LOGARITMA
Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat.Misalnya : 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4.
Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:
24 = 16 ⇔2log 16 = 4
A. Pengertian LogaritmaOperasi logaritma merupakan kebalika (invers) dari perpangkatan.
Definisi : Logaritma suatu BilanganJika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1; x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0 n = hasil logaritma.
(alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")
Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.
Berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan bentuk-bentuk berikut. • 2x = 5 ⇔ x = 2log 5 (notasi ⇔ dibaca jika dan hanya jika) • 3y = 8 ⇔ y = 3log 8 • 5z = 3 ⇔ z = 5log 3
Catatan:
♦ Jika logaritma dengan basis e (yaitu e ≈ 2,718…, e adalah bilangan Euler), maka elog b ditulis ln b.
♦ Bilangan pokok (basis) 10 tidak ditulis, sehingga 10log a = log a.
1 LOGARITMA
alog x = n ⇔ x = an
alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1
alog x + alog y = alog xy
Contoh soal :1) Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat.
a) 2log 9 = 2
b) 5log 1
125 = -3
c) 2log 32 = 2p
Jawab :a) 2log 9 ⇔ 9 = 32b) 5log
1125
= -3 ⇔ 1125
= 5-3c) 2log 32 = 2p ⇔ 32=22p
B. Sifat – Sifat Logaritmaa. Sifat 1
Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
Bukti:• Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri.
Jadi, a1 = a ⇔ alog a = 1• Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu.
Jadi, a0 = 1 ⇔ alog 1 = 0• Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10.
Jadi, log 10 = 1
b. Sifat 2
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
Bukti: alog x = n ⇔ an = x alog y = m ⇔ am = y alog xy = p ⇔ ap = xy
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh xy = anam
= an+m
ap = an+m ⇔ p = n+mMaka: n = alog xm = alog y dan p = alog xy, sehingga :⇔ n+m=p⇔ alog x + alog y = alog xy
2 LOGARITMA
alog x-alog y = alogxy
❑am
log xn = nm
a log x
C. Sifat 3Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:
Bukti: alog x = n ⇔ an = x alog y = m ⇔ am = y Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh: xy
= an
am
= an-m
ap = an-m, maka p = n-m
sehingga, alog x – a log y = alog xy
D. Sifat 4Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
Bukti: alog xn = alog ( x x x x x x … x x )
n faktor
= a log x + a log x +… a log x n factor
= n a log x
Jadi, alog xn = n alog x
E. Sifat 5
Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
Bukti: alog x = p ⇔ ap = x
❑am
log xn = q ⇔ = xnDari bentuk pangkat di atas diperoleh:xn = am.q ⇔ (ap)n = amq⇔ anp = amq⇔ np = mq⇔ q =
nm
p
Jadi , ❑am
log xn = nm
a log x
Contoh soal :
3 LOGARITMA
alog xn = n alog x
alog x = ❑p log x❑p log a
= 1
❑x log a
1) Sederhanakan bentuk logaritma berikut.a. 2log 6 + 2log 18 – 2log 27
b. 3log 9 + 3log √3 - 23 log 27
c. 8log 32 + 8log 16 – 8log 128
Jawab:
a. 2log 6 + 2log 18 – 2log 27 = 2log 6.1827
= 2log 4= 2 log 22
= 2. 2log 2= 2
b. 3log 9 + 3log √3 - 23 log 27 = 3log 32 + 3log 312 - 2. 3log 33
= 2 3log 3 +12
3log 3 – 2.3 3log 3
= 2 + 12
– 6
= 12
– 4
= - 72
c. 8log 32 + 8log 16 – 8log 128 = 8log 32.16128
= 8log 4= 23 log 22
= 23
2log 2
= 23
F. Sifat 6Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:
Bukti :alog x = n ⇔ x = anlog x = log an (sifat 4 logaritma)⇔ n = ❑p log x
❑p log x⇔ alog x = ❑p log x❑p log a
(terbukti)
Jika p = x makaalog x =
❑x log x❑x log a
4 LOGARITMA
a❑a ❑logx❑
= x
ana ❑log x❑
=xn
= 1
❑x log aG. Sifat 7
Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:
Bukti :alog x = p ⇔ ap = xxlog y = q ⇔ xq = y
Dari bentuk pangkat tersebut diperolehy= xp ⇔ y=(ap)q⇔ y=apq⇔ alog y = alog apq⇔ alog y = pq alog a⇔ alog y = pq⇔ alog y = alog x . xlog y
H. Sifat 8Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
Bukti :alog x = n ⇔ an = x
x = an ⇔ x = a❑a ❑logx❑
jadi, a❑a ❑logx❑
= x
I. Sifat 9Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:
Bukti :
n❑a ❑log x❑
=p ⇔ alog xn = p xn = ap
xn = ana ❑log x❑
jadi, ana ❑log x❑
=xn
Contoh Soal :1. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, nyatakan 12log 30 dalam a dan b.Jawab :
12log 30 = ❑3 log30❑3 log12
5 LOGARITMA
alog x · xlog y = alog y
= ❑3 log(5.6)❑3 log(4.3)
= ❑3 log 5+❑3 log 6❑3 log 4+❑3 log3
= ❑3 log5+❑3 log2+❑3 log323 log2+1
= b+ 1a+1
2( 1a )+1
= ab+1+aa
2+aa = ab+1+a
2+a
J. Fungsi LogaritmaDefinisi : Fungsi Logaritma
Grafik fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu untuk 0<a<1 dan untuk a > 1.
1. y alog x, untuk 0 < a < 1
Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f(x) = ❑12 log x.
Perhatikan tabel berikut :
x 0 …18
14
12
1 2 4 8 … ∞
6 LOGARITMA
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a ( a>0dan a ≠ 1 ) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
y = f ( x )=❑a log x
fungsi logaritma y = f ( x )=❑a log x merupakan fungsi invers
dari fungsi eksponen y = f ( x )=ax
y ∞ 3 2 1 0 −1 −2 −3 −∞
Berdasarkan gambar 3-1, beberapa sifat fungsi logaritma y = f(x) = ❑12 log x
dapat disebutkan sebagai berikut :
1. Jika nilai x bertambah besar maka nilai y = f(x) = ❑12 log x semakin kecil
dengan pengurangan yang semakin melambat.
2. Fungsi logaritma y = f(x) = ❑12 log x adalah fungsi monoto turun, sebab grafik fungsi
ini turun dari kiri – atas ke kanan-bawah.
Meskipun sifat – sifat ini dipelajari pada grafik y = f(x) = ❑12 log x, tetapi sifat – sifat ini
berlaku umum bagi semua fungsi logaritma y = f(x) = ❑12 log x dengan basis 0 < a < 1.
2. y alog x, untuk a > 1
Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f(x) = ❑2 log x. Perhatikan tabel berikut :
7 LOGARITMA
y = f(x) = ❑12 log x
Gambar 3-1
x 0 …18
14
12
1 2 4 8 … ∞
y -∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 ∞
Berdasarkan gambar 3-2, kita dapat mempelajari perilaku dan sifat – sifat fungsi logaritma y = f(x) = ❑2 log x sebagai berikut:
a. jika nilai x bertambah besar maka nilai y = f(x) = ❑2 log x juga menjadi besar,
tetapi pertambahan nilai y leih lambat dibandingkan dengan pertambahan nilai x.
b. fungsi logaritma y = f(x) = ❑2 log xadalah fungsi monoton naik, sebab
grafik ini naik dari kiri-bawah ke kanan-atas.
Meskipun sifat – sifat ini dipelajari pada grafik y = f(x) = ❑2 log x, tetapi sifat – sifat ini
berlaku umum bagi semua fungsi logaritma y = f(x) = ❑2 log x dengan basis a > 1.
3. Hubungan antara grafik y = f(x) = ❑a log xdan grafik fungsi y = f(x) =
❑1a log x
Grafik fungsi logaritma y = f(x)
= ❑2 log xdan grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑12 log x masing – masing telah
digambarkan pada Gambar 3-1 dan Gambar 3-2. Jika grafik kedua fungsi itu digambarkan pada sebuah budang Cartesius maka diperoleh grafik seperti pada Gambar 3-3.
Berdasarkan Gambar 3-3, tampak bahwa terdapat hubungan antara grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑a log xdan grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑1a log x . Hubungan
itu dapat diungkapkan sebagai berikut :
8 LOGARITMA
y = f(x) = ❑2 log x
Gambar 3-2
y = f(x) = ❑12 log x
y = f(x) = ❑2 log x
Gambar 3-3
Grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑a log xdan grafik
fungsi logaritma y = f(x) = ❑1a log x adalah simetri terhadap sumbu
x.
Ini berarti grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑a log x
didapat dari grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑1a log x dengan cara
4. Hubungan Antara Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma
Gambar 3-4(a) adalah grafik fungsi eksponen y=f ( x )=2x dan grafik fungsi logaritma
y=g ( x )=❑2log x sedangkan Gambar 3-4(b) adalah grafik eksponen y=f ( x )=( 12 )
x
dan
fungsi logaritma y=g ( x )=❑12 log x .
9 LOGARITMA
Gambar 3-4
(a) (b)
Berdasarkan fakta pada gambar 3-4, kita dapat menentukan hubungan antara grafik fungsi eksponen y=f ( x )=ax dengan grafik fungsi logaritma y=g ( x )=❑a log x . secara umum, hubungan itu dapat diungkapkan sebagai berikut.
K. Persamaan LogaritmaDefinisi : Persamaan Logaritma
a. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog pUntuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog p, dimana a> 0, a ≠ 1, dan f(x), p > 0 dapat menggunakan sifat berikut :
b. Persamaan Logaritma berbentuk alog f(x) = blog f(x)Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a ≠ b dapat menggunakan sifat berikut :
Contoh soal :Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.2log (x2 – x + 1 ) = 5log (x2 – x +1)Jawab :2log (x2 – x + 1 ) = 5log (x2 – x +1)
x2 – x + 1= 1
x2 – x= 0
x( x – 1 ) = 0
x = 0 atau x = 1
jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah {0,1}
10 LOGARITMA
alog f(x) = alog p <==> f(x) = p asalkan f(x) > 0
Persamaan Logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga
alog f(x) = blog f(x) <==> f(x) =1
Grafik fungsi eksponen y=f ( x )=ax dan grafik fungsi logaritma
y=g ( x )=❑a log xsimetri terhadap garis y = x.
Ini berarti grafik fungsi eksponen y=f ( x )=ax dapat diperoleh dari
grafik fungsi logaritma y=g ( x )=❑a log x dengan cara mencerminkan terhadap garis y = x, dan sebaliknya.
Dengan demikian, fungsi eksponen y=f ( x )=ax adalah fungsi invers
dari fungsi logaritma y=g ( x )=❑a log x , dan sebaliknya.
alog f(x) = alog g(x)<==> f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
c. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog g(x)Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog g(x), dimana a> 0, a ≠ 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat menggunakan sifat berikut :
d. Persamaan Logaritma yang Dapat Dinyatakan dengan Persamaan KuadratPersamaan logaritma dengan bentuk umum sebagai berikut, A alog2 f(x) + B alog f(x) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, dan f(x) > 0 serta A, B, C € R
Memiliki penyelesaian persamaan yang hampir sama dengan penyelesain eksponen yang dapat dinyatakan menjadi persamaan kuadrat.
e. Persamaan Logartima Berbentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)Untuk menyelesaikan persamaan h(x)log f(x) = h(x)log g(x), dimana h(x) > 0, h(x) ≠ 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat :
L. Pertidaksamaan LogaritmaDefinisi : Pertidaksamaan Logaritma
Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi – fungsi logaritma standar. Sifat – sifat ini data diungkapkan sebagai berikut :
Sifat fungsi logaritma monoton naik (a> 1)
Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)
11 LOGARITMA
h(x)log f(x) = h(x)log g(x)<==> f(x) = g(x)
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokokny ajuga mengandung variabel x.
a. Jika❑a log f ( x ) ≥❑a log g ( x ) maka f (x ) ≥ g ( x ) ;dan f ( x ) dang ( x )>0
b. Jika❑a log f ( x ) ≤❑a log g ( x ) maka f (x ) ≤ g ( x ) ;dan f ( x ) dang ( x )>0
c. Jika❑a log f ( x ) ≥❑a log g ( x ) maka f (x ) ≥ g ( x ) ;dan f ( x ) dang ( x )>0
d. Jika❑a log f ( x ) ≤❑a log g ( x ) maka f (x ) ≤ g ( x ) ;dan f ( x ) dang ( x )>0
Top Related