6.2 Statistik Foton

• Sebelum membahasa Bose-einstein, bahas terlebih dahulu ststistik foton yang mempunyai sifat khusus, yakni :

• 1. Foton memiliki spin bulat satu (memenuhi Ststistik Bose-Einstein)

• 2. Foton tidak berinteraksi satu dengan yang lainnya (foton adalah gas sempurna)

• 3. Foton dapat terserap rongga (tercipta karena jumlah foton tidak tetap)

6.2.1 Fungsi Distribusi Foton

Andaikan Sistem bervolume V dan temperatur T. Keadaan mikro dispesifikasi dengan r dan tingkat energi dengan r= 0, 1, 2,...Jumlah foton di setiap keadaan adalah . Berdasarkan sifat ketiga, jumlah foton dapat berbah berapa saja yakni = 0, 1, 2, ... Sifat-sifat ini memberi fungsi partisi sistem foton yaitu

𝑍=∑𝑛1

∞

∑𝑛2

∞

…∑𝑛3

∞

… {𝑒−𝛽 (𝑛1 𝜀1+𝑛2𝜀2+…+𝑛 𝑟𝜀 𝑟+…) }

¿∑𝑛1

∞

𝑒−𝛽𝑛1 𝜀1∑𝑛2

∞

𝑒− 𝛽𝑛 2𝜀2…∑𝑛3

∞

𝑒−𝛽𝑛𝑟 𝜀𝑟…

¿∏𝑖=1

∞

(∑𝑛1=1∞

𝑒−𝛽𝑛1𝜀1)…………………64¿∏𝑖=1

∞

( 1

1−𝑒−𝛽𝜀1 )

• Populasi rata-rata foton di tingkat energi ke-r

⟨𝑛𝑟 ⟩=∑𝑛1

∞

∑𝑛2

∞

…∑𝑛3

∞

𝑛𝑟… {𝑒−𝛽 (𝑛1𝜀1+…+𝑛𝑟 𝜀𝑟+… ) }

∑𝑛1

∞

∑𝑛 2

∞

…∑𝑛3

∞

… {𝑒−𝛽 (𝑛1𝜀 1+…+𝑛 𝑟𝜀 𝑟+…) }

¿ 1𝑍∑

𝑛1

∞

∑𝑛2

∞

…∑𝑛3

∞

(−1𝛽 𝜕𝜕 𝜀𝑟 )… {𝑒−𝛽 (𝑛1𝜀 1+…+𝑛 𝑟𝜀 𝑟+…) }

¿−1𝛽 𝑍

𝜕 𝑍𝜕 𝜀𝑟

¿−1𝛽𝜕𝑙𝑛𝑍𝜕 𝜀𝑟

Persamaan terakhir ini mudah untuk dievaluasi, mengingat

Maka hanya satu suku yang tidk nol ketika didiferensiasi terhadap yakni suku ke-r. Hasilnya

ln 𝑍=∑𝑖=1

∞

𝑙𝑛( 11−𝑒−𝛽𝜀𝑖 )

¿ 𝑙𝑛( 1

1−𝑒−𝛽 𝜀1 )+𝑙𝑛( 1

1−𝑒−𝛽 𝜀2 )+…+𝑙𝑛( 1

1−𝑒−𝛽 𝜀𝑟 )+…

−1𝛽𝜕𝑙𝑛𝑍𝜕 𝜀𝑟

=−1𝛽

𝜕𝜕 𝜀𝑟

𝑙𝑛( 1

1−𝑒−𝛽𝜀𝑟 )¿ ( 1

1−𝑒−𝛽𝜀 𝑟 )

Dengan demikian, populasi rata-rata foton di tingkat energi ke-r

Contoh 6.3Perhatikan bahwa potensial kimia foton adalah nolPenyelesaian :Penjumlahan logaritma fungsi partisi bagi foton

Digantikan oleh integral, dengan kaitan

Dengan faktor 2 berasal dari dua polarisasi foton. Substitusi integral ini memberikan

Tampak bahwa logaritma fungsi partisi foton tidak bergantung pada foton. Karena itu, menggunakan hubungan (4.64) didapatkan