7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
1/22
Matriks dan Determinan
MATRIKS dan DETERMINAN
MatriksDeterminan
Invers MatriksNilai Eigen dan Vektor Eigen
Terapan
3.1. Matriks
Definisi 1
Matriks adalah suatu susunan persegi-panjang elemen-
elemen.
Elemen yang dimaksud di dalam definisi 1 dapat berupa
bilangan, fungsi atau anggota suatu himpunan.
Pada bahasan selanjutnya hanya ditinjau matriks-matriks
dengan elemen bilangan real.
Suatu matriks disimbolkan dengan huruf besar sedangkan
elemen suatu matriks disimbolkan dengan huruf kecil.
Definisi !
Matriks A ukuran mn, disimbolkan Amn!aij"mnadalah
matriks dengan banyaknya baris m dan banyak kolom n,
ditulis #
( ) $a,
aaa
aaa
aaa
aA ij
mn%m1m
n%%%%1
n11%11
nmijnm
==
Elemen aijsuatu matriks adalah elemen pada baris ke-i dan
kolom ke-j.
1
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
2/22
Matriks dan Determinan
Matriks Ann!aij"nndisebut matriks bujur-sangkar ukuran
nn. &iagonal utama matriks Annadalah elemen-elemen akk,k1,%, ... ,n.
Matriks 'dentitas, disimbolkan ', adalah suatu matriks
bujur-sangkar dengan elemen-elemen diagonal utama 1 dan
elemen-elemen selain diagonal utama (.
Matriks )ol, disimbolkan *, adalah matriks yang semua
elemennya (.
Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut
matriks kolom, sedangkan matriks yang hanya mempunyai
satu baris disebut matriks baris
Kesamaan D"a Matriks
&iketahui matriks-matriks Amn!aij"mn dan +mn!aij"mn
maka A+ hanya bila aijbij,
i1,%,...,m dan j1,%,...,n.
#perasi$#perasi Matriks
1. Penjumlahan Matriks
&iketahui matriks Amndan +mn, maka A+!aijbij"mn
ontoh #
=
%.%%%1
1.1%11
aaaaaaA dan
=
%.%%%1
1.1%11
bbbbbb+
++++++
=+%.%.%%%%%1%1
1.1.1%1%1111
bababa
bababa+A
%. Pergandaan Skalar Matriks
&iketahui matriks Amndan skalar k, maka kA!kaij"mn
ontoh #
%
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
3/22
Matriks dan Determinan
=
%.%%%1
1.1%11
aaa
aaaA maka
=
%.%%%1
1.1%11
kakaka
kakakakA
. Perkalian Matriks
&iketahui matriks-matriks Ampdan +pn maka perkalian
matriks A dan + adalah ( ) =
==
p
1kkjikijnmij
ba,A+
ontoh #
=
%.%%%1
1.1%11
aaa
aaaA dan
=
.%.1
%%%1
1%11
bb
bb
bb
+ maka
++++++++
=
=
==
==
.%%.%%%%1%%1.1%.%1%%11%1
.%1.%%1%1%11.11.%11%1111
.
1k %kk%
.
1k 1kk%
.
1k %kk1
.
1k 1kk1
babababababa
babababababa
baba
babaA+
Perlu dinyatakan bah/a perkalian matriks tidak komutatif,
artinya A++A
0. ranspose Matriks
&iketahui A!aij"mnmaka transpose A adalah A!aji"nm
ontoh #
= %.%%%11.1%11
aaa
aaa
A maka
=.%1.
%%1%
%111
baaa
aa
A
+erikut adalah teorema-teorema yang terkait dengan operasi-
operasi matriks di atas.
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
4/22
Matriks dan Determinan
Teorema 1
2ika matriks-matriks Amn, +mndan mndan skalar k, maka
berlakulah #
1. Sifat 3omutatif # A++A
%. Sifat Assosiatif # A!+"!A+"
. Sifat &istributuf # k!A+"kAk+
0. !A"A
4. !A+"A+
5. !kA"kA
Teorema !
2ika matriks-matriks Amp, +p6dan 6n, maka berlakulah #
1. !A+"+A
%. !A+"A!+"
3.!. Determinan
&eterminan, ditulis &et!." atau 7.7 adalah suatu fungsi
dengan domain koleksi matriks bujur-sangkar dan kodomain
bilangan real. 2adi, jika A suatu matriks bujur-sangkar, maka
&et!A"7A7 adalah suatu bilangan real. Matriks yang
determinannya tidak nol disebut matriks nonsingular.&efinisi berikut akan menjelaskan tentang nilai determinan
suatu matriks. &efinisi dibedakan menjadi determinan matriks
bujur sangkar A181dan matriks An8nuntuk nilai n91.
Definisi 3
&iketahui matriks bujur-sangkar A!a11", maka &et!A"a11.
0
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
5/22
Matriks dan Determinan
Definisi %
&iketahui matriks bujur-sangkar A!aij"nn. n%.
!a". Minor (Minor)elemen aijdisimbolkan Mijdidefinisikan
sebagai determinan matriks yang diperoleh dengan
menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada
matriks A.
ontoh#
!b". 3ofaktor (Cofaktor)elemen aijdisimbolkan ij
didefinisikan oleh ij!-1"ij Mij
!c". &eterminan matriks Anndidefinisikan sebagai berikut#
det!A"ai1i1ai%i%ainin untuk 1in
atau
det!A"a1j1ja%j%janjnj untuk 1jn.
Sifat 1
2ika A matriks ukuran %%, maka determinan dapat dihitung
dengan aturan berikut #
4
=
000.0%01
.0...%.1
%0%.%%%1
101.1%11
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A000.01
%0%.%1
101.11
.%
aaa
aaa
aaa
M =
( ) %11%%%11%%%1
1%11aaaa
aa
aaAdet ==
+
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
6/22
Matriks dan Determinan
Sifat ! &At"ran Sarr"s'2ika A matriks ukuran , maka determinan A dapat
dihitung dengan aturan berikut #
Teorema 3 &Teorema$Teorema Determinan'
1. 2ika A sebarang matriks bujur-sangkar yang memuat satu
baris elemen nol, maka det!A"(.
%. 2ika Aadalah transpose matriks A, maka det!A"det!A".
. 2ika Aadalah matriks yang diperoleh bila suatu baris
elemen matriks A dikalikan dengan konstanta k, maka #
det!A"k det!A"
0. 2ika Aadalah matriks yang diperoleh bila dua baris elemen
matriks A dipertukarkan, maka #
det!A"det!A"
4. 2ika Aadalah matriks yang diperoleh bila kelipatan dari
suatu baris elemen matriks A, ditambahkan ke suatu baris
elemen yang lain, maka #
det!A"det!A".
atatan
*perasi-operasi terhadap suatu matriks berikut #
1. Mengalikan suatu baris elemen dengan bilangan k(
5
( )
..%11%.%%.11.1%%1.
.%%11..1%.1%..%%11
.%.1
%1
1%11
...%.1
%.%%%1
1.1%11
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aa
a
aa
aaa
aaa
aaa
Adet
++=
=
+
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
7/22
Matriks dan Determinan
%. Menukarkan suatu baris dengan suatu baris lainnya
. Menambahkan k kali suatu baris ke suatu baris lainnya,disebut #perasi (aris Elementer(elementary row
operations). *perasi serupa jika dikerjakan pada kolom-
kolom suatu matriks disebut *perasi 3olom Elementer.
3.3. Invers Matriks
Definisi )&iketahui A sebarang matriks bujur-sangkar. 2ika dapat
ditemukan matriks A-1sedemikian hingga AA-1A-1A',
dengan ' matriks identitas, maka A dikatakan invertibledan
matriks A-1disebut in:ers matriks A.
Teorema %
1. 2ika + dan masing-masing in:ers matriks A, maka +.
%. Matriks A invertiblejika hanya jika det!A"(.
. 2ika A invertible, maka det!A-1"1;det!A".
0. 2ika An8ndan +n8ninvertiblemaka !A+"-1+-1A-1
4. 2ika A invertible, maka A-1juga invertibledan !A-1"-1A.
Definisi *
&iketahui A suatu matriks bujur-sangkar ukuran nn.
1. Matriks
=
nn%n1n
n%%%%1
n11%11
---
---
---
"A!-
, ijkofaktor elemen aij
disebut Matriks 3ofaktorA.
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
8/22
Matriks dan Determinan
%. Adjoin matriks A disimbolkan Adj!A", didefinisikan #
Adj!A"!!A""
Teorema ) #
2ika A invertible, maka ( ) ( )AAdj
Adet
1A 1 =
&engan teorema 4 tersebut, maka in:ers suatu matriks dapat
dicari dengan determinan dan adjoinnya.
ontoh
=
(0%
.51
1%.
A , diperoleh #
det!A"50
=
= 1515151(%5
1%01%
"A!Adj,
151(1%
15%0
1551%
"A!-
=
=
010101
.%4.%1.%.
15.15115.
151515
1(%5
1%01%
50
1A 1
'n:ers suatu matriks !jika ada" juga dapat dicari melalui
serangkaian operasi baris elementer, seperti dinyatakan teorema
berikut ini.
Teorema *
2ika matriks Anndapat ditransformasi menjadi matriks
'dentitas ' melalui serangkaian operasi baris elementer,
maka matriks A nonsingular. $angkaian operasi baris yang
=
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
9/22
Matriks dan Determinan
mentransformasi A menjadi ' tersebut akan
mentransformasi ' menjadi A
-1
.
'lustrasi teorema # ( )
1A''A elementerbarisoperasi
ontoh #
Akan dicari kembali in:ers matriks
=
(0%
.51
1%.
A
( )
=
+ +
1(.%
(1.1
((.1
.%.15(
.1(.15(
.1.%1
1((
(1(((.1
(0%
.51.1.%1
1((
(1(((1
(0%
.511%.
'A
.+1+%%+1+
1+.1
010101
.%4.%1.%.
15.15115.
1((
(1(
((1
01
151
=.
1((
=41(
0.(1
1
151
=.
0((
=41(
0.(1
.%
151
.1
.%.15(
=41(
.1.%1
%+.+=4
1+.+0.
.+01
.+%+.15
1+%+.%
%+15.
++
++
3eterangan # -4;= ++% artinya, -4;= kali baris ke-ditambahkan ke baris ke-%.
2adi diperoleh
=
010101
.%4.%1.%.
15.15115.
A 1 .
&ua matriks A dan + dikatakan Ekui:alen
+aris (row equivalent)jika salah satu dari matriks tersebut
>
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
10/22
Matriks dan Determinan
dapat diperoleh dari serangkaian operasi baris pada matriks
lainnya. Suatu matriks dikatakan berada pada +entuk
Eselon +aris ereduksi (reduced row-echelon form)jika
memenuhi #
!i". Pada suatu baris tak nol !tidak semua elemennya nol",
elemen pertama !dari kiri" tak nol adalah 1 !satu".
Elemen tersebut disebut 1 utama.
!ii". &i dalam sebarang dua baris tak nol berurutan, elemen
1 utama di dalam baris lebih rendah, terletak lebih
jauh ke kanan dibandingkan 1 utama pada baris yang
lebih tinggi.
!iii". +aris-baris dengan elemen-elemen semuanya ( !nol"
terkelompokkan bersama-sama di bagian ba/ah
matriks.
!i:". Setiap kolom yang memuat elemen 1 utama, maka
elemen lainnya (.
atatan # Suatu matriks yang hanya memenuhi keadaan !i",
!ii" dan !iii" saja dikatakan berada pada +entuk
Eselon +aris.
ontoh# - Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris
tereduksi
11((
.(1(
4((1
,
1((
(1(
((1
,
((
((,
(((((
(((((
01(((
1(.1(
- Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris
1(
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
11/22
Matriks dan Determinan
01((
.41(
4=41
,
1((
(1(
(11
,
11((((
((11((
(54%1(
Eliminasi +a"ss$,ordanadalah serangkaian
operasi baris elementer yang dikerjakan pada suatu matriks
sedemikian hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi
dari matriks tersebut.
ontoh #
+
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
12/22
Matriks dan Determinan
$ank matriks Am8ndisimbolkan $ank!A" adalah bilangan
yang menyatakan jumlah maksimum :ektor-:ektor baris!:ektor-:ektor kolom" matriks A yang independen linear.
Sifat 3 &iketahui Am8n. $ank!A"( hanya bila A*.
Teorema -
&iketahui matriks Am8n!aij"m8ndan A*.
$ank!A"r jika dan hanya jika r adalah bilangan bulat
terbesar sedemikian hingga &et!AB "(, dengan AB r8r
submatriks A.
3eterangan # Submatriks dari suatu matriks A adalah suatu
matriks yang diperoleh dengan menghilangkan
satu atau beberapa baris atau kolom matriks A.
Teorema
&iketahui matriks bujursangkar An8n. Pernyataan-pernyata-
an berikut ini ekui:alen #
(a). A invertible
(b). $ank!A"n
(c). A ekui:alen baris dengan matriks 'dentitas 'n
3.%. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi
1%
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
13/22
Matriks dan Determinan
&iketahui matriks bujursangkar Ann. +ilangan disebut nilai
eigen matriks A, jika terdapat :ektor v/sedemikian hinggaAvv
Selanjutnya vdisebut :ektor eigen terhadap nilai eigen .
&iperhatikan bah/a
Avv !A-'"v( ,
dengan ' dan * masing-masing matriks identitas dan matriks
nol.
Cntuk mendapatkan penyelesaian v/,maka harus dipenuhi
det!A-'"(.
Persamaan terakhir biasa disebut persamaan karakteristik. &ari
persamaan karakteristik tersebut akan diperoleh penyelesaian
terhadap dan selanjutnya untuk setiap nilai akan menentukan
suatu :ektor v.
ontoh#
Akan dicari nilai eigen dan :ektor eigen matriks
=
1%1
(15
1%1
A
&ari persamaan karakterisitik
det!A-'"(
(1%1
(15
1%1
=
%-1%(
!0"!-"(
1(, %-0 atau
1
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
14/22
Matriks dan Determinan
untuk 1(, diperoleh
!A-'"v(
!A-('"v(
=
(
(
(
:
:
:
(1%1
((15
1%(1
.
%
1
:1-1;1: dan :%-5;1:
diperoleh :ektor eigen v Rt,t13/t6
13/t
agar sederhana, dipilih t -1, sehingga diperoleh :ektor
eigen
v0
13
6
1
&engan cara serupa, untuk %-0 dan dapat diperoleh
:ektor eigen masing-masing
v0
1
%
1
danv0
%
.
%
eorema berikut ini sangat berguna untuk menghitung
matriks berpangkat. disamping itu, dapat pula digunakan untuk
meghitung in:ers suatu matriks !jika ada".
Teorema &2ale$4amilton'
Suatu matriks bujur-sangkar akan memenuhi persamaan
karakteristiknya.
2adi, jika diketahui matriks bujursangkar Ann dengan
persamaan karakteristik #
10
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
15/22
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
16/22
Matriks dan Determinan
mk1k%
3onstanta k1dan k%diperoleh dari substitusi 11 dan %%yaitu # k1!%
m!-1"m"; , k%!%
m!-1"m%"; dan . &engan
demikian #
mk1k% A
m k1Ak%'
!%m!-1"m";FA!%m!-1"m%";F'
untuk m5 !misalnya" diperoleh
==4%1
=0%(A5 .
3.). Terapan
Sistem Persamaan @inear !SP@"
Sistem Persamaan @inear adalah suatu sistem persamaan
linear yang terdiri dari n persamaan dan m peubah #
a1181a1%8%a1n8nb1
a%181a%%8%a%n8nb%
am181am%8%amn8nbm
SP@ tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk perkalian matrik #
AG+
dengan
=
=
=
m
%
1
n
%
1
mn%m1m
n%%%%1
n11%11
b
b
b
+dan
8
8
8
G,
aaa
aaa
aaa
A
Teorema 1/
&iketahui SP@ dalam bentuk matriks AG+, dengan matriks
15
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
17/22
Matriks dan Determinan
=
=
=
m
%
1
1m8
n
%
1
1n8
mn%m1m
n%%%%1
n11%11
m8n
b
b
b
+dan
8
8
8
G,
aaa
aaa
aaa
A
.
&iketahui pula AH , matriks imbuhan (augmented matriks).
=
m
%
1
mn%m1m
n%%%%1
n11%11
b
b
b
aaa
aaa
aaa
AH
!a". 2ika $ank!A"$ank!AH
", maka SP@ tersebut palingsedikit mempunyai satu penyelesaian. &alam hal ini
dikatakan SP@ tersebut konsisten.
!b". 2ika $ank!A"$ank!AH"n, maka SP@ tersebut
mempunyai penyelesaian tunggal.
!c". 2ika $ank!A"In, maka SP@ tersebut mempunyai
penyelesaian yang banyaknya takhingga.
Secara umum dapat dinyatakan bah/a suatu SP@ konsisten,
dapat diselesaikan melalui Eliminasi ?auss-2ordan.
+erikut ditinjau SP@ pada teorema 1( untuk kasus mn,
yaitu matriks An8n, Gn81dan +n81dengan A invertible.
Penyelesaian Menggunakan 'n:ers
Melalui operasi matriks, sistem persamaan AG+, dapat
diselesaikan, dengan syarat A suatu matriks invertible
!berdasarkan teorema = maka $ank!A"n" yaitu
AG+ A-1AGA-1+ 'GA-1+ GA-1+.
Penyelesaian Menggunakan &eterminan
1
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
18/22
Matriks dan Determinan
Selain in:ers, determinan matriks pun dapat digunakan
untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, sepertidinyatakan oleh teorema berikut.
Teorema 11 &At"ran 2ramer'
2ika AG+ adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari
n persamaan dan n peubah, dan diketahui det!A"( maka
sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian
tunggal
( )( )
( )( )
( )( )AdetAdet
8,,Adet
Adet8,
Adet
Adet8 nn
%%
11 ===
dengan Ak, k1,%,...,n adalah matriks yang diperoleh
dengan menggantikan elemen-elemen kolom ke-k dari
matriks A dengan elemen-elemen matriks +.
ontoh# Akan dicari penyelesaian SP@ berikut #
81%8%-8(
8158%8-0= AG+ , dengan
%81-08%%
=
(0%
.51
1%.
A
,
=
=
.%
0=
(
+dan
8
8
8
G
.
%
1
&engan Eliminasi ?auss-2ordan
Penyelesaian dengan cara ini adalah melalui eliminasi
gauss-jordan pada matriks imbuhan AH . Elemen-elemen
pada kolom terakhir AH setelah proses eliminasi selesai
meyatakan penyelesaian SP@.
1=
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
19/22
Matriks dan Determinan
&iperhatikan
=
(0%
.51
1%.
A dan
=
.%
0=
(
+ , maka
=
++
1%=
>
0=
515(
=41(
.51
1%=
100
0=
515(
1(15(
.51
.%
(
0=
(0%
1%.
.51
.%
0=
(
(0%
.51
1%.
AH
%+151
.+1+%%+1+.
1%+
++
++
0
%1.
.
1((
(1(
((1
0
>
5
1((
=41(
0.(1
15
>
5
0((
=41(
0.(1
%+.+=4
1+.+0.
.+01
.+%+15
1+%+5
2adi diperoleh # G
=
0
%1.
.
8
8
8
.
%
1
.
&engan 'n:ers
3arena
=
010101
.%4.%1.%.
15.15115.
A 1 , maka diperoleh
=
==
0
%1.
.
.%
0=
(
010101
.%4.%1.%.
15.15115.
+AG 1
&engan &eterminan !eorema 11"
&ari SP@ di atas diperoleh #
=
(0%
.51
1%.
A , det!A"50
1>
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
20/22
Matriks dan Determinan
=
(0.%
.50=
1%(
A1 , det!A1"1>%
=
(.%%
.0=1
1(.
A % , det!A%"-015
=
.%0%
0=51
(%.
A . , det!A"-%45
Maka berdasarkan teorema 11 diperoleh
811>%;50, 8%-015;50-5,4 dan 8-%45;50-0.
2adi G
=
0
%1.
.
8
8
8
.
%
1
.
S#A5$S#A5 5ATI4AN
1. entukan rank matriks-matriks berikut #
=
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
21/22
Matriks dan Determinan
%. Ditung in:ers matriks-matriks berikut #
544
0.%
1(%
,
%%1%
%%11
(.%%
%%%(
. &iketahui &et!A"4 dan A suatu matriks ukuran 00. Ditunglah #
&et!A", &et!%A-1" dan &et!!%A"-1"
0. &iketahui matriks-matriks
=
243
412
321
A dan
=
243
k12
321
B
2ika &et!+"% &et!A", hitunglah nilai konstanta k
4. arilah nilai-nilai eigen dan :ektor-:ektor eigen masing-masing
matriks-matriks berikut
%1
04,
1%1
(15
1%1
dan
%(((
0%((
=.1(
11. entukan Ak
, k bilangan bulat positif, jika
%1
7/26/2019 MATRIKS dan DETERMINAN.doc
22/22
=
%%%
%40
%04
A
1(. &iperhatikan sebuah pelat bujursangkar dengan temperatur
pada masing-masing sisi seperti gambar. Pada beberapa keadaan
tertentu, hampiran temperatur pada titik P1, P%, P dan P0 dapat
dihitung masing-masing dengan rumus#
0
1((1((uuu
0
%((1((uuu
0
%((1((uu
u
0
1((1((uuu
.10
0%.
.1
%
0%1
+++=
+++=
+++=
+++=
a. unjukkan Sistem Persamaan @inear di atas e6ui:alen
dengan persamaan matriks
=
%((
.((
.((
%((
u
u
u
u
01(1
101(
(101
1(10
0
.
%
1
b. Selesaikan persamaan matriks pada bagian a dengan
mencari in:ers matriks koefisiennya.
1//o2
1//o2
1//o2
!//o2
61
6! 63
6%
Top Related