Soal dan Pembahasan OSN Astronomi 2018
M.IKHSAN KUSRACHMANSYAH
Halo pejuang OSN dimanapun kalian berada. Disini aku mau bagi soal dan solusi OSN astronomi
2018 versiku, jadi ngga ada jaminan kalau solusi ini 100% benar. Solusi ini sudah sekali di revisi, tapi tidak
menutup kemungkinan ada revisi lagi. Misalkan kalian menemukan kesalahan di solusi ini silahkan
hubungi aku dengan DM di ig (@muh.ikhsan.k).
1. Selama perjalanan hidupnya, bintang akan menghabiskan sebagian besar wakktunya pada fase
evolusi yang disebut Deret Utama (DU). Untuk Matahari, usia selama di DU ini diperkirakan
mencapai 1010 tahun. Selama proses evolusinya, bintang juga akan mengalami kehilangan massa.
Jika diketahui sebuah bintang dengan massa, radius, dan temperatur efektif masing-masing
sebesar 4,5 πΚ, 2,25 π Κ, dan 3 ππππ,Κ. Hitunglah berapa persen massa yang hilang selama
bintang tersebut berada di DU terhadap massanya saat tersebut. Gunakan hubungan massa-
luminositas bintang selama di DU di mana luminositas sebanding dengan massa pangkat 3,5.
Solusi :
Umur bintang di DU memenuhi dua persamaan dibawah:
βπ‘ =βππ2
πΏ (1)
βπ‘ βπ
πΏβ
1
π2.5 (2)
Bandingkan persamaan (2) dengan βπ‘Κ
βπ‘
βπ‘Κ= (
πΚ
π)
2.5 βπ‘ = (
πΚ
π)
2.5βπ‘Κ
Dari persamaan (1)
βπ =πΏβπ‘
π2 dimana πΏ = (π
π Κ)
2(
π
πΚ)
4πΏΚ
Maka
βπ
π= (
π
π Κ)
2(
π
πΚ)
4(
πΚ
π)
2.5 βπ‘ΚπΏΚ
ππ2
β΄βπ
π = 1,44Γ 10β3 =0,144 %
2. Matahari dan bintang-bintang lain di Galaksi Bima Sakti bergerak mengelilingi pusat galaksi
dengan kurva rotasi seperti di Gambar 1.
Radius galaktrosentrik (kpc)
Gambar 1: Kurva rotasi bintang-bintang di Galaksi Bima Sakti
Diketahui jarak dari Matahari ke pusat galaksi adalah 8,5 kpc dan Matahari berada di piringan
galaksi. Sebuah bintang tetangga memiliki koordinat galaksi (β, π) = (35Β°, 0,002Β°) dan kecepatan
radial bintang (heliosentrik) adalah 8 km/detik.
a. Buatlah sketsa posisi Matahari, bintang, dan pusat galaksi. Gambarkan pula vektor kecepatan
radial bintang tersebut.
Solusi:
karena lintang galaktik kecil, anggap bintang berada sebidang dengan matahari di dalam
sketsa
Κ = posisi matahari
S = posisi bintang
O = posisi pusat galaksi
Vektor kecepatan radial ( bergaris merah)
O οΏ½βοΏ½π = οΏ½βοΏ½π β οΏ½βοΏ½πΚ
Ke
cep
atan
Ro
tasi
(km
/s)
b. Tentukan kecepatan sudut bintang mengelilingi pusat galaksi dalam satuan km/detik/kpc
solusi:
Dari soal (a)
π£π = π£π β π£πΚ =π£ cos πΌ β π£Κ sin β (1)
Dari βπΚπ, didapat: cos πΌ =π Κ
π sin β
Persamaan (1) dapat ditulis kembali:
π£π = π£π Κ
π sin β β π£Κ sin β = ππ Κ sin β β π£Κ sin β
π =π£π+π£Κ sin β
π Κ sin β ; π£Κ = 230 ππ/π
β΄ π = 28,7ππ
π /πππ
c. Tentukan jarak dari Matahari ke bintang tersebut dalam satuan kpc. Tentukan pula jarak
bintang tersebut dari bidang galaksi dalam satuan pc
Solusi:
Dari sketsa di soal (a), jarak minimum bintang yang mungkin dari pusat galakasi adalah
π πππ = π Κ sin β = 4,88 πππ
Maka dapat kita simpulkan jarak bintang tersebut dari pusat galaksi dalam rentang
4,88 πππ β€ π β€ 8,5 πππ. Tetapi, mengingat objek yang diamati adalah bintang maka
seharusnya jaraknya dekat dengan matahari karena bintang yg jauh jaraknya tidak akan
teramati karena banyaknya absorbsi oleh MAB di piringan galaksi.
Dari gambar (1) dan dari rentang jarak kita bisa tahu bahwa kecepatan bintang π£ =
(225 Β± 5)ππ/π , maka:
π =π£
π ; dan ketidakpastiannya βπ =
βπ£
π
Jarak bintang dari pusat galaksi :
π Β± βπ = (7.84 Β± 0.17)πππ
Jarak bintang ke matahari (π) adalah
π 2 = π Κ2 + π2 β 2π Κπ cos β
Karena jaraknya dekat dengan matahari
π =2π Κ cos βββ(2π Κ cos β)2β4(π Κ
2 βπ 2)
2
π = π Κ cos β β β(π Κ cos β)2 β (π Κ2 β π 2)
π = 0,823 πππ β 0,82 πππ
Turunkan parsial untuk mendapatkan errornya
βπ =π βπ
β(π Κ cos β)2β(π Κ2 βπ 2)
=0,217β 0,22 πππ
β΄Jarak bintang ke matahari adalah (0,82 Β± 0.22) πππ
Jarak bintang dari bidang galaksi β
β = π tan π
β =0,029 pc
errronya:
ββ = βπ tan π
ββ = 0,008 ππ
β΄jarak bintang dari bidang galaksi adalah(0,029 Β± 0,008) ππ
3. Efisiensi kuantum suatu detektor astronomi ialah perbandingan antara jumlah foton yang
dideteksi terhadap jumlah foton yang diterima. Diketahui diameter bukaan mata saat gelap,
waktu integrasi, dan efisiensi kuantum mata manusia masing-masing adalah 7 mm, 100 milidetik,
dan 10%. Dengan kemampuan ini, limit magnitudo untuk mata manusia adalah 6 magnitudo.
Tentukanlah limit magnitudo hasil fotografi dengan waktu integrasi 1 jam, menggunakan teleskop
dengan diameter 1 meter dilengkapi emulsi fotografi dengan efisiensi kuantum 2% sebagai
detektor. Asumsikan derau (noise) pengamatan dapat diabaikan.
Solusi:
Jika kita mendefinisikan flux density yang terdeteksi sebagai π, maka:
π βπ
π΄ π‘ ; π =kuantum efisiensi ; π΄ =area ;π‘ =waktu integrasi
ππππππ‘ β ππππππ‘ πππ‘π = β2.5 log (ππππ‘ππππππ
ππππ‘π) = β2.5 log ([
π·πππ‘π
π·π‘ππππ πππ]
2π‘πππ‘π
π‘πππ‘ππππππ
ππππ‘πππ‘ππ
ππππ‘π)
β΄ ππππππ‘ = 29,9 mag
4. Dalam sistem magnitude UBV, rumus Pogson untuk masing-masing magnitudo mengandung titik
nol. Jika diketahui titik nol filter π (π = 5500 Γ , lebar pita = 1000 Γ ) adalah ππ£ = β38,53,
tentukan daya total yang dikumpulkan sebuah teleskop dengan diameter 10 cm dari bintang
dengan magnitudo visual π = 3,0 mag.
Solusi:
Persamaan pogson
π = β2.5 log π + ππ£ (1)
Titik nol
0 = β2.5 log πΈ0 β 38,53 (2)
πΈ0 = 10(β
38,53
2.5) π€ππ‘π‘/(π2Γ )
π0 = πΈ0 Γ βΞ» = 10(β
38,53
2.5) π€ππ‘π‘/(π2Γ ) Γ 1000 Γ (3)
Dari persamaan (1),(2), dan (3)
π = β2.5 logπ
π0
π = π0 Γ 10βπ
2.5
Daya total yang dikumpulkan teleskop
πΏ = π Γ π΄πππ = π Γππ·2
4= 1,91 Γ 10β16 π€ππ‘π‘
β΄ πΏ = 1,91 Γ 10β16 π€ππ‘π‘
5. Diketahui rerata diameter sudut Bulan dan Matahari adalah 32β dan sudut refraksi di atmosfer
Bumi dekat horizon adalah 34β. Paralaks horizon untuk bulan adalah 57β dan untuk matahari
adalah 8β. Secara prinsip, jarak zenith untuk syarat terbenamnya Matahari, Bulan, dan bintang
dapat ditentukan berdasarkan tiga besaran tersebut. Dengan merujuk pada kombinasi variasi
posisi Bumi di perihelion dan aphelion serta variasi posisi Bulan di perigee dan apogee, hitunglah
variasi nilai jarak zenith untuk syarat terbenamnya Matahari, Bulan, dan bintang.
solusi:
variasi posisi Bumi di perihelion dan aphelion serta variasi posisi Bulan di perigee dan
apogee berpengaruh besar terhadap diameter sudut keduanya, paralaks horizon juga
terpengaruh tetapi kecil jadi kita dapat mengabaikannya
sketsa kombinasi ketiga efek:
dari sketsa, dan jika π =paralaks horizon
sin πβ²
π =
sin π§
π sin πβ² =
π sin π§
π= sin π sin π§ (1)
π§ = π§β² + πβ² πβ² = π§ β π§β² = βπ§
π§ = 90Β°+β ; β=πΏ
2+ π ;πΏ = ππππππ‘ππ π π’ππ’π‘ ;π = π π’ππ’π‘ πππππππ π
dari persamaan (1) bisa kita tuliskan variasi jarak zenith:
sin βπ§ = sin π cos(πΏ
2+ π)
βπ§ = sinβ1 [sin π cos(πΏ
2+ π)]
diameter sudut
πΏ β1
π πΏπ =
οΏ½Μ οΏ½
πππΏΜ ; πΏπ =
οΏ½Μ οΏ½
πππΏΜ
variasi untuk kasus perihelion, πΏππππβπππππ =οΏ½Μ οΏ½
πππππβππππππΏΜ =
1
0.983284332β²
β΄ βπ§ππππβπππππ = (2.221984618 Γ 10β3)Β°
kasus aphelion dengan cara yang sama
β΄ βπ§ππβπππππ = (2.221989646 Γ 10β3)Β°
kasus perigee
β΄ βπ§πππππππ = (0.9498946003)Β°
kasus apogee
β΄ βπ§ππππππ = (0.9499029364)Β°
kasus bintang, paralaks horizon bintang kecil sehingga
β΄ βπ§ππππ‘πππ=0
6. Sebuah elektron sinar kosmik bermassa ππ bergerak dengan kecepatan π£π = 0,8 π dan secara
horizontal menumbuk partikel debu bermassa ππ di permukaan Bulan. Elektron kemudian
melekat pada materi debu. Tentukan massa dan kecepatan debu setelah tumbukan. Apakah debu
berpindah dari kedudukan semula? Asumsikan bahwa gesekan debu dengan permukaan Bulan
diabaikan.
Solusi:
Karena elektron melekat pada partikel debu setelah tumbukan, maka energinya tidak kekal (ada
yang terbuang). Jika π =πΈππβππ
πΈππ€ππ
persamaan energy
πΎπππ2 + πππ2 = ππΎβ²(ππ + ππ)π2
πΎππ + ππ = ππΎβ²(ππ + ππ) ππ(ππΎβ² β 1) = ππ(πΎ β ππΎβ²)
ππ =ππ(πΎβππΎβ²)
(ππΎβ²β1) (1)
Kekekalan momentum
πΎπππ£π = πΎβ²(ππ + ππ)π£β² πΎπππ£π
πΎβ²π£β² β ππ = ππ (2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat: πΎπ£π
πΎβ²π£β² β 1 =(πΎβππΎβ²)
(ππΎβ²β1)
1
πΎβ²π£π
1
πΎπ£β²
β 1 =(
1
πΎβ²β
π
πΎ)
(π
πΎβ
1
πΎπΎβ²)
1
πΎβ²π£π
π£β² β1
πΎ=
(1
πΎβ²β
π
πΎ)
(πβ1
πΎβ²)
π
πΎβ²π£π
π£β² βπ
πΎβ
1
πΎβ²2π£π
π£β² +1
πΎπΎβ²= (
1
πΎβ²β
π
πΎ)
π
πΎβ²π£π
π£β² β
1
πΎβ²2π£π
π£β² +1
πΎπΎβ²=
1
πΎβ²
ππ£π
π£β²β1 β
π£β²2
π2 βπ£π
π£β² (1 βπ£β²2
π2 ) + β(1 βπ£β²2
π2 ) (1 βπ£π
2
π2) = β1 βπ£β²2
π2
Sederhanakan menjadi:
β1 βπ£β²2
π2 [ππ£π
π£β²+ β1 β
π£π2
π2 β 1] + (1 βπ£β²2
π2 ) [βπ£π
π£β²] = 0 (3)
Jika kita masukan π£π = 0,8 π dan kita nyatakan π£β² dalam π maka, persamaan (3)
menjadi:
β1 β π£β²2 [π0,8
π£β²+ 0,6 β 1] + (1 β π£β²2) [β
0,8
π£β²] = 0
Kita iterasikan untuk mendapat nilai π£β², tetapi untuk mengiterasikan persamaan
tersebut kita harus tau nilai dari π. Karena kita tidak tahu maka kita harus
mengasumsikan nilai π sehingga jawaban π£β² akan bervariasi tergantung asumsi nilai π,
maka saya tuliskan:
π£β² = π₯ π
β΄kecepatan debu setelah tumbukan adalah π₯ π
Masukan kecepatan debu ke persamaan (1) didapat:
ππ =ππ(πΎβππΎβ²)
(ππΎβ²β1)= π¦ ππ
Masukan kecepatan debu ke persamaan (2) didapat:
ππ =πΎπππ£π
πΎβ²π£β² β ππ = π¦ ππ
(SOAL KURANG LENGKAP, MAKA JAWABAN AKHIR AKAN TERGANTUNG DARI ASUMSI
BERAPA NILAI πΌ)
7. Sebuah spektograf masa depan yang ditempatkan pada teleskop ruang angkasa memiliki resolusi
spektral sebesar 108. Salah satu target ilmiah dari instrumen ini adalah pencarian eksoplanet yang
seukuran dengan Bumi. Hitunglah berapa massa minimum bintang target, yang memiliki planet
dengan massa, albedo, dan temperatur mirip Bumi pada daerah layak huni, yang dapat dideteksi
oleh instrumen tersebut. Asumsikan hubungan massa dengan luminositas untuk bintang deret
utama masa kecil adalah πΏ~π4.
Solusi:
Temperatur planet (ππ) dapat dituliskan dalam persamaan: πΏ
4ππ2 ππ π2 Γ (1 β π΄) = 4ππ π
2πππ4 (1)
Karena temperatur dan albedo mirip bumi (ππ = ππΈ πππ π΄ = π΄πΈ), maka persamaan (1)
dapat ditulis lagi :
πΏ
πΏΚ= (
π
ππΈ)
2= (
ππ
πΚ)
4 ; ππΈ = 1 ππ΄
π = (ππ
πΚ)
2ππΈ (2)
Resolusi spektral didefenisikan sebagai
π π =π
βπ (3)
Jika asumsi orbit bintang lingkaran, dengan π£π = πππππππ‘ππ ππππ‘πππ, π£π =
πππππππ‘ππ ππππππ‘ ,dan π = ππ + ππ maka:
ππππ = ππ ππ (4)
π£π =2πππ
π (5)
π3
π2 =πΊ(ππ+ππ )
4π2 (6)
Dari persamaan (4),(5),dan (6) didapat:
π£π = βπΊππ
2
(ππ +ππ)π (7)
Dari persamaan (3) dan (7), dimana ππ = ππΈ =massa bumi
βπ
π=
π£π
π π£π =
βπ
ππ = β
πΊππ2
(ππ +ππ)π
π =πΊππ
2
(ππ +ππ)(
π
βππ)
2=
πΊππ2
(ππ +ππ)(
π π
π)
2 (8)
Dari persamaan (2) dan (8) didapat :
(ππ
πΚ)
2ππΈ =
πΊππ2
(ππ +ππ)(
π π
π)
2β
πΊππ2
ππ (
π π
π)
2
ππ = [πΊππ
2
ππΈ (
π π
π)
2
πΚ2 ]
1
3
β΄ ππ = 0.1 πΚ
8. Ilmuwan Persia yang bernama Abu Reyhan Al-Biruni (973-1048 CE) telah berhasil menghitung
radius Bumi dengan cara yang berbeda dengan yang pernah dilakukan oleh matematikawan
Yunani bernama Erastosthenes (276-194 BCE). Metode baru ini dinamakan sebagai metode Al-
Biruni. Perhitungan radius Bumi dengan metode ini memerlukan puncak sebuah gunung dengan
tinggi β, yang terisolir dan dikelilingi oleh bidang datar. Sudut π1 dan π2 pada titik-titik 1 dan 2
dari cakrawala ke puncak gunung diukur dengan alat kuadran. Jarak π antara titik 1 dan 2 juga
diukur (lihat Gambar 2)
Gambar 2: Skema penentuan radius Bumi dengan metode Al-Biruni
a. Jelaskan cara menghitung tinggi gunung β dengan pengukuran menurut gambar di atas!
Solusi:
β = π₯1 tan π1 ; β = π₯2 tan π2
π = π₯1 β π₯2 = β (1
tan π1β
1
tan π2)
β΄ β =π
(1
tan π1β
1
tan π2)
b. Seorang pengamat memanjat puncak gunung dan mengukur sudut penurunan cakrawala πΌ
(besar sudut antara cakrawala pengamat di puncak gunung dengan cakrawala benar di
permukaan Bumi). Saat dia berada di tepi pantai, arah cakrawala akan sama dengan arah
pandangan mata lurus dengan dan badan tegak. Namun, bila dia berada di tempat tinggi, dia
tidak hanya melihat lebih jauh, tapi juga arah cakrawala akan tampak turun dan berada di
bawah arah pandangan mata tegak lurus badan. Semakin tinggi posisi pengamat, semakin
turun arah cakrawala ini. Jelaskan metode Al Biruni dalam mengukur radius bumi setelah
menghitung tinggi gunung β dan mengukur sudut penurunan cakrawala πΌ. Buat sketsa
geometri dari gunung, sudut penurunan cakrawala, dan radius Bumi.
Solusi :
Dari sketsa di samping:
cos πΌ =π
π +β
1
cos πΌ= 1 +
β
π
Maka radius bumi adalah:
β΄ π =β
1
cos πΌβ1
c. Diketahui bahwa radius Bumi yang dihitung oleh Al-Biruni adalah 6336 km, yang hanya
berbeda 35 km dari nilai modern. Faktor penting apa yang perlu diperhatikan agar didapat
hasil pengukuran yang akurat?
Solusi:
Faktor penting yang perlu diperhatikan adalah koreksi refraksi atmosfer, besar kecilnya sudut
cakrawala juga dipengaruhi oleh refraksi atmosfer selain oleh ketinggian pengamat.
9. Pada Gambar 3, elemen massa π berada pada jarak π dari pusat bintang berotasi, atau pada jarak
π sin π dari sumbu rotasi. Total gaya yang bekerja pada π adalah
β π = ππ
ππππππππ + ππΊπππ£ππ‘ππ π = βππ2βββ (1)
Dengan π dan βββ masing-masing adalah kecepatan sudut dan vektor jarak dari sumbu rotasi. Jika
π adalah tekanan, komponen tekanan dapat dinyatakan
ππππππππ = βπβπ = βπ
πβπ (2)
Dengan π dan π masing-masing adalah volume massa π dan rapat massa.
Gambar 3: Elemen massa π pada bintang berotasi
Untuk dua komponen gaya gerak,
ππΊπππ£ππ‘ππ π + ππ2βββ = βπΊππ
π2 οΏ½ΜοΏ½ + ππ2βββ = βπβπΉ (3)
Dengan πΉ adalah potensial gravitasi yang memenuhi
πΉ = βπΊπ
ππ= ππππ π‘ππ
Setelah integrasi, persamaan tersebut dapat dituliskan ringkas menjadi
βπΊπ
ππ= β
πΊπ
πβ
1
2π2π2 sin2 π
atau
1
π=
1
ππβ
π2π2 sin2 π
2πΊπ (4)
Persamaan (4) dapat dipandang ebagai persoalan akar dari persamaan fungsi
π(π) =π
ππβ
π2π3 sin2 π
2πΊπβ 1 = 0 (5)
Untuk wilayah ekuatorial (π = 90Β°), persamaan akar menjadi
π(π) =π
ππβ
π2π3
2πΊπβ 1 = 0 (6)
Atau
π =π2π3ππ
2πΊπ+ ππ (7)
Secara komputasional, persamaan (7) dapat ditulis menjadi:
ππ+1 =π2ππ
2πΊπππ
3 + ππ (8)
Berdasarkan persamaan-persamaan tersebut, solusi untuk π dapat diperoleh dengan
mengerjakan perhitungan berulang (iteratif) dengan menggunakan algoritma sepuluh langkah di
bawah ini hingga galat (error,β) kurang dari nilai βπ π‘ππ yang diberikan.( tandaβ dibaca: βdiisi
dengan nilaiβ)
a. Mulai
b. Galat pemberhentian (dalam persen): βπ π‘ππβ 0,2
c. π β 0
d. ππ β 0
e. Hitung ππ+1 dari persamaan (8)
f. Hitung galat (dalam persen): ββ 100 Γ |ππ+1βππ
ππ+1|
g. π β π + 1
h. ππ β ππ+1 i. Bila ββ₯βπ π‘ππ kembali ke (e)
j. selesai
kerjakanlah intruksi di algoritma tersebut dengan menggunakan nilai-nilai parameter berikut
untuk bintang serupa matahari
π = 0,3 βπππ = 25920 πππ‘ππ
π =2π
π= 0,0002424068 ππππππ/πππ‘ππ
ππ = 695000 ππ = 6,95 Γ 108 π
Solusi:
Dengan menggunakan persamaan (8), didapat data seperti di tabel:
π ππ(meter) ππ+1(meter) β(persen)
0 0 695000000 100
1 695000000 746614289.4 6.91
2 746614289.4 758988868.7 1.63
3 758988868.7 762223598.8 0.42
4 762223598.8 763086766.7 0.11
β΄ nilai π menurut iterasi di atas adalah 763086766.7 meter
10. Pulsar PSR 1257+12 terdiri atas sebuah bintang neutron dan sebuah planet. Planet mengorbit
lingkaran dekat bintang induk. Bintang neutron memancarkan pulsasi sinar-X setiap 0,062 detik,
sedangkan planet mengorbit setiap 66,54 hari. Inklinasi orbit adalah 53Β°. Kecepatan orbital planet
adalah 59 km/detik, dan untuk bintang neutron adalah 4,35 Γ 10β4ππ/πππ‘ππ. Tentukan massa
kedua objek tersebut.
Solusi :
Dari gambar:
π£π =2πππ
π ; π£π =
2πππ
π (1)
(π£π + π£π) =2π(ππ+ππ)
π=
2ππ
π (2)
Dari hukum keppler dan persamaan (2):
π3
π2 =πΊ(ππ+ππ)
4π2 =(π£π+π£π)
3π
8π3
(ππ + ππ) =(π£π+π£π)
3π
2ππΊ (3)
Dengan mengingat ππππ = ππππ, maka dari persamaan (1) didapat πππ£π = πππ£π, sehingga:
ππ =π£π
(π£π+π£π)(ππ + ππ) =
π£π
(π£π+π£π)
(π£π+π£π)3
π
2ππΊ
ππ =π£π(π£π+π£π)
2π
2ππΊ
ππ =π£π(π£π+π£π)
2π
2ππΊ
Dengan memasukan π£π = 59 ππ/πππ‘ππ; π£π = 4,35 Γ 10β4 ππ/πππ‘ππ; π = ππ = ππ =66,54
hari, didapat:
β΄ ππ = 2.82 Γ 1030ππ
β΄ ππ = 2.08 Γ 1025ππ
Top Related