BAB I
PENDAHULUAN
A. Metode Numerik
Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan
dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan
yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai
penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan
dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Sebagai contoh
perhatikan integral berikut ini.
L=∫0
1sin ( x)
xdx
Integral di atas terlihat tidak terlalu panjang, tetapi untuk menyelesaikan
integral tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak
mungkin. Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian,
hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa
memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama.
Padahal integral di atas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam
bidang teknik, khususnya pada analisa sinyal yang melibatkan sinyal frekwensi,
filtering dan optimasi pola radiasi.
Gambar.Kurva y=sin(x)
1
Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu
yang dapat digunakan untuk menghitung integral tersebut. Meskipun metode
tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidak sudah
mendekati nilai yang diharapkan.
Pada persoalan lain, misalnya diketahui suatu kurva dari fungsi non-linier
y=x2+exp(x)sebagai berikut :
Gambar.Kurva y=x2+exp(x)
Perhatikan kurva y=x2+exp(x)memotong sumbu X di antara –1 dan –0.5, tetapi
untuk menentukan akar persamaan (titik potong dengan sumbu X) tersebut dengan
menggunakan metode manual dapat dikatakan tidak mungkin. Sehingga diperlukan
metode-metode pendekatan untuk dapat memperoleh akar yang dapat dikatakan
benar. Metode tersebut adalah metode numerik, yaitu metode yang menggunakan
analisisanalisis pendekatan untuk menghasilkan nilai yang diharapkan.
Persoalan lain adalah bagaimana menentukan fungsi polynomial yang terbaik
yang dapat mewakili suatu data seperti berikut:
2
Gambar.Kurva Pendekatan
Secara analitik, untuk memperoleh fungsi polynomial dari jumlah data yang
kecil (<20) masih bisa dilakukan, tetapi untuk jumlah data yang besar sulit sekali
dilakukan karena akan membutuhkan waktu yang sangat lama. Untuk itulah
digunakan perhitungan komputer, dan pemakaian metode numeric mejadi penting
artinya untuk menyelesaikan permasalahan ini.
Selain adanya persoalan-persoalan di atas, seiring dengan perkembangan
pemakaian komputer sebagai alat bantu dalam menyelesaikan persoalan, maka
pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang
dapat dimengerti oleh komputer. Sehingga metode numerik yang memang
berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam
menyelesaian persoalan-persoalan perhitungan yang rumit. Telah banyak yang
menawarkan program program numerik ini sebagai alat bantu perhitungan.
Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan-persoalan
perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaan dan metode yang digunakan untuk
menghasilkan penyelesaian yang baik adalah :
1. Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorema
analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan
tersebut, maka penyelesaian matematis (metode analitik) adalah
penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan
bagi pemakaian metode pendekatan.
2. Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara
matematis (analitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat
digunakan, maka dapat digunakan metode numerik.
3. Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas
tinggi,sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian
dengan baik,maka dapat digunakan metode-metode simulasi.
Prinsip-prinsip Metode numerik
Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan
secara analitik tidak dapat digunakan. Metode numerik ini berangkat dari pemikiran
bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan-
3
pendekatan yang dapat dipertanggung-jawabkan secara analitik. Metode numerik ini
disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan
mudah.
Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan
analisis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar jauh dari dasar
pemikiran analitis, hanya saja pemakaian grafis dan teknik perhitungan yang mudah
merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa
algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan
maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasiyaitu pengulangan proses
perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dalam metode numerik adalah
perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus diperoleh
hasil yang main mendekati nilai penyelesaian exact. Perhatikan salah bentuk
formulasi dalam metode numerik adalah:
xn=xn-1+δxn-1
Terlihat bahwa hasil iterasi ke n adalah hasil iterasi ke n-1 (sebelumnya) dengan
ditambah δxn-1yang merupakan nilai perbaikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa
semakain banyak iterasi yang digunakan, maka nilainya semakin mendekati nilai
exact atau semakin baik hasil yang diperoleh.
Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentukan setiap nilai
hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Dalam analisa
metode numerik, kesalahan ini menjadi penting artinya. Karena kesalahan dalam
pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar,
tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode analitik selalu
membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.
Persoalan-persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik adalah
persoalan-persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan
menggunakan metode analitik, antara lain:
Menyelesaikan persamaan non linier
Menyelesaikan persamaan simultan atau multi-variabel
Menyelesaikan differensial dan integral
Interpolasi dan Regresi
4
Menyelesaikan persamaan differensial
Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat
B. Komputasi Numerik
Adanya kemajuan teknologi komputer yang memungkinkan pelaksanaan
komputasi secara tepat dan cepat menjadikan berbagai metode penyelesaian
persoalan dengan pendekatan numerik sangata berguna, karena antara lain :
1) Pendekatan numerik yang mungkin merupakan salah satunya alternatif
penyelesaian dapat diperoleh secara efisien
2) Pendekatan numerik memungkinkan pengkajian parametrik dari berbagai
persoalan dari medan yang bersifat sembarang,yang tidak dapat dipecahkan
secara eksak.
Guna menunjang komputasi ilmiah ada beberapa hal yang berkaitan dengan
teknik pemrograman dan penggunaan komputer yang perlu diketahui yaitu:
1. Bahasa pemrograman dan beberapa diantaranya yang banyak dipakai pada saat
ini adalah MATLAB,Turbo C++,Borland C++ ,Maple dll.
2. Sistem komputer yang menggunakan bahasa pemrograman tersebut
3. Cara men debug (melenyapkan kesalahan) dari program komputer dan
memastikan keabsahan hasil yang diperoleh
4. Cara menyusun prosedur komputasi
C Mengenal Bahasa Pemrograman MATLAB
MATLAB merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi yang berbasis
dengan matrik yang sering digunakan untuk tehnik komputasi numerik yang
digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang malibatkan operasi
matematika elemen, matrik, optimasi, aproksimasi, dll. MATLAB terdiri dari :
1. Window – window MATLAB
Ada beberapa macam window yang tersedia dalam MATLAB yaitu:
a. MATLAB Command window atau Editor
MATLAB Command window atau editor merupakan window yang
dibuka pertama kali MATLAB dijalankan, seperti terlihat dibawah ini :
5
Pada window diatas dapat dilakukan akses – akses ke command – command
MATLAB dengan mengetikkan barisan-barisan ekpresi MATLAB, seperti
mengakses help window dan lain-lainnya.
b. MATLAB Editor atau Debugger (Editor M-File atau Pencarian
Kesalahan)
Window ini merupakan tool yang disediakan oleh MATLAB yang
berfungsi sebagai editor script MATLAB (M-File). Walaupun sebenarnya
script ini dalam pemrograman MATLAB dapat saja menggunakan editor
lain seperti Notepad, Wordpad, bahkan Word. Untuk mengakses M-File
dapat dilakukan dengan cara :
1. Memilih File lalu pilih New
2. Pilih M-File, maka MATLAB akan menampilkan editor window.
6
Selain cara di atas, untuk menampilkan editor M-File ini dapat juga dengan
mengetik >> edit.
c. Figure Windows
Window ini adalah hasil visualisasi script MATLAB. Namun
MATLAB juga memberi kemudahan untuk mengedit window ini
sekaligus memberikan program khusus untuk itu sehingga window ini
selain berfungsi sebagai visualisasi output daopt juga sekaligus menjadi
media input yang interaktif.
d. MATLAB Help Window
MATLAB menyediakan system help yang dapat diakses dengan
perintah help. Misalnya untuk memperoleh informasi mengenai fungsi
elfan, yaitu untuk fungsi trigonometri , eksponsila, kompleks, dan lain-
lain, yand dapt diakses dengan mengetik : >> help elfun, lalu tekan enter.
Maka dilayar akan muncul informasi dalam bentuk teks pada layar
MATLAB.
3. Bilangan dan Operator Matematika di MATLAB
Ada tiga tipe bilangan di dalam MATLAB yaitu :
Bilangan Bulat (integer),
Bilangan Real
Bilangan Kompleks
4. Komentar dan tanda Baca
7
Semua teks sesudah tanda % dianggap statement komentar, contoh :
Semester=8 % jumlah semester S I
Semester =
8
8
BAB II
METODE BAGI DUA (BISECTION)
A. Tujuan Praktikum
1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar
persamaan non linier khususnya menggunakan metode bagi dua.
2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang
diberikan.
B. Dasar Teori
Metode bagi dua(bisection) ini didasarkan pada teorema nilai antara fungsi
kontinu,yaitu bahwa suatu selang[a,b] harus mengandung f(x)= 0,bila f(a) dan f(b)
berlawanan tanda misalnya f(a)>0 dan f(b)<0.Proses dilakukan dengan pengulangan
membagi selang [a,b] menjadi dua dalam setiap langkah diambil setengah selang
yang memenihi persyaratan tersebut.Proses ini didapatkan ketelitian yang sama
dengan interval[a,b] terakhir.
Dalam algoritma digunakan variable :
a sebagai batas bawah selang
b sebagai batas atas selang
T sebagai titik tengah
Bila f(a)>0 dan f(b)<0 maka perkalian keduanya menghasilkan bilangan yang
kecil dari 0 atau f(a)∙f(b)<0.ini berarti selang [a,b] terdapat paling sedikitnya satu
akar.
Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, sebut a dan b, a <
b ,yang harus memenuhi f(a),f(b) < 0 ; selang (a,b) mengandung satu akar. Mula-
mula ditentukan titik tengah selang (a,b) atau selang (a,b) dibagi dua sama
panjang,sebut titik Tengahnya T. Dua selang baru yang diperoleh yakni (a,T) dan
(T,b), salah satu diantaranya apsti mengandung akar.Proses diulangi dengan
membagi dua selang tersebut dan memeriksa setengah selang yang mana yang
9
mengandung akar. Pembagi-duaan selang ini dilanjutkan sampai lebar selang yang
ditinjau cukup kecil.
Gambar.Metode bagi dua
C. Algoritma
Masukan : f(x),a,b dan epsilon
Keluaran : Akar
Langkah-langkah :
1. bm := am : cm = bm
2. untuk iterasi =1,2,. . .,m
untuk i= m–1,m–2,...,1
bi= ai+
3. f(a).f(b)< 0
4. T :=a+b2
5. Jika f(a).f(T) < 0 berarti akar berada pada selang [a,T] maka b := T jika
tidak a:= T
6. Jika b–a≤ epsilonmaka estimasi akar:= T.Selesai
7. Ulangi kembali ke langkah 1
D. Flowchart
10Mulai
Variabel Xa,Xb,Xt
e = 0,0001
Xa = Input
Xb=Input
X t=Xa+ Xb
2
f(Xa) * f(Xr) < 0
f(Xa) * f(Xt) > 0
f(Xa) * f(Xt) = 0
Xb = Xt
Xa = Xt
Tidak
Ya
Ya
E. Listing Program
11
Selesai
MFILE 1
MFILE 2
Output Program Metode Bagi Dua
12
F. Kesimpulan
Tahap pertama proses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas
segmen nilai fungsi yang dicari.Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x)
untuk x = a dan x = b.Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a)x f(b)<
0.Apabila terpenuhi syarat tersebut,berarti terdapat akar fungsi dalam segmen
tinjauan.Jika tidak demikan,kembali harus ditetapkan nilai a dan b sedemikian rupa
sehingga terpenuhi ketentuan perkalian f(a)x f(b)< 0.
Dengan rumusan m = ( a + b ) / 2,diperiksa apakah nilai mutlak f(m) < 10-6
( batas simpangan kesalahan ). Jika benar,nilai x = m adalah solusi yang dicari. Jika
tidak terpenuhi,ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m apabila
f(a)*f(m)< 0,dan mengganti a = m bila f(a)* f(m)> 0,proses menemukan m baru
dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan.
Metode bisection adalah salah satu kelas metode pengelompokan karena
prosedur untuk mendapatkan nilai x untuk f(x) = 0 dilakukan melalui pendekatan
kelompok akar.Metode ini tidak sepenuhnya memanfaatkan data f(x) bagi
penentuan nilai x. Misalnya,tidak digunakannya ukuran relative f(a)dan f(b)karena
umumnya jika f(a)< f(b)dalam nilai mutlaknya,maka akar persamaan akan terletak
lebih dekat ke f(a). Salah satu cara efektif mendaptkan nilai m ini adalah
13
menghubungkan f(a)dan f(b)dengan garis lurus dan perpotongan garis ini dengan
absis x merupakan nilai m.
BAB III
14
METODE NEWTON RAPHSON
A.Tujuan praktikum
1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya
menggunakan metode Newton Raphson.
2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang
diberikan.
B.Dasar Teori
Gambar. Metode Newton-Raphson
Metode newton raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan
persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’.Metode ini
menggunakan suatu garis lurus sebagai ampiran fungsi pada selang.Garis tersebut
adalah garis singgung pada kurva.Dengan menggunakan suatu nilai awal xo dan
ditetapkan xi adalah titik potong sumbu x dengan garis singgung pada kurva fdititik
xo.maka :
tan∝=f ' ¿¿¿
Dalam setiap iterasi akan terbentuk xi secara berulang-ulang hingga
manghasilkan nilai X yang membuat f(x)=0.
15
Turunan pertama dari f(x) terhadap x adalah sama dengan kemiringan garis
singgung dititik tersebut.
f ' ( x i )=f (x0)x0−x1
⇔ x i+1=x i−f (xi)f ' (x i)
Dalam metode ini prinsip pengurangan akar tidak dipergunakan lagi, akibatnya
metode ini tidak dijamin lagi kekonvergenannya. Iterasi dihentikan apabila dua
iterasi yang beruntun menghasilkan hampiran akar yang sama. Dalam rumus iterasi
pada penyebut terdapat duku f '( x1). Agar metode berhasil, maka selama iterasi
nilasi ini tidak boleh pernah sama dengan nol.
C. Algorima
Masukan : f(x),f’(x),xo,epsilon,m( banyaknya iterasi )
Keluaran : Akar
Langkah-langkah :
1. definisikan terlebih dahulu fungsi dan aturan fungsinya
2. jika f’(x)=0 maka proses gagal.Selesai
3. jika tidak,xr≔ x0
f (x0)f '(x0)
4. jika |xr−x0
xr| ≤ epsilonmaka akar:= xr.Selesai satu iterasi
5. ulangi iterasi dengan mengambil x0:= xr
D. Flowchart
16
Mulai
E. Listing Program
MFILE 1
17
Definisikan fungsi
(abs(x(iter)-x(iter-1))<=eps)Iter>iter_max
Baca x0, x1, tol, iter
max
Iter = 0
Iter = iter+1
Fx=F(x0)
F1x=F’(x0)
x(iter)=x(iter-1)-((feval(fname,x(iter-1)))/(feval(dfname,x(iter-1))))
x0=xb
Tulis hasil xb,
F(xb)
Selesai
MFILE 2
MFILE 3
18
Output Program Newton Raphson
F. Kesimpulan
Metode yang paling baik dalam memilih g’(x) adalah dengan membuat garis
singgung dari f(x)untuk nilai x yang dipilih,an dengan menggunakan besaran x dari
perpotongan garis singgung terhadap absis sehingga diperoleh nilai x baru.
19
Keuntungan dalam menggunakan metode ini adalah sifat konvergensi kuadratik
dalam proses iterasi,karena terjadinya koreksi digit ganda di setiap
proses.Sedangkan kekruangan metode ini adalah harus mencari f’(x) dan nilainya
mungkin 0,tidaklah sederhana melacak proses untuk konvergen,dalam perhitungan
ada kemungkinan besar proses memberikan hasil divergen,kecuali nilai perkiraan
awal x cukup tepat.
BAB IV
20
METODE SECANT
A. Tujuan praktikum
1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan non linier khususnya
menggunakan metode Secant.
2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang
diberikan.
B. Dasar Teori
Gambar. Metode Secant
Metode secant diperoleh dari metode newton dengan cara menggantikan
turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi,
f ' ( xn )=f ( xn )−f (xn−1)
xn−xn−1
Kemudian sebagaiganti skema iterasi Newton diperolah
xn+1 := xn−f ( xn )xn−xn−1
f ( xn )−f (xn−1)
Secara geometri,dalam metode newton xn+1 merupakan perpotongan sumbu x
dan garis singgung di xn,sedangkan dalam metode secant xn+1 berupa perpotongan
21
sumbu x dan tali busur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn-1 dan xn.Metode
secant memerlukan dua tebakan awal,xo dan x1 tetapi menghindari perhitungan
turunan.dapat diperlihatkan bahwa metode sacant lebih lambat dibandingkan
dengan metode newton,tetapi tetap lebih disukai bilamana kerja perhitungan suatu
nilai f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja perhitungan nilai f(x).Algoritmanya
serupa dengan metode newton,tidak dianjurkan menuliskan skema iterasi diatas
dalam bentuk
xn+1=xn−1 f ( xn )−xn f (xn−1)
f ( xn )−f (xn−1)
Karena boleh jadi akan menimbulkan kesukaran (kehilangan angka benar)pada
waktu xn dan xn-1 bernilai sama.
C. Algoritma
Masukkan : xn,xn-1,f(x),x,epsilondan m( banyaknya iterasi )
Keluaran : akar
Langkah-langkah:
1. masukkan 2 tebakan awal
2. jika f beda hingga = 0 maka proses gagal.Selesai
3. jika tidak, xn+1 := xn−f ( xn )xn−xn−1
f ( xn )− f (xn−1)
4. Jika |xn+1−xn
xn+1| ≤ epsilon maka akar:= xn+1baru.Selesai satu iterasi
5. Ulangi iterasi dengan mengambil xn:= xn+I hingga galat≤ epsilonatau sesuai
jumlah iterasi
D. Flowchart
22Mulai
Ya
Tidak
E. Listing Program
23
Definisikan fungsi
abs(x(iter)-x(iter-1))<=eps
Baca xa, xb, eps,
iter max
Iter = 0
Iter = iter+1
x(iter+1)=x(iter)-y(iter)*(x(iter)-x(iter-1))/(y(iter)-y(iter-1))
x(iter)-x(iter-1)
Tulis hasil x(iter),
F(x(iter-1))
Selesai
MFILE 1
MFILE 2
Output Progam Metode Secant
24
F. Kesimpulan
Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton
raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil
bentuk garis lurus yang melalui satu titik.
y-y0=m(x− x0 )
Persamaan ini yang menjadi dasar pada proses pendekatan dimana nilai
pendekatannya adalah :
δ n=− yn
xn−xn+1
yn− yn+1
Sehingga untuk menggunakan metode secant ini diperlukan dua titik
pendekatan x0 dan x1. Kedua titik pendekatan ini diambil pada titik-titik yang dekat
agar konvergensinya dapat dijamin.
BAB V 25
INTERPOLASI LINIER
A. Tujuan Praktikum
1. Dapat memahami Interpolasi linier.
2. Dapat mengaplikasikan interpolasi tersebut dalm berbagai permasalahan
yang diberikan dengan menggunakan program komputer.
B.Dasar Teori
Interpolasi linier adalah interpolasi yang menggunakan sarana garis lurus
melalui dua buah titik (xo,fo) dan (x1,f1) ditunjukan oleh persamaan berderajat satu
P1 (x )=f 0+( x−x0 ) f [ x0 , x1 ] dengan f [ x0 , x1 ] adalah beda terbagi pertama yang
didefenisikan sebagai f [ x0 , x1 ]=f 1−f 0
x1−x0
Gambar. Interpolasi Linier
C. Algoritma
26
Masukan : xi,f(xi),x ; i = 1,2,…,n
keluaran : ilinier
Langkah-langkah
1. Untuk i = 1,2, masukan xidan f(xi)
2. Beda terbagi : = f (x2)−f (x1)
x2−x1
3. Ilinier : = f(x1) + Beda terbagi x( x–x1)
D. Flowchart
G.Listing Program
27
Tulis Hasil Taksiran
y(1)+(((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)))*(x(3)-x(1)))
Baca x,x0,x1
Mulai
Selesai
MFILE 1
MFILE 2
Output Program Interpolasi Linear
28
F. Kesimpulan
Interpolasi merupakan suatu pendekatan numerik yang perlu dilakukan,di dalam
interpolasi linier misalkan kita mempunyai mbuah data x,dan tiap-tiap x memiliki
pasangan harga y,yang merupakan fungsi x,dengan perkataan lain y = f(x).Untuk
suatu harga x.Dengan x terletak diantara dua nilai x yang ada pada himpunan
data,misalnya
xk< x < xk+1
Interpolasi linear untuk meramalkan nilai y = f(x) dapat dilakukan dengan
menganggap bahwa yk dan yk+1 dihubungkan oleh suatu garis lurus. Secara
geometric,peramalan garis L yang menghubungkan titik (xk,yk) dengan titik
(xk+1,yk+1) dapat dinyatakan oleh persamaan
y= yk+yk +1− yk
xk +1−xk
(x−xk )
Sehingga
y= yk+yk +1− yk
xk +1−xk
(x−xk )
Dengan demikian hasil yang diperoleh akan benar ( exact ),bilamana f(x)
memang merupakan fungsi linear. Jika f(x)bukan merupakan fungsi linear,maka
y= yk+yk +1− yk
xk +1−xk
(x−xk )
29
Akan merupakan pendekatan dari nilai sebenarnya,sehingga dengan demikian
kan terdapat kesalahan ( galat ) antara y yang dinyatakan oleh persamaan
y= yk+yk +1− yk
xk +1−xk
(x−xk )
Dengan nilai yyang sebenarnya.
BAB VI
INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON
30
A. Tujuan Praktikum
1. Dapat memahami Interpolasi beda terbagi newton.
2. Dapat mengaplikasikan interpolasi beda terbagi newton tersebut dalam
berbagai permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program
komputer.
B. Dasar Teori
Kita perhatikan interpolasi linier yang membuat hampiran suatu titik dari dua
titik yang diberikan.Dari grafik diatas terlihat sekali bahwa interpolasi linier
mempunyai kemungkinan galat yang sangat besar untuk kurva yang tidak linier.
Untuk itu akan dibahas Interpolasi newton yang bias membuat hampiran suatu
titik dari banyak titik yang diberikan
Secara umum,Interpolasi Newton dapat dituliskan sebagai :
F(x)=fo+(x-xo)f[xox1]+(x-xo)(x–x1)f[xo,x1,x2]+∙∙∙+(x-xo)∙∙∙(x-xn-1)f[xo,
∙∙∙,xn]
Rumus newton sahih untuk simpul-simpul berjarak sama sebarang seperti yang
mungkin terjadi dalam praktek, dalam percobaan atau pengamatan atau seperti
diinginkan seseorang.
C. Algoritma
Masukan : n,xi,f(xi),z,epsilon ; i = 1,2,…,n
Keluaran : perkiraan bagi (pbagi)
Langkah-langkah
bo : = f(xo) pbagi :=bo faktor :=i
Untuk i :=1,2,…,n lakukan
bi:= f(xi)
untuk j:=i-1,…,0 lakukan
b j=b j+1−b
x i−x j
faktor := faktor∙(z–xi-1)
31
suku :=bo∙faktor
pbagi := pbagi + suku
Jika |suku|≤ epsilon ,selesai
D. Flowchart
E. Listing Program
MFILE
32
Baca Data : n
Mulai
For i= 2: n
Baca a(i),y(i),y(j),a(j)
Baca y(i)
P = stirling
Tulis hasil P
Selesai
Output Program Interpolasi Beda Terbagi Dua
F. Kesimpulan
Interpolasi suatu fungsi atau beberapa data beberapa kali,dan tiap kali derajat polinom
dan jumlah data ditambah.Didalam masalah galat nilai dari metode ini masih konsisten dari
taksiran galat.
BAB VII
INTERPOLASI LAGRANGE
33
A. Tujuan Praktikum
1. Dapat memahami Interpolasi Langrange beserta keuntungan dan
kerugiannya.
2. Dapat mengaplikasikan Interpolasi Langrange tersebut dalam berbagai
permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program komputer.
B. Dasar Teori
Bila diberikan titik-titik (xo,fo), (x1,f1), . . .,(xn,fn) maka didefinisikan rumus
Interpolasi Langrange sebagai berikut :
f ( x )=Ln ( x )=∑k=0
n lk (x)lk (xk )
f k
Dimana lo(x)=(x–x1)(x–x2)...(x–xn)
C. Algoritma
Masukan : n,xi,f(xi),x; i:= 0,1,2,. . .,n
Keluaran : perkiraan langrange (plag)
Langkah-langkah
1. Plag := 0
2. Untuk i:=0,1,2 , …,n
3. Jika j≠I,faktor:= factor.x−x j
xi−x j
4. Plag:=plag+faktor.f(xi)
D. Flowchart
34
Mulai
E. Listing Program
MFILE
35
Baca Data : n
For I : 1: n
Baca x(i),y(i)
Baca x
Tulis hasil P
Selesai
P = Langrange (x)
Output Program Interpolasi Lagrange
F. Kesimpulan
Dalam interpolasi lagrange variable bebas dalam formulanya tidak perlu
berjarak sama dan tidak diperlukan perbedaan fungsi,sehingga hasil yang diperoleh
tidak dapat diperiksa ketelitiannya,karena formulanya diyatakan dua hubungan
variable maka berlaku juga,dalam formula lagrange,jika variable bebas mempunyai
jarak interpolasi terlalu besar,hasil menjadi kurang akurat.
36
BAB VIII
INTEGRASI NUMERIK(ATURAN TRAPESIUM)
37
A. Tujuan Praktikum
1. Dapat memahami aturan trapesium untuk menyelesaikan integral.
2. Dapat menggunakan aturan Trapesium untuk menyelesaikan permasalahan
yang diberikan.
B. Dasar Teori
Penyelesaian suatu integral tertentu dapat dilakukan dengan cara membagi
daerah antara x=a dengan x=b menjadi pita-pia tipis yang lebarnya ρx ,yang
membentuk bangun trapesium.
Karena setiap pita berbentuk trapesium maka luas pita I yang terletak antara x i
dan xi+1 adalah sesuai dengan aturan luas trapesium yaitu:12
t (A+B).
Jadi, untuk daerah yang dibentuk oleh pita-pita tipis tadi, dapat kita hitung
masing-masing luasnya sebagai : Ai= 12
ρx [ f ( x i)+ f (x i+1)] sehingga untuk n buah pita,
jumlah luasnya adalah :
A=∑i=0
n
A i=∑i=0
n12
ρx [f ( x i )+ f ( x i+1 ) ]
12
ρx [ f (a )+2 f ( x i )+2 f ( x2 )+…+2 f ( xn)+ f (b)]
Gambar.Aturan Trapesium
Ini adalah hampiran terhadap integrasi dari f(x) dan dapat dituliskan sebagai
berikut :
F ( x )=∫b
a
f ( x i) dx
38
C. Algoritma
Masukan : a,b,n,f(x)
Keluaran : A (Luas daerah)
Langkah-langkah
1. h≔(b−a)
n
2. jsisi := 0
3. Untuk i := sampai n-1 lakukan
4. x≔ a+h∗( i+1 )
5. jsisi := jsisi+ f (x )
6. jsisi≔ h2[ f (a )+ f (b )+2∗ jsisi]
D. Flowchart
39
Mulai
E. Listing Program
MFILE 1
40
Baca : a,b,n
I = 1 to n-1
Selesai
H = (b – a) / n,sum = F(a)
Sum=sum + 2F (a+ib)
I = h/2 * (sum+f(b))
Definisikan Fungsi
Tulis Hasil I
MFILE 2
Output Program Aturan Trapesium
41
F. Kesimpulan
Aturan trapesium adalah formula yang paling sederhana untuk integrasi secara
numeric,dimana didekati dengan sejumlah n buah trapesium. Dimana selang akan
dipecah atas n selang yag sam panjang,masing-masing dengan panjang h=( b– a
) / n.
Kesalahan pemotongan yang akan ditinjau jauh lebih baik dari metode
lainnya.dalam galat integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan h3.
BAB IX
42
INTEGRASI NUMERIK(ATURAN SIMPSON)
A. Tujuan Praktikum
1. Dapat memahami aturan komposisi simpson untuk menyelesaikan integral.
2. Dapat menggunakan aturan simpson untuk menyelesaikan permasalahan
yang diberikan.
3. Dapat membandingkan aturan komposisi trapesium dan simpson.
B. Dasar Teori
Karena kesalahan yang cukup besar bila menggunakan pendekatan terhadap
kurva,x =a dan x =b didekati dengan potongan –potongan garis lurus. Maka
digunakan pendekatan potongan kurva yang lain yaitu dengan menggunakan
parabola atau polinom orde dua.
Jadi akan dianggap bahwa kurva y=f(x) dihampiri oleh suatu parabola yang
melalui tiga titik (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2) dan diperoleh polinom penginterpolasian P(x)
derajat ≤ 2. Jika diintegralkan P(x) pada [x0,x2] dan memakai nilai untuk
menghampiri integral f(x) maka dipakai aturan simpson. Bilamana proses ini
diulang pada interval-interval bagian dari [a,b].
Untuk menurunkan rumus iterasinya xi+1ditempatkan pada x= 0,maka xiberada
pada x =−ρx dan xi+2 berada pada x =ρx. Bilamana persamaan parabola yang
dipakai adalah : f(x)=a2x2+ a1x+ ao.
Bilama kita bagi selang [a,b] menjadi 2n bagian yang berlebar sama yakni
h=b−a2n
dan menggunakan a=xo < x1< x2 < . . . < x2n = bdan dengan xk =a+ hk
untuk i= 0,1,…,2nmaka hampiran integral dengan aturan simpson untuk kurva f(x)
pada selang [a,b] adalah
A=1/3 h[f(xo)+ 4f(x1)+ 4f(x3)+ . . . + 4f(x2n-1) + 2f(x2)+ 2f(x4)+ . . . + f(x2n)] atau
A=h/3 ∑1
n
[ f ( x2 n−2)+4 f ( x2n−1 )+ f (x2 n)]
A adalah hampiran integrasi numerik dari kurva dengan aturan simpson
43
Gambar.Aturan Simpson
C. Algoritma
Masukan : a,b,n,f(x)
Keluaran : Luas
Langkah-langkah
1. definisikan fungsi F(x)
2. input a,b,n
3. dinyatakan xo=adan luas=0
dengan menggunakan rumus
x1=xo+ 2h
x2=x1+ 2h
Luas=Luas+( 2n/3 ) (f(xo) + 4f(x1) + f(x2))
hingga x2=b
maka integral dari F(x)adalah Luas
44
D. Flowchart
Tidak
ya
Ya
45
Mulai
Baca data
T = T + THPING
H = B – A / N
T = Temp1
I = I + 2X= X ++ 2H
I = IX = A + H
Sum4 = 0Sum2 = 0
Hitung EFF
Tuliskan T,EFF
Sum4 = sum4 + F(x)Sum2 = sum2 + F(x+h)
Selesai
T < Temp2
I= N -3
E. Listing Program
MFILE 1
MFILE 2
46
Output Program Aturan Simpson
F. Kesimpulan
Didalam aturan simpson terdapat dua bagian yaitu aturan simpson 1/3 dan
3/8.Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan
menggunakan polinom interpolasi yang berderajat lebih tinggi.Misalkan fungsi f(x)
dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk
parabola.Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah
di bawah parabola,untuk itu dibutuhkan 3 buah titik data,misalkan (0,f(0)), (h,f(h)),
(2h,f(2h)).
Sedangkan untuk aturan simpson 3/8 dibutuhkan 4 buah titik dimana tingkat
nilai dari integrasi cenderung lebih baik daripada aturan simpson 1/3.
47
Daftar Pustaka
Sumber Internet :
1. mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Simpson2.htm - 24k
2. mages.jlitheng1371.multiply.com/attachment/0/
R@yOrgoKCsoAAHfJELM1/bpk%20menum.doc?nmid=88422089
3. pksm.mercubuana.ac.id/new/elearning/files_modul/15016-14-
696551097528.doc -
4. http://www.box.net/shared/ynagzq884g
5. http://www.box.net/shared/dinxtmpkws
6. elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/pengantar_metode_numerik/
bab5integrasi.pdf -
7. mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Pendahuluan.htm - 14k –
8. cw.unnes.ac.id/ocw/matematika/matematika-s1/mat307-metode.../Metode
%20Numerik%20-%20Drs.%20Rochmad-%20M.Si...
9. uk.staff.ugm.ac.id/numerik/MetodaNumerik.pdf
10. mail.si.itb.ac.id/~amrinsyah/bab-3a.pdf
11. benny_irawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/11533/interpolasi.pdf
12. syont.wordpress.com/2006/12/22/ooo-calc-interpolasi-linear/ - 14k -
13. pksm.mercubuana.ac.id/new/elearning/files_modul/15016-9-
726687804254.pdf -
Sumber Buku :
1. Munir,Rinaldi.MetodeNumerik.Edisi Revisi.Informatika.2003.Bandung
2. Djojodihardjo,Harijono.Metode Numerik.PT Gramedia Pustaka
Utama.2000.Jakarta
3. Nasution,A.,Hasballah,Z.MetodeNumerikdalamIlmuReakayasaSipil.PT ITB
Bandung.2001.Bandung
48
Top Related