i
PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU
ARUS LALU LINTAS
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
Bernadetta Ambar Sulistiyawati
NIM: 133114011
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
NUMERICAL SOLUTION TO A CONTINUOUS MODEL OF
TRAFFIC FLOWS
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
in Mathematics
By :
Bernadetta Ambar Sulistiyawati
Student Number: 133114011
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PEi\YELESAIAI\ I\UMERIS MODEL KOI\TINU
ARUS LALU LII\TAS
Oleh:
Bernadetta Ambar Sulistiyawati
NIM: 133i14011
Telah disetujui oleh:
Pembimbing
rfux/-4.,Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. Tanggal 2l Februari 2017
111
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PEI\YELESAIAN NUMERIS UNTUK MODEL KONTINU
ARUS LALU LINTAS
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
Bernadetta Ambar Sulistiyawati
NIM: 13311401I
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
Pada tanggal 28 Februari 2017
dan dinyatakan telah memenuhi symat
Ketua
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap
Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D.
Sekretaris Febi Sanjay4 M.Sc.
Anggota Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.
........4W..
da-fu&",
Yogyakart4 28 Februari 2017
Fakultas Sains dan Teknologi
Tanda Tangan
i' - ti,!\.r i:,;',:.'-: :;'-.
**" inl nbf*,rtr &t ..- '; ii
l! fJ;5\ lbL"YrWtffi$L/-,a't)
i.,Mungkasi, S.Si., M.Math. Sc., Ph.D.)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuatkarya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 28 Februai 2Al7
B ernadetta Ambar Sulistiyawati
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
MOTTO
“Segala perkara dapat kutanggung didalam Dia yang memberi kekuatan
kepadaku” (Filipi 4:13)
“Visi tanpa tindakan hanyalah sebuah mimpi. Tindakan tanpa visi
hanyalah membuang waktu. Visi dengan tindakan akan mengubah
dunia!” (Joel Arthur Barker)
“Sesuatu mungkin mendatangi mereka yang mau menunggu, namun
hanya didapatkan oleh mereka yang bersemangat mengejarnya”
(Abraham Lincoln)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa
menyertaiku
Mama, Papa dan Adik tercinta yang selalu mendukungku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Arus lalu lintas dimodelkan dan diteliti dalam skripsi ini. Kemacetan
menjadi masalah lalu lintas yang sering terjadi di kota. Oleh karena itu, penulis
membahas model matematika yang berhubungan dengan arus lalu lintas.
Pembahasan mencakup bagaimana kondisi kepadatan lalu lintas yang dilihat dari
pergerakan kendaraan secara makro, bukan pegerakan setiap kendaraan.
Model matematika masalah arus lalu lintas berbentuk persamaan diferensial
parsial yang dapat ditulis dalam bentuk hukum konservasi. Model tersebut
diselesaikan dengan menggunakan teori linearisasi persamaan diferensial untuk
mencari solusi analitisnya. Selain itu, penulis akan menggunakan metode volume
hingga Lax-Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin untuk menyelesaikan model
tersebut secara numeris
Solusi analitis dan numeris akan disimulasikan dengan menggunakan
perangkat lunak MATLAB. Penelitian ini akan menguji metode mana yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah arus lalu lintas jika dibandingkan dengan
solusi analitisnya. Analisis hasilnya dengan melihat simulasi yang dihasilkan dan
seberapa besar erornya. Semakin kecil nilai erornya maka semakin baik metode
numeris yang digunakan.
Kata kunci: arus lalu lintas, persamaan diferensial parsial, hukum kekekalan,
volume hingga, metode Lax-Friedrichs, sistem relaksasi Jin-Xin
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
A traffic flow is modeled and studied in this thesis. A traffic jam becomes the
problem that often occurs in a city. Therefore, the author discusses about the
mathematical models that is related to the traffic flow. It explores on traffic density
conditions seen from the macro movement of the vehicles, not each vehicles.
Mathematical model of traffic flow problem is in the form of partial
differential equations that could be written in the form of conservation laws. The
model is solved using linearization theory of differential equations to find analytical
solutions. In addition, the author uses Lax-Friedrichs finite volume method and Jin-
Xin relaxation system to solve the model numerically.
Analytical and numerical solutions to the model are simulated using
MATLAB software. This study examines the methods which could be used to solve
the traffic flow problem if it is compared with the analytical solution as the previous
solution. The results are analyzed by viewing the simulation outcomes along with
the errors. The smaller the errors, the better the numerical method that is used.
Keywords: traffic flow, partial differential equations, conservation laws, finite
volume, Lax-Friedrichs method, Jin-Xin relaxation system
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah
mencurahkan rahmat dan roh kudusNya sehingga penulis dapat mengerjakan dan
menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi
syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, Univesitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk
membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan, dan hambatan.
Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas
Sains dan Teknologi dan dosen pembimbing skripsi.
2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing
Akademik.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,
Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia
Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika
yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses
perkuliahan.
5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
berdinamika bersama selama penulis berkuliah.
6. Kedua orang tua dan adik yang telah membantu dan mendukung saya
selama proses pengerjaan skripsi.
7. Teman-teman Matematika 2013: Inge, Yui, Sorta, Melisa, Agung, Laras,
Ezra, Yuni, Rey, Dion, Wahyu, Indra, Bintang, Tia, Lya, Andre, Sisca,
Natali, Yola, Sari, Dita, dan Kristo yang selalu memotivasi, memberi
masukan dan keceriaan, dan masih banyak yang tidak bisa disebutkan satu
persatu. Terima kasih atas kebersamaan dan kekompakan ini.
8. Kakak-kakak, teman-teman dan adik-adik: Vincent, Kak Chandra, Kak
Happy, Arka, Monic, Kak Lia, Tessa, Vania, Cicil, Kak Arum, Kak Yohan,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kak Tika, Kak Kristin, dan yang lainnya, terimakasih untuk semangat dan
dukungannya selama penulis berkuliah dan menulis skripsi ini.
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses
penulisan skripsi ini.
Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan
mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih
banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis
mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis,
semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang
baik.
Yogyakarta, 28 Februai 2017
Bernadetta Ambar Sulistiawati
x1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH TINTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Bernadetta Ambar Sulistiyawati
Nomor Mahasiswa : 133114011
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU ARUS LALU LINTAS
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,
mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Intemet atau media
lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun
memberikan royalti kepada saya selama tetap mencatumkan nama saya sebagai
penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenamya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal: 28 Februari2017
Yang menyatakan
cM(Bemadetta Ambar Sulistiyawati)
x1.l
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv
HALAMAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... v
MOTTO ............................................................................................................. vi
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii
ABSTRAK ....................................................................................................... viii
ABSTRACT ....................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ......................................................................................... x
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................... xii
DAFTAR ISI .................................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................... 1
A. Latar Belakang .......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 4
D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 5
E. Manfaat penulisan ..................................................................................... 5
F. Metode Penulisan ...................................................................................... 5
G. Sistematika Penulisan ................................................................................ 6
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL....................................................................... 8
A. Turunan ..................................................................................................... 8
B. Integral .................................................................................................... 12
C. Penurunan Numeris ................................................................................. 15
D. Klasifikasi Persamaan Diferensial ........................................................... 17
E. Metode Karakteristik ............................................................................... 19
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
F. Metode Volume Hingga .......................................................................... 21
G. Metode Garis ........................................................................................... 23
H. Matriks Jacobian ..................................................................................... 24
I. Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................. 25
BAB III PENYELESAIAN MODEL ARUS LALU LINTAS ................................ 28
A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas.......................... 28
B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas .................................................... 30
C. Linearisasi Model Lalu Lintas ................................................................. 38
D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas .......................................................... 49
E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas ......................................................... 53
F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam ...................................... 54
G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam .................................... 58
H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau .................................................. 64
I. Hubungan Linear Antara Kecepatan dan Kepadatan ................................ 74
J. Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan ..................................................... 79
K. Solusi Analitis ......................................................................................... 85
BAB IV SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS ........................................ 89
A. Metode Volume Hingga Lax–Friedrichs .................................................. 89
B. Sistem Relaksasi Jin–Xin ........................................................................ 93
C. Eror Solusi Numeris ................................................................................ 99
D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris .................................................... 100
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 106
A. Kesimpulan ........................................................................................... 106
B. Saran ..................................................................................................... 106
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 107
LAMPIRAN .................................................................................................................. 109
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan
sistematika penulisan skripsi ini.
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari–hari, kita sering menjumpai suatu model
matematika yang berbentuk persamaan, baik linear ataupun nonlinear, serta sistem
persamaan linear maupun nonlinear yang memuat diferensial, integral, dan
persamaan diferensial biasa ataupun persamaan diferensial parsial. Model
matematika tersebut dapat diselesaikan dengan dua cara, yaitu penyelesaian analitis
dan penyelesaian bukan analitis. Penyelesaian analitis adalah penyelesaian model
matematika dengan menggunakan teori atau metode analisis matematika yang telah
ada sedemikian sehingga hasil yang diperoleh merupakan penyelesaian eksak.
Penyelesaian bukan analitis adalah penyelesaian model matematika dengan metode
pendekatan diskret sehingga penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian
pendekatan, dan bukan penyelesaian eksak. Penyelesaian pendekatan diskret itu
disebut penyelesaian numeris.
Penyelesaian numeris adalah penyelesaian yang dicari dengan
menggunakan metode numeris. Metode numeris merupakan salah satu bagian dari
matematika dengan cara masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
sehingga dapat diselesaikan dengan pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale,
2010). Perkembangan komputer digital yang pesat menyebabkan metode numeris
banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah nyata, yang penyelesaian
eksaknya sangat sulit diperoleh, khususnya model matematika dalam bentuk
persamaan diferensial.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari
satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel
bebas. Ada dua jenis persamaan diferensial berdasarkan banyaknya variabel bebas,
yaitu persamaan diferensial biasa yang hanya melibatkan turunan biasa dan
persamaan diferensial parsial yang melibatkan turunan parsial. Ada dua jenis
persamaan diferensial parsial, yaitu persamaan diferensial parsial linear dan
nonlinear. Beberapa contoh model dari persamaan diferensial parsial adalah model
arus lalu lintas di jalan yang ramai, aliran darah yang melalui dinding tabung elastis,
dan gelombang kejut sebagai kasus khusus dari teori umum dinamika gas dan
hidrolika (Wazwaz, 2009). Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai persamaan
diferensial parsial untuk model kontinu arus lalu lintas.
Undang – Undang No. 22 Tahun 2009 mengatur tentang Lalu Lintas dan
Angkutan Jalan. Lalu lintas adalah gerak kendaraan dan orang di ruang lalu lintas
jalan, sedangkan rambu lalu lintas adalah bagian perlengkapan jalan yang berupa
lambang, huruf, angka, kalimat dan/atau panduan yang berfungsi sebagai
peringatan, larangan, perintah, atau petunjuk bagi pengguna jalan. Lampu lalu lintas
adalah lampu yang mengendalikan arus lalu lintas bagi pengguna jalan raya di
persimpangan jalan, tempat penyeberangan bagi pejalan kaki, dan tempat lalu lintas
lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Adanya lampu lalu lintas diharapkan dapat mengurangi kemacetan dan
memperlancar aliran lalu lintas. Walaupun demikian, tidak bisa dijamin bahwa
kemacetan dapat teratasi dengan adanya lampu lalu lintas. Masalah transportasi
yang paling sering terjadi beberapa tahun terakhir ini adalah kemacetan lalu lintas.
Dalam skripsi ini tidak akan dibahas bagaimana cara mengatasi kemacetan lalu
lintas, namun bagaimana cara merumuskan model deterministik untuk arus lalu
lintas secara kontinu.
Model kontinu arus lalu lintas secara umum adalah
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑥(𝜌𝑢) = 0
dengan 𝜌(𝑥, 𝑡) adalah kepadatan lalu lintas dan 𝑢(𝜌(𝑥, 𝑡)) adalah kecepatan
kendaraan yang bergantung pada variabel waktu (𝑡) dan panjang ruas jalan (𝑥)
serta domain ruangnya merupakan interval tertutup [𝑎, 𝑏]. Pada skripsi ini kita akan
menemukan kepadatan kendaraan setelah lampu menyala merah menjadi hijau
dalam satu dimensi yang diilustrasikan oleh Gambar 1.
Gambar 1 Ilustrasi masalah lalu lintas pada perempatan jalan.
Persamaan di atas disebut persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan
kepadatan lalu lintas dan kecepatan kendaraan. Kepadatan lalu lintas adalah jumlah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
kendaraan yang menempati jalur lalu lintas setiap satuan waktu dan panjang ruas
jalan. Kecepatan kendaraan adalah jarak yang ditempuh kendaraan setiap satuan
waktu.
Penyelesaian persamaan diferensial parsial tersebut memiliki dua
komponen penting yang tidak diketahui, yaitu kepadatan lalu lintas dan kecepatan
kendaraan. Secara umum, penyelesaian model kontinu arus lalu lintas tersebut
cukup sulit diselesaikan secara analitis, sehingga diperlukan penyelesaian numeris
untuk memecahkannya. Banyak metode numeris yang dapat digunakan untuk
memecahkannya, antara lain metode volume hingga Lax-Friedrichs dan sistem
relaksasi Jin-Xin. Pada skripsi ini akan dibandingkan antara metode volume hingga
Lax-Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin untuk melihat metode mana yang
paling baik dengan eror sekecil mungkin. Referensi utama tentang masalah arus
lalu lintas dalam skripsi ini adalah Haberman (1998). Sedangkan untuk metode
volume hingga Lax-Friedrichs merujuk pada LeVeque (1992, 2002) dan sistem
relaksasi Jin-Xin merujuk pada Yohana (2012).
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana memodelkan secara kontinu arus lalu lintas dalam bentuk persamaan
diferensial parsial?
2. Bagaimana menyelesaikan model kontinu arus lalu lintas secara numeris?
3. Bagaimana perbandingan tingkat eror antara metode volume hingga Lax-
Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
C. Batasan Masalah
Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada penyelesaian
persamaan diferensial parsial untuk model kontinu arus lalu lintas yang pergerakan
kendaraannya hanya satu arah pada ruas jalan, dengan asumsi kendaraan tidak
saling mendahului.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini, yaitu
1. Memodelkan dan menyelesaikan persamaan arus lintas yang kontinu.
2. Membandingkan eror antara metode volume hingga Lax-Friedrichs dan sistem
relaksasi Jin-Xin, jika diterapkan pada model kontinu arus lalu lintas.
E. Manfaat penulisan
Dengan memodelkan persamaan arus lalu lintas secara kontinu, kita dapat
menyimulasikan pergerakan kendaraan satu arah pada ruas jalan yang bergantung
pada waktu dan panjang ruas jalan.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode
studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-
jurnal yang berkaitan dengan persamaan diferensial parsial untuk model kontinu
arus lalu lintas satu arah serta praktek simulasi numeris.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Turunan
B. Integral
C. Penurunan Numeris
D. Klasifikasi Persamaan Diferensial
E. Metode Karakteristik
F. Metode Volume Hingga
G. Metode Garis
H. Matriks Jacobian
I. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
BAB III PENYELESAIAN NUMERIS ARUS LALU LINTAS
A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas
B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas
C. Linearisasi Model Arus Lalu Lintas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas
E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas
F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam
G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam
H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau
I. Hubungan Linear antara Kecepatan dan Kepadatan
J. Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan
K. Solusi Analitis
BAB IV SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS
A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
B. Sistem Relaksasi Jin-Xin
C. Eror Solusi Numeris
D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pada bab ini akan dipaparkan landasan teori yang digunakan dalam skripsi
ini, yaitu turunan, integral, penurunan numeris, klasifikasi persamaan diferensial,
metode karakteristik, metode garis, matriks Jacobian, dan nilai eigen serta vektor
eigen.
A. Turunan
Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi dan contoh dari turunan, hubungan
turunan dan fungsi kontinu, serta aturan Leibniz.
Definsi 2.1.1
Diberikan fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊆ ℝ → ℝ dan 𝑎 ∈ 𝐷𝑓.
Turunan / derivatif dari fungsi 𝑓 di titik 𝑎 didefinisikan sebagai
𝑓′(𝑎) = limℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
dengan syarat bahwa nilai limit tersebut ada.
Definisi 2.1.2
Definisi lain untuk turunan, jika diambil subtitusi 𝑥 = 𝑎 + ℎ dan ℎ = 𝑥 − 𝑎 maka
ℎ → 0 jika dan hanya jika 𝑥 → 𝑎, sehingga
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Jika nilai 𝑓′(𝑎) ada, maka fungsi 𝑓 dikatakan mempunyai turunan atau derivatif di
titik 𝑎.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Contoh 2.1.1
Tentukan turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 di 𝑥 = 2.
Penyelesaian:
𝑓′(2) = limℎ→0
𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)
ℎ
= limℎ→0
(2 + ℎ)2 − 3(2 + ℎ) − (22 − 3 ∙ 2)
ℎ
= limℎ→0
4 + 4ℎ + ℎ2 − 6 − 3ℎ + 2
ℎ
= limℎ→0
ℎ2 + ℎ
ℎ
= limℎ→0
ℎ + 1 = 1.
Definisi 2.1.3
Diberikan fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊆ ℝ → ℝ , maka turunan atau derivatif dari fungsi 𝑓 untuk
setiap titik 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 adalah
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
atau
𝑓′(𝑥) = lim𝑦→𝑥
𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥)
𝑦 − 𝑥
dengan syarat bahwa nilai limit tersebut ada.
Contoh 2.1.2
Tentukan turunan fungsi 𝑓′(𝑥) jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥3.
Penyelesaian:
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
= limℎ→0
(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3
ℎ
= limℎ→0
𝑥3 + 3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥3
ℎ
= limℎ→0
3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3
ℎ
= limℎ→0
3𝑥2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 = 3𝑥2.
Contoh 2.1.3
Tentukan turunan pertama fungsi 𝑓(𝑥) =𝑥+1
𝑥+2.
Penyelesaian:
𝑓′(𝑥) = lim𝑦→𝑥
𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥)
𝑦 − 𝑥
= lim𝑦→𝑥
𝑦 + 1𝑦 + 2 −
𝑥 + 1𝑥 + 2
𝑦 − 𝑥
= lim𝑦→𝑥
(𝑦 + 1)(𝑥 + 2) − (𝑥 + 1)(𝑦 + 2)(𝑥 + 2)(𝑦 + 2)
𝑦 − 𝑥
= lim𝑦→𝑥
𝑥𝑦 + 2𝑦 + 𝑥 + 2 − 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 𝑦 − 2(𝑥 + 2)(𝑦 + 2)
𝑦 − 𝑥
= lim𝑦→𝑥
𝑦 − 𝑥(𝑥 + 2)(𝑦 + 2)
𝑦 − 𝑥
= lim𝑦→𝑥
1
(𝑥 + 2)(𝑦 + 2)
=1
(𝑥 + 2)2 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Teorema 2.1.1
Jika 𝑓(𝑥) mempunyai turunan atau terdiferensial di 𝑥 = 𝑎, maka 𝑓(𝑥) kontinu di
𝑥 = 𝑎.
Bukti dapat dilihat pada buku karangan Hallet. H, Gleason, McCallum, dkk yang
berjudul Calculus (Single and Multi Variable).
Teorema 2.1.2
Jika 𝑓 dan 𝑔 kedua fungsi yang mempunyai turunan, maka fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔
juga mempunyai turunan yaitu
(𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)
dengan menggunakan notasi Leibniz, rumus di atas dapat dibagi menjadi dua kasus
yaitu:
Kasus 1. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) fungsi terhadap 𝑢 dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) fungsi terhadap 𝑥 yang
keduanya terdiferensial, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑑𝑦
𝑑𝑢∙𝑑𝑢
𝑑𝑥.
Kasus 2. Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑦 yang terdiferensial dengan 𝑥 =
𝑔(𝑡) dan 𝑦 = ℎ(𝑡) fungsi terhadap 𝑡 yang juga terdiferensial maka
𝑑𝑧
𝑑𝑡=𝜕𝑧
𝜕𝑥∙𝑑𝑥
𝑑𝑡+𝜕𝑧
𝜕𝑦∙𝑑𝑦
𝑑𝑡.
Bukti dapat dilihat pada buku karangan Hallet. H, Gleason, McCallum, dkk yang
berjudul Calculus (Single and Multi Variable).
Contoh 2.1.1
Tentukan turunan (𝑑𝑦
𝑑𝑥) jika diketahui 𝑦 = 𝑢2 + 3𝑢 dan 𝑢 = 3𝑥2 + 5𝑥 − 1.
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Dipandang
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑑(𝑢2 + 3𝑢)
𝑑𝑢∙𝑑(3𝑥2 + 5𝑥 − 1)
𝑑𝑥,
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (2𝑢 + 3) ∙ (6𝑥 + 5).
Karena 𝑢 = 3𝑥2 + 5𝑥 − 1, maka didapat 𝑑𝑦
𝑑𝑥= (2(3𝑥2 + 5𝑥 − 1) + 3) ∙ (6𝑥 + 5).
Contoh 2.1.2
Diketahui 𝑧 = 𝑥3 + 3𝑥𝑦, dengan 𝑥 = 5𝑡2 dan 𝑦 = 𝑡2 + 7𝑡. Tentukan 𝑑𝑧
𝑑𝑡.
Penyelesaian:
𝑑𝑧
𝑑𝑡=𝜕(𝑥3 + 3𝑥𝑦)
𝜕𝑥∙𝑑(5𝑡2)
𝑑𝑡+𝜕(𝑥3 + 3𝑥𝑦)
𝜕𝑦∙𝑑(𝑡2 + 7𝑡)
𝑑𝑡,
𝑑𝑧
𝑑𝑡= (3𝑥2 + 3𝑦) ∙ 10𝑡 + 3𝑥 ∙ (2𝑡 + 7),
𝑑𝑧
𝑑𝑡= 30𝑥2𝑡 + 30𝑦𝑡 + 6𝑥𝑡 + 21𝑥.
B. Integral
Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi dan contoh dari integral tak tentu dan
integral tertentu.
Definisi 2.2.1
Integral suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai invers/anti turunan fungsi yang
dinotasikan oleh ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥), yang artinya integral fungsi 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥.
Contoh 2.2.1
Tentukan integral dari fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥.
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
∫2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ.
Definsi 2.2.2
Misalkan 𝑔 adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada interval [𝑎, 𝑏] dan
𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 dengan 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 = 𝑏 yang
merupakan partisi pada [𝑎, 𝑏], 𝑓 dikatakan terintegral Riemann pada interval [𝑎, 𝑏]
jika limit berikut ada
∫ 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim‖∆𝑥‖→0
∑𝑓(𝑥𝑗∗)(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1)
𝑛
𝑗=1
dengan ‖∆𝑥‖ = max1≤𝑗≤𝑛(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1) dan 𝑥𝑗∗ ∈ [𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗] disebut titik evaluasi
(𝑡𝑎𝑔).
Jumlahan Riemann didefinisikan sebagai
∑𝑓(𝑥𝑗∗)(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1)
𝑛
𝑗=1
.
Definisi 2.2.3
Jika 𝑓 merupakan fungsi kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], kita dapat membagi
interval tertutup [𝑎, 𝑏] menjadi 𝑛 sub interval yang lebarnya sama yaitu ∆𝑥𝑖 =
(𝑏 − 𝑎) 𝑛⁄ dengan 𝑖 = 1,2,3… , 𝑛. Diambil 𝑥0(= 𝑎), 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏) menjadi
titik sampel dari subinterval dan 𝑥1∗, 𝑥2
∗, … , 𝑥𝑛∗ sembarang titik sampel dari
subinterval sehingga 𝑥𝑖∗ yang terletak pada subinterval ke-𝑖 [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Maka integral
tertentu dari fungsi 𝑓 pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= lim𝑛→∞
∑𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Contoh 2.2.2
Tentukan integral fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 pada interval tertutup [0,3] dengan
menggunakan definisi.
Penyelesaian:
Bagi interval [0,3] kedalam 𝑛 subinterval yang sama panjang dengan
∆𝑥𝑖 =𝑏 − 𝑎
𝑛=3
𝑛.
Ambil titik sampel 𝑥𝑖∗ = 𝑎 + ∆𝑥𝑖𝑖 = 0 +
3
𝑛𝑖 =
3𝑖
𝑛.
Jadi, 𝑓(𝑥𝑖∗) = 𝑓(𝑥𝑖) = 2 (
3𝑖
𝑛) − 1 =
6𝑖
𝑛− 1.
Kemudian, jumlahan Riemman didapat
∑𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
=∑(6𝑖
𝑛− 1)
3
𝑛
𝑛
𝑖=1
=3
𝑛∑(
6𝑖
𝑛− 1)
𝑛
𝑖=1
=3
𝑛(∑
6𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
−∑1
𝑛
𝑖=1
)
=3
𝑛(6
𝑛∑𝑖
𝑛
𝑖=1
−∑1
𝑛
𝑖=1
) =3
𝑛(6
𝑛
1
2𝑛(𝑛 + 1) − 𝑛)
=9(𝑛 + 1)
𝑛− 3 = 6 +
9
𝑛.
Jadi,
∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥3
0
= lim𝑛→∞
(6 +9
𝑛) = 6.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
C. Penurunan Numeris
Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi deret Taylor dan hampiran metode
numeris.
Teorema 3.3.1
Misalkan 𝑓 fungsi kontinu dan terdiferensial takhingga kali. Fungsi 𝑓 dapat
dideretkan secara Taylor di sekitar titik 𝑥 = 𝑐 dengan 𝑐 ∈ ℝ, yaitu
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) +𝑓′(𝑐)
1!(𝑥 − 𝑐) +
𝑓′(𝑐)
2!(𝑥 − 𝑐)2 +
𝑓′(𝑐)
3!(𝑥 − 𝑐)3 +⋯.
Kasus khusus untuk nilai 𝑐 = 0, deret Taylor disebut deret Maclaurin.
Bukti dapat dilihat pada buku karangan Dale Varberg, dkk yang berjudul Kalkulus
Edisi Kesembilan Jilid 2.
Teorema 3.3.2 (Teorema Taylor dengan suku sisa Lagrange)
Jika 𝑓, 𝑓′, 𝑓′′, … , 𝑓(𝑛) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏] dan 𝑓(𝑛+1) kontinu pada interval
(𝑎, 𝑏) maka untuk setiap 𝑥 dan 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] terdapat bilangan 𝜉 di antara 𝑥 dan 𝑐
sehingga berlaku
𝑓(𝑥) = ∑𝑓𝑘(𝑐)
𝑘!(𝑥 − 𝑐)𝑘 + 𝐸𝑛
𝑛
𝑘=0
dengan 𝐸𝑛 =𝑓(𝑛+1)(𝜉)
(𝑛+1)!(𝑥 − 𝑐)𝑛+1.
Bukti dapat dilihat pada buku karangan Dale Varberg, dkk yang berjudul Kalkulus
Edisi Kesembilan Jilid 2.
Definisi 3.3.2
Dipandang fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥). Turunan fungsi 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan
oleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥.
Tidak semua fungsi dapat diturunkan secara langsung karena sering kali hanya
diketahui beberapa titik pada data awal, fungsi tidak diketahui secara eksplisit atau
fungsi mempunyai bentuk yang sangat rumit. Oleh karena itu, dalam perhitungan
turunan fungsi dapat diselesaikan dengan metode numeris yang hasilnya berupa
hampiran mendekati nilai turunan sebenarnya tetapi dengan eror yang sekecil
mungkin. Contoh-contoh di bawah ini merupakan fungsi yang sulit untuk
diturunkan secara langsung, antara lain
(1) 𝑓(𝑥) =cos𝑥+𝑒−𝑥−
3𝑥
sin𝑥
√sin(4𝑥3)+𝑥2 tan(5𝑥)
(2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ln(8𝑥3)𝑒(5𝑥2+3𝑥+2)
Tiga hampiran metode numeris yaitu
1. Hampiran beda maju
Dipandang fungsi 𝑓 = 𝑓(𝑥). Turunan 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan
oleh
𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥,
atau untuk ∆𝑥 tertentu menjadi
𝑓′(𝑥) ≈𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥.
2. Hampiran beda mundur
Dipandang fungsi 𝑓 = 𝑓(𝑥). Turunan 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan
oleh
𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥)
∆𝑥,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
atau untuk ∆𝑥 tertentu menjadi
𝑓′(𝑥) ≈𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥)
∆𝑥.
3. Hampiran beda pusat
Dipandang fungsi 𝑓 = 𝑓(𝑥). Turunan 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan
oleh
𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥)
2∆𝑥,
atau untuk ∆𝑥 tertentu menjadi
𝑓′(𝑥) ≈𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥)
2∆𝑥.
D. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi dan contoh dari persamaan diferensial,
persamaan diferensial biasa, dan persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.4.1
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan satu atau
lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel bebas.
Contoh 2.4.1
Beberapa contoh di bawah ini merupakan persamaan diferensial:
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑦 + 2,
(2.4.1)
𝜕𝑢
𝜕𝑡+𝜕𝑢
𝜕𝑥= 𝑓(𝑢),
(2.4.2)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 2𝑦 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)2
= 0, (2.4.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2−𝜕2𝑣
𝜕𝑥2−𝜕2𝑣
𝜕𝑥𝜕𝑦= 0. (2.4.4)
Definisi 2.4.2
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang hanya melibatkan
turunan biasa terhadap satu variabel bebas.
Contoh 2.4.2
Contoh dari persamaan diferensial biasa terdapat pada persamaan (2.4.1) dan
(2.4.3). Persamaan (2.4.1) adalah persamaan diferensial biasa order satu dengan 𝑡
merupakan variabel bebas, sedangkan 𝑦 merupakan variabel terikat. Persamaan
(2.4.3) adalah persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan 𝑥 merupakan variabel
bebas sedangkan 𝑦 merupakan variabel terikat.
Definisi 2.4.3
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menyatakan
hubungan antara turunan/derivatif parsial dengan variabel-variabel bebasnya.
Contoh 2.4.3
Contoh dari persamaan diferensial biasa terdapat pada persamaan (2.4.2) dan
(2.4.4). Persamaan (2.4.2) adalah persamaan diferensial parsial order satu dengan 𝑡
dan 𝑥 merupakan variabel bebas, sedangkan 𝑢 merupakan variabel terikat.
Persamaan (2.4.4) adalah persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan 𝑥, 𝑦, dan
𝑧 merupakan variabel bebas, sedangkan 𝑣 merupakan variabel terikat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
E. Metode Karakteristik
Definisi 2.5.1
Persamaan diferensial parsial dikatakan linear jika:
a) tidak ada perkalian antara variabel-variabel tak bebas dengan dirinya sendiri
atau dengan turunan-turunannya,
b) tidak ada fungsi transendental (trigonometri, logaritma, eksponensial,
siklometri, hiperbolik) yang terlibat dari fungsi dalam variabel-variabel tak
bebas.
Definisi 2.5.2
Tingkat atau order dalam persamaan diferensial parsial didefinisikan sebagai
tingkat dari turunan tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.5.3
Dipandang persamaan diferensial parsial linear order satu berikut
𝑎(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥 + 𝑏(𝑥, 𝑦)𝑢𝑦 + 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦).
Kurva-kurva yang memenuhi persamaan diferensial biasa yaitu
𝑑𝑥
𝑎(𝑥, 𝑦)=
𝑑𝑦
𝑏(𝑥, 𝑦)
disebut kurva karakteristik persamaan diferensial tersebut.
Catatan: notasi 𝑢𝑥 bermakna 𝜕𝑢(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥⁄ .
Penurunan persamaan diatas dapat dilihat pada buku karangan Lokenath Debnath
yang berjudul Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers.
Misalkan persamaan diferensial biasa diatas mempunyai penyelesaian ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑘,
dengan membuat transformasi
𝜉 = 𝑥,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
𝜂 = ℎ(𝑥, 𝑦),
maka
𝑢𝑥 =𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥=𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜕𝜉
𝜕𝑥+𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑥,
atau
𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 . 1 + 𝑢𝜂ℎ𝑥,
atau
𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 + 𝑢𝜂ℎ𝑥,
dan
𝑢𝑦 =𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦=𝜕𝑢
𝜕𝜉
𝜕𝜉
𝜕𝑦+𝜕𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑦,
atau
𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 . 0 + 𝑢𝜂𝜂𝑦,
atau
𝑢𝑥 = 𝑢𝜂𝜂𝑦,
atau
𝑢𝑥 = 𝑢𝜂ℎ𝑦.
Contoh 2.5.1
Tentukan penyelesaian dari persamaan 𝑢𝑥 + 𝑦𝑢𝑦 = 𝑥 dengan 𝑢(1, 𝑦) = cos 𝑦.
Penyelesaian:
Karakteristik dari persamaan tersebut diberikan oleh
𝑑𝑥
1=𝑑𝑦
𝑦,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∫𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑦
𝑦,
𝑥 + 𝑘 = ln 𝑦,
𝑒𝑥𝑒𝑘 = 𝑦,
𝑦 = 𝑐𝑒𝑥 atau c = 𝑦𝑒−𝑥.
Kemudian, ditransformasi menjadi
𝜉 = 𝑥 atau 𝑥 = 𝜉,
𝜂 = 𝑦𝑒−𝑥 atau 𝑦 = 𝜂𝑒𝑥.
Persamaan diferensial parsial tersebut menjadi
𝑢𝜉 = 𝜉,
sehingga,
𝜕𝑢
𝜕𝜉= 𝜉,
∫𝜕𝑢 = ∫𝜉𝜕𝜉,
𝑢 =𝜉2
2+ 𝑔(𝜂) =
𝑥2
2+ 𝑔(𝑦𝑒−𝑥),
dan u(1, 𝑦) = cos 𝑦 =1
2+ 𝑔(𝑦𝑒−1).
Misal 𝑧 =𝑦
𝑒 maka 𝑦 = 𝑒𝑧 didapat 𝑔(𝑧) = cos 𝑒𝑧 −
1
2.
Jadi, penyelesaiannya 𝑢 =𝑥2
2+ 𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑒−𝑥) −
1
2.
F. Metode Volume Hingga
Pada subbab ini akan dijelaskan skema upwind dan skema volume hingga
secara numeris untuk model persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
1. Skema Upwind
Dipandang persamaan diferensial hiperbolik order satu yaitu
𝑞𝑡 + 𝑐𝑞𝑥 = 0
dengan 𝑐 ∈ ℝ+ (arah rambatannya ke kanan).
Skema upwind untuk persamaan diatas adalah
𝑄𝐼𝑛+1 = 𝑄𝐼
𝑛 −∆𝑡
∆𝑥(𝐹𝑖+1 2⁄
𝑛 − 𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 ).
Fluks upwind untuk 𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 dan 𝐹𝑖+1 2⁄
𝑛 didefinisikan sebagai
𝐹𝑖+1 2⁄𝑛 ≈ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖, 𝑡
𝑛)),
𝐹𝑖+1 2⁄𝑛 ≈ 𝑐𝑞(𝑥𝑖, 𝑡
𝑛),
𝐹𝑖+1 2⁄𝑛 ≈ 𝑐𝑄𝑖
𝑛,
dan
𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 ≈ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖−1, 𝑡
𝑛)),
𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 ≈ 𝑐𝑞(𝑥𝑖−1, 𝑡
𝑛),
𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 ≈ 𝑐𝑄𝑖−1
𝑛 .
2. Skema Volume Hingga
Dipandang persamaan diferensial parsial berbentuk hukum kekekalan
hiperbolik
𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0
Diambil nilai 𝑄𝑖𝑛 sebagai pendekatan nilai rata-rata interval ke-𝑖 pada waktu ke
𝑡𝑛 sebagai berikut
𝑄𝑖𝑛 =
1
∆𝑥∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥𝑥𝑖+1 2⁄
𝑥𝑖−1 2⁄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
dengan ∆𝑥 = 𝑥𝑖+1
2
− 𝑥𝑖−1
2
, yang fluks volume hingganya pada 𝑥 = 𝑥𝑖+1
2
diberikan oleh
𝐹𝑖+12
𝑛 =1
∆𝑡∫ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖, 𝑡))𝑑𝑡𝑡𝑛+1
𝑡𝑛
maka
𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖
𝑛
∆𝑡+
𝐹𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛
∆𝑥= 0,
atau
𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖
𝑛
∆𝑡= −
𝐹𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛
∆𝑥,
atau
𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖
𝑛 = −∆𝑡
𝐹𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛
∆𝑥,
atau
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑥(𝐹
𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛 ).
G. Metode Garis
Metode garis merupakan teknik secara umum untuk menyelesaikan
persamaan diferensial parsial dengan menggunakan beda hingga yang berhubungan
dengan turunan pada ruang dan persamaan diferensial biasa pada turunan waktu.
Definisi 2.6.1
Persamaan diferensial parsial order satu dikatakan hiperbolik jika matriks Jacobian
dari fungsi fluks dapat didiagonalkan dan semua nilai eigennya bernilai real.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Definisi 2.6.2
Dipandang persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu dalam domain ruang
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 dan domain waktu 𝑡 > 0
𝑢𝑡 + 𝑣𝑢𝑥 = 0 (2.6.1)
Persamaan di atas disebut persamaan adveksi linear dengan 𝑣 adalah konstanta yang
menyatakan kecepatan arus. Aproksimasi metode garis pada persamaan (2.6.1)
yaitu:
𝑑𝑢𝑖𝑑𝑡
= −𝑣𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1
∆𝑥 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
dengan ∆𝑥 =𝐿
𝑛.
Catatan: Persamaan dapat ditulis sebagai persamaan diferensial biasa jika
persamaan hanya bergantung pada satu variabel bebas (𝑡).
H. Matriks Jacobian
Diketahui = 𝑓() yang terdiri dari 𝑛 buah persamaan dengan =
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) yaitu
=
[ 𝑓1()
𝑓2()...
𝑓𝑛()]
, (2.7.1)
atau dapat ditulis sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
𝑦1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),
𝑦2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),...
𝑦𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛).
(2.7.2)
Matriks Jacobian didefinisikan sebagai
𝐽(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) =
[ 𝜕𝑦1𝜕𝑥1
⋯𝜕𝑦1𝜕𝑥𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑦𝑛𝜕𝑥1
⋯𝜕𝑦𝑛𝜕𝑥𝑛]
. (2.7.3)
Determinan Jacobian didefiniskan sebagai
|𝐽| = |𝜕(𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)
𝜕(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)|. (2.7.4)
I. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.8.1 (Leon, 2001)
Misalkan 𝑨 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛. Skalar 𝜆 disebut sebagai suatu nilai eigen
atau nilai karakteristik (characteristic value) dari 𝑨 jika dan hanya jika terdapat
suatu vektor tak nol x, sehingga 𝑨x = 𝜆x. Vektor x disebut vektor eigen atau
vektor karakteristik yang berkorespondensi dengan 𝜆.
Contoh 2.8.1
Tentukan nilai eigen jika diketahui
𝑨 = (4 −21 1
) dan x= (21).
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Karena
𝑨x= (4 −21 1
) (21) = (
63) = 3 (
21) = 3x.
Dari persamaan ini terlihat bahwa 𝜆 = 3 adalah nilai eigen dari 𝑨 dan x merupakan
vektor eigen dari 𝜆. Sesungguhnya, sembarang kelipatan taknol dari vektor eigen x
akan menjadi vektor eigen, karena
𝑨(𝛼𝐱) = 𝑨𝛼𝐱 = 𝛼𝑨𝐱 = α𝜆𝐱 = 𝜆(𝛼𝐱)
Jadi, sebagai contoh (4,2)𝑇 juga vektor eigen milik 𝜆 = 3. Hal ini dapat di lihat dari
(4 −21 1
) (42) = (
126) = 3 (
42).
Contoh 2.8.2
Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dengan matriks
𝑨 = (3 23 −2
)
Penyelesaian:
Persamaan karakteristiknya adalah
|3 − 𝜆 23 −2 − 𝜆
| = 0,
atau 𝜆2 − 𝜆 − 12 = 0.
Jadi, nilai-nilai eigen dari 𝑨 adalah 𝜆1 = 4 dan 𝜆2 = −3. Untuk mencari vektor
eigen yang dimiliki oleh 𝜆1 = 4, kita harus menentukan ruang nol dari 𝑨 − 4𝑰.
𝑨 − 4𝑰 = (−1 23 −6
)
Dengan menyelesaikan (𝑨 − 4𝑰)𝐱 = 𝟎, kita mendapatkan
𝐱 = (2𝑥2, 𝑥2)𝑇 = 𝑥2(2,1)
𝑇
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Jadi semua kelipatan tak nol (2,1)𝑇 adalah vektor eigen milik 𝜆1 dan (2,1)𝑇
adalah suatu vektor eigen untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan 𝜆1. Dengan
cara yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen bagi 𝜆2, kita harus menyelesaikan
Pada kasus ini, (−1,3)𝑇 adalah basis untuk 𝑁(𝑨 + 3𝑰) dan sembarang kelipatan
taknol dari (−1,3)𝑇 adalah vektor eigen milik 𝜆2. Di sini, 𝑁 melambangkan
ruang nol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
BAB III
PENYELESAIAN MODEL ARUS LALU LINTAS
A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas
Dalam masalah arus lalu lintas, ada tiga variabel dasar lalu lintas yaitu
kecepatan kendaraan, kepadatan lalu lintas, dan arus lalu lintas. Untuk
menunjukkan ketiga hubungan variabel tersebut, ada salah satu kemungkinan yang
terjadi yaitu situasi lalu lintas yang sederhama. Misalkan, lalu lintas pada jalan yang
sama bergerak dengan kecepatan konstan 𝑢0 dan kepadatan lalu lintas konstan 𝜌0.
Ilustrasi ditunjukan oleh Gambar 3.1.
Gambar 3.1 Lalu lintas kendaraan konstan.
Karena kecepatan setiap kendaraan konstan maka jarak antar kendaraan
akan tetap konstan. Oleh karena itu, kepadatan lalu lintas tidak akan berubah seperti
jumlah kendaraan yang diamati oleh pengamat per jamnya. Setelah waktu 𝜏 jam,
setiap kendaraan bergerak sejauh 𝜏𝑢0, yaitu pergerakan pengemudi dalam
kendaraan akan sama dengan kecepatan kendaraan dikalikan dengan waktu. Jadi,
jumlah kendaraan dalam jarak 𝜏𝑢0 adalah banyaknya kendaraan yang diamati oleh
pengamat yang melewati posisi pengamat setelah waktu 𝜏 jam (lihat Gambar 3.2).
Pengamat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Gambar 3.2 Jarak kendaraan yang bergerak dengan kecepatan konstan dalam
waktu 𝜏 jam.
Misalkan 𝜌0 adalah banyaknya kendaraan per mil dan 𝜏𝑢0 adalah jarak
pergerakan kendaraan, maka 𝜌0𝜏𝑢0 adalah banyaknya kendaraan yang melewati
pengamat setelah waktu 𝜏 jam. Jumlah kendaraan per jam disebut arus lalu lintas.
Secara matematis arus lalu lintas didefinisikan oleh
𝑞 = 𝜌0𝑢0. (3.1.1)
Persamaan tersebut telah diturunkan dari masalah yang telah
disederhanakan. Hal ini digunakan untuk menunjukkan hukum dasar dari masalah
lalu lintas bahwa arus lalu lintas sama dengan kepadatan lalu lintas dikalikan
dengan kecepatan kendaraan. Jika variabel pada lalu lintas bergantung pada 𝑥 dan
𝑡 seperti 𝑞(𝑥, 𝑡), 𝜌(𝑥, 𝑡), 𝑢(𝑥, 𝑡) maka dapat ditunjukkan bahwa
𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡). (3.1.2)
Persamaan (3.1.2) dapat ditunjukkan dengan memisalkan jumlah kendaraan
yang melewati 𝑥 = 𝑥0 dengan perbedaan waktu ∆𝑡 yang sangat kecil seperti waktu
antara 𝑡0 dan 𝑡0 + ∆𝑡. Jika ∆𝑡 sangat kecil, maka kendaraan bergerak lambat. 𝜌 dan
𝑢 adalah fungsi kontinu yang bergantung pada 𝑥 dan 𝑡, sehingga 𝜌(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡)
dapat didekati sebagai fungsi konstan dengan nilai 𝑥 = 𝑥0 dan 𝑡 = 𝑡0. Perbedaan
𝑢𝑜𝜏
Pengamat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
waktu ∆𝑡 yang sangat kecil dan kendaraan melewati ruas jalan yang sempit maka
arus lalu lintas dapat diaproksimasi dengan 𝑢(𝑥, 𝑡)∆𝑡 yang melalui pengamat,
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3. Oleh karena itu, banyaknya kendaraan
yang melewati ruas jalan dapat diaproksimasi dengan 𝑢(𝑥, 𝑡)∆𝑡𝜌(𝑥, 𝑡) sehingga
arus lalu lintas diberikan oleh persamaan (3.1.2). Fungsi konstan 𝑢0 dan 𝜌0 tidak
membutuhkan modifikasi seperti fungsi 𝑢(𝑥, 𝑡) dan 𝜌(𝑥, 𝑡). Akibatnya, ada tiga
variabel dasar dalam masalah lalu lintas yaitu kepadatan lalu lintas 𝜌(𝑥, 𝑡),
kecepatan kendaraan 𝑢(𝑥, 𝑡), dan arus lalu lintas 𝑞(𝑥, 𝑡) yang sesuai pada
persamaan (3.1.2).
Gambar 3.3 Aproksimasi perbedaan pergerakan kendaraan dalam waktu ∆𝑡.
B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas
Misalkan kondisi awal untuk kepadatan arus lalu lintas (𝜌(𝑥, 𝑡)) dan
kecepatan kendaraan (𝑢(𝑥, 𝑡)) diketahui pada panjang jalannya yang tak terhingga.
Pergerakan setiap kendaraan didefinisikan dengan persamaan diferensial biasa
order satu, yaitu:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑢(𝑥, 𝑡)
(3.2.1)
dengan 𝑥(0) = 𝑥0.
𝑢∆𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Persamaan (3.2.1) menyatakan persamaan yang bergantung pada posisi
setiap kendaraan pada waktu tertentu. Penyelesaian dari persamaan tersebut berupa
fungsi kepadatan lalu lintas (𝜌(𝑥, 𝑡)). Akibatnya, kecepatan kendaraan
mempengaruhi kepadatan lalu lintas.
Diketahui interval panjang ruas jalan dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 seperti pada
Gambar 3.4.
Gambar 3.4 Kendaraan yang masuk dan keluar dari ruas jalan.
Jadi, jumlah kendaraan (𝑁) pada interval 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 adalah
𝑁 = ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥.𝑏
𝑎
(3.2.2)
Jika tidak ada ruas jalan lain yang digunakan untuk masuk dan keluarnya
kendaraan, maka jumlah kendaraan dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 akan berubah yang
perubahannya hanya dipengaruhi oleh posisi di 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. Jumlah kendaraan
akan berkurang jika kendaraan-kendaraan keluar dari daerah melalui 𝑥 = 𝑏, tetapi
jumlah kendaraan akan bertambah jika kendaraan-kendaraan masuk ke dalam
daerah melalui 𝑥 = 𝑎. Perubahan jumlah kendaraan (𝑑𝑁
𝑑𝑡) yaitu jumalhkendaraan
dalam waktu tertentu yang masuk ke daerah melalui 𝑥 = 𝑎 dikurangi dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
jumlah kendaraan dalam waktu tertentu yang keluar dari daerah melalui 𝑥 = 𝑏
dirumuskan dengan
𝑑
𝑑𝑡𝑁 =
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
,
𝑑𝑁
𝑑𝑡= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡),
(3.2.3)
dengan 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah perubahan jumlah kendaraan tiap satuan waktu. Penyelesaian
persamaan (3.2.3) tersebut sulit untuk dicari dengan cara langsung sehingga
diselesaikan sebagai berikut
𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡)
∆𝑡≈ 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡) ,
𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡) ≈ 𝑞(𝑎, 𝑡)∆𝑡 − 𝑞(𝑏, 𝑡)∆𝑡 , (3.2.4)
dengan 𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡) adalah perubahan jumlah kendaraan antara waktu 𝑡 dan
𝑡 + ∆𝑡.
Jika 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah perubahan jumlah kendaraan yang melewati ruas jalan
pada waktu tertentu, maka ∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡𝑡1
𝑡0 adalah jumlah kendaraan yang melewati
ruas jalan pada waktu tertentu antara 𝑡 = 𝑡0 dan 𝑡 = 𝑡1. Pada penurunan pendekatan
nya, 𝑡 + ∆𝑡 = 𝑡1 dan 𝑡 = 𝑡0 yang integralnya mendekati 𝑞(𝑥, 𝑡)∆𝑡, sehingga
𝑁(𝑡1) − 𝑁(𝑡0) = ∫ 𝑞(𝑎, 𝑡)𝑑𝑡𝑡1
𝑡0
−∫ 𝑞(𝑏, 𝑡)𝑑𝑡𝑡1
𝑡0
= ∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1
𝑡0
𝑑𝑡. (3.2.5)
Persamaan (3.2.5) dibagi dengan 𝑡1 − 𝑡0 dan diambil limit 𝑡1 mendekati 𝑡0 didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
𝑁(𝑡1) − 𝑁(𝑡0) = ∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1
𝑡0
𝑑𝑡,
𝑁(𝑡1) − 𝑁(𝑡0)
𝑡1 − 𝑡0=∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1
𝑡0𝑑𝑡
𝑡1 − 𝑡0,
lim𝑡1→𝑡0
𝑁(𝑡1) − 𝑁(𝑡0)
𝑡1 − 𝑡0= lim
𝑡1→𝑡0
∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1
𝑡0𝑑𝑡
𝑡1 − 𝑡0,
𝑑𝑁(𝑡1)
𝑑𝑡1=
𝑑
𝑑𝑡1∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1
𝑡0
𝑑𝑡. (3.2.6)
Menurut Teorema Fundamental Kalkulus, persaman (3.2.6) menghasilkan
𝑑𝑁(𝑡1)
𝑑𝑡1= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡). (3.2.7)
Di sini 𝑡1 dapat berada di sembarang waktu 𝑡 sehingga notasi 𝑡1 dapat digantikan
dengan notasi 𝑡 jadi diperoleh
𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡).
(3.2.8)
Dengan mengkombinasikan antara persamaan (3.2.1) dan (3.2.8) diperoleh
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡) . (3.2.9)
Persamaan di atas menunjukkan bahwa tidak ada kendaraan yang masuk atau keluar
tanpa melalui batas dan perubahan banyaknya kendaraan hanya terjadi pada batas
lalu lintas. Hal ini bukan berarti bahwa banyaknya kendaraan antara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 =
𝑏 konstan. Jadi, persamaan (3.2.9) disebut hukum konservasi berbentuk integral
yang menunjukkan panjang lalu lintasnya berhingga di antara 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Contoh:
Misalkan 𝑥 menuju ±∞ sehingga aliran kendaraan menuju nol pada jalan layang
yang takhingga panjangnya yaitu
lim𝑥→±∞
𝑞(𝑥, 𝑡) = 0
Dengan menggunakan persamaan (3.2.9) didapat
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥∞
−∞
= 0,
atau∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥∞
−∞
= 𝑐,
dengan 𝑐 adalah konstan.
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa jumlah kendaraan akan tetap konstan pada
sepanjang waktu, tetapi hanya bisa diselesaikan jika kondisi awal jumlah kendaraan
adalah 𝑁0 atau kondisi awal kepadatan lalu lintas 𝜌(𝑥, 0) diketahui, sehingga:
∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥∞
−∞
= 𝑁0 = ∫ 𝜌(𝑥, 0)𝑑𝑥∞
−∞
.
Hukum konservasi berbentuk integral pada persamaan (3.2.9) disebut hukum
konservasi lokal pada posisi setiap jalan. Permasalahan yang diselesaikan dengan
tiga cara itu, titik akhir pada ruas jalan adalah 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 yang merupakan
kondisi (variabel terikat) tambahan. Dari keterangan di atas, persamaan (3.2.9)
harus diganti dengan turunan parsial yaitu
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡). (3.2.10)
Diasumsikan 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 adalah posisi yang tetap pada setiap waktu (lihat
persamaan 3.2.9).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
(1) Perhatikan integral konservasi dari kendaraan dalam interval yang kecil
pada jalan layang dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑎.
Persamaan (3.2.10) menjadi
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎+∆𝑎
𝑎
= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡)
1
−∆𝑎
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎+∆𝑎
𝑎
=1
−∆𝑎(𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡))
lim∆𝑎→0
1
−∆𝑎
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎+∆𝑎
𝑎
= lim∆𝑎→0
1
−∆𝑎(𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡))
lim∆𝑎→0
𝜕
𝜕𝑡
1
−∆𝑎∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎+∆𝑎
𝑎
= lim∆𝑎→0
𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡)
−∆𝑎 (3.2.11)
Pada persamaan (3.2.10), ruas kanan adalah definisi turunan dari 𝑞(𝑎, 𝑡)
terhadap 𝑎 yaitu 𝜕
𝜕𝑎𝑞(𝑎, 𝑡). Sedangkan, ruas kiri adalah limitnya yang
ditunjukkan dengan dua cara, yaitu:
a. Integral adalah luas daerah di bawah kurva 𝜌(𝑥, 𝑡) antara 𝑥 = 𝑎 dan
𝑥 = 𝑎 + ∆𝑎. Dengan ∆𝑎 yang cukup kecil, maka jumlah kendaraan
antara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑎 adalah
1
−∆𝑎∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎+∆𝑎
𝑎
≈ − 𝜌(𝑎, 𝑡) (3.2.12)
Oleh karena itu, persamaan (3.2.11) dapat diturunkan menjadi
𝜕
𝜕𝑡𝜌(𝑎, 𝑡) +
𝜕
𝜕𝑎𝑞(𝑎, 𝑡) = 0.
(3.2.13)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
b. Fungsi 𝑁(, 𝑡), jumlah kendaraan di jalan raya di antara sembarang
posisi tetap 𝑥0 dan variabel posisi 𝑥 yaitu:
𝑁(, 𝑡) ≡ ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥
𝑥0
. (3.2.14)
Kelajuan rata-rata kendaraan antara 𝑎 dan 𝑎 + ∆𝑎 setiap mil adalah
1
−∆𝑎∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎+∆𝑎
𝑎
=𝑁(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡) − 𝑁(𝑎)
−∆𝑎,
lim∆𝑎→0
1
−∆𝑎∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎+∆𝑎
𝑎
= lim∆𝑎→0
𝑁(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡) − 𝑁(𝑎)
−∆𝑎.
Dengan menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus didapat
𝜕𝑁(𝑎, 𝑡)
𝜕𝑎= 𝜌(𝑎, 𝑡).
(3.2.15)
Persamaan (3.2.10) dapat diselesaikan juga dengan menggunakan
metode (a) atau (b). Karena persamaan (3.2.10) mengandung semua nilai
𝑎, maka 𝑎 dapat digantikan dengan 𝑥 yaitu
𝜕
𝜕𝑡𝜌(𝑥, 𝑡) +
𝜕
𝜕𝑥[𝑞(𝑥, 𝑡)] = 0,
(3.2.16)
atau
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑞
𝜕𝑥= 0.
(3.2.17)
Persamaan ini disebut persamaan diferensial parsial yang menunjukkan
hubungan antara kepadatan lalu lintas dan arus lalu lintas yang
diasumsikan bahwa jumlah kendaraan tetap pada waktu tertentu yang
disebut hukum konservasi.
(2) Penurunan persamaan yang berbentuk hukum konservasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Perhatikan hukum konservasi berbentuk integral pada persamaan (3.2.10) untuk
berhingga ruas garis pada jalan layang antara 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Diambil turunan
parsial terhadap 𝑏, yaitu 𝑏 = 𝑎 + ∆𝑎 yang dibagi dengan ∆𝑎 dan diambil limit
∆𝑎 → 0, didapat
𝜕𝜌(𝑏, 𝑡)
𝜕𝑡= −
𝜕
𝜕𝑏(𝑞(𝑏, 𝑡)).
(3.2.18)
Karena 𝑏 merepresentasikan sembarang posisi di jalan raya sehingga 𝑏 dapat
digantikan dengan 𝑥. Jadi, persamaan tersebut memenuhi persamaan hukum
konservasi seperti pada persamaan (3.2.16).
(3) Penurunan hukum konservasi pada ruas jalan yang panjangnya berhingga
antara 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 yang hubungannya dengan ruas kanan pada persamaan
(3.2.16) .
𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡) = −𝜕
𝜕𝑡∫ [𝑞(𝑥, 𝑡)]𝑑𝑥𝑏
𝑎
. (3.2.19)
Dari persamaan (3.2.16) didapat
∫ [𝜕𝜌(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡+𝜕𝑞(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 0. (3.2.20)
Persamaan di atas dapat diturunkan terhadap 𝑏 seperti pada persamaan
(3.2.16), yang akan didapat seperti pada kasus (1) dan (2). Persamaan (3.2.20)
adalah definisi dari beberapa kuantitas integral yang hasilnya selalu nol untuk
setiap nilai yang bebas yang diambil limitnya. Fungsi yang diintegralkan yang
hasilnya nol untuk sembarang interval adalah fungsi nol. Oleh karana itu,
didapat persamaan (3.2.10).
Dari ketiga metode tersebut terbukti bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑞
𝜕𝑥= 0.
(3.2.21)
Persamaan (3.2.21) sesuai jika tidak ada jalan yang masuk ataupun keluar yang
menginterpretasikan hukum konservasi dalam berbagai situasi dengan tidak
adanya lalu lintas. Secara umum, jika 𝜌 adalah kepadatan dari kuantitas lokal
dan 𝑞 adalah arus dari kuantitas batas persimpangan maka persamaannya seperti
pada persamaan (3.2.21). Namun masalah arus lalu lintas didefinisikan sebagai
𝑞 = 𝜌𝑢.
Oleh karena itu, hukum konservasi dapat ditulis sebagai
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑥(𝜌𝑢) = 0.
(3.2.22)
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial untuk
masalah lalu lintas yang berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan
kecepatan kendaraan.
C. Linearisasi Model Lalu Lintas
Dipandang model deterministik arus lalu lintas berbentuk persamaan
diferensial parsial
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑥(𝜌𝑢) = 0,
(3.3.1)
atau
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑞
𝜕𝑥= 0.
(3.3.2)
Persamaan (3.3.2) dapat diturunkan menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑞
𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0.
Karena 𝑞 merupakan fungsi yang hanya bergantung pada 𝜌 maka
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝑑𝑞
𝑑𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0, (3.3.3)
dengan 𝜌 adalah fungsi kontinu non linear.
Diketahui nilai awal kepadatan lalu lintas
𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥).
Persamaan diferensial parsial untuk arus lalu lintas tersebut tidak dapat
diselesaikan dengan menggunakan integral seperti contoh di bawah ini apabila
diketahui nilai awal 𝜌(0) = 𝜌0 yang dapat diselesaikan mirip dengan cara
menyelesaikan persamaan diferensial biasa.
Contoh 1
Akan diselesaikan
𝜕𝜌
𝜕𝑡= 0.
Persamaan diferensial tersebut dapat langsung diintegralkan, yaitu
∫𝜕𝜌 = 0∫𝜕𝑡,
𝜌 = c,
dengan 𝑐 ∈ ℝ.
Diketahui 𝜌(0) = 𝜌0 maka penyelesaian pada Contoh 1 adalah
𝜌 = 𝜌0.
Contoh 2
Akan diselesaikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
𝜕𝜌
𝜕𝑡= −𝜌 + 2𝑒𝑡 .
Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan variabel terpisah
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝜌 = 2𝑒𝑡.
Faktor integralnya 𝜇(𝑡) = 𝑒∫𝑑𝑡 = 𝑒𝑡.
Persamaan tersebut dikali dengan 𝑒𝑡 menjadi
𝑒𝑡𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝑒𝑡𝜌 = 2𝑒2𝑡,
𝜕
𝜕𝑡(𝑒𝑡𝜌) = 2𝑒2𝑡,
∫𝜕(𝑒𝑡𝜌) = 2∫𝑒2𝑡𝜕𝑡,
𝑒𝑡𝜌 = 𝑒2𝑡 + 𝑐,
𝜌 = 𝑒𝑡 + 𝑐𝑒−𝑡.
Diketahui 𝜌(0) = 𝜌0 maka
𝑒0 + 𝑐𝑒0 = 𝜌0,
1 + 𝑐 = 𝜌0,
𝑐 = 𝜌0 − 1.
Penyelesaian pada Contoh 2 adalah
𝜌 = 𝑒𝑡 + (𝜌0 − 1)𝑒−𝑡.
Contoh 3
Akan dicari penyelesaian persamaan diferensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
𝜕𝜌
𝜕𝑡= −𝑥𝜌.
Karena 𝜌 adalah fungsi yang bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 maka persamaan diferensial
parsial tersebut dapat diselesaikan dengan metode variabel terpisah yaitu
𝜕𝜌
𝜌= −𝑥 𝜕𝑡,
∫𝜕𝜌
𝜌= ∫−𝑥 𝜕𝑡,
ln|𝜌| = −𝑥𝑡 + 𝑐,
𝑒ln|𝜌| = 𝑒−𝑥𝑡+𝑐,
𝑒ln|𝜌| = 𝑒−𝑥𝑡𝑒𝑐.
Dimisalkan 𝑒𝑐 = 𝑐3 maka
𝑒ln|𝜌| = 𝑐3𝑒−𝑥𝑡,
𝜌 = 𝑐3𝑒−𝑥𝑡.
Untuk nilai 𝑥 konstan yang lain mungkin bervariasi, oleh karena itu penyelesaian
persamaan diferensial parsial tersebut adalah
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑐3(𝑥)𝑒−𝑥𝑡.
Diketahui kondisi awal 𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) berarti
𝑐3(𝑥)𝑒0 = 𝑓(𝑥),
𝑐3(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Jadi, didapat penyelesaiannya yaitu
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥)𝑒−𝑥𝑡.
Misalkan diketahui nilai awal dari kepadatan lalu lintas konstan yang tidak
bergantung pada variabel 𝑥 yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
𝜌(𝑥, 0) = 𝜌0.
Dengan kata lain, kepadatan lalu lintas tetap konstan karena semua kendaraan
bergerak dengan kecepatan yang sama. Akibatnya, nilai akhir kepadatan lalu lintas
akan tetap konstan seperti nilai awalnya
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0.
Kepadatan lalu lintas yang konstan tersebut merupakan kepadatan di titik
ekuilibrium. Jika kepadatan lalu lintas relatif konstan, persamaan diferensial
tersebut dapat diselesaikan dengan perturbasi atau usikan, misalkan
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜀𝜌1(𝑥, 𝑡), (3.3.4)
dengan 𝜀 adalah konstan yang cukup kecil dan |𝜀𝜌1| ≪ 𝜌0 yang disebut perturbasi
kepadatan lalu lintas.
Asumsikan nilai awal kepadatan lalu lintas adalah fungsi terhadap 𝑥
diketahui dan mendekati konstan 𝜌0, sehingga
𝜌(𝑥, 0) = 𝜌0 + 𝜀𝑓(𝑥). (3.3.5)
Persamaan (3.3.5) juga merupakan perturbasi kepadatan lalu lintas yang nilai
awalnya diketahui yaitu 𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) sehingga persamaan (3.3.4) dapat
disubstitusikan ke dalam persamaan (3.3.3) menjadi
𝜕
𝜕𝑡(𝜌0 + 𝜀𝜌1) +
𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1)
𝜕
𝜕𝑥(𝜌0 + 𝜀𝜌1) = 0,
𝜀𝜕𝜌1𝜕𝑡
+𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1)𝜀
𝜕𝜌1𝜕𝑥
= 0,
𝜕𝜌1𝜕𝑡
+𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1)
𝜕𝜌1𝜕𝑥
= 0. (3.3.6)
Dengan ekspansi deret Taylor diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1) =
𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌0) + 𝜀𝜌1
𝑑2𝑞
𝑑𝜌2(𝜌0) +
(𝜀𝜌1)2
2!
𝑑3𝑞
𝑑𝜌3(𝜌0) +
(𝜀𝜌1)3
2!
𝑑4𝑞
𝑑𝜌4(𝜌0)
+ ⋯.
Order tingkat tinggi dalam ekspansi deret Taylor diabaikan. Oleh karena itu,
didapat
𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1) =
𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌0).
Dari ekspansi deret Taylor maka persamaan (3.3.6) menjadi
𝜕𝜌1𝜕𝑡
+𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌0)
𝜕𝜌1𝜕𝑥
= 0, (3.3.7)
atau
𝜕𝜌1𝜕𝑡
+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥
= 0 (3.3.8)
dengan 𝑐 = 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ (𝜌0).
Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan (3.3.8) yang terkait dengan
linearisasi masalah lalu lintas. Kondisi awal kepadatan lalu lintas adalah usikan
awal kepadatan lalu lintas yang diketahui
𝜌1(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥).
Didefinisikan koordinat ruang lain yaitu 𝑥′ yang bergerak dengan kecepatan
konstan 𝑐. Diasumsikan dua sistem koordinat 𝑥 dan 𝑥′ yang asalnya sama di 𝑡 = 0
(lihat Gambar 3.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Gambar 3.5 Kendaraan bergerak dengan kecepatan 𝑐
Setelah waktu 𝑡, sistem koordinat berpindah pada jarak 𝑐𝑡 karena kendaraan
bergerak dengan kecepatan konstan 𝑐 yang diilustrasikan oleh Gambar 3.6.
Gambar 3.6 Ilustrasi 𝑥′ yang bergerak dengan kecepatan 𝑐.
Oleh karena itu, jika 𝑥′ = 0 maka 𝑥 = 𝑐𝑡. Di sisi lain pada 𝑥′, 𝑥 = 𝑥′ + 𝑐𝑡 atau
𝑥′ = 𝑥 − 𝑐𝑡. Persamaan diferensial parsial yang dihasilkan dari linearisasi arus lalu
lintas yang bergerak pada sistem koordinat akan diselidiki apa yang terjadi. Sebagai
gantinya, penyelesaiannya bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 atau 𝑥′ dan 𝑡. Pengubahan
variabel yang melibatkan turunan parsial dilakukan untuk memudahkan dalam
menjelaskan perbedaan notasi setiap variabel yang digunakan. Variabel 𝑥′ dan 𝑡′
Bergerak dengan kecepatan 𝑐
𝑐
𝑥 = 0
𝑥′ = 0
𝑡 = 0
𝑥 = 0
𝑥′ = 0
𝑡 = 0 𝑥
𝑐𝑡 𝑥′
𝑥′
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
dengan 𝑡′ = 𝑡 digunakan untuk bergeraknya sistem koordinat. Akibatnya,
pengubahan variabel yang digunakan adalah
𝑥′ = 𝑥 − 𝑐𝑡,
𝑡′ = 𝑡.
Aturan rantai turunan parsial dilakukan untuk menyatakan persamaan
diferensial parsial dalam bentuk variabel baru yaitu
𝜕
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥′
𝜕𝑥′
𝜕𝑥+𝜕
𝜕𝑡′
𝜕𝑡′
𝜕𝑥,
𝜕
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥′1 +
𝜕
𝜕𝑡′0,
𝜕
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥′.
dan
𝜕
𝜕𝑡=
𝜕
𝜕𝑥′
𝜕𝑥′
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑡′
𝜕𝑡′
𝜕𝑡,
𝜕
𝜕𝑡=
𝜕
𝜕𝑥′(−𝑐) +
𝜕
𝜕𝑡′1,
𝜕
𝜕𝑡= −𝑐
𝜕
𝜕𝑥′+𝜕
𝜕𝑡′.
Walaupun 𝑡 = 𝑡′ tetapi 𝜕
𝜕𝑡≠
𝜕
𝜕𝑡′ karena hasil tersebut diperoleh dari definisi dua
turunan parsial. 𝜕
𝜕𝑡 merupakan turunan terhadap waktu pada titik 𝑥 = 0, sedangkan
𝜕
𝜕𝑡′ merupakan turunan terhadap waktu terhadap titik 𝑥′ yang bergerak dengan
kecepatan 𝑐. Perubahan waktu mungkin berbeda pada kedua sistem tersebut. Hal
itu menekankan pada pentingnya memaparkan variabel waktu yang baru 𝑡′, yang
menyatakan perbedaan notasi antara titik 𝑥 dan titik 𝑥′.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Oleh karena itu, persamaan (3.3.8) pada sistem koordinat yang bergerak
dengan kecepatan 𝑐 menjadi
−𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥′
+𝜕𝜌1𝜕𝑡′
+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥′
= 0,
𝜕𝜌1𝜕𝑡′
= 0.
Persamaan diferensial parsial tersebut mempunyai penyelesaian
𝜕𝜌1 = 0𝜕𝑡′,
∫𝜕𝜌1 = ∫0𝜕𝑡′,
𝜌1 = konstan.
Untuk nilai 𝑥 yang berbeda, nilai 𝜌1 juga kemungkinan tidak konstan tetapi 𝜌1
adalah fungsi terhadap 𝑥′,
𝜌1 = 𝑔(𝑥′)
dengan 𝑔(𝑥′) merupakan fungsi yang berubah–ubah terhadap 𝑥′. Variabel aslinya
adalah
𝜌1 = 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡). (3.3.9)
Subtitusikan persamaan (3.3.9) ke persamaan (3.3.8). Dengan menggunakan aturan
rantai diperoleh
𝜕𝜌1𝜕𝑥
=𝑑𝑔
𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡)
𝜕(𝑥 − 𝑐𝑡)
𝜕𝑥,
𝜕𝜌1𝜕𝑥
=𝑑𝑔
𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡),
dan
𝜕𝜌1𝜕𝑡
=𝑑𝑔
𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡)
𝜕(𝑥 − 𝑐𝑡)
𝜕𝑡,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
𝜕𝜌1𝜕𝑡
= −𝑐𝑑𝑔
𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡).
Sehingga terbukti bahwa persamaan (3.3.8) dipenuhi oleh persamaan (3.3.9).
Walaupun demikian, persamaan (3.3.8) melibatkan turunan parsial yang
bergantung terhadap 𝑥 dan 𝑡 yang dapat diintegralkan pada sistem koordinat yang
bergerak dengan kecepatan 𝑐. Penyelesaian secara umum persamaan (3.3.8)
mengandung fungsi yang berubah-ubah, seperti pada Contoh 3. Penyelesaian
umumnya adalah
𝜌1(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡).
Tetapi 𝜌1(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Akibatnya, penyelesaian dari
persamaan diferensial parsial dipenuhi dengan kondisi awal
𝜌1(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡),
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡). (3.3.10)
Jika kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan, maka kepadatan lalu
lintas tetap sama. Kepadatan lalu lintas tersebut menyebar seperti gelombang yang
disebut gelombang kepadatan lalu lintas dengan kecepatan gelombang 𝑐. Perlu
dingat bahwa kecepatan kendaraan mungkin berbeda dari kecepatan saat kendaraan
tersebut bergerak. Sepanjang kurva yang 𝑥 − 𝑐𝑡 = konstan, maka kepadatan lalu
lintas akan tetap sama. Garis tersebut disebut karakteristik dari persamaan
diferensial parsial
𝜕𝜌1𝜕𝑡
+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥
= 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Dalam kasus ini, karakteristik adalah semua garis lurus dengan kecepatan
𝑐, dengan 𝑐 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ . Ilustrasi karakteristik yang bermacam-macam pada diagram
ruang dan waktu ditunjukkan pada Gambar 3.7. Masing–masing karakteristik,
kepadatan lalu lintas sama dengan nilai kepadatan lalu lintas itu sendiri saat 𝑡 = 0.
Perlu diingat bahwa 𝜌1 akan tetap konstan sepanjang karakteristik, tetapi 𝜕𝜌1 𝜕𝑡⁄
dan 𝜕𝜌1 𝜕𝑥⁄ mungkin tidak sama dengan nol yang diilustrasikan pada Gambar 3.8.
Gambar 3.7 Karakteristik dari 𝜕𝜌1 𝜕𝑡⁄ + 𝑐 𝜕𝜌1 𝜕𝑥⁄ = 0.
Gambar 3.8 Variasi kepadatan lalu lintas.
Berdasarkan ilustrasi di atas 𝜕𝜌1 𝜕𝑡⁄ mungkin tidak sama dengan nol karena nilai
dari 𝜌1 mungkin bervariasi dengan nilai 𝑥 tertentu. Demikian pula, 𝜕𝜌1 𝜕𝑥⁄ tidak
𝑥
𝑥 = 𝑐𝑡 𝑡
𝑥1 𝑥0
𝑥 tertentu
𝑡 tertentu
𝜌1= 𝑓(𝑥1)
𝜌0= 𝑓(𝑥0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
mungkin nol karena nilai dari 𝜌1 mungkin berubah dengan nilai 𝑡 tertentu. Dalam
Gambar 3.7 dan 3.8 diasumsikan 𝑐 > 0 yaitu
𝑐 =𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌0).
(3.3.11)
Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan diperlihatkan pada gambar 3.9. Kemungkinan,
gradien yang positif berarti kepadatan lalu lintas lebih kecil daripada kapasitas jalan
yang bersesuaian, dan gradien yang negatif berarti kepadatan lalu lintas lebih besar
daripada kapasitas jalan yang bersesuaian. Gradien dikatakan signifikan jika usikan
yang diberikan cukup kecil pada kepadatan lalu lintas yang seragam yang bergerak
dengan kecepatan konstan yang sama dengan gradiennya seperti pada persamaan
(3.3.11). Gelombang kecepatan kendaraan dapat bernilai positif atau negatif.
Gambar 3.9 Kurva kepadatan lalu lintas : kapasitas jalan.
D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas
Sebuah lalu lintas dikatakan padat jika nilai kepadatannya lebih besar
daripada nilai kepadatan optimal pada kapasitas jalan. Sedangkan, lalu lintas
dikatakan tidak padat adalah jika nilai kepadatannya lebih kecil daripada nilai
𝑞 kapasitas
𝜌
jalan
𝜌𝑚𝑎𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
kepadatan optimal (lihat Gambar 3.10). Hal tersebut dapat disimpulkan bahwa lalu
lintas padat dimana usikan kepadatan bergerak dengan kecepatan yang bernilai
negatif ketika berlawanan arah dengan lalu lintas yang tidak padat, sesuai dengan
definisi dan Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan pada Gambar 3.9.
Gambar 3.10 Lalu lintas yang padat dan tidak padat
Diasumsikan kepadatan lalu lintas hampir seragam pada situasi lalu lintas
yang padat. Kondisi awal kepadatannya diilustrasikan oleh Gambar 3.11 dimana
garis putus-putus mengilustrasikan kondisi awal kepadatan yang mendekati konstan
dan titik pada grafik mengilustrasikan minimum relatif atau maksimum relatif dari
kepadatannya. Pada kasus sebelumnya, menunjukkan bahwa kepadatan akan tetap
konstan jika pengamat bergerak dengan kecepatan 𝑐 bernilai negatif. Akibatnya,
kepadatannya konstan sepanjang karakteristik, yang diilustrasikan oleh diagram
ruang dan waktu pada Gambar 3.12.
padat Tidak
padat
𝜌
𝑞
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Gambar 3.11 Lalu lintas padat yang hampir seragam.
Gambar 3.12 Karakteristik 𝜕𝜌1 𝜕𝑡⁄ + 𝑐 𝜕𝜌1 𝜕𝑥⁄ = 0.
Posisi dari maksimum relatif ditandai dengan garis tebal dan minimumnya
ditandai dengan garus putus–putus. Misalkan kepadatan awalnya ditunjukkan oleh
Gambar 3.13a, yang kemudian setelah waktu 𝜏 kepadatan bergerak mundur dengan
jarak |𝑐𝜏|, dengan 𝑐 = (𝜕𝑞 𝜕𝜌⁄ )(𝜌0) yang ditunjukkan oleh Gambar 3.14b.
Gambar 3.13a Kondisi awal kepadatan lalu lintas.
𝜌(𝑥, 0)
𝑥 = 0 𝑥
𝑥 = 0
𝑡
𝑥
𝜌(𝑥, 0)
𝑥 = 0 𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Gambar 3.14b Gelombang kepadatan bergerak mundur.
Kepadatan bergerak mundur dengan kecepatan konstan 𝑐 akan meningkat
dalam waktu yang kontinu. Gelombang kepadatan pengendara tanpa mengubah
bentuknya. Untuk membuat sketsa kepadatan 𝜌 yang bergantung pada fungsi 𝑥 dan
𝑡 membutuhkan sketsa berdimensi tiga dan hal tersebut tidak selalu mudah untuk
digambar. Sebagai contohnya, 𝑥 sumbu horizontal, 𝜌 sumbu vertikal, dan 𝑡 sumbu
yang arahnya ke kertas yang diperoleh dari Gambar 3.14. Kepadatan akan tetap
sama pada sepanjang lintasan dengan kecepatan 𝑐, dengan 𝑐 < 0. Variasi dari
kepadatan lalu lintas tampak bergerak mundur walaupun sebenarnya tidak ada
kendaraan yang bergerak mundur.
Gambar 3.14. Sketsa tiga dimensi (𝜌, 𝑥, 𝑡).
𝜌(𝑥, 0)
𝑥 = 0 𝑥
𝜌 𝑡
𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas
Dipandang persamaan diferensial parsial untuk masalah arus lalu lintas
setelah perturbasi
𝜕𝜌1𝜕𝑡
+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥
= 0, (3.5.1)
Misalkan kepadatan lalu lintas diukur dari pengamat yang bergerak bukan dari
kendaraan yang bergerak di lalu lintas. Posisi dari pengamat ditentukan oleh 𝑥 =
𝑥(𝑡). Kepadatan lalu lintas diukur dari pengamat yang bergantung pada waktu yaitu
𝜌1(𝑥(𝑡), 𝑡). Laju perubahan kepadatan bergantung dari variasi lalu lintas dan
pengamat yang bergerak, dengan turunan rantai pada persamaan diferensial parsial
maka berlaku
𝑑
𝑑𝑡𝜌1(𝑥(𝑡), 𝑡) =
𝜕𝜌1𝜕𝑡
+𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝜌1𝜕𝑥.
(3.5.2)
Suku pertama pada ruas kanan 𝜕𝜌1
𝜕𝑡 merepresentasikan perubahan kepadatan lalu
lintas pada posisi yang tetap dan 𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝜌1
𝜕𝑥 merepresentasikan perubahan yang sesuai
fakta bahwa pengamat bergerak pada daerah dengan kemungkinan kepadatan yang
berbeda. Dengan membandingkan antara perubahan kepadatan yang bergerak
bersama pengamat seperti pada persamaan (3.5.2) dengan persamaan diferensial
parsial untuk perturbasi kepadatan lalu lintas seperti pada persamaan (3.5.1). Hal
tersebut akan terlihat jelas jika pengamat bergerak dengan kecepatan 𝑐, yang berarti
jika
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑐
(3.5.2)
maka,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
𝑑𝜌1𝑑𝑡
= 0. (3.5.3)
Jadi, 𝜌1 adalah fungsi yang konstan. Pengamat yang bergerak dengan kecepatan 𝑐
tidak akan mempengaruhi pengukuran pada kepadatannya, seperti pada kseimpulan
subbab 3.3. Dengan kata lain, konsep yang sama dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah lalu lintas nonlinear, yaitu
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝑑𝑞
𝑑𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0.
Persamaan (3.5.3) dapat diperoleh penyelesaian secara aljabar dengan mudah yaitu
dengan cara mengintegralkan yang diperoleh 𝜌1 = 𝑐, dimana 𝑐 konstan. Dari
persamaan (3.5.3) didapat 𝜌1 = 𝛽 pada sepanjang 𝑥 = 𝑐𝑡 + 𝛼, dimana 𝛼 dan 𝛽
konstan. Untuk garis lurus yang berbeda misalkan 𝛼 konstan, maka 𝜌1 dapat pula
nilai konstan yang berbeda. Jadi, 𝛽 konstan bergantung pada 𝛼 konstan, yaitu 𝛽 =
𝑓(𝛼), yang mana 𝛽 adalah fungsi yang berubah–ubah terhadap 𝛼 atau
𝜌1 = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡)
Penyelesaian tersebut identik dengan penyelesaian pada persamaan (3.3.10) yang
diperoleh dari transformasi persamaan diferensial parsial untuk sistem koordinat
yang bergerak dengan kecepatan 𝑐.
F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam
Misalkan kondisi awal dari kepadatan lalu lintas bernilai konstan untuk
jalan tol yang hampir takterbatas yang diilustrasikan pada Gambar 3.15. Arus lalu
lintas yang masuk harus bernilai 𝜌0𝑢(𝜌0), arusnya bersesuaian dengan kepadatan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
yang seragam 𝜌0 sehingga banyaknya kendaraan per jam yang masuk lalu lintas
akan tetap seragam.
Gambar 3.15 Jalan raya yang lebar hampir takterbatas (hanya kendaraan yang
masuk saat 𝑥 = 0).
Perhatikan interval dari jalan raya antara jalan masuk dan titik 𝑥 = 𝑎 untuk
membuktikan pernyataan tersebut dengan menggunakan integral hukum konservasi
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎
0
= −𝑞(𝑎, 𝑡) + 𝑞(0, 𝑡).
Karena nilai kepadatan lalu lintas konstan, dan sisi kiri bernilai nol maka arusnya
di 𝑥 = 𝑎 harus sama dengan arus saat masuk 𝑞(𝑎, 𝑡) = 𝑞(0, 𝑡). Tetapi, arus di 𝑥 =
𝑎 adalah 𝜌0𝑢(𝜌0) maka 𝑞(0, 𝑡) = 𝜌0𝑢(𝜌0). Dengan kata lain, arus yang masuk
sama dengan arus yang keluar, sehingga jumlah kendaraan akan tetap sama dengan
asumsi bahwa kepadatannya konstan. Disisi lain, misalkan arus dalam dari
kendaraan ditentukan untuk kepadatan yang seragam
𝑞(0, 𝑡) = 𝜌0𝑢(𝜌0) + 𝜖𝑞1(𝑡), (3.6.1)
dengan 𝑞1(𝑡) diketahui.
Sehingga, penyelesaian kepadatan lalu lintas dengan menggunakan
persamaan diferensial yang sama dengan subab sebelumnya.
Kendaraan
masuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
𝜕𝜌1𝜕𝑡
+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥
= 0.
Persamaan di atas diturunkan dari
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝜌1(𝑥, 𝑡). (3.6.2)
Lalu lintas awal diasumsikan seragam, sehingga kondisi awalnya adalah
𝜌1(𝑥, 0) = 0.
Kasus ini dapat digeneralisasikan juga dalam kepadatan awal yang sedikit
berbeda dengan kasus yang serupa. Perlu diingat bahwa kondisi awal tersebut valid
untuk 𝑥 > 0. Kondisi awal tersebut harus dilengkapi dengan kondisi arusnya seperti
pada persamaan (3.6.1), yang disebut kondisi batas karena hal tersebut terjadi pada
batas jalan yang melewati jalur cepat saat 𝑥 = 0.
Penyelesaian umum untuk persamaan diferensial parsial tersebut telah
didapat yaitu
𝜌1(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡),
𝜌1(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡). (3.6.3)
Dengan menggunakan konsep karakteristik dengan asumsi lampu lalu lintas,
misalnya 𝑐 > 0. Karakteristik tersebut adalah garis 𝑥 − 𝑐𝑡 = konstan yang
diilustrasikan pada Gambar 3.16.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Gambar 3.16 Karakteristik yang kepadatannya konstan.
𝜌1 merupakan kepadatan yang konstan pada sepanjang garis. Hal tersebut dapat
dilihat dari Gambar 3.16 yang menunjukkan bahwa daerah yang diarsir adalah nilai
kepadatan 𝜌1 = 0 atau total kepadatannya 𝜌 = 𝜌0 saat 𝑡 = 0, sedangkan daerah
yang tidak diarsir adalah keadaan kendaraan yang masuk dalam tingkat yang tidak
seragam. Pada daerah tersebut, kepadatan lalu lintas hanya sedikit berbeda dengan
kepadatan yang seragam, seperti pada persamaan (3.6.3). Kepadatan lalu lintas saat
(𝑥, 𝑡) sama dengan kepadatan lalu lintas pada jalan masuk saat waktu 𝑥 𝑡⁄ ,
𝑥 − 𝑐𝑡 = 0 − 𝑐 (𝑡 −𝑥
𝑐).
𝑥 𝑐⁄ adalah waktu yang diperlukan gelombang untuk bergerak yang berjarak 𝑥
dengan kecepatan 𝑐. Oleh karena itu, kepadatan jalan masuk dalam waktu 𝑥 −
(𝑥 𝑐⁄ ) adalah kepadatan dengan jarak 𝑥 mil pada jalan raya dalam waktu 𝑡.
Kepadatan lalu lintas yang masuk dapat ditentukan dari arus lalu lintasnya, dengan
menggunakan persamaan (3.6.1) dan mengasumsikan 𝜌 mendekati 𝜌0.
Arus lalu lintas atau 𝑞(𝜌) = 𝑞(𝜌0 + 𝜖𝑔) dapat dinyatakan dengan
menggunakan metode deret Taylor yaitu
𝑞(𝜌) = 𝑞(𝜌0) + 𝜖𝑔(𝑥′𝑐𝑡)𝑞′(𝜌0) + 𝑂(𝜖
2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Karena 𝑐 = 𝑞′(𝜌0), maka arus lalu lintas diatas diaproksimasi menjadi
𝑞(𝜌) = 𝑞(𝜌0) + 𝜖𝑔(𝑥′𝑐𝑡).
Jadi, perturbasi arus lalu lintas secara sederhana adalah perturbasi kepadatan
dengan kecepatan 𝑐 dalam waktu tertentu. Dalam kasus ini, perturbasi arus lalu
lintas diketahui saat jalan masuk 𝑞1(𝑡). Sehingga,
𝑞1(𝑡) = 𝑐𝑔(−𝑐𝑡), 𝑡 > 0
Jika dimisalkan 𝑧 = −𝑐𝑡, maka
𝑞1 (−𝑧
𝑐) = 𝑐𝑔(𝑧),
𝑔(𝑧) =1
𝑐𝑞1 (
−𝑧
𝑐).
∀𝑧 < 0
Akibatnya, total kepadatan kendaraan yang diberikan oleh persamaan (3.6.3) adalah
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑞1 (𝑡 −
𝑥𝑐)
𝑐,
jika 𝑥 − 𝑐𝑡 < 0.
Atau dapat disimpulkan menjadi
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑞1 (𝑡 −
𝑥𝑐)
𝑐, 𝑥 − 𝑐𝑡 < 0.
𝜌0 , 𝑥 − 𝑐𝑡 > 0.
Penyelesaian ini menunjukkan bahwa lalu lintas masuk saat 𝑡 = 0 yang menyebar
dengan kecepatan 𝑐 dan posisi 𝑥 dengan menempuh waktu 𝑥 𝑐⁄ .
G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam
Konservasi kendaraan dan Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan pada Gambar
3.9 menghasilkan persamaan diferensial parsial nonlinear order pertama pada lalu
lintas adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑞(𝜌)
𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0. (3.7.1)
Penyelesaian dalam subbab sebelumnya dianggap mendekati persamaan
persamaan di atas yang kepadatannya hampir seragam. Lalu lintas ditunjukkan
secara bervariasi melalui gelombang kepadatan.
Dalam subbab ini akan dijelaskan bagaimana menemukan teknik untuk
menyelesaikan kepadatan lalu lintas yang hampir seragam. Diperhatikan kembali
pengamat yang bergerak dari beberapa model yang ditetapkan yaitu 𝑥(𝑡).
Kepadatan lalu lintas yang dilihat dari posisi pengamat akan berubah setiap waktu
bergantung pada perubahan posisi pengamat, yaitu
𝜕𝜌
𝜕𝑡=𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝜌
𝜕𝑥.
(3.7.2)
Dari persamaan (3.7.1) dan (3.72) dapat dilihat bahwa kepadatan akan tetap konstan
dari sudut pandang posisi pengamat, sehingga
𝜕𝜌
𝜕𝑡= 0.
(3.7.3)
Persamaan (3.7.3) menghasilkan 𝜌 yang bernilai konstan jika
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑞(𝜌)
𝑑𝜌≡ 𝑞′(𝜌). (3.7.4)
Pengamat harus bergerak dengan kecepatan 𝑞′(𝜌) sehingga kecepatan
gelombang kepadatan lalu lintas mendekati seragam akan menyebar. Karena
kecepatan bergantung pada kepadatan yang mana sangat bervariasi antara bagian
yang satu dengan lainnya, maka kecepatan tersebut disebut gelombang kecepatan
lokal. Jika pengamat bergerak pada gelombang kecepatan lokal, maka kepadatan
lalu lintas dari sisi pengamat akan terlihat konstan. Oleh karena itu, pasti ada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
gerakan yang keluar dari pengamat yang mana pengamat akan mengukur kepadatan
lalu lintas tersebut konstan, yang diilustrasikan oleh Gambar 3.17.
Gambar 3.17 Garis sepanjang kepadatan lalu lintas tetap sama.
Persaman (3.7.3) dan (3.7.4) merupakan persamaan diferensial biasa, yang
kurvanya disebut karakteristik. Sepanjang karakteristik menunjukkan bahwa 𝜌
konstan; kepadatan akan tetap sama dengan posisi karakteristik yang berpotongan
pada data awal.
Dalam kasus ini, arus hampir seragam yaitu
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑐.
Jadi, untuk semua kurva dalam karakteristik tersebut segaris lurus secara
paralel. Pada arus lalu lintas yang tidak seragam, pengamat bergerak pada
gelombang kecepatan lokal. Kepadatan lalu lintas akan tetap jika dilihat dari posisi
pengamat, sehingga gelombang kepadatan lokal dari sudut pengamat juga akan
tetap. Kecepatan yang dilihat dari sudut pandang setiap pengamat bergerak konstan.
Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan konstan, tetapi pengamat yang lain
mungkin bergerak dengan kecepatan konstan yang berbeda, dikarenakan perbedaan
kepadatan lalu lintas awalnya. Setiap pergerakannya merupakan gelombang
𝑥
𝑡 Kepadatan
konstan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
kecepatan lokal masing–masing pengamat. Setiap karakteristik bergaris lurus pada
kasus ini merupakan arus yang hampir seragam. Akan tetapi, jalan miring yang
terkait dengan pengaturan kecepatannya belum tentu sama dengan karakteristik
yang berbeda dan karakteristik tersebut juga belum tentu merupakan garis lurus
yang paralel.
Dimisalkan sebuah karakteristik yang berawal di posisi 𝑥 = 𝛼 pada jalan
raya, yang ditunjukkan oleh Gambar 3.18 dimana sepanjang kurva 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ = 𝑞′(𝜌)
dan 𝑑𝜌 𝑑𝑡⁄ = 0 atau 𝜌 bernilai konstan. 𝜌 awal bernilai sama saat 𝑥 = 𝑎 misalnya
saat 𝑡 = 0. Jadi, salah satu jenis karakteristiknya adalah
𝜌 = 𝜌(𝛼, 0) ≡ 𝜌𝛼 .
𝜌𝛼 adalah konstan yang diketahui. Gelombang kecepatan lalu lintas didefinisikan
sebagai karakteristik yang bernilai konstan, yaitu 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ = 𝑞′(𝜌𝛼).
Gambar 3.18 Karakteristik awal saat 𝑥 = 𝛼.
Akibatnya, karakteristik tersebut merupakan garis lurus yaitu
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑞′(𝜌𝛼)𝑑𝑡,
𝑥 = 𝑞′(𝜌𝛼)𝑡 + 𝑘,
dengan 𝑘 merupakan perpotongan 𝑥 dalam karakteristik, yang sama dengan 𝛼 saat
𝑡 = 0 dan 𝑥 = 𝑎. Akibatnya, persamaan di atas berubah menjadi
𝑥 = 𝛼 𝑥
𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
𝑥 = 𝑞′(𝜌𝛼)𝑡 + 𝛼.
Persamaan diatas meruapakan salah satu jenis karakteristik. Kepadatan lalu lintas
𝜌 bernilai konstan sepanjang garis lurus, yaitu
𝜌 = 𝜌𝛼 .
Apabila karakteristik awal berasal dari 𝑥 = 𝛽 maka persamaannya akan mirip untuk
𝑥 = 𝛼 dan juga disebut karakteristik garis lurus, yaitu
𝑥 = 𝑞′(𝜌𝛼)𝑡 + 𝛼.
Walaupun demikian, jalan miring yang berbeda menyebabkan kecepatan juga
berbeda jika 𝑞′(𝜌𝛼) ≠ 𝑞′(𝜌𝛽). Sebagai contohnya diilustrasikan oleh Gambar 3.19.
Gambar 3.19 Kemungkinan karakteristik garis lurus nonparalel.
Melalui cara ini kepadatan kendaraan di waktu yang akan datang dapat diprediksi
saat 𝑡 = 𝑡∗ pada posisi 𝑥 = 𝑥∗, dengan karakteristik dari ruang dan waktu harus
diperoleh (lihat Gambar 3.20).
𝛼 𝑥
𝑡
𝛽
𝜌 = 𝜌𝛼
𝜌 = 𝜌𝛽
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Gambar 3.20 Menentukan kepadatan lalu lintas yang akan datang dengan
mengunnakan karakteristik.
Jika karakteristiknya sudah ditentukan dan sepanjang karakteristik tersebut
mempunyai kepadatan yang konstan maka kepadatan pada titik (𝑥∗, 𝑡∗) yang
kepadatan dapat aproksimasi dengan perpotongan 𝑥, yaitu
𝜌(𝑥∗, 𝑡∗) = 𝜌(𝛾, 0).
Teknik tersebut dinamakan metode karakteristik.
Kecepatan gelombang kepadatan atau 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ menyatakan bahwa pada
kecepatan tertentu kepadatan lalu lintas akan tetap sama. Kita akan
mendeskripsikan sifat-sifat dari kecepatan gelombang kepadatan. Asumsikan
𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ menurun ketika 𝜌 meningkat atau kecepatan gelombang kepadatan
menurun ketika kepadatan lalu lintas meningkat. Selain itu, akan ditunjukkan
hubungan antara dua kecepatan yaitu kecepatan gelombang kepadatan dan
kecepatan kendaraan. Karakteristik kecepatan dapat ditentukan dari kecepatan dan
kepadatan lalu lintas. Karena diketahui 𝑞 = 𝜌𝑢(𝜌) maka
𝑑𝑞
𝑑𝜌= 𝜌
𝑑𝑢
𝑑𝜌+ 𝑢.
Hipotesis awal diketahui bahwa kendaraan bergerak lambat saat kepadatan lalu
lintas meningkat atau 𝑑𝑢 𝑑𝜌⁄ ≤ 0, yang diilustrasikan oleh Gambar 3.21.
𝛼 𝑥
𝑡
𝛽
(𝑥. , 𝑡. )
𝛾
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Gambar 3.21 Hubungan 𝑢 dan 𝜌 𝑑𝑢 𝑑𝜌⁄ ≤ 0.
H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau
Misalkan kendaraan–kendaraan berhenti pada lalu lintas saat menyala
merah. Posisi tersebut berada pada 𝑥 = 0. Karena kendaraan berdempetan maka
𝜌 = 𝜌𝑚𝑎𝑥 untuk 𝑥 < 0. Asumsikan bahwa kendaraan takberhingga banyaknya dan
tidak bergerak walaupun sebenarnya barisannya berhingga dan mungkin bisa jadi
sangat panjang kemacetannya. Jika lampu lalu lintas tersebut mengehentikan
kendaraan yang cukup panjang, asumsikan pula bahwa 𝜌 = 0 untuk 𝑥 > 0, yang
kondisi awal kepadatannya diilustrasikan oleh Gambar 3.22.
Gambar 3.22 Distribusi kepatan awal lalu lintas.
Misalkan lampu lalu lintas menyala dari merah menjadi hijau saat 𝑡 = 0.
Persamaan diferensial parsial diturunkan dari konservasi kendaraan, yaitu
𝑢
𝜌
𝑥 = 0
𝜌𝑚𝑎𝑥
𝜌(𝑥, 0)
𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝑑𝑞
𝑑𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0. (3.8.1)
Diketahui kondisi awalnya yang merupakn fungsi yang diskontinu
𝜌(𝑥, 0) = 𝜌max0
jika 𝑥 < 0jika 𝑥 lainnya
Saat lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi hijau maka kendaran akan
bergerak tetapi kendaraan yang berada cukup jauh dari lalu lintas juga akan mulai
bergerak sampai kembali berubah menjadi warna merah yang diilustrasikan pada
Gambar 3.23. Lalu lintas yang jarang dapat lebih jauh bebas bergerak;
kepadatannya menjadi lebih kecil dan berhubungan dengan penyelesaiannya yang
disebut gelombang rarefactive.
Gambar 3.23 Kepadatan lalu lintas setelah lampu merah (Gelombang
rarefactive).
Persamaan (3.8.1) dapat diselesaikan dengan metode karakteristik yang
telah dibahas pada subbab sebelumnya. Perlu diingat bahwa jika 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ = 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄
maka 𝑑𝜌 𝑑𝑡⁄ = (𝜕𝜌 𝜕𝑡⁄ ) + (𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ )(𝜕𝜌 𝜕𝑥⁄ ) = 0. Jadi, kepadatan lalu lintas
𝜌(𝑥, 𝑡) konstan sepanjang karakteristik, yang diberikan oleh
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑞(𝜌)
𝑑𝜌= 𝜌
𝑑𝑢
𝑑𝜌+ 𝑢. (3.8.2)
𝑥 = 0
𝜌(𝑥, 𝑡)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Kepadatan akan menyebar saat kecepatan 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ . Karena 𝜌 konstan maka
kepadatan juga akan bergerak dengan kecepatan konstan. Karakteristiknya
berbentuk suatu garis lurus pada bidang 𝑥 − 𝑡
𝑥 =𝑑𝑞
𝑑𝜌(𝜌) + 𝑘, (3.8.3)
dengan setiap karakteristik yang mungkin mempunyai perbedaan integrasi 𝑘
konstan. Akan dianalisis bahwa perpotongan data awal saat 𝑥 > 0. Terdapat
𝜌(𝑥, 0) = 0, jadi 𝜌 = 0 sepanjang setiap garis sehingga
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑞
𝑑𝜌|𝜌=0
= 𝑢(𝜌) + 𝜌𝑢′(𝜌)|𝜌=0 = 𝑢(0) = 𝑢max
Kurva karakteristik yang berpotongan pada sumbu 𝑥 > 0 pada setiap garis lurus
dengan kecepatan 𝑢max. Karena karakteristiknya muncul dari 𝑥 = 𝑥0 dengan 𝑥0 >
0 saat 𝑡 = 0 yaitu
𝑥 = 𝑢max𝑡 + 𝑥0 (𝑥0 > 0)
Karakteristik pertama pada daerah tersebut diawali saat 𝑥 = 0 yang karenanya 𝑥 =
𝑢max𝑡. Jadi, di bawah daerah kurva (𝑥 > 𝑢𝑚𝑎𝑥𝑡) kepadatannya bernilai nol;
sehingga tidak ada kendaraan yang melewati daerah tersebut. Pada waktu yang
bersamaan jika kendaraan berada cukup jauh dari lalu lintas, maka tidak ada
kendaraan yang melewatinya karena kepadatannya bernilai nol. Pada
kenyataannya, andaikan kendaraan seseorang berada pada posisi yang pertama dan
setelah lampu merah berubah menjadi hijau serta kepadatannya bernilai nol maka
seseorang tersebut akan bergerak dengan kecepatan 𝑢max. Seseorang tidak akan
mencapai titik 𝑥 dengan 𝑡 = 𝑥 𝑢max⁄ . Akibatnya, tidak ada kendaraan pada posisi
𝑥 saat 𝑡 = 𝑥 𝑢max⁄ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Kemudian, akan dianalisis karakteristik pada perpotongan data awal untuk
𝑥 < 0 dengan kendaraan tetap berada pada posisi kepadatan yang maksimum 𝜌 =
𝜌max, yang sepanjang karakteristiknya ditentukan oleh persamaan (3.8.2),
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑞
𝑑𝜌|𝜌=𝜌max
= 𝑢(𝜌) + 𝜌𝑢′(𝜌)|𝜌=𝜌max = 𝜌max𝑢′(𝜌max) < 0,
dengan 𝑢(𝜌max) = 0 sehingga 𝑢′(𝜌max) = 0, yang berarti kecepatannya bernilai
negatif. Kepadatan menjadi maksimum berarti lalu lintas berada pada keadaan
“berat”. Jadi, karakteristik ini berupa garis lurus paralel dengan kecepatan yang
bernilai negatif pada perpotongan dengan sumbu 𝑥 negatif,
𝑥 = 𝜌max𝑢′(𝜌max)𝑡 + 𝑥0(𝑥0 < 0).
Kondisi tersebut diilustrasikan pada Gambar 3.24 yang menyatakan bahwa
kendaraan masih berdempetan pada daerah yang diindikasikan pada bagian kiri
gambar, 𝑥 < 𝜌max𝑢′(𝜌max)𝑡.
Gambar 3.24 Konsidi lalu lintas sebelum dan sesudah lampu merah menjadi
hijau.
𝜌 = 𝜌max 𝜌 = 0
𝑥 = 0 𝑥
𝑡
𝜌 = 0 𝜌 = 𝜌max
𝑥 = 𝑢max𝑡
𝑥 = 𝜌max𝑑𝑢
𝑑𝜌|𝜌max
𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Kendaraan mulai bergerak dengan beberapa waktu yang berhingga sebelum
mulai bergerak sesudah lampu merah menjadi hijau. Teori ini juga dapat digunakan
untuk kendaraan ke-𝑛 dengan sejumlah waktu yang sama dengan
𝑡 =(𝑛 − 1)𝐿
−𝜌max𝑢′(𝜌max)
dengan 𝐿 jarak antar kendaraan. Misalkan reaksi pengendara dan waktu percepatan
tidak diperhitungkan yang akan menjadi menarik untuk mengukur berapa lama
waktu tunggu pada lampu lalu lintas sebagai posisi kendaraan. Kemudian, akan
diuji apakah waktu tunggu bergantung linear pada posisi kendaraan. Dari data yang
ada didapat 𝑢′(𝜌max)
𝑢′(𝜌max) ≈∆𝑢
∆𝜌=
−6 m. p. h
60kendaraan
km
= −0.1km2
kendaraan. jam.
Hasil tersebut merupakan data yang diramalkan dari percobaan Lincoln Tunnel
dengan mengasumsikan 𝜌max = 225 kendaraan per kilometer diperoleh
𝑡 =𝐿
−𝜌max𝑢′(𝜌max)=
1
−𝜌max2𝑢′(𝜌max)=
1
0.1(225)2.
Waktu tunggu yang diprediksi untuk setiap kendaaraan yang berada di belakang
lalu lintas adalah
𝑡 =602
0.1(225)2= 0.71 detik.
Permasalahan yang dapat dihitung sejauh ini hanya daerah antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 =
𝜌max. Untuk memperluas secara total dapat menggunakan metode karakteristik
karena hanya ada dua nilai kepadatan (lihat Gambar 3.25) yaitu
𝜌 = 𝜌max untuk 𝑥 < 𝜌max𝑢′(𝜌max)𝑡,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
dan
𝜌 = 0 untuk 𝑥 > 𝑢max𝑡.
Gambar 3.25 Kepadatan lalu lintas saat lampu menyala merah.
Gambar 3.25 belum cukup kuat menjelaskan bahwa kepadatannya belum tentu
berada pada daerah ini yang merupakan daerah dengan kendaraan benar–benar
melalui lampu hijau, yaitu
𝜌max𝑢′(𝜌max)𝑡 < 𝑥 < 𝑢max𝑡.
Andaikan kepadatan lalu lintas awalnya bukan merupakan fungsi yang diskontinu
tetapi fungsi yang mulus antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌𝑚𝑎𝑥 dengan nilai jarak ∆𝑥 yang
cukup kecil yang dekat dengan lalu lintas (lihat Gambar 3.26). Dengan ∆𝑥 yang
cukup kecil diharapkan solusi dari permasalah ini akan sama saat ∆𝑥 = 0.
Gambar 3.26 Kepadatan lalu lintas awal yang kontinu
Untuk ∆𝑥 ≠ 0 karakteristik dari 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max pada diagram ruang
diilustrasikan pada Gambarr 3.27 yang menjelaskan bahwa pasti terdapat
𝑥 = 0 𝑥 = 𝑢max𝑡
𝜌(𝑥, 𝑡), 𝑡 > 0
𝑥 = 𝜌max𝑑𝑢
𝑑𝜌|𝜌max
𝑡
∆𝑥
0 𝑥
𝜌max
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
karakteristik yang dekat dengan daerah asal. 𝜌 pada sepanjang garis akan bernilai
konstan
𝑥 =𝑑𝑞
𝑑𝜌𝑡 + 𝑥0.
𝑥0 nilainya sangat kecil yang merupakan posisi dari karakteristik saat 𝑡 = 0
sehingga dapat diabaikan. Kecepatan 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ akan selalu berada pada nilai– nilai
yang bersesuaian antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max karena rentang 𝜌 kontinu antara 𝜌 =
0 dan 𝜌 = 𝜌max. Dengan kata lain, kecepatan 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ lebih besar daripada
kepadatannya. Kecepatan gelombangnya akan berkurang jika kepadatannya
ditingkatkan. Terdapat nilai dengan kecepatan gelombang nol dan negatif, yang
sebagian karakteristiknya ditunjukkan oleh Gambar 3.29. Kemiringan garis lurus
akan berbeda dikarenakan jarak lalu lintas yang berbeda mulai tidak adanya
kendaraan yang berdempetan sampai meningkat sesuai perubahan waktu. Lampu
yang berubah dari merah menjadi hiaju menyebabkan lalu lintasnya “menyebar
keluar” atau “meluas”.
Gambar 3.27 Diagram ruang dan waktu dengan transisi cepat dari tidak ada
lalu lintas sampai lalu lintas berdempetan.
𝑥
𝑡
|∆𝑥|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Jika kepadatan lalu lintas awalnya merupakan fungsi yang diskontinu,
sesuai dengan kenyataannya pasti akan didapat kepadatan di daerah yang tidak
diketahui dengan mengasumsikan limit dari masalah kondisi awal kontinu tersebut
adalah ∆𝑥 → 0. Sepanjang karakteristiknya 𝜌 bernilai konstan,
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑞
𝑑𝜌,
dengan karakteristik yang merupakan garis lurus 𝑥 = (𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ ) + 𝑥0.
Karakteristiknya tidak bersesuaian dengan 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max yang melalui 𝑥 =
0 dan 𝑡 = 0, disebut karakteristik fanlike pada daerah yang diilustrasikan oleh
Gambar 3.28.
Gambar 3.28 Karaktersitik fanlike
Setiap karakteristik kepadatannya bernilai konstan pada domain ruang dan
waktu. Gelombang kepadatan pada titik (𝑥, 𝑡) diketahui
𝑑𝑞
𝑑𝜌=𝑥
𝑡. (3.8.4)
𝜌 harus diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (3.8.4). 𝑑𝑞
𝑑𝜌 merupakan fungsi
yang bergatung pada 𝜌 dengan 𝜌 fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡, walaupun dalam kasus
𝑡
𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
ini sebenarnya fungsi terhadap 𝑥 𝑡⁄ di daerah karakteristik fanlike. Kadang–kadang
dalam suatu permasalahan hanya diketahui 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ seperti yang diilustrasikan oleh
Gambar 3.29.
Gambar 3.29 Diagram dasar lalu lintas di jalan.
Asumsikan bahwa 𝜌 meningkat tetapi 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ menurun. Kepadatan dapat
didefinisikan secara grafis pada posisi di daerah karaktersitik fanlike sebagai
berikut, diberikan 𝑥 dan 𝑡. Persamaan (3.8.4) dapat digunakan untuk menghitung
𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ , yang diposisikan melawan gambar 𝜌 dengan nilai yang bersesuaian seperti
pada Gambar 3.29. Diagram dasar lalu lintas di jalan dapat digunakan sebagai cara
alternatif untuk menentukan kepadatan suatu grafik pada jalan tertentu di daerah
karakteristik fanlike.
Diberikan 𝑡 dan 𝑥. Garis lurus dari titik origin ke titik (𝑡, 𝑥) mempunyai
kemiringan yang sama dengan 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ . Jadi, garis lurus harus mempunyai
kemiringan yang sama dengan kurva arus–kepadatan (𝑞 − 𝑝). Kepadatan dari
𝜌max
𝑢ma𝑥
𝑑𝑞
𝑑𝜌
−𝜌max𝑑𝑢
𝑑𝜌|𝜌max
𝜌
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
kurva 𝑞 − 𝑝 yang kemiringannya sama dengan 𝑥 𝑡⁄ dapat digunakan untuk
memperkirakan kepadatan lalu lintas, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.30.
Gambar 3.30 Karateristik kepadatan lalu lintas pada daerah fanlike.
Ketika 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ = 0, terjadi arus yang maksimum. Jadi, posisi dengan kepadatan
maksimum dapat diindikasikan dari gelombang kepadatan yang stasioner atau
kecepatan gelombang kepadatannya sama dengan nol. Setelah lampu menyala
merah menjadi hijau, arus maksimum terjadi saat 𝑥 = 0 seperti permasalahan yang
baru saja dibahas. Posisi pengamat pada lalu lintas menunjukkan bahwa hal ini
merupakan sebuah percobaan yang sederhana untuk mengukur arus lalu lintas yang
sampai akhirnya kendaraan akan berbaris ketika lampu kembali menyala merah.
Akibatnya, ketika lampu menyala hijau, dengan cara yang mudah dapat dihitung
arus lalu lintas di jalan. Perhitungan arus lalu lintas dari kendaraan akan konstan
dan sama dengan kemungkinan kapasitas maksimum jalan jika teori ini benar yaitu
𝑢 = 𝑢(𝜌).
𝜌
𝑞
(𝑡, 𝑥)
𝑡
𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
I. Hubungan Linear Antara Kecepatan dan Kepadatan
Asumsikan hubungan kurva kecepatan dan kepadatan linear, maka
𝑢(𝜌) =𝑢max𝜌max
(𝜌max − 𝜌) = 𝑢max (1 −𝜌
𝜌max), (3.9.1)
Hubungan tersebut memiliki empat sifat yang diilustrasikan pada Gambar 3.31
yaitu
(1) 𝑢(𝜌max) = 0,
(2) 𝑢(0) = 𝜌max,
(3) 𝑑𝑢
𝑑𝜌≤ 0,
(4) 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ menurun ketika 𝜌 meningkat (karena 𝑑2𝑞 𝑑𝜌2 < 0)⁄ .
Gambar 3.31 Kurva kepadatan–kecepatan linear
Arus lalu lintas dapat dihitung pada kasus ini yaitu
𝑞 = 𝜌𝑢 = 𝑢max𝜌 (1 −𝜌
𝜌max). (3.9.2)
Diagram dasar parabola pada lalu lintas jalan merupakan hasil dari persamaan
(3.9.2) yang diilustrasikan pada Gambar 3.31 yang mempunyai kecepatan
gelombang kepadatan, yaitu
𝑢max
𝜌max
𝜌
𝑢 = 𝑢max(1 − 𝜌 𝜌max)⁄
kepadatan
𝑢(𝜌)
Kecepatan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
𝑑𝑞
𝑑𝜌= 𝑢max (1 −
2𝜌
𝜌max). (3.9.3)
Hasil dari persamaan (3.9.3) merupakan gelombang kecepatan yang positif dan
negatif. Gelombang kecepatan akan berkurang jika kepadatan meningkat, misalnya
𝑑2𝑞 𝑑𝜌2⁄ < 0. Gelombang kepadatan stasioner akan menyebabkan aliran menjadi
maksimum karena kecepatan gelombang kepadatan sama dengan nol. Pada kurva
kecepatan–kepadatan yang linear ini, kepadatan arus lalu lintas akan menjadi
maksimal jika tepat setengah dari kepadatan maksimal, 𝜌 = 𝜌max 2⁄ dan
kecepatannya setengah dari kecepatan maksimum, 𝑢(𝜌max 2⁄ ) = 𝑢max 2⁄ . Oleh
karena itu, arus lalu lintas maksimumnya adalah
𝑞 (𝜌max2) =
𝜌max𝑢max4
.
Andaikan kecepatan diberikan oleh persamaan (3.9.1). Akan diselesaikan
kepadatan lalu lintas setelah lampu menyala merah menjadi hijau dengan kepadatan
awalnya sebagai berikut
𝜌(𝑥, 0) = 𝜌max 0
jika 𝑥 < 0, jika 𝑥 > 0.
Karakteristik sepanjang 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max dalam diagram ruang dan waktu
diilustrasikan pada Gambar 3.33. Dalam kasus ini akan dihitung kepadatan dalam
daerah fanlike, −𝑢max𝑡 < 𝑥 < 𝑢max𝑡 yang karakteristiknya diberikan oleh
𝑑𝑞
𝑑𝜌=𝑥
𝑡,
yang dimulai dari 𝑥 = 0 dan 𝑡 = 0. Kecepatan gelombang kepadatan diberikan oleh
persamaan (3.9.3) untuk menyatakan hubungan kepadatan dan kecepatan yang
linear, yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
𝑥
𝑡= 𝑢max (1 −
2𝜌
𝜌max),
didapat
𝜌 =𝜌max2
(1 −𝑥
𝑡𝑢max). (3.9.4)
Kepadatan secara linear bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 di daerah karakteristik fanlike saat
waktu tertentu. Kepadatan saat 𝑡 = 0 dan waktu setelahnya dengan posisi yang
diketahui batas-batasnya pada kepadatan lalu lintas maksimum dan minimum yang
ditunjukkan pada Gambar 3.32 yang berarti bahwa kepadatan kendaraan akan
menyebar keluar.
Gambar 3.32 Kepadatan lalu lintas sebelum dan sesudah lampu menjadi hijau.
Misalkan pengamat yang tetap berada pada kepadatan konstan 𝜌max,
3𝜌max 4⁄ , 𝜌max 2⁄ , 𝜌max 4⁄ , dan 0. Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan
konstan yang berbeda. Gelombang kecepatan bergantung linear dengan kepadatan
yang ditunjukkan oleh Gambar 3.33.
0 𝑥
𝜌(𝑥, 0) 𝜌max
0 𝑥
𝜌(𝑥, 𝑡) 𝜌𝑚𝑎𝑥
𝑡 > 0
𝑥 = −𝑢max𝑡 𝑥 = 𝑢max𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Gambar 3.33 Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan lalu lintas.
Kecepatan kendaraan diberikan oleh
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑢(𝑥, 𝑡).
Ketika 𝑡 = 𝑥0 𝑢max⁄ kendaraan bergerak dengan kecepatan pada daerah fanlike
yaitu
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢max (1 −
𝜌
𝜌max).
Kendaraan yang berada di belakang lalu lintas akan mulai bergerak yang kecepatan
awalnya nol dan perlahan-lahan akan meningkat. Kecepatan kendaraan bergantung
pada posisi dan waktu karena kepadatannya ditentukan oleh persamaan (3.9.4),
𝜌 =𝑢max2
+𝑥
2𝑡. (3.9.5)
Persamaan (3.9.4) merupakan persamaan diferensial biasa tak homegen tingkat satu
yang dapat diselesaikan dengan kondisi awal sebagai berikut
𝑡 =𝑥0𝑢max
, 𝑥 = −𝑥0. (3.9.6)
Salah satu metode untuk menyelesaikannya dengan cara memperhatikan persamaan
equidimensional tak homogen,
0 𝑥
𝜌(𝑥, 0) 𝜌max
0 𝑥
𝜌(𝑥, 𝑡) 𝜌max
𝑡 > 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
𝑡𝑑𝑥
𝑑𝑡−1
2𝑥 =
𝑢max2
𝑡.
Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini sama dengan metode
yang digunakan untuk persamaan equidimensional tingkat dua yang penyelesaian
homogennya dalam bentuk 𝑥 = 𝑡𝑟adalah
𝑥 = 𝐵𝑡1 2⁄ .
dengan 𝐵 sembarang konstan. Penyelesaian akan proposional terhadap 𝑡𝑟 jika sisi
kanannya juga proposional terhadap 𝑡𝑟 (𝑟 ≠1
2). Penyelesaian yang didapat dengan
menggunakan metode substitusi adalah
𝐴 =𝑢max2
+1
2𝐴.
Penyelesaian umumnya adalah
𝑥 = 𝑢max𝑡 + 𝐵𝑡1 2⁄ .
Kondisi awal pada persamaan (3.9.6) untuk menentukan 𝐵 yaitu
−𝑥0 = 𝑥0 + 𝐵 (𝑥0𝑢max
)1 2⁄
,
𝐵 = −2𝑥0 (𝑢max𝑥0
)1 2⁄
= −2(𝑥0𝑢max)1 2⁄ .
Jadi, posisi kendaraan tersebut ditentukan oleh
𝑥 = 𝑢max𝑡 − 2(𝑥0𝑢max𝑡)1 2⁄
(3.9.7)
Kecepatan kendaraannya adalah
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑢max − (
𝑢max𝑡)1 2⁄
(3.9.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
J. Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan
Misalkan kondisi awal kepadatan
𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥).
Kepadatan awal yang tidak konstan tersebut dapat juga diselesaikan dengan
menggunakan metode karakteristik seperti cara untuk menyelesaikan permasalahan
lalu lintas dengan kepadatan awal konstan. Asumsikan bahwa 𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −
𝜌
𝜌max) dengan kecepatan gelombang kepadatan menentukan karakteristik sebagai
berikut
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑞
𝑑𝜌= 𝑢max (1 −
2𝜌
𝜌max).
Karakteristik pada posisi 𝑥 = 𝑥0 adalah
𝑥 = 𝑢max (1 −2𝜌
𝜌max) 𝑡 + 𝑥0.
(3.10.1)
Sepanjang kepadatannya konstan maka nilainya akan sama saat 𝑡 = 0,
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥0, 0) = 𝑓(𝑥0). (3.10.2)
Diasumsikan karakteristiknya tidak berpotongan seperti yang diilustrasikan oleh
Gambar 3.34.
Gambar 3.34 Karakteristik nonpararel yang tidak berpotongan.
𝑥
=x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Ada dua cara yang ekivalen dengan menggunakan metode karakteristik
untuk menentukan kepadatan lalu lintas terhadap fungsi 𝑥 dan 𝑡 yaitu:
a. Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡
Setiap karakteristik ditandai pada setiap posisinya, 𝑥0. Diberikan 𝑥 dan 𝑡, akan
dicoba untuk menemukan 𝑥0 yang merupakan contoh karakteristik melalui
titik (𝑥, 𝑡). Fungsi 𝜌 digantikan oleh 𝑥0 seperti pada persamaan (3.10.2)
dengan menjadi persamaan (3.10.1) yang hasil 𝑥0 merupakan fungsi terhadap
𝑥 dan 𝑡, yaitu
𝑥0 = 𝑥0(𝑥, 𝑡). (3.10.3)
Secara eksplisit, langkah ini tidak dapat diselesaikan untuk 𝑥0, misalnya
𝜌(𝑥, 0) =𝜌max
1 + 𝑒𝑥 𝐿⁄.
Maka karakteristiknya juga sama diperoleh seperti pada persamaan (3.10.1)
yaitu
𝑥 = 𝑢max (1 −2
1 + 𝑒𝑥0 𝐿⁄) 𝑡 + 𝑥0.
Masalah tersebut tidak dapat diselesaikan secara eksplisit dikarenakan
kepadatan suatu titiknya bergantung terhadap 𝑥0,
𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥0, 0) = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥0(𝑥, 𝑡)). (3.10.4)
Dengan menyubstitusikan persamaan (3.10.3) ke persamaan (3.10.2)
menunjukkan bahwa adanya ketergantungan posisi dan waktu terhadap
kepadatan lalu lintas, seperti pada persamaan (3.10.4).
a) Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi kepadatan awal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
𝑥0 sebagai fungsi terhadap 𝜌 dengan menggunakan persamaan
(3.10.2), yaitu
𝑥0 = 𝑥0(𝜌). (3.10.5)
Persamaan (3.10.5) belum tentu dapat diselesaikan secara eksplisit untuk
mendapatkan 𝑥0. Namun, persamaan (3.10.5) dapat disubstitusikan ke
persamaan (3.10.1) yang hasilnya bergantung 𝑥, 𝑡, dan 𝜌, hal ini
menunjukkan bahwa 𝜌 merupakan fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡, seperti yang
diilustrasikan oleh Gambar 3.35.
Misalkan 𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −𝜌
𝜌max) dan
𝜌(𝑥, 0) =
𝜌max jika 𝑥 < 0,
𝜌max(𝑥 − 𝐿)2
𝐿2jika 0 < 𝑥 < 𝐿,
0 jika 𝐿 > 0.
Gambar 3.35 Kepadatan awal lalu lintas.
Karakteristik sesuai persamaan (3.10.1) yang mulai dari kepadatan konstan
jika 𝑥0 > 𝐿 atau 𝑥0 < 0, karena kecepatan gelombang kepadatan mudah
untuk dihitung
𝑑𝑞
𝑑𝜌|𝜌=0
= 𝑢max dan 𝑑𝑞
𝑑𝜌|𝜌=𝜌max
= −𝑢max.
Sehingga didapat dua kepadatan yang konstan yaitu
𝜌 = 0 jika 𝑥 > 𝑢max𝑡 + 𝐿,
𝜌max jika 𝑥 < −𝑢max𝑡.
𝜌max
𝑥 = 0 𝑥 = 𝐿 𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Gambar 3.36 menunjukkan bahwa kepadatan lalu lintas belum ditentukan
pada domain ruang dan waktu.
Gambar 3.36 Karakteristik
Oleh karena itu, harus digunakan metode karakteristik yang
dijelaskan oleh cara (1) dan (2):
(1) 𝑥0(𝑥, 𝑡)
Persamaan (3.10.1) dipenuhi oleh karakteristik antara 0 < 𝑥0 < 𝐿
dengan
𝜌 =𝜌max(𝑥0 − 𝐿)
2
𝐿2.
(3.10.6)
Jadi, persamaan karakteristiknya adalah
𝑥 = 𝑢𝑚𝑎𝑥 (1 −2
𝐿2(𝑥0 − 𝐿)
2) 𝑡 + 𝑥0. (3.10.7)
Persamaan (3.10.7) menentukan 𝑥0 sebagai fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡
dan akan valid untuk semua 𝑥0 asalkan 0 < 𝑥0 < 𝐿, karena
persamaannya termasuk persamaan kuadratik yang lebih mudah
menunjukkan 𝑥0 − 𝐿 dengan 𝑥0 = 𝑥0 − 𝐿 + 𝐿 menjadi
(𝑥0 − 𝐿)22𝑢max𝑡
𝐿2− (𝑥0 − 𝐿) + 𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡 = 0.
Penyelesaian persamaan kuadratik ini dengan rumus ABC didapat
𝑥 𝑥 = 𝐿 𝑥 = 0
𝑥 = −𝑢max𝑡 𝑥 = 𝑢max𝑡 + 𝐿
𝜌 = 𝜌max 𝜌 = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
𝑥0 − 𝐿 =1 ± √1 −
8𝑢max𝑡𝐿2
(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡)
4𝑢max𝑡 𝐿2⁄.
(3.10.8)
Dengan menggunakan interval 𝑢max𝑡 < 𝑥 < 𝑢max𝑡 + 𝐿 maka tanda
negatif harus dipilih untuk kepadatan lalu lintas sebagai fungsi
terhadap 𝑥 dan 𝑡 dalam daerah yang bersesuaian dengan 0 < 𝑥0 <
𝐿, yang menyubstitusikan persamaan (3.10.8) ke persamaan
(3.10.6).
𝜌(𝑥, 𝑡)
=𝜌max𝐿2
(1 ± √1 −8𝑢max𝑡𝐿2
(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡))
2
16𝑢max2𝑡2 𝐿4⁄.
(3.10.9)
Perlu dicatat bahwa 𝑥 mendekati ujung dari variasi daerah
kepadatan, kepadatan diketahui mendekati konstan. Secara khusus
dari persamaan (3.10.9) didapat
Ketika 𝑥 → 𝑢max𝑡, 𝜌 → 0.
Ketika 𝑥 → −𝑢max𝑡, 𝜌 →𝜌max
𝐿2
(1−√(1+4𝑢max𝑡 𝐿⁄ )2)2
16𝑢max2𝑡2 𝐿4⁄= 𝜌max.
Perlu diperiksa bahwa persamaan (3.10.9) memenuhi kondisi awal
yang diketahui. Hal tersebut tidak jelas penyelesaiannya karena saat
𝑡 → 0 baik pembilang maupun penyebutnya akan cenderung nol.
Teknik yang paling sederhana untuk menentukan limit 𝑡 → 0 pada
persamaan (3.10.9) dengan didekati limitnya pada pembilangnya
karena √1 − 𝑡 ≈ 1 −1
2𝑡 jika didekati 𝑡 → 0, sehingga untuk
interval awal antara 0 < 𝑥0 < 𝐿 didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
𝜌(𝑥, 𝑡) →𝜌max𝐿2
[1 − (1 −4𝑢max𝑡𝐿2
(𝑥 − 𝐿))]
2
16𝑢max2𝑡2
𝐿4
.
(2) 𝑥0(𝜌)
Dengan menggunakan persamaan (3.10.6) sebagai cara alternatif
untuk menentukan 𝑥0 merupakan fungsi terhadap 𝜌 yaitu (𝑥0 −
𝐿)2 = 𝐿2𝜌 𝜌max⁄ atau 𝑥0 = 𝐿 ± 𝐿√𝜌 𝜌max⁄ . Tanda kurang harus
digunakan karena 0 < 𝑥0 < 𝐿 sehingga
𝑥0 = 𝐿 − 𝐿√𝜌 𝜌max⁄ = 𝐿 (1 − √𝜌 𝜌max⁄ ). (3.10.10)
Perlu dicatat bahwa besar 𝜌 bervariasi antara 0 dan 𝜌max sedangkan
besar 𝑥0 bervariasi antara 0 dan 𝐿. Persamaan (3.10.10)
disubstitusikan ke persamaan (3.10.1) sehingga didapat
𝑥 = 𝑢max(1 − 2𝜌 𝜌max⁄ )𝑡 + 𝐿 (1 − √𝜌 𝜌max⁄ ).
Dapat dibentuk sebagai persamaan kudratik untuk √𝜌 𝜌max⁄ yaitu
(√𝜌 𝜌max⁄ )2
2𝑢max𝑡 + 𝐿 √𝜌 𝜌max⁄ + 𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡 = 0,
didapat
√𝜌 𝜌max⁄ =−𝐿 + √𝐿2 − 8𝑢max𝑡(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡)
4𝑢max𝑡,
dengan memilih tanda positif pada rumus ABC tersebut karena
√𝜌 𝜌max⁄ > 0 yang kemudian persamaan diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
𝜌(𝑥, 𝑡) =𝜌max
𝑢max2𝑡2[𝐿2 − 2√𝐿2 − 8𝑢max𝑡(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡)
+ (√𝐿2 − 8𝑢max𝑡(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡))2
].
K. Solusi Analitis
Dipandang persamaan masalah arus lalu lintas
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑥= 0
(3.11.1)
dengan 𝜌(𝑥, 𝑡) adalah kepadatan lalu lintas dan 𝑢(𝜌) adalah kecepatan kendaraan.
Kepadatan lalu lintas bergantung pada panjang ruas jalan (𝑥) dan waktu (𝑡),
sedangkan kecepatan kendaraan bergantung pada kepadatan lalu lintas (𝜌).
Dalam kasus ini, kecepatan kendaraan diberikan oleh fungsi
𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −𝜌
𝜌max)
(3.11.2)
dengan 𝑢max adalah kecepatan maksimum dan 𝜌max adalah kepadatan maksimum.
Jika kecepatan kendaraan mendekati nol maka kepadatan lalu lintas akan mencapai
maksimum. Sebaliknya, jika kepadatan lalu lintas mendekati nol maka kecepatan
kendaraan akan mencapai maksimum.
Misalkan persamaan (3.11.1) diubah menjadi
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑞
𝜕𝑥= 0
(3.11.3)
dengan 𝑞 = 𝜌𝑢(𝜌).
Karena 𝑞 = 𝜌𝑢(𝜌), turunan pertama dari 𝑞 adalah
𝜕𝑞
𝜕𝜌= 𝑢max (1 −
2𝜌
𝜌max). (3.11.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Persamaan (3.11.3) dapat ditulis sebagai
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑞
𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0,
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝑑𝑞
𝑑𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑥= 0, (3.11.5)
dan
𝑑𝜌
𝑑𝑡=𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝜌
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑡,
𝑑𝜌
𝑑𝑡=𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝜕𝜌
𝜕𝑥.
(3.11.6)
Dari persamaan (3.11.5) dan (3.11.6) didapat
𝑑𝜌
𝑑𝑡= 0 (3.11.7)
maka diperoleh
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑞
𝑑𝜌. (3.11.8)
Akan dicari nilai dari 𝑞𝜌 ketika 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max
𝑑𝑞
𝑑𝜌|𝜌=0
= 𝑢max (1 −0
𝜌max) = 𝑢max, (3.11.9)
𝑑𝑞
𝑑𝜌|𝜌=𝜌max
= 𝑢max (1 −𝜌max𝜌max
) = −𝑢max. (3.11.10)
Dari persamaan (3.11.8) dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan (3.11.9)
dan (3.11.10) yaitu
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑢max,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
𝑑𝑥 = 𝑢max𝑑𝑡,
∫𝑑𝑥 = ∫𝑢max𝑑𝑡,
𝑥 = 𝑢max𝑡,
𝑥
𝑡= 𝑢max, (3.11.11)
and
𝑑𝑥
𝑑𝑡= −𝑢max,
𝑑𝑥 = −𝑢max𝑑𝑡,
∫𝑑𝑥 = −∫𝑢max𝑑𝑡,
𝑥 = −𝑢max𝑡,
𝑥
𝑡= −𝑢max. (3.11.12)
Dari penjabaran persamaan (3.11.11) dan (3.11.12) diperoleh
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑞
𝑑𝜌=𝑥
𝑡,
𝑑𝑞
𝑑𝜌=𝑥
𝑡,
𝑢max (1 −2𝜌
𝜌max) =
𝑥
𝑡,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
𝑢max (𝜌max − 2𝜌
𝜌max) =
𝑥
𝑡,
𝜌max − 2𝜌 =𝑥𝜌max𝑡𝑢max
,
𝜌max 𝑡𝑢max − 2𝜌𝑡𝑢max = 𝑥𝜌max,
−2𝜌𝑡𝑢max = 𝑥𝜌max − 𝜌max 𝑡𝑢max,
𝜌 =𝑥𝜌max − 𝜌max 𝑡𝑢max
−2𝑡𝑢max,
𝜌 =𝜌max2
(1 −𝑥
𝑡𝑢max). (3.11.13)
Jadi, penyelesaian analitis dari persamaan (3.11.1) adalah
𝜌(𝑥, 𝑡) =
𝑢max jika
𝑥
𝑡≤ 𝑞′(𝑢max),
1
2 𝜌max(1−
𝑥
𝑢max𝑡) jika 𝑞′(𝑢max) ≤
𝑥
𝑡< 𝑞′(0),
0 jika 𝑥
𝑡≥ 𝑞′(0).
(3.11.14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
BAB IV
SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS
Dalam bab ini akan disimulasikan secara analitis dan numeris model
deterministik arus lalu lintas dengan menggunakan metode volume hingga Lax-
Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin.
A. Metode Volume Hingga Lax–Friedrichs
Dalam subbab ini, akan diselesaikan masalah lalu lintas dengan
menggunakan metode volume hingga Lax–Friedrichs. Model lalu lintas berbentuk
persamaan diferensial parsial hukum kekalan yang bersifat hiperbolik, yaitu
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑓(𝜌)
𝜕𝑥= 0.
(4.1.1)
Misalkan domain waktu didiskretkan menjadi
𝑡𝑛 = 𝑛. ∆𝑡, 𝑛 = 0,1,2,3, … .
Kemudian, domain ruang didiskretkan sebanyak berhingga sel menjadi
… , [𝑥𝑖−3 2⁄ , 𝑥𝑖−1 2⁄ ], [𝑥𝑖−1 2⁄ , 𝑥𝑖+1 2⁄ ], [𝑥𝑖+1 2⁄ , 𝑥𝑖+3 2⁄ ], … seperti ditunjukkan pada
Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Diskretisasi domain ruang.
dengan ∆𝑥 = 𝑥𝑖+1
2
− 𝑥𝑖−1
2
atau ∆𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1.
𝑥𝑖
𝑥𝑖+1 2⁄
𝑥𝑖+1
𝑥𝑖+3 2⁄
𝑥𝑖+2 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖−2
𝑥𝑖−1 2⁄ 𝑥𝑖−3 2⁄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Skema volume hingga dari persamaan (4.1.1) adalah
𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑥(𝐹
𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛 ) (4.1.2)
dengan 𝜌𝑖𝑛 ≈ 𝜌(𝑥𝑖, 𝑡
𝑛) adalah pendekatan dari fungsi kepadatan lalu lintas dan
𝐹𝑖+1/2𝑛 ≈ 𝑓 (𝜌(𝑥𝑖+1/2, 𝑡
𝑛)) adalah fluks Lax–Friedrich yang digunakan dalam
perhitungan volume hingga. Selanjutnya, akan dicari fluks dari persamaan (4.1.2)
yaitu
𝐹𝑖+12
𝑛 =1
2(𝑓(𝜌𝑖+1
𝑛 ) + 𝑓(𝜌𝑖𝑛)) −
∆𝑥
2∆𝑡(𝜌𝑖+1
𝑛 − 𝜌𝑖𝑛)
=1
2(𝜌𝑖+1
𝑛 𝑢max (1 −𝜌𝑖+1𝑛
𝜌max) + 𝜌𝑖
𝑛𝑢max (1 −𝜌𝑖𝑛
𝜌max))
−∆𝑥
2∆𝑡(𝜌𝑖+1
𝑛 − 𝜌𝑖𝑛),
(4.1.3)
dan
𝐹𝑖−12
𝑛 =1
2(𝑓(𝜌𝑖
𝑛) + 𝑓(𝜌𝑖−1𝑛 )) −
∆𝑥
2∆𝑡(𝜌𝑖
𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 )
=1
2(𝜌𝑖
𝑛𝑢max (1 −𝜌𝑖𝑛
𝜌max) + 𝜌𝑖−1
𝑛 𝑢max (1 −𝜌𝑖−1𝑛
𝜌max))
−∆𝑥
2∆𝑡(𝜌𝑖
𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ) .
(4.1.4)
Jadi, metode volume hingga untuk persamaan masalah arus lalu lintas didapat
dengan cara menyubstitusikan persamaan (4.1.3) dan (4.1.4) ke dalam persamaan
(4.1.2):
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑥[(1
2(𝜌𝑖+1
𝑛 𝑢max (1 −𝜌𝑖+1𝑛
𝜌max)
+ 𝜌𝑖𝑛𝑢max (1 −
𝜌𝑖𝑛
𝜌max)) −
∆𝑥
2∆𝑡(𝜌𝑖+1
𝑛 − 𝜌𝑖𝑛))
− (1
2(𝜌𝑖
𝑛𝑢max (1 −𝜌𝑖𝑛
𝜌max) + 𝜌𝑖−1
𝑛 𝑢max (1 −𝜌𝑖−1𝑛
𝜌max))
−∆𝑥
2∆𝑡(𝜌𝑖
𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ))],
atau
𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖
𝑛 − [(1
2
∆𝑡
∆𝑥(𝜌𝑖+1
𝑛 𝑢max (1 −𝜌𝑖+1𝑛
𝜌max)
+ 𝜌𝑖𝑛𝑢max (1 −
𝜌𝑖𝑛
𝜌max)) −
∆𝑡
∆𝑥
∆𝑥
2∆𝑡(𝜌𝑖+1
𝑛 − 𝜌𝑖𝑛))
− (1
2
∆𝑡
∆𝑥(𝜌𝑖
𝑛𝑢max (1 −𝜌𝑖𝑛
𝜌max)
+ 𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max (1 −
𝜌𝑖−1𝑛
𝜌max)) −
∆𝑥
2∆𝑡
∆𝑡
∆𝑥(𝜌𝑖
𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ))],
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖
𝑛 −∆𝑡
2∆𝑥(𝜌𝑖+1
𝑛 𝑢max (1 −𝜌𝑖+1𝑛
𝜌max) + 𝜌𝑖
𝑛𝑢max (1 −𝜌𝑖𝑛
𝜌max))
+1
∆𝑡(𝜌𝑖+1
𝑛 − 𝜌𝑖𝑛)
+∆𝑡
2∆𝑥(𝜌𝑖
𝑛𝑢max (1 −𝜌𝑖𝑛
𝜌max)
+ 𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max (1 −
𝜌𝑖−1𝑛
𝜌max)) +
1
∆𝑡(𝜌𝑖
𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ),
atau
𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖
𝑛 −∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max (1 −
𝜌𝑖+1𝑛
𝜌max) −
∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖𝑛𝑢max (1 −
𝜌𝑖𝑛
𝜌max)
+1
2(𝜌𝑖+1
𝑛 − 𝜌𝑖𝑛) +
∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖𝑛𝑢max (1 −
𝜌𝑖𝑛
𝜌max)
+∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max (1 −
𝜌𝑖−1𝑛
𝜌max) −
1
2(𝜌𝑖
𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ),
atau
𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖
𝑛 −∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max +
∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max
𝜌𝑖+1𝑛
𝜌max−∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖𝑛𝑢max
+∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖𝑛𝑢max
𝜌𝑖𝑛
𝜌max+1
2𝜌𝑖+1𝑛 −
1
2𝜌𝑖𝑛 +
∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖𝑛𝑢max
−∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖𝑛𝑢max
𝜌𝑖𝑛
𝜌max+∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max
−∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max
𝜌𝑖−1𝑛
𝜌max−1
2𝜌𝑖𝑛 +
1
2𝜌𝑖−1𝑛 ,
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖
𝑛 −∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max +
∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max
𝜌𝑖+1𝑛
𝜌max+1
2𝜌𝑖+1𝑛 −
1
2𝜌𝑖𝑛
+∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max −
∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max
𝜌𝑖−1𝑛
𝜌max−1
2𝜌𝑖𝑛
+1
2𝜌𝑖−1𝑛 ,
atau
𝜌𝑖𝑛+1 = −
∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max +
∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max
𝜌𝑖+1𝑛
𝜌max+1
2𝜌𝑖+1𝑛
+∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max −
∆𝑡
2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max
𝜌𝑖−1𝑛
𝜌max+1
2𝜌𝑖−1𝑛 .
(4.1.5)
B. Sistem Relaksasi Jin–Xin
Persamaan (4.1.1) dapat dimodifikasi menjadi
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑣
𝜕𝑥= 0
(4.2.1)
dengan tambahan satu persamaan lain. Persamaan (4.2.1) mempunyai sistem
relaksasi Jin–Xin, yaitu
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑣
𝜕𝑥= 0 ,
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑎
𝜕𝜌
𝜕𝑥= −
1
𝜀(𝑣 − 𝑓(𝜌)) ,
(4.2.2)
dengan 𝜀 bilangan positif yang cukup kecil yang merupakan parameter dari
relaksasi, 𝑣 adalah variabel yang sengaja dibuat untuk perhitungan dari sistem
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
relaksasi, dan 𝑎 bilangan positif konstan yang merupakan karakteristik kecepatan
dari sistem relaksasi dengan syarat 𝑎 − (𝑓′(𝜌))2≥ 0.
Untuk 𝜀 → 0, maka 𝑣 = 𝑓(𝑢) mengakibatkan sistem relaksasi (4.2.2) dapat
diaproksimasi menjadi
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕𝑓(𝜌)
𝜕𝑥= 0.
(4.2.3)
Misalkan domain ruang didiskretisasikan sebanyak berhingga sel, dengan ∆𝑥 =
𝑥𝑗+
1
2
− 𝑥𝑗−
1
2
, dimana 𝑥𝑗+
1
2
= 𝑗∆𝑥 +1
2∆𝑥 dan domain waktu didiskretisasikan
sebanyak berhingga langkah waktu, dengan ∆𝑥 = 𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛 untuk 𝑛 = 0,1,2, ….
Selanjutnya, dengan pendekatan dapat dibentuk 𝑤𝑗+
1
2
𝑛 = 𝑤 (𝑥𝑗+
1
2
, 𝑡𝑛) dan
didefinisikan menjadi
𝐷𝑥𝑤𝑗 =
𝑤𝑗+12+ 𝑤
𝑗−12
∆𝑥.
(4.2.4)
Pendiskretan hukum konservasi persamaan (4.2.2) terhadap domain ruang dan
langkah waktu dengan menggunakan metode garis adalah
𝜕𝜌𝑗
𝜕𝑡+1
∆𝑥(𝑣𝑗+12− 𝑣
𝑗−12) = 0,
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑡+1
∆𝑥𝑎 (𝜌
𝑗+12− 𝜌
𝑗−12) = −
1
𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓𝑗) ,
(4.2.5)
dengan,
𝑓𝑗 =1
∆𝑥∫ 𝑓(𝜌)𝑥𝑗+12
𝑥𝑗−12
𝑑𝑥
= 𝑓 (1
∆𝑥∫ 𝜌𝑥𝑗+12
𝑥𝑗−12
𝑑𝑥) + 𝑂(ℎ2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
= 𝑓(𝜌𝑗) + 𝑂(ℎ2) (4.2.6)
Persamaan (4.2.6) merupakan kuantitas rata–rata dengan tingkat keakuratan 𝑂(ℎ2),
sehinggan sistem persamaan (4.2.5) dapat ditulis menjadi
𝜕𝜌𝑗
𝜕𝑡+1
∆𝑥(𝑣𝑗+12− 𝑣
𝑗−12) = 0,
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑡+1
∆𝑥𝑎 (𝜌
𝑗+12− 𝜌
𝑗−12) = −
1
𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)) ,
(4.2.7)
Sistem relaksasi pada persamaan (4.2.2) mempuyai dua variabel karakteristik, yang
dapat diselesaikan dengan menggunakan penyelesaian metode karakteristik yaitu
𝑣 ± 𝑎12𝜌.
(4.2.8)
Dengan mengaplikasikan skema upwind order satu didapat
(𝑣 + 𝑎
12𝜌)
𝑗+12
= (𝑣 + 𝑎12𝜌)
𝑗,
(𝑣 − 𝑎12𝜌)
𝑗+12
= (𝑣 − 𝑎12𝜌)
𝑗+1 .
(4.2.9)
Penyelesaian 𝜌𝑗+
1
2
dan 𝑣𝑗+
1
2
adalah variabel yang tidak diketahui pada persamaan
(4.2.2) didapat
𝑣𝑗+12+ 𝑎
12𝜌𝑗+12= 𝑣𝑗 + 𝑎
12𝜌𝑗
𝑣𝑗+12− 𝑎
12𝜌𝑗+12= 𝑣𝑗+1 − 𝑎
12𝜌𝑗+1
(4.2.10)
sehingga
2𝑎12𝜌𝑗+12= 𝑣𝑗 + 𝑎
12𝜌𝑗 − 𝑣𝑗+1 + 𝑎
12𝜌𝑗+1,
2𝑎12𝜌𝑗+12= 𝑎
12𝜌𝑗 + 𝑎
12𝜌𝑗+1 + 𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
2𝑎12𝜌𝑗+12= 𝑎
12(𝜌𝑗 + 𝜌𝑗+1) + (𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1),
𝜌𝑗+12=𝑎12(𝜌𝑗 + 𝜌𝑗+1) + (𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1)
2𝑎12
,
𝜌𝑗+12=1
2(𝜌𝑗 + 𝜌𝑗+1) +
1
2𝑎−
12(𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1),
(4.2.11)
dan
2𝑣𝑗+12= 𝑣𝑗 + 𝑎
12𝜌𝑗 + 𝑣𝑗+1 − 𝑎
12𝜌𝑗+1,
2𝑣𝑗+12= 𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗 − 𝑎
12𝜌𝑗+1 + 𝑎
12𝜌𝑗 ,
2𝑣𝑗+12= (𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗) − 𝑎
12(𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗),
𝑣𝑗+12=(𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗) − 𝑎
12(𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗)
2,
𝑣𝑗+12=1
2(𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗) −
1
2𝑎12(𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗).
(4.2.12)
Dengan menyubstitusikan persamaan (4.2.1) dan (4.2.2) ke persamaan (4.2.7)
menggunakan pendekatan upwind semi diskret order pertama pada persamaan
(4.2.2) yaitu
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑗 +
1
∆𝑥(𝑣𝑗+12− 𝑣
𝑗−12) = 0,
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑗 +
1
∆𝑥([1
2(𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗) −
1
2𝑎12(𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗)]
− [1
2(𝑣𝑗−1 + 𝑣𝑗) −
1
2𝑎12(𝜌𝑗−1 − 𝜌𝑗)]) = 0,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑗 +
1
∆𝑥(1
2𝑣𝑗+1 +
1
2𝑣𝑗 −
1
2𝑎12𝜌𝑗+1 +
1
2𝑎12𝜌𝑗 −
1
2𝑣𝑗−1 −
1
2𝑣𝑗
+1
2𝑎12𝜌𝑗−1 −
1
2𝑎12𝜌𝑗) = 0,
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑗 +
1
∆𝑥(1
2(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −
1
2𝑎12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1)) = 0,
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑗 +
1
2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −
1
2∆𝑥𝑎12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1) = 0,
𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗
∆𝑡+
1
2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −
1
2∆𝑥𝑎12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1) = 0,
(4.2.13)
dan
𝜕
𝜕𝑡𝑣𝑗 +
1
∆𝑥(𝜌𝑗+12− 𝜌
𝑗−12) = −
1
𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)),
𝜕
𝜕𝑡𝑣𝑗 +
1
∆𝑥([1
2(𝜌𝑗+1 + 𝜌𝑗) −
1
2𝑎−
12(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗)]
− [1
2(𝜌𝑗−1 + 𝜌𝑗) −
1
2𝑎−
12(𝑣𝑗−1 − 𝑣𝑗)])
= −1
𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)),
𝜕
𝜕𝑡𝑣𝑗 +
1
∆𝑥(1
2𝜌𝑗+1 +
1
2𝜌𝑗 −
1
2𝑎−
12𝑣𝑗+1 +
1
2𝑎−
12𝑣𝑗 −
1
2𝜌𝑗−1 −
1
2𝜌𝑗
+1
2𝑎−
12𝑣𝑗−1 −
1
2𝑎−
12𝑣𝑗) = −
1
𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)),
𝜕
𝜕𝑡𝑣𝑗 +
1
∆𝑥(1
2(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −
1
2𝑎−
12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1))
= −1
𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
𝜕
𝜕𝑡𝑣𝑗 +
1
2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −
1
2∆𝑥𝑎−
12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1)
= −1
𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)),
𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗
∆𝑡+
1
2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −
1
2∆𝑥𝑎−
12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1)
= −1
𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)).
(4.2.14)
Jadi, skema sistem relaksasi Jin–Xin pada sistem persamaan (4.2.7) adalah
𝜌𝑗+1 = 𝜌𝑗 −∆𝑡
2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) +
∆𝑡
2∆𝑥𝑎12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1),
atau
𝜌𝑗+1 = 𝜌𝑗 −∆𝑡
2∆𝑥𝑣𝑗+1 +
∆𝑡
2∆𝑥𝑣𝑗−1 +
∆𝑡
2∆𝑥𝑎12𝜌𝑗+1 −
∆𝑡
∆𝑥𝑎12𝜌𝑗
+∆𝑡
2∆𝑥𝑎12𝜌𝑗−1,
atau
𝜌𝑗+1 = (1 −∆𝑡
∆𝑥𝑎12) 𝜌𝑗 −
∆𝑡
2∆𝑥𝑣𝑗+1 +
∆𝑡
2∆𝑥𝑣𝑗−1 +
∆𝑡
2∆𝑥𝑎12𝜌𝑗+1
+∆𝑡
2∆𝑥𝑎12𝜌𝑗−1,
(4.2.15)
dan
𝑣𝑗+1 = 𝑣𝑗 −∆𝑡
2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) +
∆𝑡
2∆𝑥𝑎−
12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1)
−1
𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)),
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
𝑣𝑗+1 = 𝑣𝑗 −∆𝑡
2∆𝑥𝑣𝑗+1 −
∆𝑡
2∆𝑥𝑣𝑗−1 +
∆𝑡
2∆𝑥𝑎−
12𝜌𝑗+1 −
∆𝑡
∆𝑥𝑎−
12𝜌𝑗
+∆𝑡
2∆𝑥𝑎−
12𝜌𝑗−1 −
1
𝜀𝑣𝑗 +
1
𝜀𝑓(𝜌𝑗),
atau
𝑣𝑗+1 = (1 −1
𝜀) 𝑣𝑗 −
∆𝑡
2∆𝑥𝑣𝑗+1 −
∆𝑡
2∆𝑥𝑣𝑗−1 +
∆𝑡
2∆𝑥𝑎−
12𝜌𝑗+1
−∆𝑡
∆𝑥𝑎−
12𝜌𝑗 +
∆𝑡
2∆𝑥𝑎−
12𝜌𝑗−1 +
1
𝜀𝑓(𝜌𝑗).
(4.2.16)
Dalam skripsi ini, penentuan epsilon masih open problem. Penulis membatasi 𝜖 =
10−2.
C. Eror Solusi Numeris
Untuk sembarang fungsi 𝑓analitik yang didekati oleh 𝑓numeris dalam domain
ruang dan waktu mengahasilkan eror absolut yang didefinisikan sebagai
eror absolute = ∫Ω|𝑓analitis − 𝑓numeris|𝑑𝑥
dengan Ω adalah domain ruang yang diketahui.
Tidak semua model yang kontinu dapat selesaikan dengan mudah secara
analitis ataupun numeris sehingga perlu didiskretisasi terhadap domain ruang atau
waktu. Dalam perhitungan secara diskret, eror absolut pada kasus ini didefinisikan
sebagai
eror absolute =1
𝑁∑|𝜌analitis − 𝜌numeris|
dengan 𝜌analitis dan 𝜌𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑠 dalam bentuk vektor.
Disini 𝑁 adalah length(𝜌analitis) yaitu banyaknya komponen pada 𝜌analitis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris
Dipandang model deterministik arus lalu lintas secara kontinu dalam
domain ruang −10 ≤ 𝑥 ≤ 10 dan domain waktu 𝑡 > 0
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢(𝜌))
𝜕𝑥= 0
dengan nilai awal kepadatannya adalah
𝜌(𝑥, 0) = 2 jika 𝑥 < 0, 0 jika 𝑥 lainnya.
Nilai batas kepadatannya yaitu 𝜌(−10, 𝑡) = 2 dan 𝜌(10, 𝑡) = 0 untuk setiap 𝑡.
Kecepatan kendaraan didefinisikan sebagai
𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −𝜌
𝜌max).
Diasumsikan 𝜌max = 2 and 𝑢max = 2.
1. Simulasi Solusi Analitis
Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi dari solusi analitis yang
didapat dari skema persamaan (3.11.14). Pada simulasi ini diambil ∆𝑥 = 0.05
dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 dan 𝑡final = 1. Gambar 4.2 menunjukkan solusi analitis untuk
masalah arus lalu lintas yang kepadatan di sebelah kiri lalu lintas semakin lama
akan menurun seiring berjalannya waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
Gambar 4.2 Solusi analitis kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 = 0.05 dan
∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau.
2. Simulasi Solusi Volume Hingga Lax-Friedrichs dan Erornya
Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi untuk solusi model arus lalu
lintas dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs yang
didapat dari skema persamaan (4.1.5). Pada simulasi ini diambil ∆𝑥 = 0.05 dan
∆𝑡 = 0.01∆𝑥 dengan 𝑡final = 1 yang ditunjukkan oleh Gambar 4.3 untuk
masalah arus lalu lintas yang kepadatan disebelah kiri lalu lintas semakin lama
akan menurun seiring berjalannya waktu. Gambar 4.4 menunjukkan eror dari
metode volume hingga Lax-Friedrichs yang dibandingkan dengan solusi
analitisnya. Hasil Eror yang dihasilkan oleh metode volume hingga Lax-
Friedrichs paling besar mencapai 0.4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Gambar 4.3 Solusi volume hingga Lax-Friedrichs kepadatan lalu lintas
dengan ∆𝑥 = 0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala
merah menjadi hijau.
Gambar 4.4 Eror dari solusi volume hingga Lax-Friedrichs kepadatan lalu
lintas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
3. Simulasi Solusi Sistem Relaksasi Jin-Xin dan Erornya
Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi untul solusi model arus lalu
lintas dengan menggunakan sistem relaksasi Jin-Xin yang didapat dari skema
persamaan (4.2.15) dan (4.2.15). Pada simulasi ini diambil 𝜀 = 10−2, ∆𝑥 =
0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 dengan 𝑡final = 1 yang ditunjukkan oleh Gambar 4.5
untuk masalah arus lalu lintas yang kepadatan di sebelah kiri lalu lintas semakin
lama akan menurun seiring berjalannya waktu. Gambar 4.6 menunjukkan eror
dari sistem relaksasi Jin-Xin yang dibandingkan dengan solusi analitiknya.
Hasil eror yang dihasilkan sistem relaksasi Jin-Xin paling besar mencapai 0.1.
Gambar 4.5 Solusi relaksasi Jin-Xin kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 =
0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi
hijau.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
Gambar 4.6 Eror dari solusi relaksasi Jin-Xin kepadatan lalu lintas.
Kombinasi solusi analitis dan numerisnya ditunjukkan oleh Gambar 4.7.
Dari hasil simulasi tersebut, dapat dilihat bahwa sistem relaksasi Jin-Xin
merupakan metode yang lebih akurat untuk menyelesaikan masalah arus lalu lintas
yang berbentuk persamaan diferensial parsial. Metode volume hingga Lax-
Friedrichs menghasilkan solusi yang grafiknya agak jauh dari grafik solusi
analatisnya dan eror yang dihasilkan relatif cukup besar hingga mencapai 0.4,
sedangkan sistem relaksasi Jin-Xin menghasilkan solusi yang grafiknya cukup
dekat dari grafik solusi analitiknya dan eror yang dihasilkan lebih kecil daripada
metode volume hingga Lax-Friedrichs yaitu hanya sebesar 0.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Gambar 4.7 Solusi analitik dan numeris kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 =
0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Model deterministik arus lalu lintas berbentuk persamaan diferensial parsial
hiperbolik order satu yang lampu lalu lintasnya menyala dari merah menjadi hijau.
Dalam kasus ini, model arus lalu lintas tersebut didapatkan solusi analitis dan solusi
numerisnya dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Hasil
numeris yang diperoleh menunjukkan kesesuaian perilaku secara nyata pada arus
lalu lintas yang menyala dari merah menjadi hijau.
Lebih lanjut lagi, kepadatan kendaraan di belakang lampu merah lalu lintas
semakin lama akan menurun seiring berjalannya waktu. Dalam kondisi ini, solusi
sistem relaksasi Jin-Xin lebih akurat daripada solusi volume hingga Lax-Friedrichs
karena eror dari metode sistem relaksasi Jin-Xin lebih kecil daripada eror dari
metode volume hingga Lax-Friedrichs.
B. Saran
Masih banyak permasalahan lalu lintas yang belum diselesaikan hingga saat
ini, misalnya saat lampu lalu lintas dari hijau ke kuning atau kuning ke merah, dan
lain-lain. Saran dari penulis bagi pembaca dan adik-adik tingkat yang ingin
mengerjakan tugas akhir adalah dengan dasar teori yang mirip dapat menyelesaikan
permasalahan arus lalu lintas yang lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
DAFTAR PUSTAKA
Banda, M. K. dan Seaid, M. (2005). Higher-order relaxation schemes for hyperbolic
systems of conservation laws. J. Numer. Math.13 171.
Bober, W., Tsai. C., dan Masory, O. (2009). Numerical and Analytical Methods
with MATLAB. New York: Taylor and Francis Group, LLC.
Chapra, S. C. dan Canale, R. P. (2010). Numerical Methods for Engineers. Sixth
Edition. New York: McGraw-Hill Companies, Inc.
Chartier, T.P. dan Greenbaum. A. (2012). Numerical Methods: Design, Analysis,
and Computer Implementations of Algorithms. New Jersey: Princeton
University Press.
Coleman, M. P. (2013). An Introduction to Partial Differential Equations with
MATLAB. 2nd. Edition. New York: Taylor and Francis Group, LLC.
Gunawan, P. H. (2014). The conservative upwind scheme for simple traffic flow
model. Prosiding Seminar Nasional Matematika
Haberman, R. (1998). Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population
Dynamics, Traffic Flow. Englewood Cliff: Prentice – Hal, Inc.
Hallet, H., Gleason, A. M., McCallum, W. G, dkk. (2005). Calculus (Fourth
Edition). USA: John Wiley & Son, Inc.
Jin, S. dan Xin, Z. (1995). The relaxation schemes for systems of conservation laws
in arbitrary space dimensions Comm. Pure Appl. Math. 48 235
Kreiss, H. O. dan Scherer, G. (1992). Method of lines for hyperbolic differential
equations. SIAM Journal on Numerical Analysis, 29 (3): 640-646
LeVeque, R. J. (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems.
Cambridge: Cambridge University Press.
LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws. Basel:
Birkhauser.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
Leon, S. J. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga.
Mattheij, R. M. M., Rienstra, S. W. dan Boonkkamp, J. H. M. t. T. (2005). Partial
Differential Equation: Modeling, Analysis, Computation. Philadelphia:
SIAM.
Raharjo, R. (2014). Model Matematika untuk Masalah Arus Lalu Lintas.
Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
Schiesser, W. E. dan Griffiths, G. W. (2009). A Compendium of Partial Differential
Equation Models: Method of Lines Analysis with Matlab. Cambridge:
Cambridge University Press.
Sulistiyawati, B. A. dan Mungkasi, S. (2017). Jin-Xin relaxation method for solving
a traffic flow problem in one dimension. Jurnal of Physics: Conference
Series 795(1): 012041.
Toro, E. F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics.
Berlin: Springer.
Varberg, D., Purcel, E. J., dan Rigdon, S. E., Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2.
Jakarta: Erlangga.
Wazwaz, A. M. (2009). Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory.
Berlin: Springer.
Yohana, E. (2012). Adjoint-based optimization for optimal control problems
governed by nonlinear hyperbolic conservation laws. MSc Thesis
(Johannesburg: University of the Witwatersrand).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
LAMPIRAN
Berikut ini merupakan code pada program MATLAB untuk solusi analitis
dan solusi numeris beserta erornya dengan setiap metode yang digunakan dalam
menyelesaikan persamaan diferensial parsial untuk model deterministik arus lalu
lintas.
1. Solusi Analitis
clc close all clear all tf=1; %waktu final L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %langkah waktu t=0:dt:tf; %disktritasisasi waktu x=-L:dx:L; %disktritasisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk rho umax=2; % Nilai kecepatan di rho=rho maksimum rhomax=2; % Nilai kepadatan di u= u maksimum % Nilai awal for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; else rho(1,i)=0; end end
% Nilai batas rho(:,1)=2; rho(:,nx)=0;
for n=1:nt-1 for i=1:nx-1 rho(n,i)=x(i)./t(n); %Nilai dari x/t % Hasil nilai rho dengan syarat tertentu if rho(n,i) < -umax; rho(n,i)=2; elseif rho(n,i) >= umax; rho(n,i)=0; else rho(n,i)=rhomax/2*(1-rho(n,i)/umax); end end plot(x,rho(n,:))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
ylim([-0.1 2.5]) pause(0.000001) %hold on xlabel('x') ylabel('rho') %title('Grafik antara x dan rho') end
2. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs dan Erornya
clc close all clear all tf=1; L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %langkah waktu t=0:dt:tf; %diskritisasi waktu x=-L:dx:L; %diskritisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx);%Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi
Lax-Friedrichs p=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi
analitik u=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kecepatan error_mv=zeros(nt,nx); %error dari solusi Lax-Friedrichs umax=2; %Nilai kecepatan maksimum rhomax=2; %Nilai kepadatan maksimum
% Nilai awal for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; p(1,i)=2; u(1,i)=umax*(1-rho(1,i)/rhomax); else rho(1,i)=0; p(1,i)=0; u(1,i)=umax*(1-rho(1,i)/rhomax); end end
% Nilai batas rho(:,1)=2; p(:,1)=2; rho(:,nx)=0; p(:,nx)=0; hold on for n=1:nt-1 for i=2:nx-1 rho(n+1,i)=x(i)./t(n+1); if rho(n+1,i) < -umax; rho(n+1,i)=2; elseif rho(n+1,i) >= umax;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
rho(n+1,i)=0; else rho(n+1,i)=rhomax/2*(1-rho(n+1,i)/umax); end %F Kiri untuk p Fkip=((u(n,i)*p(n,i)+u(n,i-1)*p(n,i-1))/2)-
((dx/(2*dt))*(p(n,i)-p(n,i-1))); %F Kanan untuk p Fkap=((u(n,i+1)*p(n,i+1)+u(n,i)*p(n,i))/2)-
((dx/(2*dt))*(p(n,i+1)-p(n,i))); p(n+1,i)=p(n,i)-(dt/dx)*(Fkap-Fkip); error_mv(n+1,i)=norm(rho(n+1,i)-p(n+1,i)); end end for k=1:2 if k==1 plot(x,p(nt,:),'k--') %legend('Lax-Friedrichs Method') ylim([-0.1 2.5]) else figure plot(x,error_mv(nt,:),'m') %legend( 'error') ylim([min(min(error_mv))-0.1 max(max(error_mv))+0.1]) end pause(1) end
3. Sistem Relaksasi Jin-Xin dan Erornya
clc close all clear all tf=1; %Waktu Final L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %Langka Waktu t=0:dt:tf; %disktritasisasi wakktu x=-L:dx:L; %disktritasisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi
Jin-Xin rhoa=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi
analitik v=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk v umax=2; %Nilai kecepatan maksimum rhomax=2; %Nilai kepadatan maksimum epsilon=10e-2; %Usikan yang diberikan a=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk a error_jx=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk error
Relaksasi Jin-Xin figure
% Nilai awal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; rhoa(1,i)=2; v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-rho(1,i)/rhomax); else rho(1,i)=0; rhoa(1,i)=0; v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-rho(1,i)/rhomax); end end
% Nilai batas rho(:,1)=2; rho(:,nx)=0;
%Nilai dari v = f(rho) dan nilai a=(f'(rho))^2 for n=2:nt-1 for i=2:nx-1 rhoa(n,i)=x(i)./t(n); %Nilai dari x/t % Hasil nilai rho dengan syarat tertentu if rhoa(n,i) < -umax; rhoa(n,i)=2; elseif rhoa(n,i) >= umax; rhoa(n,i)=0; else rhoa(n,i)=rhomax/2*(1-rhoa(n,i)/umax); end a=(umax*(1-2*rho(n-1,i)/rhomax)).^2; rho(n,i)=rho(n-1,i) - dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-v(n-1,i-1)) +
sqrt(a)*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-2*rho(n-1,i)+rho(n-1,i-1)); v(n,i)=v(n-1,i) - a*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-rho(n-1,i-1))
+ sqrt(a)*dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-2*v(n-1,i)+v(n-1,i-1))-
dt/epsilon*(v(n-1,i)-rho(n-1,i)*umax*(1-rho(n-1,i)/rhomax)); error_jx(n,i)=norm(rho(n,i)-rhoa(n,i)); end rhoa(n,1)=2; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=0 rhoa(n,nx)=0; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=L rho(n,1)=2; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=0 rho(n,nx)=0; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=L v(n,1)= rho(n,1)*umax*(1-rho(n,1)/rhomax);%Nilai batas v untuk
t=tn dan x=0 v(n,nx)= rho(n,nx)*umax*(1-rho(n,nx)/rhomax); %Nilai batas v
untuk t=tn dan x=L end
for k=1:2 if k==1 plot(x,rho(nt-1,:),'k--') %legend('Jin-Xin solution') ylim([-0.1 2.5]) else figure plot(x,error_jx(nt-1,:),'m') %legend('error')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
ylim([min(min(error_jx))-0.1 max(max(error_jx))+0.1]) end pause(1) end
4. Kombinasi Solusi Analitis dan Numeris
clc close all clear all tf=1; %Waktu Final L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %Langka Waktu t=0:dt:tf; %disktritasisasi wakktu x=-L:dx:L; %disktritasisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi
Jin-Xin rhoa=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi
analitik v=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk v p=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk p u=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk u umax=2; %Nilai kecepatan maksimum rhomax=2; %Nilai kepadatan maksimum epsilon=10e-2; %Usikan yang diberikan a=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk a error_jx=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk error
Relaksasi Jin-Xin error_mv=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk error Lax-
Frierichs % Nilai awal for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; rhoa(1,i)=2; p(1,i)=2; u(1,i)=umax*(1-rho(1,i)/rhomax); v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-p(1,i)/rhomax);
else rho(1,i)=0; rhoa(1,i)=0; p(1,i)=0; u(1,i)=umax*(1-p(1,i)/rhomax); v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-rho(1,i)/rhomax); end end
% Nilai batas rhoa(:,1)=2; rhoa(:,nx)=0; rho(:,1)=2; p(:,1)=2;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
rho(:,nx)=0; p(:,nx)=0;
%Nilai dari v = f(rho) dan nilai a=(f'(rho))^2 for n=2:nt-1 for i=2:nx-1 rhoa(n,i)=x(i)./t(n); %Nilai dari x/t % Hasil nilai rho dengan syarat tertentu if rhoa(n,i) < -umax; rhoa(n,i)=2; elseif rhoa(n,i) >= umax; rhoa(n,i)=0; else rhoa(n,i)=rhomax/2*(1-rhoa(n,i)/umax); end a=(umax*(1-2*rho(n-1,i)/rhomax)).^2; rho(n,i)=rho(n-1,i) - dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-v(n-1,i-1)) +
sqrt(a)*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-2*rho(n-1,i)+rho(n-1,i-1)); v(n,i)=v(n-1,i) - a*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-rho(n-1,i-1))
+ sqrt(a)*dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-2*v(n-1,i)+v(n-1,i-1))-
dt/epsilon*(v(n-1,i)-rho(n-1,i)*umax*(1-rho(n-1,i)/rhomax)); Fkip=((u(n-1,i)*p(n-1,i)+u(n-1,i-1)*p(n-1,i-1))/2)-
((dx/(2*dt))*(p(n-1,i)-p(n-1,i-1))); %F Kanan untuk p Fkap=((u(n-1,i+1)*p(n-1,i+1)+u(n-1,i)*p(n-1,i))/2)-
((dx/(2*dt))*(p(n-1,i+1)-p(n-1,i))); p(n,i)=p(n-1,i)-(dt/dx)*(Fkap-Fkip); error_jx(n,i)=norm(rho(n,i)-rhoa(n,i)); error_mv(n,i)=norm(rhoa(n,i)-p(n,i)); end rhoa(n,1)=2; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=0 rhoa(n,nx)=0; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=L rho(n,1)=2; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=0 rho(n,nx)=0; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=L v(n,1)= rho(n,1)*umax*(1-rho(n,1)/rhomax);%Nilai batas v untuk
t=tn dan x=0 v(n,nx)= rho(n,nx)*umax*(1-rho(n,nx)/rhomax); %Nilai batas v
untuk t=tn dan x=L end % Grafik kombinasi solusi analitik dan numeris beserta erornya plot(x,rhoa(nt-1,:),'k-', x,p(nt-1,:),'b.-', x,rho(nt-1,:),'r*-') legend('Solusi analitik', 'Solusi Lax-Friedrichs', 'Solusi
Jin-Xin') ylim([-0.1 2.5]) xlabel('x') ylabel('rho')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Top Related