LOGARITMA

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat.Misalnya : 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4.

Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:

24 = 16 ⇔2log 16 = 4

A. Pengertian LogaritmaOperasi logaritma merupakan kebalika (invers) dari perpangkatan.

Definisi : Logaritma suatu BilanganJika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:

dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1; x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0 n = hasil logaritma.

(alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")

Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.

Berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan bentuk-bentuk berikut. • 2x = 5 ⇔ x = 2log 5 (notasi ⇔ dibaca jika dan hanya jika) • 3y = 8 ⇔ y = 3log 8 • 5z = 3 ⇔ z = 5log 3

Catatan:

♦ Jika logaritma dengan basis e (yaitu e ≈ 2,718…, e adalah bilangan Euler), maka elog b ditulis ln b.

♦ Bilangan pokok (basis) 10 tidak ditulis, sehingga 10log a = log a.

1 LOGARITMA

alog x = n ⇔ x = an

alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1

alog x + alog y = alog xy

Contoh soal :1) Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat.

a) 2log 9 = 2

b) 5log 1

125 = -3

c) 2log 32 = 2p

Jawab :a) 2log 9 ⇔ 9 = 32b) 5log

1125

= -3 ⇔ 1125

= 5-3c) 2log 32 = 2p ⇔ 32=22p

B. Sifat – Sifat Logaritmaa. Sifat 1

Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:

Bukti:• Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

Jadi, a1 = a ⇔ alog a = 1• Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu.

Jadi, a0 = 1 ⇔ alog 1 = 0• Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10.

Jadi, log 10 = 1

b. Sifat 2

Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:

Bukti: alog x = n ⇔ an = x alog y = m ⇔ am = y alog xy = p ⇔ ap = xy

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh xy = anam

= an+m

ap = an+m ⇔ p = n+mMaka: n = alog xm = alog y dan p = alog xy, sehingga :⇔ n+m=p⇔ alog x + alog y = alog xy

2 LOGARITMA

alog x-alog y = alogxy

❑am

log xn = nm

a log x

C. Sifat 3Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:

Bukti: alog x = n ⇔ an = x alog y = m ⇔ am = y Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh: xy

= an

am

= an-m

ap = an-m, maka p = n-m

sehingga, alog x – a log y = alog xy

D. Sifat 4Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:

Bukti: alog xn = alog ( x x x x x x … x x )

n faktor

= a log x + a log x +… a log x n factor

= n a log x

Jadi, alog xn = n alog x

E. Sifat 5

Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:

Bukti: alog x = p ⇔ ap = x

❑am

log xn = q ⇔ = xnDari bentuk pangkat di atas diperoleh:xn = am.q ⇔ (ap)n = amq⇔ anp = amq⇔ np = mq⇔ q =

nm

p

Jadi , ❑am

log xn = nm

a log x

Contoh soal :

3 LOGARITMA

alog xn = n alog x

alog x = ❑p log x❑p log a

= 1

❑x log a

1) Sederhanakan bentuk logaritma berikut.a. 2log 6 + 2log 18 – 2log 27

b. 3log 9 + 3log √3 - 23 log 27

c. 8log 32 + 8log 16 – 8log 128

Jawab:

a. 2log 6 + 2log 18 – 2log 27 = 2log 6.1827

= 2log 4= 2 log 22

= 2. 2log 2= 2

b. 3log 9 + 3log √3 - 23 log 27 = 3log 32 + 3log 312 - 2. 3log 33

= 2 3log 3 +12

3log 3 – 2.3 3log 3

= 2 + 12

– 6

= 12

– 4

= - 72

c. 8log 32 + 8log 16 – 8log 128 = 8log 32.16128

= 8log 4= 23 log 22

= 23

2log 2

= 23

F. Sifat 6Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:

Bukti :alog x = n ⇔ x = anlog x = log an (sifat 4 logaritma)⇔ n = ❑p log x

❑p log x⇔ alog x = ❑p log x❑p log a

(terbukti)

Jika p = x makaalog x =

❑x log x❑x log a

4 LOGARITMA

a❑a ❑logx❑

= x

ana ❑log x❑

=xn

= 1

❑x log aG. Sifat 7

Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:

Bukti :alog x = p ⇔ ap = xxlog y = q ⇔ xq = y

Dari bentuk pangkat tersebut diperolehy= xp ⇔ y=(ap)q⇔ y=apq⇔ alog y = alog apq⇔ alog y = pq alog a⇔ alog y = pq⇔ alog y = alog x . xlog y

H. Sifat 8Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

Bukti :alog x = n ⇔ an = x

x = an ⇔ x = a❑a ❑logx❑

jadi, a❑a ❑logx❑

= x

I. Sifat 9Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:

Bukti :

n❑a ❑log x❑

=p ⇔ alog xn = p xn = ap

xn = ana ❑log x❑

jadi, ana ❑log x❑

=xn

Contoh Soal :1. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, nyatakan 12log 30 dalam a dan b.Jawab :

12log 30 = ❑3 log30❑3 log12

5 LOGARITMA

alog x · xlog y = alog y

= ❑3 log(5.6)❑3 log(4.3)

= ❑3 log 5+❑3 log 6❑3 log 4+❑3 log3

= ❑3 log5+❑3 log2+❑3 log323 log2+1

= b+ 1a+1

2( 1a )+1

= ab+1+aa

2+aa = ab+1+a

2+a

J. Fungsi LogaritmaDefinisi : Fungsi Logaritma

Grafik fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu untuk 0<a<1 dan untuk a > 1.

1. y alog x, untuk 0 < a < 1

Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f(x) = ❑12 log x.

Perhatikan tabel berikut :

x 0 …18

14

12

1 2 4 8 … ∞

6 LOGARITMA

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a ( a>0dan a ≠ 1 ) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

y = f ( x )=❑a log x

fungsi logaritma y = f ( x )=❑a log x merupakan fungsi invers

dari fungsi eksponen y = f ( x )=ax

y ∞ 3 2 1 0 −1 −2 −3 −∞

Berdasarkan gambar 3-1, beberapa sifat fungsi logaritma y = f(x) = ❑12 log x

dapat disebutkan sebagai berikut :

1. Jika nilai x bertambah besar maka nilai y = f(x) = ❑12 log x semakin kecil

dengan pengurangan yang semakin melambat.

2. Fungsi logaritma y = f(x) = ❑12 log x adalah fungsi monoto turun, sebab grafik fungsi

ini turun dari kiri – atas ke kanan-bawah.

Meskipun sifat – sifat ini dipelajari pada grafik y = f(x) = ❑12 log x, tetapi sifat – sifat ini

berlaku umum bagi semua fungsi logaritma y = f(x) = ❑12 log x dengan basis 0 < a < 1.

2. y alog x, untuk a > 1

Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f(x) = ❑2 log x. Perhatikan tabel berikut :

7 LOGARITMA

y = f(x) = ❑12 log x

Gambar 3-1

x 0 …18

14

12

1 2 4 8 … ∞

y -∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 ∞

Berdasarkan gambar 3-2, kita dapat mempelajari perilaku dan sifat – sifat fungsi logaritma y = f(x) = ❑2 log x sebagai berikut:

a. jika nilai x bertambah besar maka nilai y = f(x) = ❑2 log x juga menjadi besar,

tetapi pertambahan nilai y leih lambat dibandingkan dengan pertambahan nilai x.

b. fungsi logaritma y = f(x) = ❑2 log xadalah fungsi monoton naik, sebab

grafik ini naik dari kiri-bawah ke kanan-atas.

Meskipun sifat – sifat ini dipelajari pada grafik y = f(x) = ❑2 log x, tetapi sifat – sifat ini

berlaku umum bagi semua fungsi logaritma y = f(x) = ❑2 log x dengan basis a > 1.

3. Hubungan antara grafik y = f(x) = ❑a log xdan grafik fungsi y = f(x) =

❑1a log x

Grafik fungsi logaritma y = f(x)

= ❑2 log xdan grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑12 log x masing – masing telah

digambarkan pada Gambar 3-1 dan Gambar 3-2. Jika grafik kedua fungsi itu digambarkan pada sebuah budang Cartesius maka diperoleh grafik seperti pada Gambar 3-3.

Berdasarkan Gambar 3-3, tampak bahwa terdapat hubungan antara grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑a log xdan grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑1a log x . Hubungan

itu dapat diungkapkan sebagai berikut :

8 LOGARITMA

y = f(x) = ❑2 log x

Gambar 3-2

y = f(x) = ❑12 log x

y = f(x) = ❑2 log x

Gambar 3-3

Grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑a log xdan grafik

fungsi logaritma y = f(x) = ❑1a log x adalah simetri terhadap sumbu

x.

Ini berarti grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑a log x

didapat dari grafik fungsi logaritma y = f(x) = ❑1a log x dengan cara

4. Hubungan Antara Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma

Gambar 3-4(a) adalah grafik fungsi eksponen y=f ( x )=2x dan grafik fungsi logaritma

y=g ( x )=❑2log x sedangkan Gambar 3-4(b) adalah grafik eksponen y=f ( x )=( 12 )

x

dan

fungsi logaritma y=g ( x )=❑12 log x .

9 LOGARITMA

Gambar 3-4

(a) (b)

Berdasarkan fakta pada gambar 3-4, kita dapat menentukan hubungan antara grafik fungsi eksponen y=f ( x )=ax dengan grafik fungsi logaritma y=g ( x )=❑a log x . secara umum, hubungan itu dapat diungkapkan sebagai berikut.

K. Persamaan LogaritmaDefinisi : Persamaan Logaritma

a. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog pUntuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog p, dimana a> 0, a ≠ 1, dan f(x), p > 0 dapat menggunakan sifat berikut :

b. Persamaan Logaritma berbentuk alog f(x) = blog f(x)Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a ≠ b dapat menggunakan sifat berikut :

Contoh soal :Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.2log (x2 – x + 1 ) = 5log (x2 – x +1)Jawab :2log (x2 – x + 1 ) = 5log (x2 – x +1)

x2 – x + 1= 1

x2 – x= 0

x( x – 1 ) = 0

x = 0 atau x = 1

jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah {0,1}

10 LOGARITMA

alog f(x) = alog p <==> f(x) = p asalkan f(x) > 0

Persamaan Logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga

alog f(x) = blog f(x) <==> f(x) =1

Grafik fungsi eksponen y=f ( x )=ax dan grafik fungsi logaritma

y=g ( x )=❑a log xsimetri terhadap garis y = x.

Ini berarti grafik fungsi eksponen y=f ( x )=ax dapat diperoleh dari

grafik fungsi logaritma y=g ( x )=❑a log x dengan cara mencerminkan terhadap garis y = x, dan sebaliknya.

Dengan demikian, fungsi eksponen y=f ( x )=ax adalah fungsi invers

dari fungsi logaritma y=g ( x )=❑a log x , dan sebaliknya.

alog f(x) = alog g(x)<==> f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif

c. Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog g(x)Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog g(x), dimana a> 0, a ≠ 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat menggunakan sifat berikut :

d. Persamaan Logaritma yang Dapat Dinyatakan dengan Persamaan KuadratPersamaan logaritma dengan bentuk umum sebagai berikut, A alog2 f(x) + B alog f(x) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, dan f(x) > 0 serta A, B, C € R

Memiliki penyelesaian persamaan yang hampir sama dengan penyelesain eksponen yang dapat dinyatakan menjadi persamaan kuadrat.

e. Persamaan Logartima Berbentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)Untuk menyelesaikan persamaan h(x)log f(x) = h(x)log g(x), dimana h(x) > 0, h(x) ≠ 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat :

L. Pertidaksamaan LogaritmaDefinisi : Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi – fungsi logaritma standar. Sifat – sifat ini data diungkapkan sebagai berikut :

Sifat fungsi logaritma monoton naik (a> 1)

Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)

11 LOGARITMA

h(x)log f(x) = h(x)log g(x)<==> f(x) = g(x)

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokokny ajuga mengandung variabel x.

a. Jika❑a log f ( x ) ≥❑a log g ( x ) maka f (x ) ≥ g ( x ) ;dan f ( x ) dang ( x )>0

b. Jika❑a log f ( x ) ≤❑a log g ( x ) maka f (x ) ≤ g ( x ) ;dan f ( x ) dang ( x )>0

c. Jika❑a log f ( x ) ≥❑a log g ( x ) maka f (x ) ≥ g ( x ) ;dan f ( x ) dang ( x )>0

d. Jika❑a log f ( x ) ≤❑a log g ( x ) maka f (x ) ≤ g ( x ) ;dan f ( x ) dang ( x )>0