MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
TransformadaZ
Departamentode
Matematicas
X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Transformada Z
Departamento de Matematicas
MA3002
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
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Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Transformada zEn lo siguiente, para representar sucesiones utilizaremos lanotacion x(n) en lugar de {xn}; x(i) representara el valor deltermino i-esimo de la sucesion. Para nostros, las sucesionesrepresentaran senales ideales cuyo valor exacto en el tiempot = n es conocido. Una senal o sucesion se dice causal si todoslos valores anteriores al instante 0 son cero; es decir, six(n) = 0 para n < 0. Para una sucesion x(n) definiremos latransformada Z unilateral de x(n) como la serie
Z {x(n)} =∞∑n=0
x(n)z−n = x(0)+x(1) z−1+x(2) z−2+x(3) z−3+· · ·
Para simplificar la notacion, representaremos a las sucesionespor letras minusculas, como x(n), y a su transformada Z larepresentaremos simplemente como la letra mayusculacorrespondiente aplicada a la variable compleja z . Ası
Z {x(n)} = X (z), Z {y(n)} = Y (z), Z {h(n)} = H(z), etc
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
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Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:
δ(n) : δ(0) = 1, δ(1) = 0, δ(2) = 0, δ(3) = 0, . . .
determine su transformada z .
1
−1 0 1 2 3 4 5
δ(n)
δ(n − 3)
SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1). Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, δ(n −m), es:
δ(n −m)⇐⇒ z−m, |z | > 0
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X (z)
Z {an u(n)}
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Adelanto
Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:
δ(n) : δ(0) = 1, δ(1) = 0, δ(2) = 0, δ(3) = 0, . . .
determine su transformada z .
1
−1 0 1 2 3 4 5
δ(n)
δ(n − 3)
SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1).
Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, δ(n −m), es:
δ(n −m)⇐⇒ z−m, |z | > 0
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 1Considere la sucesion impulso unitario:
δ(n) : δ(0) = 1, δ(1) = 0, δ(2) = 0, δ(3) = 0, . . .
determine su transformada z .
1
−1 0 1 2 3 4 5
δ(n)
δ(n − 3)
SolucionDirectamente de la definicion tenemos que su transformada esla funcion X (z) = 1 (la funcion de valor constante 1). Deforma directa tambien tenemos que la transformada Z de lafuncion impulso unitario adelantada m unidades, δ(n −m), es:
δ(n −m)⇐⇒ z−m, |z | > 0
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X (z)
Z {an u(n)}
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Adelanto
Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 2Determine la transformada Z de una sucesion cuyos unicosvalores diferentes de cero son:
x(0) = 1.1, x(2) = −1.0, x(4) = 0.5
1
−1
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
x(n)
SolucionLos instantes donde no es cero da las potencias negativas queaparecen en X (z) mientras que los valores son los coeficientes:
X (z) = 1.1− 1.0 z−2 + 0.5 z−4 =1.1 z4 − 1.0 z2 + 0.5
z4
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 2Determine la transformada Z de una sucesion cuyos unicosvalores diferentes de cero son:
x(0) = 1.1, x(2) = −1.0, x(4) = 0.5
1
−1
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
x(n)
SolucionLos instantes donde no es cero da las potencias negativas queaparecen en X (z) mientras que los valores son los coeficientes:
X (z) = 1.1− 1.0 z−2 + 0.5 z−4 =1.1 z4 − 1.0 z2 + 0.5
z4
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 3Determine la transformada Z de una sucesion geometrica de laforma an u(n)
0 < a < 11
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
a > 1
SolucionDirectamente de la definicion:
X (z) =∞∑n=0
an z−n =∞∑n=0
(az
)n=
z
z − a, para |z | > |a|
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 3Determine la transformada Z de una sucesion geometrica de laforma an u(n)
0 < a < 11
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
a > 1
SolucionDirectamente de la definicion:
X (z) =∞∑n=0
an z−n =∞∑n=0
(az
)n=
z
z − a, para |z | > |a|
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 3 (resumen)
an u(n)⇐⇒ z
z − a, |z | > |a|
Region de convergencia
Region de divergencia
a, polo
0, cero
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
LinealidadLa transformada Z cumple la propiedad de linealidad: Si x(n) yy(n) son sucesiones y a y b son constantes (No aparece n enellas):
Z {a · x(n) + b · y(n)} = a · Z {x(n)}+ b · Z {y(n)}
Ejemplo 4Tomando la transformada de la sucesion geometrica paraa = eω i tenemos:
Z{enω i u(n)
}= Z
{(eω i)n
u(n)}
=z
z − eω i, |z | > 1
Como sen(ω n) = 12 i e−iω n − 1
2 i e iω n ası:
Z {sen(ω n) u(n)} =12 i z
z − e−iω−
12 i z
z − e+iω=
z sen(ω)
z2 − 2 z cos(ω) + 1
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
LinealidadLa transformada Z cumple la propiedad de linealidad: Si x(n) yy(n) son sucesiones y a y b son constantes (No aparece n enellas):
Z {a · x(n) + b · y(n)} = a · Z {x(n)}+ b · Z {y(n)}
Ejemplo 4Tomando la transformada de la sucesion geometrica paraa = eω i tenemos:
Z{enω i u(n)
}= Z
{(eω i)n
u(n)}
=z
z − eω i, |z | > 1
Como sen(ω n) = 12 i e−iω n − 1
2 i e iω n ası:
Z {sen(ω n) u(n)} =12 i z
z − e−iω−
12 i z
z − e+iω=
z sen(ω)
z2 − 2 z cos(ω) + 1
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X (z)
Z {an u(n)}
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Adelanto
Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 5Determine la transformada Z de la senal geometrica truncada:
x(n) =
{an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞
En este caso
Z {x(n)} = 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · ·+ ano z−no
= 1 +(az
)+(az
)2+ · · ·+
(az
)no=
1−(az
)no+1
1− az{
an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞ ⇐⇒ zno+1 − ano+1
zno (z − a), |z | > |a|
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 5Determine la transformada Z de la senal geometrica truncada:
x(n) =
{an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞
En este caso
Z {x(n)} = 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · ·+ ano z−no
= 1 +(az
)+(az
)2+ · · ·+
(az
)no=
1−(az
)no+1
1− az
{an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞ ⇐⇒ zno+1 − ano+1
zno (z − a), |z | > |a|
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X (z)
Z {an u(n)}
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 5Determine la transformada Z de la senal geometrica truncada:
x(n) =
{an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞
En este caso
Z {x(n)} = 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · ·+ ano z−no
= 1 +(az
)+(az
)2+ · · ·+
(az
)no=
1−(az
)no+1
1− az{
an para 0 ≤ n ≤ no0 para no + 1 ≤ n <∞ ⇐⇒ zno+1 − ano+1
zno (z − a), |z | > |a|
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X (z)
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 6Determine la transformada Z de la senal:
x(n) =
(0.1)n para 0 ≤ n ≤ 5(0.1)n + (0.2)n para 6 ≤ n ≤ 8(0.2)n para 9 ≤ n <∞
Para resolver el problema, basta observar que six1(n) = 0.2nU(n) y
x2(n) =
{(0.1)n para 0 ≤ n ≤ 80 para 9 ≤ n <∞
x3(n) =
{(0.2)n para 0 ≤ n ≤ 50 para 6 ≤ n <∞
entoncesx(n) = x2(n) + x1(n)− x3(n)
Por linealidad y las formulas para la sucesion geometrica ygeometrica truncada se obtiene el resultado.
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Z {an u(n)}
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Adelanto
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 6Determine la transformada Z de la senal:
x(n) =
(0.1)n para 0 ≤ n ≤ 5(0.1)n + (0.2)n para 6 ≤ n ≤ 8(0.2)n para 9 ≤ n <∞
Para resolver el problema, basta observar que six1(n) = 0.2nU(n) y
x2(n) =
{(0.1)n para 0 ≤ n ≤ 80 para 9 ≤ n <∞
x3(n) =
{(0.2)n para 0 ≤ n ≤ 50 para 6 ≤ n <∞
entoncesx(n) = x2(n) + x1(n)− x3(n)
Por linealidad y las formulas para la sucesion geometrica ygeometrica truncada se obtiene el resultado.
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X (z)
Z {an u(n)}
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Transformada de una senal adelantada en eltiempoConsidere una senal completa x(n) tal que su senal truncadax(n) u(n) tiene como transformada X (z) y m es un enteropositivo entonces
x(n + m) u(n)⇐⇒ zm X (z)− zmm−1∑n=0
x(n) z−n
Ası
x(n + 1) u(n) ⇐⇒ z X (z)− z x(0)x(n + 2) u(n) ⇐⇒ z2 X (z)− z2 x(0)− z x(1)x(n + 3) u(n) ⇐⇒ z3 X (z)− z3 x(0)− z2 x(1)− z x(2)
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Transformada de una senal adelantada en eltiempoConsidere una senal completa x(n) tal que su senal truncadax(n) u(n) tiene como transformada X (z) y m es un enteropositivo entonces
x(n + m) u(n)⇐⇒ zm X (z)− zmm−1∑n=0
x(n) z−n
Ası
x(n + 1) u(n) ⇐⇒ z X (z)− z x(0)x(n + 2) u(n) ⇐⇒ z2 X (z)− z2 x(0)− z x(1)x(n + 3) u(n) ⇐⇒ z3 X (z)− z3 x(0)− z2 x(1)− z x(2)
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Transformada de una senal atrasada en eltiempoConsidere una senal completa x(n) tal que su senal truncadax(n) u(n) tiene como transformada Z a X (z) y m es un enteropositivo entonces
x(n −m) u(n)⇐⇒ z−m X (z) + z−mm∑
n=1
x(−n) zn
Ası
x(n − 1) u(n) ⇐⇒ z−1 X (z) + x(−1)x(n − 2) u(n) ⇐⇒ z−2 X (z) + z−1 x(−1) + x(−2)
u(n − 1) ⇐⇒ 1z−1
u(n − 2) ⇐⇒ 1z (z−1)
u(n − 3) ⇐⇒ 1z2 (z−1)
u(n −m) ⇐⇒ zzm (z−1)
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Transformada de una senal atrasada en eltiempoConsidere una senal completa x(n) tal que su senal truncadax(n) u(n) tiene como transformada Z a X (z) y m es un enteropositivo entonces
x(n −m) u(n)⇐⇒ z−m X (z) + z−mm∑
n=1
x(−n) zn
Ası
x(n − 1) u(n) ⇐⇒ z−1 X (z) + x(−1)x(n − 2) u(n) ⇐⇒ z−2 X (z) + z−1 x(−1) + x(−2)
u(n − 1) ⇐⇒ 1z−1
u(n − 2) ⇐⇒ 1z (z−1)
u(n − 3) ⇐⇒ 1z2 (z−1)
u(n −m) ⇐⇒ zzm (z−1)
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
1
x(n)
n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x(n) u(n)→ X (z)
n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x(n − 3)
n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x(n − 3) u(n)→ z−3 X (z) + z−2 x(−1) + z−1 x(−2) + x(−3)
n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
1
x(n)
n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x(n) u(n)→ X (z)
n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x(n − 3)
n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x(n − 3) u(n)→ z−3 X (z) + z−2 x(−1) + z−1 x(−2) + x(−3)
n−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Convolucion de dos senalesSean x(n) y h(n) dos senales se define la convolucion de x(n)con h(n) como la senal y(n) tal que
y(n) =+∞∑m=0
h(m) · x(n −m)
Si la senal x(n) es causal, entoces x(n −m) sera cero param > n y hara que la suma quede:
y(n) =n∑
m=0
h(m)·x(n−m) = h(0)·x(n)+h(1)·x(n−1)+·h(n)·x(0)
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Matematicas
X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Convolucion y(n) = x(n) ∗ h(n)
h(0) h(1) h(2) h(3) h(4) h(5) h(6)
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
x(4)
x(5)
x(6)
y(0) y(1) y(2) y(3) y(4) y(5) y(6)
Malla de multiplicaciones
Diagonales de sumas
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X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 7Sean x(n) y h(n) sucesiones causales cuyos unicos elementosno cero son: x(0) = 2, x(2) = 1, x(3) = −1, h(0) = 2,h(1) = −1 y h(3) = 4. Determine y(n) = x(n) ∗ h(n).
Losunicos elementos no cero aparence en la grafica de productos.
h(0)h(1) h(3)
x(0)
x(2)
x(3)
y(0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)
Malla de multiplicaciones no cero
Diagonales de sumas
Ası, los unicos elementos no cero de y(n) son:
y(0) = 4, y(1) = −2, y(2) = 2, y(3) = (8) + (−1) + (−2) = 5,y(4) = +1, y(5) = 4, y(6) = −4
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Matematicas
X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 7Sean x(n) y h(n) sucesiones causales cuyos unicos elementosno cero son: x(0) = 2, x(2) = 1, x(3) = −1, h(0) = 2,h(1) = −1 y h(3) = 4. Determine y(n) = x(n) ∗ h(n). Losunicos elementos no cero aparence en la grafica de productos.
h(0)h(1) h(3)
x(0)
x(2)
x(3)
y(0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)
Malla de multiplicaciones no cero
Diagonales de sumas
Ası, los unicos elementos no cero de y(n) son:
y(0) = 4, y(1) = −2, y(2) = 2, y(3) = (8) + (−1) + (−2) = 5,y(4) = +1, y(5) = 4, y(6) = −4
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paraIngenierıa:
TransformadaZ
Departamentode
Matematicas
X (z)
Z {an u(n)}
Linealidad
Adelanto
Atraso
Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Transformada Z de una convolucion de dossenalesSean x(n) u(n) y h(n) u(n) dos senales, entonces
Z {x(n) u(n) ∗ h(n) u(n)} = Z {x(n) u(n)} · Z {h(n) u(n)}
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 8Considere las sucesiones dos sucesiones geometricasx(n) = an u(n) y h(n) = bn u(n) (con a 6= b) determine suconvolucion.
SolucionSabemos que
Z {x(n)} =z
z − ay Z {h(n)} =
z
z − b
Por tanto
Z {x(n) ∗ h(n)} =z
z − a· z
z − b=
aa−b z
z − a+
bb−a z
z − b
Asıx(n) ∗ h(n) = Z−1 {Z {x(n) ∗ h(n)}}
= aa−b a
n u(n) + bb−a b
n u(n)
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Z {an u(n)}
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Adelanto
Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 8Considere las sucesiones dos sucesiones geometricasx(n) = an u(n) y h(n) = bn u(n) (con a 6= b) determine suconvolucion.SolucionSabemos que
Z {x(n)} =z
z − ay Z {h(n)} =
z
z − b
Por tanto
Z {x(n) ∗ h(n)} =z
z − a· z
z − b=
aa−b z
z − a+
bb−a z
z − b
Asıx(n) ∗ h(n) = Z−1 {Z {x(n) ∗ h(n)}}
= aa−b a
n u(n) + bb−a b
n u(n)
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Z {an u(n)}
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Atraso
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Multiplicacion por el tiempo (n)
Sea x(n) u(n) una senal entonces
Z {n·x(n) u(n)} = −z d
dz(Z {x(n) u(n)})
Ejemplo 9Ası
Z {δ(n)} = 1 : Z {n · δ(n)} = 0
Z {u(n)} =z
z − 1: Z {n · u(n)} =
z
(z − 1)2
Z {an u(n)} =z
z − a: Z {n · an u(n)} =
a z
(z − a)2
Z {u(n − k)} =z
zk (z − 1): Z {n · u(n − k)} =
k z + 1− k
zk−1(z − 1)2
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Z {an u(n)}
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Multiplicacion por el tiempo (n)
Sea x(n) u(n) una senal entonces
Z {n·x(n) u(n)} = −z d
dz(Z {x(n) u(n)})
Ejemplo 9Ası
Z {δ(n)} = 1 : Z {n · δ(n)} = 0
Z {u(n)} =z
z − 1: Z {n · u(n)} =
z
(z − 1)2
Z {an u(n)} =z
z − a: Z {n · an u(n)} =
a z
(z − a)2
Z {u(n − k)} =z
zk (z − 1): Z {n · u(n − k)} =
k z + 1− k
zk−1(z − 1)2
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Z {an x(n)}
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m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Multiplicacion por an
Sea x(n) u(n) una senal, entonces
Z {an·x(n) u(n)} = Z {x(n) u(n)}z= za
Ejemplo 10De
Z {u(n)} =z
z − 1
tenemos que
Z {an u(n)} =za
za − 1
=z
z − a
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
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m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Multiplicacion por an
Sea x(n) u(n) una senal, entonces
Z {an·x(n) u(n)} = Z {x(n) u(n)}z= za
Ejemplo 10De
Z {u(n)} =z
z − 1
tenemos que
Z {an u(n)} =za
za − 1
=z
z − a
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Suma parcial de terminos de la senalSea x(n) u(n) una senal, si se construye la senal y(n) de lassumas parciales de la serie cuyos terminos son los x(n) entonces
Z {y(n) u(n)} = Z
{(n∑
m=0
x(m)
)u(n)
}=
z
z − 1·Z {x(n) u(n)}
Ejemplo 11Si x(n) = (−1)n u(n), y si y(n) =
∑nm=0 x(m), entonces
Z {y(n)} =z
z − 1· z
z + 1=
1
2· z
z − 1+
1
2· z
z + 1
Por tanto
y(n) =1
2u(n) +
1
2(−1)n u(n) =
1
2(1 + (−1)n) u(n)
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Z {n x(n)}
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m=0 x(n)}
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Referencias
Suma parcial de terminos de la senalSea x(n) u(n) una senal, si se construye la senal y(n) de lassumas parciales de la serie cuyos terminos son los x(n) entonces
Z {y(n) u(n)} = Z
{(n∑
m=0
x(m)
)u(n)
}=
z
z − 1·Z {x(n) u(n)}
Ejemplo 11Si x(n) = (−1)n u(n), y si y(n) =
∑nm=0 x(m), entonces
Z {y(n)} =z
z − 1· z
z + 1=
1
2· z
z − 1+
1
2· z
z + 1
Por tanto
y(n) =1
2u(n) +
1
2(−1)n u(n) =
1
2(1 + (−1)n) u(n)
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Z {an u(n)}
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Adelanto
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Valores de la senal a partir de latransformada ZSea x(n) u(n) una senal cuya transformada Z es X (z), entonces
x(0) = limz→∞
X (z) y x(1) = limz→∞
(z (X (z)− x(0)))
Y si la ROC de (z − 1)X (z) contiene al cırculo unitario|z | = 1, entonces
limn→∞
x(n) = limz→1
((z − 1)X (z))
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X (z)
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
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m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 12Si x(n) u(n) es la senal que tiene como transformada Z a
X (z) =z2 − 2 z + 5
z2 + 3 z − 2
Entonces
x(0) = limz→∞z2−2 z+5z2+3 z−2 = 1
x(1) = limz→∞ z(z2−2 z+5z2+3 z−2 − 1
)= limz→∞ z
(−5 z+7
z2+3 z−2
)= limz→∞
−5 z2+7 zz2+3 z−2
= −5
Como los polos de X (z) (raıces de z2 + 3 z − 2 = 0) sonz1 ≈ 0.562 y z2 ≈ −3.562 vemos que el valor z1 esta en elcırculo |z | = 1. Por tanto, la ROC de (z − 1)X (z) no contieneal cırculo |z | = 1. Por tanto, no podemos aplicar el resultadopara calcular el valor lımite de x(n).
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m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 13Si x(n) u(n) es la senal que tiene como transformada Z a
X (z) =z2 − 2 z + 5
z2 − 2 z + 2
Entonces
x(0) = limz→∞z2−2 z+5z2−2 z+2
= 1
x(1) = limz→∞ z(z2−2 z+5z2−2 z+2
− 1)
= limz→∞3 z
z2−2 z+2
= 0
Como los polos de X (z) (raıces de z2 − 2 z − 2 = 0) sonz1 = 1 + i y z2 = 1− i vemos que ninguna esta en el cırculo|z | = 1. Por tanto, la ROC de (z − 1)X (z) sı contiene alcırculo |z | = 1:
limn→∞
x(n) = limz→1
(z − 1)z2 − 2 z + 5
z2 − 2 z + 2= 0
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Transformada Z de una senal semiperiodicaSea x(n) u(n) una senal que es periodica con periodo N(N > 0); es decir que cumple para toda n ≥ 0 quex(n + N) u(n + N) = x(n) u(n). Si x1(n) u(n) es la senal quees igual a x(n) u(n) sobre su primer perıodo y es cero despues;entonces
Z {x(n) u(n)} = Z {x1(n)} ·(
zN
zN − 1
)
x(0)
N 2N
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Z {an u(n)}
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Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Ejemplo 14Si x(n) = (−1)n u(n), entonces x(n) es semiperiodica conperıodo N = 2 y x1(n) es la senal cuyos unicos valores no ceroson x(0) = 1 y x(1) = −1. Por tanto,
Z {x1(n)} = 1− z−1 = (z − 1)/z
Por la propiedad anterior:
Z {x(n)} =(z − 1)
z· z2
(z2 − 1)=
z
z + 1
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Z {an u(n)}
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Adelanto
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Convolucion
Z {n x(n)}
Z {an x(n)}
Z{∑n
m=0 x(n)}
Valores dex(n)
Semiperiodica
Referencias
Referencias
• Capıtulo 10 de: D. Sundararajan: A practical approachto Signals and Systems. 2008. John Wiley and Sons.www.wiley.com/go/sundararajanEsta puesto en reserva de Biblioteca del CampusMonterrey.
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