STATISTIKA NON PARAMETRIKA 1. GAMBARAN UMUM

Kebanyakan uji hipotesis yang dibahas pada bab-bab sebelumnya didasarkan pada

asumsi bahwa sampel acak diambil dari populasi normal. Uji tersebut masih bisa

diandalkan jika penyimpangan terhadap kenormalan hanya sedikit, apalagi jika ukuran

sampel adalah besar. Uji-uji tersebut dinamakan uji atau metode parametrik. Dalam bab

ini akan dibahas metode pengujian lain yaitu metode non-parametrik yang dapat

digunakan untuk pengujian pada data berskala ordinal dan pada umumnya tidak

mensyaratkan asumsi distribusi normal.

Metode non-parametrik atau bebas-distribusi relatif lebih mudah, tetapi mempunyai

kelemahan yaitu antara lain uji ini tidak menggunakan semua informasi yang tersedia

dalam sampel. Hal ini menyebabkan uji non-parametrik kurang efisien digunakan

dibanding uji parametrik padanannya apabila uji parametrik dan non-parametrik dapat

digunakan. Uji non-parametrik juga memerlukan ukuran sampel lebih banyak untuk

mencapai kuasa uji yang sama dengan uji parametrik padanannya. Pada uji non-

parametrik, mean sebagai parameter lokasi digantikan oleh median.

2. UJI TANDA (SIGN TEST) Uji tanda digunakan untuk menguji hipotesis mengenai median populasi.

Asumsi: Skala pengukuran minimal ordinal

Hipotesis-hipotesis:

A. (Dua arah)

H0: ( ) ( )P P+ = −

H1: ( ) ( )P P+ ≠ −

B. (Satu arah)

H0: ( ) ( )P P+ ≤ −

H1: ( ) ( )P P+ > −

C. (Satu arah)

H0: ( ) ( )P P+ ≥ −

H1: ( ) ( )P P+ < −

Keterangan:

Pada uji dua arah, H0 diinterpretasikan sebagai

Xi dan Yi mempunyai parameter lokasi yang sama,

sehingga

H0 : Median iX sama dengan median iY

H0 : iX dan iY memiliki median yang berbeda

Begitu pula untuk uji satu arah

Statistika Non Parametrika

halaman 2

Dalam menguji hipotesis, kita ganti tiap nilai sampel yang melebihi 0M dengan

tanda (+) dan yang kurang dari 0M diberi tanda (-).

Statistik uji: T = jumlah tanda (+)

Kaidah Pengambilan Keputusan:

A. untuk n ≤20, gunakan Tabel L1 untuk p = ½ dan n = total tanda (+) dan (-), pilih nilai

tabel yaitu t untuk daerah / 2α .

Tolak H0 jika T ≤ t atau T ≥n-t pada taraf signifikansi α

Untuk n>20 gunakan aproksimasi

1/22 ( )t n w nα= +

Dimana /2wα diperoleh dari Tabel normal standar. Jika α =0.05 maka /2wα = - 1.96.

B. Tolak Ho jika T ≥ n-t

Untuk n>20 gunakan aproksimasi

12 ( )t n w nα= +

C. Tolak Ho jika T≤ t

Untuk n>20 gunakan aproksimasi

12 ( )t n w nα= +

Contoh 1:

Data berikut menyatakan jumlah jam bekerja suatu mesin berbaterai sebelum baterainya

perlu diisi kembali: 1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2 dan 1.7! Gunakan uji tanda

untuk menguji hipotesis bahwa mesin ini bekerja dengan median 1.8 jam sebelum

baterainya perlu diisi kembali! Gunakan α =0.05!

Jawab:

Hipotesis-hipotesis: 0 : 1.8H M = 1 : 1.8H M ≠ Statistik uji:

Peubah acak binomial dengan p = ½

Berikut urutan tanda dari data:

- + - - + - () - + - -

Statistika Non Parametrika

halaman 3

Dengan n = 10, x = 3 maka diperoleh p-value:

2* ( 3, untuk p 1/ 2)p P X= ≤ =

3

12

02 ( ;10, )

xbinom x

=

= ∑ = 2 * 0.1719

= 0.3438

Karena p-value > α ( 0.05) maka H0 diterima.

Jadi median waktu bekerja mesin sama dengan 1.8 jam.

Soal:

Data berikut diperoleh dari pengujian kekuatan keramik yang diproduksi oleh suatu pabrik

keramik dengan proses yang lebih murah: 20, 42, 18, 21, 22, 35, 19, 18, 26, 20, 21, 32,

22, 20, 24. Diketahui dari median untuk proses sebelumnya adalah 25. Pada α =0.05, uji

apakah median proses baru lebih kecil dari median proses sebelumnya!

Jawab:

Statistika Non Parametrika

halaman 4

Uji tanda juga bisa digunakan untuk mengetahui perbedaan dua perlakuan (treatment).

Misalnya hasil pengamatan iX dan iY masing-masing terjadi karena perlakuan A dan B.

Sampel berukuran N dapat ditulis sebagai 1 1( , )X Y , 2 2( , )X Y , ..., ( , )N NX Y . Selanjutnya

dibentuk selisih-selisih ( )i iX Y− . Jika i iX Y> kita beri tanda (+), sebaliknya diberi tanda

(-), sedang untuk i iX Y= kita abaikan pasangan tersebut.

Hipotesis-hipotesis:

Ho : tidak ada perbedaan pengaruh kedua perlakuan

H1: terdapat perbedaan pengaruh kedua perlakuan

Statistik uji:

h = banyaknya tanda (+) atau (-) yang paling sedikit

Kaidah pengambilan keputusan:

Tolak Ho jika h hitung ≤ h tabel.

Contoh Soal: Berikut ini data berat kacang tanah dari dua jenis kacang di berbagai lokasi (dalam ons).

Lokasi Rumpun X Rumpun Y Tanda

( )i iX Y− Lokasi Rumpun X Rumpun Y Tanda

( )i iX Y−

1 3.4 3.0 + 11 4.0 3.7 + 2 3.7 3.9 - 12 3.9 4.0 - 3 2.8 3.2 - 13 3.8 3.5 + 4 4.2 4.6 - 14 4.2 4.5 - 5 4.6 4.3 + 15 4.7 3.9 + 6 3.8 3.4 + 16 4.0 3.7 + 7 3.6 3.5 + 17 3.6 3.2 + 8 2.9 3.0 - 18 3.2 2.9 + 9 3.0 2.9 + 19 3.4 3.0 + 10 3.8 3.7 + 20 2.9 3.6 -

Hipotesis:

Ho: Kedua jenis kacang tanah memberikan hasil yang sama

H1: Kedua jenis kacang tanah memberikan hasil yang berbeda

Statistik uji:

h hitung = 7

Dengan n = 20 dan α = 0.05 diperoleh h tabel = 5.

Karena h hitung > h tabel maka Ho diterima

Kesimpulan: Hasil kedua jenis kacang adalah sama.

Statistika Non Parametrika

halaman 5

Latihan soal: Dua kelompok murid masing-masing sebanyak 13 anak yang mempunyai intelegensia

dan latar belakang yang sama, diberi pengajaran dengan metode A untuk kelompok 1 dan

metode B untuk kelompok lainnya. Sesudah jangka waktu tertentu, diberi ujian dan

hasilnya dapat dilihat di bawah ini.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Metode A 78 64 73 79 80 67 74 82 65 68 70 63 64

Metode B 70 73 70 80 78 63 74 78 63 68 68 60 65

Gunakan uji tanda untuk mengetahui apakah ada perbedaan berarti antara hasil

pengajaran kedua metode tersebut?

Statistika Non Parametrika

halaman 6

3. UJI WILCOXON Uji ini merupakan perbaikan dari uji tanda yang dijelaskan sebelumnya. Dalam uji

wilcoxon, bukan saja tanda yang diperhatikan tetapi juga nilai selisih dari ( )i iX Y− .

Langkah-langkah:

a. Beri ranking untuk setiap harga mutlak selisih ( )i iX Y− . Harga mutlak terkecil diberi

ranking 1, harga mutlak selisih berikutnya diberi ranking 2, dan akhirnya harga

mutlak terbesar diberi ranking n. Jika terdapat selisih yang harga mutlaknya sama

besar, untuk ranking diambil rata-ratanya.

b. Untuk setiap ranking, berikan pula tanda yang didapat dari selisih ( )i iX Y− .

c. Htunglah jumlah ranking yang bertanda positif dan juga jumlah nomor urut yang

bertanda negatif.

d. Untuk jumlah ranking yang diperoleh pada poin c, ambillah jumlah yang harga

mutlaknya paling kecil. Beri notasi nilai tersebut dengan J.

Hipotesis-hipotesis:

Ho: tidak ada perbedaan pengaruh perlakuan

H1: terdapat perbedaan pengaruh perlakuan

Statistik uji: J

Kaidah pengambilan keputusan:

Tolak Ho jika J hitung ≤ J tabel.

Contoh Soal: Sama dengan pada bagian 2, tetapi dikerjakan dengan uji Wilcoxon.

Tanda Ranking Tanda Ranking Lokasi

Beda ( )i iX Y−

Ranking

i iX Y− (+) (-)

Lokasi Beda

( )i iX Y− Ranking

i iX Y− (+) (-)

1 0.4 15.5 +15.5 11 0.3 9.5 +9.5 2 -0.2 6 -6 12 -0.1 3 -3 3 -0.4 15.5 -15.5 13 0.3 9.5 +9.5 4 -0.4 15.5 -15.5 14 -0.3 9.5 -9.5 5 0.3 9.5 +9.5 15 0.8 20 +20 6 0.4 15.5 +15.5 16 0.3 9.5 +9.5 7 0.1 3 +3 17 0.4 15.5 +15.5 8 -0.1 3 -3 18 0.3 9.5 +9.5 9 0.1 3 +3 19 0.4 15.5 +15.5

10 0.1 3 +3 20 -0.7 19 -19 Jumlah Jumlah

Jumlah ranking bertanda (+) = 138.5

Jumlah ranking bertanda (-) = -71.5 J = 71.5

Statistika Non Parametrika

halaman 7

Statistik uji:

J = 71.5

Nilai J tabel untuk α =0.05 dan n = 20 J = 52

Karena J hitung > J tabel maka Ho diterima

Hasil ini sama dengan hasil yang diperoleh dari Uji tanda.

Latihan soal: Kerjakan latihan soal pada bagian Uji Tanda (yaitu perbandingan dua metode hasil

pengajaran) dengan uji Wilcoxon!

Statistika Non Parametrika

halaman 8

Uji Wilcoxon juga dapat digunakan untuk menguji hipotesis:

Ho : median populasi = M

H1 : median populasi ≠ M

Statistik uji dan kaidah pengambilan keputusan sama seperti Uji Wilcoxon untuk menguji

perbedaan pengaruh dua perlakuan.

Contoh Soal: Diberikan data pada kolom (1). Uji apakah sampel tersebut berasal dari populasi dengan

median M = 12.5 atau tidak. Gunakan α =0.05.

Hipotesis-hipotesis:

Ho : median populasi = 12.5

H1 : median populasi ≠ 12.5

Tanda Peringkat Data X (1) ( )iX M−

Peringkat

iX M− (+) (-) 10 -2.5 9 -9 13 0.5 2.5 2.5 14 1.5 6 6 13 0.5 2.5 2.5 15 2.5 9 9 11 -1.5 6 -6 10 -2.5 9 -9 9 -3.5 12 -12 12 -0.5 2.5 -2.5 9 -3.5 12 -12 11 -1.5 6 -6 13 0.5 2.5 2.5 16 3.5 12 12

Jumlah 34.5 -56.5

Statistik uji: J = 34.5

Nilai tabel: Untuk α =0.05 dan n = 13, J tabel = 17

Karena J hitung > J tabel maka Ho diterima

Jadi median populasi = 12.5.

Latihan Soal: Dapatkah disimpulkan bahwa data berikut berasal dari populasi dengan median sama

dengan 23?

26, 35, 27, 29, 30, 19, 32, 43, 18, 26, 27, 25, 35, 40, 26, 25, 22, 20, 17

Statistika Non Parametrika

halaman 9

4. UJI KORELASI RANK SPEARMAN

Misalkan pasangan data hasil pengamatan 1 1( , )X Y , 2 2( , )X Y , ..., ( , )N NX Y disusun

menurut urutan besar nilainya dalam tiap variabel. Nilai iX diranking sendiri, kemudian

nilai iY juga diranking terhadap sesama Y. Nilai terbesar diberi ranking 1 (The highest

value has rank 1 and rank n is that of the lowest value). Kemudian bentuk selisih atau

beda ranking iX dan ranking iY yang merupakan data berpasangan. Beri notasi ib untuk

nilai beda. Koefisien korelasi Spearman dihitung dengan rumus: 2

2

61

( 1)i

Spearman

br

n n= −

−∑

Nilai korelasi ini mempunyai range dari -1 sampai 1.

Contoh Soal 1:

Berikut ini hasil penilaian dua orang juri terhadap delapan peserta perlombaan. Jika dilihat

berdasarkan peringkat maka juri I memberi peringkat I untuk E, peringkat 2 untuk B dan

seterusnya. Juri II memberi peringkat 1 untuk G, peringkat 2 untuk E dan seterusnya.

Peserta Juri I Juri II Peringkat Juri I

Peringkat Juri II

Beda (bi) 2ib

A 70 80 5 3 2 4 B 85 75 2 4 -2 4 C 65 55 6 8 -2 4 D 50 60 8 7 1 1 E 90 85 1 2 -1 1 F 80 70 3 5 -2 4 G 75 90 4 1 3 9 H 60 65 7 6 1 1 Jumlah 28

Dari rumus korelasi Spearman diperoleh 2

2

6 6(28)1 1 0,6667( 1) 8(64 1)

iSpearman

br

n n= − = − =

− −∑

Pengujian Signifikansi Korelasi Spearman Uji hipotesis: A. Ho : tidak terdapat korelasi antara dua peubah

H1: terdapat korelasi positif antara dua peubah

B. Ho : tidak terdapat korelasi antara dua peubah

H1: terdapat korelasi negatif antara dua peubah

Statistika Non Parametrika

halaman 10

Kaidah pengambilan keputusan:

tolak Ho jika nilai absolut dari r hitung lebih besar atau sama dengan r tabel.

Apabila terjadi angka sama pada variabel yang sama, maka masing-masing

mendapatkan rata-rata ranking dari angka-angka yang sama. Jika proporsi angka sama

tidak besar, akibatnya terhadap nilai korelasi dapat diabaikan, tetapi jika proporsinya

relatif besar maka diberikan faktor koreksi sebagai berikut 2 2 2

2 22i

Spearman

x y br

x y

+ −= ∑ ∑ ∑

∑ ∑

dimana

3

2

12 xN Nx T−

= −∑ ∑

32

12 yN Ny T−

= −∑ ∑

3

12t tT −

= , t = banyak observasi yang berangka sama pada suatu ranking tertentu

Contoh Soal 2: (Contoh dengan Angka Sama)

Berikut ini hasil pengukuran skor perjuangan status sosial dan jumlah menyerah pada

tekanan kelompok.

Rank

Mahasiswa Jumlah Menyerah

Perjuangan Status Sosial

Jumlah Menyerah

Perjuangan Status Sosial

ib 2ib

A 0 42 1.5 3 -1.5 2,25 B 0 46 1.5 4 -2.5 6,25 C 1 39 3.5 2 1.5 2,25 D 1 37 3.5 1 2.5 6,25 E 3 65 5 8 -3 9 F 4 88 6 11 -5 25 G 5 86 7 10 -3 9 H 6 56 8 6 2 4 I 7 62 9 7 2 4 J 8 92 10.5 12 -1.5 2,25 K 8 54 10.5 5 -5.5 30,25 L 12 81 12 9 3 9 109,5

Terdapat tiga himpunan observasi berangka sama pada variabel X, dimana t = 2 untuk

setiap himpunan, maka

Statistika Non Parametrika

halaman 11

3

2

12 xN Nx T−

= −∑ ∑

2 3 3 3(12) 12 2 2 2 2 2 2( )

12 12 12 12− − − −

= − + + = 143 – 1,5 = 141,5

Sedang untuk Y, karena tidak ada angka sama, maka

3

2

12 yN Ny T−

= −∑ ∑

312 12 012−

= − = 143

Sehingga

2 2 2

2 22i

Spearman

x y br

x y

+ −= ∑ ∑ ∑

∑ ∑

141.5 143 109.52(141.5)(143)

+ −= = 0.616

Latihan Soal:

1. Hitung korelasi spearman antara dua peubah berikut kemudian uji apakah nilai

korelasi tersebut signifikan atau tidak!

Xi Yi 96 150 82 95 63 75 57 75 82 110 90 100 90 140 74 83 87 100 90 92

2. Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. Dalam bentuk

peringkat, hasilnya adalah sebagai berikut. Apakah nampak ‘ketidakterkaitan’

penilaian antara suami dan istri?

Penilaian suami

Penilaian istri

5 8 8 5 10 10 6 1 9 7 3 4 4 6 7 9 2 2 1 3

Statistika Non Parametrika

halaman 12

5. UJI KORELASI RANK KENDALL Langkah-langkah:

1. Beri ranking observasi-observasi pada variabel X dari 1 sampai N. Beri pula

ranking observasi-observasi pada variabel Y dari 1 hingga N.

2. Susun kembali X dalam urutan ranking 1 sampai N beserta Y yang bersesuaian.

Ini disebut pasangan ranking yang mungkin.

3. Perhatikan ranking Y untuk kolom paling kiri (kolom pertama). Jika ranking Y pada

observasi berikutnya lebih tinggi dari ranking Y untuk kolom pertama, maka

disebut urutan wajar, dan diberi skor 1. Jika ditemukan ranking Y untuk kolom

kedua atau seterusnya yang kurang dari kolom pertama, beri skor -1. Jumlahkan

skor-skor tersebut.

4. Lakukan hal yang sama terhadap ranking Y untuk kolom kedua. Jika terdapat

ranking Y pada kolom ketiga dan seterusnya yang lebih besar dari ranking Y pada

kolom kedua, beri skor +1, sebaliknya beri skor -1. Jumlahkan skor.

5. Prosedur ini diulang sampai kolom ke (N-1).

6. Hitung nilai total dari semua skor, dilambangkan dengan S.

7. Hitung nilai korelasi rank Kendall sebagai berikut

12 ( 1)

SN N

τ =−

Contoh Soal:

Hitung koefisien korelasi Kendall untuk Contoh Soal pada Korelasi Rank Spearman.