STATISTIKA NON PARAMETRIKA 1. GAMBARAN UMUM
Kebanyakan uji hipotesis yang dibahas pada bab-bab sebelumnya didasarkan pada
asumsi bahwa sampel acak diambil dari populasi normal. Uji tersebut masih bisa
diandalkan jika penyimpangan terhadap kenormalan hanya sedikit, apalagi jika ukuran
sampel adalah besar. Uji-uji tersebut dinamakan uji atau metode parametrik. Dalam bab
ini akan dibahas metode pengujian lain yaitu metode non-parametrik yang dapat
digunakan untuk pengujian pada data berskala ordinal dan pada umumnya tidak
mensyaratkan asumsi distribusi normal.
Metode non-parametrik atau bebas-distribusi relatif lebih mudah, tetapi mempunyai
kelemahan yaitu antara lain uji ini tidak menggunakan semua informasi yang tersedia
dalam sampel. Hal ini menyebabkan uji non-parametrik kurang efisien digunakan
dibanding uji parametrik padanannya apabila uji parametrik dan non-parametrik dapat
digunakan. Uji non-parametrik juga memerlukan ukuran sampel lebih banyak untuk
mencapai kuasa uji yang sama dengan uji parametrik padanannya. Pada uji non-
parametrik, mean sebagai parameter lokasi digantikan oleh median.
2. UJI TANDA (SIGN TEST) Uji tanda digunakan untuk menguji hipotesis mengenai median populasi.
Asumsi: Skala pengukuran minimal ordinal
Hipotesis-hipotesis:
A. (Dua arah)
H0: ( ) ( )P P+ = −
H1: ( ) ( )P P+ ≠ −
B. (Satu arah)
H0: ( ) ( )P P+ ≤ −
H1: ( ) ( )P P+ > −
C. (Satu arah)
H0: ( ) ( )P P+ ≥ −
H1: ( ) ( )P P+ < −
Keterangan:
Pada uji dua arah, H0 diinterpretasikan sebagai
Xi dan Yi mempunyai parameter lokasi yang sama,
sehingga
H0 : Median iX sama dengan median iY
H0 : iX dan iY memiliki median yang berbeda
Begitu pula untuk uji satu arah
Statistika Non Parametrika
halaman 2
Dalam menguji hipotesis, kita ganti tiap nilai sampel yang melebihi 0M dengan
tanda (+) dan yang kurang dari 0M diberi tanda (-).
Statistik uji: T = jumlah tanda (+)
Kaidah Pengambilan Keputusan:
A. untuk n ≤20, gunakan Tabel L1 untuk p = ½ dan n = total tanda (+) dan (-), pilih nilai
tabel yaitu t untuk daerah / 2α .
Tolak H0 jika T ≤ t atau T ≥n-t pada taraf signifikansi α
Untuk n>20 gunakan aproksimasi
1/22 ( )t n w nα= +
Dimana /2wα diperoleh dari Tabel normal standar. Jika α =0.05 maka /2wα = - 1.96.
B. Tolak Ho jika T ≥ n-t
Untuk n>20 gunakan aproksimasi
12 ( )t n w nα= +
C. Tolak Ho jika T≤ t
Untuk n>20 gunakan aproksimasi
12 ( )t n w nα= +
Contoh 1:
Data berikut menyatakan jumlah jam bekerja suatu mesin berbaterai sebelum baterainya
perlu diisi kembali: 1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2 dan 1.7! Gunakan uji tanda
untuk menguji hipotesis bahwa mesin ini bekerja dengan median 1.8 jam sebelum
baterainya perlu diisi kembali! Gunakan α =0.05!
Jawab:
Hipotesis-hipotesis: 0 : 1.8H M = 1 : 1.8H M ≠ Statistik uji:
Peubah acak binomial dengan p = ½
Berikut urutan tanda dari data:
- + - - + - () - + - -
Statistika Non Parametrika
halaman 3
Dengan n = 10, x = 3 maka diperoleh p-value:
2* ( 3, untuk p 1/ 2)p P X= ≤ =
3
12
02 ( ;10, )
xbinom x
=
= ∑ = 2 * 0.1719
= 0.3438
Karena p-value > α ( 0.05) maka H0 diterima.
Jadi median waktu bekerja mesin sama dengan 1.8 jam.
Soal:
Data berikut diperoleh dari pengujian kekuatan keramik yang diproduksi oleh suatu pabrik
keramik dengan proses yang lebih murah: 20, 42, 18, 21, 22, 35, 19, 18, 26, 20, 21, 32,
22, 20, 24. Diketahui dari median untuk proses sebelumnya adalah 25. Pada α =0.05, uji
apakah median proses baru lebih kecil dari median proses sebelumnya!
Jawab:
Statistika Non Parametrika
halaman 4
Uji tanda juga bisa digunakan untuk mengetahui perbedaan dua perlakuan (treatment).
Misalnya hasil pengamatan iX dan iY masing-masing terjadi karena perlakuan A dan B.
Sampel berukuran N dapat ditulis sebagai 1 1( , )X Y , 2 2( , )X Y , ..., ( , )N NX Y . Selanjutnya
dibentuk selisih-selisih ( )i iX Y− . Jika i iX Y> kita beri tanda (+), sebaliknya diberi tanda
(-), sedang untuk i iX Y= kita abaikan pasangan tersebut.
Hipotesis-hipotesis:
Ho : tidak ada perbedaan pengaruh kedua perlakuan
H1: terdapat perbedaan pengaruh kedua perlakuan
Statistik uji:
h = banyaknya tanda (+) atau (-) yang paling sedikit
Kaidah pengambilan keputusan:
Tolak Ho jika h hitung ≤ h tabel.
Contoh Soal: Berikut ini data berat kacang tanah dari dua jenis kacang di berbagai lokasi (dalam ons).
Lokasi Rumpun X Rumpun Y Tanda
( )i iX Y− Lokasi Rumpun X Rumpun Y Tanda
( )i iX Y−
1 3.4 3.0 + 11 4.0 3.7 + 2 3.7 3.9 - 12 3.9 4.0 - 3 2.8 3.2 - 13 3.8 3.5 + 4 4.2 4.6 - 14 4.2 4.5 - 5 4.6 4.3 + 15 4.7 3.9 + 6 3.8 3.4 + 16 4.0 3.7 + 7 3.6 3.5 + 17 3.6 3.2 + 8 2.9 3.0 - 18 3.2 2.9 + 9 3.0 2.9 + 19 3.4 3.0 + 10 3.8 3.7 + 20 2.9 3.6 -
Hipotesis:
Ho: Kedua jenis kacang tanah memberikan hasil yang sama
H1: Kedua jenis kacang tanah memberikan hasil yang berbeda
Statistik uji:
h hitung = 7
Dengan n = 20 dan α = 0.05 diperoleh h tabel = 5.
Karena h hitung > h tabel maka Ho diterima
Kesimpulan: Hasil kedua jenis kacang adalah sama.
Statistika Non Parametrika
halaman 5
Latihan soal: Dua kelompok murid masing-masing sebanyak 13 anak yang mempunyai intelegensia
dan latar belakang yang sama, diberi pengajaran dengan metode A untuk kelompok 1 dan
metode B untuk kelompok lainnya. Sesudah jangka waktu tertentu, diberi ujian dan
hasilnya dapat dilihat di bawah ini.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Metode A 78 64 73 79 80 67 74 82 65 68 70 63 64
Metode B 70 73 70 80 78 63 74 78 63 68 68 60 65
Gunakan uji tanda untuk mengetahui apakah ada perbedaan berarti antara hasil
pengajaran kedua metode tersebut?
Statistika Non Parametrika
halaman 6
3. UJI WILCOXON Uji ini merupakan perbaikan dari uji tanda yang dijelaskan sebelumnya. Dalam uji
wilcoxon, bukan saja tanda yang diperhatikan tetapi juga nilai selisih dari ( )i iX Y− .
Langkah-langkah:
a. Beri ranking untuk setiap harga mutlak selisih ( )i iX Y− . Harga mutlak terkecil diberi
ranking 1, harga mutlak selisih berikutnya diberi ranking 2, dan akhirnya harga
mutlak terbesar diberi ranking n. Jika terdapat selisih yang harga mutlaknya sama
besar, untuk ranking diambil rata-ratanya.
b. Untuk setiap ranking, berikan pula tanda yang didapat dari selisih ( )i iX Y− .
c. Htunglah jumlah ranking yang bertanda positif dan juga jumlah nomor urut yang
bertanda negatif.
d. Untuk jumlah ranking yang diperoleh pada poin c, ambillah jumlah yang harga
mutlaknya paling kecil. Beri notasi nilai tersebut dengan J.
Hipotesis-hipotesis:
Ho: tidak ada perbedaan pengaruh perlakuan
H1: terdapat perbedaan pengaruh perlakuan
Statistik uji: J
Kaidah pengambilan keputusan:
Tolak Ho jika J hitung ≤ J tabel.
Contoh Soal: Sama dengan pada bagian 2, tetapi dikerjakan dengan uji Wilcoxon.
Tanda Ranking Tanda Ranking Lokasi
Beda ( )i iX Y−
Ranking
i iX Y− (+) (-)
Lokasi Beda
( )i iX Y− Ranking
i iX Y− (+) (-)
1 0.4 15.5 +15.5 11 0.3 9.5 +9.5 2 -0.2 6 -6 12 -0.1 3 -3 3 -0.4 15.5 -15.5 13 0.3 9.5 +9.5 4 -0.4 15.5 -15.5 14 -0.3 9.5 -9.5 5 0.3 9.5 +9.5 15 0.8 20 +20 6 0.4 15.5 +15.5 16 0.3 9.5 +9.5 7 0.1 3 +3 17 0.4 15.5 +15.5 8 -0.1 3 -3 18 0.3 9.5 +9.5 9 0.1 3 +3 19 0.4 15.5 +15.5
10 0.1 3 +3 20 -0.7 19 -19 Jumlah Jumlah
Jumlah ranking bertanda (+) = 138.5
Jumlah ranking bertanda (-) = -71.5 J = 71.5
Statistika Non Parametrika
halaman 7
Statistik uji:
J = 71.5
Nilai J tabel untuk α =0.05 dan n = 20 J = 52
Karena J hitung > J tabel maka Ho diterima
Hasil ini sama dengan hasil yang diperoleh dari Uji tanda.
Latihan soal: Kerjakan latihan soal pada bagian Uji Tanda (yaitu perbandingan dua metode hasil
pengajaran) dengan uji Wilcoxon!
Statistika Non Parametrika
halaman 8
Uji Wilcoxon juga dapat digunakan untuk menguji hipotesis:
Ho : median populasi = M
H1 : median populasi ≠ M
Statistik uji dan kaidah pengambilan keputusan sama seperti Uji Wilcoxon untuk menguji
perbedaan pengaruh dua perlakuan.
Contoh Soal: Diberikan data pada kolom (1). Uji apakah sampel tersebut berasal dari populasi dengan
median M = 12.5 atau tidak. Gunakan α =0.05.
Hipotesis-hipotesis:
Ho : median populasi = 12.5
H1 : median populasi ≠ 12.5
Tanda Peringkat Data X (1) ( )iX M−
Peringkat
iX M− (+) (-) 10 -2.5 9 -9 13 0.5 2.5 2.5 14 1.5 6 6 13 0.5 2.5 2.5 15 2.5 9 9 11 -1.5 6 -6 10 -2.5 9 -9 9 -3.5 12 -12 12 -0.5 2.5 -2.5 9 -3.5 12 -12 11 -1.5 6 -6 13 0.5 2.5 2.5 16 3.5 12 12
Jumlah 34.5 -56.5
Statistik uji: J = 34.5
Nilai tabel: Untuk α =0.05 dan n = 13, J tabel = 17
Karena J hitung > J tabel maka Ho diterima
Jadi median populasi = 12.5.
Latihan Soal: Dapatkah disimpulkan bahwa data berikut berasal dari populasi dengan median sama
dengan 23?
26, 35, 27, 29, 30, 19, 32, 43, 18, 26, 27, 25, 35, 40, 26, 25, 22, 20, 17
Statistika Non Parametrika
halaman 9
4. UJI KORELASI RANK SPEARMAN
Misalkan pasangan data hasil pengamatan 1 1( , )X Y , 2 2( , )X Y , ..., ( , )N NX Y disusun
menurut urutan besar nilainya dalam tiap variabel. Nilai iX diranking sendiri, kemudian
nilai iY juga diranking terhadap sesama Y. Nilai terbesar diberi ranking 1 (The highest
value has rank 1 and rank n is that of the lowest value). Kemudian bentuk selisih atau
beda ranking iX dan ranking iY yang merupakan data berpasangan. Beri notasi ib untuk
nilai beda. Koefisien korelasi Spearman dihitung dengan rumus: 2
2
61
( 1)i
Spearman
br
n n= −
−∑
Nilai korelasi ini mempunyai range dari -1 sampai 1.
Contoh Soal 1:
Berikut ini hasil penilaian dua orang juri terhadap delapan peserta perlombaan. Jika dilihat
berdasarkan peringkat maka juri I memberi peringkat I untuk E, peringkat 2 untuk B dan
seterusnya. Juri II memberi peringkat 1 untuk G, peringkat 2 untuk E dan seterusnya.
Peserta Juri I Juri II Peringkat Juri I
Peringkat Juri II
Beda (bi) 2ib
A 70 80 5 3 2 4 B 85 75 2 4 -2 4 C 65 55 6 8 -2 4 D 50 60 8 7 1 1 E 90 85 1 2 -1 1 F 80 70 3 5 -2 4 G 75 90 4 1 3 9 H 60 65 7 6 1 1 Jumlah 28
Dari rumus korelasi Spearman diperoleh 2
2
6 6(28)1 1 0,6667( 1) 8(64 1)
iSpearman
br
n n= − = − =
− −∑
Pengujian Signifikansi Korelasi Spearman Uji hipotesis: A. Ho : tidak terdapat korelasi antara dua peubah
H1: terdapat korelasi positif antara dua peubah
B. Ho : tidak terdapat korelasi antara dua peubah
H1: terdapat korelasi negatif antara dua peubah
Statistika Non Parametrika
halaman 10
Kaidah pengambilan keputusan:
tolak Ho jika nilai absolut dari r hitung lebih besar atau sama dengan r tabel.
Apabila terjadi angka sama pada variabel yang sama, maka masing-masing
mendapatkan rata-rata ranking dari angka-angka yang sama. Jika proporsi angka sama
tidak besar, akibatnya terhadap nilai korelasi dapat diabaikan, tetapi jika proporsinya
relatif besar maka diberikan faktor koreksi sebagai berikut 2 2 2
2 22i
Spearman
x y br
x y
+ −= ∑ ∑ ∑
∑ ∑
dimana
3
2
12 xN Nx T−
= −∑ ∑
32
12 yN Ny T−
= −∑ ∑
3
12t tT −
= , t = banyak observasi yang berangka sama pada suatu ranking tertentu
Contoh Soal 2: (Contoh dengan Angka Sama)
Berikut ini hasil pengukuran skor perjuangan status sosial dan jumlah menyerah pada
tekanan kelompok.
Rank
Mahasiswa Jumlah Menyerah
Perjuangan Status Sosial
Jumlah Menyerah
Perjuangan Status Sosial
ib 2ib
A 0 42 1.5 3 -1.5 2,25 B 0 46 1.5 4 -2.5 6,25 C 1 39 3.5 2 1.5 2,25 D 1 37 3.5 1 2.5 6,25 E 3 65 5 8 -3 9 F 4 88 6 11 -5 25 G 5 86 7 10 -3 9 H 6 56 8 6 2 4 I 7 62 9 7 2 4 J 8 92 10.5 12 -1.5 2,25 K 8 54 10.5 5 -5.5 30,25 L 12 81 12 9 3 9 109,5
Terdapat tiga himpunan observasi berangka sama pada variabel X, dimana t = 2 untuk
setiap himpunan, maka
Statistika Non Parametrika
halaman 11
3
2
12 xN Nx T−
= −∑ ∑
2 3 3 3(12) 12 2 2 2 2 2 2( )
12 12 12 12− − − −
= − + + = 143 – 1,5 = 141,5
Sedang untuk Y, karena tidak ada angka sama, maka
3
2
12 yN Ny T−
= −∑ ∑
312 12 012−
= − = 143
Sehingga
2 2 2
2 22i
Spearman
x y br
x y
+ −= ∑ ∑ ∑
∑ ∑
141.5 143 109.52(141.5)(143)
+ −= = 0.616
Latihan Soal:
1. Hitung korelasi spearman antara dua peubah berikut kemudian uji apakah nilai
korelasi tersebut signifikan atau tidak!
Xi Yi 96 150 82 95 63 75 57 75 82 110 90 100 90 140 74 83 87 100 90 92
2. Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. Dalam bentuk
peringkat, hasilnya adalah sebagai berikut. Apakah nampak ‘ketidakterkaitan’
penilaian antara suami dan istri?
Penilaian suami
Penilaian istri
5 8 8 5 10 10 6 1 9 7 3 4 4 6 7 9 2 2 1 3
Statistika Non Parametrika
halaman 12
5. UJI KORELASI RANK KENDALL Langkah-langkah:
1. Beri ranking observasi-observasi pada variabel X dari 1 sampai N. Beri pula
ranking observasi-observasi pada variabel Y dari 1 hingga N.
2. Susun kembali X dalam urutan ranking 1 sampai N beserta Y yang bersesuaian.
Ini disebut pasangan ranking yang mungkin.
3. Perhatikan ranking Y untuk kolom paling kiri (kolom pertama). Jika ranking Y pada
observasi berikutnya lebih tinggi dari ranking Y untuk kolom pertama, maka
disebut urutan wajar, dan diberi skor 1. Jika ditemukan ranking Y untuk kolom
kedua atau seterusnya yang kurang dari kolom pertama, beri skor -1. Jumlahkan
skor-skor tersebut.
4. Lakukan hal yang sama terhadap ranking Y untuk kolom kedua. Jika terdapat
ranking Y pada kolom ketiga dan seterusnya yang lebih besar dari ranking Y pada
kolom kedua, beri skor +1, sebaliknya beri skor -1. Jumlahkan skor.
5. Prosedur ini diulang sampai kolom ke (N-1).
6. Hitung nilai total dari semua skor, dilambangkan dengan S.
7. Hitung nilai korelasi rank Kendall sebagai berikut
12 ( 1)
SN N
τ =−
Contoh Soal:
Hitung koefisien korelasi Kendall untuk Contoh Soal pada Korelasi Rank Spearman.
Top Related