LISTRIK MAGNET II

MEDAN KARENA PERGERAKAN MUATAN TITIK

KELOMPOK 6

NAMA :

 

1. Tresna Mustikasari (140310100040)

2. Sarah Bella. S (140310100046)

3. Siti Nurmilati (140310100052)

4. M. Imbar Fitriadi (140310100054)

5. Faizal (ketua) (140310100056)

Penerapan langsung potensial Lienard-Wiechert adalah pada perhitungan medan suatu muatan titik yang bergerak menurut garis lurus dengan kecepatan tetap.

Medan di titik P harus dihitung pada saat t, yang pada saat itu muatan ada di x.

Medan suatu muatan titik yang bergerak seragam

Kedudukan terhambat x’ dan waktu terhambat t’ ditentukan oleh 𝑅′2 = 𝑐2ሺ𝑡− 𝑡′ሻ2 = ሺ𝑥0 − 𝑥′ሻ2 + 𝑏2

Potensial skalarnya diberikan oleh

𝜑ሺ𝑃,𝑡ሻ= 𝑞4𝜋𝜀0 1𝑅′ቂ1+ ቀ𝑣 .𝑛′𝑐ቁቃ

Karena muatan bergerak dari x’ ke 𝑥0 dalam waktu 𝑡0 − 𝑡′,

jelaslah bahwa 𝑐2 ሺ𝑡− 𝑡′ሻ2 = 𝑣2 ሺ𝑡0 − 𝑡′ሻ2 + 𝑏2

P

R’ R b

v

n’ x’ x x0

l’ l l0

Jika persamaan ini dipecahkan untuk t’ hasilnya adalah

𝑡′ = 𝑐2 𝑡− 𝑣2 𝑡0 ± ඥ𝑣2 𝑐2 ሺ𝑡0− 𝑡ሻ2+ 𝑏2 ሺ𝑐2− 𝑣2ሻ𝑐2− 𝑣2

pada t = 𝑡0 = 0

𝑡′ = ± ඥ𝑏2 ሺ𝑐2 − 𝑣2ሻ𝑐2 − 𝑣2

kita dapatkan 𝑥0 − 𝑥′ dari 𝑥0 − 𝑥′ = 𝑣 ሺ𝑡0 − 𝑡′ሻ

= 𝑣 ൬𝑡0 ሺ𝑐2− 𝑣2ሻ− 𝑐2 𝑡+ 𝑣2 𝑡0+ ඥ𝑣2 𝑐2 ሺ𝑡0− 𝑡ሻ2+ 𝑏2 ሺ𝑐2− 𝑣2ሻ 𝑐2− 𝑣2 ൰

Sedangkan R’ ditunjukkan sebagai

𝑅′ = 𝑐 ൭𝑡 ሺ𝑐2 − 𝑣2ሻ− 𝑐2 𝑡+ 𝑣2 𝑡0 + ඥ𝑣2 𝑐2 ሺ𝑡0 − 𝑡ሻ2 + 𝑏2 ሺ𝑐2 − 𝑣2ሻ 𝑐2 − 𝑣2 ൱

𝑅∗= 𝑅′ − 𝑣 ሺ𝑥0 − 𝑥′ሻ𝑐

𝑅∗= ሺ𝑐2 − 𝑣2ሻ−1 ቈ𝑣2𝑐 ሺ𝑡0 − 𝑡ሻ+ 𝑐 ඥ𝑣2 𝑐2 ሺ𝑡0 − 𝑡ሻ2 + 𝑏2 ሺ𝑐2 − 𝑣2ሻ− 𝑣2𝑐 ሺ𝑡0 − 𝑡ሻ− 𝑣2𝑐 ඥ𝑣2 𝑐2 ሺ𝑡0 − 𝑡ሻ2 + 𝑏2 ሺ𝑐2 − 𝑣2ሻ൨

= ට𝑣2ሺ𝑡0 − 𝑡ሻ2 + 𝑏2 ቀ1 − 𝑣2𝑐2ቁ

Dari hasil tersebut maka dapat di ketahui: Potensial skalarnya :

𝜑ሺ𝑃,𝑡ሻ= 𝑄4𝜋𝜀 1ට𝑣2ሺ𝑡0− 𝑡ሻ2+ 𝑏2 ൬1 − 𝑣2𝑐2൰

Sedangkan potensial vektornya :

A(P,t) = 𝜇0𝑞4𝜋 1

ට𝑣2ሺ𝑡0− 𝑡ሻ2+ 𝑏2 ൬1 − 𝑣2𝑐2൰

Jika titik P ditentukan oleh koordinat Cartesius 𝜉, 𝜂,𝜁, maka

𝜉= 𝜒0 = v to dan 𝜂2 + 𝜁 2 = 𝑏2

Dengan memanfaatkan hasil ini dalam persamaan

A(P,t) = 𝜇0𝑞4𝜋 1

ට𝑣2ሺ𝑡0− 𝑡ሻ2+ 𝑏2 ൬1 − 𝑣2𝑐2൰ dan dengan memisalkan 𝜉= (𝜉,𝜂,𝜁), kita peroleh

𝜑ሺ𝜉,𝑡ሻ= 𝑞4𝜋𝜀 1ඨ( 𝜉− 𝜐𝑡 )2 +൫ 𝜂2 + 𝜁2൯( 1− 𝑣2

𝑐2 ) Dan

A(P,t) = 𝜇0𝑞4𝜋 𝑣

( 𝜉− 𝜐𝑡 )2 +൫ 𝜂2 + 𝜁2൯( 1− 𝑣2𝑐2 )

Dalam hal muatan titik bergerak dipercepat, penyederhanaan tertentu yang terdapat dalam hal muatan yang bergerak dengan kecepatan tetap tidak mungkin lagi dugunakan.

Dalam hal ini kesulitan utama yang kita hadapi ialah akibat langsung dari kenyataan bahwa potensial Lineard-Wiechert tidak lagi dapat diungkapkan dalam kedudukan muatan saat ini, malahan sebaliknya, muncul secara nyata tempat dan waktu terhambat. Potensial.

Medan suatu titik yang dipercepat

persyaratan hambatan

ሺ𝜉− 𝑥′ሻ2 + (𝜂− 𝑦′)2 + (𝜁− 𝑧′)2 = 𝑐2(𝑡− 𝑡′)2 Memberikan suatu hubungan tunggal diantara perubahan sisanya. Jadi, jelas bahwa meskipun potensialnya bergantung pada delapan perubahan, hanya empat diantaranya yang benar-benar bebas. Dalam menghitung E dan B perlu dilakukan pendiferensialan potensial terhadap masing-masing η, ξ, ζ dan t dengan membiarkan tiga yang lain tetap sebagai

൬𝛿𝐴𝛿𝑡൰𝜉 = ൬𝛿𝐴𝛿𝑡൰+ ൬𝛿𝐴𝛿𝑡′

൰൬𝛿𝑡′𝛿𝑡൰𝜉

dan

൬𝛿𝐴𝛿𝑡′൰𝜉 = ൬𝛿𝐴𝛿𝑡′

൰+ ൬𝛿𝐴𝛿𝑡൰൬𝛿𝑡𝛿𝑡′൰𝜉

Medan Radiasi Untuk Kecepatan Rendah Hasil perhitungan dari potensial untuk muatan titik yang

bergerak tidak teratur, dapat ditulis sebagai:

(*)

(**) Dari persamaan (**) kita mengetahui bahwa medan-B dari

suatu muatan titik dalam hampa udara selalu tegak lurus pada medan-E pada titik dan waktu yang sama, dan juga tegak lurus pada garis yang menghubungkan titik medan dengan tempat kedudukan terhambat zarah, R’.

𝐸 ሺ𝜉,𝑡ሻ= 𝑞4𝜋𝜀01𝑹∗𝟑 ൝ቆ𝑹′ − 𝑅′𝒗′𝑐 ቇ൭1− 𝑣′2𝑐2 ൱+ 1𝑐2 𝑹′𝑥ቈቆ𝑹′ − 𝑹′𝒗′𝑐 ቇ𝑥𝒗ሶ′ൡ

𝐵 ሺ𝜉,𝑡ሻ= 𝑹′𝑥𝑬𝑅′𝑐

Untuk gerakan yang berkecepatan tetap (=0) suku pertama dalam persamaan (*) memberikan hasil :

karena R’/c = t-t’ Untuk gerak tak seragam dengan kecepatan

tinggi, suku pertamanya tidak memberikan saham pada radiasi dari muatan,karena besarnya berkurang sesuai jarak menurut 1/R’2

E(𝜉,𝑡) = 𝑞4𝜋𝜀 𝑅𝑅∗3൬1− 𝑣2𝑐2 ൰

Jika kecepatan muatan kecil dibandingkan dengan kecepatan cahaya, yaitu jika « 1, maka hampiran:

dan

hanya kita tinjau halnya muatan yang bergerak lambat

𝑹′ − 𝑅′𝒗′𝑐 ≈ 𝑹′

𝑹∗= 𝑅′ − 𝑹′.𝒗′𝑐 ≈ 𝑅′

Jika disamping itu, hanya medan radiasi, yaitu bagian medan yang sebanding dengan 1/R’ yang ditinjau, maka persamaan (*) dan (**) menjadi

𝑬ሺ𝝃,𝒕ሻ= 𝒒𝟒𝝅𝜺𝟎𝑹′𝒙(𝑹′𝒙𝒗ሶ′ )𝑹′𝟑𝒄𝟐 𝑩ሺ𝝃,𝒕ሻ= 𝒒𝟒𝝅𝜺𝟎𝑹′𝒙[𝑹′𝒙(𝑹′𝒙𝒗ሶ′ )]𝑹′𝟒𝒄𝟑 = 𝒒𝟒𝝅𝜺𝟎𝒄𝟐 𝒗ሶ𝒙𝑹′ )𝑹′𝟐𝒄

Dari vector medan ini diketahui bahwa vector poynting adalah:

yang melalui penggunaan persamaan vector, berubah menjadi:

𝑺= 𝑬𝒙𝑯= 𝒒𝟐𝟏𝟔𝝅𝟐𝝐𝟎𝟐𝝁𝟎𝒄𝟐 𝟏𝑹′𝟓𝒄𝟑ሾ𝑹′𝒙ሺ𝑹′𝒙𝒗ሶ′ሻሿ𝒙[𝒗ሶ′𝒙𝑹′]

𝑺= 𝑞216𝜋2𝜖0𝑐3 𝑹′(𝑹′𝑥𝒗ሶ′)2𝑅′5

Daya total jika selanjutnya, dipilih pada arah sumbu-z, maka:

𝑷𝑹= − 𝑑𝑊𝑑𝑡 = න 𝑺.𝒏 𝑑𝑎𝑆

= 𝑞216𝜋2𝜖0𝑐3 𝑅′2𝒗ሶ2 sin2 𝜃𝑅′5 𝑹′.𝑹′𝑅′ 𝑅′2 sin𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙

yang dari persamaan itu dengan mudah dapat diperoleh

𝑷𝑹= − 𝑑𝑊𝑑𝑡 = 𝑞24𝜋𝜖0 23 𝒗′ሶ2𝑐3

Contoh Soal

Proton yang bermasa m = 1,67 x 10-27 kg dan muatan

q = - e = 1,6 x 10-19C bergerak dalam lingkaran yang

berjari-jari 21 cm tegak lurus terhadap medan magnetik

B = 4000 G.

Carilah (a) periode gerak dan (b) kecepatan protonnya

Diketahui: Ditanyakan:

m = 1,67 x 10-27 kg (a). T = ?

q = 1,6 x 10-19C (b). v = ?

B = 4000 G

Solusi

Kita tidak perlu mengetahui jari-jari lingkarannya

untuk mengetahui periodenya. Maka:

T = 2𝜋𝑚𝑞𝐵 =

2𝜋(1,67𝑥10−27 𝑘𝑔)൫1,6𝑥10−19𝐶൯(0,4𝑇) = 1,64 𝑥 10−7𝑠

𝑉= 𝑟𝑞𝐵𝑚 = ሺ0,21ሻ൫1,6𝑥10−19 𝑘𝑔൯(0,4𝑇)1,67𝑥10−27𝑚 = 8,05 𝑥 106 𝑚/𝑠

Periksa bawa v x T = Keliling lingakaran

r = 𝑟𝑇2𝜋 = ൫8,05𝑥106 ൯(1,64𝑥10−7)2𝜋 = 0,21 𝑚