MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
3 Maret 2017
Kuliah yang Lalu
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari Ini
10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 3
11.1 SISTEM KOORDINATCARTESIUS DI R3
MA1201 MATEMATIKA 2A
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 4
• Memahami sistem koordinat Cartesiusdi R3
• Mengenali dan menggambar grafik per-samaan di R3
Apa yang Akan Dipelajari
Kelak kita akan membahas vektor di bidang(R2) dan di ruang (R3), dan setelah itu kitaakan membahas pula fungsi bernilai vektor.
Sistem koordinat Cartesius (dan polar) di R2
telah kita pelajari sebelumnya.
Sekarang kita akan mempelajari sistemkoordinat Cartesius di R3.
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Sistem Koordinat Cartesius di R3
Sistem Koordinat Cartesiusdi R3 terdiri dari 3 sumbuyang saling tegak lurus danberpotongan di titik O, yang kemudian disebut sebagaititik asal. Ketiga sumbu tsbbiasanya disebut sebagaisumbu-x, sumbu-y, dansumbu-z, dan membagiruang menjadi 8 oktan.3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 6
x (pos.)
y (pos)
z (pos)
O
Sistem Koordinat Cartesius di R3
Setiap titik P di R3 dinyata-kan sebagai koordinatP(x,y,z), seperti pd gambar.
Jarak antara 2 titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) diberikanoleh rumus|PQ| =
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 7
x
y
z
O
P
.)()()( 2
12
2
12
2
12 zzyyxx
Persamaan Bola, Bidang, dan Garis
1. Persamaan bola yang berpusat di P(a,b,c) danberjari-jari R adalah
2. Persamaan umum bidang di R3 adalah
3. Persamaan
menyatakan garis lurus yang melalui T(a,b,c) dan searah dengan vektor (p,q,r).
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 8
.)()()( 2222 Rczbyax
.0, 222 CBADCzByAx
r
cz
q
by
p
ax
Contoh: Menggambar Bidang di R3
Gambarlah bidang yang memiliki persamaan
Jawab: Bidang melaluititik P(6,0,0), Q(0,3,0), dan R(0,0,2).
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 9
.632 zyx
x
y
z
O
P
Q
R
Soal
Gambarlah bidang di R3 yg memiliki persamaan
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 10
.1232 zx
11.2-4 VEKTOR, HASILKALI TITIK, DAN HASILKALI SILANG
MA1201 MATEMATIKA 2A
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 11
• Memahami sifat-sifat vektor di R2 dan R3
• Menghitung jumlah dua vektor, hasilkalivektor dengan skalar, dan besar vektor
• Menghitung hasilkali titik dan hasilkalisilang dua vektor, dan mengetahui sifat-sifatnya
Apa dan Mengapa Vektor
Kuantitas panjang, massa, dan waktumerupakan skalar, yang dapat dinyatakandengan sebuah bilangan.
Kuantitas fisis lainnya seperti kecepatan dangaya tidak hanya mempunyai panjang ataubesar (magnitude) tetapi juga arah.
Besaran atau kuantitas tsb dikenal sebagaivektor. Pemahaman tentang vektor jugadiperlukan untuk mempelajari fungsi denganbanyak peubah. 3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 12
Vektor: Pendekatan Geometri
Secara geometri, vektor dinyatakan sebagai anakpanah, yang mempunyai titik awal (ekor) dantitik akhir (kepala), dan dituliskan dengan huruftebal misalnya u atau v.
Dua vektor dikatakan sama atau setara apabilakedua vektor tsb mempunyai panjang dan arahyang sama. Sbg contoh, u dan v di atas setara.3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 13
ekor
kepala
u v
Penjumlahan Dua Vektor
Diberikan dua vektor, kita dapat menghitungjumlahnya dengan dua cara:
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 14
uv
u + v
Cara Segitiga
u
v
u + v
Cara Jajargenjang
Perkalian dengan Skalar
Kita juga dapat mengalikan vektor dgn skalar:
Selisih dua vektor, u – v, dimaknai sebagaihasil operasi u + (-1)v.
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 15
u 2u
Vektor: Pendekatan Aljabar
Di R2: vektor u dinyatakansebagai pasangan terurut(u1,u2). [Dalam hal ini, ekorvektor u adalah O(0,0) dankepalanya adalah (u1,u2).]
Di R3: vektor u dinyatakansebagai tripel (u1,u2,u3).
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 16
(u1,u2)
O
(u1,u2,u3)
O
Perkalian dengan Skalar danPenjumlahan
Di R2: Jika u = (u1,u2), v = (v1,v2), dan c ϵ R, maka
c u := (cu1,cu2)
u + v := (u1+v1,u2+v2)
Di R3: Jika u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3), dan c ϵ R, maka
c u := (cu1,cu2,cu3)
u + v := (u1+v1,u2+v2,u3+v3)
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Vektor Basis
Di R2: vektor i = (1,0) dan j = (0,1) disebutsebagai vektor basis (baku). Vektor u dapatdituliskan sebagai
u = (u1,u2) = u1i + u2j.
Di R3: vektor i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) merupakan vektor basis (baku).
u = (u1,u2,u3) = u1i + u2j + u3k.
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Besar atau Panjang Vektor
Di R2:
Di R3:
Catatan. Vektor yang panjangnya sama dengan 1 disebut vektor satuan.
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 19
.2
3
2
2
2
1 uuuu
.2
2
2
1 uuu
Teorema (Sifat Aljabar Vektor)
1. u + v = v + u
2. (u + v) + w = u + (v + w)
3. u + 0 = 0 + u = u
4. u + (-u) = 0
9.
5. a(bu) = (ab)u
6. a(u + v) = au + av
7. (a + b)u = au + bu
8. 1u = u
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 20
.uaua
Hasilkali Titik
Di R2:
Di R3:
Catatan:
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 21
.: 2211 vuvuvu
.: 332211 vuvuvuvu
.2
uuu
Sifat Hasilkali Titik
1.
2.
3.
4.
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 22
uvvu
wuvuwvu )(
vucvuc )()(
00 v
Teorema
Jika θ adalah sudut tak negatif antara duavector tak nol u dan v, maka
Definisi: Dua vektor u dan v tegak lurus jika danhanya jika
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 23
.cosvuvu
.0vu
Hasilkali Silang di R3
Definisi: Hasil kali silang antara u dan v adalah
u x v := (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1)
Dapat diperiksa bahwa u x v = –(v x u).
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 24
.
321
321
vvv
uuu
kji
Sifat Hasilkali Silang
1.
yakni u x v tegak lurus pada u dan v.
2. u, v, dan u x v membentuk tripel tangankanan.
3.
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 25
).(0)( vuvvuu
.sinvuvu
Sifat Hasilkali Silang
1.
2.
3.
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 26
.)( wuvuwvu
).()()( vkuvukvuk
).()( wvuwvu
Soal
Buktikan bahwa: i x j = k, j x k = i, k x i = j.
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 27
Top Related