PERSAMAAN DIFERENSIAL
(DIFFERENTIAL EQUATION)
metode euler
metode runge-kutta
Persamaan Diferensial
• Persamaan paling penting dalam bidang rekayasa, paling bisa menjelaskan apa yang terjadi dalam sistem fisik.
• Menghitung jarak terhadap waktu dengan kecepatan tertentu, 50 misalnya.
50dt
dx
Rate equations
Persamaan Diferensial
• Solusinya, secara analitik dengan integral,
• C adalah konstanta integrasi
• Artinya, solusi analitis tersebut terdiri dari banyak ‘alternatif’
• C hanya bisa dicari jika mengetahui nilai x dan t. Sehingga, untuk contoh di atas, jika x(0) = (x saat t=0) = 0, maka C = 0
dtdx 50 Ctx 50
Klasifikasi Persamaan Diferensial
Persamaan yang mengandung turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas, terhadap satu atau lebih variabel bebas.
• Dibedakan menurut:– Tipe (ordiner/biasa atau parsial)– Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang
ada– Liniarity (linier atau non-linier)
PDOPers.dif. Ordiner = pers. yg mengandung sejumlah tertentu turunan ordiner dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
y(t) = variabel tak bebast = variabel bebasdan turunan y(t)
Pers di atas: ordiner, orde dua, linier
tetydt
tdyt
dt
tyd )(5
)()(2
2
PDO
• Dinyatakan dalam 1 peubah dalam menurunkan suatu fungsi
• Contoh:
kPPkPdt
dP
xyxdx
dy
'
sin'sin
Partial Differential Equation• Jika dinyatakan dalam lebih dari 1 peubah, disebut
sebagai persamaan diferensial parsial• Pers.dif. Parsial mengandung sejumlah tertentu
turunan dari paling tidak satu variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas.
• Banyak ditemui dalam persamaan transfer polutan (adveksi, dispersi, diffusi)
0),(),(
2
2
2
2
t
txy
x
txy
PDO
xeyy
dt
sd
yy
3)'(
32
24'''
2
2
2
Ordiner, linier, orde 3
Ordiner, linier, orde 2
Ordiner, non linier, orde 1
Solusi persamaan diferensial
• Secara analitik, mencari solusi persamaan diferensial adalah dengan mencari fungsi integral nya.
• Contoh, untuk fungsi pertumbuhan secara eksponensial, persamaan umum:
kPdt
dP
Rate equations
But what you really want to know is…
the sizes of the boxes (or state variables) and how they change through time
That is, you want to know:
the state equations
There are two basic ways of finding the state equations for the state variables based on your known rate equations:
1) Analytical integration 2) Numerical integration
Suatu kultur bakteria tumbuh dengan kecepatan yang proporsional dengan jumlah bakteria yang ada pada setiap waktu. Diketahui bahwa jumlah bakteri bertambah menjadi dua kali lipat setiap 5 jam. Jika kultur tersebut berjumlah satu unit pada saat t = 0, berapa kira-kira jumlah bakteri setelah satu jam?
• Jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap 5 jam, maka k = (ln 2)/5
• Jika P0 = 1 unit, maka setelah satu jam…
Solusi persamaan diferensial
kPdt
dP
dtkP
dPt
t
P
P 1
0
1
0
)(ln 00
ttCkP
P
ktePtP 0)(
)(1)1()1)(5
)2(ln(eP
1487.1
Rate equation State equation(dsolve in Maple)
The Analytical Solution of the Rate Equation is the State Equation
There are very few models in ecology that can be solved
analytically.
Solusi Numerik
• Numerical integration– Eulers– Runge-Kutta
Numerical integration makes use of this relationship:
Which you’ve seen before…
Relationship between continuous and discrete time models
*You used this relationship in Lab 1 to program the
logistic rate equation in Visual Basic:
1 where,11
tt
K
NrNNN t
ttt
tdt
dyyy ttt
, known
Fundamental Approach of Numerical Integration
y = f(t), unknown
t, specified
y
t
yt, knowndt
dy
yt+t, estimated
tdt
dyyy ttt
yt+t,
unknown
Euler’s Method: yt+ t ≈ yt + dy/dt t
1 where,1
tt
K
NrNNN t
tttt
dtdN
Calculate dN/dt*1 at Nt
Add it to Nt to estimate Nt+ t
Nt+ t becomes the new Nt
Calculte dN/dt * 1 at new Nt
Use dN/dt to estimate next Nt+ t
Repeat these steps to estimate the state function over your desired time length
(here 30 years)
Nt/K with time, lambda = 1.7, time step = 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 10 20 30 40 50
time (years)
Nt/K
Example of Numerical Integrationdy
dty y 6 007 2.
Analytical solution to dy/dt
Y0 = 10
t = 0.5
point to estimate
y
Euler’s Method: yt+ t ≈ yt + dy/dt t
yt = 10
m1 = dy/dt at yt
m1 = 6*10-.007*(10)2
y = m1*t
yest= yt + y
t = 0.5
y
estimated y(t+ t)
analytical y(t+ t)
dy
dty y 6 007 2.
Runge-Kutta Exampledy
dty y 6 007 2.
t = 0.5
point to estimate
Problem: estimate the slope to
calculate y
y
Runge-Kutta Example
yt
Weighted
avera
ge of >
1 slope
Unknown point to estimate, yt+Δt
½ Δt Δt t
estimated yt+Δt
estimated yt+Δt
estimated yt+Δt
t = 0.5
Uses the derivative, dy/dt, to calculate 4 slopes (m1…m4) within Δt:
Runge-Kutta, 4th order
),(
)2/,2/(
)2/,2/(
),(
34
23
12
1
tmyttm
tmyttfm
tmyttfm
ytfm
),(at derivative),( ytytf
tmmmmyy ttt )22(6
14321
These 4 slopes are used to calculate a weighted slope of the state function between t and t + Δt, which is used to estimate yt+ Δt:
y
Step 1:
Evaluate slope at current value of state variable.
y0 = 10
m1 = dy/dt at y0
m1 = 6*10-.007*(10)2
m1 = 59.3m1=slope 1
y0
Step 2:
A) Calculate y1at t +t/2 using m1.
B) Evaluate slope at y1.
A) y1 = y0 + m1* t /2
y1 = 24.82
B) m2 = dy/dt at y1
m2 = 6*24.8-.007*(24.8)2
m2 = 144.63 m2=slope 2
t = 0.5/2
y1
Step 3:
Calculate y2 at t +t/2 using k2.
Evaluate slope at y2.
y2 = y0 + k2* t /2
y2 = 46.2
k3 = dy/dt at y2
k3 = 6*46.2-.007*(46.2)2
k3 = 263.0
k3 = slope 3
t = 0.5/2
y2
Step 4:
Calculate y3 at t +t using k3.
Evaluate slope at y3.
y3 = y0 + k3* t
y3 =141.5
k4 = dy/dt at y3
k4 = 6*141.0-.007*(141.0)2
k4 = 706.9
k4 = slope 4
t = 0.5
y2
y3
m4 = slope 4
t = 0.5
m3 = slope3
m2 = slope 2
m1 = slope 1
Now you have 4 calculations of the slope of the state equation between t and t+Δt
Step 5:
Calculate weighted slope.
Use weighted slope to estimate y at t +t
t = 0.5
weighted slope =
true value
estimated valueweighted slope
tmmmmyy ttt )22(6
14321
)22(6
14321 mmmm
Conclusions
• 4th order Runge-Kutta offers substantial improvement over Eulers.
• Both techniques provide estimates, not “true” values.
• The accuracy of the estimate depends on the size of the step used in the algorithm.
Runge-Kutta
Analytical
Eulers
Top Related