RELASIRELASI
Matematika DiskritMatematika Diskrit
Matematika Diskrit 2
Definisi• Relasi (binair) R dari himpunan X ke himpunan Y
adalah sebuah subhimpunan dari hasil kali Cartesius X x Y.
• Notasi :Jika (x,y) ∈ R maka :
x R y x relasi dengan y• Daerah asal (domain) dari R :
{x ∈ X | (x,y) ∈ R untuk beberapa y ∈ Y}• Daerah hasil (range) dari R :
{y ∈ Y | (x,y) ∈ R untuk beberapa x ∈ X}
Matematika Diskrit 3
Contoh 1
• X = {Nani, Rianti, Dudi, Ivan, Candra}
• Y = { Teknik Informatika, Matematika, Manajemen Informatika, Teknik Sipil}
• R = {(Nani, Teknik Informatika), (Rianti, Matematika), (Dudi, Manajemen Informatika), (Ivan, Manajemen Informatika), (Candra, Teknik Sipil)}
X Y
Nani T. Informatika
Rianti Matematika
Dudi Manaj. Informatika
Ivan Manaj. Informatika
Candra T. Sipil
Matematika Diskrit 4
Pasangan terurut dalam relasi R
Matematika Diskrit 5
Contoh 2• X = {2,3,4}• Y = { 3,4,5,6,7}• R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
X Y2 42 63 33 64 4
• Domain dari R = {2,3,4}
• Range dari R = { 3,4, 6}
Matematika Diskrit 6
Digraf
• Cara informatif untuk menggambarkan sebuah relasi pada sebuah himpunan
• Memiliki : vertex (ujung) directed edge
(rusuk berarah)
Matematika Diskrit 7
Sifat-sifat Relasi
• Refleksif• Anti refleksif• Simetris• Antisimetris• Transitif • Non transitif
Matematika Diskrit 8
• Relasi R pada himpunan X disebut refleksif jika (x,x) ∈ R untuk setiap x ∈ X
• Digraf dari refleksif mempunyai sebuah loop pada setiap ujungnya.
• Contoh :X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(2,2),(2,3), (2,4),(3,3),(3,4), (4,4)}
Refleksif
Matematika Diskrit 9
Tidak Refleksif• Salah satu atau lebih vertex
tidak mempunyai loop• Contoh :
X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}
Matematika Diskrit 10
Simetris• Relasi R pada himpunan X disebut
simetris jika untuk semua x, y ∈ X, jika (x,y) ∈ R maka (y,x) ∈ R
• Digraf dari relasi simetris mempunyai sifat bahwa terdapat rusuk berarah dari v ke w, maka juga terdapat rusuk berarah dari w ke v
Matematika Diskrit 11
Simetris (Cont.)• Contoh :
X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}
(2,3) di R dan (3,2) di R
Matematika Diskrit 12
Antisimetris (Tidak Simetris)
• Relasi R pada himpunan X disebut antisimetris jika untuk semua x, y ∈ X, jika (x,y) ∈ R dan x ≠ y, maka (y,x) ∉ R
• Digraf dari relasi antisimetris mempunyai sifat bahwa diantara sembarang 2 ujung terdapat rusuk 2 arah
Matematika Diskrit 13
Antisimetris (Cont.)• Contoh :
X = {1,2,3,4}R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}
(2,3) ∈ R tetapi (3,2) ∉ R
Matematika Diskrit 14
Transitif• Relasi R pada himpunan X disebut
transitif jika untuk semua x,y,z ∈X, jika (x,y) dan (y,z) ∈ R, maka (x,z) ∈ R
• Digraf dari relasi transitif mempunyai sifat bahwa apabila terdapat rusuk berarah dari x ke y dan dari y ke z, maka terdapat rusuk berarah dari x ke z.
Matematika Diskrit 15
Transitif (Cont.)
(x,y) (y,z) (x,z) (x,y) (y,z) (x,z)(1,1) (1,1) (1,1) (2,2) (2,2) (2,2)(1,1) (1,2) (1,2) (2,2) (2,3) (2,3)(1,1) (1,3) (1,3) (2,2) (2,4) (2,4)(1,1) (1,4) (1,4) (2,3) (3,3) (2,3)(1,2) (2,2) (1,2) (2,3) (3,4) (2,4)(1,2) (2,3) (1,3) (2,4) (4,4) (2,4)(1,2) (2,4) (1,4) (3,3) (3,3) (3,3)(1,3) (3,3) (1,3) (3,3) (3,4) (3,4)(1,3) (3,4) (1,4) (3,4) (4,4) (3,4)(1,4) (4,4) (1,4) (4,4) (4,4) (4,4)
Pasangan berbentuk Pasangan berbentuk
Matematika Diskrit 16
Transitif (Cont.)
• Penentuan sebuah relasi R transitif :1. jika (x,y) dan (y,z) ∈ R, maka (x,z) ∈ R2. x = y dan (x,z) = (y,z) di R
• Contoh : R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)} tidak transitif R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)} tidak transitif R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)} tidak transitif R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} transitif
Matematika Diskrit 17
Urutan Parsial (Partial Orders)
• Relasi R pada himpunan X disebut urutan parsial jika R refleksif, antisimetris dan transitif
• Ketiga persyaratan tersebut harus dipenuhi
Matematika Diskrit 18
Invers• Misalkan R adalah relasi dari X ke Y maka
invers dari R adalah relasi dari Y ke X• Notasi : R-1 • Invers didefinisikan :
R-1 = {(y,x) | (x,y) ∈ R}• Digambarkan relasi ini sebagai “terbagi
oleh”• Contoh :
R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)} R-1 = {(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)}
Matematika Diskrit 19
Komposisi (Composite)
• Misalkan R1 adalah relasi dari X ke Y dan R2 adalah relasi dari Y ke Z, maka komposisi dari R1 dan R2 adalah relasi dari X ke Z
• Notasi : R2 ° R1 • Komposisi didefinisikan :
R2 ° R1 = {(x,z) | (x,y) ∈ R1 dan (y,z)∈ R2 untuk beberapa y ∈ Y}
• Contoh : R1 = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} R2 = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} R2 ° R1 = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}
Matematika Diskrit 20
Relasi Keekuivalenan• Teorema 1 :
Misalkan S adalah partisi dari himpunan X. Definisikan xRy untuk mengartikan bahwa untuk beberapa himpunan S di S, baik x maupun y berada di S, maka R refleksif, simetris dan transitif
• Sebuah relasi yang refleksif, simetris dan transitif pada himpunan X disebut relasi keekuivalenan pada X (equivalence relation on X)
Matematika Diskrit 21
• Contoh :S = {{1,3,5},{2,6},{4}}X = {1,2,3,4,5,6}R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2),
(2,6),(6,2),(6,6),(4,4)}• Digraf relasi dari R harus :Refleksif :
terdapat sebuah loop pada setiap ujungnyaSimetris :
untuk setiap rusuk berarah dari v ke w juga terdapat
rusuk berarah dari w ke vTransitif :
jika terdapat sebuah rusuk berarah dari x ke y dan rusuk berarah dari y ke z maka terdapat rusuk
berarah dari x ke z
Relasi Keekuivalenan (Cont.)
Matematika Diskrit 22
Relasi Keekuivalenan (Cont.)
Matematika Diskrit 23
Teorema 2• Misalkan R sebuah relasi keekuivalenan pada
himpunan X. Untuk setiap a ∈ X, misalkan :{a} = {x ∈ X | xRa}
Sehingga :S = {[a] | a ∈ X}
adalah partisi dari X• Misalkan R adalah relasi keekuivalenan pada
himpunan X. Himpunan-himpunan [a] yang didefinisikan pada Teorema 2 disebut kelas keekuivalenan dari X yang diberikan oleh relasi R
Matematika Diskrit 24
Contoh • S = {{1,3,5},{2,6},{4}}
X = {1,2,3,4,5,6}R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1), (5,3),(5,5),(2,2),(2,6),(6,2),(6,6),(4,4)}Kelas keekuivalenan [1] yang mengandung 1 terdiri dari semua y sehingga (1,y) ∈ R. Oleh karena itu :
[1] = {1,3,5}Kelas ekuivalenan yang tersisa didapatkan dengan cara yang sama :
[3] = [5] = {1,3,5}[2] = [6] = {2,6}[4] = {4}
Matematika Diskrit 25
Teorema 3
• Misalkan R adalah relasi keekuivalenan pada himpunan terhingga X. Jika setiap kelas keeukuivalenan mempunyai r unsur, maka terdapat |X| / r kelas keekuivalenan
X1
(r unsur)
X2
(r unsur)
……. Xk
(r unsur)|X| = r k
|X| = |X1| + |X2| + … + |Xk|
= r + r + … + r = r k
Matematika Diskrit 26
Matriks Relasi• Dikenal dengan adjacency matrix• Contoh :
R = {(1,b),(1,d),(2,c),(3,c),(3,b),(4,a)}X = {1,2,3,4}Y = {a,b,c,d}
0001
0110
0100
1010
4
3
2
1
dcba
Matematika Diskrit 27
Klosur Relasi• Klosur relasi terjadi jika :Relasi tidak refleksif menjadi refleksif
Klosur refleksif (Reflexive Closure)Relasi tidak simetris menjadi simetris
Klosur simetris (Symmetric Closure)Relasi tidak transitif menjadi transitif
Klosur transitif (Transitive Closure)
Matematika Diskrit 28
Klosur refleksif (Reflexive Closure)• Klosur refleksif dari R adalah :
R ∪ ∆ , dimana ∆ = {(a,a)|a ∈ A}
• Contoh :1. A = {1, 2, 3}
R = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)} tidak refleksifSupaya bersifat refleksif maka ∆ = {(1,1), (2,2), (3,3)} Sehingga klosur refleksif dari R adalah : R ∪ ∆ = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)} ∪ (1,1), (2,2), (3,3)} = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
2. R = {(a,b)|a ≠ b} pada himpunan bilangan bulatMaka klosur refleksif dari R adalah : R ∪ ∆ = {(a,b)|a ≠ b} ∪ {(a,a)|a ∈ Z} = {(a,b)|a ∈ Z}
Matematika Diskrit 29
Klosur Simetris (Symmetric Closure)• Klosur simetris dari R adalah :
R ∪ R-1 , dimana R-1 = {(a,b)| (b,a) a ∈ R}
• Contoh :1. A = {1, 2, 3}
R = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)}Supaya bersifat simetris maka R-1 = {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}Sehingga klosur simetris adalah :
R ∪ R-1 = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)} ∪ {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}= {(1,3), (3,1), (1,2), (2,1), (3,2), (2,3), (3,3)}
2. R = {(a,b)|a habis membagi b} pada himpunan bilangan bulatMaka klosur simteris dari R adalah :
R ∪ R-1 = {(a,b)|a habis membagi b} ∪ {(b,a)|b habis membagi a} = {(a,b)|a habis membagi b atau b habis membagi a}
Matematika Diskrit 30
Klosur Transitif (Transitive Closure)
• Klosur transitif dari R adalah :
*]3[]2[*
32
1
*
RRRRR
n
n
n
MMMMM
atau
RRRRR
∨∨∨∨=
∪∪==∞
=
Matematika Diskrit 31
Contoh A = {1, 2, 3}R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)}Matriks yang merepresentasikan relasi R adalah :
=
011
010
101
RM
Klosur transitif dari R adalah :]3[]2[* RRRR
MMMM ∨∨=Karena
Maka
]3[]2[* RRRRMMMM ∨∨=
==
==
111
010
111
.
111
010
111
. ]2[]3[]2[ RRRRRRMMMdanMMM
Sehingga klosur transitif R* : {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}
Matematika Diskrit 32
Latihan
Jika diketahui X = {1,2,3,4}Tentukan relasi berikut memiliki sifat transitif atau
tidak :1. R1 = {(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(4,2)}2. R2 = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(4,4)}3. R3 = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2)}4. R4 = {(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}5. R5 = {(1,2),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(3,2),(4,1)}
Matematika Diskrit 33
Latihan Jika A = {0, 1, 2, 3}R = {(0,1), (1,1), (1,2),(2,0), (2,2)}Tentukan :6. Klosur transitif7. Klosur simetris
Jika A = {1, 2, 3,4}R = {(2,1), (2,3), (3,1), (3,4), (4,1), (4,3)}Tentukan :8. Klosur refleksif9. Klosur simetris10. Klosur transitif
Top Related