TEORI PROBABILITAS
Probabilitas - pendahuluanStatistika deskriptif : menggambarkan data
Statistik inferensi kesimpulan valid dan perkiraan akurat ttg populasi dengan mengobservasi sampel
Teori probabilitas sbg dasar statistika inferens
Kategori Probabilitas Probabilitas Apriori: probabilitas yang telah
ditentukan sebelumnya P[A]= n (A)/n(S)
Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas berdasarkan fakta setelah kejadian P[A]= f/n ; f=jumlah kejadian A muncul; n= jumlah sampel /eksperimen
Probabilitas subyektif: probabilitas berdasarkan pertimbangan seseorang
Contoh:1. Probabilitas bayi cacat yang dilahirkan oleh
seorang Ibu yang menderita campak Jerman saat hamil?
2. Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan kidal dan tidak kidal?
3. Hasil analisa air sungai menunjukkan bahwa dari pengalaman yang ada , 8 % dari 100 sampel mengandung kadar fosfat yang tdk terdeteksi jika dianalisa dengan menggunakan metode rutin.
PERANAN PROBABILITASPembuatan model, analisis matematis, simulasi
komputer banyak didasarkan atas asumsi yang dalam kondisi ideal model kuantitatif mungkin bisa mendekati atau jauh dari kondisi sebenarnya.
Dalam pengembangan desain rekayasa keputusan dirumuskan pada ketidakpastian banyak keputusan terpaksa harus diambil:* tanpa memandang kelengkapan informasi* fenomena alamiah bersifat acak atau tak tentu
PERANAN PROBABILITASKuantifikasi ketidakpastian dan penilaian
pengaruhnya pada perilaku dan perancangan suatu sistem melibatkan konsep atau metode probabilitas (kemungkinan).
Variabel acak variabel yang tidak dapat diramalkan dengan pasti nilainya hanya dapat diramalkan dengan probabilitas.
PERANAN PROBABILITASKetidakpastian yang lain pemodelan atau
penaksiran tidak sempurna nilai rerata tidak akan bebas dari kesalahan terutama bila datanya terbatas.
Dalam beberapa hal taksiran lebih baik didasarkan atas pertimbangan seorang ahli
DASAR-DASAR PROBABILITASProbabilitas mengacu pada terjadinya suatu peristiwa (event)
relatif terhadap peristiwa lain ada lebih dari satu kemungkinan masalah menjadi tidak tertentu (non deterministik).
sebagai ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lain.
memerlukan identifikasi himpunan semua kemungkinan, yaitu ruang kemungkinan (possibility space) dan peristiwa yang ditinjau
DASAR-DASAR PROBABILITAS Contoh : aerator taksiran kemungkinan masa layan selama 6 tahun
adalah 50%.Digunakan 3 aerator pertanyaan: berapa probabilitas 1 aerator masih baik setelah 6 tahun?
Satu aerator yang baik 3 kombinasi : B-R-R, R-R-B dan R-B-R probabilitas adalah 3/8 atau 37,5%
Aerator 1 B B B R R R B R
Aerator 2 B B R R B R R B
Aerator 3 B R R R B B B R
Konsep ProbabilitasRuang sampel: gabungan semua kemungkinan dalam
suatu masalah probabilitasTitik Sampel: setiap kemungkinan secara individualSifat ruang sampel: Diskrit – kontinu, berhingg atau tidak
berhingga. Suatu peristiwa sub himpunan dari ruang sampel.
S
A
S
Variabel DiskritDistribusi probabilitas variabel acak diskrit: gabungan seluruh kemungkinan yang terjadi
serta probabilitas untuk terjadi.
Expected value: merupakan nilai rata-rata (µx) semua kemungkinan peristiwa, dengan nilai setiap kemungkinan merupakan frekuensi relatif atau probabilitas
04/21/23 Dwina Roosmini11
ELEMEN TEORI HIMPUNANPeristiwa mustahil (impossible event)
peristiwa yang tidak mempunyai titik sampel himpunan kosong.
Peristiwa tertentu (certain event) S peristiwa yang mengandung semua titik sampel dalam ruang sampel.
Peristiwa komplementer (complementary event) E semua titik sampel dalam S yang tidak terkandung dalam E
ELEMEN TEORI HIMPUNAN
Pasien hipertensi
Pasien kelebihan berat badan Pasien perokok
Not mutually exclusive
Mamalia Unggas
Mutually exclusive
Binatang
IndependenPeristiwa terjadi dengan bebas
Kelinci yang diinokulasi virus polioDarah kelinci mengandung antibodi cacar
Kelinci yang diinokulasi virus polioDarah kelinci mengandung antibodi polio
Aturan Probabilitas1. Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang
merupakan hasil suatu proses atau eksperimen/pengamatan
2. Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut komplemen A dengan lambang A’. Jika P(A) merupakan probabilitas kejadian A maka
P(A’)= 1- P(A)
3. Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A dan B terjadi bersama adalah 0
04/21/23 Dwina Roosmini17
Aturan probabilitas (lanj.)4. Jika persitiwa A dan B ME, maka
probabilitas baik A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas masing-masing P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P (B)
5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah P(A atau B)= P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)
6. Jika dua peristiwa saling dependen, maka probablilitas kondisional B terjadi setelah A terjadi adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A)
04/21/23 Dwina Roosmini18
Aturan probabilitas (lanj.)7. Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas
bahwa baik peristiwa A dan B akan terjadi adalah:
P(A dan B) = P(AB) = P(A) x P(B) 8. Jika peristiwa A dan B not independen,
probabilitas bahwa A dan B akan terjadi adalah:
P(A dan B)= P(AB) = P (A) x P(B/A)
04/21/23
Dwina Roosmini19
Contoh:Analisa kimia air laut menunjukkan
kandungan Pb dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan Hg. Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut akan mengandung Hg dan berapa yang hanya mengandung Pb?
Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan nilai genap?
Lokasi produksi
mobil
Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama pemakaian
Jumlah
Ya Tidak
US 7 293 300
Non US 13 187 200
20 480 500
a. Pembelian 1 bh mobil Probabilitas mobil perlu perbaikan ?
b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US?
c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan?
d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di US?
e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan ?
a. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan/jumlah total mobil baru
= 20/500 = 0,04 = 4%
b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian ?
P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan diproduksi di USA/jumlah total mobil baru
= 7/500 = 0,014 = 0,14%
Mutually Exclusivec. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan
dan yang tidak memerlukan perbaikan?
P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak memerlukan perbaikan) = (20/500) + (480/500) = 1
Not Mutually Exclusived. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan
dan mobil yang diproduksi di USA
P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) = P(memerlukan perbaikan)+ P(diproduksi di USA) - P(memerlukan perbaikan dan diproduksi di USA)= (20/500) + (300/500) – (7/500) = 0,626 = 62,6 %
IndependenProbabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2
kali pelemparan dadu?
P(A dan B) = P(A) x P(B)
Distribusi ProbabilitasTerdapat 2 kelompok: Distribusi probabilitas diskrit Distribusi probabilitas kontinu
04/21/23 Dwina Roosmini27
Distribusi Probabilitas Diskrit
BinomialHypergeometri
kPoissonGeometrikMultinomial
NormalBinomialUniformLog NormalGamma
04/21/23 Dwina Roosmini28
Distribusi Probabilitas Kontinu
Expected Value µx=E(x)=∑ Xi P(Xi)
X= Variabel acak distkrit Xi= Hasil X pada perlakuan I P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X i = 1,2,3,….,n
Varians = σx2=∑(Xi-µx)2 P(Xi)
Standard Deviasi = σx
04/21/23 Dwina Roosmini29
Contoh: Data kecelakaan lalu lintas
XFrek. Relatif
P(X)
0 6 0,10
1 12 0,20
2 27 0,45
3 9 0,15
4 3 0,05
5 3 0,05
04/21/23 Dwina Roosmini 30
Nilai rata-rata/Expected value?
Varians dan standard deviasi?
Expected value=µx= Ex= ∑ Xi P(Xi)=
(0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,05)+(5)*(0,05)= 2
Varians= (0-2)2*(0,10)+(1-2)2*(0,2)+(2-2)2*(0,45)+ (3-
2)2*(0,15)+ (4-2)2*(0,05)+(5-2)2*(0,05)= 1,4
Standard Deviasi= √1,4=1,18
04/21/23 Dwina Roosmini31
Distribusi BinomialDigunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi:
1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak
2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya
3. Hanya ada dua kemungkinan hasil
4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya
04/21/23 Dwina Roosmini32
Distribusi Binomial
04/21/23 Dwina Roosmini 33
Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p
Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p
Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b
Distribusi Binomial
xnx
xnx pxnx
pnpp
x
npnxb
)1(
)!(!
!)1(),;(
)1( pnp
04/21/23 Dwina Roosmini 34
Dimana x= 0,1,2,3,…n
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)……..
0!=1
Rerata= =n*p
Simpangan baku=
Distribusi BinomialTentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3.
2646,0)3,01(3,02
4)3,0,4;2( 242
b
Dwina Roosmini35 04/21/23
Tabel Distribusi Binomialn x p
0,05 0,1 0,5
16 0 ……
1 0,8108
2 0,9571
3 0,9930
),;1(),;(),;( pnxBpnxBpnxb
04/21/23 Dwina Roosmini36
Distribusi Hipergeometris Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa
pengembalian kembali
Jumlah sampel n, dari N populasi a diantaranya rusak
Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/N
Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak:
1. a/(N-1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan2. (a-1)/(N-1) jika sampel 1 terambil yang rusak
Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h
04/21/23 Dwina Roosmini37
Distribusi hipergeometrik
)1(2))((.2
)/(
,...2,1,0)()(dan
:dimana
)(),,;(
NNnNaNan
NanrataRata
nxaNxnax
n
Nxn
aN
x
a
xPNanxh
04/21/23 Dwina Roosmini38
Distribusi HipergeometrikSuatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan memenuhi persyaratan penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel suku cadang secara acak, berapa kemungkinan mendapat tepat satu yang cacat dalam 5 sampel diatas bila dalam kotak tersebut berisi 3 yang cacat
04/21/23 Dwina Roosmini39
Distribusi Poisson Observasi yang dapat dilakukan pada kejadian
diskret dalam suatu area kesempatan, contoh: jumlah telepon panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll
Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan p<< n.p ≤10
Batasan:1. konstant untuk setiap unit waktu dan ruang2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu titik
waktu atau ruang adalah 03. peristiwa satu dengan lainnya independen
04/21/23 Dwina Roosmini40
Distribusi Poisson
s peristiwa rata-rata
,...3,2,1,0untuk !
);(
xx
xexP
04/21/23 Dwina Roosmini41
Hasil pengukuran kualitas udara selama 9 perioda menunjukkan hasil sebagai berikut:
3, 1, 10, 2, 4, 6, 8, 2 ppb
Pada konsentrasi rendah hanya akan dilaporkan sampai dengan besaran tertentu. Berapakah probabilitas bahwa pada perioda monitoring berikutnya hanya ada satu atau kurang dari satu ppb?
Distribusi GeometrisBila peristiwa berhasil pertama akan dicapai
setelah x percobaan, gagal= x-1.Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal
(x-1) pada percobaan (x-1) adalah g
p
dengan
xppxPpxg
/1
1)1()();(
Dwina Roosmini42 04/21/23
Distribusi MultinomialSampel n bersifat bebas
Semua hasil merupakan mutually exclusive
Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari 2, mis: nilai A, B, C, D
xkpkxpxpxkxxx
nxkxxxm ...2211!!...3!2!1
!),...,3,2,1(
Dwina Roosmini43 04/21/23
Top Related