SEJARAH SUPER PENGHANTAR

Superkehantaran dikenali untuk pertama kali oleh H. Kammerligh Onnes tahun 1911 di

Leiden. Ia mengamati bahwa contoh merkuri didinginkan, hambatannya secara tiba-tiba

hilang dan pada 4,2 kiranya sama sekali hilang. Dalam percobaan yang lebih peka dengan

menggunakan arus kanjang yang diimbaskan dalam sosok kawat super penghantar, Onnes

memperkirakan hambatan kawat super penghantar paling tinggi 10-12kali hambatan dalam

keadaan normal. Baru-baru ini di Institiut Teknologi Massachussets, diketahui bahwa arus

imbas sebesar beberapa ratus ampere dalam suatu cincin timbal superpenghantar tidak

menunjukan perubahan harga arus untuk selang waktu sekurang-kurangnya satu tahun; hal ini

merupakan bukti kuat bahwa hambatan superpenghantar memang nol. Percobaan yang awal-

awal membuka seluruh bidang usaha untuk mencirikan pengaruh baru itu. Telah diketahui

bahwa lebih dari 20 unsur dan ratusan laku dan senyawa intermental merupakan

superpenghantar dengan suhu peralihan yang berkisar pada umumnya kurang dari 1K

(misalnya 0,12 K untuk hafnium) hingga setinggi kira-kira 20 K (misalnya 23 K untuk

senyawa Nb3Ge). Suhu peralihan, atau suhu krtitis adalah suhu saat terjadinya peralihan dari

keadaan normal menjadi superpenghantar dan merupakan ciri bahan tertentu yang sedang

ditinjau. Suhu kritis sampai batas tertentu bergantung baik pada kemurnian kimiawi maupun

kesempurnaan metalurgi contoh yang sedang diuji. Sebenarnya , ketakhomogenan dalam

kemurnian dan strain contoh umumnya cenderung memperlebar kisaran suhu peralihan antara

keadaan normal dan superpenghantar, contoh murni yang dipanas-dingiinkan dengan baik

mungkin saja memiliki kisaran suhu peralihan sekecil 0,001 K.

Jika medan magnet yang cukup kuat diberikan sejajar dengan kawat superpenghantar,

ternyata terokan (sampel) itu akan menjadi normal. Besarnya medan yang menyebabkan

peralihan bergantung baik pada medan maupun suhunya dan disebut medan kritis. Jika

medan diberikan dengan arah yang lain terokan itu akan mulai menjadi normal apabila medan

yang sebenarnya di sebarang titik pada permukaan mencapai titik kritis. Gambar rajah

medan-suhu yang dapat dibuat pada dasarnya mempunyai kepentingan termodinamik yang

sama seperti halnya diagram tekanan-suhu untuk perubahan fasa biasa, dan kurvanya sendiri

dapat dianggap sebagai batas fasa antara keadaan termodinamik yang normal dan bersifat

super-menghantar. Pada umumnya kurva berbentuk parabol, dan menghasilkan hampiran

yang baik dengan persamaan.

Hc = H0[ 1- (T Tc)2]

Dengan Hc adalah medan kritis, t suhu mutlak (atau kelvin) pengamatan, dan Tc dan H0

mengungkapkan ciri kerokan (sampel) (suhu kritis pada medan nol dan medan kritis pada

suhu mutlak nol). Di samping memperlebar peralihan, ketakhomogenan juga mempunyai

pengaruh yang nyata pada H0, kadang-kadang menaikkannya dengan beberapa tingkat

besaran. Pengaruh semacam itu sangat penting dalam penerapan dengan medan magnet kuat.

Dalam masa-masa awal superkehantaran, penerapan persamaan Maxwell pada

penghantar yang sempurna menyebabkan orang berkesimpulan bahwa laju perubahan

imbasan magnet di dalam superpenghantar seharusnya nol. Jadi, bergantung pada apakah

contoh didinginkan sampai di bawah suhu peralihan pada keadaaan ada atau tak adanya

medan magnet yang diberikan. Fluks magnet seharusnya ditangkap atau ditolak. Gagasan ini

demikian diyakini sehingga baru dalam tahun 1993 (22 tahun setelah ditemukannya

superkehantaran) untuk pertama kali W. Meissner dan R. Ochsenfeld mengkajinya melalui

cobaan. Hasil percobaan mereka membuktikan bahwa hipotesis tersebut tidak benar dan

bahwa semua hal tidak peduli apakah terokan didinginkan di dalam atau di luar medan

magnet, imbasan magnet suatu suoerpenghantar adalah nol. Pengaruh ini disebut peniadaan

fluks, atau lebih dikenal dengan efek Meisssner. Suatu pernyataan yang pada hakikatnya

setara adalah bahwa superpenghantar berperilaku seakan-akan memiliki kelulusan nol atau

kerentanan diamagnet sempurna. Pernyataan ini memeudahkan kita untuk melihat bahwa

bentuk terokan akan mempunyai pengaruh penting, yang sederhana hanya apabila terokan itu

berbentuk silinder panjang dengan sumbu sejajar dengan medan yang diberikan. Makna

utama efek Meissner adalah bahwa pengaruh itu menunjukan bahwa superpenghantar

dicirikan oleh sifat listrik-magnet yang lebih rumit daripada sekedar kehantaran tak hingga.

Setiap ungkapan yang memuaskan mengenai superpenghantar harus dapat menjelaskan efek

ini secara alami.

Dari segi teori, telah banyak dikerjakan, diawali dengan penerapan termodinamika pada

peralihan oleh W.H. Keesom sudah sejak tahun 1924. Kemudian dalam tahun 1934, disusul

dengan penjelasan dari segi gejala mengenai peralihan tingkat kedua dan sifat lain yang

didasarkan pada model dua zat alir yang dikembangkan oleh C.J.Gorter dan H.B.G. Casimir.

Ini disusul (1935) oleh teori gejala mengenai sifat elektrodinamik superpenghantar dari F.

dan H. London, yang di dalamnya persamaan Maxwell diperluas dengan dua persamaan

tambahan untuk menjelaskan efek Meissener. Dalam bab ini, kita terutama akan dilibatkan

dengan persamaan London. Dari tahun 1935, sampai dengan ditemukannya pengaruh isotop

dalam tahun 1950, dilakukan sedikit perbaikan teori. Namun dalam tahun 1950, H. Frohlich

mengembangkan suatu teori yang didasarkan pada antaraksi electron dengan atom yang

bergetar dalam kisi Kristal, yang menjelaskan pengaruh isotop, tetapi gagal meramalkan sifat

lain dari keadaan super-menghantar. Lebih kemudian lagi (dalam tahun 1957), J.Bardeen,

L.N. Cooper, dan J.R. Schrieffer mengembangkan teori mikro atau mekanika kuantum bagi

superkehantaran, yang sangat berhasil. Teori ini (Teori BCS) menjelaskan secara wajar

mengenai peralihan fasa tingkat dua, efek Meissner, dan sifat termodinamika dan listrik-

magnet lain pada superpenghantar. Sebagai hasil kerja mereka, Bardeen, Cooper, dan

Schrieffer, dalam tahun 1972, memperoleh penghargaan Nobel dalam bidang fisika. Menurut

teori BCS, superkehantaran sebenarnya adalah peralihan fasa yang terjadi karena

perpasangan electron. Perpasangan itu merupakan akibat adanya antaraksi electron dengan

getaran kisi di dalam bahan. Dalam beberapa hal superkehantaran analog dengan

pemampatan pasangan electron terikat menurut Bose-Einstein; kedua pengaruh itu

(superkehantaran dan pemampatan Bose-Einstein) sebenarnya bersifat mekanika kuantum

dan tidak dapat ditafsirkan secara sederhana. Tampaknya teori BCS mampu meramalkan,

setidak-tidaknya secara kualitatif, semua hasil fenomenologi yang berkaitan dengan super

kehantaran.

Penerapan teknologi dari superkehantaran memerlukan bahan yang tetap bersifat super-

menghantar di dalam medan magnet yang besar, dan untuk ini harus digunakan

superpenghantar jenis II. Jenis ini adalah jenis superpenghantaran yang lebih rumit , yang di

atas kuat medan tertentu yang disebut Hc1, fluks magnet mulai menembus bahan meskipun

bahan itu tetap bersifat super-menghantar hingga tercapainya harga medan magnet yang jauh

lebh tinggi (medan kritik yang lebih tinggi Hc2). Di antara Hc1 dan Hc2 bahan jenis dua

tidak menunjukan pengaruh Meissner yang sempurna, dan juga tidak menuruti persamaan

London secara kuantitatif, namun superkehantaran jenis II dapat dijelaskan dengan teori

BCS. Dalam beberapa bahan Hc2 sangat besar; misalnya dalam Nb3Sn, µ0Hc2 lebih besar

dari pada 10 Tesla pada suhu 4,2 K. dalam bab ini kita hanya akan memperhatikan

superkehantaran jenis yang lebih sederhana (yang disebut jenis I).

Masalah superkehantaran telah berkembang menjadi bidang kajian yang sangat

beragam. Namun, teori fenomenologi semakin menunjang- teori dua zat alir Casimir Gorter

dan teori London-bersama-sama memadai untuk mempertimbangkan banyak persoalan yang

melibatkan superpenghantar. Teori Casimir-Gorter terutama berhubungan dengan persoalan

termodinamik dan dengan demikian tidak terlalu penting disini. Namun teori Londonuntuk

sebagian besar merupakan perluasan persamaaan Maxwell untuk tujuan membentuk teori

listrik magnet yang mampu untuk menghadapi keadaan yang melibatkan superpenghantar.

Selanjutnya bab ini berhubungan dengan pengembangan teori London dan penerapannya

pada beberapa keadaan sederhana. Bab ini mencoba memberikan dasar dalam meninjau

masalah listrik-magnet makro yang melibatkan superpenghantar, dan bukannya untuk

menjajaki teori mikro superpenghantar yang mutakhir.

Kehantaran Sempurna dan Kediamagnetan sempurna pada Superpenghantar

Dalam pasal sebelumnya kita ketahui bahwa superpenghantar memiliki dua sifat unik.

Pada hakikatnya, superpenghantar memiliki kehantaran takhingga seperti yang ditunjukan

dalam percobaan Onnes yang mula-mula dan perluasannya; superpenghantar juga sama sekali

meniadakan fluks magnet seperti yang ditujukan dalam percobaan Meissner-Ochsenfeid

(selama medan magnet dimana pun pada permukaan konduktor tidak melebihi medan kritis).

Kedua sifat ini bebas dalam arti bahwa yang satu tidak memerlukan yang lain, tetapi sudah

barang tentu keduanya harus dan memang muncul dari teori mikro superpenghantar. Untuk

melihat jelas mengenai arti kebebasan kedua sifat itu. Kita dapat mengacu pada tinjauan

klasik yang sekarang mengenai penghantar sempurna dalam medan magnet.

Tinjaulah sebuah bola yang kehantarannya dengan suatu cara dapat diubah dari suatu

harga tertentu menjadi takhingga. Sebagai missal, kita dapat mengubah kehantaran suatu

penghantar dengan mengubah suhunya. Ketika kehantarannya tak hingga, di mana pun di

dalam superpenghantar medan listrik sama dengan nol, dan akibatnya curl dan әB/әt nya juga

nol. Jadi, bila bola didinginkan (mempunyai kehantaran yang sempurna) dalam medan seragam B0,

rapat fluks di dalam bola tetap B0 sampai keadaan kehantaran sempurnanya hilang. Sebaliknya, jika

bola didinginkan dalam keadaan tanpa medan, rapat fluksnya tetap nol sampaikehantaran

sempurnanya hilang, walaupun misalnya, bola itu ditempatkan di dalam medan luar yang mula-mula

seragam. Jadi, kehantaran sempurna tidak menunjukan adanya peniadaan fluks dan akibatnya B=0

adalah postulat yang harus diperkenalkan secara terpisah. Dengan cara yang serupa, untuk bahan

dengan kerentanan χm = -1 akan selalu mempunyai B = 0, dan hal ini tidak akan membatasi

kehantaran yang mungkin dipunyai oleh bahan.

Dalam bab ini kita terutama berhadapan dengan segi magnet superkehantaran (kehantaran takhingga akan dibahasnlebih lanjut tetapi tidak akan memegang peranan penting dalam permasalahan yang ditinjau disini), dan perumusan yang tetap untuk ini akan dikembangkan. Pendekatan pertama, yang mewakili penyimpangan terkecil dari hal yang telah dilakukan, menyatakan bahwa di dalam superpenghantar B = μ0 [H + M] = 0 dan diperbatasan antara superpenghantar dengan medium lain, komponen singgung H dan komponen normal B malar. Pendekatan ini memandang superpenghantar sebagai bahan magnet dengan kerentanan χm = -1, yaitu suatau medium yang menunjukan kediamagnetan sempurna. Pada permukaan superpenghantar, arus pemagnetan mengalir dengan rapat

permukaan (A/M) JM = n x [Mkeluar – Mmasuk] dengan n sebagai normal keluar terhadap permukaan (cacat bahwa Mkeluar biasanya nol); di dalam superpenghantar, arus pemagnetan volum mengalir

dengan kerapatan JM = Ñ x M.

Perian yang lain menempatkan B = H = M = 0 di dalam superpenghantar dan menimbulkan arus permukaan nyata js= n x IIkeluar (mengingat IImasuk dianggap nol). Dalam perian ini tidak terdapat arus macam apapun yang mengalir di bagian dalam superpenghantar. Kedua perian tentang superpenghantar ini demikian berbedanya sehingga wajarlah jika timbul pertanyaan bagaimana keduanya dikaitkan. Pernyataan yang biasa adalah bahwa keduanya setara apabila diberi tafsiran sebagaimana mestinya. Meskipun demikian, kiranya tepat untuk mempertimbangkan pertanyaan itu secara lebih rinci. Pertama-tama kita ingat bahwa antara arus angkut nyata dan arus pemagnetan terdapat dua perbedaan. Yang pertama dari keduanya adalah bahwa arus angkut pemagnetan merupakan sumber untuk B. Karena B adalah besaran medan magnet yang dapat diperoleh, sedangkan II diperkenalkan terutama agar mempunyai besaran medan magnet yang ditentukan oleh arus angkut , maka perbedaan pertama ini antara kedua macam arusnya jelas mudah tetapi agak dibuat-buat. Perbedaan kedua adalah bahwa arus angkut di dalam bahan normal bersifat melesap (yaitu, menimbulkan pemanasan joule ) sedangkan arus pemagnetan tidak demikian. Tetapi untuk superpenghantar, perbedaan ini pun bahkan menghilang. Selanjutnay, karena dapat ditunjukkan bahwa pemagnetan superpenghantar tidak disebabkan oleh spin ( dan dengan demikian dikaitkan dengan gerak lingkar pembawa muatan). Maka kedua perian itu dapat setara. Pernyataan lain yang singat dan jelas adalah bahwa karena hanya B yang dapat diukur, kita dapat memilih M dan H menurut aturan yang nisbi agak sebarang sepanjang kita membagi J dan JM secara bersesuaian dan memahami bahwa keduanya di dalam semipenghantar tidak dapat dibedakan.

Untuk hampir semua yang akan dilakukan, perian H,M H҂ 0 akan memudahkan. Hal ini merupakan akibat perluasan alami dari apa yang telah dilakukan sebelumnya untuk bahan normal dan karena rumusan ini menyebabkan persoalan nilai batas yang lazim. Namun, dalam pasal berikut ini, akan ditinjau dua persoalan, masing-masing dalam kedua rumusan, dengan maksud membuat jelas kesamaannya.

Contoh tentang Peniadaan Sempurna Fluks

Untuk memperkuat gagasan yang disajikan dalam pasal sebelumnya, kita akan meninjau contoh dasar : yaitu bola yang bersifat super-menghanatar dalam medan yang secara asimtot seragam, dan silinder yang super-menghantar dengan panjang tak hingga serta berarus listrik. Kedua rumusan akan digunakan untuk menunjukkan secara eksplisit bahwa dalam hal ini keduanya setara.

Tinjaulah pertama-tama bola super-menghantar berjejari a yang ditempatkan dalam medan luar seragam B0 k. Pada rumusan pertama, yang memperlakukan superpenghantar itu sebagi bahan bermagnet, maka persoalan nilai batas mempunyai bentuk

Di luar BB0 k as r takhingga

Ñ . B = 0

Ñ x H = 0

B = μ0 H (15.1)

Di dalam B = 0, H = - M

Ñ x H = 0

Ñ x M = 0 (15.2)

Pada r = a, Br malar,

H0 malar. (15.3)

Satu – satunya persamaan yang tidak biasa ialah Ñ x M = 0, yang terbentuk dengan dasar bahwa di dalam bola super menghantar tidak terdapat kutub magnet. Dengan semua

persamaan ini dua potensial skalar magnet, φ1 di luar dan φ2 di dalam, dapat dimasukkan. Keduanya memenuhi persamaan Laplece, dan daripadanya medan H dapat ditentukan dengan menggunakan gradien negatifnya. Dengan menggunakan koordinat bola dan secara eksplisit memperhitungkan persamaan pertama dari persamaan (15.1), kita dapatkan

φ1 = - B0

μ0 r cos ϴ + ∑

l=0

∞

cl r−(l+1) pl(cos ϴ ) (15.4)

Dari sini

Br = B0 cos ϴ + μ0 ∑l=0

∞

(l+1)c l r−(l+1) pl(cos ϴ ) (15.5)

Karena B adalah nol di dalam dan Br malar sepanjang r = a, setiap ct kecuali c1 harus

nol dan c1 = -B0 a3 / 2 μ0. Hal ini kemudian secara sempurna menyelesaikan persoalan untuk r > atanpa memerlukan bantuan syarat batas pada komponen tangensial H, satu – satunya yang masuk adalah B = 0 di dalam dan kemalaran komponen normal B di r = a. Di dalam bola,

poensial φ2 harus teratur di r = 0 dan agar sesuai dengan syarat batas, hanya dapat melibatkan

P1 (cos ϴ ). Jadi φ2 = d2 r cos ϴ, dengan d2 adalah tetapan yang harus ditentukan, dan melalui

pediferensialan, Hr = - d2 cos ϴ dan Hϴ = d2 sin ϴ. Karena di luar Hϴ = - 32 (B0 / μ0) sin ϴ,

maka d2 = - 3 B0 / 2μ0. Tidak terdapat arus angkut permukaan, tetapi ada arus pemagnetan

permukaan jM = - 32 (B0 / μ0) sin ϴ a karena ketakmalaran M. Semua ini dapat diikhtisarkan

sebagai berikut :

Di luar : B = μ0 H = B0 k - B0 a3

r 3 cos ϴ ar - 12 B0 sin ϴ aϴ

Di dalam : B = 0, H = 32

B0μo

k, M = - 32

B0μo

k (15.6)

Pada r = a : jM = - 32

B0μo sin ϴ ar

Rumusan kedua untuk daerah di luar identik, tetapi untuk di dalam mempunyai bentuk

B = H = M = 0. Tardapat pula arus angkut nyata di permukaan, yaitu js = n x Hkeluar = - 32 (B0 /

μ0) sin ϴ aϴ. Perian ini dapat diikhtisarkan sebagai berikut :

Di luar : B = μo H = B0 k - B0 a3

r 3 cos ϴ ar - 12 B0 sin ϴ aϴ

Di dalam : B = H = M = 0

Di r : js = - 32

B0μo sin ϴ aφ ........................................................................ (15.7)

Kaitan antara kedua perian kini barangkali jelas. Di luar keduanya sama, sabagaimana seharusmya. Apabila demkikian dapat dirancang suatu percobaan sederhana unutk memilih perian yang benar. Didalam, kedua perian memberikan B = 0, tetapi H dan M mempunyai harga terhingga untuk hal yang pertama dan sama dengan nol dalam hal yang kedua. Namun bukan H atau M yang dapat diamati melalui percobaan, dan akibatnya, perbedaan ini tidaklah penting. Dalam kedua hal itu terdapat arus permukaan yang identik, tetapi, dalam yang pertama hal itu dianggap sebagai arus angkut, sedangkan dalam hal yang kedua disebut arus pemagnetan. Sebutan apa yang diberikan pada arus itu penting hanya karena harus taat ases dengan H dan M di dalam superpenghantar. Sebagai misal, apabila kita menghitung momen magnet bola yang super menghantar, salah satu jM atau M dapat digunakan, tetapi tidak kedua – duanya, namun jS yang nyata selalu memberikan saham pada momen magnet.

Contoh kedua, yang selanjutnya memberikan gambar tentang tak dapat dibedakannya arus angkut dan arus pemagnetan yang super menghantar merupakan hal yang menyangkut silinder super menghantar yang panjangnya tak hingga dan berarus listrik. Namun, sebelum membahas soal ini secara rinci, kita harus ingat bahwa di bagian dalam superpenghantar yang sempurna jumlah J dan JM selalu nol. Ini disebabkan B = 0, yang menunjukkan bahwa Ñ x B = 0, sehingga Ñ x H + Ñ x M = J + JM= 0. Pada permukaan ketakmalaran pernyataan itu tidak dapat digunakan, dan suatu arus permukaan total terhingga JS + JM mungkin saja ada. Namun pernyataan tersebut secara jelas menunjukkan bahwa arus total selalu merupakan arus permukaan.

Kini kembali ke kawat, yang diumpamakan berjejari a dan menghasilkan arus I0 (dalam arah z positif), kita ketahui dari Hukum Ampere bahwa di luar kawat, B = (μo x H = μO I / 2 πr) aϴ (koordinat silinder). Jika digunakan perian pertama, M, H ҂ 0 di dalam, kita harus membuat beberapa andaian mengenai rapat arus di dalam kawat, dan karena kemalaran komponen tengensial H yang diandaikan, andaian ini harus tidak melibatkan arus permukaan. Kemungkinan yang paling sederhana adlah kerapatan seragam : J = (I0 / πa2)k. Kemudian di dalam

H = I 0

2π r

a2 aϴ dan M = - I 0

2π r

a2 aϴ

Rapat arus pemagnetan adalah JM = - (I0 / πa2)k, dan pada permukaan terdapat rapat arus pemagnetan permukaan

jM = + ar x I 0

2πa aϴ =

I 0

2πa k

Yang tepat cukup untuk membawa arus total I0. Perian penggantinya cukup mengatakan B = H = M = 0 untuk di dalam jadi meemrlukan bahwa arus seluruhnya ada pada permukaan dengan rapat arus permukaan nyata js

’ = (I0 / πa2)k. Kedua perian ini diikhtisarkan dalam tabel 15.1. kecuali apabila dapat ditemukan cara untuk memisahkan arus angkut dari arus pemagnetan dalam superpenghantar, atau cara mengukur secara langsung H atau M di dalam suatu superpenghantar, maka kedua perian itu setara.

Tabel 15.1 kawat super menghantar yang berarus listrik :

Rumusan 1 Rumusan 2

Superpenghantar sebagai bahan magnet dengan χm = -1

Peniadaan fluks oleh arus angkut permukaan

M = - H ҂ 0 M = H = 0

Di luarB = μ0 H =

μ 0 I 0

2πr aϴ B = μ0 H =

μ 0 I 0

2πr

Di dalam B = 0 B = 0

H = I 0 r

2πa aϴ

H = 0

M = - I 0 r

2π a2 aϴM = 0

J = I0

π a2 kJ = 0

JM = - I0

π a2 kJM = 0

Di r = a JM = (I0 / πa2)k jM = 0

js = 0 js = (I0 / πa2)k

Dalam kedua persoalan yang baru saja dibahas rumusan M = H = 0 memiliki keuntungan semu dalam hal kesederhanaan. Namun untuk persoalan yang lebih rumit, terutama yang melibatkan faktor pengawamagnetan yang besar, rumusan pemagnetan yang disebarkan adalah menguntungkan. Salah satu dari metode ini dapat digunakandan hasilnya akan setara, tetapi keduanya harus tidak dicampur dalam satu persoalan.

PERSAMAAN LONDON

Dalam pasal sebelumnya, peniadaan fluks dibahas berdasarkan penyajian suatu superpenghantar yang sangat diidealkan. Penyajian ini memaparkan kembali banyak dari ciri superkehantaran yang teramati tetapi gagal untuk menjelaskan secara memadai beberapa rincian yang sudah diamati. Suatu teori yang lebih canggih dapat dikembangkan dengan memulai dari konsep kehantaran sempurna dan membuat ubahsuaian yang tepat untuk memasukkan efek Meissner.

Dalam suatu penghantar sempurna (bukan superpenghantar) pembawa muatan tidak akan mengalami gaya hambatan, akibatnya di dalam suatu medan listrik E, pembawa muatan itu akan bergerka sesuai dengan

Mp ѷ = q E .......................................................................................................... (15.8)

Dengan MP adalah massa pembawa muatan dan ѷ adalah percepatannya. Tetapi jika v adalah kecepatan rata – rata pembawa muatan dan ada n pembawa muatan per satuan volum, maka rapat arunya adalah J = nqv. Karena itu bentuk lain persamaan (15.8) adalah

J = (nq2 / mp) E .................................................................................................... (15.9)

Dengan J = dj / dt. Dengan mengambil curl dari persamaan ini dan menggunakan

Ñ x E = - ∂B ∂t, kita peroleh

Ñ x J = - (nq2 / mp) B .......................................................................................... (15.10)

Dengan menganggap bahwa medan berubah secara lambat dan dengan menggunakan

Ñ x H = J untuk menghilangkan J, kita peroleh

Ñ x Ñ x H = - (nq2 / mp) B .................................................................................... (15.11)

Dengan menganggap bahwa B = μo H dan menggunakan definisi Laplace untuk suatu vektor (dengan Ñ . B = 0) dihasilkan

Ñ2B = (μo nq2 / mp) B ......................................................................................... (15.12)

Pentingnyapersamaanini paling baik dapat dilihat dengan cara meninjau penghantar sempurna setengah hingga yang dibatasi oleh bidangZ=0danterbentang kea rah z positif. Andaikanbahwa di permukaan BY = Bz = 0, Bx = Bx0 dan bahwa Bx0 tidak bergantungpada x atau y. persamaan yang menentukanBxdengan demikian adalah

d2Bx

dz2 =μ0nq

2

mp

Bx (15.13 )

Yang mempunyai jawab umum

Bx=Ae−√μ0nq2 /m p z+Be

√μ0nq2 /m p z

Jawab yang bertambah secara eksponensial dapat diabaikan karena tidak mempunyai arti fisi, dan A dapat dipilih sehimgga memberikan hargaBx yang benar pada z = 0, dengan demikian

Bx=Bxoe−√μ0nq

2 /m p z (15.14 )

Mudah untuk membuktikan kebenaran bahwa(mp /μonq2 )1 /2

mempunyai

dimensi panjang dan bahwa untuk q dan mp yang tepat untuk suatu electron dan n yang bersesuaian dengan satu electron peratom, panjang ini kira-kira 10-8 m. Karena itu persamaan (15.12) menunjukkan bahwa didlam penghantar yang sempurna itu, turunan B terhadap waktu menuju ke nol secara eksponensial terhadap jarak dari permukaan. jadi, didalam penghantar yang sempurna itu, B sangat kecil kecuali pada suatu lapisan permukaan yang tipis. Hal ini merupakan perbaikan yang masuk akal terhadap kesimpulan sebelumnya yang mengatakan bahwa B=0 dimana pun di dalam suatu penghantar sempurna.

Perkembangan yang baru saja diuraikan sekalilagi menunjukkan bahwa kehantaran sempurna tidak menyebabkan peniadaan fluks.Namun, hal itu juga menunjukkan bagaimana peniadaan fluks dapat dicakup dalam suautu teori. Jika persamaan (15.12) memerikan perilaku B alih-alih B, maka B itu sendiri akan berkurang secara eksponensial dari harganya di permukaan, menjadi nol di dalam super penghantar. Inilah yang menjadi doronganuntuk di kembangkannya suatu teori mengenai perilaku listrik-magnet super penghantaroleh F danH.London

Dalam teori ini diandaikan bahwa arus totalnya dapat dipecah menjadi arus super Js arus lesap Jles dan arus geser Jges:

J= Js + Jles + Jges (15.15)

Arus lesap dan arus geser di atur oleh persamaan J les = gE dan J ges= δ D /δ t . sekarang tinggal menghubungkan Js dengan medan listrik-magnet. Hal ini dapat dilakukan, dimulai dengan persamaan (15.15), persamaan Maxwell, dan persamaan dasar London (bentuk serupa dengan persamaan (15.10) tetapi meibatkan B dan J, bukan turuannya). Jika prosedur ini di ikuti secara berhati-hati, dapat di tunjukkan bahwa untuk frekuensi kurang dari kira-kira 1011 Hz, baik J lesmaupun J ges dapat diabaikan terhadap Js

kita seharusnya mu menerima hasil ini, yaitu J les≈0danJ ges≈0 , tanpa menyelidiki penjelasannya yang rinci ; andaian seperti tu setidak-tidaknya masuk akal untuk maxalah arus tunak untuk jenis yang dibahas dalam bab ini. Aru syang tinggal, Js mencakup arus angkut dan arus pemagnetan, dan akibatnya, dari persamaan Maxwell diperoleh

Js=(1/µ0 )∇×B

(15.16)

Untuk memperoleh persamaan yang melibatkan peubah medan magnet,bukaan turunannya, London membuat dalil bahwa

µ0∇×J s=−(1/ λ2 )B(15.17)

Persamaan ini berbeda dengan persamaan (15.10) dalam arti bahwa persamaan ini melibatkan Js dan B . Oleh karena itu, persamaan ini akan menuju ke persamaan yang analog dengan persamaan (15.12) untuk medan dan bukan untuk turunannya. Juga kedalaman penembusan yang bersifat fenomenologi,λ, telah di perkenalkan sebagai ciri parameter yang khas pada bahan super-penghantar

(µ0 terjadiuntuk membuat dimensiλ suatu panjang ) persamaan (15.17) akan mengarah kepada pengaruh meissner, tetapi agar mencakup kehantaran tanhingga , kita harus secara terpisah mengandaikan bahwa

µ0 J s=(1 /λ2 )E(15.18)

Namun, persamaa yang terakhir tidak mempunyai peranan lebih lanjut dalam persoalan yang dibahas disini . Persamaan (15.16) dan (15.17) dapat digabungkan untuk menghasilkan

∇×∇×В=−(1/ λ2 )(15.19)

Karena ∇ .В=0 persamaan itudapat ditulis

∇2В=¿ (1/ λ2 )B(15.20)

Persamaan (15.20) dapat diselesaikan untuk halnya kerping setengah-tanhingga tepat seperti persamaan (15.13) jawab

Bx (Z )=Bxne−1/ λ

(15.21)

Menunjukkan bahwa B alih-alih B kini berkurang secara eksponensial ketika keeping di tembus. Inilah perempatan B=0 yang dikehendaki dalam superpenghantar.

Kedalaman penembusan λ diperkenalkan disini sebagai parameter fenomenologi; namun, berbagai teori telah disusun sebagai usaha untuk menghitung besarnya. Kita lebih tertarik dalam penentuan λ secara percobaan. Suatu pendekatan yang nyata adalah membuat selonoida dengan inti yang super-menghantar. Induktansi solenoida semacam ini tentu sangat kecil jika superpenghantarnya sempurna dan mengisi sepenuhnya volum yang dilingkupi oleh selonoida. Jika sebaliknya, terdapat keedalaman penembusan merupaka bagian yang penting dari jejari selonoida.kedalaman penembusan dapat diperkirakan dari pengukuran induktansi. Kelayakan penentuan seperti itu bergantung pada angka banding antara volum yang ditembus medan terhadap volum total dari terokan. Kenyataannya, λ umunya beberapa per juta cm, dan akibatnya percobaan sederhana seperti diusulkan diatas tidak akan memberikan hasi yang berarti. Namun, kesulitan ini dapat diatasi dengan menggunakan suatu terokan dengan angka banding luas permukaan-terdhadap-volum yang besar. Percobaan pertama jenis ini yang berhasil, yang dilakukan dnegan koloida merkuri, dilaksanakn oleh D.shoenberg dalam tahun 1939. Semua percobaan itu menyimpulkan bahwa medan magnet menembus bola merkuri kecil yang super-menghatar dan bahwa kedalaman penembusan bergantung pada suhu. Perrcobaan shoenberg yang asli, yang kemudian diperlias dan ditambah, menunjukan bahwa konsep kedlaamn penembusan adalah sahih dan penting.

Peersamaan (15.15)(15.17)dan (15.18) bersama dengan keempat persamaan Maxwell, secara kolektif sering disebut persamaan Maxwell-london dan sangat bermanfaat untuk mengolah persoalan listrik-magnet yang melibatkan super-penghantar.

Sebagaimana sudah jelas dari pembahasan sebelumnya, konsep peniadaan sempurna fluks merupakan pengidealan,. Yang sebenarnya, fluks magnet menembs lapisan tipis di permukaan superpenghantar, dan

menurut teoir London, makin kedalam berkurang secara eksponensial. Rapaat arus permukaan, Jm (atau mungkin juga arus super Js) juga merupaakn suatu pengidealan. Sekali lagi, disini rapat arus super Js

tersebar dalam suatu lapisan tipis permukaan dan makin keda;am berkurang secara eksponensial.Jadi, didalam teori London tidak terdapat Jm tetapi hsnya rapat arus super total Js . Dalam pasal berikutnya, kedua soal yang telah dibahas sebelumnya akan diselesaikan dengan menggunakan persamaan Maxwell-london.

15.5 Contoh Penggunaan persamaan London

Untuk memahami lebih baik persamaan Maxwell-london, persamaan itu sekarang akan digunakan untuk memperoleh jawab yang leih baik bagi soal yang telah dibahas dalam pasal 15.3. Soal pertama menyangkut bola yang super menghantar berjari-jari α, didalam medan luar yang pada jarak yang jauh seragam dan sama dengan Bok. persamaan yang dipenuhi oleh persyaratan medan adalah

Di luar: ∇ .В=0 , ∇×H=0 В¿ µ0H ,

Di dalam : ∇2В=¿ (1/ λ2 )B, ∇ .В=0 ,

(15.22)

Dengan λ adalah kedalaman penembusan, yang dianggap sebagai parameter fenomenologi. Syarat batas yang harus dipenuhi adalah

Di ¿∞ : B = Bok,

Di r = α : Br dan Bo malar (15.23)

Satu-satunya dari syart atas ini yang memerlukan tanggapan lebih lanjut adalah kemalaran B.di

r = α. Hal ini berasal dari andaian,sesuai dengan pembahasan pada akhir pasal sebelumnya, bahwa arus super (baik arus angkut maupun arus pemagnetan ) tidak pernah terhingga, yaitu tidak ada rapat arus permukaan Jm atau Js. Dalam hal ini komponen tangensial dari H maupun M adalah malar, dan oleh karena itu komponen tangensial B juga malar.

Jawab persamaan untuk medan diluar bola tidak merupakan kesulitan. Potensial scalar magnet yang memenuhi persamaan laplace dapat dimasukan tepat seperti yang telah dilakukan daam pasal 15.3 dan jawab umum dapat diperoleh.Namun, untuk darah didalam persamaan

∇2В=¿ (1/ λ2 )B,harus diselesaikan. Jika dalam koordiant bola operator

laplace suatu vector dapat diperoleh hanya dengan menggunakan operator laplace tiap koordianatnya,maka jawab persamaa n ini dengan

mudah dapat diperoleh.Namun, bukan demikianlah halnya, melainkan arus menghitung curl vektornya. Sebagai akibatnya, bahkan dalam soal yang sederhana ini, komponen –r dan -0 dari ∇2В=¿ (1/ λ2 )B melibatkan B

maupun B0 kerumitan ini dapat dikatakan telah diketahui dengan baik, dan cara-cara yang luas untuk memecahkan persamaan vector Helmholtz telah dikembangkan .Namun, pengembangan dan penerapan berbagai cara ini agak di luar jangkauan buku ini. Dengan demikian, hasil pada pasal 15.3 akan di gunakan untuk memperkirakan (Ansatz) bentuk jawaban. Jawaban akhir yang di peroleh akan di benarkan karena mempengaruhi persamaan dan syarat batas dan karena semua persamaan dan syarat batas tersebut mempunyai satu jawaban khusus. Sudah barang tentu kekhususan itu dapat di buktikan, tetapi di sini akan dianggap memang demikian.

Dalam pasal 15.3 diketahui bahwahanya suku P1 (cos ϴ) dalam ϕ* saja yang tetap ada dalam jawab untuk daerah di luar bola. Akan diandaikan bahwa hal ini tuk teori Maxwell-London dan bahwa

B (r ,θ )=Bo k−b( ar )3 [cos θar+

12

sinθar] (di luar) (15.24)

Persamaan ini sangat mirip dengan,persamaan (15.7) yang pertama, satu-satunya perbedaan hanyalah bahwa Bo di gantikan oleh b di bagian dari medan yang di sebabkan oleh pemagnetan bola. Nilai b akan di tentukan dengan cara menyesuaikan syarat batasnya. Untuk daerah bagian dalam bola, pasal 15.3 memberikan sedikit petunjuk; namun dari bentuk M yang di temukan di sana dan kenyataan bahwa dan kenyataan bahwa dalam persamaan (15.24) B, bergantung pada θ melalui cosθ , sedangkan Bo i bergantung pada θ, maka pengandaian yang masuk akal mungkin adalah

Bθ=u (r ) sinθ(di dalam) (15.25a)Bθ=v (r )sinθ(di luar) (15.25b)

Kedua fungsi u(r) dan v (r ) harus di tentukan sedemikian sehingga ∇2B=(1/ λ2 )B dan juga sedemikian sehingga syarat batas di r=a di penuhi.Syarat batas ini adalah

u (a )=Bo−b (15.26a)

v (a )=−Bo−b/2 (15.26b)

Dengan menguraikan ∇×∇×B dan menggunakan bentuk andaian (15.25), diperoleh persamaan untuk u dan v

rdvdr

+v+u=−r2

2 λ2 u (15.27a)

Dan

rd2 vd r2 +2 r

dvdr

+r dudr

=−r2

λ2 v (15.27a)

Dengan mendiferensiasikan persamaan (15.27a) dan mengkurangkannya dari persamaan (15.27b) di hasilkan

v=−u−12ru ' (15.28)

Dengan menggunakan hasil ini untuk menghilangkan v dan dv /dr danri persamaan (15.27a) di hasilkan persamaan untuk u:

r2 d2u

d r2 +4 rdudr

= r2

λ2 u (15.29)

Dengan memasukan ξ∨¿ ru dan dengan mengubah perubahan bebas menjadi ρ=r / i λ menghasilkan persamaan untuk fungsi bola Bessel tingkat pertama [persamaan (17.84) dengan l=1¿. Dengan menggunakan jawab J1 ¿ dari tabel 17.2 diperoleh

u (r )=c¿¿ (15.30)

Sebagai jawab yang teratur di titik nol. Dari persamaan (15.28) dan (15.29) kita temukan bahwa

v= c2 ( λr )

3[(1+ r 2

λ2 )sinh( rλ )−( rλ )cosh ( rλ )] (15.31)

Persamaan ini mengakhiri penyelesaian yang lazim kecuali untuk menggunakan persamaan (15.26), (15.30), dan (15.31) untuk menentukan b dan c. Nilai ini adalah

c=−3Bo( aλ )sinh( aλ ) (15.32)

b=Bo[1+3( λa )2

−3( λa )cot h( aλ )] (15.33)

Mungkin dapat di harapkan bahwa untuk nilai λ /a yang sangant kecil, medan tidak akan banyak berbeda dengan medan yang berada dalam pasal 15.3 untuk bola super penghantar yang sempurna. Kita dapat menguji bahwa memang demikianlah halnya, dengan memanfaatkan kenyataan bahwa cot x secara eksponensial mendekati satu untuk harga x yang besar. Jadi

b≈ Bo(1−3λa+3

λ2

22 +…) λa ≪1 (15.34)

Dan koreksi yang pertama untuk medan di luar bola adalah tingkat λ /a. Contoh kedua dari penyelesaian persamaan London adalah kawat panjang berarus. Jejari kawat akan diambil sebesar a, kedalaman penembusan λ dan arus (nyata) luar total I o. Di luar kawat itu, II di tentukan oleh hukum

Ampere dan B=μoH . Oleh karena itu,

H r=H z=B r=B z=0 ; Bo=μoH o=μo

I o

2πr (di luar) (15.35)

Di dalam B memenuhi

∇2B= 1

λ2B (15.36)

Berdasarkan kesimetrisan, B hanya mempunyai komponen –θ dan ini hanya bergantung pada r. Dengan demikian, persamaan (15.36) menjadi

r2 d2

r 2 Bo+rddr

Bo−(1+ r2

λ2 )Bn=0 λ (15.37)

Bentuk ini adalah benar-benar persamaan Bessel untuk indeks satu dan argumen ir / λ. Jawab yang tidak tanhingga di titik nol adalah

Bo=AJ1 (ir /λ ) (15.38)

Koefisien A ditentukan dengan menyesuaikan Bθ di dalam dan Bθ di luar di r=a. Hasilnya adalah

Bo=μo I o

2πa

J1 (ir / λ )J 1 (ia / λ )

(di dalam) (15.39)

Karena J1 ¿ dengan I 1 adalah fungsi Bessel yang diubahsuai, persamaan (15.39) dapat di tuliskan dalam fungsi yang do tabelkan secara baku. Dari hasil ini kita dapat menghitung medan lain dan sebaran arus dan dapat menujukkan bahwa medan dan rapatan arus total secara eksponensial berkurang menurut jarak dari permukaan kawat. Namun, uraian rinci dibiarkan sebagai latihan.

Pembahasan sifat mengenai listrik magnet superpenghantar ini perlu dilanjutkan bagian demi bagian. Khususnya, persoalan yang berkaitan dengan medan yang bergantung waktu dan teori mikro superkehantaran telah diabaikan. banyak diantaranya dibahas dalam buku-buku baru tentang superpenghantar *. Dua dari buku terdahulu yang melengkapi bab ini adalah buku yang di tulis oleh F. London dan D.Shoenberg.