PERSAMAAN BEDA

Sistem Rekursif dan Nonrekursif Persamaan Beda Koefisien Konstan Jawab Persamaan Beda Respon Impuls dari Sistem LTI rekursif

Output sistem dengan respon impuls h(n) yang mendapat input x(n) dapat dinyatakan dengan konvolusi

k

)kn(x)k(h)n(y

Sistem FIR Dapat langsung diimplementasikan

Penjumlahan, perkalian dan memori terbatas

Sistem IIR Tidak dapat diimplementasikan

Penjumlahan, perkalian dan memori tak terbatas

Apakah sistem IIR dapat diimplementasikan dengan cara lain ?

SISTEM REKURSIF DAN NONREKURSIF Sistem Nonrekursif

Output hanya dinyatakan dengan input sekarang dan input yang lalu

Konvolusi Rata-rata kumulatip (cumulative average)

Untuk menghitung y(n) diperlukan : n memori n perjumlahan 1 perkalian

n

0k

,2,1,0n)k(x1n

1)n(y

Sistem Rekursif Output sekarang dapat dinyatakan dengan

output – output yang lalu

n

0k

)k(x1n

1)n(y

n

0k

)k(x)n(y)1n(

)n(y)1n()n(x)1n(ny)n(x)k(x)k(x1n

0k

n

0k

1n

0k

)k(xn

1)1n(y

1n

0k

)k(x)1n(yn

)n(x1n

1)1n(y

1n

n)n(y

)n(x1n

1)1n(y

1n

n)n(y

Untuk menghitung y(n) diperlukan : 1 memori 1 perjumlahan 2 perkalian

Square-Root Algorithm A = bilangan positip Sn-1 = tebakan awal

Iterasi konvergen Sn Sn-1 Sn = A

,1,0ns

As

2

1s

1n1nn

Ass

As

s

As

2

1s n

nn

nnn

)1n(y

)n(x)1n(y

2

1)n(y

Sistem Rekursif untuk menghitung akar kuadrat

2

3)0(y1)1(y2)n(x

24142136,14142157,1)2(y4166667,1)1(y

)Mn(x),1n(x),n(x),Nn(y),1n(yF)n(y

Sistem rekursif Untuk menghitung y(n) harus terlebih dahulu

menghitung y(0), y(1), …., y(n-1)

)Mn(x),2n(x),1n(x),n(xF)n(y

Sistem nonrekursif Untuk menghitung y(n) tidak harus terlebih dahulu

menghitung y(0), y(1), …., y(n-1)

PERSAMAAN BEDA KOEFISIEN KONSTAN

Persamaan beda orde pertama

)n(x)1n(ya)n(y

)n(x1n

1)1n(y

1n

n)n(y

Koefisien konstan Linear Time Invariant System

Koefisien tidak konstan Linear Time Variant System

)n(x)1n(ya)n(y

)0(x)1(ya)0(y

)1(x)0(ax)1n(ya

)1(x)]0(x)1(ay[a)1(x)0(ya)1(y2

)2(x)1(ax)0(xa)1(ya

)2(x)]1(x)0(ax)1(ya[a)2(x)1(ya)2(y23

2

)n(x)1x(a)1(xa)0(xa)1(ya

)n(x)1n(ya)n(y1nn1n

n

0k

k1n )kn(xa)1(ya)n(y

n

0k

k1n )kn(xa)1(ya)n(y

0n)kn(xa)n(y0)1(yn

0k

kzs

Sistem relaks yzs = zero-state response = forced response

0n)1(ya)n(y0)n(x 1nzi

Tanpa input yzi = zero-input response = natural response

)n(y)n(y)n(y zszi Total response

Orde pertama

Orde ke-N

M

0k

kN

1kk )kn(xb)kn(ya)n(y

)n(x)1n(ya)n(y

M

0k

kN

1kk )kn(xb)kn(ya)n(y

M

0k

kN

1kk )kn(xb)kn(ya)0n(y)1(

1a)kn(xb)kn(ya 0

M

0k

kN

0kk

JAWAB PERSAMAAN BEDA

Metoda Tidak Langsung Transformasi Z

yh = Jawab homogen

yp = Jawab khusus (particular solution)

Metoda Langsung )n(y)n(y)n(y ph

1a0)kn(ya0)n(x 0h

N

0kk

nh )n(y

Seperti persamaan diferensial biasa :

nh )n(y 0)kn(ya h

N

0kk

0a knN

0kk

0aaa NnN

2n2

1n1

n

0)aaaa( N1N2N

21N

1NNn

0aaaa N1N2N

21N

1N

Persamaan karakteristik pangkat N akar-akarnya ada N

N21 ,,, nNN

n22

n11h CCC)n(y

Contoh Soal 7.1

Diketahui persamaan beda orde kedua :

Jawab :

0)2n(y4)1n(y3)n(y

41043 212

Tentukan zero-input responnya

n2

n1h )4(C)1(C)n(y

n2

n1h )4(C)1(C)n(y

0)2n(y4)1n(y3)n(y

)2n(y4)1n(y3)n(y

)2(y12)1(y13

)1(y4)]2(y4)1(y3[3

)1(y4)0(y3)1(y

)2(y4)1(y3)0(y

21

21

C4C)1(y

CC)0(y

)2(y12)1(y13C4C

)2(y4)1(y3CC

21

21

)2(y5

16)1(y

5

16C

)2(y5

4)1(y

5

1C

2

1

16C1C

5)2(y0)1(y

21

n2

n1h )4(C)1(C)n(y

2n1n

nnzi

)4()1(

)4)(16()1)(1()n(y

Contoh Soal 7.2

Diketahui persamaan beda orde kedua :

Jawab :

)n(u4)n(x

)1n(x2)n(x)2n(y4)1n(y3)n(yn

41043 212

Tentukan jawab totalnya

n2

n1h )4(C)1(C)n(y

x(n) yp(n)

A K

A Mn K Mn

A nM KonM + K1nM-1+…..+KM

An nM An (KonM + K1nM-1+…..+KM)

A cos on K1 cos on + K2 sin on

A sin on K1 cos on + K2 sin on

)n(u)4(K)n(y)n(u4)n(x np

n

n2

n1h )4(C)1(C)n(y )n(u)4(Kn)n(y n

p

)n(u)4(Kn)n(y)n(u4)n(x np

n

)1n(x2)n(x)2n(y4)1n(y3)n(y

)1n(u)4(2)n(u)4(

)2n(u)4)(2n(K4)1n(u)4)(1n(K3)n(u)4(Kn1nn

2n1nn

Semua suku tidak nol n = 2

)n(u)4(n5

6)n(y

5

6K n

p

)n(u)4(n5

6)4(C)1(C)n(y nn

2n

1