Sistemas de unidades. Algunos factores de conversin comunes

E n la ta b la s ig u ie n te se p re se n ta n los s is te m a s d e u n id a d e s d e u so m s co m n . E l s is tem a m k s ta m b i n se co n o ce co m o S is te m a In te rn a c io n a l d e M e d id a s (ab re v ia d o S is te m a S I). E n es te s is te m a se a c o s tu m b ra u s a r las a b re v ia tu ra s s (en lu g a r de seg ) y N (en lu g a r d e n t).

S is te m a d e u n id a d e s L o n g i tu d M a s a T ie m p o F u e rz a

S is te m a C g s c e n tm e tro (c m ) g ra m o (g ) s e g u n d o (s) d in a

S is te m a M k s m e tro (m ) k ilo g ra m o (k g ) s e g u n d o (s) n e w to n (n t)

S is te m a d e in g e n ie r a p ie (f t) s lu g s e g u n d o (se c ) l i b r a (Ib )

1 p u lg a d a (in ) = -2 .5 4 0 0 0 51 cm 1 p ie (ft) = 3 0 .4 8 0 0 6 12 cm

1 y a rd a (y d ) = 3 f t = 91 .4 4 0 1 8 36 cm 1 m illa te rre s tre (m i) = 5 2 8 0 ft = 1 .60935 k m

1 m illa n u tic a = 6080 .2 f t = 1 .8532 k m

1 a c re = 4 8 4 0 y d 2 = 4 0 4 6 .7 7 3 m 2 1 m i2 = 640 ac res = 2 .5 8 9 9 9 87 k m 2

1 o n z a d e lq u id o = 2 9 .5 7 3 7 c m 3

1 g a l n d e E U = 4 cu arto s (liq .) = 8 p in ta s (liq ,) = 128 fl o z = 3 7 8 5 .4 3 2 c m 3

1 g a l n b r it n ic o im p eria l y c a n ad ien se = 1 .20094 g a lo n es de E U = 4 5 4 6 .1 c m 3

1 s lu g = 1 4 .5 9 3 9 0 lrg

1 l ib ra (Ib) = 4 ,4 4 8 4 4 4 N 1 n e w to n (N ) = 105 d in as

1 u n id a d t rm ic a b r it n ic a (B tu ) = 1054.8 jo u le s 1 jo u le 107 ergs

1 c a lo r a (ca l) = 4 .1 8 4 0 jo u le s

1 k ilo w a tt-h o ra (k W h ) = 3413 B tu = 3 .6 106 jo u le s

1 c a b a llo d e fu e rz a (hp) = 254 5 B tu /h = 178.2 ca l/s = 0 ,7 4 5 7 0 k\V

1 k ilo w a tt (k W ) = 1000 w a tts = 3413 B tu /h = 2 3 8 .9 cal/s

F = C 1.8 + 32 I o = 6 0 = 3 6 0 0 '. '= 0 .0 1 7 4 5 ra d ia n e s

Para m ayores detalles, ver, p o r ejem plo, D. H alliday, R. R esnick y K.. K rane, Physics, 4a, ed., N ueva York: W iley. V er tam bin A N A m erican N ational Standard, A ST M /IE E E S tandard M etric Practice, Institute o f Elctrica! and E lectronics E ngineers, Inc., 345 East 47 th Street, N ueva Y ork, N .Y , 10017

MATEMTICAS AVANZADAS PARA

INGENIERA

VOL. II

PrefacioPropsito del libro. E ste lib ro p re se n ta a los e s tu d ia n te s d e in g e n ie r a , f s ica , m a te m tic a s y c ie n c ia s de la c o m p u ta c i n las reas de las m a te m tic a s q u e , d e sd n a p e r sp e c tiv a m o d e rn a , p o se e n m a y o r im p o rta n c ia en re la c i n co n p ro b le m a s p rc tico s .

E l c o n te n id o y c a r c te r d e las m a te m tic a s n e c e s a r ia s e n a p lic a c io n e s p r c tic a s c a m b ia n co n ra p id e z . C a d a v e z so n m s im p o rta n te s el lg e b ra i in e a l e n p a r t ic u la r las m a tric e s y lo s m to d o s n u m ric o s p a ra co m p u ta d o ra s . L a e s ta d s tic a y la te o r a d e las g r fica s d e se m p e a n p a p e le s m s so b resa lien tes . E l an lis is real (las e cu ac io n e s d ife ren c ia le s o rd in arias y parc ia le s) y e l anlis is co m p le jo sig u en sie n d o in d isp en sab les . E l m a te ria l del p re sen te tex to , d iv id id o en dos v o l m en es , e s t o rg a n iz a d o consecuen te^m e n te en s ie te p a rte s in d ep en d ien te s (v er tam b in l d ia g ra m a de la p g in a s ig u ien te ):

A E c u a c io n e s d ife re n c ia le s o rd in a ria s (cap tu lo s 1-6)B A lg e b ra lineal, c lc u lo v ec to ria l (cap tu lo s 7-9)C A n lis is d e F o u rie r y e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a rc ia le s (c a p tu lo s 10, 11)D A n lis is co m p le jo (cap tu lo s 12-17)E M to d o s n u m r ic o s (cap tu lo s 18-20)F O p tim izac i n , g r ficas (cap tu lo s 21, .22)G P ro b a b ilid a d y e s ta d s tic a (cap tu lo s 2 3 , 24)

A lo q u e sigue :

B ib lio g ra fa (ap n d ice 1)

R e sp u e s ta s a los p ro b le m a s d e n m e ro im p a r (a p n d ic e 2)

M a te ria l c o m p le m e n ta r io (ap n d ice 3)

D e m o s tra c io n e s a d ic io n a le s ( a p n d ic e 4)

T a b la s d e fu n c io n es ( a p n d ic e 5)

E ste libro h a C ontribuido a a llan ar e l cam in o p a ra el p ro g reso ac tual y cap ac ita r a los e s tu d ia n te s p a ra la s itu a c i n ac tual y el fu tu ro m ed ian te u n tra tam ie n to m o d e rn o d e las reas m en c io n ad as y d las id eas alg u n as de ellas re lac io n ad as co n la c o m p u ta c i n q u e d a n lu g a r eri la ac tu a lid a d a c am b io s fu n d am en ta le s ; m u c h o s m to d o s so n y a o b so le to s . Se h ace h in c a p i en las ideas nu ev as , p o r e jem p lo , la e s tab ilid ad , la e s tim a c i n d e e rro res y p ro b le m a s es tru c tu ra les d e .a lg o ritm o s , p o r c ita r s lo a lg u n as . L as te n d en c ia s se a lim en tan p o r la o fe rta y la d em an d a : o fe rta de n u ev o s y e f ic a c e s m to d o s m a te m tic o s y n u m ric o s au n ad o s a los en o rm es recu rso s d las co m p u ta d o ra s ; a d e m a n d a de re so lv e r p ro b le m a s de co m p le jid ad y a lcan ce c rec ien tes , los cu a le s se o rig in an de sis tem as o p ro ceso s de p ro d u cc i n cad a v e z m s e lab o rad o s , de c o n d ic io n es f sicas ex trem as (p o r e jem p lo , las d e v ia jes esp ac ia les), de m a te ria le s co n p ro p ie d a d e s in u su a le s (p lsticos, a leac io n es , su p e rco n d u c to re s , e tc.) o d e tareas p o r co m p le to n u e vas en e l m bito de las co m p u tad o ras , la ro b tic a y o tros cam p o s n u ev o s .

L a te n d e n c ia g e n e ra l es c la ra . L o s d e ta lle s so n m s d if c ile s d e p re d e c ir , os e s tu d ia n te s n e c e s ita n u li c o n o c im ie n to s lid o d IOS p r in c ip io s , m to d o s y re su lta d o s

PREFACIO -

PA R T E A PA R TE B

C aptu los 1-6 C aptu los 7 -9

E cuaciones diferenciales A lgebra lineal,ord inarias C lculo vectorial

Captulos 1-4 Material bsico

Captulo 7 Vectores y matrices

yCaptulo 5

Soluciones en Capitulo 6 Transformada

de Laplace

YCapitulo 8

Clculo diferencial vectorial1

potencias.Funcionesespeciales

YCapitulo 9

Clculo integral vectorial

PA R T E C

C ap tu lo s 10, 11

A nlis is de Fourier. E cuaciones

d iferenc ia les parc ia les

Capitulo 10 Anlisis de Fourier

^ Captulo I 1 Ecuaciones diferenciales

parciales

PA R T E D

C aptu los 12-17

A nlis is com plejo

Capitulo 12-15 Material bsico

Capitulo 16 M apeo conforme

Capitulo 17 Teora dei potencial

PA R T E E P A R T E F

C aptu los 1 8 -20 C aptu los 21, 22

M todos num ricos O ptim izacin . G rficas

Capitulo18

Mtodosnumricosgenerales

Capitulo19

Mtodospara

lgebralinea!

Capitulo 20 Mtodos

para ecuaciones

diferenciales

Capitulo 21 Programa

lineal

Captulo 22 Grficas.

Optim izacin com binatoria

Partes del libro y captulos correspondientes

P A R T E G

C aptu los 23, 24

Probab ilidad .E stad stica

Captulo 23 Teora de la probabilidad

^ Capitulo 24Estadstica matemtica

') yy *9 yJ x3 y y :..y -....y '..y y y \J .^y yjs .,: ..) ..y y y ^yi ~y

P R E F A C IO

bsicos, as com o u n a percep c i n clara de cul es el cam po de accin de as m a tem ticas p a ra in gen iera en las tres fases de la so luc in de problem as:

M o d e la d o : T rad u c ir la in form acin y los datos fsicos o de o tras reas a u n a fo rm a m atem tica, a un iv.qcsIq m atem tico (una ecuacin diferencial, u n sistem a ci ecuaciones o a lguna o tra exp resin m atem tica).

S o lucin '. O b tener la so luc in se leccionando y ap licando los m todos m atem ticos ap rop iados y, en la m ay o ra de los casos, rea lizando los clcu los num rico s en una com pu tadora . E sta es la ta rea p rincipal de este libro.

In terp re ta c i n : E n tender el significado e im plicaciones de la so lucin m atem tica del p rob lem a original en trm inos de f s ica o del cam po en donde se orig ine el problem a.

N o tendra sentido sobrecargar a los estudiantes con todo tipo de detalles que slo se usarn de vez en cuando. M s bien, es im portante que los estudiantes se fam iliaricen con las form as de pensar m atem ticam ente, que entiendan la necesidad de ap licar m todos m atem ticos a problem as de ingeniera, que se den cuen ta de que las m atem ticas son una ciencia sistem tica constru ida a partir d un nm ero relativam ente reducido de concep tos bsicos que incluye eficaces princip ios unificadores y lleguen a una co m prensin fu m e de la in terrelacin entre la teora, os clculos y la experim entacin.

L os acelerados avances m encionados arrib a han redundado en la in co rp o rac i n de d iversos cam bios y nuevas caractersticas en la p resen te ed ic in de este libro.

E n p a rticu la r , se h a n redactado de n u e v o varias se cc io n es de u n a m a n e ra m s deta lla d a y p a u sa d a , p a ra h a c e r m s se n c illo el libro.

L o a n te r io r ta m b in h a llevado a u n m e jo r eq u ilib rio e n tre ap licaciones , ideas algortm icas , e jem p lo s re su e lto s y teora.

Los principales cam bios en esta edicin

N U E V O S E J E R C IC IO S D E L A S S E C C IO N E S . A hora guardan un a relacin m s es trecha con los e jem plos resueltos en el texto.

R E O R G A N IZ A C I N D E LAS E C U A C IO N E S D IFE R E N C IA L E S. Las ecuaciones de o rden n se am pliaron en un cap tu lo aparte. L os sis tem as se am pliaron y ac tualizaron de m anera sustancial.

R E O R G A N IZ A C I N C O M PLE TA D E L L G EB R A LIN EA L:

V ectores y m atrices (captulo 7)

A lg eb ra vec to ria l y clculo d iferenc ia l en R 3 (cap tu lo 8 )

C lcu lo in tegral vectorial en U3 (captu lo 9)

C am bios adicionales y nuevas caractersticas de los cap tu los Ecuaciones diferenciales ordinarias (captulos 1-6)

D e p r im e r orden (cap tu lo 1). P re sen tac in de los facto res de in teg rac i n en una m an era m s sis tem tica (seccin 1.6); inc lusin de las ecuac io n es de R iccati y C la irau t (secc in 1.7); inclusin de p rob lem as d iversos (seccin 1.7, etc.).

PREFACIO

D e .segundo orden (captulo 2). M ayr flu idez del m aterial al reordenarlo toda la teora se encuen tra ahora en secciones consecu tivas (secciones 2.7, 2 .8), segu ida p o r los dos m todos p rincipales p a ra en co n tra r so luciones particu lares (secc io nes 2.9, 2 .10) y p o r las ap licac iones bsicas de o sc ilaciones fo rzadas (secciones 2.11,2 12).

D e orden n (captu lo 3). S eparacin del m aterial de las ecuaciones de segundo orden y co locacin en un cap tu lo aparte, con una am pliacin del m aterial; la p resen tac in sigue en la m ed id a de lo p osib le el esquem a del cap tu lo 2 .

S is te m a s (cap tu lo 4). R edaccin p o r com pleto nueva y am pliac in del tem a, con el uso sis tem tico de m atrices .2 x 2 (las cuales se repasan en la seccin 4,0).

M to d o de F ro b e n iu s (cap tu lo 5). E jem plos m s sencillos; am pliac in de la d iscusin de las funciones de B esse l (seccin 5,6). A m pliac in de la d iscusin del desarro llo de e ig en m cio n es (secc in 5.9).

T ra n s fo rm a d a de L a p la c e (cap tu lo 6 ). Inc lusin de la funcin de transferencia (seccin .6.2); inclusin de la ecuac in de L aguerre (seccin 6.5,); am pliacin de la discusin de las en tradas d iscon tinuas y las tcnicas de convo lucin (seccin 6 ,6); m ejo r tratam iento de las fracciones parc ia les (seccin 6.7).

lgebra lineal, clculo vectorial (captulos 7-9)

Vectores y m a trices en R \ se encuen tran ahora antes (cap tu lo 7), segu idos der

A lgebra vectorial, geom etra y clculo d iferencia l en R 1 (captulo 8). Seguidos de

C lculo in teg ra l vec toria l (cap tu lo 9; la independencia de la trayectoria aparece ahora al p rinc ip io en la seccin 9.2).

E sta nueva d isposicin del m aterial o frece una m ejo r fluidez.

Anlisis de Fourier y ecuaciones d iferenciales parciales (captulos 10,11)

S eries e in teg ra les de F o u r ie r (cap tu lo 10). M ueva seccin sobre series co m p lejas de F o u rie r (seccin 10.6); n u ev a d iscusin del espectro de la am plitud de la integral de F ourie r y su s ign ificado fsico (secciones 10.9, 10.11).

E c u a c io n e s d iferen c ia le s p a rc ia le s (cap tu lo 11). Se am pla el tem a 2 de la so lu cin de d 'A lem bert (seccin 11.4); m s prob lem as con valores en la fron tera (seccin 1 1.5, e tc .); m aterial tom ado de los ejercicios y desarrollado en el texto, a fin de o frecer m s ayuda al estud ian te .

Anlisis com plejo (captulos 12-17)

N m eras com ple jos (seccin 12,1), se in troducen ahora con aspectos algebraicos y geom tricos cu idadosam en te aclarados.

" S eries (cap tu lo 14). Secciones de repaso com binados en una sola (secc in 14.1);se hace opcional la co n vergencia un ifo rm e de series genera les (seccin 14 6 )

:7 \

M a p eo s (captu los 16 ,17). A nlisis sim plificado de algunos d lo s prob lem as m s com plicados.

Mtodos num ricos (captulos 18-20)

A sp e c to s y a lgo ritm o s re la c io n a d o s co n la s c o m p u ta d o ra s , se hace an m s h in cap i en ellos.

A c tu a liza c i n y anlisis sim plificado en los tres cap tu los; m s detalles sob re la estab ilidad (seccin ) 8 . 1, etc.); un m ejo r anlis is de los erro res de in terpo lac in (secc in 18.3); m s sobre in terpo lac in se g m en ta ria (sp lines) (seccin 18.4) y m ejoram ien to de la convergencia p o r desp lazam ien to (seccin 19.8).

Apndices

A p n d ice 1 (bibliografa), actualizado.

A p n d ice 4, rene las d em ostrac iones opcionales que se encon traban dispersas.

Sugerencias para cursos: cuatro sem estres consecutivos

E l m aterial puede tom arse en cualqu ier orden y es adecuado para cuatro cursos consecutivos de un sem estre, con 3 a .5 ho ras por sem ana:

P rim e r sem estre. E cuaciones d iferencia les o rd inarias (cap tu los 1-6)

S eg u n d o sem estre. A lgeb ra lineal y anlis is vecto ria l (cap tu los 7-9)

Tercer sem estre. A nlisis com plejo (captu los 12-17)

C uarto se m e s tr e . M todos num ricos (cap tu los 18-20)

En cuanto a los captulos restantes, ver abajo O bviam ente se puede in tercam biar el m aterial; po r ejem plo, los m todos num ricos podran preceder al anlisis com plejo, etc.

Sugerencias para cursos: cursos independientes de un sem estre

E sta obra tam bin se p resta para varios cursos in d epend ien tes de un sem estre con 3 ho ras a la sem ana; p o r ejem plo ,

In troduccin a las ecuaciones d iferenc ia les o rd inarias (cap tu lo s 1-3)

T ransform ada de L ap lace (captu lo 6 )

lg eb ra y clcu lo vecto ria les (cap tu los 8 , 9)

M atrices y sistem as de ecuaciones lineales (cap tu lo 7)

Series de F ourie r y ecuaciones d iferencia les parciales (cap tu los 10, 11, secciones20.4 - 20.7)

In troduccin al anlisis com plejo (captu los 12-15)

A nlisis num rico (captulos 18, 20)

lgebra lineal num rica (captulo 19)

O ptim izacin (captulos 2 1 ,22 )

PREFACIO

G rficas y optim izacin com binatoria (captulo 22)

P ro bab ilidad y es tad stica (cap tu los 23, 24)

C aractersticas generales de est edicin '

L a se leccin , o rdenacin y presen tac in del m aterial se h an hecho con el m ay o r cu idado, con b ase en m i experiencia p asad a y actual com o docen te, investigador y asesor. A lg u n as de las caractersticas sob resa lien tes de la obra son:

E l lib ro es independien te , excep to p o r algunos pun tos m atead o s con to d a claridad p o rq u e u n a dem ostrac in rebasara e l n ivel de un libro com o ste y en su lug ar se o frece u n a referencia bibliogrfica.

O cu ltar las d ificu ltades o hacer u n a sim plificacin excesiva no se ria de ayuda p ara los estud ian tes.

L a p resen tac in es detallada, con el fin de ev itar in co m o d ar al lec to r co n re fe ren cias frecuen tes p a ra que consu lte los detalles en otros libros.

Los ejem plos son sencillos, a fin de co n seg u ir que el lib ro se p re sen te p a ra la en se an za por qu escoger e jem plos com plicados cu ando los sencillo s son tan ilu stra tivos, o incluso m ejores? . >v

La notacin es m oderna y convencional, p a ra ay u d ar a que los estud ian tes lean artcu los en rev istas o en o tros lib ros m od ern o s y en tiendan o tros cursos co n o rien ta cin m atem tica.

L os captu los son en gran m edida independien tes, lo que perm ite g ran flex ib ilidad en la enseanza de cursos especiales (ver arriba).

A gradecim ientosM e encuen tro en deu d a con m uchos de m is an tiguos p ro feso res, co legas y estu d ian tes que d irec ta o ind irec tam ente m e han ay udado en la e lab o rac i n de este libro , en particu lar, de la presen te edicin del m ism o. V arias partes del m anuscrito se d istribuyeron en m is clases en fo rm a m im eografiada y volv ieron a m con recom endaciones para m e jo ra rlas . Las d iscusiones con ingen ieros y m atem ticos (as com o los co m en tario s escrito s) m e fueron de gran ayuda; q u isie ra m enc io n ar en especial a los p ro feso resS.L . C am pbell, J.T. C argo, P.L . C ham br, V.F. Corm olly, A. C ronheim , J, D elany, J.W . D ettm an, D. Dicker, D. Ellis, W. Fox, R.G . Helsel, V.W . Howe, W .N. Hufif, I K eener, E.C. K iipple, V. Kom kow , H, Kuhn, G. L.amb, H.B. Marn, I. M arx, K, Millet, J.D. M oore, W .D M unroe, J.N. Ong, Jr., P .I Pritchard, H .-W ,Pu, W .O R ay,P .V . Reichelderfer, J.T. Scheick,H .A . Sm it, J.P. S pencer, J. Todd, H. U nz, A .L . V illone, H J . W eiss, A. W ilansky , C.H. W ilcox , L. Zia, A .D , Z iebur, todos ellos estadounidenses; a los p ro feso res H .S .M . C o x e te r y R. V aillancourt y al se o r H . K reyszig (cuyo dom in io de las co m pu tadoras fue de g ran ayuda en los c a p tu )o s l8 '2 0 ) de C anad, y a los p ro feso res H . F lo rian , M . K rach t, FI nger, H . W ielandt, todos ellos de E uropa, A qu s lo m e es p osib le o frecer u n reconocim ien to insuficien te de m aprecio .

A sim ism o, qu isiera ag radecer a John W iley and Sons, al seo r y a la se o ra E .A , B u rk e de H udson R iv e r Studio y a G enera l G raphic Services su eficien te co laboracin y esm ero en ia p reparacin de la p resen te edicin .

ERW IN KREYSZIG

Contenido

Volumen 1

P ar te A. ECUACIO NES D IFER ENC IA LES O R D IN AR IA S 21

CAPTULO 1

Ecuaciones d iferencia les de p rim e r orden 23

1.1 C onceptos e ideas bsicas, 231.2 E cuaciones d iferencia les separab les, 321.3 M odelado: ecuaciones separab le s, 351.4 R educcin a la fo rm a separab le . O pcional, 431.5 E cuaciones d iferencia les exactas, 461.6 F actores in teg ran tes, 501.7 E cuaciones d iferencia les lineales, 531.8 M odelado: circu itos e lc trico s, 611.9 T rayec to rias o rtogonales de curvas. O pciona l, 67

1.10 Soluciones aproxim adas: cam pos d ireccionales, iteracin , 721.11 E xistencia y un ic idad de las so luc io n es, 77

C uestionario y p ro b lem a s de repaso del ca p tu lo 1, 82 R esum en d e l cap tu lo 1, 85

CAPTULO 2

Ecuaciones d iferencia les lineales de segundo orden 87

2.1 E cuaciones lineales h o m o g n eas , 882.2 E cuaciones hom ogneas con coefic ien tes constan tes, 942.3 C aso de races com plejas. F u n c i n exponen c ia l com pleja , 982.4 O peradores d iferencia les. O pcio n a l, 1032.5 M odelado : osc ilaciones libres (sistem a m asa-reso rte), 1052.6 E cuacin de Euler-C auchy, 1152.7 T eo ra de existencia y un icidad . W ronsk iano , 1192.8 E cuaciones no h o m ogneas , 1252.9 Solucin por coeficien tes indeterm inados, 129

2.10 Solucin p o r variac in de p arm etros , 1322.11 M odelado : osc ilaciones fo rzadas. R e sonancia , 1362.12 M odelado de circu itos e lc trico s, 143

12 CONTENIDO

2.13 M todo com p le jo para ob tener so luciones particu lares. O pcional, 149

C uestionario y p ro b le m a s de repaso d e l cap ilido 2, 152 R esum en de! cap tu lo 2, 154

CAPTULO 3

Ecuaciones d iferencia les lineales de orden superio r 157

3.1 E cuaciones lineales hom ogneas, 1573 .2 E cuaciones hom og n eas con co efic ien tes constan tes, 165 .3.3 E cuaciones no hom ogneas, 1713.4 M todo de coefic ien tes indete rm in ad o s, 1733 .5 M todo de variac in de p arm etros , 176

C uestionario y p ro b le m a s de repaso d e l cap itu lo 3, 180 R esum en deI cap itu lo 3, 181

CAPTULO 4

Sistem as de ecuaciones diferenciales.P lano fase, estab ilidad 183

4.0 In troduccin : vectores, m atrices, 1834.1 E jem plos in troductorios, 1904.2 C oncep tos y teora bsicos, 1954.3 Sistem as lineales hom ogneos con coefic ien tes co nstan tes, 1984.4 P lano fase, pun tos crticos, e s tab ilidad , 2084.5 M todos del p lano fase para sis tem as no lineales, 2124.6 S istem as lineales no h o m ogneos , 219

C uestionario y p ro b le m a s de repaso del cap itu lo 4, 226 R esum en deI cap itu lo 4, 228

CAPTULO 5

Soluciones en series de po tenc ias de las ecuaciones diferenciales. Funciones especia les 231

5.1 M todo de las series de po ten c ias , 2325.2 T eora de! m todo de las series de po ten c ias , 2365.3 E cuacin de L egendre , P o linom ios de L egendre P(x), 2435.4 M todo de F roben ius, 2495.5 E cuacin de B esse l F unciones de B esse l J (x), 2605.6 P rop iedades ad ic ionales de J J X ) , 2675.7 F unciones de B esse l de segunda clase, 2725.8 Problem as de S turm -Liouville, O rtogonalidad, 2775 .9 D esarro llo de e igen funciones, 285

C uestionario y p ro b le m a s de repaso del cap itu lo .5, 295 R esum en deI cap itu lo 5, 296

CONTENIDO 13

CAPTULO 6

Transform ada de Laplace 299

6.1 T ransform ada de Laplace. T ransfo rm ada inversa. L inealidad, 3006.2 T ransform adas de derivadas e in tegra les, 3066.3 T raslac in S, traslacin /.F u n c i n escaln un itario , 3146.4 A p licaciones ad icionales. F uncin delta de D irac, 3236.5 D erivacin e in tegracin de transfo rm adas, 3286.6 C onvolucin . E cuaciones in tegra les, 3336.7 F racciones parciales. S istem as de ecuac iones d iferenc ia les, 3386.8 Funciones peridicas. A plicaciones ad ic ionales , 3496.9 T ransform ada de Laplace: frm ulas generales, 358

6.10 T ab la de transform adas de L ap lace, 359

C uestionario y p ro b lem a s de repaso d e l cap itu lo 6, 361 R esum en deI capitu lo 6, 364

P arte B. LGEBRA LINEAL, C LCU LO VECTO RIAL________ 367

CAPTULO 7

lgebra lineal, matrices, vectores, determ inantes 369

7.1 C oncep tos bsicos, 3707.2 A dicin de m atrices, m ultip licacin por escalares, 3737.3 M ultiplicacin de m atrices, 3777.4 S istem as de ecuaciones lineales E lim inacin de G auss, 3S87.5 Independencia lineal. E spacio vectorial. R ango de una m atriz , 3987 .6 S istem as lineales: p rop iedades genera les de las so luc iones, 4057 .7 Inversa de una m atriz, 4097.8 D eterm inantes, 4157.9 El rango en trm inos de determ inantes. R eg la de C ram er, 425

7 .10 E igenvalores, eigenvectores, 4327.11 A lgunas aplicaciones de p rob lem as de e igenvalo res, 4387 .12 M atrices sim trica, ansim trica y ortogonal, 4437 .13 M atrices herm iliana, antiherm itiana y un itaria , 4477.14 Prop iedades de los eigenvectores, D iagonalizacin , 4557 .15 Espacios vectoriales, espacios con p roducto in terior. T ransfo rm aciones linea

les O pcional, 462

P regun tas y p rob lem a s de repaso deI cap itu lo 7, 470 R esum en d e l capitulo 7, 473

CAPTULO 8

Clculo diferencial vectorial. G radiente, divergencia, ro tacional 477

8.1 A lgebra vectorial en espacios b id im en sio n a les y trid im ensionales, 4788.2 Producto in terior (producto pun to), 486

CONTENIDO

8.3 Producto vectoria l (producto cruz), 4938.4 Funciones y cam pos vectoriales y escalares. D erivadas, 5028.5 C urvas, T angentes, L ongitud de arco, 5088.6 V elocidad y aceleracin, 5168.7 C urvatura y to rsin de una curva. O pcional, 5218.8 R epaso de clcu lo en varias variables. O pcional, 5248.9 G radiente de un cam po escalar. D erivada dreccional, 527

8 .10 D ivergencia de un cam po vectorial, 5348.11 R otac iona l de u n cam po vectorial, 5388.12 G rad ien te , d ivergencia y ro tacional en coordenadas curv ilneas. O pcional, 540

P regunten y p ro b le m a s de repaso d e l capitu lo S, 547 R esum en d e l capitu lo S, 549

CAPTULO 9

Clculo in tegra l vectorial. Teoremas sobre integra les 553

9.1 In tegrales de lnea, 5539.2 In tegrales de lnea independientes de la trayectoria , 5619.3 Del clculo: integrales dobles. O pcional, 5699.4 T eorem a de G reen en el p lano, 5769.5 Superficies para integrales de superficie, 5849.6 In tegrales de superficie , 5899.7 In tegrales triples. T eorem a de G auss de la d ivergencia , 6009.8 A plicaciones adicionales del teorem a de la d ivergencia, 6069.9 T eorem a de S tokes, 612

C uestionario y p ro b le m a s de repaso del captu lo 9, 619 R esum en de! capitu lo 9, 62 1

A P E N D IC E S

A pndice 1

A pndice 2

A pnd ice .3

A pndice 4

A pndice 5

Bibliografa, 623

R espuestas a los prob lem as im pares, 629

Material auxiliar, 659A 3 ,1 F rm ulas para funciones especiales, 659 A3.2 D erivadas parciales, 665 A J 3 Sucesiones y series, 668

D em ostraciones adicionales, 67 1

Tablas, 687

N D IC E 703

''i~^ ,'-J W'* V-' ' v.-''

Volumen 2

P a r te C. A NLISIS DE FOURIER Y ECU AC IO NESD IFER EN C IA LES PARCIALES 21

CONTENIDO 15

C APTU L010 ;

Seres, in tegra les y transform adas de Fourer 23

10.1 F unciones perid icas. Series trigonom tricas, 2410.2 Series de Fourier, 2610.3 F unciones de cualqu ier periodo p = 2L , 3510.4 F unciones pares e im pares, 3810.5 D esarro llos de m edio rango, 4310.6 Series com plejas de Fourier, O pcional, 4610.7 O scilaciones forzadas, 4910.8 A prox im acin por polinom ios trigonom tricos, 5310.9 In tegrales de Fourier, 57

10 .10 T ransfo rm adas de F o u rie r de cosenos y de senos, 6610.1,1 T ransform ada de Fourier, 701 0 .12 T ab las de transform adas, 79

C uestionario y p ro b le m a s de repaso deI cap itu lo 10, 82 R esu m en deI cap tu lo 10, 83

CAPTULO 1 1

Ecuaciones d iferencia les parc ia les 87

11.1 C oncep tos bsicos, 8811.2 M odelado : cuerda v ib ra to ria , ecuac in de onda, 9011.3 Separacin de variab les, uso de se ries de F ourie r, 9211.4 S o lucin de D A lem bert de la ecuac in de onda, 10111.5 E cuacin del calor: so lucin por series de F ourie r, 10711.6 E cuacin del calor: so lucin p o r in tegrales de F ourie r, 11911.7 M odelado: m em brana, ecuacin b id im ensional de onda, 12411.8 M em brana rectangular. U so de series dob les de F ourie r, 12711.9 L ap lac iano en coordenadas po lares, 135

11.10 M em brana circular. Uso de la serie de F ourier-B essel, 13811.11 E cuacin de Laplace, Potencia!, 14511.12 L ap lac iano en coordenadas esfricas. E cuacin de L egendre , 14911.13 Solucin p o r transform adas de L ap lace, 15511.14 Solucin p o r transform adas de F ourie r, 159

C uestionario y p ro b le m a s de repaso del cap itu lo 11, 164 R esu m en del cap itu lo 11, 166

P arte D. ANLISIS COM PEJO

CAPTULO 12

Nm eros complejos. Funciones analticas com plejas

12.1 N m eros com plejos. El plano com plejo , 17112.2 F o rm a po la r de los nm eros com plejos. P o tencias y races, 1771.2.3 C urvas y reg iones en el piarlo com plejo , 18412.4 L m ite, D erivada. Funcin analtica, 18712.5 E cuaciones de C auchy-R iem arm , 19212.6 Funcin exponencial, 198 12.7 F unciones tr igonom tricas , funciones h iperb licas, 20212.8 L ogaritm o, Po tencia general, 206 -12.9 M apeos por funciones e sp ec ia les.5 O pcional, 210

C uestionario y p ro b le m a s d e rep a so d e l cap tu lo /2 , 2 4 R esum en del cap itu lo 12, .216

CAPTULO 13

Integracin com pleja

1.3.1 In tegral de lnea en el p lano com plejo , 21913.2 D os m todos de in tegracin. E jem plos, 22313..3 T eorem a de a integral de C auchy, 2301.3.4 Existencia de la integral indefin ida, 23813.5 Frm ula de la integral de C auchy , 2401.3.6 D erivadas de funciones analticas, 244

C uestionario y p ro b le m a s de repaso de! cap tu lo 13, 249 R esum en de! cap itu lo 13, 25 I

CAPTULO 14

Seres de potencias, seres de Taylor, series de Laurent

14.1 Sucesiones, series y p ruebas de convergencia , 25414.2 Series de p o tencias , 26314...3 Funciones dadas p o r series de po tencias , 26914.4 Series de Taylor, 27414.5 Series de po tencias: m todos p rc ticos, 28114.6 C onvergencia uniform e, 28514.7 Series de L aurent, 29414.8 S ingularidades y ceros. Infin ito , 302

C uestionario v p r o b le m a s de repaso del cap itu lo 14, 308 R esum en d e l cap itu lo 14, 309

169

CONTENIDO

171

219

253

CAPTULO 15

In tegracin p o r e l m todo de residuos 311

15.1 R esiduos, 31115.2 T eorem a del residuo, 31715.3 E valuacin de integrales reales, 32015.4 O tros tipos de in tegrales reales, 324

C uestionario y p ro b le m a s de repaso del cap itu lo 15, 331 R esu m en d e l cap itu lo 15, 333

C A P T U L O 16

M apeo conform e 335

16.1 M apeo confrm e, 33516.2 T ransform aciones fraccionarias lineales, 34016.3 T ransform aciones fraccionarias lineales especia les, 34516 .4 M apeos p o r m edio de otras funciones, 35116.5 Superficies de R ieniann, 356

C uestionario y p ro b le m a s de repaso d e l cap tu lo 16, 360 R esu m en d e l cap itu lo 16, 362

17.1 C am pos electrostticos, 36417.2 U so del m apeo conform e, 36917.3 Problem as de calor, 37317.4 F lu jo b id im ensional de fluidos, 37817.5 F rm u la de la in tegral de Poisson, 38517.6 P rop iedades generales de las funciones a rm n icas, 390

C uestionario y p ro b le m a s de repaso d e l cap tu lo 17, 394 R esum en d e l cap itu lo 17, 395

CAPTULO 17

Anlis is com ple jo aplicado a la teora del po tenc ia l 363

P a r te E. MTODOS NUMRICOS 397

CAPTULO 18

M todos num ricos en general 399

18.1 In troduccin, 40018.2 Solucin de ecuaciones p o r iteracin , 40718..3 In terpolacin , 419

18 .4 In terpo lac in segm entaria (sp lines), 43218 .5 In tegrac in y derivacin num ricas, 440

C uestionario y p ro b le m a s de repaso d e l cap itu lo 18, 451 R esu m en d e l ca p tu lo 18, 453 >

CAPTULO 19 a ; , . . i

M todos num ricos en lgebra linea l , - :

19.1 Sistem as lineales: e lim inacin de G auss, 45719.2 Sistem as lineales: fac to rizacin LU , inversin de m atrices, 46619.3 S istem as lineales: so luc in por iteracin , 472 . p-7 ,19.4 Sistem as lineales: m al acondicionam ien to , norm as, 47919.5 M todos de m n im os cuad rados, 48619.6 P rob lem as de e igenvalo res de m atrices: in troduccin , 4 9 0 , .19 .7 Inclusin de e igenvalo res de m atrices, 4 9 3 '19.8 E igenvalo res p o r ite rac in (m todo de las p o ten c ia s ),,499 '19.9 D e f la c i n d e u n a m a tr iz ,503 ",

19 .10 T rid iagonalizacin de I-Iouseholdery fac to rizacin Q E , 506 i

C uestionario y p ro b le m a s de repaso de! cap itu lo 19, 517R esu m en d e l cap tu lo 19, 519 - /

CAPTULO 20

M todos num ricos para ecuaciones d iferencia les

20.1 M todos p a ra ecuac iones d iferenc ia les de p iim ero rden ,.,52320 .2 M todos de pasos m ltip les, 534 . i r .20 .3 M todos p a ra ecuac iones d iferenc ia les de segundo o rden , 5382 0 .4 M todos n um ricos p ara ecuac iones d iferenc ia les parc ia les e lp ticas, 5452 0 .5 Problem as de N eum ann y m ixto. F ron tera irregular, 5552 0 .6 M todos p ara ecuac iones p arab licas, 5602 0 .7 M todos p ara ecuac iones h iperb licas, 566

C uestionario y p ro b le m a s de repaso d e l cap itu lo 20, 569 R esu m en del c a p itu l lo , 572

P arte F . O PTIM IZAC I N, G R FICA S_________________________

CAPTULO 21

Optim izacin no restringida, p rogram acin lineal

21 .1 C oncep tos bsicos. O p tim izac i n no restring ida , 577 !2 1 .2 P rogram acin lineal, 581

457

523

575

577

'kp w * w 1

CONTENIDO 19

W9 WJ O K J O : ' > w ' V ,

21.3 M todo sim plex, 58521.4 M todo sim plex: degeneracin , d ificu ltades en el in ic io , 590

C uestionario y p ro b le m a s de repaso del cap itu lo 21, 596 R esu m en d e l cap tu lo 21, 597

CAPTULO 22

G rficas y anlis is com binatorio 599

22.1 G rficas y g rficas d irig idas (d igrficas), 59922 .2 P rob lem as de la trayecto ria m s corta. C om plejidad , 60522 .3 P rincip io de opdm alidad de B ellm an. A lgoritm o de D ijkstra , 61122 .4 A rbo les de expansin m s cortos. A lg o ritm o cod ic io so de K ru sk a l, 61522 .5 A lgo ritm o de P rim p a ra rbo les de ex p an si n m s cortos, 62022 .6 R edes, T rayec to rias de aum en to de flu jo , 62322 .7 A lgoritm o de Ford-Fulkerson para flu jo m xim o, 63022 .8 P rob lem as de asignacin . A paream ien to b ipartita , 635

C uestionario y p ro b le m a s de repaso de! ca p tu lo 22, 642 R esu m en d e l cap tu lo 22, 644

P ar te G. PR O BA BILID AD Y ESTADSTICA___________________ 647

CAPTULO 23

Teora de probabilidad 649

23.1 E xperim en tos , resu ltados, even tos, 64923 .2 Probabilidad, 65323.3 P erm utaciones y com binaciones, 6612.3.4 V ariab les aleatorias, d istribuciones de p rob ab ilid ad , 66623 .5 M ed ia y varian c ia de u n a d istribucin , 67423 .6 D istribuciones b inom ial, d e P o isso n e h ip erg eo m trica , 6792.3.7 D istribucin norm al, 68623 .8 D istribuciones de varias variab les a lea to rias, 692

C uestionario y p ro b le m a s de re paso del ca p itu lo 23, 702 R esu m en de! cap tu lo 23, 704

CAPTULO 24

Estadstica m atem tica 707

24 .1 N atu ra leza y ob je tivos de la estad stica , 70824 .2 M uestreo aleatorio . N m eros aleato rios, 70924 .3 P rocesam ien to de m uestras , 71124 .4 M ed ia y variancia de la m uestra , 719

20 CONTENIDO

24.5 E stim acin de p arm etros , 72224.6 In te rv a lo s de con fian za , 72524 .7 P ru e b a de h ip tesis . D ecisiones, 73524.8 C on tro l de calidad , 74724.9 M u e streo de acep tac i n , 753

2 4 .1 0 B o n d a d de a juste . P ru e b a %2, 75824.11 P ru eb as no p a ram tricas, 7612 4 .1 2 P ares de m ed ic io n es . A ju ste de rec tas, 765

C uestionario y p ro b le m a s de rep a so d e l ca p itu lo 24, 770 R esum en d e l cap itu lo 24, 773

A P N D IC E S

A pn d ice 1

A pnd ice 2

A pn d ice 3

A pndice 4

A pn d ice 5

Bibliografa, 777 1

R e sp u es tas a los p ro b lem as im pares, 783

M aterial auxiliar, 817A3.1 F rm u las p a ra funciones especia les, 817 A3.2 D erivadas parciales, 823 A3.3 S u cesiones y se ries , 826 '

D em o strac io n es ad ic ionales, 829

T ablas, 837

N D IC E 853

PartecANLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Captu lo 10 Series, integrales y transform adas de Fourier C aptu lo 11 Ecuaciones d iferenciales parciales

Son m uy com unes los fenm enos p e ri d ico s en la fsica y en sus ap licac iones en la ingen iera y es u n jrn p o rta n te p ro b lem a p r c tic o je p re se n ta r las funciones perid icas c o rre sp o n d ien tes en t rm in o s d e funciones p e ri d icas sim p les ta le s com o el seno y el coseno . Esto lleva a las se r i s 'd F o u r ie r , cuyos trm inos son funciones de senos y d ec rsen o s . Su in troduccin p o r F ourie r (d esp u s de los trab a jo s rea lizados p o r E ule r y D aniel B em oulli) fue uno de los acon tec im ien to s m s im portan tes en el desa rro llo de las m atem ticas ap licadas. El cap itu lo 10 se ocupa p rin c ip a lm en te de las se ries de Fourier, Las deas y tcn icas co rrespond ien tes pueden gen era liza rse a fen m en o s no p erid icos. E sto lleva a las in te g ra le s d e F o u r i e r y a las t r a n s f o rm a d a s d e F o u r ie r (secc io n es 10 .9-10.11) y un n o m b re genrico p a ra esta rea en su con jun to es a n lis is de F o u r ie r .El cap tu lo 11 se ocupa de las e c u a c io n e s d ife re n c ia le s p a rc ia le s m s im portan tes de la fsica y la ingeniera. En esta rea el anlis is de F ourie r tiene sus ap licac iones m s im portantes, com o herram ien ta b s ica p ara la so luc in de p rob lem as con valo res en la fron tera y con valor inicial en m ecn ica , flu jo de calor, e lec tro st tica y o tros cam pos.

21

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Captulo

10Seres, integrales y transformadas de Fourer

Las se rie s d e F o u r e r 1 (secc in 10.2) son series de trm inos coseno y seno y surgen en la im portante ta rea p rc tica de rep resen tar funciones p erid icas gen erales. C onstituyen una h erra m ien ta m uy im portan te en la so lucin de p rob lem as en los que in terv ienen ecuac io n es d iferenc ia le s o rd inarias y parciales

En el p resen te cap itu lo se d iscu ten los concep tos, hechos y tcn icas bsicas en relacin con las se ries de Fourer. S e incluyen e jem plos ilustrativos y a lg u nas ap licac io n es im p o rtan te s en in g en ie ra . En el cap tu lo sig u ien te so b re ecuaciones d iferenc ia les parc ia les y p rob lem as con valo r inicial y con valores en la fron tera se p resen tan ap licac io n es adicionales.

La teora de las se ries de F ourier es bastan te com plicada , p e r o la a p lica c in de estas se ries es sim ple . Las series de Fourier son, en cierto sen tido , m s un iv ersa les que las se rie s de T aylor, ya que m uchas funciones p e ri d ic a s d iscon tinuas de in ters p rc tico pueden d esarro llarse en series de Fourier, pero , desde luego, no tienen rep resen tac io n es en se ries de Taylor.

En las tres secciones fina les de este cap tu lo se tratan las in te g ra le s de F o u r ie r y las t r a n s f o rm a d a s d e F o u r ie r , que generalizan las ideas y las tcn icas de las se ries de F ourie r a funciones no perid icas defin idas para to d a x . En el cap tu lo s igu ien te (secc in 11.14) se considerarn las ap licac iones co rre spond ien tes a ecuac iones d iferenc ia les parc ia les.

P rerreq u is iio sp a ra este cap tu lo : C lcu lo integral elem ental S ecc io n es q u e p u e d e n om itirse en un curso m s corto: 10.6-10.11 B ib liogra fa : A pnd ice 1, parte C.R espuestas a los p rob lem as: A pnd ice 2.

1 JEA N-BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768-1830). fsico y m atem tico francs, vivi y ense en Pars, acom pa a Napolen a Egipto y ms tarde fue prefecto de Grenoble. Utiliz series de Fourier en su obra principal Thorie analytique de ta chateur (Teora analtica del calor , Parts, 1 822) en la que desarroll la teora de la conduccin dei calor (ecuacin del calor, ver la seccin 11 5). Estas nuevas series llegaron a ser una herram ienta de suma im portancia en la fsica matem tica y tuvieron asim ism o una influencia considerable en ei desarrollo subsecuente de las propias m atem ticas; ver ia referencia [9] en el apndice I .

23

24 SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

10.1 FUN CIO N ES PERIDICAS. SER IES TRIG O NO M TR IC ASSe d ice que una funcin J(x ) es p e r i d ic a si est defin ida para toda x.real y si existe algn nm ero positivo p tal que ,

( 1) f { x + p ) = f { x ) para toda x.

A este n m ero p se le llam a p e r io d o de A * ). La g rfica de esta funcin se ob tiene por repetic in peri d ica de su g rfica en cu a lq u ie r in tervalo de longitud p (figura 229). L os fenm enos y las funciones p e ri d icas se p resen tan en m uchas ap licaciones.

F unciones peri d icas conocidas son las funciones se y coseno y se hace no ta r que la funcin f c = co n s t es tam bin una funcin peri d ica en el sen tido de la defin icin , ya que sa tisface (1 ) p a ra to d a p positiva . E jem plos de funciones que no son p erid icas son x , x 2, x 3, e* y ln x, p o r m en c io n ar s lo a lg u n as.2 : 1

P o r (1 ) se tiene J[x + 2p ) = J[(x + p ) + p] = J{x + p ) = A*)> etc., y para cualqu ier entero n,

(2 ) f ( x + n p ) = f ( x ) para to d a x.

P o r tanto, 2p, 3p, 4p , - tam bin son p e rio d o s de A *), A dem s, si j ( x ) y g (x ) tienen periodo p , en tonces la funcin

h (x ) a f ( x ) + b g {x ) (a , constantes)

tam bin tiene periodo p .El p rob lem a por reso lv er en las p rim eras secciones de este cap tu lo ser la re

p resen tac in de varias funciones de p erio d o p = 2 n en trm inos de las funciones sim ples

(.3) 1, e o s x , sen x , e o s 2x , sen 2x , , e o s n x , sen n x , ,

1 Si una funcin peridica f{x) tiene un periodop (> 0) que es ei ms pequeo de todos, ste con frecuencia se denom ina ei periodo p rim itivo de,/(r)- Por ejemplo, el periodo prim itivo de sen x es 27ry el periodo prim itivo de sen 2x es k . Una funcin peridica sin periodo prim itivo e s / = const.,

FUNCIONES PERIDICAS. SERIES TRIGONOM TRICAS 25

sen* sen 2 x sen 3.x

Figura 230. Funciones coseno y seno que tienen el perodo 2n.

que tienen periodo 2 n (figu ra 230). L as se ries que su rg irn se rn de la form a

(4) a Q + flj e o s x + b 1 sen a- + a 2 e o s 2 x + b 2 sen 2 x + ,

donde a 0, a ]t av , b y, bv son co nstan tes reales. E stas series se llam an se rie s tr ig o n o m tr ic a s y a las an y bn se les llam a los co efic ien te s de la serie. U sando el signo de sum atoria ,3 esta se rie p u ed e escrib irse

(4) a 0 + 2 (a n c o s n x + se r>'J3c)- n = l

Al con jun to de funciones (3) a p a rtir del cual se ha constru id o la se rie (4) suele llam arse el s is tem a tr ig o n o m tr ic o .

Se observa que cad a trm ino de la se rie (4 ) tiene p erio d o 271. P or tanto , s la serie(4) converge, su sum a ser una fu n c i n de p e r io d o 2 n .

Las funciones peridicas que se presen tan en p rob lem as p rcticos con frecuencia son bastante com plicadas y es deseable represen tarlas en trm inos de funciones peridicas sim ples. Se ver que casi cualquier funcin p e r i d ic a /^ ) de periodo 27tque aparezca en las ap licac iones por ejem plo, con re lac in a v ib raciones puede representarse por una serie trigonom trica (la cual se denom inar series d e F o urier de j ) .

P ro b le m a s de la seccin 10.1

Encontrar el periodo positivop ms pequeo de las siguientes funciones,

1. cos x , sen x , cos 2x , sen 2 x , cos 7rx, sen n x , cos 2irx, sen 2-rrx, 2 ttx 2 irx 2 7rnx 1 nnx2. cos n x , sen nx , cos , sen , cos ; , s e n -------

k k k k3. Siyfr) y g(x) tienen periodo p, demostrar que h = a f+ bg (a, b, constantes) tiene periodo

p. En consecuencia, todas las funciones de periodo p forman un espacio vectorial.

' Y entre parntesis; de una serie convergente esto da tambin como resultado una serie convergente con la mism a suma, como puede demostrarse

L^j^ L.'

4 . S i p es un p e r io d o dey(.x), d e m o stra r que np , n = 2, 3, ' \ es un p e r io d o d e j { x ) .5. D e m o s tra r q u e la fu n c i n f{x) = c o n s l es u n a func in p e r i d ic a oe p e r io d o p p a ra to d a p

p o s itiv a ,6 . S /t.x ) es u n a fu n c i n p e r i d ic a de x de p e rio d o p , d e m o s tra r que_ /(ax ), a & 0, es una

fu n c i n p e r i d ic a e x de p e r io d o p / s y qus_ /(T /) b ^ Q es u n a F uncin p e r i d ic a d e x de p e r io d o bp. C o m p ro b a r e s to s re su ltad o s para_/[x) = eo s x , a = b = 2.

T ra z a r la s s ig u ie n te s f u n c io n e s / ( x ) , la s c u a le s se s u p o n e n p e r i d ic a s d e p e r io d o 2 n y, p a ra - n < x < 7r, e s t n d a d a s p o r la s f rm u la s

7 . / ( x ) = x 8 . / ( x ) = x 2

9 . f ( x ) = e lxl 1 0 . / ( x ) = |.x-|

X2 si TT < X < 0 f 1 si TT < X < 0

26 SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

11 . ( X ) = 12 . / ( * ) *LO si 0 < x < 77- 1 1 x h t si 0 < x < tt

f 7T + -V S TT < X < 0 f 1 S ~ 7T < .X < 013, / ( x ) = \ , 14. ,f(x)

7T si 0 < X < TT I c o s x /2 si 0 < X < TT

( X si 77 < X < 0 f 0 S 7T < X < 015. f ( x ) - 16 . , f (x ) -

L 7r x si 0 < x < t t l senx si 0 < x < ttE v a lu a r las s ig u ie n te s in teg ra le s d o n d e n = 0, 1 , 2 , ' (S o n e je m p lo s t p ic o s d e in te g ra le s quese n ec esita r n m s a d e la n te )

0 ,.77/21 7 . sen nx dx 18. f e o s nx dx 19 . J x e o s nx dx

0 - tt/2 - 77/2n 0 -tt/2

2 0 , x sen nx dx 2 1 . e z sen nx dx 2 2 . I x s e n n x d x-77 -77 -77/2

23 J e x e o s nx dx 2 4 . j x 2 e o s /ix dx 2 5 . J x sen nx dx

1 0 . 2 SER IES DE FOURIER

L a s s e r ie s d e F o u r ie r s u r g e n d e la t a r e a p r c t i c a d e r e p r e s e n t a r u n a f u n c i n p e r i d i c a _/[x) d a d a e n t r m in o s d e f u n c io n e s c o s e n o y s e n o . E s ta s s e r ie s s o n t r i g o n o m t r i c a s ( s e c c i n 1 0 . I ) c u y o s c o e f i c i e n t e s s e d e t e r m i n a n a p a r t i r d e / x ) m e d ia n t e c i e r t a s f r m u la s [ la s f r m u la s d e E u le r ( 6 ) s ig u ie n te s ] , la s c u a le s s e e s t a b l e c e r n p r im e r o . D e s p u s s e c o n s id e r a r la t e o r a d e la s s e r ie s d e F o u r ie r .

Frm ulas de Euler para los coeficientes de Fourier

S e s u p o n e q u e y f x ) e s u n a f u n d n p e r i d i c a d e p e r i o d o 2tc q u e p u e d e r e p r e s e n t a r s e p o r u n a s e r ie t r i g o n o m t r i c a ,

( l ) f ( x ) = a 0 + 2 ( cos n x + b n sen 'w)'.n = 1

fcii) i i) - J jJ fe 1 W ^ V.U W* ^ 'iiV --J J u 1 .J

S E R IE S DE FO U R IER 27

es decir, se supone que esta se rie converge y que tiene a j{ x ) com o su sum a. D ad a una funcin J{x) com o sta, quieren determ inarse los coefic ien tes an y bn de la se rie (1) correspondien te .

Se determ ina aQ, A l in tegrar am bos m iem bros de (1 ) de n a 7t, se ob tiene

I f ( x ) d x = I a 0 + 2 (a n c o s n x + b n sen n x "> rr tt^ n = 1

d x .

Si es posib le rea lizar la in tegracin trm ino a t rm ino de la se rie 1, se obtiene

J f (x ) dx = a0 J dx + 2 (^ an J cos nx dx + bn J sen nx dx'j ,

El p rim er trm ino del segundo m iem bro es igual a 1 n a a. Las dem s in tegrales del segundo m iem bro son cero , com o puede verse de inm ediato p o r in tegracin. P o r tanto , el p rim er resu ltado o b ten ido es

( 2 ) i r "= - / 2 tt Jd x .

Se determ inan ahora a t, ap - p o r un p roced im ien to sim ilar. Se m ultip lica (1 ) por cos m x, donde m es cualqu ier en tero positivo fijo , y se in tegra d e - r t a i r

(3) J f ( x ) c o s m x d x = J a Q + (n n c 7T 7T n = 1

c o s m x d x .t c o s n x + b n sen n x )

Al in tegrar trm ino a trm ino , se o b serva que el segundo m iem bro queda

a 0 J c o s m x d x + 2 a n J" c o s n x e o s m x d x + b n j sen n x c o s m x d x~ T T n = 1 L- _ 7T 77

La prim era integral es cero . Al ap lica r ( 1 1) del ap nd ice 3 se obtiene

r w i r n i r wJ e o s n x c o s m x d x = - J c o s (n + m )x d x + - J c o s (n m ) x d x , IT 77 ~ 7T

tr . 7 7 J TTI sen n x c o s m x d x = ~ sen (n + m ) x d x + ~ sen (n m )x d x .

A Esto se justifica, por ejemplo, en el caso de la convergencia uniform e (ver el teorema 3 de la seccin 14.6)

SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

L a in tegracin dem uestra que los cuatro trm inos del segundo m iem bro son cero, con excepc in del ltim o t rm in o del p rim e r reng ln , que es igual a n cuando n = m. P uesto que en (3 ) este t rm ino est m u ltip licado p o r am, el segundo m iem bro de (3 ) es igual a a n. El segundo resu ltado ob ten id o es

(4) f f ( x ) e o s m x d x , n Jm = 1 , 2 ,

P o r ltim o, se d e term inan b t, b2, en (1). Si se m ultip lica (1 ) p o r sen m x, donde m es cualqu ier en tero p o sitiv o fijo , y d esp u s se in tegra de n a K, se tiene

sen m x d x .(5) | / (x) sen m x d x = q 0 + 2 (a n c o s n x + sen n x ^- i r -v rL n = l

Al in tegrar trm ino a t rm ino , se o b se rv a que el segundo m iem bro queda

a 0 J sen m x d x + 2 a n f c s me sen m x d x + b n J s e n n x sen m x d x

La prim era integral es cero . La in tegral s igu ien te es del tip o considerado antes, y es cero para to d a n = 1 ,2 , - . P ara la ltim a in tegral se obtiene

J s e n n x sen m x d x = - J c o s (n m )x d x - f c o s (n + m )x d x . TT TT IT

El ltimo trm ino es cero. El p rim er trm ino del segundo m iem bro es cero cuando n / m y es n cuando n = m. P uesto que en (5 ) este t rm ino est m u ltip licado por bm, el segundo m iem bro de (5 ) es igual a b n y el ltim o resu ltado ob ten ido es

b = f f ( x ) sen m x d x , m = 1 , 2 ,7r J

Al escrib ir n en lugar de m , se ob tienen las llam adas f rm u la s de E u le r5

( 6)

(a) flo1

2tt J f(x) dx" TT

(b) a n - Lf(x) c o s nx dx

ITn = 1,2,

(c) KI T -i

,f(x) sen nx dx TT

n = 1 , 2 ,

5 Ver la nota de pie de pgina 9 de la seccin 2.6

SERIES DE FOURIER 29

Los nm eros dados por (6 ) se denom inan los co e f ic ie n te s d e F o u r ie r de/fa:) La serie tr igonom trica

(7) aQ + 2 (fln c o s n x + sen n x ^n = 1

con co efic ien tes dados por (6 ) se d enom ina la s e r ie d e F o u r ie r d z f l x ) (sin a tender la co n v e rg e n c ia sta se d iscute en la p g in a 95).

E JE M P L O 1 O n d a c u a d ra d a

Encontrar los coeficientes de Fourier de la funcin peridica^-x) de la figura .231 a. p 632- La frmula es

- k S 7T < x < 0

0 < x < rrf ( x )

r k si

l k sif ( x + 2 tt) = f ( x ).

Funciones de este tipo se presentan como fuerzas externas que actan sobre sistem as mecnicos, fuerzas electrom otrices en circuitos elctricos, etc. (El valor de /(.x) en un solo punto no afecta la integral, por lo que puede dejarse indefm da-/U ) en x = 0 y x - n.

Soluc in. Por (6 a) se obtiene a 0. Esto tambin puede verse sin integrar, ya que el rea bajo la curva de J{x) entre - t y 7rc s cero Por (6 b),

a n ~ J f ( x ) c o s n x d x == I J ( ~ k ) c o s n x d x + J k c o s n x d x^ 77 'n" 1 -~77 0 -*

1 f . s e n n x j , s e n n x | n l = ~ - k + k = 0 .

* L i - w * |0J

porque sen nx - 0 en - tt , 0 y n para toda n = 1, 2, . De m anera similar, por (6 c) se obtiene

| 17 i r 0 77 -Ib n = J f ( x ) se n n x dx = |^ J" (- k ) s e n n x d x + J k s e n n x d x J

1 I" eo s n x j co s n x j 77-!

^ L L w n 10 J Puesto que cos ( - a ) = cos a y cos 0 = 1, de esta expresin se obtiene

k 2 kb ~ ( c o s 0 ~ c o s ( n r ) c o s n r r 4- c o s 0] = (1 c o s n i r ) .

n tt m r

A hora bien, cos n - - 1 , cos 2 ^ = 1 , cos 3?r = - 1 . etc ; en general.

{ 1 para n impar y por tanto 1 cos1 para n par

Por tanto, los coeficientes de Fourier b de la funcin en cuestin son

2nrr = ilo

4k h - i*63 ~

para n impar,

para n par

4 k

SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

f(x)

(a) La funcin f{x) dada (Onda cuadrada peridica)

(b) L as tre s p rim e ra s s u m a s p a rc ia le s d e la s e r le d e F ourier co r re sp o n d ie n te

F ig u ra 231, E jem plo 1,

y como las an son cero, la serie de Fourier dey(x) es

Ak / I i \(8) sen x H sen 3.x + - senox 4- - ' I.7T \ 3 5 /

Las sumas parciales son

Ak Ak ( 1 , \= sen x , S 2 = ~ I sen .r + - s e n 3 x 1 , e tc ,

y sus grficas en la Figura 23 i parecen indicar que la serie es convergente y que tiene la suma_/(x), la Funcin dada. Se observa que en x = 0 y x = tt, los puntos de discontinuidad d e / x ) , todas las sumas parciales tienen el valor cero, la m edia aritm tica de los valores k y k de la funcin en cuestin

Q j J W j J ^ w ' W W W L y 'w w L / i - C .-1 L . _ - L. L _ '_ v

S E R IE S DE FO U R IER 31

Adems, suponiendo que_/(x) es la sum a de la serie y haciendo x == ni2, se tiene

por tanto

1 * 1

Este es un famoso resultado de Leibnz (obtenido en 1673 a partir de consideraciones geom tricas). Uustra que los valores de varias series con trminos constantes pueden obtenerse evaluando la serie de Fourier en puntos especficos 1

O rtogonalidad del s istem a trigonom trico

El s is tem a trigonom trico (3), seccin 10.1,

1, e o s x , sen x , e o s 2x , sen 2.r, - - , e o s n x , sen n x ,

es o r to g o n a l en e l in terva lo - n x S re (y, en co n secuencia , en cua lq u ie r in tervalo de longitud 2 n , d eb ido a la p e riod ic idad ). Por d efin ic in , esto sign ifica que la integral del p roducto de cualesq u ie ra dos de estas funciones d iferen tes sob re d icho intervalo es cero; en f rm ulas, para en teros cualesq u ie ra m y n ^ m se tiene

J" e o s m x e o s n x d x = 0 (m ^ n )~ 7r

y

J sen m x sen n x d x = 0 (m # n) TT

y para los en teros m y n cu alesqu iera ( inc luyendo m = ri) se tiene

J e o s m x sen n x d x 0 . TT

Esta es la p rop iedad m s im portante del sis tem a trigonom trico , la c lave en la ded u ccin de las f rm ula de E uler (donde se dem o str es ta o rtogonalidad ).

C onvergencia y sum a de series de Fourier

En todo este cap tu lo las se ries de F ourie r se consid eran desde un punto de vista p rc tico . Se ver que la aplicacin de estas se ries es m uy sencilla . En con traste con esto, la teo ra de d ichas series es com p licad a y no se en tra r en los de ta lles de la m ism a. P or consigu ien te , s lo se aborda un teo rem a sobre la convergencia y la sum a de se ries de Fourier, que se p resen ta a con tinuacin .

S uponer q u e /[x ) es cualquier funcin p e ri d ica dad a de periodo 2 7 tp a ra la que existen las in tegrales de (6 ); por e je m p lo ,/(x ) es co n tin u a o tan s lo con tinua pot secciones (con tinua sa lvo p o r un nm ero fin ito de sa lto s en el in tervalo de integra-

SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

cln), E n tonces pueden calcu larse lo s coefic ien tes de F ourie r (6) efix) y usarlos p ara fo rm ar la serie de F ourie r (7) de_/(x). Sera m uy convenien te que la serie as o b ten ida converg iera y tu v ie ra la su m a /[x ) . La m ayora de las funciones que se p re sentan en las ap licac iones son ta les que esto se cum ple (salvo en los sa lto s de_/fx), los cuales se d iscu ten a con tinuacin ). En este caso , cuando la serie de F ourie r de_/[x) rep resen ta a f i x ) , se escribe

/ ( x ) = a Q + 2 (a n o s nx + b n sen nx)1 1 = 1

con un signo de igualdad. Si la se rie de F ourie r efix) no tien e la s u m a /x ) o no converge, se sigue esc rib ien d o

/ (x) ~ o 0 + 2 (Q,j e o s nx + b n sen nx)71=1

con una tilde ~, la cual ind ica que la se rie trigonom trica del segundo m iem bro tiene los coeficien tes de F ourie r d t f i x ) com o co efic ien tes, p o r lo que se tra ta de la se rie de Fourier d e /fx ) .

La clase de las fun c io n es que p u eden rep re sen ta rse p o r series de F o u rie r es so rp renden tem en te g rande y genera l. Las cond ic iones suficien tes co rresp o n d ien tes que abarcan casi cualqu ier ap licac i n conceb ib le son las siguientes.

T e o re m a 1 (R e p r e s e n ta c i n p o r u n a s e r l e d e F o u r ie r )

Si una fu n c i n peri d ica f i x ) con p e r io d o In s , con tinua p o r secciones'1 en e l intervalo - 7 t < x n y tiene derivada p o r la izquierda y p o r la derecha1 en todo p u n to de d icho intervalo, en tonces la serie de F o urier (7 ) de j fx) [con coeficien tes (6)] es convergente. Su sum a es fix ) , sa lvo en un p u n to x 0 en e l que f i x ) es d iscon tinua y la sum a de la serie es e l p rom edio de los lim ites p o r la izquierda y la derecha7 de f i x ) e n x 0.

6 Definicin en la seccin 6 17 El lm ite p o r la iz q u ie rd a d e f ix ) en x se define como el limite e f ix )

cuando x tiende e x por la izquierda y se denota con frecuencia por/fx,, - 0) Por tanto

f i x o

/(*)X 2 s i X < 1

x /2 s i x > 1

0) lm f(J0 hU

F i g u r a 2 3 2 . L m ite s p o r la i z q u ie r d a y p o r la

d e r e c h a

/.(1 - 0 ) = 1 ,

/ ( 1 + 0 ) = i

d e ia fu n c i n

h)cuando h * 0 por valores positivos.

El lm ite p o r la de rech a se denota p o r y ^ + 0) y

/ U 0 + 0 ) = lm f { x 0 + h) h0

cuando h * 0 por valores positivos.

Las d e riv ad as por la izqu ie rda y po r ia derecha deyx) en x (J se definen como los limites de

f ( x 0 - h) - / U n - QJ f i x 0 + /?) / Uq + 0)

respectivam ente, cuando h 0 a travs de valores positivos Desde luego, s\J[x) es continua en xu, el ultimo trm ino de am bos num eradores es s im p lem e n te ,/^ ) .

SERIES DE FOUR1ER 33

D em o stra c i n de la co n verg en c ia en e l teo rem a I p a ra u n a fu n c i n c o n tin u a f ( x ) q u e tie n e p r im e ra y s e g u n d a d erivadas c o n tin u a s , Al In tegrar ( 6b) p o r partes se obtiene

f f(x) CiJ

c o s n x d xf { x ) sen n x J f

n t r J(x) sen n x d x .

El p rim er trm ino del segundo m iem bro es cero. A l in tegrar o tra vez por partes se obtiene

/ ' ( x ) c o s n xI f " ( x ) c o s n x d x .

J

El p rim er trm ino del segundo m iem bro es cero d eb ido a la perio d ic id ad y la con tinuidad d c f { x ) . Puesto q u e / es con tinua en el in tervalo de in tegracin, se tiene

| / " ( x ) | < M

para una constan te M adecuada. A dem s, |cos nx\ < I. Se sigue que

|u | = 5 f f " { x ) c o s n x d x < - l f71 /I 7T \ J n TT J

M d x2 M

De m anera sim ilar, |AJ < 2 M n 1 pa ra toda n . Por tanto, el valo r abso lu to de cada trm ino de la serie de F ourier d e /(x ) es a lo sum o igual al t rm ino co rresp o n d ien te de la serie

K l + 2M ^1 + I + 2 + p + j 2 + p +

que es convergente. Por tan to , esa serie de F ourier converge y se te rm ina asi la d em ostracin . (Los lectores fam iliarizados con la convergencia un ifo rm e o bservarn que por el c rite rio de W eierstrass de la seccin 14.6, bajo los supuestos p resen tes, la serie de F ourie r converge un iform em ente y, en consecuencia , la d educcin de (6 ) in tegrando trm ino a trm ino se ju s tif ic a por el teorem a 3 de la seccin 14.6.)

La dem ostracin de la convergencia en el caso de una fu n c i n /(x ) con tinua por secciones y la dem ostracin de que bajo los supuestos del teo rem a la se rie de F ourier(7) con coeficien tes (6 ) rep resen ta a / (x ) son m ucho m s com plicadas; ver, p o r e jem plo, la referencia [C14], I

E JE M P L O 2 C o n v e rg e n c ia e n un s a l to s e g n s e In d ic a e n el te o r e m a 1

La onda cuadrada del ejemplo l tiene un salto en x = 0 Su limite por la izquierda all es -k y su limite por la derecha es k {figura 23 i ), por lo que el prom edio de estos imites es 0 La serie de Fourier {8 ) de la onda cuadrada converge en realidad a este valor cuando x = 0 ya que entonces todos sus trm inos son cero Se procede de manera similar para los otros saltos. Esto concuerda con el teorem a 1 I

V**'

34

y y v_-' ^

R e su m e n . U na se rie de F o u rie r de una fu n c i n ^ x ) dada de p erio d o 2 n es una serie de la fo rm a (7 ) con co e fic ien tes d ad o s p o r las f rm ulas de E u le r (6 ). El teo rem a I da las co n d ic io n es que son su fic ien te s p a ra que esta serie co n v erja y p ara que en toda x tenga el va lo r J{x), sa lv o en la s -d isco n tin u id ad e s de_/[x), don d e la se rie es igual a la m edia a ritm tica de los lm ites p o r la izq u ie rd a y p o r la d e rech a de /(x ) en ese punto .

SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

P ro b le m a s de la seccin 10.2

Encontrar la serie de Fourier de la funcin J[x), la cual se supone tiene periodo 2k , y trazar grficas precisas de las tres primeras sumas parciales,* donde^jx) es igual a

f 1 s i - tt/2 < X < rr/2 f - I s i 0 < x < ir/25 . f ( x ) = \ . 6 . f ( x ) = I

l l s i 7r/2 < X < 3vr/2 l 0 SI rr/2 < x < 2-rr

7 . f ( x ) = x ( - 7r < x < tt) 8 . f ( x ) = x (0 < x < 2 ;r)

9 . / ( x ) = x 2 ( - tt < x < w) 10 . f ( x ) = x 2 (0 < x < 2 ir)

11 . f ( x ) = X3 ( - TT < X < 7T) 1 2 . f M = X + |x | ( - TT < X < 77)

f x s i - ttI2 < x < jt/2 fO s i - 7r < x < 013. /(X ) = . , , 14 . f ( x ) =

lo si tt /2 < x < 377-/2 I x s i 0 < x < 7r

x s i tt/2 < x < tt/2 x 2 s i jr/2 < x < tt/216. / ( x ) = / n

- x s i -rr/2 < x < 3 ir /2 I t t 2/4 s i tt/ 2 < x < 3m/2

17. C o m p ro b a r el ltim o e n u n c ia d o del te o re m a 1 a c e rca de las d is c o n tin u id a d e s p a ra la func in del p ro b le m a I,

18. O b ten e r la se rie de F o u rie r en el p ro b le m a 3 a p a r t ir de la del p ro b le m a 1

19. D em o s tra r q u e s iy jx ) tie n e lo s c o e f ic ie n te s d e F o u r ie r a n, b ^ y g ( x ) tie n e lo s c o e f ic ie n te sd e F o u rie r a *, b *, e n to n c e s kj [x ) + lg ( x ) tie n e lo s c o e f ic ie n te s d e F o u r ie r k a n + l a * , kb it + Ib*.

2 0 . U sa n d o el p ro b le m a 19, e n c o n tra r la s e r ie d e F o u r ie r del p ro b le m a 2 a p a r tir d e las d e los p ro b le m as 3 y 4.

N Es decir, a 0 + X (n, cos nx + A sen nx) para N - 1 ,2 ,3

FU N C IO N E S DE CUALQUIER PE R IO D O P = 2 L

10.3 FUNCIONES DE CUALQ U IER PERIO DO P = 2 L35

Las funciones consideradas hasta este punto tenian periodo 2 n , en tanto que la m ayora de las funciones perid icas en las ap licac iones tendrn o tros periodos. Pero se dem u estra que a transic in uc funciones de p e r io d o p = 2 tz a funciones de periodo '' p = 2L, es bastan te sim ple , en esencia un a largam ien to de escala sobre el eje,

Si una funcin /(x ) d e p eriodo p = 2 L tiene una se rie de F o u rie r , se afirm a que esta serie es

(1)r , , nir , n7T \ ( x ) = a 0 + ^ r r n c o s x + b n s e n x j

con los co efic ien tes de F o u r ie r d e J[x) dados por las f rm u la s de E u le r

(2)

(a) a o1

" 2 Lf W d x L

(b) a n - 7f L nrrx

f ( x ) c o s d x

(c) * - T .

L

f L m r x f ( x ) sen j - d x

- L

n = I, 2, ,

D em ostracin . La idea es d ed u c ir estas expresiones a partir de la seccin 10.2 m edian te un cam bio de escala. Se hace v = tdcIL., de donde x = Lvln . E n tonces x = L co rre sp o n d e a v = n . P or tan to J co n s id e rad a com o una funcin de v a la q u e se llam a g(v),

f(x) = g(t>).

tiene periodo 2 n. Por consigu ien te , por (7) y (6 ), seccin 10.2, con v en lugar de .x, esta funcin perid ica g(v) con periodo 2rc tiene la serie de F ourier

(3) g (u ) = a 0 + 2 c o s 110 + b n sen nu)n -=1

Esla notacin es prctica, ya que en las aplicaciones L ser la longitud de una cuerda en vibracin (seccin 11 .2), de una varilla en la conduccin de calor (seccin 11 5), etc

SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

con coefic ien tes

1 r*du

l r

1 f r(4) a n = - J g ( o ) e o s n o d i?

r r .

7T TT

Puesto que v = tvc/L y g (v) = J{x), la f rm ula (3) da com o resu ltado (1). En (4) se in troduce i = .v/7rc o m o variab le de in tegracin . E ntonces los lm ites de integracin v = k pasan a se r * = . A sim ism o , v = itxIL im plica d v = n d x IL . P or tanto, d v ! 2 n - dxt2L en o0. De m anera sim ilar, d v /n = dx /L en an y bn. En consecuencia , de (4) se obtiene (2 ). I

El intervalo de in tegracin en (2) puede reem plazarse p o r cualqu ier intervalo de longitud p = 2 L, p o r ejem plo , por el in tervalo O i r 2 L.

E JE M P L O 1 O n d a c u a d ra d a p e r i d ic a

Encontrar la serie de Fourier de ia funcin (ver la figura 233)

10 si 2 < jc < Ik si 1 < x < i p 2L. = 4 , L - 2.0 si 1 < ,r < 2

Solucin. Por (2a) y (2b) se obtiene - J f U ) d x = i | k

\ 1 nrrx I r rnrxan = - J f ( x ) eo s - y - d x = - J k eo s - y ~ d x =I -2 - -1

yjPor tanto, an = 0 si n es par y

2k/mr si n 1, 5 , 9, , a n = 2k lm r si n ~ 3 , 7, 11,

i A partir de (2c) se encuentra que bn = 0 para n = 1, 2, Por tanto el resultado es /i

Pt . k 2k { 7r I 3 tt 1 5 ir ^J W = t + eos jc - eo s * + ~ eos ~ x - + -

2 tt \ 2 3 2 5 2

~ i , r n , r.

f l x i

- 2 - 1 0 1 2

F ig u ra 233 . Ejem plo 1.

F U N C IO N E S DE CUALQU IER P E R IO D O P - 2L

E JE M P L O 2 R e c tif ic a d o r d e m e d ia o n d a

Un voltaje senoidal sen Ct, donde / es ei tiempo, se hace pasar por un rectificador de m edia onda que corta la porcin negativa de la onda (figura 234) Encontrar la serie de Fourier de la funcin peridica resultante

0 si 2 7rp = 2L = , L

l sen it si 0 < t < L wu{) =

l Solucin , Puesto que u = 0 cuando - L < l < 0, por (2a), con / en lugar de .x, se obtiene

2ttr E sen m d i =

I

fi

y por (2b), usando la frmula (1 1) del apndice 3.1 con x = coi y y = nct,

tt/v r~ nluitu f coE fa = E seno>/ eos neo: d i = I [ sen ( I + n)io + sen (1 n)(oi) di.

" i 2w o

Si n = 1,1a integral de! segundo miembro es cero, y si n - 2, 3, ' , se obtiene de inmediato

_ ioE f c o s ( l + n)io eos (1 ri)ioi~ytluin 2tt [_ (1 + /i)tu (1 n)io J0- e o s (1 4- n ) v 4- 1 eo s (1 n ) tt + 1

2 tt V ' 1 + n 1 - / 1 )Si n es impar, esta expresin es igual a cero, y para n par se tiene

2 E_ / 2 22 tt \ 1 + n 1 n ( / i l ) ( n + 1 ) tt (" = v y

En una manera similar, a partir de (2c) se encuentra q u e ^ ^ "/j2 y bn = 0 para n ~ 2, 3, ; \ Porconsiguiente, /

E E 2 Eu{l) = + sen t u / --------

TT 2 7T ( i 1-,COSjZJt 4- ---- eos 4 "

1ft!

u(t)

-n/co 0 j!( t

Figura 234. R e c t i f i c a d o r d e m e d ia o n d a .

P ro b le m a s de la seccin 10.3

Encontrar la serie de Fourier de la funcin peridicay(x), de periodo p = 2 L ,y trazar/(x) y las tres primeras sumas parciales,

1- x ) = - 1 ( - 1 < a- < 0 ) , / ( x ) = 1 (0 < x < 1), p = 2L, = 2

2. f ( x ) = 0 ( - 1 < x < 1), ,f(x) = 1 (1 < x < 3), p = 2L. = 43. f ( x ) = 0 ( 2 < x < 0), / (x ) = 2 (0 < x < 2), p = 2L = 44. / (x ) = x ( - 1 < x < 1), p = 2L = 2

O 1 Cj* L2,', U" LL* L)) fiP ^J ^ L9 C) t- 'ijjii (iiiJ ' W 4o- 'L>< i^ '**>' ^ L^. U- "^ - 'C. ' L- ^ '^ - ^' '*' ' ^

38

5.6 ,

7. S. 9.

10.11.12 .13.

14,

15.

16,

17.

18.

19,2 0.

S E R IE S , IN TEG RA LES Y TR A N SFO R M A D A S DE FO U RIER

2

2= 2 = 2

p = 2 L.

f ( x ) = I - x 2 ( - I < x < I ) , p = 21,

f . ( x ) = 2 |x | ( - 2 < x < 2 ), p = 2 L = 4 / ( x ) = O, ( - 1 < x < 0), / ( x ) = x (O < x < 1), p = 2 L/ ( x ) = x (O < x < !}, / ( x ) = ! - x (1 < x < 2 ) . p = 2 L

/ ( x ) = - 1 ( - 1 < x \ , 2, .

o o

La se rie de F o u rier de una fu n c i n im p a r de p e r io d o 2 L es una se rie d e F o u r ie r d e se n o s

(5) f ( x ) = 2 b n sen x ( f im par)

con coefic ien tes

2 f L . n ir x ,(6 ) b n = - j f ( x ) s e n - j - d x .

SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

El caso del p e r io d o 2 te. En este caso , p a ra una funcin par p o r el teorem a 1 se obtiene

(3*) ,f(x ) = a Q + 2 c o s (/'p a r)n = 1

con co efic ien tes

1 r 77 (4*) a0 = - J

// -/Q

y para una funcin im par

(5*) /U -) = sen nxn = l

con co efic ien tes

2 r (6 *) b = I / ( x ) sen n x d x ,

Jo

Por e je m p lo ,/(x ) del e jem p lo 1, seccin 10.2, es im par y, p o r lo tan to , est rep re sen tada por una serie de F ourie r de senos.

S im p lificac iones ad ic io n a les resu ltan de la sigu ien te p rop iedad (ya m encionada en el p rob lem a 19 de la secc i n 10.2 ):

( /im p a r)

f ( .x ) d x , f ,f(x) c o s n x d x . 1, 2,

T e o re m a 2 (S u m a d e fu n c io n e s )

Los coefic ien tes de F o u rie r d e una s u m a f + f so n las sum as d e lo s coefic ien tes de F ourier de f s y f correspond ien tes.

Los coefic ien tes de F o u rie r de c fs o n e l p ro d u c to d e c y os coefic ien tes de F ourier d e f correspondien tes.

E JE M P L O 1 P u ls o r e c t a n g u la r

La funcin /*(*) de la figura 237 es la sum a de la funcinyx) del ejemplo l de la seccin 10 2 y ia constante k Por tanto, a partir de dicho ejemplo y del teorema 2 se concluye que

/* ( x) = k H f sen x + - sen 3x + 7 senSx + ) . rr \ 3 5 /

2 k

I

, f"(x)

- n 0 n. 2n 3rr A n x

F ig u ra 237 . E jem plo 1.

f u n c io n e s p a r e s e im p a r e s 41

E JE M P L O 2 O n d a d ie n te d e s ie r ra

Encontrar la serie de Fourier de la funcin (Figura 238o)

,f{x) ~ -V + 7T si ~~TT < X < 7T y f ( X + 2tt) = /(.v).

Solucin. Puede escribirse

/ - / > + /*donde

f i = jt y / 2 =

Los coeficientes de Fourier d e /2 son cero, salvo el prim ero (el trm ino constante), que es n. En consecuencia, por el teorema 2, los coeficientes de Fourier a , bn son los d e /] , excepto para a0, que es n Puesto que / , es impar, o(i = O para n ~ 1 , 2 , - - y

o

Al integrar por partes se obtiene

J / j ( x ) sen n x dx = x sen n x dx

2 T - jt eos ; u r i r ~\ 2b n = ---------------- + - I eo s n x d x \ eo s /i tt,

tt L n | Q n J Q J n

Por tanto, b x = 2, , - -2 /2 , >3 = 2/3, bA - -2 /4 , - y la serie de Fourier de/Xr) es

f { x ) = ir + 2 ^sen .v - - sen 2x + ~ sen3.v - +

ftx)

1 \

i \

\\

\

//

/ /- n n x

(a ) La func in f{.x)

(b) S u m a s p a rc ia le s S(x)

238 . E jem plo 2..

SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

P ro b le m a s de la seccin 10.4

L as fu n c io n e s s ig u ie n te s so n im p a res , p a res o ni lo u n o ni lo o tro ?

1. |.r31, .v c o s n x , x 2 c o s n x , c o s h x , s en h x , s en r + c o s x , x |x |

~"2 r r sen x , Ir, x , x e o s x W

L as s ig u ie n te s fu n c io n e s J[x) , las cu a le s se su p o n en p e ri d ic a s , d e p e r io d o 2 k , so n pares, im p a res o ni lo u n o ni lo o tro ?

3 . / ( x ) = x 3 ( - t t < x < 7t) 4 . f ( x ) = x 4 (0 < x < 2 ir)5 . f ( x ) = x |x | ( - 77 < x < fr) 6. ( x ) = ( ~ tt < x < ir)

7 . f ( x ) = |s e n x | ( - 7 7 < x < 77) 8 . x 3 - x

O si i r < . t < 0 f O s i 1 < x < 277 - 19. / ( x ) = ] 10 . f ( x ) =

I x si 0 < x < n I x si 1 < x < 1

f s e n h x si tt < x < 011. S(x) =

L - c o s h X si 0 < X < TT

f e o s 2 2x si - TT < X < 012. f ( x ) = j ,

l s e n - 2 x si 0 < x < ir

R e p re se n ta r las s ig u ie n te s fu n c io n e s co m o la su m a de u n a fu n c i n par y u n a im par.

13. 1/(1 - x ) 14 . 1 /(1 - x ) J 15. e * 16. x / ( x + 1)

17. D e m o s tra r el te o re m a 2,

18. E n c o n tra r to d a s las fu n c io n e s q u e sean ta n to p ares co m o im p ares .19. D em o s tra r q u e la c o n o c id a id e n tid a d sen 3 x = 2- sen x - 7 sen 3x p u e d e in te rp re ta rse

co m o el d e s a rro llo de u n a se rie d e F o u rie r y q u e se c u m p le lo m ism o p a ra la id en tid ad e o s 3 x = ~ eo s x + 7 co s 3x.

D e m o s tra r q ue :

20 . L a su m a y el p ro d u c to de fu n c io n es p ares son fu n c io n es p a res

21 . L a su m a d e fu n c io n e s im p a res es im par. El p ro d u c to de d o s fu n c io n e s im p are s es par.

22 . Siy-.r) es im par, e n to n c e s )/(x)| y f ( x ) son fu n c io n es pares.

23 . Si J{x) es par, e n to n c e s [ / ( x ) | , / ( x ) y f ( x ) son fu n c io n es p ares24 . Si g (.\) e s t d e f in id a p a ra to d a x , e n to n c e s la fu n c i n p ( x ) = [g (x ) + g ( x )] /2 es p a r y la

fu n c i n r/(..\) = (g(x) g ( - x )]/2 es im p a r

E n c o n tra r la se rie de F o u rie r d e las s ig u ie n te s fu n c io n e s , las cu a le s se su p o n e tie n e n p e rio d o 2n. S u g e r e n c i a U sa r el h ec h o d e q u e a lg u n a s de es ta s fu n c io n e s so n p ares o im p a res

f k si tt/2 < x < xr/2 f x si 0 < x < ir25 . / ( x ) = 2 6 . ,f(x ) = \

10 si tt/ 2 < X < 377/2 [ 7 7 X si 77 < X < 277

si - 77/2 < x < 77/2

X si 77/2 < X < 3 77/2

si 77 < X < 0

si 0 < X < 77

2 7 . / ( x ) =

r2 8 . / ( x )l

DESARROLLOS DE M EDIO RANGO 43

f X2 si -2 9 . f ( x ) = (

l, 7T2/4 si

3 1 . f ( x ) = x 2/4 i( 7T 1 3 4 . 1 + - + - + 1_ +4 9 16

3 5 . 1 _ i + I _ 1--- +4 9 16

7r/2 < X < 77-/2 f - x 2 S - TT < X < 030. f ( x ) = \

7r/2 < x < 377-/2 l x 2 si 0 < x < n3 0 . / ( x ) =

.32. f ( x ) = X ( 7T2 - X 2 ) ( - 7 T < X < 77)

-7T(U sa r el p ro b lem a 25)

1 TT2_ + . . , = _ ( u sar e ] p ro b lem a 31) j 6

Tj-2

(U sar el p ro b lem a 3 1)

f 0.5 DESARR O LLO S DE M EDIO RANGOEn varias ap licaciones existe la necesidad p rc tica de usar series de F ourie r en relacin con funciones j{ x ) que estn dadas so lam en te en algn intervalo, p o r ejem plo , 0 x < L , com o en la figura 239a. En el cap tu lo s igu ien te (secc iones 11,3 y 11.5) se presen tan casos tp icos. Podra ex tenderse / f x ) perid icam en te con periodo L para despus rep resen tar la funcin ex ten d id a p o r una se rie de Fourier, la cual en general inclu ira tan to trm inos coseno co m o seno . Sin em bargo , hay una a lternativa m ejo r m edian te la cual se ob tiene siem pre una se rie de cosenos al ex tender p r lm e ro /(x ) de 0 < x L com o una funcin p a r en el rango (el in tervalo) - L. i x < L, com o en la figura 2 39b , para despus ex tender esta nueva funcin com o una funcin peri d ica de perio-

J I I I .......- L l.

(b) e x te n d id a co m o u n a func in p e ri d ic a p a r d e p e r io d o 2L

h(*hL J ^-J x

(c) {>r) e x te n d id a c o m o u n a funcin p e ri d ic a im par d e p e r io d o 2 L

Figura 239. (a) F u n c i n f{x) d a d a e n u n in t e r v a lo 0 < x i L,(b) s u e x t e n s i n p a r a l r a n g o " ( in te rv a lo ) c o m p le t o - L x

SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

do 2 L. y, com o es par, rep resen tarla p o r una se rie de F ourie r de cosenos. O pued e ex tenderse ,/!* ) desde 0 .x < L com o una funcin im par en L S * S L, com o en la figura 239 c , para despus ex tender esta n u ev a funcin com o una funcin perid ica de p eriodo 2 L y, com o es im par, rep re sen tarla p o r una serie de F ourie r de senos. Estas dos se ries se llam an los dos d e s a rro llo s de m ed io ra n g o de la funcin ,/fx ), la cual est dad a s lo en la m itad del rango (la m itad del in tervalo de p eriod ic idad de estas series). La fo rm a de estas series se presen ta en la seccin ] 0.4. El desarro llo de cosenos de m edio ran g o es [ver (3), (4), seccin 10.4]

( 1)v- fl>tf ( x ) = a + 2 , a n c o s *

n = l

donde

(2)

El d esarro llo de senos de m edio rango es [ver (5), (6 ), seccin 10.4]

(3)

donde

E JE M P L O 1 El " t r i n g u lo " y s u s d e s a r r o l lo s d e m e d io r a n g o

Encontrar los dos desarrollos de m edio rango de la funcin (figura 240)

k

0 1/ 2 l, x

F i g u r a 2 4 0 . L a f u n c i n d a d a e n e l e j e m p lo 1.

DESARROLLOS DE M EDIO RANGO

Soluc in, (a) Ex tens in per idica par. Por (4), seccin 10 4, se obtiene

1 [ 2 k r m , 2k r L , 1 k

a = Z |_Tl " ^ -L 1 ~ A J = 5 'n - 7 \ t r * cos T * * + T [ L cos T * * 1 -L L- Jn -L 4 -, J

Entonces, al integrar por partes,

1^2 . i L/2 r L /2f m r L x n tt L f nir ,| x eo s ~ x d x = sen x sen x dx

-jj L m r L 0 m r -jj L

L 2 nrr L 2 s e n - - + o 2 i 2n;r 2

De m anera similar,

f L i \ niT L 2 tl7r lZ ( n7T\i (L. - x) eos ~ ~ x dx = ~ - sen 5 I eo s m r - eo s LJl f L 2/i7r 2 n 7r \ 2 /

Si se introducen estos dos resultados, se obtiene

4k ( nir \an = ~2~" l 2 cos cos nn ~ 1J-

Por tanto,

2 16A72Z7r2, n 6 = - 16&/62 7r2, a 10 = ~ ]6A7102 tt2, - ,

y an 0 si /7 5* 2, 6 , 10, 14, * Asi, el prim er desarrollo de medio rango d e /* ) es

. . . k I6k ( 1 2 77 1 7T \f W = - - - y ^ eos y * + ~ 2 co s y x + j .

Esta serie representa la extensin peridica par de la funcin dada, de periodo 21 , lustradafipura 241 a

b) Ex tensin peridica impar. De manera similar, a partir de (6), seccin 10.4, se obtiene

8 k m ro o sen

~L 0 L x

(a) Extensin par

X ' 0

(b) Extensin impar

F i g u r a 2 4 1 . E x t e n s io n e s p e r i d i c a s d e f{x) e n e l e j e m p lo 1.

L J W > t Va

En consecuencia, el otro desarrollo de medio rango deJ{x) es

& k ( 1 TT I 3 tT 1 57T \f W = /z ( j z s e n - j r - J 2 sen T r + P s y x ~ + ' )

Esta serie icpicscna a extensin peridica impar deyud, de periodo 2 1 , ilustrada en la figura 24! b. U

P ro b le m a s de la seccin 10.5

Representar las siguientes funcionesyfx) por una serie de Fourier de senos y trazar la extensin peridica correspondiente de/fx)

46 SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER

tt/2 si 77/2 < x < tt l ir x si tt/2 < x = c 0 + S (cn e + k n e ~ irix)n = 1

donde c0 = o0, y p o r ( l ) - ( 3 ) y las frm ulas de E uler (6 ), seccin 10,2,

cn = \ K - ibJ = / f(x)e~in d x .

(7) n = 1 . 2 ,

f f { x ) e inx d x , J rr

Por ltim o, si se Introduce la notacin k - c_ , por (6 ) y (7) se obtiene

( 8) n = 0 , 1, 2 ,

SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

Esta es la llam ada fo rm a c o m p le ja d e la s e r ie de F o u r ie r o, abrev iando , la se rie c o m p le ja d e F o u r ie r d e / f x ) y rec ibe el nom bre de co efic ien te s c o m p le jo s de F o u r ie r d e /fx ).

R esu lta interesante el h echo de que ( 8) pued a deducirse de m anera independien te com o sigue . Al m u ltip licar la se rie de ( 8) por e donde m es un entero fijo, e integ rar t rm ino a trm ino de - n a tt (p erm itida , p o r ejem plo , en el caso de la convergen cia uniform e), se obtiene

r w r J f ( x ) e lmx d x = 2 c n j e 'l-n ~"m)x d x TT 71 = 03 77

C uando n = m , el in tegrando es e = 1, y la in tegral es igual a 2 n . Se obtiene asi

(9) J f ( x ) e ~ imx d x = 2 n c m , IT

siem pre que las dem s in teg ra les sean cero , lo cual se cum ple por (5),

re H n - m ) x x I

Un m)

1i{n n i )

i(n m)7t _(e

2/ sen (n m )rr = 0 .

Entonces, al escrib ir n en lugar de m en (9), se ob tiene la frm ula de los coefic ien tes de (8). B

Para una funcin de periodo 2 L, el razonam ien to an te rio r da co m o resultado la se rie c o m p le ja de F o u r ie r

(JO) f ( x ) = c n e inmc/L, c n = J f W77 = co L,

E JE M P L O 1 S e r ie c o m p le ja d e F o u r ie r

Encontrar la serie compleja de Fourier de./x) = e si - n < x < n yJ[x + 2n) = J[x) y a partir de ella obtener la serie com n de Fourier

Solucin. Por (8),

M ultiplicando el num erador y el denom inador por I + m y usando e in* = e = ( -1 ), se obtiene

O SC ILAC IO N ES FORZADAS

El ltimo factor ( *) es 2 scnh n, por lo que la serie com pleja de Fourier es

TT 4 / I n = oo

A qu, por (2),

(1 4- m )(cos n x 4 i sen ha) = (eos n x n sennx ) 4 (n eo s n x 4 sennx ).

El trmino correspondiente con - n en lugar de n es (obsrvese que eos ( - n x ) = e o s n x y sen ( - n x ) = -sen n x )

(I - jn )(cos n x - i sen nx) = (eos nx n sennx ) i(n eo s n x 4 sen nx)

Las partes imaginarias se cancelan si se sum an los dos trminos, por lo que su sum a es

2 (cos n x -r n s e n n x ) , n = I, 2, ~ .

Para n - 0 se obtiene I (no 2) debido a que hay un solo trm ino Por tanto, la serie real de Fourier es

r 2senh tt f I 1 1 "1(12) e x ----------- - - s (eos x - senx) 4 (eo s 2x - 2 sen2x) - 4

TT l_2 1 4 I 1 4 2 J

donde - n < x < n

P ro b le m a s d e la seccin 10.6

1. D em o s tra r q u e los co e fic ie n te s c o m p le jo s d e F o u rie r d e u n a fu n c i n im p ar so n im ag in a rio s p u ro s y q u e lo s d e u n a fu n c i n p a r so n reales.

2 . D em o s tra r q u e a i} = c tl, a n = cn + c n, bn ~ j(cn - c J , n = ), 2, *.

3 . E n c o n tra r la se rie c o m p le ja d e F o u r ie r d e / ( x ) = - 1 si n < x < 0 , / [ x ) = 1 si 0 < x < n.

4 . C o n v e r t ir la se r ie d e F o u rie r de l p ro b le m a .3 a la fo rm a real..

5 . E n c o n tra r la se rie c o m p le ja d e F o u r ie r d e /( .v ) = x ( - n < x < n),

6 . E n c o n tra r la serie c o m p le ja de F o u r ie r d c / ( x ) - 0 si ~ n < x < 0 , J { x ) = 1 si 0 < x < n,

7 . E n c o n tra r la se rie c o m p le ja d e F o u r ie r d e /(x ) = x (0 < x < 2n) ,

8 . C o n v e rtir ia se r ie d e F o u rie r de l p ro b le m a 7 a la fo rm a real.

9 . E n c o n tra r la se rie co m p le ja de F o u r ie r d e /( .v ) - x 2 ( - t t < x < n).

10. C o n v e r t ir la se rie d e F o u rie r de l p ro b le m a 9 a la fo rm a rea).

10.7 OSCILACIONES FORZADASLas series de F ourier tienen im portan tes ap licac io n es en las ecuac iones d iferenc ia les. Se ilustra el punto para un p rob lem a b sico en el que in terv iene una ecuacin d iferen cial ord inaria . (En el cap itu lo 11 se p resen tan n um erosas ap licac io n es en ecuac iones diferenc ia les parciales.)

*: Vi,;-

OSCILACIONES FORZADAS 51

7 r / 2

Nv-7T.- t /2

r ( t )

L

Figura 244. Fuerza en el ejemplo 1,

donde r(i) se mide en g cm /s2. Sea (Figura 244)

j / + " s i TT < / < 0,

- /(/) = i ?{t + 2tt) ~ r(/).[ - / + S < / < TT,

Encontrar la solucin de estado estacionario.y(/)

Solucin. Se representa r(/) por una serie de Fourier, encontrndose

4 / J I(3) r( i ) = cos / H s cos 3/ + T cos 5t + -

7r \ 3^ 5

(se loma nJ2 menos la respuesta del problema II de la seccin 10-5 con L - n). Entonces se considera la ecuacin diferencial

(4) y " + 0-02y ' + 2 5 y ~ ~ 4 cos n i (/i - I. 3, - )/I 7T

cuyo segundo miembro es un solo trmino de la serie (3) Por la seccin 2 11 se sabe que la solucin de estado esiacionario.j^p) de (4) es de la forma

(5) y n - A n co s ni + B n sen ni.

A! sustituir esta expresin en (4) se encuentra que

(6) A - , B ~ , donde D = (25 n 2)2 + (002/i)2.n n n D n m rD

Puesto que la ecuacin diferencial (2) es lineal, puede esperarse que la solucin de estado estacionario sea

( 7 ) y = y x + y 3 + y 5 + - - -

donde y n est dada por (5) y (6) De hecho, esto se establece de inm ediato sustituyendo (7) en (2) y usando la serie de Fourier de r(/), siem pre que sea perm isible la diferenciacin trmino a trm ino de (7) (Los lectores familiarizados con la nocin de convergencia uniform e [seccin 14 6] pueden dem ostrar que (7) puede diferenciarse trmino a trmino )

Por (6) se encuentra que la am plitud de (5) es

Valores numricos son

52 SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORM ADAS DE FOURIER

Figura 245. Entrada y salida de estado estacionario en el ejemplo 1.

C's = o. 5 100

c7 =