sehingga total respon arusnya yaitu

mA

A

iiii AxVxAxtotalx

50

05,0

3005,030

)()()()( 401030

==

++−=++=

50 Ω 150 Ω

10 V

ix

(c)

− +


Soal Latihan

4. Rangkaian yang dilukiskan pada Gambar 3-10 berisi sumber tak bebas.

Gunakan teorema superposisi untuk mencari arus i.

Gambar 3-10: Lihat Latihan Soal 4.

3-5 Transformasi Sumber

Sumber tegangan ideal didefinisikan sebagai sebuah alat yang tegangan

terminalnya tidak bergantung pada arus yang melaluinya. Sebuah sumber dc 1-V

menghasilkan sebuah arus sebesar 1 A melalui tahanan 1-Ω dan juga sebuah arus

sebesar 1.000.000 A melalui tahanan 1-µΩ; sumber itu dapat memberikan jumlah

daya yang tak terbatas. Tidak ada alat seperti itu dalam peraktek, dan kita

sependapat bahwa sebuah sumber tegangan fisis yang riil, mungkin dapat

dinyatakan oleh sebuah sumber tegangan ideal hanya selama daya atau arus yang

relatif kecil, ditarik dari sumber tersebut. Misalnya sebuah baterai mobil dapat

diaproksimasikan oleh sebuah sumbertegangan dc ideal jika arusnya dibatasi hanya

beberapa ampere. Akan tetapi, setiap orang yang telah pernah mencoba

menghidupkan mobil dengan lampu depan yang menyalah mungkin sudah

mengamati bahwa cahayanya berkura bila baterai diminta memberikan arus starter

yang besar, 100 A atau lebih, sebagai tambahan kepada arus lampu depan. Dengan

kondisi seperti ini, sebuah tegangan ideal akan merupakan contoh yang sangat

buruk sebuah baterai.

Sumber tegangan ideal harus diubah untuk memperhitungkan penurunan

tegangan terminalnya bila arus besar ditarik dari padanya. Kita misalkan kita

mengamati secara eksperimental sebuah baterai yang mempunyai tegangan

terminal sebesar 12 V bila tidak ada arus yang mengalir melaluinya dan tegangan 11

V bila mengalir arus sebesar 100 A. jadi, contoh yang lebih tepat mungkin adalah

sebuah sumber tegangan ideal 12 V yang seri dengan sebuah tahanan melalui mana

5 Ω

2 A

i

−4 V

5υx + −

3 Ω − +

+ υx _

2 Ω


timbul tegangan 1 V jika dilalui arus 100 A. tahanan tersebut haruslah 0,01 Ω, dan

sumber tegangan ideal dan tahanan seri ini membentuk sebuah sumber tegangan

praktis. Jadi, kita gunakan kombinasi seri dari dua elemen rangkaian yang ideal,

yaitu sebuah sumber tegangan bebas dan sebuah tahanan, untuk membuat model

suatu alat riil.

Teorema daya yang sangat berguna dapat dikembangkan dengan referensi

pada tegangan praktis atau sumber arus. Untuk sumber tegangan praktis, maka

daya yang diberikan pada beban RL adalah

2

22

)( LS

LSLL

RR

RVRipL

+==

Untuk mencari nilai RL yang menyerap daya maksimum dari sumber praktis yang

diberikan, kita diferensiasikan terhadap RL :

4

222

)(

))(2()(

LS

LSLSSLS

L

L

RR

RRRVVRR

dR

dp

++−+

=

Dan menyamakan turunan dengan nol, didapat

2)()(2 LSLSL RRRRR +=+

Atau LS RR =

Karena harga-harga RL = 0 dan RL = ∞, keduanya memberikan minimum (pL = 0),

dan karena kita telah mengembangkan ekivalensi di antara tegangan praktis dan

sumber arus, maka telah membuktikan teorema pemindahan daya maksimum

berikut :

Soal Latihan

5. Dalam rangkaian pada Gambar 3-11 dibawah ini, berapa besar RL : (a) agar

diserap daya maksimum dari jaringan ini dan berapa pL, maks? (b) agar

didapat tegangan maksimum pada RL dan berapa υL, maks ? (c) agar

diperoleh arus maksimum dan berapa iL, maks ?

Sebuah sumber tegangan bebas yang seri dengan

sebuah tahanan RS atau sebuah sumber arus

bebas yang pararel dengan sebuah tahanan RS,

memberi daya maksimum kepada tahanan beban

RL bilamana RL = RS.


Gambar 3-11: Lihat Latihan Soal 5.

90 Ω 180 Ω

20 Ω

60 Ω RL 10 V