PETUNJUK PRAKTIKUM
METODE NUMERIK
PAS 213P
DISUSUN OLEH
HASBI YASIN, S.Si, M.Si.
ABDUL HOYYI, S.Si, M.Si
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG
2014
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 1
MODUL I
PENGANTAR MAPLE
Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numeric untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum:
a. Mahasiswa mampu menggunakan alat bantu komputasi MAPLE b. Mahasiswa mampu
1. Pendahuluan
Maple hanya mempunyai satu bagian, yaitu jendela worksheet. Jika pada
jendela worksheet sudah menampilkan promt [> maka otomatis bahwa
Maple telah siap dioperasikan. Perintah ke komputer diketikkan setelah
simbol [>. Perintah ini dicetak dengan warna merah, sedangkan
responnya dicetak dengan warna biru. Perlu diingat bahwa setiap
perintah harus diakhiri dengan tanda (;) jika respon ingin ditampilkan
atau tanda (:) jika respon tidak ingin ditampilkan. Juga perlu
diperhatikan penggunaan huruf kapital, hal ini akan memberikan respon
yang berbeda.
2. Operasi Aritmatika
Berikut ini adalah operasi aritmatika dasar dari Maple:
Simbol Operasi yang dilakukan
+ dan - Penjumlahan dan pengurangan
* dan / Perkalian dan pembagian
^ Perpangkatan
Sqrt Penarikan akar
Evalf Pemberian nilai numerik
Maple akan mengerjakan operasi aritmatika dasar dan menggunakan
hukum-hukum berdasarkan prioritas, misalkan perkalian dioperasikan
lebih dahulu daripada penjumlahan. Selain itu juga dapat digunakan
tanda kurung untuk mengelompokkan operasi yang diinginkan.
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 2
3. Konstanta dan fungsi yang dibuat di dalam Maple
a. Konstanta
Konstanta-konstanta matematika yangsering digunakan dan telah
dibuat oleh Maple antara lain Pi, E, I.
b. Fungsi
Maple juga telah mempunyai banyak fungsi, antara lain:
Nama Maple Fungsi
E^x Fungsi Eksponensial
GAMMA(x) Fungsi Gamma
Beta(x,y) Fungsi Beta
ln(x) Logaritma Natural
sin(x), cos(x), tan(x) Fungsi Trigonometri
arcsin(x), arccos(x) Fungsi Trigonometri Invers
sinh(x), cosh(x) Fungsi Hiperbolik
arcsinh(x), arccosh(x) Fungsi Hiperbolik Invers
Sebagai catatan bahwa Maple selalu menggunakan ukuran radian
untuk semua sudut.
4. Mendefinisikan Variabel dan Fungsi
Pendefinisian sebuah variabel dilakukan dengan simbol := (ditulis tanpa
ada spasi)
> restart;# agar perintah yang dilakukan tidak
terpengaruh oleh perintah-perintah
sebelumnya
> x:=2;
:= x 2 > x;
2 > x^2+3*x;
10
Nilai pada sebuah variabel ini tidak akan berubah sampai kita keluar dari
Maple, atau jika kita mengubahnya.
Untuk mendefinisikan sebuah fungsi, kita ketikan simbol -> (ditulis
tanpa ada spasi)
Contoh: untuk mendefinisikan fungsi 1052 2 xxxf
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 3
> f:=x->2*x^2-5*x+10;#Contoh pendefinisian fungsi
:= f x 2 x2 5 x 10
kemudian untuk memanggil kembali fungsi tersebut dapat dilakukan
dengan perintah:
> f(x);#Pemanggilan kembali fungsi f(x)
2 x2 5 x 10 > f;#Perintah yang salah
f
untuk mengitung nilai dari fungsi terhadap nilai tertentu, dilakukan
dengan:
> f(4);#Menghitung nilai fungsi f untuk x = 4
22
> f(Pi);#Menghitung nilai fungsi f untuk x = pi
2 2 5 10
> evalf(f(Pi));#Memberikan nilai fungsi f untuk x =
3.14
14.03124554 5. Manipulasi Polinomial
Perintah Maple Aksi
simplify Menyederhanakan ekspresi aljabar
expand Ekspansi suatu ekspresi
factor Memfaktorkan suatu ekspresi
solve Menyelesaikan sistem untuk sekumpulan variabel
fsolve Memberikan solusi numerik
Maple akan memanipulasi ekspresi aljabar sesusai dengan aturan aljabar
yang berlaku.
> restart;
> x-y; x y
> p:=1-x+(x^2-1)/(1-x); #polinomial ini bernama p
:= p 1 xx2 1
1 x
Untuk menyederhanakan ekspresi diatas, dilakukan dengan
> simplify(p); 2 x
Untuk memfaktorkan polynomial
> a:=x^10-1;
:= a x10 1
> factor(a);
( ) 1 x ( )x 1 ( ) x4 x3 x2 x 1 ( ) x4 x3 x2 x 1
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 4
6. Substitusi
Untuk melakukan substitusi nilai tertentu terhadap sebuah variabel
dilakukan dengan perintah subs(variabel=nilai tertentu, ekspresi);
> y:=sin(x)^2+cos(x);
:= y ( )sin x 2 ( )cos x
> subs(x=pi,y);
( )sin 2 ( )cos
> a:=evalf(subs(x=Pi/4,y));# menghitung y untuk x=Pi/4,
dan dinamakan a
:= a 1.207106781
7. Plot Gambar
Maple mampu menggambarkan suatu fungsi satu dimensi, dua dimensi
atau tiga dimensi dengan beberapa fasilistas operasi yang lain. Untuk
dapat menggunakan perintah-perintah pengeplotan, kita harus
memanggil dahulu paket ini dengan perintah with(plots).
a. Plot dua dimensi (2D)
sintaks program:
plot(f, h, v) plot(f, h, v,...)
keterangan:
f – fungsi-fungsi yang akan diplot h – interval sumbu mendatar v – interval sumbu tegak (opsional)
contoh:
> plot([sin(x), x-x^3/6], x=0..2, color=[red,blue],
style=[point,line]);# Plot dari fungsi sin(x) dan x-
x3/6
b. Plot tiga dimensi (3D)
sintaks program: plot3d(expr1, x=a..b, y=c..d) plot3d(f, a..b, c..d)
plot3d([exprf, exprg, exprh], s=a..b, t=c..d) plot3d([f, g, h], a..b, c..d)
keterangan: f,g,h - fungsi-fungsi yang akan diplot expr1 - ekspresi dalam x dan y exprf,exprg,exprh - ekspresi dalam s dan t a,b - bilangan riil c,d - bilangan riil, prosedur, atau ekspresi dalam x Contoh:
> plot3d(sin(x*y),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,style=line);
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 5
c. Display Plot
Sintaks Program: display(L, insequence=true, options)
Keterangan:
L - himpunan plot yang akan didisplay (ditampilkan bersama-sama)
insequence=true - (opsional) display dari himpunan plot dalam bentuk barisan yang dianimasikan dalam frame yang, defaultnya adalah false
options - (opsional) pilihan-pilihan dalam plot Contoh:
> restart;with(plots):
> F:=plot(cos(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,style=line):
> G:=plot(tan(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,style=point): > display({F,G},axes=boxed,scaling=constrained,title
=`Cosine and Tangent`);
8. Statemen Perulangan (for...while...do)
Sintaks Program
| for <name> | | from <expr> | | by <expr> | | to <expr> | | while
<expr> |
do <statement sequence> end do;
atau
| for <name> | | in <expr> | | while <expr> |
do <statement sequence> end do;
(Catatan: bagian yang terletak diantara | | adalah optional.)
Contoh:
> for i from 6 by 2 to 20 do print(i) end do;
9. Statemen Kondisional (if...elif...else...end if)
Sintaks Program:
if <conditional expression> then <statement sequence> | elif <conditional expression> then <statement sequence> | | else <statement sequence> | end if
(Catatan: bagian yang terletak diantara | | adalah optional.)
atau dalam bentuk lain, if berfungsi sebagai operator:
Sintaks Program:
`if`(conditional expression, true expression, false expression)
Contoh:
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 6
> a := 3; b := 5;
> if (a > b) then a else b end if;
> 5*(Pi + `if`(a > b,a,b)); 5 25
10. Dasar-dasar pembuatan prosedur
Paket program Maple telah menyediakan fasilitas untuk menuliskan
sebuah prosedur. Prosedur merupakan kumpulan beberapa perintah atau
ekspresi yang disusun menurut alur logika tertentu untuk menghasilkan
output yang dikehendaki. Tata tulis dalam menjalankan/menggunakan
prosedur dalam Maple adalah:
Nama_Prosedur:=proc(argument input) local variabel-variabel
lokal;
Argumen input merupakan informasi/data yang diperlukan untuk
operasional prosedur. Sedangkan variabel-variabel lokal adalah variabel
yang hanya digunakan dalam prosedur tersebut.
Contoh:
> addList := proc(a::list,b::integer)::integer;
local x,i,sum;
description "Penjumlahan data kemudian
dikalikan dengan konstanta";
x:=b;
sum:=0;
for i in a do
sum:=sum+a[i];
end do;
sum:=sum*x;
end proc;
> addList([1,2,3],3);
Tugas 1:
1. Susunlah sebuah prosedur untuk mencari akar-akar persamaan
kuadrat!
2. Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan prosedur yang
anda buat:
a. 2 2 3 0x x b. 2 2 1 0x x c. 2 2 3 0x x
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 7
MODUL II
MAPLE UNTUK SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER
Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numeric untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum: a. Mahasiswa mampu mengidentifikasikan masalah sebagai sistem
persamaan linier
b. Mahasiswa mampu menyajikan dan memanipulasi matriks dalam MAPLE c. Mahasiswa mampu menyelesaikan sistem persamaan linier
A. Pendefinisian Sistem Persamaan Linier
Suatu sistem dari m persamaan linier dan n variabel berbentuk:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
dimana x1, x2, ..., xn adalah variabel dan a11, a12, ..., amn adalah koefisien
persamaan sedangkan b1, b2, ... bm adalah konstanta persamaan.
Sekumpulan nilai dari variabel , misalkan x1 = k1, x2 = k2, ..., xn = kn disebut
solusi dari sistem persamaan linier tersebut. Solusi ini dapat disajikan dalam
bentuk vektor yang disebut dengan vektor solusi.
Bagan solusi sistem persamaan linier:
Sistem Persamaan Linier
A X = B
Homogen
B = O
Tak Homogen
B ≠ O
Selalu Ada Solusi Tak Ada Solusi
r(A) ≠ r(A,B)
Ada Solusi
r(A) = r(A,B)
Solusi Trivial
(Solusi Nol)
Solusi Nontrivial Solusi Tunggal
r = n
Solusi Banyak
r < n
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 8
Perintah-perintah maple yang digunakan dalam penyelesaian sistem
persamaaan linier:
Perintah Maple Arti with(linalg); Untuk membuka paket tentang aljabar
linier augment(A,b); Menggabungkan matriks A dengan vektor b linsolve(A,b); Mencari solusi dari sistem persamaan linier linsolve(A,b,’r’,’t’); Mencari solusi dari sistem persamaan linier
dalam bentuk parameter geneqns(A,[x,y,z]); Menampilkan sistem persamaan linier
homogen dengan matriks koefisien A dan variabel x, y, dan z
geneqns(A,[x,y,z],b); Menampilkan sistem persamaan linier non homogen dengan matriks koefisien A dan variabel x, y, dan z dan vektor ruas kanan b
genmatrix(pers,var); Menampilkan matriks koefisien dari sistem persamaan linier pers dalam variabel tak diketahui var
genmatrix(pers,var,flag)
;
Menampilkan matriks koefisien dari sistem persamaan linier pers dalam variabel tak diketahui var dan vektor ruas kanan b pada kolom terakhir
leastsqrs(A,b); Menentukan solusi dalam pengertian kuadrat terkecil
leastsqrs(A,b,’optimize’
);
Menentukan solusi optimal dalam pengertian kuadrat terkecil
leastsqrs(S,v); Menentukan nilai-nilai variabel v yang meminimumkan persamaan-persamaan S
gausselim(Ab); Melakukan proses eliminasi Gauss terhadap matriks Ab
gaussjord(Ab); Melakukan proses eliminasi Gauss-Jordan terhadap matriks Ab
B. Solusi Sistem Persamaan Linier
a. Sistem Persamaan Linier Homogen
Selesaikanlah Sistem Persamaan Linier berikut ini:
035
0332
0452
wzx
wzyx
wzyx
> restart;
> with(linalg):
> pers:={x+2*y-5*z+4*w=0,2*x+3*y+z+3*w=0,5*x+3*z-
w=0};
> Ab:=genmatrix(pers,[x,y,z,w],flag);
> A:=submatrix(Ab,1..3,1..4);b:=col(Ab,5);
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 9
> rank(A);
> sol:=linsolve(A,b);
> sol1:=linsolve(A,b,'r','t');
> sol2:=leastsqrs(A,b);
> sol_opt:=leastsqrs(A,b,'optimize');
b. Sistem Persamaan Linier Non Homogen Solusi Tunggal
Selesaikanlah Sistem Persamaan Linier berikut ini:
92
0563
1342
zyx
zyx
zyx
restart;
with(linalg): A:=matrix(3,3,[2,4,-3,3,6,-5,1,1,2]);
b:=vector([1,0,9]);
Ab:=augment(A,b); pers:=geneqns(A,[x,y,z],b);
rank(Ab)-rank(A);
rank(A); x:=gausselim(Ab);
sol1:=backsub(x); solusi:=backsub(gausselim(Ab));
Gj:=gaussjord(Ab);
sol2:=col(Gj,4); sol3:=col(gaussjord(Ab),4);#cara singkat
sol_opt:=leastsqrs(A,b,'optimize');
c. Sistem Persamaan Linier Non Homogen Solusi Banyak
Selesaikanlah Sistem Persamaan Linier berikut ini:
6923
2542
35432
wzyx
zzyx
wzyx
> restart;
> with(linalg):
> A:=matrix(3,4,[2,3,4,-5,1,-2,4,5,3,2,9,1]);
> b:=vector([3,2,6]);
> Ab:=augment(A,b);
> pers:=geneqns(A,[x,y,z,w],b);
> rank(Ab)-rank(A);
> rank(A);
> sol:=linsolve(A,b);
> sol1:=linsolve(A,b,'r','t');
> sol2:=leastsqrs(A,b);
> sol_opt:=leastsqrs(A,b,'optimize');
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 10
d. Sistem Persamaan Linier Non Homogen Tak Ada Solusi
Selesaikanlah Sistem Persamaan Linier berikut ini:
9343
42
632
zyx
zyx
zyx
> restart;
> with(linalg):
> A:=matrix(3,3,[2,3,1,1,1,2,3,4,3]);
> b:=vector([6,4,9]);
> Ab:=augment(A,b);
> pers:=geneqns(A,[x,y,z],b);
> rank(Ab)-rank(A);
> rank(A);
> sol:=linsolve(A,b);
> sol1:=linsolve(A,b,'r','t');# tidak punya solusi
Tugas 2:
1. Gunakan eliminasi Gauss dan Gauss Jordan untuk menyelesaikan
sistem persamaan berikut:
2 4
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 0
2 2 3 2 2
4 3 7
6 6 5 6
x x
x x x x
x x x
x x x x
2. Susunlah sebuah prosedur untuk mencari solusi dari sebuah sistem
persamaan linier!
3. Gunakan prosedur yang anda susun di poin 2 untuk menyelesaikan
sistem persamaan pada poin 1.
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 11
MODUL III
MAPLE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER
Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numeric untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum:
a. Mahasiswa mampu melakukan perhitungan iterative dalam MAPLE b. Mahasiswa mampu mencari akar-akar persamaan non linier secara
numerik
A. Mencari akar-akar persamaan polynomial secara numerik dengan
Menggunakan metode Biseksi cara I
> restart;# metode biseksi cara I
> with(plots):
> f:=x->x^3+x^2-3*x-3; > toleransi:= .000000001;
> plot(f(x),x=-3..4); > akar_eksak:=evalf(solve(f(x)=0,x));
> x1:=1;x2:=2;
> while abs(x1-x2)>toleransi do x3:=evalf((x1+x2)/2);if
evalf(f(x3)*f(x1))<0 then x2:=x3;else x1:=x3;end if;end
do;
B. Mencari akar-akar persamaan polynomial secara numerik dengan
Menggunakan metode Biseksi cara II
> restart;# metode biseksi cara II
> with(plots):
> f:=x->x^3+x^2-3*x-3; > toleransi:= .00000001;
> plot(f(x),x=-3..4);
> akar_eksak:=evalf(solve(f(x)=0,x)); > x1:=1;x2:=2;
> while abs(x1-x2)>toleransi do x3:=evalf((x1+x2)/2);if
evalf(f(x3))>0 then x2:=x3;else x1:=x3;end if;end do;
C. Mencari akar-akar persamaan polynomial secara numerik dengan
Menggunakan metode Regula Falsi
> restart;# metode Regulasi Falsi
> with(plots): > f:=x->x^3+x^2-3*x-3;
> toleransi:= .00000001; > plot(f(x),x=-3..4);
> akar_eksak:=evalf(solve(f(x)=0,x));
> x1:=0;x2:=3;
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 12
> while abs(x1-x2)>toleransi do x3:=evalf((f(x2)*x1-
f(x1)*x2)/(f(x2)-f(x1)));if evalf(f(x1)*f(x3))<0 then
x2:=x3;else x1:=x3;end if;end do;
D. Mencari akar-akar persamaan polynomial secara numerik dengan
Menggunakan metode Secant
> restart;# metode Secant
> with(plots): > f:=x->x^3+x^2-3*x-3;
> toleransi:= .000000001; > plot(f(x),x=-3..4);
> akar_eksak:=evalf(solve(f(x)=0,x));
> x1:=1;x2:=2; > while abs(x1-x2)>toleransi do x3:=evalf(x2-((x2-
x1)*f(x2)/(f(x2)-f(x1))));if evalf(f(x3)*f(x1))<0 then
x1:=x3;else x2:=x3;end if;end do;
Tugas 3:
1. Gunakan metode newton raphson, metode pendekatan beruntun, dan
metode modifikasi pendekatan beruntun untuk mencari akar-akar dari
persamaan berikut:
a. 3 2 3 3x x x
b. 25xe x
2. Cari dimana grafik f(x) = x-2 dan g(x) = ln x berpotongan secara numerik!
Lakukan dengan dua metode yang berbeda!
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 13
MODUL IV
MAPLE UNTUK INTERPOLASI POLINOMIAL
Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numerik untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum:
a. Mahasiswa mampu menyajikan dan memanipulasi data tipe array b. Mahasiswa mampu menyelesaikan interpolasi data secara numerik
A. Interpolasi Linier
Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik (x0, y0) dan (x1, y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah:
B. Interpolasi Kuadratik
Interpolasi Kuadratik adalah interpolasi yang melewati tiga buah titik. Misal diberikan dua buah titik (x0, y0), (x1, y1) dan (x2, y2).
C. Interpolasi Kubik
Interpolasi Kubik adalah interpolasi yang melewati empat buah titik. Misal diberikan dua buah titik (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3).
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 14
D. Interpolasi Lagrange
Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n + 1) titik berbeda
adalah:
Dimana:
E. Interpolasi Newton
Dimana:
Atau dengan Tabel Selisih Terbagi, sebagai contoh untuk polinom
derajat 3:
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 15
F. Interpolasi Newton Gregori Maju
Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-titik yang berjarak sama sebesar h. Diselesaikan dengan bantuan Tabel Selisih Maju:
Bentuk umumnya:
Dengan:
Contoh:
x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
f(x) 1,000 1,203 1,423 1,684 2,030 2,557 3,572
Dengan menggunakan 4 titik dari x0 = 1,4 hingga x3 = 2,0 tentukan nilai dari
f(1,83) dengan rumus interpolasi Newton Gregori maju derajat tiga.
> A:=array([[x,f(x)],[1.0,1.000],[1.2,1.203],[1.4,1.423]
,[1.6,1.648],[1.8,2.030],[2.0,2.557],[2.2,3.572]]);
> B:=submatrix(A,4..8,1..2); > for i from 1 to 5 do f[i,2]:=B[i,2]; end do;
> for i from 2 to 5 do Delta(f[0])[i,2]:=f[i,2]-f[i-1,2];
end do; > for i from 3 to 5 do Delta(f[1])[i,2]:=
Delta(f[0])[i,2]-Delta(f[0])[i-1,2]; end do; > for i from 4 to 5 do Delta(f[2])[i,2]:=
Delta(f[1])[i,2]-Delta(f[1])[i-1,2]; end do;
> for i from 5 to 5 do Delta(f[3])[i,2]:=
Delta(f[2])[i,2]-Delta(f[2])[i-1,2]; end do;
mencari nilai estimasi dari f(1.83) dengan rumus newton maju derajat 3 > #mencari nilai estimasi f(1.83) maka diambil x[0]=1.4 > x[0]:=B[1,1];x[1]:=B[2,1];h:=x[1]-x[0];
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 16
> x:=1.83;s:=evalf((1.83-1.4)/h);
> s1:=binomial(s,1);s2:=binomial(s,2);
> f0:=B[1,2];Delta(f0):=Delta(f[0])[2,2]; Delta2(f0):=
Delta(f[1])[3,2];
> P3(x):=f0+s1*Delta(f0)+s2*Delta2(f0);# rumus
interpolasi newton gregori maju derajat 3
> nilai_f(1.83):=P3(x);
G. Interpolasi Newton Gregori Mundur
Diselesaikan dengan Tabel Selisih Mundur
Bentuk umumnya:
Tugas 4:
x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
f(x) 1,000 1,203 1,423 1,684 2,030 2,557 3,572
1. Tentukan nilai f(1,5), f(1,7), dan f(1,9) dengan interpolasi linier,
kuadratik dan kubik!
2. Gunakan 4 titik untuk memperkirakan nilai dari f(1,5) dengan
menggunakan interpolasi lagrange derajat 3!
3. Buatlah Tabel differensi mundur berdasarkan data pada tabel!
4. Tentukan nilai dari f(1,5), f(1,7), dan f(1,9) dengan rumus Newton
Gregori mundur derajat 3.
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 17
MODUL V
MAPLE UNTUK TURUNAN DAN INTEGRAL NUMERIK
Tujuan Instruksional Umum: Mahasiswa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numerik untuk menyelesaikan permasalahan matematis yang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum:
a. Mahasiswa mampu melakukan diferensiasi secara numerik b. Mahasiswa mampu melakukan integrasi secara numerik
A. TURUNAN NUMERIK
1. Rumus-rumus Turunan Pertama
2. Rumus-rumus Turunan Kedua
Modul Praktikum Metode Numerik 2014 @Statistika Undip 18
3. Rumus-rumus Turunan Ketiga
Tugas 5.1:
x 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5
f(x) 3,669 4,482 5,474 6,686 8,166 9,974 12,182
1. Tentukan nilai turunan pertama dan kedua di titik 1,3 dengan
menggunakan rumus-rumus selisih maju!
2. Tentukan nilai turunan pertama dan kedua di titik 1,9 dengan
menggunakan rumus-rumus selisih pusat!
3. Fungsi tersebut adalah xf x e , buatlah analisis errornya!
B. INTEGRAL NUMERIK
1. Pendekatan kaidah Trapezoidal
1
0
1
22
nb
i na
i
hf x dx f f f
2. Pendekatan kaidah Simpson 1/3
0 1 2 3 4 2 14 2 4 2 2 43
b
n n na
hf x dx f f f f f f f f
3. Pendekatan kaidah Simpson 3/8
0 1 2 3 4 2 1
33 3 2 3 3 3
8
b
n n na
hf x dx f f f f f f f f
Tugas 5.2:
x 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5
f(x) 3,669 4,482 5,474 6,686 8,166 9,974 12,182
1. Tentukan nilai 2.5
1.3f x dx dengan menggunakan rumus-rumus
integrasi numerik diatas! (gunakan h=0.2 dan h=0.4)
2. Fungsi tersebut adalah xf x e , buatlah analisis errornya!
Top Related