Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 1
A. PENGERTIAN DERAJAD DAN RADIAN
A.1. PENGERTIAN DERAJAD Apabila kita menggerakkan sebuah benda yang melintasi sebuah lingkaran dari posisi awal pada titik A kembali lagi ke titik A maka dikatakan benda tersebut menyapu sudut sebesar 360o atau dengan kata lain : atau Ukuran sudut yang lebih kecil lagi dari derajad adalah menit dilambangkan ( ‘ )dan detik dilambangkan ( “ ) dimana :
Materi Pokok
TRIGONOMETRI
Kompetensi Dasar 1 : • Menggunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri ,rumus
sinus dan cosinus dalam pemecahan masalah
Indikator : • Menjelaskan arti derajad dan radian • Mengubah ukuran sudut dari derajad ke radian dan sebaliknya • Menentukan sinus ,kosinus dan tangen suatu sudut dengan perbandingan
trigonometri segitiga siku-siku • Menentukan sinus ,kosinus dan tangen dari sudut khusus • Menentukan sinus ,kosinus dan tangen dari sudut disemua kuadran • Menentukan besarnya suatu sudut yang nilai sinus, kosinus dan
tangennya diketahui • Menggunakan kalkulator untuk menentukan nilai pendekatan fungsi
trigonometri dan besar sudutnya • Menggunakan rumus sinus, kosinus dalam penyelesaian soal • Mengkonstruksi grafik fungsi sinus dan kosinus • Menggambar grafik fungsi tangen
1 putaran = 360 o 1o = 360
1putaran
360
• 1o = 60 ‘ atau 1 ‘ = 60
1 o
• 1’ = 60 “ atau 1” = 60
1’
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 2
Contoh 1 : Nyatakan sudut 47,12o dalam bentuk derajad,menit dan detik Penyelesaian : 47,12o = 47 o + 0,12 o diuraikan dalam bentuk penjumlahan = 47 o + (0,12 x 60)’ 0,12 o diubah dalam menit = 47 o + 7,2’ perkalian = 47 o + .....’ + 0,2’ arti desimal = 47 o + .....’ + (0,2 x ....)” 0,2’ diubah dalam detik = 47 o + .....’ + 12” perkalian jadi 47,12o = 47 o.....’12” Contoh 2 :
Nyatakan sudut 3
1( 47,12o ) dalam bentuk derajad,menit dan detik
Penyelesaian :
3
1( 47,12o ) =
3
1( 47 o + 0,12 o ) diuraikan dalam bentuk penjumlahan
= 3
1x ...... o +
3
1x ...... o sifat distributif
= 3
1(45 o +2 o ) +
3
1x 0,12 o penguraian 47 o
= 3
1x ...... o +
3
1x 2 o +
3
1x 0,12 o sifat distributif
= 15 o +3
1x 2 x 60 ‘ +
3
1x 0,12x 60’ pengubahan derajad ke menit
= ..... o + ............... ‘ + 2,4’ perkalian = ..... o + 40 ‘ + 2’ + 0,4’ arti desimal = ......o + .... ‘ + 2’ + 0,4 x 60” pengubahan menit ke detik = 15 o + 40 ‘ + 2’ + ............” perkalian = 15 o + ....... ‘ + 24” penjumlahan = 15 o ..... ‘ 24” arti penjumlahan
Jadi 3
1( 47,12o ) = 15 o ...... ‘ 24”
1. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk derajad,menit dan detik
a. 35,5o d. 103,45o b. 56,3o e. 204,23o c. 79,14o f. 306,51o
2. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk derajad,menit dan detik
a. 2
1( 46o 26’ ) d.
5
1( 103,45o )
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
1 LATIHAN SOAL PENGERTIAN DERAJAD
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 3
b. 3
1( 64 o 12’ ) e.
6
1( 79,14o )
c. 4
1( 95o 35’ ) f.
3
1( 306,51o )
3. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk desimal
a. 2
1( 36o 24’ ) d.
5
1( 134,40o )
b. 3
1( 57 o 14’ ) e.
6
1( 189,15o )
c. 4
1( 35o 45’ ) f.
3
1( 323,54o )
A.2. PENGERTIAN RADIAN Untuk memahami ukuran sudut dalam radian perhatikan gambar berikut A Perbandingan antara panjang busur AB dengan jar-jari B lingkaran OA dinamakan ukuran sudut dalam radian.
Dapat ditulis : jarijari
ABbusurpanjang
−)(
. Jika panjang busur
AB = jari-jari lingkaran , maka jarijari
ABbusurpanjang
−)(
=1
Dalam hal seperti itu dikatakan bahwa sudut AOB = 1 radian. Dengan demikian dapat didefinsikan bahwa :
A.3. MENGUBAH UKURAN SUDUT DARI DERAJAD KE RADIAN DAN
SEBALIKNYA Untuk mengubah ukuran sudut derajad ke radian , perhatikan gambar berikut :
A jarijari
ABbusurpanjang
−)(
= r
r.π= π radian ........ persamaan (1)
Sudut AOB = 180o ......... persamaan (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan :
B
O
Besar sudut 1 radian adalah sudut yang disapu oleh busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkarannya
●O
180o = π radian atau
1o = 180
1π radian
atau
1 radian = π1
.180o
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 4
Bila kita menggunakan nilai pendekatan π = 3,14159, maka : Contoh 1 : Nyatakan ukuran sudut berikut dalam bentuk radian : a. 135o b. 35o 24’ 45” Penyelesaian :
a. 135o = 135 x180
1π radian pengubahan derajad ke radian
= ......
3 π radian perkalian
b. 35o 24’ 45” = 35o + .....’ + 45” diuraikan ke penjumlahan = 35o + ..... x 60” + 45” pengubahan menit ke detik
= 35o + o
x
+3600
456024 pengubahan detik ke derajad
= 35o + 0,........o perkalian & pembagian = 35,........o penjumlahan = 35,4125o x 0,017 radian pengubahan derajad ke radian = 0,....... radian perkalian Contoh 2 : Nyatakan ukuran sudut berikut dalam bentuk derajad :
a. 3
1 π radian b.
6
1 radian
Penyelesaian :
a. 3
1 π radian =
3
1x 180o pengubahan radian ke derajad
= ........o perkalian
b. 6
1 radian =
6
1x 57,296o pengubahan radian ke derajad
= .........o perkalian 1. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk radian :
a. 90o d. 24,45o g. 55o 22’ 40” b. 120o e. 126,23o h. 143o 56’ 21” c. 300o f. 345,25o i. 235o 34’ 25”
1o = 180
1. 3,14159radian = 0,...... radian
atau
1 radian = 3,14159
1.180o = 57,......o
2 LATIHAN SOAL
PENGERTIAN RADIAN
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 5
2. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk derajad :
a. 4
1 π radian d. 1
3
1 π radian g.
12
7 radian
b. 6
1 π radian e. 2
6
1π radian h.
4
5 radian
c. 4
3 π radian f. 3
4
3 π radian i. 1
6
7 radian
B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
B.1. MENENTUKAN SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN SUATU SUDUT
DENGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SEGITIGA SIKU-SIKU
C Gambar disamping adalah segitiga siku- siku ABC .
b a a adalah panjang sisi di depan sudut A b adalah panjang sisi di depan sudut B A B c adalah panjang sisi di depan sudut C c Jika dilihat dari sudut A, maka : Jika dilihat dari sudut C, maka : Sisi a disebut sisi di depan sudut A Sisi c disebut sisi di depan sudut C Sisi c disebut sisi di dekat sudut A Sisi a disebut sisi di dekat sudut A Sisi b disebut sisi miring ( hipotenusa ) Sisi b disebut sisi miring(hipotenusa) Dari pengertian tersebut, maka perbandingan trigonometri untuk sudut A adalah : Contoh 1 : B Gambar disamping adalah segitiga siku-siku ABC dengan A = 3 , b = 4 dan c = 5. Tentukan nilai perbandingan 3 5 trigonometri untuk sudut A C 4 A
• sin A = miring sisi
Asudut depan di sisi =
b
a
• cos A = miring sisi
Asudut dekat di sisi =
b
c
• tan A = Asudut dekat di sisi
Asudut depan di sisi =
c
a
• cosec A = Asin
1 =
a
b
• sec A = A cos
1 =
c
b
• cotan A = Atan
1 =
a
c
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 6
Penyelesaian :
sin A = miring sisi
Asudut depan di sisi =
.....
3 cosec A =
Asin
1 =
3
.....
cos A = miring sisi
Asudut dekat di sisi =
5
..... sec A =
A cos
1 =
.....
.....
tan A = Asudut dekat di sisi
Asudut depan di sisi =
.....
..... cotan A=
Atan
1 =
.....
.....
Contoh 2 : A Gambar disamping adalah segitiga ABC siku-siku di B dengan a = 2 dan b = 4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A. B Penyelesaian : 4 Panjang sisi c harus kita hitung terlebih dahulu dengan menggunakan 2 Teorema Phytagoras : C
c = 22 ab −
= 22 ....4 − substitusi nilai a dan b
= ..........− perpangkatan
= ..... pengurangan
= 2 ..... disederhanakan Dengan demikian perbandingan trigonometri untuk sudut A adalah :
sin A = miring sisi
Asudut depan di sisi =
.....
2 =
.....
1 disederhanakan
cos A = miring sisi
Asudut dekat di sisi =
.....
32= ....
2
1 disederhanakan
tan A = Asudut dekat di sisi
Asudut depan di sisi =
....2
.......=
32
2x
....
.... penyebut dirasionalkan
= ....
....2 perkalian
= .....3
1 disederhanakan
cosec A = Asin
1 =
1
.....= .... pembagian
sec A = A cos
1 =
32
..... =
3
..... pembagian
= 3
2x
....
.... penyebut dirasionalkan
= ......
.....2 perkalian
cotan A= Atan
1 =
.....
....2= ...... pembagian
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 7
1. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri sudut A dan B pada gambar berikut :
a. c. A A B 4 5 5 12 3 B
3 b. 8 A d. A
3 10 6 2 B B 2. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri sudut A pada segitiga siku-siku ABC berikut :
a. a = 8, b = 15 c. a = 25 , c = 2 e. b = 12, c = 13 b. a = 12, b = 15 d. a = 7 , c = 24 f. b = 15, c = 17
3. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri yang lain dari sudut B ( sudut B lancip) jika diketahui :
a. sin B = 25
7 c. tan B =
3
4 e. sec B =
4
5
b. cos B = 2
3 d. cosec B =
6
10 f. cotan B =
9
12
C. MENENTUKAN SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DARI SUDUT
KHUSUS Nilai perbandingan trigonometri sudut khusus yaitu 0o, 30o, 45o, 60o dan 90o .
SUDUT ISTIMEWA PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 0o 30o 45o 60o 90o
Sin 0
2
1 2
2
1 3
2
1
1
Cos 1 3
2
1 2
2
1
2
1
0
Tan 0 3
3
1
1 3 tak terdefinisi
3 LATIHAN SOAL
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 8
Cosec tak terdefinisi
2 2 33
2
1
Sec 1 3
3
2 2 2 tak
terdefinisi
Cotan tak terdefinisi
3 1 3
3
1
0
Contoh 1 : Tentukan nilai dari sin 60o + sec 30o Penyelesaian :
sin 60o + sec 30o = ....2
1 + ....
3
2 sudut istimewa
= (2
1 +
3
2) .... sifat distributif
= ....6
7 penjumlahan
Contoh 2 : Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan sudut A = 30o dan panjang sisi b = 30 cm , hitunglah : a. Besar sudut C b. panjang sisi a c. panjang sisi c Penyelesaian : C a b= 30 B c A a. Besar sudut C = 180o – ( .... + 30 )o = ....o ingat jumlah sudut ∆ = 180o
b. Sin A = b
a arti sinus
sin 30o = ....
a substitusi nilai A dan b
a = .... x sin 30o kedua ruas dikalikan 30
a = .... x ....
1 substitusi nilai sin 30o
a = .... perkalian jadi panjang sisi a = ....cm
c. cos A = b
c arti kosinus
cos 30o = ....
c substitusi nilai A dan b
c = .... x cos 30o kedua ruas dikalikan 30
30o
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 9
c = .... x ....2
1 substitusi nilai cos 30o
c = 15 .... perkalian
jadi panjang sisi c = 15....cm 1. Hitunglah nilai dari :
a. sin 30o + cos 30o f. cos 60o.sin 30o – tan 45o b. cos 45o – tan 45o g. Tan 45o. Sec 30o + cos 60o c. tan 60o + cosec 60o h. Cosec 30o. Tan 60o – sin 30o d. sec 30o – cotan 45o i. Sin 45o. Cos 30o. Tan 60o e. sin 45o + cos 30o – tan 60o j. 1 – cotan 30o.cosec 60o
2. Hitunglah nilai dari : a. Sin2 60o + cos2 30o e. cos 2 60o.sin2 30o – tan 45o
b. ( cos 45o – tan 45o )2. sin 30o f. o
o
60tan1
30sin
−
c. o
o
30sin4
30cos322
2− -
o
o
ec 60cos1
30sec2
2
− g.
o
o
30sin
45cos2
+ o
o
60sec
30tan12
−
d. ( 1 + cos2 60o )( 1 – tan2 30o ) h. ( 1 – sin2 30o )2 3. Hitunglah nilai dari :
a. sin 2
1π + cos
2
3 π d. cos
2
1π.sin
2
3 – tan
4
1 π
b. cos 3
2π – tan
4
1π e. tan
2
1π. Sec
4
1π + cos
3
2π
c. sin 2
1π + cos
4
1π – tan
2
3π f. 1 – cotan
3
2π.cosec
2
1π
4. A c b Hitunglah unsur yang belum diketahui pada gambar segitiga disamping, jika diketahui : B a C a
a. sisi b = 13, sisi c = 12 e. sisi a = 8 , sisi c = 4 b. sisi b = 10 , sisi c = 4 f. sisi a = 4 , sisi c = 3 c. sisi b = 8 , sudut C = 20o g. sisi a = 10 , sudut A = 70o d. sisi a = 15 , sudut C = 63o h. sisi b = 8,2 , sudut A = 50o15’
D. MENENTUKAN TANDA SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DARI SUD UT
DI SEMUA KUADRAN
4 LATIHAN SOAL
MENENTUKAN SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DARI SUDUT
KHUSUS
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 10
y
II I x III IV Pada gambar diatas adalah sebuah sumbu koordinat Cartesius yang membagi daerah menjadi empat bagian. Untuk selanjutnya ke empat daerah tersebut dinamakan kuadran . - kuadran I : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x positif dan sumbu y positif - kuadran II : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x negatif dan sumbu y positif - kuadran III : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x negatif dan sumbu y negatif - kuadran IV : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x positif dan sumbu y negatif ► Pengertian posisi sudut di kuadran adalah sebagai berikut : - sudut α di kuadran I : yaitu sudut yang besarnya 0o < α < 90o - sudut α di kuadran II : yaitu sudut yang besarnya 90o < α < 180o - sudut α di kuadran III : yaitu sudut yang besarnya 180o < α < 270o - sudut α di kuadran IV : yaitu sudut yang besarnya 270o < α < 360o Dari uraian diatas dapat dirangkum dalam tabel :
Tanda di Kuadran Perbandingan Trigonometri I II III IV
sin + + - - cos + - - + tan + - + -
cosec + + - - sec + - - +
cotan + - + - Atau dapat juga dibuat : II I + sin/cosec + semua + tan/cotan + cos/sec III IV Contoh 1 : Terletak di kuadran manakah sudut berikut : a. 34o b. 267o Penyelesaian : a. karena 0o < 34o < 90o maka sudut 34o terletak dikuadran ..... b. karena 180o < 267o < 270o maka sudut 34o terletak dikuadran ...... Contoh 2 : Tentukan tanda dari perbandingan trigonometri berikut : a. sin 123o b. tan 342o Penyelesaian : a. karena sudut 123o terletak di kuadran II dan sinus di kuadran II positif maka sin 123o bertanda
....... b. karena sudut 342o terletak di kuadran IV dan tangen di kuadran IV negatif maka tan 342o
bertanda ..........
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 11
1. Perbandingan trigonometri berikut ini manakah yang bertanda positif dan mana yang negatif.
a. sin 23o e. cotan 67o b. cos 134o f. sin 226o c. tan 225o g. cos 290o d. cosec 335o h. sec 351o.
2. Terletak dikuadran manakah sudut berikut : a. 78o e. 346o b. 123o f. – 45o c. 224o g. – 134o d. 298o h. 678o
3. Jika diketahui sin A = - 5
3 dan cos A positif. Tentukan :
a. tan A d. sec A b. cosec A e. cotan A c. cos A f. (cos A + tan A)2 d. sin A – sec A g. (1 – sec2 A)2
4. Diketahui cos A = 3
2− , sin B = 2
1− , jika tan A negatif dan tan B positif, tentukan :
a. sin A e. sec A b. cos B f. cotan B c. tan A g. sin A + cos B – tan A d. cosec B h. (cosec B – sec A)2
E. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI
Perbandingan Trigonometri Sudut
Berelasi sin cos tan Cosec sec cotan (90- α)o Cos α Sin α Cotan α Sin α Cos α Tan α (90+α)o Cos α - sin α - cotan α Sin α - cos α - tan α (180-α)o Sin α - cos α - tan α Cosec α - sec α - Cotan α (180+α)o - Cos α - sin α cotan α - Sin α - cos α tan α (270-α)o - sin α - cos α Tan α - cosec α - sec α Cotan α (270+α)o - Cos α sin α - cotan α - Sin α cos α - tan α (360-α)o - sin α Cos α - tan α - cosec α Sec α - cotan α
(- α)o - sin α Cos α - tan α - cosec α Sec α - cotan α (n.360+ α)o Sin α Cos α Tan α Cosec α Sec α Cotan α
5 LATIHAN SOAL
MENENTUKAN TANDA SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DIBERBAGAI KUADRAN
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 12
Contoh 1 : Nyatakan perbandingan trigonometri sin 220o dalam sudut lancip Penyelesaian : sin 220o = sin ( 270 – 50 )o = - sin 50o
Contoh 2 : Nyatakan perbandingan trigonometri sin ( - 220o ) dalam sudut positif lancip Penyelesaian : sin ( - 220o ) = - sin 220o = - sin ( 270 – 50 )o = - (- sin 50o ) = sin 50o 1. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut lancip
a. sin 112o d. cosec 35o g. sin 412o b. cos 254o e. sec 246o h. cos 567o c. tan 289o f. cotan 312o i. Tan 645o
2. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut positif lancip a. sin (-34)o d. cosec (-55)o g. sin (-387)o b. cos (-124)o e. sec (-296)o h. cos (-432)o c. tan (-239)o f. cotan (-323)o i. Tan (-896)o
3. Lengkapilah tabel berikut : Sudut Perbandingan
Trigonometri 120o 150o 210o 240o 300o 330o Sin Cos Tan
Cosec Sec
Cotan 4. Lengkapilah tabel berikut :
Sudut Perbandingan Trigonometri (-30)o (-60)o (-90)o (-120)o (-150)o (-180)o
Sin Cos Tan
Cosec Sec
Cotan 5. Lengkapilah tabel berikut :
Sudut Perbandingan Trigonometri 135o 225o 315o 405o 450o 495o
Sin Cos
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
6 LATIHAN SOAL
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT
BERELASI
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 13
Tan Cosec Sec
Cotan 6. Lengkapilah tabel berikut :
Sudut Perbandingan Trigonometri (-150)o (-330)o (-675)o (-810)o (-1350)o (-1440)o
Sin Cos Tan
Cosec Sec
Cotan
F. IDENTITAS TRIGONOMETRI
E.1 IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR ► IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR HUBUNGAN KEBALIKAN
► IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR HUBUNGAN PERBANDINGAN y r P(x,y) α 0 A x
• Sin α = αeccos
1 ● Cosec α =
αsin
1
• Cos α = αsec
1 ● Sec α =
αcos
1
• Tan α = αancot
1 ● Cotan α =
αtan
1
•
Ini adalah identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan kebalikan
Tan α = ....
sinα
Cotan α = ....
cosα
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 14
Pada segitiga OAP berlaku :
sin α = ....
y α
αα
tan.....
.........
....cos
sin ===r
y
cos α = r
.... α
αα
an
r
xcot
.....
.........
....sin
cos ===
tan α = ....
y
► IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR HUBUNGAN PHYTAGORAS y r P(x,y) α 0 A x Pada segitiga OAP berlaku : Pada segitiga OAP juga berlaku teorema Phytagoras :
sin α = ....
y y = r. sin α (AO)2 + (AP)2 = (OP)2
cos α = r
.... .... = r. cos α x 2 + .......2 = .........2
(r. cos α) 2 + (............)2 = .....2 (cos α) 2 + (............)2 = .....2 cos2 α + ............ = .....
Contoh 1 :
Ini adalah identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan Phytagoras
Kedua ruas dibagi dengan r
Ini adalah identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan perbandingan
Jika persamaan itu dibagi dengan cos2 α, maka diperoleh persamaan : 1 + ............. = sec2 α
Jika persamaan itu dibagi dengan sin2 α, maka diperoleh persamaan : 1 + ............. = cosec2 α
• cos2 α + ............ = ..... • 1 + ............. = sec2 α • 1 + ............. = cosec2 α
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 15
Diketahui cos α = 5
4 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari :
a. sin α d. Sec α b. tan α e. cotan α c. cosec α
Penyelesaian : a. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan Phytagoras , yaitu :
cos 2 α + sin 2 α = 1 sin α = .......
......±
(5
4)2 + sin 2 α = 1
......
...... + sin 2 α = 1
sin 2 α = 1 – ......
......
= ......
......
sin α = .....
.....± Jadi sin α = .......
......
b. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan perbandingan , yaitu :
tan α = αα
cos
sin
=
54....
....
= .......
......
c. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan kebalikan , yaitu :
cosecα = αsin
1
=
..........
1
= .......
......
d. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan kebalikan , yaitu :
secα = αcos
1
=
..........
1
= .......
......
e. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan kebalikan , yaitu :
cotanα = αtan
1
Hasil ini harus kita pilih salah satu yang ( + ) atau ( – )
Untuk memilih itu kita dapat berpedoman dengan cara melihat interval, yaitu 0o < α < 90 o. Interval ini menunjukkan bahwa sudut α terletak pada kuadran I
Karena α terletak pada kuadran I, maka harga sin α kita pilih yang positif
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 16
=
..........
1
= .......
......
1. Diketahui cos α = 2
1 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari :
a. sin α d. Sec α b. tan α e. cotan α c. cosec α
2. Diketahui cos α = 53
1 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari :
a. sin α d. Sec α b. tan α e. cotan α c. cosec α
3. Diketahui sin α = 32
1− dan 180o < α < 270 o . Hitunglah nilai dari :
a. cos α d. Sec α b. tan α e. cotan α c. cosec α
4. Diketahui sin α = 5
4 dan 90o < α < 180 o . Hitunglah nilai dari :
a. cos α d. Sec α b. tan α e. cotan α c. cosec α
5. Diketahui tan α = 3
4 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari :
a. sec α d. cosec α b. cos α e. cotan α c. sin α
6. Diketahui tan α = 12
5− dan 90o < α < 180 o . Hitunglah nilai dari :
a. sec α d. cosec α b. cos α e. cotan α c. sin α
7. Diketahui cotan α = 12
5 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari :
a. cosec α d. sec α b. sin α e. tan α c. cos α
8. Diketahui cotan α = 3− dan 180o < α < 270 o . Hitunglah nilai dari : a. cosec α d. sec α
7 LATIHAN SOAL
IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 17
b. sin α e. tan α c. cos α
9. Diketahui tan α = 3
5− dan 90o < α < 180 o . Hitunglah nilai dari :
a. sec α d. cosec α b. cos α e. cotan α
c. sin α f. ααα
αααtancossec
tancossin
−+−+
ec
10. Diketahui sin α = 13
5 , cos β =
4
3 dan 0o < α < 90 o , 270o < β < 360 o . Hitunglah nilai dari :
a. cos α h. sin α cos β + cos α sin β b. tan α i. 2sin α cos α c. sin β j. cos 2 α + sin 2 α d. tan β k. 2sin β cos β e. sin α cos β – cos α sin β l. cos 2 α – sin 2 α
f. cos α cos β + sin α sin β m. βαβα
tantan1
tantan
−+
g. cos α cos β – sin α sin β n. βαβα
tantan1
tantan
+−
E.2 IDENTITAS TRIGONOMETRI LANJUTAN Contoh 1 : Buktikan bahwa : ( sin A + cos A )2 – 2 sin A . cos A = 1 Bukti : Kita harus membuktikan ruas kiri sehingga hasilnya sama dengan ruas kanan Ruas kanan =( sin A + cos A )2 – 2 sin A . cos A
= (sin A + cos A)(....... + cos A) – 2 sin A . cos A = sin A (sin A + cos A)+cos A(....... + ........) – ........................ = sin2 A + ......... cos A + ......... sin A + cos2 A– 2 sin A . cos A = sin2 A + cos2 A + sin A cos A + cos A sin A – ........................... = (sin2 A + cos2 A) + (sin A cos A + sin A cos A) – ..................... = 1 +( 2 sin A cos A – ..........................) = 1 + 0 = ......
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
TRIKTRIKTRIKTRIK Menyelesaikan identitas trigonometri lanjutan :Menyelesaikan identitas trigonometri lanjutan :Menyelesaikan identitas trigonometri lanjutan :Menyelesaikan identitas trigonometri lanjutan :
Cara 1 : Sederhanakan salah satu bentuk ruas yang rumit sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas lain Cara 2 : Sederhanakan masing-masing bentuk ruas sehingga diperoleh bentuk yang sama antara ruas kiri dengan ruas kanan
Ruas kiri lebih rumit, maka yang diuraikan adalah ruas kiri, sehingga menghasilkan seperti ruas kanan
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 18
= ruas kanan Karena ruas kiri telah dibuktikan hasilnya sama dengan ruas kanan maka identitas trigonometri tersebut benar 1. Buktikan identitas trigonometri berikut :
a. 3sin2A + 3cos2A = 3 b. ( sin A + cos A ) ( sin A – cos A ) = 2 sin2A – 1 c. cos2A .tan A = sin A . cos A d. ( 1 – cos2A)(tan2A – 1 ) = tan2A e. (1 – tan4A) cos4A = 1- 2 sin2A
f. AAA
Asec
sincos
1tan =+
+
g. A
A
A
A
sin1
cos
cos
sin1
+=−
h. cos2A ( 1 + tan2A ) = 1
i. 1cos
)sin1)(1(sin2
=−+A
AA
j. 1cos.sin)cos
sin
sin
cos( =+ AA
A
A
A
A
F. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
F.1. GRAFIK FUNGSI y = sin xo ( 0o ≤ x ≤ 360o ) Untuk membuat grafik fungsi y = sin xo dapat dibuat tabulasi sudut berelasi yang ada hubungannya dengan sudut istimewa seperti tabel berikut :
x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
y= sin xo
0 2
1 3
2
1 1 3
2
1
2
1 0 -
2
1 - 3
2
1 -1 - 3
2
1 -
2
1 0
y 1 240o 300o 360o x 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 270o 330o
-1
8 LATIHAN SOAL
IDENTITAS TRIGONOMETRI LANJUTAN
32
1
2
1
-2
1
32
1−
Nilai maksimum = 1
Nilai minimum = - 1
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 19
F.2. GRAFIK FUNGSI y = cos xo ( 0o ≤ x ≤ 360o ) Untuk membuat grafik fungsi y = cos xo dapat dibuat tabulasi sudut berelasi yang ada hubungannya dengan sudut istimewa seperti tabel berikut :
x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
y= cos xo
... 32
1 .... 0 ....... - 3
2
1 ..... - 3
2
1 ..... 0 ..... 3
2
1 .....
y
30 60 12090 180 240 270 300 330 360150 210
-1
0
F.3. GRAFIK FUNGSI y = tan xo ( 0o ≤ x ≤ 360o ) Untuk membuat grafik fungsi y = tan xo dapat dibuat tabulasi sudut berelasi yang ada hubungannya dengan sudut istimewa seperti tabel berikut :
x 0 45 90 135 180 225 270 315 360 y= tan xo 0 ..... ~ ..... 0 ....... ~ ......... 0
45 90 180 225 270 315360
135
1
- 1
0
1 3
2
1
32
1−
2
1
2
1−
x
x
y
Nilai maksimum = 1
Nilai minimum = - 1
Nilai minimum = - ~
Nilai maksimum = + ~
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 20
1. Buatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), kemudian tentukan
pula nilai maksimum dan minimumnya :
a. y = 2 sin x e. y = 2
1sin x
b. y = 3 cos x f. y = 3
1cos x
c. y = – 2 sin x g. y = – 2
1sin x
d. y = – 3 cos x h. y = – 3
1cos x
2. Buatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), kemudian tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya :
a. y = sin x + 3 e. y = 2
1sin x – 3
b. y = cos x + 1 f. y = 3 – 3
1cos x
c. y = 1 + 2 sin x g. y = 2 – 2
1sin x
d. y = 2 – 3 cos x h. y = – 3
1cos x + 4
3. Lengkapilah tabel berikut ini , kemudian guatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), serta tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya :
a. x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
y= cossec xo
... ..... .... .... ....... ....... ..... ....... ..... ..... ..... ...... .....
b. x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
y= sec xo
... ..... .... .... ....... ....... ..... ....... ..... ..... ..... ...... .....
c. x 0 45 90 135 180 225 270 315 360 y= cotan xo ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ......... .....
4. Buatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), kemudian tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya :
a. y = sin ( x + 30 ) e. y = 2
1sin ( x – 60 )
b. y = cos ( x – 30 ) f. y = 3 – 3
1cos ( x + 60 )
c. y = 1 + 2 sin ( x + 45 ) g. y = 2 – 2
1sin ( x – 90 )
d. y = 2 – 3 cos ( x – 45 ) h. y = – 3
1cos ( x + 90 )
9 LATIHAN SOAL
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 21
G. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
G.1. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK sin xo = sin α o
Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin xo = sin 20o dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : sin xo = sin 20o x = 20 + n.360 jika n = 0 x = 20 + 0.360 = ...... atau x = ( 180 – ..... ) + n.360 jika n = 0 x = 160+ 0.360 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... }
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin ( x – π2
1) = sin π
3
1 dalam
interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :
sin( x – π2
1) = sin π
3
1
( x – π2
1) = π
3
1 + n.2 π
x = π2
1 + π
3
1 + n.2 π
x = π....
.... + n.2 π
penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sin x o = sin α o (0o ≤ x ≤ 360o )adalah :
1. x = α + n.360 atau 2. x = ( 180 – α ) + n. 360
penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sin x = sin a (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :
1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( π – a ) + n. 2π
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
α = 20
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
a = π3
1
n ,B n ,B
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 22
jika n = 0 x = π....
.... + 0.2 π
= π....
....
atau
x = (π – π....
.... ) + n.2 π
x = π....
.... + n.2 π
jika n = 0 x = ....... π + 0.2 π Jadi HP : { ...... , ....... } = ...... π
G.2. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK cos xo = cos α o
Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos xo = cos 20o dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : cos xo = cos 20o x = 20 + n.360 jika n = 0 x = 20 + 0.360 = ...... atau x = ( – ..... ) + n.360 jika n = 0 x = .......+ 0.360 = ...... n = 1 x = .......+ 1.360 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... }
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos ( x – π2
1) = cos π
3
1 dalam
interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :
Cos ( x – π2
1) = cos π
3
1
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
penyelesaian persamaan trigonometri bentuk cos x o = cos α o (0o ≤ x ≤ 360o )adalah :
1. x = α + n.360 atau 2. x = ( – α ) + n. 360
penyelesaian persamaan trigonometri bentuk cos x = cos a (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :
1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( – a ) + n. 2π
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
α = 20 Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
a = π3
1
n ,B n ,B
Untuk n = 0 ini harga x nya tidak merupakan HP karena diluar batas interval
Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 23
( x – π2
1) = π
3
1 + n.2 π
x = π2
1 + π
3
1 + n.2 π
x = π....
.... + n.2 π
jika n = 0 x = π....
.... + 0.2 π
= π....
.... atau
x = ( – π....
.... ) + n.2 π
jika n = 0 x = – π....
.... + 0.2 π
= – π....
....
n = 1 x = – π....
.... + 1.2 π Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }
= – π....
....
G.3. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK tan xo = tan α o
Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 2xo = tan 20o dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : tan 2xo = tan 20o 2x = 20 + n.360 x = .....+ n. 180 jika n = 0 x = .... + 0.180 = ...... n = 1 x = .... + 1.180 = ...... atau
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
penyelesaian persamaan trigonometri bentuk tan x o = tan α o (0o ≤ x ≤ 360o )adalah :
1. x = α + n.360 atau 2. x = (180 + α) + n. 360
penyelesaian persamaan trigonometri bentuk tan x = tan a (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :
1. x = a + n. 2π atau 2. x = (π + a ) + n. 2π
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
α = 20 Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
n ,B n ,B
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 24
2x = ( 180 + ..... ) + n.360 = .................... + n.360 x = .....................+ n.180 jika n = 0 x = ...... .+ 0.180 = ...... n = 1 x = .......+ 1.180 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... , ......, ....... }
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan ( x – π2
1) = tan π
3
1 dalam
interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :
tan ( x – π2
1) = tan π
3
1
( x – π2
1) = π
3
1 + n.2 π
x = π2
1 + π
3
1 + n.2 π
x = π....
.... + n.2 π
jika n = 0 x = π....
.... + 0.2 π
= π....
.... Atau
x = (π + π....
.... ) + n.2 π
= π....
.... + n.2 π
jika n = 0 x = π....
.... + 0.2 π
= π....
.... Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x
≤ 360o) a. sin x o = sin 65 o b. sin 2x o = sin 80 o c. sin ( x – 30 ) o = sin 40 o d. sin ( 2x – 50 ) o = sin 10 o
e. sin 2
1x o = sin 50 o
a = π3
1
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
10 LATIHAN SOAL
PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR 1
m. cos x o = cos 75 o n. cos 3x o = cos 60 o o. cos ( x – 30 ) o = cos 20 o p. cos (2x – 50) o = cos 50 o
q. cos 2
1x o = cos 40 o
r. cos (2
1x – 30 ) o = cos 10 o
g. tan x o = tan 95 o h. tan 4x o = tan 40 o i. tan ( x – 30 ) o = tan 50 o j. tan (2x – 50) o = tan 20 o
k. tan 2
1x o = tan 80 o
l. tan (2
1x – 30 ) o = tan 60 o
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 25
f. sin (2
1x – 30 ) o = sin 70 o
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0 ≤ x ≤ 2 π )
a. sin x = sin 2
1π
b. sin 2x = sin 3
1π
c. sin ( x – 2
1π ) = sin
4
1π
d. sin ( 2x – 3
1π ) = sin
3
2π
e. sin 2
1x = sin
2
3π
f. sin (2
1x –
4
1π ) o = sin
4
3π
G.4. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK sin xo = a Contoh 1 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin xo = 2
1 dalam interval (0o ≤ x
≤ 360o) Penyelesaian :
sin xo = 2
1
sin xo = sin 30o x = 30 + n.360 jika n = 0 x = ...... + 0.360 = ...... atau x = ( 180 – ..... ) + n.360 jika n = 0 x = ...... + 0.360
g. cos x = cos 2
1π
h. cos 3x = cos 2
3π
i. cos ( x – 2
1π ) = cos
4
1π
j. cos (2x – 2
3π) = cos
2
1π
k. cos 2
1x = cos
6
5π
l. cos (2
1x –
6
1π ) = cos
2
1π
m. tan x = tan 2
1π
n. tan 4x = tan 3
1π
o. tan ( x – 2
1π ) = tan
3
2π
p. tan ( 2x – 4
1π ) = tan
6
1π
q. tan 2
1x = tan
2
3π
r. tan (2
1x –
3
1π ) = tan
4
3π
Trik Menyelesaikan : 1. ubah dahulu sin xo = a menjadi
bentuk sin xo = sin α o 2. selesaikan bentuk sin xo = sin α o
dengan cara yang sudah dipelajari diatas
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
Ingat nilai sudut
istimewa sin 30o = 2
1
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sin x o = sin α o Untuk interval (0o ≤ x ≤ 360o ) :
1. x = α + n.360 atau 2. x = ( 180 – α ) + n. 360
sin x = sin a untuk interval (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :
1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( π – a ) + n. 2π
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 26
= ...... Jadi HP : { ...... , ....... }
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin ( x – π2
1) = 3
2
1 dalam
interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :
sin ( x – π2
1) = 3
2
1
sin( x – π2
1) = sin π
3
1
( x – π2
1) = π
3
1 + n.2 π
x = π2
1 + π
3
1 + n.2 π
x = π....
.... + n.2 π
jika n = 0 x = π....
.... + 0.2 π
= π....
....
atau
x = (π – π....
.... ) + n.2 π
x = π....
.... + n.2 π
jika n = 0 x = ....... π + 0.2 π Jadi HP : { ...... , ....... } = ...... π
G.5. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK cos xo = a Contoh 1 :
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Ingat nilai sudut istimewa
sin π3
1 = 3
2
1
Trik Menyelesaikan : 1. ubah dahulu cos xo = a menjadi
bentuk cos xo = cos α o 2. selesaikan bentuk cos xo = cos α o
dengan cara yang sudah dipelajari diatas
Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk cos xo = cosα o Untuk interval (0o ≤ x ≤ 360o ) :
1. x = α + n.360 atau 2. x = ( – α ) + n. 360
cos x = cos a untuk interval (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :
1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( – a ) + n. 2π
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 27
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos xo = 2
1 dalam interval (0o ≤ x
≤ 360o) Penyelesaian :
cos xo = 2
1
cos xo = cos 60o x = 60 + n.360 jika n = 0 x = ..... + 0.360 = ...... atau x = ( – ..... ) + n.360 jika n = 0 x = .......+ 0.360 = ...... n = 1 x = .......+ 1.360 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... }
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos ( x – π2
1) =
2
1 dalam
interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :
cos ( x – π2
1) =
2
1
Cos ( x – π2
1) = cos π
3
1
( x – π2
1) = π
3
1 + n.2 π
x = π2
1 + π
3
1 + n.2 π
x = π....
.... + n.2 π
jika n = 0 x = π....
.... + 0.2 π
= π....
....
atau
x = ( – π....
.... ) + n.2 π
jika n = 0 x = – π....
.... + 0.2 π
= – π....
....
n = 1 x = – π....
.... + 1.2 π Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }
Ingat nilai sudut
istimewa cos 60 o = 2
1 Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung
sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Untuk n = 0 ini harga x nya tidak merupakan HP karena diluar batas interval
Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Ingat nilai sudut istimewa
cos π3
1 =
2
1
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 28
= – π....
....
G.6. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK tan xo = a Contoh 1 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 2xo = 33
1 dalam interval (0o
≤ x ≤ 360o) Penyelesaian :
tan 2xo = 33
1
tan 2xo = tan 30o 2x = 30 + n.360 x = .....+ n. 180 jika n = 0 x = .... + 0.180 = ...... n = 1 x = .... + 1.180 = ...... atau 2x = ( 180 + ..... ) + n.360 = .................... + n.360 x = .....................+ n.180 jika n = 0 x = ...... .+ 0.180 = ...... n = 1 x = .......+ 1.180 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... , ......, ....... }
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan ( x – π2
1) = 3 dalam
interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :
Trik Menyelesaikan : 1. ubah dahulu tan xo = a menjadi
bentuk tan xo = tan α o 2. selesaikan bentuk tan xo = tan α o
dengan cara yang sudah dipelajari diatas
Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk tan xo = tan α o Untuk interval (0o ≤ x ≤ 360o ) :
1. x = α + n.360 atau 2. x = ( 180 – α ) + n. 360
tan x = tan a untuk interval (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :
1. x = a + n. 2π atau 2. x = (π – a ) + n. 2π
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
Ingat nilai dari sudut
istimewa tan 30 o = 33
1
Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 29
tan ( x – π2
1) = 3
tan ( x – π2
1) = tan π
3
1
( x – π2
1) = π
3
1 + n.2 π
x = π2
1 + π
3
1 + n.2 π
x = π....
.... + n.2 π
jika n = 0 x = π....
.... + 0.2 π
= π....
....
atau
x = (π + π....
.... ) + n.2 π
= π....
.... + n.2 π
jika n = 0 x = π....
.... + 0.2 π
= π....
.... Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x
≤ 360o)
4. a. sin x o = 22
1
b. sin 2x o = 32
1
c. sin ( x – 30 ) o = 22
1−
d. sin ( 2x – 50 ) o = 2
1
e. sin 2
1x o =
2
1−
f. sin (2
1x – 30 ) o = 2
2
1
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian
Ingat nilai dari sudut istimewa
tan π3
1 = 3
11 LATIHAN SOAL
PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR 2
g. cos x o = 22
1
h. cos 3x o = 32
1−
i. cos ( x – 30 ) o = 2
1−
j. cos (2x – 50) o = 22
1−
k. cos 2
1x o = 2
2
1
l. cos (2
1x – 30 ) o = 1
m. tan x o = 1 n. tan 4x o = - 1
o. tan ( x – 30 ) o = 33
1
p. tan (2x – 50) o = 33
1−
q. tan 2
1x o = 3
r. tan (2
1x – 30 ) o = 3−
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 30
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0 ≤ x ≤ 2 π )
a. a. sin x = 2
1
b. b. sin 2x = 22
1
c. c. sin ( x – 2
1π ) = 3
2
1−
d. d. sin ( 2x – 3
1π ) = 3
2
1
e. e. sin 2
1x = 2
2
1−
f. f. sin (2
1x –
4
1π ) o = 1
H. ATURAN SINUS DAN KOSINUS
H.1. ATURAN SINUS Perhatikan segitiga ABC gambar diatas, dimana : ► segitiga APC siku-siku dititik P maka berlaku :
Sin A = AC
CP CP = ...... sin A
► segitiga BPC siku-siku dititik P maka berlaku :
Sin B = BC
CP CP = ...... sin B
► segitiga BAQ siku-siku dititik Q maka berlaku :
g. cos x = 22
1
h. cos 3x = 22
1−
i. cos ( x – 2
1π ) =
2
1
j. cos (2x – 2
3π) = 2
2
1
k. cos 2
1x = - 1
l. cos (2
1x –
6
1π ) = 3
2
1
m. tan x = 33
1
n. tan 4x = - 1
o. tan ( x – 2
1π ) = 3−
p. tan ( 2x – 4
1π ) = 3
3
1−
q. tan 2
1x = 3
r. tan (2
1x –
3
1π ) = 3
3
1−
Pada pembahasan yang lalu tentang perbandingan trigonometri telah dibahas bagaimana menghitung unsur-unsur dalam suatu segitiga siku-siku . Bagaimana kalau segitiganya bukan segitiga siku-siku ( sebarang ) ?
Untuk itulah diperlukan sebuah aturan yang dapat menjawab pertanyaan tersebut, yaitu dengan aturan sinus dan kosinus
C Q R b a A P c B
Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : a. Panjang sisi AB = c b. Panjang sisi AC = b c. Panjang sisi BC = a d. Garis CP merupakan garis tinggi pada sisi AB e. Garis AQ merupakan garis tinggi pada sisi BC f. Garis BR merupakan garis tinggi pada sisi AC
Dari dua persamaan ini diperolah : .......sin A = ......sin B atau
BA sin
.....
sin
..... =
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 31
Sin B = AB
AQ AQ = ...... sin B
► segitiga CAQ siku-siku dititik Q maka berlaku :
Sin C = AC
AQ AQ = ...... sin C
Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 8 cm, sudut A = 50o dan sudut B = 70o . Hitunglah panjang BC dan AB Penyelesaian : ► kita hitung panjang sisi BC :
A
BC
B
AC
sinsin=
.....sin.....sin
..... BC=
BC sin 70o = ...... sin ......
BC = o70sin
.....sin.....
Jadi panjang sisi BC = ...... cm Contoh 2 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 6 cm, AB = 8 cm dan sudut C = 54o . Hitunglah sudut B dan sudut A Penyelesaian : ► kita hitung sudut B :
C
AB
B
AC
sinsin=
.....sin
.....
sin
..... =B
6.sin B = ...... sin ......
sin B = 6
.....sin.....
= 6
.............x
= 0, .......... sudut B = ..........
Dari dua persamaan ini diperolah : .......sin B = ......sin C atau
CB sin
.....
sin
..... =
Dari dua persamaan diatas ditulis secara
singkat : Asin
.....=
CB sin
.....
sin
..... =
Bentuk terakhir itulah yang selanjutnya dinamakan aturan sinus
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
C 8 A B
50o 70o
► kita hitung panjang sisi AB :
C
AB
B
AC
sinsin=
.....sin.....sin
...... AB=
AB sin 70o = ...... sin ......
AB = o70sin
.....sin.....
Jadi panjang sisi AB = ...... cm
Sudut C dapat anda hitung = 180 – ( 50 + 70 ) = ........
C 6 A 8 B
54o
► kita hitung sudut A : Sudut A dapat anda hitung = 180 – ( sdt.C + sdt.B ) = 180 – ( ........ + ........ ) = 180 – ......... = ........
Untuk menghitung besar sudut B ini dapat digunakan tabel logaritma atau kalkulator. Dengan kalkulator ditekan tombol secara urut sbb :
0 . 6 0 6 8 INV sin
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 32
1. Tulislah aturan sinus yang berlaku pada segitiga berikut ini : K
A P M B C Q R o 2. Pada segitiga ABC berikut ini hitunglah panjang sisi yang ditanyakan :
a. besar sudut A = 29o , besar sudut B = 70o , panjang sisi AC = 7 cm. Hitunglah sisi BC b. besar sudut A = 37o , besar sudut B = 122o , panjang sisi BC = 9 cm. Hitunglah sisi AC c. besar sudut A = 38o , besar sudut C = 72o , panjang sisi BC = 6 cm. Hitunglah sisi AB d. besar sudut A = 46o , besar sudut C = 105o , panjang sisi AB = 12 cm. Hitunglah sisi BC
dan AC e. besar sudut B = 64o , besar sudut C = 73o , panjang sisi AC = 8 cm. Hitunglah sisi BC dan
AB f. besar sudut B = 124o , besar sudut C = 18o , panjang sisi AB = 5 cm. Hitunglah sisi BC
dan AC 3. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah panjang sisi yang ditanyakan :
a. besar sudut P = 49o , besar sudut Q = 70o , panjang sisi PQ = 6 cm. Hitunglah sisi QR dan PQ
b. besar sudut P = 97o , besar sudut Q = 50o , panjang sisi PQ = 9 cm. Hitunglah sisi QR dan PR
c. besar sudut P = 70o , besar sudut R = 42o , panjang sisi PR = 7 cm. Hitunglah sisi QR dan PQ
d. besar sudut P = 105o , besar sudut R = 31o , panjang sisi PR = 4 cm. Hitunglah sisi QR dan PQ
e. besar sudut Q = 77o , besar sudut R = 41o , panjang sisi QR = 8 cm. Hitunglah sisi PR dan PQ
f. besar sudut Q = 40o , besar sudut R = 125o , panjang sisi QR = 9 cm. Hitunglah sisi PR dan PQ
4. Pada segitiga KLM berikut ini hitunglah besar sudut yang ditanyakan : a. Panjang sisi LM = 5 cm , sisi KM = 6 cm dan besar sudut L = 57o . Hitunglah sudut K b. Panjang sisi LM = 12 cm , sisi KM = 4 cm dan besar sudut K = 41o . Hitunglah sudut L c. Panjang sisi LM = 10 cm , sisi KL = 5 cm dan besar sudut K = 64o . Hitunglah sudut M d. Panjang sisi LM = 5 cm , sisi KL = 6 cm dan besar sudut M = 55o . Hitunglah sudut K
dan L e. Panjang sisi KM = 5 cm , sisi KL = 7 cm dan besar sudut M = 128o . Hitunglah sudut K
dan L f. Panjang sisi KM = 9 cm , sisi KL = 6 cm dan besar sudut L = 50o . Hitunglah sudut K dan
M
H.2. ATURAN KOSINUS
12 LATIHAN SOAL ATURAN SINUS
N
C b a A P c B
Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : h. Panjang sisi AB = c i. Panjang sisi AC = b j. Panjang sisi BC = a k. Garis CP adalah garis tinggi pada sisi AB
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 33
Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat dihitung : Perhatikan segitiga BCP yang siku-siku di P, diperoleh : (BC) 2 = (CP) 2 + (BP) 2 a2 = (CP) 2 + (BP) 2 persamaan (1) Perhatikan segitiga ACP yang siku-siku di P, diperoleh :
Sin A = ......
CP
CP = ...... sin A persamaan (2)
Cos A = ......
AP
AP = ...... cos A BP = AB – AP = c – ...... cos A persamaan (3) Jika kalian substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh : a2 = (CP) 2 + (BP) 2 = ( ....... sin A ) 2 + ( c – ......cos A ) 2 = .... 2 .sin2 A + c2 – 2......cos A + ..... 2 cos2 A = b2.( sin2 A + cos2 A ) + c2 – 2......cos A = b2. ...... + c2 – 2......cos A = ........... + c2 – 2......cos A persamaan (4a) Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat dihitung : Perhatikan segitiga CAP yang siku-siku di P, diperoleh : (AC) 2 = (AP) 2 + (CP) 2 b2 = (AP) 2 + (CP) 2 persamaan (1) Perhatikan segitiga ABP yang siku-siku di P, diperoleh :
Sin B = ......
AP AP = ...... sin B persamaan (2)
Cos B = ......
BP BP = ...... cos B
CP = BC – BP = a – ...... cos B persamaan (3) Jika kalian substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh : b2 = (AP) 2 + (CP) 2 = ( ....... sin B ) 2 + ( a – ......cos B ) 2 = .... 2 .sin2 B + a2 – 2......cos B + ..... 2 cos2 B = c2.( sin2 B + cos2 B ) + a2 – 2......cos B = c2. ...... + a2 – 2......cos B = ........... + a2 – 2......cos B persamaan (4b)
A c b B P a C
Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : m. Panjang sisi AB = c n. Panjang sisi AC = b o. Panjang sisi BC = a p. Garis AP adalah garis tinggi pada sisi BC
B a c C P b A
Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : r. Panjang sisi AB = c s. Panjang sisi AC = b t. Panjang sisi BC = a u. Garis BP adalah garis tinggi pada sisi AC
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 34
Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat dihitung : Perhatikan segitiga BAP yang siku-siku di P, diperoleh : (AB) 2 = (BP) 2 + (AP) 2 c2 = (BP) 2 + (AP) 2 persamaan (1) Perhatikan segitiga CBP yang siku-siku di P, diperoleh :
Sin C = ......
BP
BP = ...... sin C persamaan (2)
Cos C = ......
CP
CP = ...... cos C AP = AC – CP = b – ...... cos C persamaan (3) Jika kalian substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh : c2 = (BP) 2 + (AP) 2 = ( ....... sin C ) 2 + ( b – ......cos C ) 2 = .... 2 .sin2 C + b2 – 2......cos B + ..... 2 cos2 B = c2.( sin2 B + cos2 B ) + b2 – 2......cos B = c2. ...... + b2 – 2......cos B = ........... + b2 – 2......cos B persamaan (4c) Persamaan (4a), (4b) dan (4c) jika kita simpulkan adalah :
Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 6 cm, AB = 5 cm dan sudut A = 50o . Hitunglah panjang BC Penyelesaian : ► kita hitung panjang sisi BC : (BC) 2 = (AB) 2 + (AC) 2 – 2 . (AB)(AC) cos A = ...... 2 + ....... 2 – 2 . (......)(......) cos ..... = 25 + ....... – .......... cos ...... = 25 + ....... – 60. ........ = .................
BC = ......... = .......... Contoh 2 : Pada segitiga PQR disamping diketahui panjang sisi p = 7 cm, q = 8 cm dan r = 9 cm . Hitunglah besar sudut P, Q dan R
Pada segitiga ABC berlaku rumus : a2 = ........... + c2 – 2......cos A b2 = ........... + a2 – 2......cos B c2 = ........... + b2 – 2......cos C
Rumus inilah yang selanjutnya dinamakan aturan kosinus
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
C 6 A 5 B
50o
R 8 7 P 5 Q 9
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 35
Penyelesaian : ► kita hitung besar sudut P : ► kita hitung besar sudut Q : (p) 2 = (q) 2 + (r) 2 – 2 . (q)(r) cos P (q) 2 = (p) 2 + (r) 2 – 2 . (p)(r) cos Q (......) 2 = ...... 2 + ....... 2 – 2 . (......)(......) cos P (......) 2 = ...... 2 + ....... 2 – 2 . (......)(......) cos Q ........ = 64 + ....... – .......... cos P ........ = 49 + ....... – .......... cos Q ........ = 64 + ....... – ......... cos P ........ = 49 + ....... – ......... cos Q ........ = ......... – ......... cos P ........ = ......... – ......... cos Q .......cos P = ........ – ......... .......cos Q = ........ – ......... = ........ = ........
cos P = .....
..... cos Q =
.....
.....
= 0,...... = 0,...... sudut P = ........ sudut Q= ........ ► kita hitung besar sudut R : sudut R dapat kita hitung dengan menggunakan hubungan : sudut R = 180 – ( sudut P + sudut Q ) = 180 – ( ............ + ............. ) = 180 – .............. = ....... Tulislah aturan kosinus yang berlaku pada segitiga berikut ini : K
A P M B C Q R Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah panjang sisi yang ditanyakan :
Panjang sisi QR = 7 cm , PQ = 4 cm dan PR = 8 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 3 cm , PQ = 7 cm dan PR = 6 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 10 cm , PQ = 8 cm dan PR = 14 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 6 cm , PQ = 9 cm dan PR = 11 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 12 cm , PQ = 10 cm dan PR = 18 . Hitunglah sudut P, Q dan R
Pada segitiga ABC yang mempunyai titik sudut berikut ini hitunglah besar sudut A, B dan C A ( 4, 2 ) , B ( 7, 2 ) dan C ( 1 , - 2 ) A ( 1, 3 ) , B ( 8, 3 ) dan C ( 5 , 6 ) A ( 6, - 2 ) , B ( 10, - 2 ) dan C ( 8 , 3 )
Jajarangenjang ABCD mempunyai panjang AB = 11 cm, BC = 5 cm dan panjang diagonal AC = 13 cm. Hitunglah : besar sudut CAB besar sudut BAD panjang diagonal AD.
Sudut Q ini dapat dicari dengan kalkulator , dengan cara menekan tombol sebagai berikut : 0 . 5 2 3 8 INV cos
Sudut P ini dapat dicari dengan kalkulator , dengan cara menekan tombol sebagai berikut : 0 . 6 6 6 6 INV cos
13 LATIHAN SOAL ATURAN KOSINUS
N
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 36
KalaedoskupKalaedoskupKalaedoskupKalaedoskup
I. LUAS SEGITIGA
I.1. LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SISI DAN SATU SUDUT DIKETAHUI ► Perhatikan segitiga BPC yang siku-siku di P :
sin B = .....
CP CP = ...... sin B
Luas segitiga ABC = 2
1alas x tinggi
= 2
1c x CP
= 2
1c x .......... pers.(1)
► Perhatikan segitiga CAP yang siku-siku di P :
sin A = .....
CP CP = ...... sin A
Luas segitiga ABC = 2
1alas x tinggi
= 2
1c x CP
= 2
1c x .......... pers.(2)
Pada waktu di SMP kalian pernah mempelajari tentang luas segitiga ABC, yaitu :
Luas = 2
1alas x tinggi
C b a A P c B
Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : w. Panjang sisi AB = c x. Panjang sisi AC = b y. Panjang sisi BC = a z. Garis CP merupakan garis tinggi pada sisi AB
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
► Perhatikan aturan sinus B
b
A
a
sinsin=
dapat ditulis : a.sin B = b.sin A
sin B = ....
.... sin A
substitusikan nilai sin B ini ke persamaan (1), diperoleh :
Luas segitiga ABC = 2
1c x ..........x
....
.... sin A
= 2
1.................. pers.(3)
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 37
Persamaan (1), (2) dan (3) jika kita simpulkan adalah :
Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 6 cm, AB = 5 cm dan sudut A = 50o . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian :
Luas segitiga ABC = 2
1bc sin A
= 2
1..... x ...... sin.....
= 2
1x....... x 0, ........
= ................ Jadi luas segitiga ABC adalah ...... cm2 Contoh 2 : Pada jajarangenjang PQRS disamping diketahui panjang sisi PQ = 8 cm, PS = 6 cm dan sudut P = 65 o . Hitunglah luas jajarangenjang tersebut Penyelesaian :
Luas segitiga PQR = 2
1PQ x PS x sin P
= 2
1..... x ...... sin.....
= 2
1x....... x 0, ........
= ................ Luas segitiga QRS = luas setiga PQR = ........ Luas jajarangenjang PQRS = luas segitiga PQR + luas segitiga QRS = .............. + .............. = ........ Jadi luas jajarangenjang PQRS adalah ...... cm2 1. Tulislah rumus luas segitiga yang berlaku pada segitiga berikut ini : K
A P M B C Q R
Pada segitiga ABC berlaku rumus Luas :
L = 2
1bc sin .....
L = 2
1ac sin .....
L = 2
1ab sin .....
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
C 6 A 5 B
50o
S R P Q
Segitiga PQR kongruen dengan segitiga QRS
14 LATIHAN SOAL
LUAS SEGITIGA YANG DIKETAHUI DUA SISI DAN
SATU SUDUT
N
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 38
D C A B
2. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya : a. Panjang sisi PQ = 6 cm , PR = 4 cm dan sudut P = 55o b. Panjang sisi PQ = 8 cm , QR = 12 cm dan sudut Q = 70o c. Panjang sisi PR = 10 cm , QR = 15 cm dan sudut R = 120o
3. Pada jajarangenjang ABCD disamping diketahui panjang sisi AB = 10 cm, BC = 8 cm dan sudut A = 75 o . Hitunglah luas jajarangenjang tersebut 4. 5. Gambar disebelah kanan ini adalah segilima beraturan ABCDEF yang dilukis pada lingkaran dengan jari-jari 6 cm. Hitunglah : a. besar sudut AOB b. luas segitiga OAB c. luas segilima ABCDE 6. 7. Dengan cara yang sama seperti no.5 dan 6 jika lingkarannya berjar-jari r , Hitung dan nyatakan
hasilnya dalam r untuk luas segi-n beraturan berikt ini : a. luas segitiga beraturan b. luas segiempat beraturan c. luas segilima beraturan d. luas segienam beraturan e. luas segidelapan beraturan f. luas segiduabelas beraturan
I.2. LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SUDUT DAN SATU SISI DIKETAHUI
R S P Q
Gambar disebelah kiri ini adalah segiempat PQRS dengan panjang PQ = 12 cm, PS = 5 cm, RS = 10 cm dan sudut RSQ = 62o. Hitunglah : a. a. panjang diagonal QS b. b. luas segitiga QPS c. c. luas segitiga QRS d. d. luas segiempat PQRS
D E C A B
O
E D F C A B
O Gambar disebelah kiri ini adalah segienam beraturan ABCDEF yang dilukis pada lingkaran yang berjar-jari 6 cm. Hitunglah : a. besar sudut AOB b. luas segitiga AOB c. luas segienam ABCDEF
Pada pembahasan yang lalu telah diketahui bahwa : Luas segitiga ABC :
L = 2
1bc sin A
L = 2
1ac sin B
L = 2
1ab sin C
2. Aturan Sinus segitiga ABC:
A
a
sin=
C
c
B
b
sinsin=
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 39
Dengan cara substitusi antara luas segitiga dengan aturan sinus dapat kita tentukan rumus luas segitiga yang diketahui dua sudut dan satu sisinya sebagai berikut :
► B
b
A
a
sinsin= b. sin A = a. sin B ►
B
b
A
a
sinsin= a. sin B = b. sin A
b = ....sin...sin
a a = ....sin
...sin
b
maka diperoleh persamaan : maka diperoleh persamaan :
L = 2
1a ( ....sin
...sin
a) sin C L =
2
1b ( ....sin
...sin
b) sin C
= ...sin.2
.....sin....sin2a persamaan (1) =
...sin.2
.....sin....sin2b persamaan (2)
► C
c
B
b
sinsin= b. sin C = c. sin B Dari persamaan (1) , (2) dan (3) dapat ditulis :
b = ....sin...sin
c
maka diperoleh persamaan :
L = 2
1c ( ....sin
...sin
c) sin C
= ...sin.2
.....sin....sin2c persamaan (3)
Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AB = 6 cm, sudut A = 37o dan sudut B = 62o . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian : Besar sudut C = 180 – ( sudut A + sudut B ) = 180 – ( ............ + ............ ) = .......
Luas segitiga ABC = B
CAb
sin.2
sinsin2
= .....sin.2
.....sin.....sin(.....)2
= ,......02
,......0,......036
x
xx
= ......... Jadi luas segitiga ABC adalah ........ cm2
Hasil ini kita substitusikan ke
L = 2
1ab sin C
Hasil ini kita substitusikan ke
L = 2
1ab sin C
Hasil ini kita substitusikan ke
L = 2
1bc sin A
Pada segitiga ABC berlaku rumus Luas :
L = ...sin.2
.....sin....sin2a
L = ...sin.2
.....sin....sin2b
L = ...sin.2
.....sin....sin2c
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
C A 6 B
37o 62o
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 40
1. Tulislah rumus luas segitiga yang berlaku pada segitiga berikut ini : K
A P M B C Q R 2. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya, jika diketahui :
a. sudut P = 400 , sudut Q = 600 dan panjang QR = 5 cm b. sudut P = 560 , sudut Q = 420 dan panjang PQ = 6 cm c. sudut P = 760 , sudut Q = 380 dan panjang PR = 8 cm d. sudut Q = 700 , sudut R = 420 dan panjang PR = 7 cm e. sudut Q = 1010 , sudut R = 350 dan panjang PQ = 12 cm f. sudut Q = 490 , sudut R = 500 dan panjang QR = 10 cm g. sudut R = 360 , sudut P = 950 dan panjang PQ = 14 cm h. sudut R = 870 , sudut P = 320 dan panjang PR = 9 cm i. sudut R = 1300 , sudut P = 400 dan panjang QR = 10 cm
I.3. LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SISI DAN SATU SUDUT DIHADAPAN SISI DIKETAHUI
Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AB = 6 cm, AC = 4 cm dan sudut B = 40o . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian : Kita hitung besar sudut C dengan menggunakan aturan sinus :
C
c
B
b
sinsin=
Csin
6
40sin
40
=
4.sin C =....... sin .....
sin C = .....
....sin....
= 0,.......... sudut C = .......... Besar sudut A = 180 – ( sudut C + sudut B ) = 180 – ( ............ + ............ )
LangkahLangkahLangkahLangkah----langkah :langkah :langkah :langkah : Hitung besar sudut – sudut yang belum diketahui gunakan aturan sinus Hitung luas segitiganya gunakan rumus luas :
L = 2
1bc sin A atau L =
2
1ac sin B atau L =
2
1ab sin C
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
C 4 A 6 B
40o
Sudut C ini dapat dicari dengan kalkulator , dengan cara menekan tombol sebagai berikut : 0 . 9 6 4 2 INV sin
15 LATIHAN SOAL
LUAS SEGITIGA YANG DIKETAHUI DUA SUDUT DAN
SATU SISI
N
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 41
= .......
Luas segitiga ABC = 2
1bc sin A
= 2
1.....x ........ sin ......
= 12 x 0,........ = ........... Jadi luas segitiga ABC adalah ........ cm2
1. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya, jika diketahui :
a. sudut P = 400 , panjang PR = 6 cm dan panjang QR = 5 cm b. sudut Q = 620 , panjang PR = 10 cm dan panjang QR = 8 cm c. sudut P = 560 , panjang PQ = 4 cm dan panjang QR = 6 cm d. sudut R = 720 , panjang PQ = 8 cm dan panjang QR = 5 cm e. sudut Q = 340 , panjang PR = 6 cm dan panjang PR = 8 cm f. sudut R = 1060 , panjang PR = 10 cm dan panjang PR = 8 cm
I.4. LUAS SEGITIGA DIMANA KETIGA SISINYA DIKETAHUI
sin2A + cos2A = 1 sin2A = 1 – cos2A = ( 1 + cos A ) ( 1 – ......... ) persamaan (1)
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A co A = .......2
222 acb −+ persamaan (2)
Jika persamaan (1) dan (2) kita substitusikan , maka akan kita peroleh persamaan : sin2A = ( 1 + cos A ) ( 1 – cos A )
= ( 1 + .......2
222 acb −+ ) ( 1 –
.......2
222 acb −+ )
=
−++.....2
.....2 222 acb
−+−.....2
.....2 222 acb
=
−+.....2
)( 22 acb
−−.....2
)( 22 cba
=
+−−+−+++2.....)2(
.....))(.....)()(( bacbacbacb
sin A = .....))(.....)()((2
1 +−−+−+++ bacbacbacbbc
16 LATIHAN SOAL LUAS SEGITIGA DIMANA
DUA SISI DAN SATU SUDUT DIHADAPAN SISI DIKETAHUI
Pada pembahasan yang lalu telah dipelajari tentang : identitas trigonometri dasar, yaitu sin2A + cos2A = 1 aturan cosinus, yaitu a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A
Samakan penyebutnya
Jadikan bentuk kuadrat sempurna
Pembilang difaktorkan, penyebut dikalikan
Kedua ruas diakarkan
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 42
Jika persamaan-persamaan tersebut kita substitusikan ke
sin A = .....))(.....)()((2
1 +−−+−+++ bacbacbacbbc
maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut :
sin A = .....))(.....)()((2
1 +−−+−+++ bacbacbacbbc
= .....)(2.....).(2).(2.22
1 −−− SSaSSbc
= .....).....).().(.(162
1 −−− SSaSSbc
= .....).....).().(.(2
4 −−− SSaSSbc
= .....).....).().(.(.... −−− SSaSSbc
jika persamaan terakhir ini kita subsitusikan ke rumus luas segitiga L = 2
1bc sin A, maka akan
diperoleh persamaan :
L = 2
1bc sin A
= 2
1bc . .....).....).().(.(
.... −−− SSaSSbc
= .....).....).().(.( −−− SSaSS
Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 7 cm . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian :
S = 2
1( a + b + c ) =
2
1( 5 + .... + .... ) = ......
L = .....).....).().(.( −−− SSaSS
= .....)........).(..9).(59.(9 −−−
= (.....)).(.....).4.(9
= .......
= 6 ....... jadi luas segitiga ABC adalah ......... cm2
A c b B C a Keliling segitiga ABC = a + b + c
Jika setengah keliling segitiga kita simbolkan dengan S, maka
S = 2
1( a + b + c )
2S = ( a + b + c ) ( b + c – a ) = ( a + b + c ) – 2 a = 2S – 2a = 2(S – a ) ( a + b – c ) = ( a + b + c ) – 2 ..... = 2S – 2.... = 2(S – ...) ( a – b + c ) = ( a + b + c ) – 2 ..... = 2S – 2.... = 2(S – ...)
Ingat rumus luas segitiga ABC :
L = 2
1bc sin A
Pada segitiga ABC yang diketahui panjang ketiga sisinya ( a, b dan c) berlaku rumus Luas :
L = .....).....).().(.( −−− SSaSS
Dimana S = 2
1( a + b + c )
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
C 7 5 A 6 B
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 43
1. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya, jika diketahui :
a. panjang RQ = 7 cm , panjang PR = 5 cm dan panjang PQ = 4 cm b. panjang RQ = 7 cm , panjang PR = 6 cm dan panjang PQ = 3 cm c. panjang RQ = 8 cm , panjang PR = 7 cm dan panjang PQ = 5 cm d. panjang RQ = 6 cm , panjang PR = 5 cm dan panjang PQ = 4 cm e. panjang RQ = 16 cm , panjang PR = 13 cm dan panjang PQ = 11 cm
2. S R Hitunglah luas jajarangenjang disamping 12 P Q 13
J. MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN TRIGONOMETRI
Contoh 1 : Gambar disebelah kanan adalah sebuah pohon yang dilihat dengan sudut elevasi sebesar 600. Jika jarak orang yang melihat dengan pohon adalah 20 m , hitunglah tinggi pohon terseut. Penyelesaian : ► Langkah 1 Menentukan besaran yang ada dalam soal : Kita memisalkan bahwa tinggi pohon yang akan dihitung adalah AC = h ► Langkah 2 Merumuskan model matematika yang ada dalam soal : Perhatikan segitiga ABC
17 LATIHAN SOAL
LUAS SEGITIGA DIMANA KETIGA SISINYA DIKETAHUI
15
LangkahLangkahLangkahLangkah----langkah Menyelesaikan soal model matematika yang berkaitan dengan trigonometri :langkah Menyelesaikan soal model matematika yang berkaitan dengan trigonometri :langkah Menyelesaikan soal model matematika yang berkaitan dengan trigonometri :langkah Menyelesaikan soal model matematika yang berkaitan dengan trigonometri : Tentukan besaran yang ada dalam soal Rumuskan model matematikanya dari masalah dalam soal Tentukan penyelesaiannya dari model matematikanya Berilah tafsiran dari masalah yang ada pada soal
Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
A 20 m B
600
C
Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 44
Tan B = AB
AC
Tan ..... = .......
h
► Langkah 3 Menyelesaikan model matematika :
Tan ..... = .......
h dapat diubah menjadi :
h = 20. tan ...... = 20 x 0,........ = ........ ► Langkah 4 Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh : Jadi tinggi pohon yang dilihat adalah ....... cm.
1. Farid , Fila dan Fiqih bermain dengan membentuk sebuah segitiga. Jarak Farid dari Fila adalah
16 m, jarak Fila dari Fiqih adalah 13 m sedangkan jarak Fila dari Fiqih adalah 11 m . Berapakah besar sudut yang dibentuk oleh Farid , Fila dan Fiqih ?
2. Pada sebuah gedung bertingkat yang tingginya 30 m didirikan tiang bendera. Dari suatu tempat yang ditanah yang jaraknya 20 m , titik ujung bendera dilihat oleh Robert dengan sudut elevasi sebesar 600 dan titik pangkal bendera terlihat dengan sudut elevasi 500 . Berapakah tinggi tiang bendera tersebut ?
3. Dari sebuah gedung bertingkat yang tingginya 40 m Jacksen melihat sebuah mobil yang sedang diparkir dengan sudut depresi sebesar 350 . Berapakah jarak mobil tersebut dengan gedung brtingkat tempat Jacksen melihat ?
4. Dari sebuah pelabuhan dalam waktu yang bersamaan dua buah kapal A dan B meninggalkan pelabuhan. Kapal A berlayar dengan arah 0700 dengan kecepatan 30 km / jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 1600 dengan kecepatan 25 km / jam. Hitunglah jarak kapal A dan B setelah berlayar selama 3 jam.
18 LATIHAN SOAL
MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN
TRIGONOMETRI
Top Related