Download - Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - … dan... · 2017-01-23 · Nilai maksimum dari P = 2x + 3y pada daerah 3x + y 9 , 3x + 2y 12, x 0 dan y 0 adalah A. 6 C. 13 E.

www.purwantowahyudi.com Hal - 1

Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2008

1. Dalam bentuk pangkat positif,2

22

)(

xy

yx =….

A. ( x + y ) ( x – y ) C. ( x – y ) 2 E. - x( x – y )B. - ( x + y ) ( x – y ) D. x ( x – y )

Jawab:

2

22

)(

xy

yx =2

22

)(

1

11

xy

yx

=2

22

22

)(

1

xy

yx

xy

=2

22

)(xy

xy . (xy) 2 = y 2 - x 2 = ( y – x ) ( y + x )

= - (-y+ x) ( y + x )

= - (x -y) ( x + y )

Jawabannya adalah B

2. Jika

5

1

2

15

1

2

1

= a + b 5 , maka a + b = ….

A. 1 C. 3 E. 5B. 2 D. 4

Jawab:

cara 1:

5

1

2

15

1

2

1

=

5

1

2

15

1

2

1

5

1

2

15

1

2

1

=

5

1

4

15

1

5

1

2

1

5

1

2

1

4

1

=

5

1

4

15

1

5

1

4

1

=

20

455

1

20

45

=

20

15

1

20

9

=

20

1520

2059

=520

2059 . 20 =5

2059 = 9 -5

20 = 9 – (5

20 .5

5 )

= 9 -5

520 = 9 - 4 5 = a + b 5 a = 9 ; b = -4

maka a + b = 9 – 4 = 5


cara 2:

5

1

2

15

1

2

1

=

52

2552

25

=52

25 .25

52

=

25

25

=

25

25

.

25

25

=

45

452525

= 9 - 4 5 = a + b 5 a = 9 ; b = -4maka a + b = 9 – 4 = 5

Jawabannya adalah E

3. Garis ax + by + c = 0 melalui titik A( 1,-2 ), B(-5,2), dan C(10,-8). Jika a, b dan c tidakmempunyai factor persekutuan selain 1, maka a + b + c = ….

A. 7 C. 9 E. 11B. 8 D. 10

Jawab:

persamaan garis melalui 2 titik:

12

1

yy

yy

=

12

1

xx

xx

melalui titik A( 1,-2 ) dan B(-5 , 2) :x1 y 1 x 2 y 2

22

2

y =

15

1

x

-6 (y+2) = 4 (x-1) -6y – 12 = 4x – 4 4x – 4 + 6y + 12 = 0 4x + 6y + 8 = 0 dibagi 2 2x + 3y + 4 = 0 didapat a = 2, b=3 dan c = 4

maka a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9

Jawabannya adalah C

bukti lain:

Jika menentukan persamaan garis melalui titik B(-5,2) dan C(10,-8)

28

2

y =

510

5

x


15 (y-2) = -10 (x+ 5) 15y – 30 = -10x – 50 15y – 30+10x +50 = 0 10x + 15y + 20 = 0 dibagi 5 2x + 3y + 4 = 0 didapat a = 2, b=3 dan c = 4 hasilnya sama

4. Parabol: y = 2x 2 - 16x+ 24 memotong sumbu y di titik A, jika garis singgung di titik A padaparabol memotong sumbu x di titik (a,0), maka a = ….

A. -12

1 C. 12

1 E. 22

1

B. -1 D. 2

Jawab:

menentukan titik A:

memotong sumbu y jika x = 0 ,

y = 2x 2 - 16x+ 24= 2 . 0 – 16.0 + 24= 24

titik A adalah ( 0 , 24 )

gradien di titik A:

y ' = 0 dengan x = 0

y ' = 4x – 16dengan x = 0 maka y ' = 4.0 – 16 = -16

persamaan garis di titik A ( 0 , 24 )dengan gradien -16:

rumus persamaan garis singgung: y – y 1 = m ( x - x 1 )

y – 24 = -16 ( x - 0 )y – 24 = -16xy = -16x + 24

memotong sumbu x di titik (a,0):

memotong sumbu x jika y= 0

0 = -16. a + 2416 a = 24


a =16

24 = 12

1

Jawabannya adalah C

5. Persamaan kuadrat x 2 - ax + 1 = 0 mempunyai akar x 1 dan x 2 . Jika persamaan kuadrat

x 2 + px + q = 0, mempunyai akar2

31

x

x dan1

32

x

x , maka p = …

A. -a 4 + 4a 2 - 4 C. a 4 - 4a 2 - 4 E. a 4 + 4a 2 + 4B. -a 4 + 4a 2 - 4 D. a 4 + 4a 2 - 4

Jawab:

ax2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -a

bdan x 1 . x 2 =

a

c

x 2 - ax + 1 = 0 mempunyai akar x 1 dan x 2 maka:

x 1 + x 2 = - (-a) = a ; x 1 . x 2 = 1

x 2 + px + q = 0, mempunyai akar2

31

x

x dan1

32

x

x ;

misal =2

31

x

x dan =1

32

x

x maka

+ = - p

2

31

x

x +1

32

x

x = -p

12

42

41

xx

xx = -p ; x 1 x 2 = 1

x 14 + x 2

4 = - p(x 1

2 + x 22 ) 2 - 2 (x1 x 2 ) 2 = - p

{(x 1 + x 2 ) 2 -2 x 1 x 2 } 2 -2 (x 1 x 2 ) 2 = - p{(a) 2 -2 } 2 -2 (1) 2 = - pa 4 - 4a 2 + 4 – 2 = -pa 4 - 4a 2 + 2= -pp = -a 4 + 4a 2 - 2

Tidak ada jawaban yang tepat


6. Nilai maksimum dari P = 2x + 3y pada daerah 3x + y 9 , 3x + 2y 12, x 0 dan y 0 adalah…..A. 6 C. 13 E. 27B. 12 D. 18

Jawab:

membuat grafik:

daerah:

3x + y 9 3x + y = 9 ….(1)

titik potong dengan sumbu x jika y = 03x + 0 = 9x = 3didapat titik (3, 0)

titik potong dengan sumbu y jika x = 03.0 + y = 9

y = 9

didapat titik (0, 9)

daerah:

3x + 2y 12 3x + 2y = 12 ….(2)

titik potong dengan sumbu x jika y = 03x + 0 = 12x = 4didapat titik (4, 0)

titik potong dengan sumbu y jika x = 03.0 +2y = 12

y = 6

didapat titik (0, 6)

Perpotongan (1) dan (2)

eliminasi x:

3x + y = 93x + 2y = 12 -

- y = -3 y = 33x+ y = 9 3x + 3 = 9

3x = 6x = 2


Didapat titik potong ( 2, 3)

grafiknya sbb:

daerah yang diarsir adalah 3x + y 9 dan 3x + 2y 12

titik pojok P = 2x + 3y

(3, 0) 6(4, 0) 8( 2, 3) 4 + 9 = 13

didapat nilai maksimum adalah 13

Jawabannya adalah C

7. Jika garis g menyinggung kurva y= sin x + cos x di titik yang absisnya 2

1 , maka garis g

memotong sumbu y di titik ….

A. (0, 2

1 ) C. (0, 1 - 2

1 ) E. (0, )

B. (0 , 1) D. (0, 1 + 2

1 )

Jawab:

garis g menyinggung kurva y= sin x + cos x di x = 2

1


y = sin 2

1 + cos 2

1

= 1 + 0= 1

menyinggung kurva di titik ( 2

1 , 1)

gradien di titik ( 2

1 , 1) :

y ' = 0 dengan x = 2

1

y ' = cosx – sinx

dengan x = 2

1 maka y ' = cos 2

1 – sin 2

1 = 0 – 1 = -1

persamaan garis di titik ( 2

1 , 1)dengan gradien -1

y – b = m ( x – a )

y – 1 = -1 ( x – 2

1 )

y – 1 = -x + 2

1

y = -x +1+ 2

1

garis g memotong sumbu y jika x = 0

y = 0 + 1+ 2

1

jadi garis g memotong sumbu y di titik ( 0, 1+ 2

1 )

Jawabannya adalah D

8. Jika sin + cos =2

1 , maka sin 3 + cos 3 = …

A.2

1 C.16

9 E.16

11

B.4

3 D.8

5


Jawab:

sin + cos =2

1 …..(1)

sin 3 + cos 3 = (sin + cos ) 3 - 3 sin cos (sin + cos ) …..(2)

(sin + cos ) 2 =4

1

sin 2 + cos 2 + 2 sin cos =4

1

1 + 2 sin cos =4

1

2 sin cos =4

1 - 1

2 sin cos =4

3

sin cos =8

3 ….(3)

masukkan nilai (1) dan (3) ke persamaan (2) :

sin 3 + cos 3 = (2

1 ) 3 - 3 (8

3 ) (

2

1 )

=8

1 +16

9 =16

92 =16

11

Jawabannya adalah E

9. Jika BC = 16, AC = 10, dan luas ABC = 40 3 , maka AB = …

A. 11 C. 13 E. 15B. 12 D. 14

Jawab:

Cara 1 :A

? 10

B C

16

L ABC =2

1 BC. AC. sin


40 3 =2

1 . 16 . 10 . sin

sin =160

380 =2

13

= 60 0

aturan cosinus:

AB 2 = BC 2 + AC 2 - 2.BC. AC cos = 16 2 + 10 2 - 2.16 . 10. cos 60 0

= 256 + 100 – 320.2

1

= 356 - 160 = 196AB = 196

= 14

Cara 2:

A

? 10

DB C

16

L ABC =2

1 alas x tinggi =2

1 BC. AD

40 3 =2

1 16. AD

AD =16

380 = 5 3

DC = 22 ADAC

= 22 )35(10

= 75100 = 25 = 5

BD = 16 – 5 = 11AB = 22 ADBD

= 22 )35(11

= 75121 = 196 = 14

Jawabannya adalah D


10.xx

xxx cossin

cossin21

4

1lim

=…

A.2

1 C. 1 E. -1

B.2

12 D. 0

Jawab:

Cara 1 : Dengan menggunakan metoda L’Hospital

xx

xxx cossin

cossin21

4

1lim

=xx

xx cossin

2sin1

4

1lim

=xx

xx sincos

2cos2

4

1lim

; pembilang dan penyebut didifferensialkan

=

4

1sin

4

1cos

4

1.2cos2

=

22

12

2

10.2

= 0

Cara 2 : faktorisasi

xx

xxx cossin

cossin21

4

1lim

=xx

xxxxx cossin

cossin2cossin

4

1lim 22

=xx

xxx cossin

)cos(sin

4

1lim 2

= xxx cossin4

1lim

= 22

12

2

1 = 0

Jawabannya adalah D


11.1

43

1

lim

x

xxx

x= ….

A. 6 C. 8 E. 10B. 7 D. 9

Jawab:

hasilnya adalah bentuk tak tentu0

0

gunakan metoda L’Hospital:

1

43

1

lim

x

xxx

x

=1)(

4)(3

1

lim

2

1

2

1

x

xxx

x

=

x

x

xx

x

2

12

3

1

lim

=

12

112

113

=

2

12

113

=2

9 . 2 = 9

Jawabannya adalah D

12.Volum balok terbesar yang luas semua bidang sisinya 96 cm 2 dan alasnya persegi adalah….

A. 54 cm 3 C. 74 cm 3 E. 94 cm 3

B. 64 cm 3 D. 84 cm 3

Jawab:

t

ss

Luas Balok = 2 s 2 + 4 s.t96 = 2 s 2 + 4 s.t

4.s.t = 96 – 2s 2


2st = 48 - s 2

t =s

24 -2

s

Volume balok = s 2 . t

= s 2 .(s

24 -2

s )

= 24s -2

1 s 3

Volum balok terbesar apabila V ' = 0 ;

V ' = 24 -2

3 s 2 = 0

24 =2

3 s 2

s 2 =3

48 = 16

s = 16 = 4

t =s

24 -2

s =4

24 -2

4 = 6 – 2 = 4

Volume balok terbesar = s 2 . t = 4 2 . 4 = 16 .4 = 64 cm 3

Jawabannya adalah B

13.Nilai minimum dari fungsi y = (x-3) x adalah….

A. -2 C. 0 E. 2B. -1 D. 1

Jawab:

nilai minimum jika y ' = 0

y = u. v y ' = u ' v + v ' u

u = (x-3) ; v = x

y ' = x + (x-3)x2

1 = 0

x = -x

x

2

)3(

x =x

x

2

3


2x = 3 – x3x = 3

x = 1

titik minimum di x = 1

y = (x-3) x

= (1-3) 1 = -2

Jawabannya adalah A

14.Turunan pertama dari fungsi y =xx

xx

sincos

sincos

adalah….

A.2)sin(cos

1

xx C.

2)sin(cos

3

xx E.

22 sincos

2

xx

B.2)sin(cos

2

xx D.

22 sincos

1

xx

Jawab:

y =v

u y ' =

2

''

v

uvvu

u = cos x – sin x u ' = -sinx – cosx = -(sin x + cos x)v = cos x + sin x v ' = -sin x + cos x = cos x – sin x

y ' =2)sin(cos

)sin)(cossin(cos)cos)(sincos(sin

xx

xxxxxxxx

=2

22

)sin(cos

)sin(cos)cos(sin

xx

xxxx

=2

2222

)sin(cos

)cossin2sin(cos)cossin2cos(sin

xx

xxxxxxxx

=2)sin(cos

)cossin21()cossin21(

xx

xxxx

=

2)sin(cos

)cossin21cossin21

xx

xxxx

=2)sin(cos

2

xx

Jawabannya adalah E


15.Nilai x yang memenuhi persamaan `8

43 5 x

`=122

1x adalah…..

A. -4 C. -2

1 E. 2

B. -1 D.4

1

Jawab:

8

43 5 x

`=122

1x

3

3 )5(2

2

2 x

`= 2 12 x

33

210

2.2 x

`= 2 12 x

.2 3

2910 x

`= 2 12 x

3

21 x = -2x – 1

1 – 2x = -6x – 3-2x+ 6x = -1 – 3

4x = - 4x = - 1

Jawabannya adalah B

16.Jika 7 log 2 = a dan 2 log 3 = b, maka 6 log 98 = ….

A.ba

a

C.

)1(

2

ba

a E.)1(

2

ab

a

B.1

2

b

a D.2

1

b

a

Jawab:

6 log 98 =6log

98log2

2

=3.2log

49.2log2

2

=3log2log

7log2log22

222

=b

1

7log.21 2

=b

1

2log

21

7

=ba

1

21

=b

a

a

1

2

=)1(

2

ba

a

Jawabannya adalah C


17.Adi selalu membelanjakan3

1 bagian dari uang yang masih dimilikinya dan ia tidak mempunyai

penghasilan lagi. Jika pada saat belanja terakhir sisanya kurang dari243

32 uang semula, maka

Adi paling sedikit sudah membelanjakan uangnya,,,,

A. 4 kali C. 7 kali E. 14 kaliB. 5 kali D. 10 kali

Jawab:

misal:uang yang masih dimiliki adalah x :

Pengeluaran untuk belanja pertama :3

1 x maka sisa uangnya x -3

1 x =3

2 x

Pengeluaran untuk belanja kedua :3

1

3

2 x =9

2 x maka sisa uangnya:

3

2 x -9

2 x =9

26 x =9

4 x

Pengeluaran untuk belanja ketiga :3

1

9

4 x =27

4 x maka sisa uangnya:

9

4 x -27

4 x =27

412 x =27

8 x

cara 1:

terlihat bahwa sisa setiap belanja dapat dirumuskan dengan : (3

2 ) n x

saat belanja terakhir sisanya kurang dari243

32 uang semula =243

32 . x

(3

2 ) n x =243

32 . x

(3

2 ) n =243

32

(3

2 ) n = (3

2 ) 5

didapat n = 5

Cara 2:Sisa belanja membentuk baisan geometri:

3

2 x,9

4 x,27

8 x, …

a =3

2 x ; r =x

x

3

29

4

=3

2


U n = ar 1n

U n = sisa belanja terakhir =243

32 . x

243

32 . x =3

2 x . (3

2 ) 1n

243

32 =3

2 . (3

2 ) 1n

243

32 = (3

2 ) n

(3

2 ) 5 = (3

2 ) n

n = 5

Jawabannya adalah B

18.Jika 2p + q, 6p + q dan 14p + q adalah tiga suku deret geometri yang berurutan, maka rasioderetnya adalah….

A.2

1 C.3

2 E. 3

B.3

1 D. 2

Jawab:

Deret geometri:

2p + q, 6p + q , 14p + q

r =1n

n

U

U=

qp

qp

2

6 =qp

qp

6

14

r =qpqp

qpqp

62

146

=p

p

4

8

= 2

Jawabannya adalah D


19.Jumlah n suku pertama deret:5 log

a

1 + 5 loga

b + 5 loga

b2

+ ….

adalah…..

A. 5 logn

nn

a

b 21)(

C. 5 log2

21 )(n

nn

a

b

E. 5 logn

nn

a

b2

2)(

B. 5 log2

2)(n

nn

a

b D. 5 logn

nn

a

b2

21)(

Jawab:

Deret merupakan deret aritmetika :

beda = U n - U 1n

= 5 loga

b - 5 loga

1 = 5 loga

b2

- 5 loga

b

= 5 log

a

a

b

1= 5 log

a

ba

b 2

= 5 log b = 5 log b

U 1 = 5 loga

1

S n =2

n(2a +(n-1) b)

=2

n(2 U 1 +(n-1) b)

=2

n(2 5 log

a

1+(n-1) 5 log b)

=2

n( 5 log (

a

1) 2 + 5 log b 1n )

=2

n( 5 log (

a

1) 2 . b 1n )


=2

n( 5 log

2

1

a

bn

)

= 5 log (2

1

a

bn

) 2

n

= 5 log22

21

)(

)(n

nn

a

b

= 5 logn

nn

a

b 21)(

Jawabannya adalah A

20.Jika P =

12

11dan I =

10

01, maka -p 4 + 2p 3 + 3p 2 + 4 I = ….

A. - P C. 2P E. IB. P D. – 2P

Jawab:

P =

12

11; I =

10

01

P 2 = P . P =

12

11.

12

11=

)1)(1()1(22).1(1.2

)1).(1()1.(12).1(1.1=

10

01= -

10

01= - I

P 3 = P 2 .P =

10

01.

12

11=

12

11= -

12

11= - P

P 4 = P 3 .P =

12

11.

12

11=

10

01= I

-p 4 + 2p 3 + 3p 2 + 4 I = - I + 2 (-P)+ 3 (-I)+ 4 I= - I – 2P – 3 I + 4 I = -2P

Jawabannya adalah D

21.Transpos dari matriks A ditulis A T . Jika matriks A =

02

21, B =

32

12, dan X memenuhi

A T = B + X, maka invers dari X adalah…..

A.7

1

14

13C.

4

1

34

11E.

2

1

24

11

B.3

1

34

11D.

9

1

31

21


Jawab:

A =

02

21 A T =

02

21

X =

dc

ba

A T = B + X

02

21=

32

12+

dc

ba

dc

ba=

02

21-

32

12

a = 1 – 2 = -1b = -2 – (-1) = -1c = 2 – (-2) = 4d = 0 – 3 = -3

X =

dc

ba=

34

11

X 1 =bcad

1

ac

bd=

)4(3.

1

14

13=

7.

1

14

13

Jawabannya adalah A

22.Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, peluang munculnya dua mata dadu tidaklebih dari 6 adalah…..

A.18

5 C.12

5 E.3

2

B.3

1 D.2

1

Jawab:

P(A) =)(

)(

Sn

An

p(A) = peluang kejadiann(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)


jumlah kemungkinan mata dadu tidak berjumlah lebih dari enam terlihat pada tabel di atasberjumlah = 15 = n(A)

n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 6 x 6 = 36

P(A) =)(

)(

Sn

An =36

15 =12

5

Jawabannya adalah C

23.Dari tabel hasil ujian matematika di bawah, jika nilai rata-ratanya adalah 6, maka x = ….

A. 0 C. 10 E. 20B. 5 D. 15

Jawab:

Rata-rata = x =

f

fx=

10704020

10.108.6.705.404.20

x

x=

x

x

140

.8800= 6

6 (140+x) = 800 + 8x840 + 6x = 800 + 8x840 – 800 = 8 x – 6x

40 = 2xx = 20

Jawabannya adalah E

24.Persamaan kuadrat x 2 - 6x + a = 0 mempunyai akar x 1 dan x 2 . Jika x 1 , x 2 dan x 1 + x 2 adalahtiga suku pertama deret aritmetika, maka konstanta a = ….

A. 2 C. 6 E. 10B. 4 D. 8

Jawab:

x 2 - 6x + a = 0

x 1 + x 2 = -1

6 = 6 x1 = 6 - x 2

x 1 . x 2 =1

a = a

Nilai Ujian 4 5 6 8 10Frekuensi 20 40 70 x 10


Tiga suku pertama deret aritmetika:

x 1 , x 2 , x 1 + x 2

beda deret = x 1 + x 2 - x 2 = x 2 - x 1

x 1 = x 2 - x 1

2 x1 = x 2 ; x 1 = 6 - x 2

2(6 - x 2 ) = x 2

12 - 2 x 2 = x 2

12 = 3 x 2

x 2 = 4x 1 = 6 - x 2 = 6 – 4 = 2

a = x 1 . x 2 = 2 . 4 = 8

Jawabannya adalah D

25.Deret geometri tak hingga : (log(x-5)) 2 + (log(x-5)) 3 + (log(x-5)) 4 + …..Mempunyai jumlah untuk x yang memenuhi…..

A. -1 <x < 1 C. 5 <x < 6 E. 5,1 <x < 15B. 4 <x < 6 D. 5,1 <x < 6

Jawab:

Rasio deret (r) =1

2

U

U =1n

n

U

U=

4

3

))5(log(

))5(log(

x

x = log(x-5)

Syarat deret tak hingga mempunyai nilai (konvergen) bila :

|r| < 1 atau -1 < r < 1

Sehingga

-1<log(x-5)<1 log 10 1 < log(x-5)<log 10 10 1 < x-5< 10 0,1 < x-5< 10 0,1+ 5 < x< 10 +5 5,1 < x< 15

Jawabannya adalah E