7/24/2019 Metode Energi Revisi
1/20
BAB 1
METODE ENERGI
1. Dasar Teori
Konsep kerja dan energi merupakan aspek yang memegang peranan penting
dalam ilmu mekanika. Disini berlaku hukum konservasi energi, yaitu kerja luar (external)
dari beban yang diberikan secara perlahan-lahan sama dengan energi yang disimpan
dalam struktur.
Dalam mekanika, energi didefinisikan sebagai kapasitas untuk melakukan kerja,dan kerja adalah usaha yang dilakukan oleh suatu gaya di arah perpindahan. Dengan
demikian kerja didefinisikan sebagai perkalian antara gaya dengan komponen
perpindahan yang koresponden diarah gaya tersebut, misalnya gaya translasi dengan
perpindahan, momen dengan rotasi, tegangan dengan regangan dll.
Dalam benda padat yang berdeformasi (berubah bentuk), tegangan yang
dikalikan dengan luas yang bersangkutan adalah gaya, sedang deformasi adalah jarak.
asil kali kedua besaran ini merupakan kerja dalam (!nternal "ork) yang dilakukandalam sebuah benda oleh gaya terpakai luar. Kerja dalam ini disimpan dalam sebuah
benda sebagai energi deformasi elastis dalamatauenergi regangan elastis (elastic
strain energy).
#emecahan langsung soal-soal dengan menyamakan kerja luar dengan kerja
dalam terbatas pada kejadian dimana hanya satu gaya saja yang bekerja pada
sebuah batang.
Analisa Struktur Metode Energi - 1
7/24/2019 Metode Energi Revisi
2/20
Contoh sederhana tentang konsep kerja:
$atang aksial sepanjang % dibebani gaya luar (tarik) P. #embebanan ini disebut
pembebanan statis(static load), karena tidak ada efek-efek dinamika tau inersia yang
timbul karena gerak. Ketika batang ini dibebani, panjangnya bertambah secara
berangsur-angsur sehingga pada akhirnya tercapai suatu harga pemanjangan
maksimum upada saat beban mencapai harga keseluruhannya P. &ntuk menghitung
usaha yang dilakukan oleh beban ini, kita dapat menggunakan diagram lendutan-
beban. Kerja'usaha yang dilakukan oleh gaya # di arah perpindahan u didefinisikan
sebagai
* + # du (.a)
c * + u d# (.b)
Dimana (kerja) dan c (kerja komplementer) adalah luas daerah terarsir dalam
gambar (b).
Analisa Struktur Metode Energi - 2
ambar . Konsep Kerja
7/24/2019 Metode Energi Revisi
3/20
&ntuk kasus bahan yang linier elastis, diperoleh
W = Wc = P du
dimana # * k.u k * kekakuan dari sebuah batang yang dibebani secara
aksial didefinisikan sebagai gaya yang dibutuhkan
untuk menghasilkan suatu lendutan L
EAk=
W = k.u du = k u du = k.u= P.u (/)
0isalkan dalam kasus bahan linier elastic (gambar c) , gaya # bekerja dan
menimbulkan perpindahan u/pada titik /. Kemudian, pada titik / tersebut ditambahkan
gaya 1 yang menambah perpindahan aksial dengan u2. Kerja yang dilakukan oleh
kedua gaya menjadi
W = P.u! ".u#! P.u# (2)
3atatan suku ketiga dalam persamaan (2) adalah sebesar # u2, dan bukan sebesar 4
# u2, karena gaya # sudah ada dan bekerja pada saat gaya 1 dan u2dimulai.
Kerja yang didefinisikan dalam persamaan () adalah yang dilakukan oleh gaya luar,
sehingga dinamakan kerja $uar %external work). &ntuk benda yang elastis sempurna
tidak ada energi yang hilang, kerja yang dilakukan pada elemen disimpan sebagai
energi regangan dalam. 5leh karena itu berbarengan dengan kerja luar, gaya dalam
merespon beban luar yang diaplikasikan pada struktur serta deformasinya. aya dalam
mempunyai kapasitas untuk menghasilkan kerja dan menjaga struktur pada konfigurasiasalnya. aya luar akan menimbulkan deformasi dengan besaran pengukur regangan
6x, yang berpasangan dengan tegangan normal 7xyang timbul.
Analisa Struktur Metode Energi - 3
7/24/2019 Metode Energi Revisi
4/20
. &nergi 'egangan &$astis (ntuk Tegangan umbu Tungga$
8injaulah sebuah elemen kecil tak berhingga, seperti yang terlihat dalam ambar
(/.a) yang mendapat tegangan normal 7x. aya yang bekerja pada permukaan kanan
atau kiri dari elemen ini adalah 7xdy d9, dimana dy d9 adalah luas kecil tak berhinggadari elemen tersebut. Disebabkan oleh gaya ini, elemen tersebut bertambah panjang
sebesar 6xdx, dimana 6xadalah regangan dalam arah x. $ila elemen tersebut terbuat
dari suatu bahan yang elastis linier, maka tegangan sebanding dengan regangan,
seperti pada gambar /(b). Karena itu bila elemen tersebut semula bebas dari pengaruh
tegangan, maka gaya tersebut yang akhirnya bekerja pada elemen tersebut meningkat
secara linier dari nol sampai mencapai harga yang penuh. aya rata-rata yang bekerja
pada elemen ketika terjadi deformasi adalah 4 7 x dy d9. aya rata-rata ini yangdikalikan dengan jarak yang ditempuh selama bekerja merupakan kerja yang dilakukan
pada elemen tersebut.
Dengan demikian, dalam suatu sistem struktur dengan beban luar yang bekerja,
kerja yang dilakukan oleh gaya luar dibarengi dengan kerja yang dilakukan oleh gaya-
gaya dalam. Kerja dalam akan menimbulkan energi yang tertimbun dalam struktur yang
dinamakan energi regangan (strain energy).
Analisa Struktur Metode Energi - 4
ambar /. (a) :ebuah elemen dalam pengaruh tegangan tarik dan
(b) Diagram tegangan-regangan
7/24/2019 Metode Energi Revisi
5/20
;adi energi regangan elastis dalam (untuk sebuah elemen tidak berhingga
kecil yang mengalami tegangan sumbu tunggal (uniaksial) adalah
d& * 4 7x.dy.d9 < 6x.dx * 4 7x.6x.dx.dy.d9 * 4 7x.6xd= (>)
dimana d= adalah volume elemen
Dari persamaan (>) dapat diperoleh energi regangan yang disimpan dalam sebuah
benda elastis persatuan volume bahan, atau kerapatan energi regangannya %strain
energy density) (o
&o * d&'d= * 4 7x.6x (?)
@tau dapat ditafsirkan sebagai luas diba"ah garis miring pada digram tegangan-
regangan (gambar /(b)). %uas yang dibatasi oleh garis miring dan sumbu vertikal dari
diagram tersebut disebut energi komplementer.
& * + 7xA6xd= (B.a)
&c * + 6xA7xd= (B.b)
&ntuk bahan linier elastis, kedua luas adalah sama besar
( = (c = *+.,+d- (C)
3atatan #ersamaan-persamaan diatas berlaku pula untuk tegangan-tegangan normal
7ydan 79serta regangan-regangan yang bersangkutan 6ydan 69.
#ada daerah elastis berlaku hukum ooke, *+= &.,+, maka persamaan (C) dapat ditulis
dVE
U x2
21 = ()
Dari konservasi energi didapat W = ( (E)
Analisa Struktur Metode Energi - 5
gaya rata-rata jarak
kerja
7/24/2019 Metode Energi Revisi
6/20
&ntuk batang prismatis elastis yang dibebani beban P dan kekakuannya k, dan
mengakibatkan displacement sebesar u, maka energi elastisnya dapat diturunkan dari
persamaan (/)
U = P.u =L
EAu
EA
LP
k
P
222
222
== dimana # * k.u danEA
PLu= (F)
.1. &nergi 'egangan &$astis Da$am enturan /urni
&ntuk elemen yang mengalami lentur, dari persamaan () dapat diturunkan persamaan
sebagai berikut dAdxIyM
EdV
EU x ...1
2
21
2
21 == ()
dimanaI
yMx
.= dan d= * dx.d@
dengan dx adalah panjang elemen dan d@ adalah luas penampang, dan ! * + y / d@,
maka energi elastis untuk lentur dxEI
MdAydx
EI
MU Lluaspanjang
2
0212
2
2
21 . == (/)
.. &nergi 'egangan &$astis (ntuk Tegangan 0eser
@nalog dengan perhitungan yang dibuat untuk tegangan sumbu tunggal.
d&geser* 4 G.dx.d9 < H.dy * 4 G.H. dx.dy.d9 * 4 G .H d=(2)
dimana d= adalah volume elemen kecil tak berhingga, G adalah tegangan geser dan H
adalah regangan geser.
Dengan menggunakan hukum ooke untuk tegangan geser, G * .H , maka energi
elastis untuk geser dVG
dVUgeser
2
21
21
== (>)
Dimana adalah 0odulus elastisitas geser'modulus ketegaran (modulus of rigidity)
Analisa Struktur Metode Energi - 6
gaya rata-rata jarak
kerja
7/24/2019 Metode Energi Revisi
7/20
.. &nergi 'egangan &$astis (ntuk Torsi
dxGJ
Ugeser
2
21 = (?)
Dimana I adalah tegangan torsi dan ; adalah momen inersia polar penampang
terhadap sumbu x.
#. /etode 2erja 3yata
0etode kerja nyata yaitu metode untuk mendapatkan defleksi langsung dengan
menyamakan kerja luar dengan kerja dalam We= Wi (B)
. &nergi 'egangan Tota$
$ila lebih dari satu macam deformasi terjadi, maka total energi regangan adalah jumlah
dari energi regangan dari berbagai deformasi tersebut.
Analisa Struktur Metode Energi - 7
7/24/2019 Metode Energi Revisi
8/20
4. /etode 2erja /aya untuk 5na$isa De6$eksi
0etode kerja nyata yaitu metode untuk mendapatkan defleksi langsung dengan
menyamakan kerja luar dengan kerja dalam, mempunyai kerugian karena biasanya
yang kita peroleh itu hanyalah de6$eksi yang disebabkan o$eh satu gaya saja.
0etode kerja maya merupakan salah satu metode untuk mengatasi kesukaran ini
dengan berdasarkan prinsip kekekalan energi. #ada metode kerja maya selain defleksi
akibat beban luar, defleksi akibat pengaruh lainnya juga boleh digunakan.
:uatu sistem mekanis yang nyata atau suatu sistem struktur yang berada dalam
keseimbangan statis dapat kita pindahkan dengan sembarang asal sesuai dengan
syarat-syarat batasnya. :elama proses ini gaya rii$yang bekerja pada sistem tersebut
bergerak me$a$ui pergeseran khaya$ atau maya, dan gaya khaya$ atau maya dalam
keseimbangan dengan sistem yang diketahui tersebut, dapat kita berikan pergeseran
yang rii$dan diterima secara kinematis.
$ila gaya riil mengalami perpindahan maya, maka gaya ini akan bekerja dengan
harga konstan (tidak bertambah secara perlahan-lahan dari nol), maka faktor setengah
tidak ada dalam persamaan rumus di metode kerja maya (!ngat rumus-rumus
persamaan di metode kerja nyata)
@9as kekekalan energi berlaku untuk gaya dan pergeseran yang terjadi dengan
cara di atas. J#erubahan kerja luar mayaJ harus sama dengan Jperubahan kerja dalam
mayaJ dalam elemen-elemen sebuah benda 7We= 7Wi (C)
3atatan tanda digunakan untuk membedakan dengan d.
adalah perubahan kerja maya.
#ersamaan (C) menyatakan secara matematis a9as kerja maya.
#ada sistem benda kaku ruas kanan persamaan (C) akan menjadi nol, sedang untuk
sistem elastis ruas kanan akan sama dengan perubahan maya energi regangan dalam
&.
Analisa Struktur Metode Energi - 8
7/24/2019 Metode Energi Revisi
9/20
8injaulah sebuah benda seperti yang terlihat pada ambar (2). Kita akan
mencari defleksi suatu titik dari sebuah benda (misal titik @ dalam arah @$) yang
disebabkan oleh deformasi yang sembarang dalam benda tersebut.
(a) (b)
ambar 2. #enurunan rumus defleksi dengan kerja maya
0ula-mula, berikan$ah pada benda yang tidak dibebani suatu gaya khaya$
atau maya F yang bekerja dalam arah @-$. aya ini mengakibatkan terjadinya gaya
dalam (
f ) pada seluruh benda tersebut seperti terlihat pada gambar (2.a)
Dengan gaya maya yang tinggal pada benda, berikan$ah gaya yang
sesungguhnya atau nyataseperti terlihat pada gambar (2.b). al ini mengakibatkan
deformasi riil A% yang dapat dihitung. Karena deformasi ini, sistem kerja maya dapat
bekerja.
Analisa Struktur Metode Energi - 9
aya dalam elemen tertentu adalah
f
A
B
Deformasi dalam elemen yangdisebabkan oleh gaya riil adalah A%
A
B
P1
P
L
Kedudukan akhir @
#ergeseran titik @ dalam arah @$ adalah A
7/24/2019 Metode Energi Revisi
10/20
Kerja luar yang dilakukan oleh gaya mayaF yang bergerak sejauh A yang riil
dalam arah gaya ini sama dengan kerja total yang dilakukan pada elemen-elemen
dalam oleh gaya maya
f yang bergerak sejauh jarak A% masing-masing.
F .8 = 9
f . 8 ()
1 .8 = 9
f . 8 (E)
dimana A * defleksi riil sebuah titik dalam arah gaya satuan maya terpakai
f * gaya-gaya dalam yang disebabkan oleh gaya satuan maya
A% * Jdeformasi dalam riilJ dari sebuah benda
#rosedur penggunaan gaya satuan dalam hubungannya dengan kerja maya disebut
Metode Beban Buatan Satuan (Unit Dummy Load Method)
4.1. T'( %'53025 :5T530)
:uatu gaya satuan maya harus diberikan pada sebuah titik dalam arah defleksi
yang akan ditentukan. $ila deformasi riil adalah elastis linier dan disebabkan hanya oleh
deformasi aksial, makaAE
PLL= dan persamaan (E) menjadi
=
=
n
i ii
iii
EA
LPp
11(/F)
dimanai
p
* gaya aksial dalam sebuah batang yang disebabkan oleh gaya satuan
maya
#i * gaya aksial dalam sebuah batang yang disebabkan oleh beban riil.
3atatan Penjum$ahan me$iputi semua batang susunan rangka.
Analisa Struktur Metode Energi - 10
semu
riil
7/24/2019 Metode Energi Revisi
11/20
4.. :5;2
$ila defleksi sebuah titik pada sebuah balok elastis ditentukan dengan metode
kerja maya, maka pertama-tama gaya satuan maya haruslah diberikan dalam arah
defleksi yang akan dicari itu.
(a) 0omen lentur maya (b). 0omen lentur riil 0 dan perputaran irisanyang dihasilkan
ambar >. Llemen-elemen sebuah balok
aya maya ini akan mengadakan Jmomen-momen lentur dalam ( m )J pada berbagai
irisan balok seperti terlihat pada ambar (>.a).
:esudah gaya-gaya riil diberikan kepada balok, momen lentur Mmemutar Jirisan-irisan
bidangJ balok sebesar dxEI
Md = (radian), ;adi, kerja yang dilakukan pada elemen
sebuah balok oleh momen maya ( m ) adalah dx
EI
Mm
. Dengan mengintegrasikan
terhadap panjang balok didapat kerja luar pada elemen-elemen dalam. Dari persamaan
(E) didapat
=
L
dxEI
Mm
0
1 (/)
Analisa Struktur Metode Energi - 11
dxEI
M
dx
m
m 0 0
dx
7/24/2019 Metode Energi Revisi
12/20
&ntuk mendapatkan perputaran sudut irisan tertentu sebuah balok, bila
keterangan diatas memakai gaya satuan maya, maka disini suatu kopel satuan maya
diberikan kepada balok itu pada irisan yang ditinjau.
Kopel maya ini menghasilkan Jmomen-momen lentur dalam ( m )J di sepanjang
balok. :etelah gaya-gaya riil diberikan, mereka mengakibatkan perputaran dxEI
Md =
dari penampang. @nalog dengan keterangan diatas didapat
=
L
dxEI
Mm
0
1 (//)
dimanam * momen lentur yang disebabkan oleh pembebanan maya
M * momen lentur yang disebabkan oleh pembebanan riil
3atatan karenam dan Mbiasanya berubah
7/24/2019 Metode Energi Revisi
13/20
$ila struktur dalam kondisi setimbang oleh beban maya (Pi) yang menyebabkan
tegangan dan dikenai beban Pi yang menyebabkan displacemet ui di lokasi dan
searah dengan arah dari gaya maya tersebut, maka akan memberi persamaan
i
n
i
i
vol
e
PudV
WU
=
=
=
1
Analisa Struktur Metode Energi - 13
(/B)
7/24/2019 Metode Energi Revisi
14/20
Contoh 1.
itunglah defleksi vertikal titik $ dalam susunan rangka baja bersambung pasak yang
terlihat dalam gambar 3.. yang diakibatkan oleh sebab-sebab berikut
a. Deformasi elastis dari batang-batang
b. #erpendekan batang @$ 2 mm melalui suatu tekuk putar
c. :uhu yang turun sebesar BFF3 yang terjadi dalam batang $3. Koefisien muai
termis baja adalah F,FFFF/ meter-per-meter derajat 3elcius. @baikanlah
kemungkinan penekukan menyamping dari batang tekan tersebut. L *
/FFkM'mm/.
(a) Nangka baja (b). #embebanan maya (c). #embebanan nyata
ambar 3.. Nangka baja pada soal contoh .
Penye$esaian.
:udut O * arc tg (EFF'/FF) * 2B,BEEo
Kasus (a)
#ada gambar (3..b) aplikasi beban satuan di titik $ yang ditinjau. aya-gaya batang
(
p ) yang dihasilkan dihitung.#ada gambar (3..c) aya-gaya batang (#) akibat beban luar dihitung
Analisa Struktur Metode Energi - 14
/ kM
@ * EF mm/
% * ,? m
/FF mm
EFF mm
EFF mm
::
5
C:
@ * ?F mm/
% * ,? m
4 kM
-F,22 kM
PF,22 kM
kM
/'2 kM
/'2 kM 4 kM
::
5
C:
B kM
-F kM
PF kM
/ kM
kM
kM B kM
::
5
C:
7/24/2019 Metode Energi Revisi
15/20
BATANG
p (kN) P (kN) L (mm) A (mm2)
A
PLp
AB +0,8333 +10 1500 90 139
BC -0,8333 -10 1500 150 83
Jumlah = 222
mm
kmmEA
LPpn
i ii
iii
11,1
11,1200
2221
1
=
=== =
3atatan - 8itik $ berdefleksi ke ba"ah.
- aya tarik dalam batang diambil positif dan sebaliknya.
- Perhatikan benar
7/24/2019 Metode Energi Revisi
16/20
itunglah defleksi pada pertengahan bentangan sebuah balok kantilever yang dibebani
seperti terlihat di ambar (3./). L! dari balok adalah konstan.
ambar 3./. #embebanan soal contoh /.
Penye$esaian A
0omen dititikxQL
x!x
L
x!
"
xM o
3..
3
0 == (F R x R %)
m * F (F R x R %'/)
m * - (x S %'/) (%'/ R x R%)
mEI
L!
dxL
x!Lx
EIdx
L
x!
EI
dx
EI
Mm
o
L
L
o
L
o
L
!80,3
!9
2
1
)0(
1
1
!
2"
32"
0
3
0
=
++
=
=
mEI
L!o
!80,3
!9 !=
3ontoh 2.
Analisa Struktur Metode Energi - 16
M
5
x
Lx!o
"o
%'/ %'/
Diagram 0
Diagram
%a). Pembebanan 'ii$
%b). Pembebanan /aya
7/24/2019 Metode Energi Revisi
17/20
itunglah defleksi arah ke ba"ah ujung 3 yang disebabkan oleh gaya terpakai sebesar
/ kM dalam struktur yang terlihat pada ambar (3.2.a). @baikanlah defleksi yang
disebabkan oleh geser. (L * C.FCkM'm/)
Analisa Struktur Metode Energi - 17
7/24/2019 Metode Energi Revisi
18/20
Analisa Struktur Metode Energi - 18
4
3
D
A B
C
Batang A = 5 x 10-4
m2
P =
2kN
2 m 4 m
Balok A = 50 x 10-4
m2 I = = 6 x 10-5
m4
(a)
am!a" #$3$ %oal &onto' 3$
1
2
x
(-)
4 kN
3 kN4 kN
A B
C
D
kN1
(!)
Pembebanan Maya :
-4 kN 0 kN
5
kN
2 kN
4 kNm
1
7/24/2019 Metode Energi Revisi
19/20
Penye$esaian A
:uatu gaya maya satuan sebesar kM diberikan dalam arah vertikal pada titik 3. ayaini mengakibatkan suatu gaya aksial dalam batang D$ dan @$, dan menghasilakn pula
momen lentur dalam balom @3 (ambar 3.2.b). @nalog untuk gaya terpakai riil
(ambar 3.2.c). ;adi de6$eksi titik C tergantung pada de6ormasi yang disebabkan
o$eh gaya aksia$ dan momen $entur.
#ersamaan kerja maya
+=
L
dxEI
Mm
AE
PLp
0
1
BATANG
p (kN) P (kN) L (m) A (m2)
A
PLp
DB +5 +10 2,5 5 # 10-! +250.000
AB -! -8 2 50 # 10-! +12.800
Jumlah = +22.800
kmEA
LPpn
i ii
iii 3
$1
10$5,310$
800.22
=
+==
Analisa Struktur Metode Energi - 19
21
4
x
(-)
8 kN
6 kN8 kN
A B
C
D
2 kN
(&)
Pembebanan Riil :
-8 kN 0 kN
10 kN
4 kN
8 kNm
1
7/24/2019 Metode Energi Revisi
20/20
( ) ( )( ) kmdxxxEI
dxxxEI
dxEI
MmL
3
!
0
11
2
00
1025,1521
!)2(1
+=+=
;adi x A * (2,C? P ?,/?).F-2* E. F-2kMm
A * E. F-2
m * E mm (arah ba"ah)
3ontoh >.
itunglah rotasi di @ pada sebuah balok sederhana yang dibebani dengan beban
merata T sepanjang bentang %.
Penye$esaian A
ambar 3.>. #embebanan soal contoh >.
0omen dititikxQ ( )2. xLx"
#M = (F R x R %)
=
L
xLm (F R x R %)
( )
EI
#L
L
xxLx
EI
#
L
xxLx
EI
#dxxLx
#
L
xL
EIdx
EI
Mm
L
LLL
2!!3
2
22
222
).(1
3
0
!32
0
32
0
2
0
=+=
+===
3atatan di 8itik @ diberi Jmomen mayaJ sebesar unit momen (satuan).
= 1
1 (+)
B
1"8 % &2
(+)Diagram 0
%
Diagram m
x
Pembebanan 'ii$
Pembebanan /aya
Top Related