MATEMATIK FISIKA I
DAFTAR ISI 1. Pendahuluan 2. Bilangan dan persamaan aljabar komplek 3. Matrik 4. Definisi serta aljabar komplek 5. Determinan 6. Sistem persamaan linier 7. Transformasi koordinat 8. Analisa vektor 9. Kalkulus 10. deferensial 11. Kalkulus integral fungsi vektor
FISIKA MATEMATIK II
1. Pendahuluan 2. Deret Faurier 3. Persamaan diferensial biasa 4. Transformasi Fourier 5. Transformasi Laplace untuk solusi persamaan diferensial biasa 6. Fungasi komplek 7. Pemecahan diferensial biasa 8. Transformasi koordinat 9. Transformasi Integral 10. Persamaan diferensial parsil
Referensi 1. Mery L Boas Mathematical Methods in the
Physical, 3 and editor, John Wiley & Sons 2006
2. K.F Riley Mathematical Method for Physics and Engineern,3rd Combridge 2006.
3. Roswati Mudjiarto, Frans J Krips.
I.1 Bilangan berpangkat
Sifat-sifatnya
a.
b.
c.
d.
e. dan
f. dan
g. aʸ = aˣ maka x = y, asal a ǂ 1 , a ǂ 0
h. aˣ = bˣ maka a = b asal x ǂ 0
rnmrnm axxaxaa ....nmnm aaa :
mnnm aa )(
).....(... mmmm cbacba
mm
m
b
a
b
amn
aam n
mnm baaa ).( m
m
m
b
a
b
a)(
i. aˣ > aʸ ,a>1 maka x>y asal xǂ 0 , y ǂ 0
j. aˣ > aʸ dan 0 < a < 1 maka x < y
I.2 Pengertian logaritma dan sifat-sifatnya
Definisi : logaritma dari auntuk bilangan pokok g
ialah bilangan x sehingga gˣ = a
1. ͫlog mˣ = x dan
2. ͫlog abc = ͫlog a + ͫlog b + ͫlog c
3. ͫlog a/b = ͫlog a - ͫlog b
4. ͫlog aᵑ = n . ͫlog a dan ͫlog a =
5. ͫlog a x ͣlog d x ͩlog s = ͫlog s
(pembuktian)
6.
7.
8.
9.
10.
baba gg loglog
yxgyx gg 1loglog
yxgyx gg 1loglog
yxgyx gg 10loglog
yxgyx gg 10loglog
DERET Def : Baris adalah suatu fungsi yang daerah definisinya adalah bilangan asli :( 1,2,3……) Def : Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Baris 1,3,5,7, …; Deret 1+3+5+7+.. Macam-macam baris dan deret. a. Barisan hitung dan deret hitung(aritmatika) b. Barisan ukur dan deret ukur (geometri) c. Barisan harmonis dan deret hatmonis(selaras) d. Barisan ukur hitung dan deret ukur hitung Barisan dan deret (aritmatika ) Definisi : Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda antara
tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya, beda itu dilambangkan b
U₂-U₁ = U₃-U₂ =U₄-U₃ = …..= Un –Un-1 =b
jadi b = Un – Un-1 = konstan, maka suku yang ke n adalah Un =a + (n-1)b dan jumlah n suku yang pertama dn =1/2 n{a + Un }.
Sisipan
Jika di antara m dan n disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan menurut aturan yang tertentu, maka dikatakan bahwa bilangan-bilangan itu disisipkan di antara m dan n. Jika diantara m dan n disisipkan k buah bil.
sehingga menjadi baris aritmatika :
m, m+ b’, m + 2b’, ……,m + kb’, n→ m + kb’ = n
kb’ + b’ = n – m →(k + 1 ) b’ = n – m = b
maka : , k = banyak bil. Yan disisipkan
Banyak suku-suku barisan baru adalah banyaknya barisan mula-mula ditambah suku-suku yang disisipkan : n’ = n + (n-1)k , di perhatikan a = a’
Un = Un’ dan St = St. Bila banyak suku barisan itu genap,maka akan didapat dua suku tengah:
1. 2. dn = n.St ; St =suku te
Tengah,Un=suku terakhir, dn=jml suku yg pertama
1'
k
bb
2
UnaSt
Barisan dan Deret Geometri
Definisi: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai hasil bagi antara tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya. Hasil bagi itu disebut pembanding (p) atau disebut ratio(r). Jika U₁, U₂, U₃, …..Un merupakan barisan geometri,maka
U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃ =….= Un/Un-1 = p=r=tetap
a = suku pertama ; p = pembanding
a, ap² ,……..,apᵑ-1 adalah barisan geometri yang banyak suku adalah n buah : 1napUn
• Jumlah n suku yang pertama deret geometri dn
p = pembanding
dn=jml suku 1
Sisipan
Jika di antara dua suku berurutan suatu barisan geometri disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan, sehingga barisan bilangan baru merupakan barisan geometri maka akan kita peroleh rumus2 sisipan sebagi berikut :
a, …………………………,b, baris geometri semula
a, ap’, ap’², …… ap’ᵏ,b baris geometri baru
1
1
1
1
p
pa
p
padn
nn
ap’ᵏx p = b , ap’ᵏ⁺ⁱ = b , (ap’)ᵏ⁺ⁱ = b/a = p
1. p’=pembanding baru
k= banyak bilangan yang
disisipikan antara tiap dua
suku berurutan.
2. n’ = n + (n – 1 ) k
Deret ukur tak hingga
1. Jika suatu deret geometri banyaknya suku mendekati tak terhingga dan pembandingnya antara 1 dan -1 atau [p] < 1 maka deret itu disebut deret konvergen
1' k pp
2. Deret yang tidak memenuhi syarat di atas disebut deret divergen
Jumlah deret geometri tak terhingga (d)
( [p] < 1 )
Baris dan Deret Ukur Hitung.
Definisi : Baris ukur hitung :barisan bilangan yang susku2nya merupakan hasil kali suku2 barisan aritmatika dan barisan geometri yang bersesuaian
nlim
p
adn
1
Baris aritmatika : a, a+b, a+2b, ……..a +(n-1)b
Baris geometri : a, ap, ap², ………apᵑ⁻⁻ⁱ
Barisan ukur hitung : a .a, (a+b)ap, (a+2b)ap², ……, {a + (n-1)b}.apᵑ⁻ⁱ .
1}.)1({ napbnaUn
PERSAMAAN DAN KESAMAAN
Persamaan
Def : Persamaan dalam suatu veriabel tertentu : bentuk pers.yang nilainya (besarnya) variabel itu dapat ditentukan dan tertentu besarnya .
Contoh : 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = - ½
harga x tertentu yaitu = - ½
Macam-macam Persamaan
1. Persamaan linier: pengkatnya paling tinggi satu
contoh : ax + b = 0 a,b = bilangan tetap
2. Persamaan kuadrat : pers.variabel pangkat paling tinggi dua. Contoh : ax² + bx +c =0
3. Persamaan pangkat tinggi : pers. Variabelnya mempunyai pangkat > 2. Bentuk umum :
Persamaan kuadrat :
b² - 4ac = D = diskriminan
1. Jika D > 0 maka x₁ ‡ x₂
2. Jika D = 0 maka x₁ = x₂
3. Jika D < 0 maka ada bil. imajiner
0.....2
2
1
10 n
nnn axaxaxa
a
acbbx
2
42
2,1
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :
- x₁ + x₂ = - b/a dan x₁ . x₂ = c/a
Penguriannya : ax² + bx + c = a(x – x₁ ) (x – x₂)
1.Jika D>0 maka ax² + bx + c = a(x – x₁ )(x - x₂) dapat di uraikan atas dua faktor linier yang berlainan.
2. Jika D = 0 maka ax + bx + c = a(x- x )² dapat diuraikan atas dua faktor yang sama
3. Jika D< o maka ax + bx + c , tidak dapat diuraikan atas faktor-faktornya
Kesamaan Def : Kesamaan (lambang “ Ξ “ ) dalam suatu
variabel tertentu ialah suatu bentuk persamaan yang berlaku setiap harga variabel.
(2x² + x) Ξ x(2x +1); berlaku untuk setiap harga x sifat-sifat : 1. f(x) =a₀ xⁿ+a₁ xⁿ⁻
+….+a₀=0 maka berlaku a₀ =a₁ =a₂ = …= an = 0 2. a₀ xⁿ+a xⁿ⁻
+….= b₀xⁿ+b₁xⁿ⁻
+…+b₀ mk berlaku a₀ =b₀;a₁=b₁,….;an =bn Memecahkan pecahan : 1. Jika pecahan mempunyai n faktor pada penyebut
nya mk pecahan tsb dapat dipecahmenja di n pecahan baru
2. Jika penyebut suatu pecahan mempunyai satu faktor berpangkat n, maka pecahan dapat di pecah menjadi n pecahan baru.
3. Dalam memecah pecahan akan didapat pecahan-pecahan baru dengan derajat pembilang maksimal satu lebih kecil dari derajat penyebut.
Dalil Sisa
Jika f(x) = a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻
+….+an-1 +an dibagi oleh (x-x₁), maka sisanya adalah f(x₁).
Sifat-sifat dalil sisa : 1. Jika pembagi bentuk linier, mk sisanya adalah bilangan tetap
2. Jika penbagi bentuk kuadrat , mk sisa bentuk linier
3. Jika pembagi bentuk pangkat tiga,mk sisanya bentuk kuadrat
Fungsi kuadrat.
Pers. Umum lingkaran Ax² + Ay²+ Dx +Ey +F = 0
Pers.Khususu lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r²
Pers Umum Ellips Ax² + Cy² + Dx + Ey +F = 0
Pers Khusus Ellips (x-h)/a² +(y-k)/b² = 1
Pers. Umum parabola Ax²+Dx +Ey +F =0 sb //sb y
-“- - “ - - “- Cy² + Dx +Ey +F = 0 sb // sb x
Pers Khususnya : y² =4p x→ vertek (0,0) sb // sb x
x² = 4py→ vertek (0,0) sb // sb y
Sedang, (x-h)² = 4p(y-k) ; (y-k)² = 4p(x-h)→ p(h,k)
Harga ekstrim dan grafik suatu fungsi.
a. Jika dalam suatu interval f’(x) >0, maka dalam
interval itu f’(x) naik.
b. Jika dalam suatu interval f’(x) < 0, maka dalam
interval itu f’(x) turun
Syarat Maks dan Mim
a. Jika titik A ,f’(x)=0 dan f’’(x) > 0 minimum
b. Jika titik A,f’(x) = 0 dan f’’( x) < 0 maksimum
c. Jika titik A. f’(x) = 0 dan f’’(x) = 0 maka tidak ada maksimum dan minimum (ada titik belok )
Persamaan Diferensial Biasa persamaan deferensial : pers. Yang mengandung
fungsi dan bentuk2 turunan.
Deferensil dapat dikelompokkan :
1. Persamaan Defersial Biasa(PDB)
2. Persamaan Deferensial Parsil(PDP)
Contoh 1. dy/dx = cos x dan d²y/dx² = g
2. Pers.Laplac:
ditulis dalam bentuk
pers. diffusi
02
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
02u
tuu /./1 22
Istilah dalam pers.deff.
1.orde :tingkat diferensial tertinggi yang terdapat
dalam persamaan deferensial.
2.Degree :pangkat dari orde persamaan
diferensial.
Contoh : persamaan ini sukar ditentukan ordenya , untuk itu kedua ruas dipangkatkan 6. Maka sekarang terlihat
PDB ini berorde 2
dan degree 2
2
32
2
1dx
dy
dx
yd
322
2
2
1dx
dy
dx
yd
Dalam bab ini kita hanya melihat PDB linier, karena sering ditemukan dalam permasalahan Fisika. Bentuk Umum PDB linier (1.7) :
PDB linier karen pada ruas kiri hanya terdiri dari Y = f(x).
dan
Kedua pers. diff di atas tidak linier .PDB tdk linier
kerena perkalian antara y dy/dx dan bentuk (y’)²
Jika pada pers.umum PDB linier (1.7)
)(.... 12
2
21
1
10 xRyadx
dya
dx
yda
dx
yda
dx
yda nnn
n
n
n
n
n
43
3
dxdy
dx
yd y xyy 2)'(
R(x) =0 dan a₀,a₁, a₂, ….. an tetapan, PDB linier ini disebut PDB linier homogen dngan koefisien tetap. Contoh :
R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, ……..,an ; tetap ,maka PDB linier ini :PDB linier tak homogen dengan koefisien tetap ; contoh :
R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, …..an ; bergantung variable x → PDB linier homogen dengan koefisien variable , contoh :
R(x) = 0 dan a₀, a₁, a₂, …an, bergantung variable x PDB linier tak homogen dgn koefisien. varible
042
2
dx
d y
5432
2
ydx
dy
dx
yd
02
2
dx
dy
dx
ydx
contoh :
Operator diferensial ,ini notasi yang sering digunakan (D), (D) : turunan pertama terhadap variabel bebas dala penyelesaian PDB. Dimana Dy =dy/dx, D²y = d²y/dx²,…….Dⁿy = dⁿy/dxⁿ.
Konsep penyelesian PDB : penyelesaian pers. diferensial adalah pernyataan bentuk hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel bebas nya,yang tidak mengandung bentuk turunan lagi Contoh : y’ =x→ y’= dy/dx = x → dy= x dx
integrasi pers. di atas
22 222
2
xyxxdx
dy
dx
yd
cxxdxy 22/1
Membuat Persamaan Diferensial.
Dalam fisika pers.deferensial ini sering ditemukan
contoh pada hukum Newton II bahwa F = ma
F = m d²x/dt² → d²x/dt² = F/m ini adalah PDB orde dua degree satu.
Kalau pd pegas, menurut hkm Newton II –kx=ma
dapat ditulis m d²x/dt² +kx = 0
PDB orde satu
M(x,y)dx +N(x,y) dy =0→dy/dx =-M(x,y)/N(x,y)
kalau M(x,y)=f₁(x) g₁(y) dan N(x,y) =f₂(x) g₂(y)
dxdyxf
xf
yg
yg
ygxf
ygxf
dx
dy
)(
)(
)(
)(
)()(
)()(
2
1
1
2
22
11
penyelesian persamaan pers. di atas dengan mengintegral .
PDB linier
Bentuk PDB linier pers. dy/dx +P(x) y = Q(x) atau
dy/y=-P(x)dx dengan integral ln y=
maka dgn A =e
.
Jadi penyelesaiannya PDB : (*)
cdxxP )(dxxPcdxxP
Aeey)()(
dxxPdxxPdxxP
cedxxQeey)()()(
)(
Persamaan Bernoulli.
Pers.Bernoulli perkembangan dari PDB linier, ruas kiri sama dengan ruas kiri PDB linier dan ruas kanannya sama dengan ruas kanan PDB linier yang dikalikan dengan yⁿ.
PDB Bernoulli : dy/dx + P(x) y =Q(x) yⁿ
Dengan di selesaikan maka didapat dan mengalikan dengan (1-n)y⁻ⁿ di dapat :
(1-n)y⁻ⁿdy + (1-n)yⁱ⁻ⁿP(X)dx =(1-n)Q(x)dx →
dz+(1-n)P(x) z dx = (1-n)Q(x) dx (lihat cont. h.82)
T Penerapan PDB orde satu dalam Fisika.
Peluruhan zat radio aktif : dN/dt = -λN dirubah
dN/N = -λ dt → ∫dN/N =-∫λdt → lnN=-λt+ C (*)
Bila t=0,N=N₀ , maka ln N₀ =C sisipkan C pada (*)
maka ln N = - λt + ln N₀ → N = N₀ e⁻ ,
zat menjadi setengah zat mula2→ N = ½ N₀
maka : ½ N₀ = N₀ → =1/2→-λt=ln 1-ln2
t = (ln 2)/ λ → waktu paruh
- lihat pd rangkian listrik dgn hkm Kirchoff
L di/dt + Ri = V ; aliran panas (h.90)
t
tete
dx
dTkAQ
, PDB orde Dua dalam bentuk Khusus.
Orde dua dari PDB : a₀(x)y’’+a₁(x)y’+a₂y = R(x) (1)
Fungsi ini terdiri dari:(y’’,y’,y dan x→f(y’’,y’,y, x)=0
Dari persamaan ini didapat dua bentuk khusus :
1. Terdapat y, maka f(y’’,y’,y,x)=0 berubah :f(y’’,y’,x)
Jika PDB orde dua dilakukan pemisalkan :
y’=p → y’’ = dp/dx ; sisipkan y’ dan y’’ dalam pers.f(y’’.y’,x)=0 , diperoleh
f(dp/dx, p,x)=0 jika merupakan PDB orde
satu,persamaan diatas dapat diselesaikan.
2. Tidak terdapat x maka pers f(y’’,y’,y,x)=0 berubah menjadi
f(y’’,y’,y)=0 → y’ = dy/dx = p dan y’’= dp/dx = dp/dy . dy/dy’’ = p dp/dy .
Sisipkan y’ dan y’’ pada persamaa : f(y’’.y’, y) = 0
maka f(p dp/dx, p, y) = 0. Jadi pers. Ini merupakan PDB orde satu dan
dapat diselesaikan
PDB Euler-Cauchy.
Pada hal ini akan dibahas PDB orde dua dengan
koefisien variabel :
a₀,a₁ dan a₂ tetapan ,Pers ini: PDB Euler (Cauchy)
Untuk menyelesaikan PDB Euler atau Cauchy
Misalkan x = e
→ dx/dz = e
= x . Cari y’ = dy/dx
dy/dx= dy/dz.dz/dx=x⁻ⁱdy/dzatau x dy/dx=dy/dz
Cari : y” = d²y/dx² → d²y/dx² =d/dx(x⁻ⁱ dy/dz
=-x⁻ⁱ dy/dz+x⁻ⁱdz/dx.d²y/dz²=x⁻²(-dy/dz +d²y/dz²)
x² d²y/dx² = d²y/dz² - dy/dz.
)1)....((21
2
0 2
2
xRyaxaxadx
dy
dx
yd
Sisipkan y”,y’ ke pers.
a₀(d²y/dz² -dy/dz) + a₁ dy/dz +a₂y = R(z)
a₀d²y/dz² +( a₁ - a₀ ) dy/dz + a₂ y = R(z). ….(*)
Penyelesaian akhir diperoleh dengan mengguna -kan metode PDB linier orde dua dengan koefisien tetap tak homogen untuk pers (*).
)(21
2
0 2
2
xRyaxaxadx
dy
dx
yd
VEKTOR
Vektor : sebuah besaran yang selain mempunyai
besaran, juga mempunyai arah
Vektor ditulis dengan huruf kapital ( ) →
Panjang panah menyatakan besar vektor arah panah menunjukan arah vektor . Besaran vektor adalah A atau .Vektor satuan searah dengan vektor dengan tanda
A A
A
A
A A
A a
A
A
A
Aa
Komponen vektor dalam sistem koordinat Kartesis (xyz) adalah terletak pada sumbu x, y, dan z. Vektor satuan yang searah sumbu x, y, dan z yang positif. Jadi vektor
dan besar A = adalah
,begitu juga koord kartesis xy
Vektor posisi : vektor yang ditarik dari titik 0 ke sebuah titik ditulis . Jika titik terdapat dalam ruang terdapat dalam ruang ,maka vektor : vektor titik asal (0, 0, 0) ke titik (x,y,z)
Yaitu dan
A
zyx danAAA ,
kdanji ,,
A
kAjAiAA zyxA
222
zyx AAAA
Rataur
r
kzkyixr 222 zyxrr
Jika vektor berimpit atau sejajar arah yang sama , maka vektor dikatakan searah. Bila kedua vektor berimpit atau sejajar, tetapi berlawanan arah , maka keduanya disebut vektor yang berlawanan arah. Dua vektor dikatakan sama jika
dan arahnya sama. Jika arah berlawanan dengan , tetapi , maka kita katakan . Sebuah vektor
(k= sekalar) menunjukan bahwa searah dgn
dan .
BdanA
BdanA
BdanA
BA B
A BA
BA AkB
B A
AkB
Vektor nol : vektor yang besarnya (harga mutlaknya = 0 ) dan arahnya segala arah
Aljabar Vektor Penjumlahan vektor Dua vektor dan dapat dijumlahkan dengan terlebih dahulu memindahkan titik awal (tangkap)
ke titik ujung (terminal) →
A
B
A
ABA
AkB
A B
B A BA
B Titik tangkapnya terminal dan berimpit
Dari penjumlahan vektor
( komutatif )
(asosiatif ) Penjumlahan ini: penjl.Jajaran genjang Kita dapat melakukan pengurangan Perkalian vektor. a. Perkalian titik(dot). perkalian titik didef. Sebagai :
α =sudut antara dan . Hasil perkalian ttk dr
dua vektor : sebuah besaran skalar
A B
A
B
BA
ABBA
CBACBA )()(
)( BABA
cos. BABA
A B
Jadi
adalah proyeksi , maka
Dapat dinyatakan sebagai perkalian antara dengan proyeksi atau sebaliknya
Jadi hasil perkalian titik dari vektor-vekto I, j, k :
dan
Vektor A dan B dinyatakan dalam komponen :
Dan jika artinya
maka
coscos. ABBABA
cosB AkeB BA.
A
AkeB ABBA ..
1..10cos.^^^^^^^^
kkjjiiii 0...^^^^^^
ikkjji
zzyyxxzyxzyx BABABAkBjBiBkAjAiABA )).((.^^^^^^
2222^^
. AAAAAA zyx0.BA BA
z
z
y
y
x
x
B
A
B
A
B
ABA//
b. Perkalian silang (cross)
Perkalian silang def.
Persamaan di atas menunjukan bahwa hasil
adalah sebuah vektor yang mempunyai besar
= dan searah dengan vektor satuan
Vektor tegak lurus terhadap bidang tempat
dan terletak.Menentukan arah vektor
gunakan sistem sekrup yang menunjukkan arah
Ternyata dan mempunyai besaran
skekar yang sama tetapi berlawanan arah.
sinBABxA
BxA
C
sinBA
C A
B C
C
BxA AXB
atau :
Perkalian dua vekto satuan maka diperoleh :
;
dan
Diperoleh
dan
dalam bentuk determinan:
AxBBxA
00sin 0iiixi 0kxkjxjixi
090sinjiixi
^^^^^^^^^
;; jixkikxjkjxi^^^^^^^^^
;; jkxiijxkkixj
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BxA
^^^
Garis dan Bidang.
1. Persamaan garis
Sebuah garis l dapat dibuat melalui titik
sejajar dengan sebuah vektor .Buat garis l melalui ke // vektor
diperoleh atau
),,( 000 zyxP
A
),,( 000 zyxP ),,( zyxQ A
0rrPQ kzzjyyixxPQ )()()( 000
Persamaan diatas : Pers.garis Parametrik,karena
karena x - x₀ = at ; y – y = bt; z - z = ct, maka persamaan menjadi persamaan ini : pers.garis simetri
z
l
y
x
c
zz
b
yy
a
xx 000
),,( 00 zyxP o),,( zyxQ
0r r
A
Persamaan Bidang.
persmaan bidang dapat dibuat melalui sebuah titik (x₀,y₀, z₀)yang tegak lurus terhadapsebuah vektor . Misalkan = tegak lurus pada bidang α, diperoleh
Kerena terletak pada bidang α maka ∟
maka perkalian titik sama dengan nol
α
N N kcjbia
0rrPQ
kzzjyyixxPQ )()()( 000),,( zyxQ
PQ N PQ
0.PQN
N rr
r
),,( 000 zyxP
S
MATRIK DAN DETERMINAN
Pengertian Matrik Matriks : Suatu kumpulan angka-angka atau huruf yang disusun menurut baris dan kolom sedemikian sehingga berbentuk persegi panjang Sebuah matrik dinyatakan dengan hurup besar A.Bilangan yang horizontal baris ,bil.vertikal kolom m =jml baris I = 1,2,3……m n = jml kolom I = 1,2,3,…..n
mn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
434241
2232221
1131211
....
Macam-macam matriks Matrik A dengan elemen ,mempunyai baris m
dan kolom n dengan orde (mxn). 1. Matrik bujur sangkar : matriks yang banyak baris
dan kolom sama m=n , contoh 2. Matriks Singular : Matriks bujur sangkar yang
nilai detreminannya sama dengan nol. Contoh: 3. Matrik Non Singuler : matriks bujur sangkar yang
nilai determinannya tidak sama dgn nol
ija
42
31A
12
24A
43
21A
4. Matriks Satuan (Identitas): Suatu matriks bujur sangkar dimana unsur-unsur yang terletak pada diagonal pokok terdiri atas angka-angka satu,sedang unsur lainnya nol. Dilengkapi lambang In.contoh :
5. Matriks diagonal: matriks bujur sangkar dimana unsur pada diagonalpokok minimal satu unsur tdk sama dengan nol, sedang unsur lain sama dengan nol . contoh
atau atau
nIA
100
010
001
000
000
001
200
000
003
100
010
001
6. Vektor Basis : suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja. Contoh
7. Vektor kolom : Suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Contoh
8. Matriks nol : matriks yang unsurnya
nol.contoh
9. Matriks transpose: suatu matriks A dengan cara mengubah baris menjadi kolom atau sebaliknya.(transpose A ditulis A’) .contoh
321A
3
2
1
B
00
00B
963
852
741
987
654
321'AA
10. Matriks Simetri : suatu matriks bujur sangkar yang sama dengan matriks transposenya A=A’
contoh :
11. Matriks anti semetri(skew Matriks) : matrik bujur sangkar yang sama dengan negatif transposenya. A = - A’, contoh :
12. Matris Invers : suatu matrik apabila matriks itu, matriks non singular. A suatu matriks,maka
inversenya A⁻ᴵ ( A = A⁻ᴵ )
095
974
543
'
095
974
543
AA
025
204
540
'
025
204
540
AA
Dirumuskan contoh : adjoin A= → Adj A = → Kaidah-kaidah invers. 1.Invers dari invers suatu matriks adalah matrik aslinya 2.Determinan dari suatu invers matriks sama dengan
kebalikan determinan matriks tersebut
dc
ba
AadjA
AA
det
111
0243
21AA
1;2;3;4 22211211 CCCC
ij
ji
ij MC )1(
12
34ijC
13
241
IJC
21
23
112
13
24
2
1A
AA11
AA
11
3. Ivers dari transpose suatu matrik sama dengan
transpose dari invers matriks tersebut.
4. Invers dari perkalian dua matrik hasilnya sama dengan perkalian invers dari matriks 2 tersebut.
OPERASI MATRIKS
Orde suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dandiikuti oleh banyaknya kolom. Misalnya matriks ini mempunyai orde (2 x 3 ) ditulis A ₂ ₓ ₃
'11' AA
111ABAB
2. Matriks yang sama : Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, apabila a. ordenya sama. b.unsur-unsur yang seletak sama.
dan
3. Jumlah/Selisih dua Matriks
Selisih/Jumlah dua matriks hanya berlaku apabila : a. Ordrnya sama. b. unsur-unsur yang seletak dikurangi atau ditambah.
dan →
654
321A
654
321B
51
42A
62
53B
113
95
6521
5432BA
4. Perkalian matriks dengan skalar: skalar besaran yang tidak mempunyai arah misl. k
5. Perkalian matriks dengan matriks
Dua matriks hanya bisa dikalikan, apabila banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua
kdkc
kbka
dc
bakkA
)()()( mxsnxsmxn CxBA
111612
1068
03801240012
604402206
642
140
213
034
102
Sifat-sifat matriks.
1. A + B = B + A sifat komitatif thd penjumlahan
2. AB≠BA(umumnya) komutatif thd perkalian
3. AI=IA=A sifat komutatif thd perkalian
4. AA⁻ᴵ = A⁻ᴵA =I sifat komutatif thdperkalian
5.A+(B+C)=(A+B)+C sifat asosiatif thd
penjumlahan
6. A(BC)=(AB)C sifat asosiatif thd perkalian
7. A(B+C) = AB+AC sifat distributif
Pengertian Determinan
Determinan suatu matriks : skalar(bilangan) yang diperoleh dari pengoperasian elemen2 matriks secara spesifik,determinan hanya bisa dihitung dri matriks bujur sangkar (n x n)
Bila matriksnya sapai orde 3x3 bisa gunakan cara satu dan cara dua, ordenya lebih dari 3 lebih dari 3 cara satu dan dua tdk bisa digunakan, gantinya gunakan urian Laplace
Sifat determinan
1. Determinan dari suatu matrik IAI mempunyai
nilai yang sama dengan determinan dari transposenya IA’I atau IAI = IA’I
2. Jika dalam suatu baris (kolom)elemen suatu determinan bernilai nol semua, maka nilai determinan juga sama dengan nol
3. Jika suatu elemen pada suatu baris(kolom) dari suatu determinandikalikan dengan suatu skalar k, maka nilai determinan akan menjadi k kali nilai determinan semula.
Perbedaan perkalian matriks dengan skalar dan determinan dengan skalar: matrik dengan skalar (k) semua elemen matriks dikalikan k,sedang determinan hanya baris atau kolom
4. Bila dua baris atau kolom dari suatu determinan ditukar tempatnya, maka tanda determinan akan berubah ,akan tetapi nilai mutlaknya tetap sama.
5. Jika dua baris atau kolom dari suatu determinan sama elemen2nya maka nilai determinan sama dengan nol.
6.Suatu determinan nilainya tidak akan berubah bila elemen 2 pada suatu baris atau kolom dikalikan dengan suatu konstan kemudian ditambah atau dikurang pada elemen2 dalam baris atau kolom yang lain
7. Determinan dari perkalian dua buah matriks
sama dengan hasil kali determinan matrik 2
tersebut.
8. Determinan dari matrik diagonal adalah hasil
kali elemen-elemen diagonalnya.
BAAB
abc
c
b
a
A
00
00
00
DIFERENIAL
Pembahasan mengenai turunan atau derivatif dengan lambang ,yang menunjukan
yang artinya dy diferensial dari y dan dx diferensial dari dx. Penggunaan diferensial diantaranya mencari integral dari suatu fungsi.
Bila dy/dx merupakan turunan dari fungsi y=f(x) variabel x berubah sebesar ∆x → diferensial y ditunjukan oleh dy dan besarnya.
contoh :Pers xy² -x² + y =0, dengan mendeferensial ke x berapa dy/dx
dx
dy
dx
dyit
dx 0lim
xxfxdx
dydy )('
12
22)12(022
222
xy
yx
dx
dyyx
dx
dyxy
dx
dyxy
dx
dyxy
Contoh persamaan diatas merupakan pers.fungsi implisit, karena persamaan sama dengan nol,atau konstanta maka gunakan deferensial implisit.
contoh : 1. Berapakah dari pers.x² -y² =1
Deferensial ke x menghasilkan
2. Berapa dy/dx dari persamaan xy² -x² +y =0
deferensial ke x : 2xydy/dx + y² -2x + dy/dx = 0
(2xy +1 ) dy/dx =2x- y² →
3. Tentukan dy/dx dan d²y/dx² dari pers.x²+y²=1
xd
yd2
2
y
x
y
x
dx
dy
dx
dyyx
2
2022
12
2
xy
yx
dx
dy
jawab : x² + y² =1 → 2x + 2y dy/dx =0→
deferensial dy/dx ke x
karena x² +y² =1 maka
DEFERENSIAL PARSIL
Kita telah membahas fungsi implisit y = f(x)
dan fungsi implisit f(x,y) = 0, hal in hanya terdiri dari dua variable .Fungsi dan relasi beberapa variable dapat didefinisikan dengan memperluas definisi untuk dua variable.
x
y
y
x
dx
dy
2
2
2
22
222
2
y
xy
y
y
xxy
y
dx
dyxy
dx
yd
32
2 1
ydx
yd
,
Suatu titik dalam dua dimensi disajikan oleh pasangan urut-urut yang mempunyai tiga anggota .Bila mempunyai n buah anggota bilangan riil yaitu (x₁ ,x₂, …. Xn ) dapat ditulis z = (x₁ ,x₂, ….xn ) dimana x₁, x₂, ….xn disebut variabel bebas dan z merupakan variabel tak bebas . Dapat ditulis ( x₁ , x₂ , ….xn, z) = 0
Misal fungsi z dengan dua variabel bebas x dan y z = f(x,y). Bila y dianggap tetap ,z merupakan fungsi x saja dan turunan z ke x, turunan yang didapat merupakan turunan parsial dari z ke x
Ditunjukan oleh :
Begitu juga bila x dianggap tetap maka turunan parsil ke y :
contoh :
Jika z = 3x² + 2xy -5y², maka dan
xxx zfyxfyxfxx
f
x
z,),,(),,(,',
yyy zfyxfyxfyy
f
y
z,),,(),,(,,,
yxx
z26 yx
y
z102
Top Related