STRUKTUR ALJABAR II
βRINGβ
DisusunOleh:
KELOMPOK III
SRI WAHYUNI SAM (101104001)
APRISAL (101104004)
AZLAN ANDARU (101104006)
PRIMA MITRA (101104020)
MUH.ICHSAN NAWAWI (101104024)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMTIKA DAN ILMU PEMNGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2012
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
2
PETA KONSEP
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
3
RING
Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya
mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong yang memenuhi sifat-
sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan dua
operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara berturut-turut + dan o dinamakan Ring.
1. RING
Definisi:
Suatu ring (R,+,o) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner
penjumlahan (+) dan perkalian (o) pada R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut :
1. Tertutup,
Misalkan a dan b adalah anggota R maka a dan b tertutup bila π + π = β
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+),
Misalkan π, π, π β βmaka (a + b) + c = a + (b + c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+),
Misalkan π β β maka a + e = e + a = a
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+),
Misalkan π β β maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+),
Misalkan π, π β β maka a + b = b + a
6. Tertutup terhadap penjumlahan (+),
Misalkan a dan b adalah anggota R,maka a dan b tertutup bila π . π β β
7. Assosiatif terhadap perkalian (o),
Misalkan π, π, π β β maka (a . b) . c = a . (b . c)
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (o),
Misalkan π β β maka a . e = e . a = a
9. Distributif perkalian (o) terhadap penjumlahan (+),
Misalkan π, π, π β β maka
a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a + b) . c = (a . c) + (b . c)
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
4
Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua
operasi biner (R,+,o) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila :
Suatu ring (R,+,o) adalah himpunan R bersama dengan dua operasi biner + dan o. Yang
dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R sedemikian sehingga sifat-
sifat berikut berlaku.
1. (R,+) merupakan grup komutatif
2. (R,o) merupakan semigrup
3. β π₯, π¦, π§ β π berlaku:
a. π₯. π¦ + π§ = π₯. π¦ + π₯. π§
b. (x+y) . z = x.z+y.z
Contoh:
Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ringdengan operasi
yang diberikan
1. (Z, + , o)
2. (Q, + , o)
3. (R, + , o)
4. (C, + , o)
5. (Zn, + , o)
6. (M(2,Z), + , o)
7. (Z[β2], + , o)
8. (fR, + , 0)
9. ( RxS, + , o), dengan R dan S masing-masing merupakan ring
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
5
Contoh 1:
Z4 merupakan suatu Ring.
Akan ditunjukkan bah wa Z4 = {0,1,2,3} merupakan suatu Ring bila memenuhi:
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +)
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4
Misalkan 0, 1, 2, 3 β π4
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 0
Karena hasilnya 0, 1, 2, 3 β π4, maka tertutup terhadap π4,
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari π4,
Misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 β π4
(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2
a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2
sehingga:
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
6
(a + b) + c = a + (b + c)
Maka π4assosiatif
Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari π4
o misalkan 0 β π4
0 + e = e + 0 = 0
o misalkan 1 β π4
1 + e = e + 1 = 1
o misalkan 2 β π4
2 + e = e + 2 = 2
o misalkan 3 β π4
3 + e = e + 3 = 3
maka π4 ada unsur satuan atau identitas
Adanya unsur balikan atau invers
o Ambil sebarang nilai dari π4, misalkan 0 π π4, pilih 0 π π4, sehingga
0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1
= 0
o Ambil sebarang nilai dari π4, misalkan 1π π4, pilih 3 π π4, sehingga
1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1
= 3
o Ambil sebarang nilai dari π4, misalkan 2 π π4, pilih 2 π π4, sehingga
2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1
= 2
o Ambil sebarang nilai dari π4, misalkan 3 π π4, pilih 1 π π4, sehingga
3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1
= 1
maka Z4 ada unsur balikan atau invers
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari π4
misalkan a = 2, b = 3 π π4
(a + b) = (2 + 3) = 1
(b + a) = (3 + 2) = 1
Sehingga :
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
7
(a + b) = (b + a) = 1
maka Z4 komutatif
Jadi Z4 = {0,1,2,3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +)
2. Semigrup terhadap perkalian (Z4, o)
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari π4
Misalkan 0, 1, 2, 3 π π4
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
1 . 2 = 2
1 . 3 = 3
karena hasilnya 0, 1, 2, 3 π π4, maka tertutup terhadap π4
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z4
misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 π π4
(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2
a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = 2
maka Z4 assosiatif
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (π4, o).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari π4
misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 π π4
a.(b + c) = 2.(1 + 3) (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)
= 2.(0) = 2 + 6
= 0 = 0
maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
8
(a + b).c = (2 + 1).3 (a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)
= (3).3 = 2 + 3
= 1 = 1
maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1
Jadi, π4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadappenjumlahan.
Karena π4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,
maka π4 adalah suatu Ring (π4,+,o).
Contoh 2:
Misalkan R = {-1, 1}, (R,+,o)
Akan dibuktikan bahwa R = {-1, 1}, (R,+,o) bukan merupakan suatu Ring.
Γ -1 1
-1 1 -1
1 -1 1
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa R = {-1, 1} hanya tertutup terhadap operasi
perkalian dan tidak tertutup terhadap penjumlahan karena terdapat unsur 0 yang
bukan elemen dari R = {-1, 1}.
Jadi dapat disimpulkan bahwa R = {-1, 1}, (R,+,o) bukan merupakan suatu Ring
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Z2 = {0, 1},
(Z2,+,o)merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi penjumlahan
danmemenuhi sifat-sifat dari Ring.
2. RING KOMUTATIF
Definisi:
Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatu Ring
(Gelanggang) Komutatif (Abelian) bila :
1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
2. (R,o) merupakan suatu Semigrup/Monoid Komutatif
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
+ -1 1
-1 0 0
1 0 0
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
9
Jika pada ring R, berlaku sifat a.b = b.a, βa,b βR, maka R dikatakan Ring Komutatif
(Comutative Ring).
Contoh 3:
Dari contoh 1, tunjukan bahwa Ring (Z4,+,o) merupakan suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian:
Dari contoh 1, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring.
Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.
a . b = b . a, β π, π π π4
Ambil sebarang nilai dari π4, misalkan 2 dan 3 π π4(pada tabel sebelumnya)
2 o4 3 = 2
3 o4 2 = 2
sehingga 2 o4 3 = 3 o4 2 = 2
Karena Ring (π4,+,o) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (π4,+,o)
tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.
Contoh 4:
Misalkan P = {genap, ganjil} dan P β Z. Tunjukan bahwa elemen-elemenbilangan
βgenapβ dan βganjilβ adalah suatu Ring Komutatif.
Dari tabel 6.2.akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakansuatu Ring
Komutatif bila memenuhi :
Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan genap, ganjil β P
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
10
genap + genap = genap
genap + ganjil = ganjil
ganjil + ganjil = genap
karena hasilnya genap dan ganjil β P, maka tertutup terhadap P
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap β P
(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil
a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil
maka P assosiatif
Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap β P, pilih genapβP,
sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil β P, pilih genapβ P,
sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap
maka P ada unsur satuan atau identitas
Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap βP, pilih genapβ P,
sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1
= genap
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil βP, pilih ganjil β P,
sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1
= ganjil
maka P ada unsur balikan atau invers
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P
misalkana = genap, b = ganjil βP
(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil
Sehingga :
(a + b) = (b + a) = ganjil
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
11
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} m merupakan Grup Komutatif terhadappenjumlahan (P,+).
2. Monoid terhadap perkalian (P,o)
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan genap dan ganjil β P
genap .ganjil = genap
genap .genap = genap
ganjil .ganjil = ganjil
karena hasilnya genap dan ganjil βP, maka tertutup terhadap P
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap β P
(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap
a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap .genap = genap
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = genap
maka P assosiatif
Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genapβP, pilih ganjilβ P,sehingga
genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil β P, pilih ganjilβ P,sehingga
ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil
maka P ada unsur satuan atau identitas
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan a = genap, b = ganjilβ P
(a . b) = (genap . ganjil) = genap
(b . a) = (ganjil . genap) = genap
Sehingga :
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
12
(a . b) = (b . a) = genap
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatifterhadap perkalian (P, o).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari P
misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap βP
a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)
= genap.(ganjil)
= genap
(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)
= genap + genap
= genap
maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap
(a + b).c = (genap + ganjil). genap
= (ganjil). genap
= genap
(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)
= genap + genap
= genap
maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap
Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,maka P adalah
suatu Ring Komutatif (P,+,o).
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
13
3. RING DENGAN UNSUR KESATUAN
Definisi:
Jika pada ring R, terdapat unsur 1 sedemikian sehingga a o1 = 1 oa = a, βa βR,
maka R adalah Ring dengan unsur kesatuan.
Suatu ring R dikatakan ring pembagi nol, jika ada anggota a,b di R dengan
π β 0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut
sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan.
Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol, jika tidak ada anggota a,b di R
dengan π β 0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut
disebut sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan
ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap π, π β π dengan ab=0
maka a=0 atau b=0
Suatu ring R disebut trivial jika untuk setiap π, π β π , ab=0 (0 unsur nol di R) dan
disebut ringnol jika anggota di R hanya satu (tunggal)
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
14
Contoh 5:
Tunjukan bahwa Ring (π4,+,o) merupakan suatu Ring (π4,+,o) merupakan suatu
Ring merupakan suatu Ring dengan unsur kesatuan.
Penyelesaian :
Telah ditunjukkan pada pembahasan sebelumnya jika (π4,+,o) merupakan suatu
Ring, sekarang kita tunjukkan (π4,+,o) memiliki unsur kesatuan.
β π β π4 , 1 π π = π π 1 = π
Misal π = 2, ππππ 1 Γ 2 = 2 Γ 1 = 2
Jadi 1 merupakan unsur kesatuan dari(π4,+,o).
Maka terbukti bahwa (π4,+,o) merupakan ring dengan unsur kesatuan
Contoh 6:
Apakah π = π π0 0
π, π, 0 β π§ dengan sifat penjumlahan dan perkalian matriks
merupakan ring komutatif dengan elemen kesatuan ?
Penyelesaian:
M untuk operasi + dan obukan merupakan ring komutatif, karena (M,o)
β π π0 0
, π π0 0
β π: π, π, π, π, 0 β π
π π0 0
. π π0 0
= ππ ππ0 0
β π π0 0
. π π0 0
M untuk operasi + dan . tidak memiliki unsur kesatuan, karena (M,.)
β π π0 0
β π β 1 00 1
β π, β. . 1 00 1
= 1 00 1
. π π0 0
= π π0 0
Maka (M,+,o) merupakan non komutatif dan tanpa elemen kesatuan
4. DAERAH INTEGRAL
Definisi
Ring komutatif dengan unsur kesatuan dikatakan Daerah Integral (IntegralDomain)
jika tidak mempunyai unsur pembagi nol.
1. Tertutup terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a dan b adalah anggota R,
maka a dan b tertutup bila π + π β π
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
15
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan a, b, c β π
maka (a + b) + c = a + (b + c)
3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+)
Misalkan π β π
maka a + e = e + a = a
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+)
Misalkan π β π
maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+)
Misalkan π, π β π
maka a + b = b + a
6. Tertutup terhadap perkalian (.)
Misalkan a dan b adalah anggota R,
maka a dan b tertutup bila π. π β π
7. Assosiatif terhadap perkalian (o)
Misalkan a,b,c β π
maka (a.b).c = a.(b.c)
8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (o)
Misalkan π β π
maka a.e = e.a = a
9. Komutatif terhadap perkalian (o)
Misalkan π, π β π
maka a . b = b . a
10. Tidak ada pembagi nol
Misalkan π, π β π
Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0
11. Distributif perkalian (o) terhadap penjumlahan (+)
Misalkan π, π, π β π
maka a.(b +c) = (a.b) + (a.c) dan (a + b).c = (a.c) + (b.c)
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
16
Contoh 7:
Z4 bukan merupakan Integral Domain.
x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Dari tabel tersebut, dapat kita lihat bahwa [2] merupakan pembagi nol,dimana
diperolah [2].[2] = 0, sedangkan pada syarat daerah Integral tidak memiliki
pembagi nol serta, diperoleh [2].[2] = 0
Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu
IntegralDomain karena memiliki pembagi nol yaitu [2].
Contoh 8:
Dari contoh 4, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan
ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.
Penyelesaian:
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif
Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai
pembagi nol, dengan kata lain:
a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0
Misalkan :
X = {β¦,-3, -1, 1, 3, ...} adalah himpunan bilangan ganjil dan
Y = {β¦, -4, -2, 0, 2, 4,β¦} adalah himpunan bilangan genap.
Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak adaunsur nol,
tetapi bilangan genap ada unsur nol.
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan
Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, β a, b β P
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
17
Contoh 9:
Tunjukkan π3merupakandaerah integral
Penyelesaian:
Akan ditunjukkan bahwa Z3 = {0,1,2,} merupakan suatu Ring bila
memenuhi:
+3 0 1 2 π3 0 1 2
0 0 1 2 0 0 0 0
1 1 2 2 1 0 1 2
2 2 2 1 2 0 2 1
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z3, +)
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z3
Misalkan 0, 1, 2, β π3
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
Karena hasilnya 0, 1, 2β π3, maka tertutup terhadap π3,
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari π3,
Misalkan a = 2, b = 1 dan c = 0β π3
(a + b) + c = (2 + 1) + 0 = 3 + 0 = 0
a + (b + c) = 2 + (1 + 0) = 2 + 1 = 0
sehingga:
(a + b) + c = a + (b + c)
Maka π3assosiatif
Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari π3
o misalkan 0 β π3
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
18
0 + e = e + 0 = 0
o misalkan 1 β π3
1 + e = e + 1 = 1
o misalkan 2 β π3
2 + e = e + 2 = 2
maka π3 ada unsur satuan atau identitas
Adanya unsur balikan atau invers
o Ambil sebarang nilai dari π3, misalkan 0 π π3, pilih 0 π π3, sehingga 0 + 0
= 0 = e, maka (0)-1
= 0
o Ambil sebarang nilai dari π3, misalkan 1π π3, pilih 3 π π3, sehingga 1 + 3 =
1 = e, maka (1)-1
= 2
o Ambil sebarang nilai dari π3, misalkan 2 π π4, pilih 2 π π4, sehingga 2 + 2
= 1 0 = e, maka (2)-1
= 1
Maka π3 ada unsur balikan atau invers
Komutatif
Ambil sebarang nilai dari π3
misalkan a = 2, b = 1π π3
(a + b) = (2 + 1) = 0
(b + a) = (1 + 2) = 0
Sehingga :
(a + b) = (b + a) = 0
maka π3 komutatif
Jadi Z4 = {0,1,2} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z3, +)
2. Semigrup terhadap perkalian (Z3, o)
Tertutup
Ambil sebarang nilai dari π3
Misalkan 0, 1, 2π π4
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
1 . 2 = 2
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
19
karena hasilnya 0, 1, 2π π3, maka tertutup terhadap π3
Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari π3
misalkan a = 2, b = 1 dan c = 0π π3
(a . b) . 0 = (2 . 1) . 0 = 2 . 0 = 0
a . (b . 0) = 2 . (1 . 0) = 2 . 0 = 0
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = 0
maka π3 assosiatif
Jadi, π3 = {0, 1, 2} merupakan Semigrup terhadap perkalian (π3, o).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari π3
misalkan a = 2, b = 1 dan c = 0π π4
a.(b + c) = 2.(1 + 0) (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.0)
= 2.(1) = 2 + 0
= 2 = 2
maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 2
(a + b).c = (2 + 1).0 (a.c) + (b.c) = (2.0) + (1.0)
= (3)0 = 0 + 0
= 0 = 0
maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 0
Jadi, π3= {0, 1, 2} distributif perkalian terhadappenjumlahan.
Karena π3 = {0, 1, 2} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,
maka π4 adalah suatu Ring (π3,+,o).
4. Memiliki unsur kesatuan
β π β π3, β π π π = π π π = π, βπ β π3
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
20
Contoh :
Unsur kesatuan dari π3adalah 1, karena
1 π 2 = 2 π 1 = 2
1 π 0 = 0 π 1 = 0
1 π 1 = 1 π 1 = 1
Jadi Ring (π3,o) memiliki unsur kesatuan.
5. Tanpa pembagi nol
Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol, jika tidak ada anggota a,b di R
dengan π β 0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut
disebut sebagai pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan
ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap π, π β π dengan ab=0
maka a=0 atau b=0
Contoh :
Untuk a = 1,2 b = 1,2 , maka
1 π3 1 β 0
1 π3 2 β 0
2 π3 1 β 0
2 π3 2 β 0
Karena tidak terdapat anggota dari π3 dimana π β 0 πππ π β 0 yang memenuhi
ab=0 maka π3 merupakan ring tanpa pembagi nol
Karena memenuhi semua syarat, maka (ππ,+,π) merupakan daerah integral
5. RING PEMBAGIAN
Definisi:
Suatu ring R dinamakanring pembagian (Division Ring) jika memenuhi:
1. π β₯ 2 π = ππππ¦ππππ¦π ππππππ‘π ππ π
2. R memiliki unsur kesatuan
3. β π₯ β π ππππππ π₯ β 0, β π¦ β π π πβπππππ π₯π¦ = π¦π₯ = 1
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
21
Teorema:
Ring pembagian merupakan ring tanpa pembagi nol.
Contoh 10:
A={0,1,2,3,4} terhadappenjumlahandanpergandaan modulo 5 merupakan
Ringpembagian yang komutatif
Contoh 11:
Tunjukkan bahwa π5merupakan ring pembagian.
Penyelesaian :
+5 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
π5 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Berdasarkan tabel di atas dapat dilihat bahwa perkalian modulo 5 dan dua unsur di
dalam π5tetap merupakan unsur dalam π5 lagi. Ini berarti π5 tertutup terhadap
operasi perkalian modulo 5.Sifat assosiatif terhadap perkalian modulo 5 dapat
diselidiki satu per satu, demikian juga sifat distributif kiri dan distributif
kanannya.Hal ini mungkin dilakukan karena banyaknya elemen dari π5
berhingga.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa (π5, +5, o5) merupakan ring
dengan banyaknya elemen berhingga.
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
22
1. Banyak anggota dari π5 β₯ 2
2. βπ, π β π5 ππππ π. π = π. π = π
Misal a=1,b=3 ππππ 1 .5 3 = 3 .5 1 = 3
3. β π₯ β π5ππππππ π₯ β 0, β π¦ β π π πβπππππ π₯π¦ = π¦π₯ = 1
Misal x = 2, y = 3 ππππ 2 .5 3 = 3 .5 2 = 1
Misal x = 4, y = 4 ππππ 4 .5 4 = 4 .5 4 = 1, dst.
Karena (π5, +5, o5) merupakan ring dengan banyaknya elemen berhingga dan
memenuhi ketiga syarat diatas maka (π5, +5, o5) merupakan ring pembagian
Contoh 12:
π4 bukan merupakan ring pembagian.
x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Dari tabel diatas, terlihat bahwa tidak semua anggota π4kecuali nol (0) yang
mempunyai pasangan sehingga memenuhi β π₯ β π4ππππππ π₯ β 0, β π¦ β
π π πβπππππ π₯π¦ = π¦π₯ = 1
Contoh :
Untuk x = 2, y = 1, maka 2 π 1 = 1 π 2 β 1
6. FIELD
Definisi:
Field adalah suatu Ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk
GrupKomutatif/Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalah
Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian.
Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu strukturaljabar dengan
dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field bila :
1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
2. (R,o) merupakan suatu Grup Komutatif
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
23
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Jadi untuk menunjukan bahwa suatu Ring adalah Field harus kitabuktikan Ring
itu komutatif dan mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian. Atau
kita tunjukan R merupakan suatu Grup Komutatif terhadap penjumlahan dan
perkalian serta distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Definisi:
Ring pembagian yang komutatif disebut lapangan (field)
Contoh 13:
(1) Jika a dalam A dan a mempunyai invers maka a bukan pembagi nol.
(2) Jika A field maka A daerah integral.
Bukti :
(1) Misalkan ab = 0
Karena a mempunyai invers maka dengan mengalikan kedua ruas dengan a-
1diperoleh
a-1 (ab) = a-1 0
(a-1 a)b = 0
1 . b = 0
b = 0
Dengan cara yang sama, ba = 0 mengakibatkan b = 0.Oleh karena itu, a bukan
pembagi nol.
(2) Karena setiap field merupakan ring komutatif dengan angngota satuan makatinggal
dibuktikan bahwa dalam field tidak terdapat pembagi nol. Karena setiap anggota
field yang tidak nol mempunyai invers maka dengan mengingat sifat (1) sebarang
field tidak mengandung pembagi nol. Berarti setiap field merupakan suatu daerah
integral.
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
24
Contoh 14:
Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akanditunjukkan
apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.
Penyelesaian:
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif
Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikanatau
invers terhadap perkalian, dengan kata lain:
β π β π, β πβ1 β πsedemikian sehingga a . a-1
= a-1
. a = e
Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap β P, pilih ganjil β P,sehingga
genap.ganjil = genap β e
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap βP, pilih genap β P,sehingga
genap.genap = genap β e
maka P tidak ada unsur balikan atau invers
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukanmerupakan Field.
Contoh 15:
Tunjukkan bahwa π5merupakan field?
Penyelesaian:
Telah dibuktikan bahwa π5merupakan ring pembagian,dan syarat field
adalah ring pembagian yang komutatif, maka kita hanya membuktikan
bahwa π5 memenuhi syarat komutatif.
βπ, π β π5 ππππ π. π = π. π
Misal a = 0,1,2,3,4 dan b = 0,1,2,3,4, maka
1π52 = 2π51 = 2
2π54 = 4π52 = 3
2π53 = 3π52 = 1, dst.
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
25
Contoh 16:
π4 bukan merupakan ring pembagian.
x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Dari tabel diatas, terlihat bahwa tidak semua anggota π4kecuali nol (0) yang
mempunyai pasangan sehingga memenuhi β π₯ β π4ππππππ π₯ β 0, β π¦ β
π π πβπππππ π₯π¦ = π¦π₯ = 1.
Karena π4bukan merupakan ring pembagian maka π4 juga bukan merupakan
field.
Contoh:
1. Z, Q, R masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemensatuan, dan
tidak memuat pembagi nol sehingga merupakan daerahintegral. Q dan R
merupakan lapangan sedangkan Z bukan lapangan sebab 2 β π§ dan 2β1 = Β½
bukan elemen Z
2. π3,π4, π5 , π9, masing-masing merupakan ring komutatif, ring denganelemen
satuan. Z3, Z5 merupakan daerah integral dan merupakan fieldsedangkan
π4, π9 bukan merupakan daerah integral dan bukanlapangan
KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II
26
Rangkuman
1. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuRing
(Gelanggang) bila :
(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
(R,o) merupakan suatu Semigrup / Monoid
Distributif perkalian terhadap penjumlahan
2. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuRing
(Gelanggang) Komutatif bila :
(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
(R,o) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif
Distributif perkalian terhadap penjumlahan
3. Suatu ring R dikatakan ring pembagi nol, jika ada anggota a,b di R dengan π β
0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut sebagai
pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan.
Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol, jika tidak ada anggota a,b di R dengan
π β 0 πππ π β 0 sehingga a.b= 0. Dalam hal ini a dan b berturut-turut disebut sebagai
pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan. Suatu ring R dikatakan ring tanpa pembagi
nol jika dan hanya jika untuk setiap π, π β π dengan ab=0 maka a=0 atau b=0
4. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuIntegral
Domain (Daerah Integral) bila :
(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
(R,o) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif
Tidak ada pembagi nol
Distributif perkalian terhadap penjumlahan
5. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatuField
(Lapangan) bila :
(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif
(R-0,o) merupakan suatu Grup Komutatif
Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Top Related