LOGO
PERTEMUAN 1
Sensus vs Survei
Alasan Penggunaan Sampling
Konsep-konsep dalam Sampling
Kerangka sampel
Keuntungan dan kelemahan Sampling
Probability dan Nonprobability Sampling
Oleh: Adhi Kurniawan
LOGO
Tidak menggunakan kaidah peluang
dalam pemilihan sampel
Hasil surveinya tidak dapat digunakan
untuk melakukan pendugaan
(estimasi) terhadap karakteristik
populasi
Menggunakan kaidah peluang
(probability) dalam pemilihan sampel
Hasil surveinya dapat digunakan
untuk melakukan pendugaan
(estimasi) terhadap karakteristik
populasi
Mengumpulkan data dari sebagian
elemen populasi
Mengumpulkan data dari seluruh elemen
dalam populasi
Metode Pegumpulan Data
Probability sampling
Nonprobability Sampling
Pengumpulan data
Sensus Survei
(sampling)
Catatan administrasi (registrasi)
LOGO
Sensus
Pengumpulan data untuk mendapatkan informasi dari semua elemen dalam populasi
Undang-undang No.16 Tahun 1997, tentang Statistik:
Sensus Penduduk (tahun berakhiran-0)
Sensus Pertanian (tahun berakhiran-3)
Sensus Ekonomi (tahun berakhiran-6)
Dalam sensus biasanya dikumpulkan data dasar / pokok
Karakteristik yang dicakup terbatas
Penyajian sampai wilayah satuan unit kecil seperti kecamatan, desa bahkan kecil lagi
MPC1
LOGO
Keuntungan dan Kelemahan Sensus
Keuntungan
1. Dapat menyajikan data wilayah kecil
2. Dapat dijadikan kerangka sampel (frame)
Kelemahan
1. Cakupan variabel terbatas
2. Waktu lama
3. Biaya besar
4. Ketelitian kurang
MPC1
LOGO
Mengapa Sampling?
1. Sumber daya terbatas
2. Waktu yang tersedia terbatas
3. Pengamatan kadang bersifat merusak
4. Mustahil mengamati seluruh anggota populasi
bagaimana caranya dengan mengambil dan menggunakan data sampel kita dapat mengambil
kesimpulan terhadap populasi?
INI YANG KITA PELAJARI PADA MATA KULIAH INI MPC1
LOGO
Prinsip-Prinsip Sampling Theory
1. Prinsip validitas
Design sampling harus menjamin adanya estimasi yang valid dari parameter-parameter populasi.
2. Prinsip βStatistical Regularityβ
Jumlah sampel yang diambil secara random dari populasi secara rata-rata akan mempunyai karakteristik yang sama/menyerupai karakteristik populasi.
3. Prinsip optimisasi.
Desain sampling (metode penarikan sampel dan estimasi):
a. Dengan tingkat ketelitian tertentu, diperlukan sumber daya yang minimum, atau
b. Dengan biaya tertentu, memberikan ketelitian yang optimum
MPC1
LOGO
Ilustrasi Populasi dan Sampel
MPC1
LOGO
Konsep dan Definisi Populasi
Populasi merupakan agregasi dari seluruh elemen yang perlu ditentukan berikut isi, unit, cakupan, dan waktu.
Contoh populasi: semua penduduk yang bertempat tinggal dalam rumahtangga biasa di Kecamatan Polobangkang Selatan, Kabupaten Takalar, pada bulan September tahun 2012
Populasi dibedakan menjadi finite populaton dan infinite population, tergantung dari jumlah unitnya terbatas atau tidak terbatas
Continous population: populasi yang terdiri dari zat/benda (mass of matter) yang tidak bisa diidentifikasi/dibedakan dengan mudah dan unit atau kumpulan unitnya terbentuk secara alami. Contoh: Populasi air di danau.
Dalam praktiknya, kita akan memfokuskan hanya pada finite population saja
MPC1
LOGO
Konsep dan Definisi
Populasi Target
Target populasi merupakan sub populasi dari elemen yang ada pada populasi yang berbagai indikatornya akan dicari, seperti penduduk usia 7-12 tahun.
Karakteristik
Ciri, sifat atau hal-hal yang dimiliki elemen, seperti penghasilan, pengeluaran, biaya, jumlah anggota rumahtangga.
Nilai karakteristik yang dihitung (diestimasi) dapat berupa rata-rata, total, rasio, proporsi, persentase, dan sebagainya
MPC1
LOGO
Konsep dan Definisi Elemen (elementary unit)
Elemen adalah unit yang digunakan untuk mendapatkan informasi, misalnya individu, rumah tangga, perusahaan, dsb.
Unit observasi
Unit observasi adalah unit dimana informasinya diperoleh baik secara langsung maupun melalui responden tertentu.
Elemen sangat erat kaitannya dengan unit observasi.
Elemen bisa sama dengan unit observasi, sebagai contoh rumahtangga adalah selain sebagai elemen juga dapat sebagai unit observasi, misal pengumpulan data keadaan tempat tinggal.
Unit observasi bisa individu dari elemen yang mewakili sekumpulan elemen, misalnya kepala rumah tangga yang memberikan informasi mengenai anggota rumah tangganya.
MPC1
LOGO
Konsep dan Definisi
Unit sampling (sampling unit)
Unit sampling adalah unit yang dijadikan dasar penarikan sampel baik berupa elemen maupun kumpulan elemen (klaster).
Contoh:
1. Unit sampling elemen: rumah tangga
2. Unit sampling klaster: kumpulan rumahtangga pada wilayah tertentu seperti blok sensus, RT/RW, bahkan desa.
Selain rumahtangga, cukup banyak unit yang bisa dijadikan unit sampling sesuai dengan tujuan survei seperti sekolah, kelas, perusahaan, dsb.
Unit analisis
Unit yang digunakan pada tahap tabulasi data, bisa berupa elemen atau kumpulan elemen.
Unit analisis tidak selalu sama dengan unit observasi
Misal: unit observasi adalah rumah tangga (atau lebih spesifik kepala rumah tangga). Unit analisisnya bisa rumah tangga itu sendiri atau anggota rumah tangga
MPC1
LOGO
Konsep dan Definisi Kerangka Sampel
Kerangka sampel adalah daftar semua unit yang akan dijadikan sampling unit (sebagai dasar penarikan sampel) dan harus memenuhi persyaratan kerangka sampel yang dibentuk dari master file.
Survey period: the time period during which the required data are collected.
Reference period: the time period to which the data information should refer. It depends on the objective of the survey
MPC1
LOGO
Konsep dan Definisi
Prasyarat yang harus diperhatikan:
Desain probability sampling baru dapat diaplikasikan bila tersedia kerangka sampel sesuai metode sampling yang ditetapkan.
Metode sampling yang dipilih harus dapat diaplikasikan di lapangan ditinjau dari segi unit sampling dan biaya.
Metode yang telah ditentukan harus benar-benar diikuti dan tidak boleh diubah.
MPC1
LOGO
Contoh Kasus 1:
Populasi:
semua mahasiswa STIS tahun 2012
Populasi target:
semua mahasiswa STIS tahun 2012
Kerangka sampel:
daftar mahasiswa STIS tahun 2012
Unit sampling:
mahasiswa STIS
Unit observasi:
mahasiswa STIS
Karakteristik yang diteliti:
pengeluaran sebulan
Nilai karakteristik yang diestimasi:
rata-rata
Unit analisis:
mahasiswa STIS
MPC1
Suatu survei dilakukan dengan tujuan untuk mengetahui rata-rata pengeluaran sebulan mahasiswa STIS tahun 2012. Definisikan apa yang menjadi populasi, populasi target, kerangka sampel, unit sampling, unit observasi, karakteristik yang diteliti, nilai karakteristik yang diestimasi, dan unit analisnya!
LOGO MPC1
Contoh Kasus 2: Suatu survei bertujuan untuk memperkirakan total biaya produksi
dari rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura di Desa Kayuwangi Mei 2012.
Populasi: semua rumah tangga di Desa Kayuwangi Mei 2012
Populasi target: semua rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura Mei 2012
Kerangka sampel: Daftar rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura di Desa Kayuwangi Mei 2012
Unit sampling: rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura
Unit observasi: rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura (kepala rumah tangga)
Karakteristik yang diteliti: biaya produksi
Nilai karakteristik yang diestimasi: total
Unit analisis: rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura
LOGO MPC1
Contoh Kasus 3:
Suatu survei bertujuan untuk memperkirakan rasio murid-guru Sekolah Dasar di Provinsi DIY bulan September 2012.
Populasi: semua Sekolah Dasar di Provinsi DIY September 2012
Populasi target: semua Sekolah Dasar di Provinsi DIY September 2012
Kerangka sampel: Daftar Sekolah Dasar di Provinsi DIY September 2012
Unit sampling: Sekolah Dasar
Unit observasi: Sekolah Dasar
Karakteristik yang diteliti: jumlah murid, jumlah guru
Nilai karakteristik yang diestimasi: rasio
Unit analisis: murid, guru
LOGO MPC1
Contoh Kasus 4: Suatu survei bertujuan di Kelurahan Rawajati Mei 2012 bertujuan
untuk:
1. Memperkirakan proporsi balita dengan gizi buruk.
2. Memperkirakan rata-rata pengeluaran rumah tangga yang mempunyai balita dengan status gizi buruk
Populasi: semua rumah tangga di Kelurahan Rawajati Mei 2012
Populasi target: semua rumah tangga yang mempunyai balita di Kelurahan Rawajati Mei 2012
Kerangka sampel: Daftar rumah tangga yang mempunyai balita di Kelurahan Rawajati Mei 2012
Unit sampling: rumah tangga yang mempunyai balita
Unit observasi: rumah tangga yang mempunyai balita
Karakteristik yang diteliti
Nilai karakteristik yang diestimasi
Unit analisis
1. Gizi buruk Proporsi Balita
2. Pengeluaran Rata-rata Rumah tangga yang memiliki balita dengan status gizi buruk
LOGO
Kerangka Sampel
Kerangka sampel harus memenuhi persyaratan:
1. Tersedia sampai dengan unit sampling
2. Batas jelas
3. Tidak tumpang tindih atau terlewat
4. Ada korelasi dengan data yang diteliti
5. Mutakhir
Persyaratan tsb diperlukan agar tidak terjadi:
1. Unit sampling yang tidak dijumpai
2. Unit sampling yang duplikasi
3. Unit sampling yang terpecah
4. Unit sampling yang tergabung
5. Unit sampling baru yang belum tercakup
MPC1
LOGO
Kerangka Sampel
Dalam bentuk daftar sampling unit/list frame (seperti daftar rumah tangga, daftar perusahaan industri besar/sedang, diretori perusahaan pertanian dsb)
Dalam bentuk peta/area frame/map frame (peta blok sensus, peta desa,dsb) menunjukkan batas geografis dari sampling unit atau kumpulan sampling unit.
Bentuk Kerangka Sampel
Konsep dan Definisi Blok Sensus:
Blok sensus biasa (B) adalah blok sensus yang sebagian besar muatannya antara 80
sampai 120 rumahtangga atau bangunan tempat tinggal atau bangunan bukan tempat
tinggal atau gabungan keduanya.
Blok sensus khusus (K) adalah blok sensus yang tertutup untuk umum. Tempat-tempat
yang biasa dijadikan blok sensus khusus antara lain asrama/barak militer, asrama
perawat, panti asuhan dengan 100 penghuni atau lebih dan lembaga pemasyarakatan
(tidak ada batasan jumlah penghuni).
Blok sensus persiapan (P) adalah blok sensus yang kosong seperti sawah, kebun,
tegal, rawa, hutan, daerah yang dikosongkan (digusur) atau bekas permukiman yang
terbakar atau daerah kosong yang dipersiapkan untuk pemukiman.
LOGO
Keuntungan Survei Sampel
1. Menghemat biaya
2. Mempercepat penyajian hasil survei
3. Cakupan materi lebih luas
4. Akurasi data lebih tinggi
MPC1
LOGO
Kelemahan Survei Sampel
Penyajian sampai wilayah kecil (seperti kecamatan atau desa) dengan sampel yang terbatas tidak akan dapat dipenuhi
Penyajian variabel langka/jarang terjadi/proporsi kecil tidak dapat dipenuhi
Bila diperlukan trend data untuk mengukur perubahan yang sangat kecil, survei sampel dari satu periode ke periode berikutnya kemungkinan tidak dapat digunakan, kecuali bila digunakan panel (sampel sama untuk beberapa periode)
Apabila tidak tersedia kerangka sampel maka probability sampling tidak akan bisa diterapkan.
MPC1
LOGO
Probability Sampling
Metode pemilihan sampelnya berdasarkan teori peluang
Setiap unit dari populasi memiliki peluang untuk terpilih sebagai sampel (besarnya peluang tidak boleh sama dengan nol)
Besarnya peluang dapat sama (equal probability) atau tidak sama (unequal probability) tergantung dari metode sampling yang digunakan
Untuk keperluan penarikan sampel diperlukan kerangka sampel
Oleh karena setiap unit dalam populasi mempunyai peluang untuk terpilih dalam sampel dan besarnya juga telah diperhitungkan, maka dimungkinkan untuk menghasilkan estimasi parameter dari populasi seperti total, rata-rata, proporsi, dan sebagainya.
MPC1
LOGO
Probability Sampling harus memenuhi 4 kriteria
1. Kita bisa mendefinisikan βthe set of distinct samplesβ yang bisa dipilih
2. Setiap sampel mempunyai probability untuk dipilih, dan
besarnya probability diketahui 3. Terpilihnya sampel dengan proses automatic randomization,
konsisten dengan probability-nya 4. Metode untuk menghitung estimasinya harus
menggunakan sampling weight dan menghasilkan nilai estimasi yang unik.
Probability Sampling
MPC1
LOGO
Probability Sampling
Probability Sampling
Sampling Elemen
Simple Random Sampling (SRS)
Systematic sampling
PPS Sampling
Stratified Sampling
Sampling Klaster
Single Stage Cluster Sampling
Multistage Sampling
Dipelajari
di MPC 1
Dipelajari
di MPC 2
MPC1
LOGO
Nonprobability Sampling
Sampel dipilih dengan sebuah metode non-random
Dalam memilih sampel sangat tergantung pada kebijaksanaan atau pertimbangan dari peneliti
Dapat digunakan tanpa menggunakan kerangka sampel
Kelemahan:
1. Tidak dapat melakukan generalisasi populasi berdasarkan data sampel
2. Tidak mungkin untuk mengukur tingkat ketelitian (presisi) data dari sampelnya
3. Kesalahan frame atau nonrespon tidak dapat dikenali
MPC1
LOGO
Nonprobability Sampling
Convenience sampling
Prosedur untuk mendapatkan unit sampel menurut keinginan peneliti dengan menggunakan sampel yang paling sederhana dan ekonomis
Tidak memerlukan daftar populasi yang panjang
Seringkali menghasilkan output penelitian dengan tingkat objektivitas yang rendah
Variabilitas dan bias tidak dapat diukur atau dikontrol
MPC1
LOGO
Nonprobability Sampling Judgement (purposive) sampling
Peneliti memilih sampel berdasarkan penilaian terhadap beberapa karakteristik anggota sampel yang disesuaikan dengan tujuan penelitian
Peneliti ahli memilih sampel untuk memenuhi tujuannya, seperti meyakinkan bahwa semua populasi mempunyai karakteristik tertentu
Biasanya dilakuakn bila unit yang dipilih sedikit, misalnya melakukan studi kasus di daerah kecil
Biaya moderat, namun hasilnya bias karena sampel tidak representatif
MPC1
LOGO
Nonprobability Sampling
Contoh Judgement (Purposive) Sampling:
Sebuah penelitian mengenai pengaruh pengumuman merger dan akuisisi terhadap return saham perusahaan target di Bursa Efek Jakarta. Sampel penelitiannya adalah semua perusahaan yang dijadikan target merger dan akuisisi pada tahun 1991-1997, dengan alasan pada akhir 1997 Indonesia dilanda krisis ekonomi yang mengakibatkan kesulitan likuiditas. Dari kriteria tsb, diperoleh 36 perusahaan yang dijadikan sampel penelitian.
MPC1
LOGO
Nonprobability Sampling Quota sampling
Peneliti mengklasifikasikan populasi menurut kriteria tertentu (partinent properties), menentukan proporsi sampel yang dikehendaki untuk tiap kelas, menetapkan kuota untuk setiap pewawancara
Tidak memerlukan daftar populasi lagi
Memberikan hasil klasifikasi yang bias
Penyimpangan hasil populasi tidak dapat diperkirakan karena penggunaan seleksi yang non-random
MPC1
LOGO
Nonprobability Sampling
Haphazard sampling
Peneliti memilih sampel tanpa prosedur khusus atau tanpa mengontrol dalam pemilihan sampel
Misal: menanyakan sukarelawan untuk berpartisipasi dalam pendidikan
Cara ini mudah, murah, dan berguna hanya untuk bentuk yang kesannya umum atau secara garis besar saja
Hasilnya bias dan tidak dapat menduga nilai populasi
MPC1
LOGO
Nonprobability Sampling Snowball sampling
Peneliti memilih sampel di mana responden awal (pertama) dipilih dengan metode probabilitas, kemudian responden selanjutnya diperoleh dari informasi yang diberikan oleh responden yang pertama
Keuntungan: memungkinkan ditekannya ukuran sampel dan biaya, bermanfaat untuk pengalokasian anggota populasi yang jumlahnya sedikit
Kelemahan: hasilnya bias karena jumlah sampel tidak independen (orang yang direkomendasikan oleh responden terdahulu untuk diwawancarai memiliki kemungkinan kemiripan)
MPC1
LOGO
Nonprobability Sampling
Identifikasi Responden Snowball
MPC1
LOGO
PERTEMUAN 2
Sampling Error dan Nonsampling Error
Parameter dan Statistik
All Possible Sample
Expected Value dan Bias
Mean Square Error
Distribusi sampling
Oleh: Adhi Kurniawan
LOGO
Error
Sampling error Kesalahan karena
faktor sampling
Non-sampling error Kesalahan bukan
karena faktor sampling
Kesalahan (Error) dalam Pengumpulan Data
Setiap pengukuran tidak akan terlepas dari kemungkinan adanya kesalahan (error)
Kesalahan dalam pengumpulan data ada 2, yaitu sampling error dan nonsampling error
MPC1
LOGO
Total Error
A B
C
Besar kesalahan (error)
Sampling error
Non sampling error
Ukuran sampel (n) A, B, dan C menunjukkan total error/kesalahan
MPC1
LOGO
Sampling Error
Kesalahan (error) timbul berkenaan dengan penarikan kesimpulan tentang populasi berdasarkan observasi terhadap sebagian unit populasi (sampel)
Error ini tidak akan muncul pada pencacahan lengkap/complete enumeration/sensus
Sampel dengan sampling error terkecil selalu dipertimbangkan sebagai representasi yang baik dari populasi
Nilai sampling error akan menurun dengan peningkatan ukuran sampel (sample size)
Penurunan nilai sampling error akan berbanding terbalik terhadap akar kuadrat dari sample size
MPC1
LOGO
Cara Mengurangi Sampling Error
Memperbesar ukuran sampel (sample size) Tetapi cara ini bisa meningkatkan nonsampling error
Sampling design yang tepat Misalnya tanpa menambah jumlah sampel, sampling error bisa ditekan dengan menggunakan stratified random sampling
MPC1
LOGO
Nonsampling Error
Kesalahan (error) yang timbul terutama pada tahap pengumpulan dan pengolahan data.
Error ini muncul di dalam pencacahan lengkap (sensus) dan survei sampel
Error ini akan meningkat seiring dengan peningkatan ukuran sampel
Error ini akan lebih besar pada pencacahan lengkap (sensus) daripada survei
MPC1
LOGO
Nonsampling Error
1. Conceptual Error
a. Error dalam penggunaan konsep, definisi , dan klasifikasi.
b. Error dalam perencanaan (kuesioner desain, frame, pelatihan petugas, instruksi dalam manual)
2. Error karena penggantian sampel
a. Kesalahan identifikasi unit sampling
b. Unit sampling tidak ditemukan
c. Unit sampling sulit dijangkau (bencana alam, faktor keamanan, faktor alam, dsb)
MPC1
LOGO
Nonsampling Error
4. Kesalahan Petugas
a. Tidak dipahaminya konsep dan definisi
b. Under/over coverage
c. Petugas kurang gigih menggali informasi responden
Dishonest
Interviewer
Daripada capek cari responden,
aku berburu saja. Nanti
kuesioner aku isi sendiri
MPC1
LOGO
Nonsampling Error
5. Error karena responden
a. Kurangnya penjelasan petugas kepada responden tentang tujuan/maksud dari survei dan maksud dari item-item pertanyaan
b. Responden tidak bisa menjawab atau menolak
c. Responden terlalu reaktif dan menghubungkan dengan hal-hal lain yang tak terkait dengan survei
Non-Response
Pergi!!! saya tidak mau diganggu
MPC1
LOGO
Nonsampling Error
6. Error Pengolahan Data
a. Error Receiving dan batching
b. Error Editing dan coding
c. Error Entry data
d. Error Validasi data
e. Error Cross-check table
MPC1
LOGO
Cara Mengurangi Nonsampling Error
Callback
Rewards and incentive
Trained interviewers
Data check (monitoring)
Questionnaire construction
MPC1
LOGO
Parameter vs Statistik
data populasi parameter pengolahan/analisis
data sampel statistik pengolahan/analisis
Statistik merupakan nilai yg dihitung dari hasil survei sample mengenai karakteristik, biasanya untuk tujuan membuat estimasi populasi.
Jika digunakan untuk membuat estimasi nilai karakteristik populasi akan disebut sebagai penduga (estimator).
MPC1
Parameter : sebuah fungsi nilai frekuensi dari seluruh N unit (populasi) Contoh: Total: π1 + π2 + β― + ππ = ππ = ππ
π=1
Rata-rata: total dibagi jumlah unit, π =1
π ππ =
π
πππ=1
LOGO
Estimator vs Estimate
Estimator is a statistics obtained by specified procedure for estimating a population parameter.
The estimator is a random variable as its value differs from sample to sample and the samples are selected with specified probability.
The particular value, which the estimator takes for a given sample, is known as an estimate
MPC1
LOGO
Notasi
Pada metode sampling telah disepakati adanya notasi dengan βhuruf besarβ menyatakan data populasi dan βhuruf kecilβ
menyatakan nilai sampel
No Rincian Populasi Sampel
1 Nilai karakteristik unit ke-i ππ π¦π
2 Rata-rata nilai karakteristik π π¦ = π
3 Total nilai karakteristik π π
4 Banyaknya unit sampling π π
5 Varians π2 π 2
6 Proporsi π π = π
7 Rasio π π = π
MPC1
LOGO
Varians dan Varians Sampling
Varians (π 2) menunjukkan bagaimana tingkat homegenitas/heterogenitas nilai karakteristik unit dalam populasi.
Akar dari varians (π 2) disebut standar deviasi.
Varians sampling π£(π ) , varians ini berbeda dengan varians yang dinyatakan dengan π 2. Varians sampling menunjukkan tingkat keragaman dari nilai-nilai estimasi
Akar dari varians sampling disebut standard error atau sampling error π π(π ).
Standar error dibagi nilai estimasi karakteristik disebut relative standar error (rse), biasanya dinyatakan dalam persen.
MPC1
LOGO
All Possible Samples
Misalkan, kita ingin memilih sebanyak π sampel dari populasi sebanyak π unit .
Dalam pemilihan sampel, terdapat 2 cara yaitu dengan pengembalian (with replacement/wr) dan tanpa pengembalian (without replacement/wor).
All posible sample:
With replacement (wr)--- > terdapat ππ possible sample
Without replacement (wor)--- > terdapat ππ
=π!
π! πβπ !
possible sample
MPC1
LOGO
All Posible Sample
Misal, kita akan memilih 2 orang sampel dari populasi 3 orang yaitu A, B, C.
Jika pemilihan dilakukan dengan with replacement (wr) akan terdapat 32 = 9 kemungkinan sampel yaitu:
Jika pemilihan dilakukan dengan without replacement
(wor) akan terdapat 32
=3!
2!(3β2)!= 3 kemungkinan
sampel yaitu:
1. AA 2. AB 3. AC
4. BA 5. BB 6. BC
7. CA 8. CB 9. CC
1. AB 2. AC
3. BC
MPC1
LOGO
Expected Value dan Bias
Misalkan, peluang terpilihnya gugus sampel ke-i adalah ππ dan π π adalah estimasi dari gugus sampel ke-i, yang merupakan penduga π dari parameter π (i=1,2,β¦,M), M adalah total dari gugus sampel yang mungkin.
Nilai harapan (expected value) atau rata-rata dari penduga π adalah
πΈ π = πππ π
π
π=1
Jika peluang terpilihnya tiap gugus sampel sama ππ =1
π,
maka
πΈ π =1
π π π
π
π=1
MPC1
LOGO
Expected Value, Bias, dan Consistent Estimator
Penduga π dikatakan unbiased estimator (penduga yang tidak bias) dari parameter π jika expected value-nya sama dengan π.
πΈ π = π
Jika πΈ π β π , maka penduga π dikatakan biased
estimator (penduga yang bias) dari π.
Bias dari π adalah
π΅ π = πΈ π β π
Penduga π dikatakan consistent estimator dari
parameter π jika nilai π akan mendekati π seiring dengan peningkatan jumlah sampel
MPC1
LOGO
Suatu penduga (estimator) adalah random variabel yang juga memiliki sebaran tertentu. Sampel yang berbeda dari populasi yang
sama bisa memiliki nilai estimator yang berbeda.
Ilustrasi Gugus Sampel
populasi
ambil sampel
berukuran n
ambil sampel
berukuran n ambil sampel
berukuran n
ambil sampel
berukuran n
Gugus
Sampel
1
Gugus
Sampel
2
Gugus
Sampel
3
Gugus
Sampel
k
π 1 π 2 π 3 π π MPC1
LOGO
Mean Square Error (MSE) Nilai estimasi berdasarkan pada observasi terhadap suatu
gugus sampel akan berbeda dengan nilai estimasi dari gugus sampel lainnya
Perbedaan antara estimasi π π berdasarkan gugus sampel ke-i
dengan parameter π disebut kesalahan estimasi π π β π
Kesalahan estimasi bervariasi antara gugus sampel yang satu dengan gugus sampel yang lainnya.
Rata-rata ukuran perbedaan dari estimasi-estimasi yang berbeda dari nilai parameternya disebut Mean Square Error (MSE) yang dihitung berdasarkan nilai harapan (expected value) dari kuadrat kesalahan estimasi, yaitu
πππΈ π = πΈ π β π2
= ππ
π
π=1
π π β π2
MSE mengukur keakuratan dari estimator
MPC1
LOGO
Varians Sampling
Varians sampling dihitung berdasarkan nilai harapan (expected value) dari deviasi nilai estimasi dengan nilai harapannya
π π = πΈ π β πΈ π 2
= πΈ π 2 β πΈ π 2
Varians sampling mengukur keragaman atau ketepatan dari penduga (estimator)
MPC1
LOGO
Hubungan Antara MSE dan Varians Sampling
MSE adalah jumlah dari varians sampling dan bias kuadrat, hal ini bisa dibuktikan:
πππΈ π = πΈ π β π2
= πΈ π β πΈ π + πΈ π β π2
= πΈ π β πΈ π 2
+ πΈ πΈ π β π2
= π π + π΅ π 2
Untuk unbiased estimator, MSE sama dengan varians sampling
MPC1
LOGO
All Posible Sample
Berikut ini adalah data jumlah populasi siswa laki-laki dan perempuan di suatu kelas
No Kelas Laki-laki (X) Perempuan (Y)
1 A 5 2
2 B 10 5
3 C 15 3
4 D 5 2
5 E 10 4
MPC1
LOGO
All Possible Sample
MPC1
No Kelas (Xi) (Yi)
1 A 5 2
2 B 10 5
3 C 15 3
4 D 5 2
5 E 10 4
Total π = ππ = 45 π = ππ = 16
Rata-rata π =1
π ππ =
1
5Γ 45 = 9 π =
1
π ππ =
1
5Γ 16 = 3.2
Rasio π =π
π =
9
3.2= 2.8125
Nilai Parameter Populasi
LOGO
Jika dari 5 kelas tersebut, diambil 2 kelas sebagai
sampel secara wor, maka akan terdapat 52
=10
kemungkinan sampel.
MPC1
All Possible Sample
LOGO MPC1
All Possible Sample
No Sampel Laki-laki (x) Perempuan (y) Rasio
πΉ π =π π
π π π₯π1 π₯π2 π₯ π π¦π1 π¦π2 π¦ π
1 A,B 5 10 7.5 2 5 3.5 2.1
2 A,C 5 15 10 2 3 2.5 4
3 A,D 5 5 5 2 2 2 2.5
4 A,E 5 10 7.5 2 4 3 2.5
5 B,C 10 15 12.5 5 3 4 3.1
6 B,D 10 5 7.5 5 2 3.5 2.1
7 B,E 10 10 10 5 4 4.5 2.2
8 C,D 15 5 10 3 2 2.5 4
9 C,E 15 10 12.5 3 4 3.5 3.6
10 D,E 5 10 7.5 2 4 3 2.5
Jumlah 90 32 28.7
Expected Value 9 3.2 2.87
LOGO
All Possible Sample
Expected value dari estimator vs parameter
πΈ π₯ =1
π π₯ π
ππ=1 =
1
10Γ 90 = 9 , π = 9 (unbiased)
πΈ π¦ =1
π π¦ π
ππ=1 =
1
10Γ 32 = 3.2 , π = 3.2 (unbiased)
πΈ π =1
π π π
ππ=1 =
1
10Γ 28.7 = 2.87 , π = 2.8125 (biased)
Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa estimator rata-rata adalah estimator yang unbiased, sedangkan estimator rasio adalah estimator yang biased.
Besarnya bias untuk estimator rasio adalah
B π = 2.87 β 2.8125 = 0.0575
MPC1
LOGO
All Possible Sample
Jika diketahui populasi berukuran N=6 yaitu A, B, C, D, E, dan F dengan nilai variabel X berturut-turut adalah 6,2,8,4,2, dan 4. Sampel berukuran n=4 dipilih secara acak tanpa pengembalian (wor) dari populasi tsb.
a. Hitunglah nilai πΈ π₯ , πΈ π dan πΈ π 2
b. Bandingkan hasil pada point (a) dengan nilai parameternya. Kesimpulan apa yang bisa diambil ?
MPC1
Petunjuk: Untuk gugus sampel ke-i: π π = ππ₯ π
π π2 =
1
πβ1 π₯ππ β π₯ π
2ππ=1 , j=1,2,β¦, n
LOGO
Koefisien Korelasi
Mengukur keeratan/kekuatan hubungan antara dua variabel
Korelasi bisa bernilai positif atau negatif
Semakin besar nilai koefisien korelasi menandakan bahwa hubungan dua variabel tersebut semakin kuat
Rumus:
π =πππ£ π 1, π 2
π£ π 1 Γ π£ π 2
=πΈ π 1 β π1 π 2 β π2
πΈ π 1 β π12
Γ πΈ π 2 β π22
MPC1
LOGO
Distribusi Sampling
Dari hasil estimasi yang didapat dari satu gugus sampel akan menghasilkan suatu estimasi titik (point estimate).
Sebenarnya setiap gugus sampel dari seluruh kemungkinan gugus sampel mempunyai nilai estimasi yang kemungkinan akan berbeda dengan nilai sebenarnya (true value).
Seluruh nilai point estimate dari setiap gugus sampel dapat diperkirakan dengan menggunakan estimasi selang (interval estimate) atau confidence interval (1-πΌ)%, dengan rumus:
π β ππΌ/2 β π π π < π < π + ππΌ/2 β π π π
Interpretasi confidence interval (1-πΌ)%: jika kita melakukan pemilihan n sampel secara berulang sebayak 100 kali maka kita akan terdapat 100 selang kepercayaan dan harapannya sebanyak (1-πΌ) selang kepercayaan akan memuat nilai parameter, sedangkan sebanyak πΌ selang kepercayaan tidak memuat nilai parameter. MPC1
LOGO
Distribusi Sampling
πΈ(π¦ )
-2se(π¦ ) +se(π¦ ) +2se(π¦ ) -se(π¦ )
π¦ π π π‘ππ’π
SB NSB
TB
Total Error
Peluang
Keterangan: SE: sampling error SB: sampling bias NSB: nonsampling bias TB: total bias
MPC1
SE
LOGO
Akurasi, Efisiensi, dan Presisi
Akurasi diukur dari nilai total error, yaitu perbedaan antara nilai estimasi dengan nilai sebenarnya (true value). Semakin kecil nilai total error, suatu estimator dikatakan semakin akurat.
Efisiensi diukur dari besarnya mean square error (MSE). Semakin kecil nilai MSE, suatu estimator akan semakin efisien.
Presisi diukur dari besarnya varians sampling. Semakin kecil nilai varians sampling, suatu estimator akan semakin precise.
MPC1
LOGO
π πΈπ π 1|π 2 =πππΈ π 1 Γ πΆ π 1
πππΈ π 2 Γ πΆ π 2
Estimator π 1 dikatakan lebih efisien daripada estimator π 2 jika πππΈ π 1 <
πππΈ π 2 , besarnya Relative Efficiency (RE) dirumuskan:
π πΈπ π 1|π 2 =πππΈ π 1
πππΈ π 2
Estimator π 1 dikatakan lebih precise daripada estimator π 2 jika V π 1 <
π π 2
Relative Efficiency
Efficiency
Sampling efficiency
Cost efficiency
MPC1
LOGO
PERTEMUAN 3
Pengertian
Keuntungan dan Kelemahan
SRS WR dan SRS WOR
All Possible Sample
Estimasi Rata-rata, Total
Estimasi Varians
Oleh: Adhi Kurniawan
LOGO
Pengertian
Simple Random Sampling/SRS (Penarikan Sampel Acak Sederhana/PSAS) adalah suatu metode memilih sampel dengan peluang setiap unit populasi untuk terpilih di dalam sampel adalah sama.
Keuntungan: cara pengambilan sampel dan teknik estimasi parameternya sederhana
Kelemahan:
hanya cocok untuk populasi yang relatif homogen,
hanya cocok untuk cakupan survei yang tidak terlalu luas, karena membutuhkan kerangka sampel sampai elemen,
biaya tinggi untuk populasi yang besar
MPC1
LOGO
SRS WR dan SRS WOR
MPC1
Ada 2 tipe penarikan sampel secara SRS:
SRS WR
Setiap unit yang sudah terpilih sebagai sampel, dikembalikan lagi ke dalam populasi, sehingga terjadi kemungkinan terpilih kembali pada pengambilan sampel berikutnya
SRS WOR
Suatu unit hanya terpilih satu kali sebagai sampel, unit yang sudah terpilih tidak dikembalikan ke dalam populasi.
LOGO
All Possible Samples
Misalkan, kita ingin memilih sebanyak π sampel dari populasi sebanyak π unit .
All posible sample:
SRS with replacement (wr)--- > terdapat ππ possible sample
SRS without replacement (wor)--- > terdapat ππ
=π!
π! πβπ ! possible sample
MPC1
LOGO
All Posible Sample
Misal, kita akan memilih 2 orang sampel dari populasi 3 orang yaitu A, B, C.
Jika pemilihan dilakukan dengan with replacement (wr) akan terdapat 32 = 9 kemungkinan sampel yaitu:
Jika pemilihan dilakukan dengan without replacement
(wor) akan terdapat 32
=3!
2!(3β2)!= 3 kemungkinan
sampel yaitu:
1. AA 2. AB 3. AC
4. BA 5. BB 6. BC
7. CA 8. CB 9. CC
1. AB 2. AC
3. BC
MPC1
LOGO
Inclusion Probability π π
MPC1
Ketika mengambil satu unit sebagai sampel, peluang unit ke-i
untuk terpilih sebagai sampel adalah ππ =1
π
Misalkan kita mengambil sampel sebanyak n kali, maka peluang unit ke-i untuk terpilih dalam sampel (inclusion probability) adalah penjumlahan dari peluang terpilihnya unit tersebut pada pengambilan yang pertama, kedua, ketiga, dst sampai dengan pengambilan ke-n.
Pada SRS WR
ππ =1
π+
1
π+ β― +
1
π=
1
π=
π
π
π
π=1
Pada SRS WOR
ππ =1
π+
π β 1
πβ
1
π β 1+ β― +
π β π
πβ
1
π β π=
π
π
LOGO
Prosedur Pemilihan Sampel
Lottery Method
Menggunakan tabel angka random
1. Independent Choice Of Digits
2. Pendekatan Sisa (Remainder Approach)
3. Pendekatan hasil bagi (Quotient Approach)
Menggunakan angka random yang di-generate dari program komputer
MPC1
LOGO
Independent Choice Of Digits
Tentukan baris, kolom, dan halaman Tabel Angka Random (TAR) yang digunakan untuk memulai penelusuran angka random
Jika jumlah populasi sebanyak N unit dan jumlah digits dari N adalah sebanyak π digit, maka telusuri π digit angka dari baris dan kolom permulaan.
Jika angka random (AR)β€ N, maka unit yang nomor urutnya sama dengan AR tsb terpilih sebagai sampel.
Jika angka random (AR)=0, maka unit ke-N (terakhir) terpilih sampel
Jika angka random (AR)>N, maka lanjutkan penelusuran ke angka random di baris selanjutnya pada kolom yang sama.
Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi
Jika sudah sampai pada kolom terakhir dan belum mendapatkan angka random sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama
MPC1
LOGO
Independent Choice Of Digits
Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS n=6 dari populasi N=60. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 1.
N=60, π=2 (jumlah digit populasi)
Sampel terpilih:
SRS WR:
57, 57, 26, 48, 22,19
SRS WOR:
57, 26, 48, 22,19, 46
Baris Kolom
(1-5)
1 88347
2 57140
3 74686
4 68013
5 57477
6 89127
7 26519
8 48045
9 22531
10 84887
11 72047
12 19645
13 46884
14 92289
MPC1
Baris Kolom
(1-5)
1 88347
2 57140
3 74686
4 68013
5 57477
6 89127
7 26519
8 48045
9 22531
10 84887
11 72047
12 19645
13 46884
14 92289
SRS WR SRS WOR
LOGO
Remainder Approach Dari N unit populasi dan jumlah digits dari N adalah sebanyak π digit, maka
tentukan nilai πβ² yaitu kelipatan terbesar dari N dengan jumlah digit yang sama. πβ² adalah batas atas dari angka random yang akan dipilih.
Misal: N=32, π=2, πβ²=96
Jika ARβ€ N, maka unit yang nomor urutnya sama dengan AR tsb terpilih sebagai sampel.
Jika AR=0, maka unit ke-N (terakhir) terpilih sampel
Jika N<ARβ€ πβ², maka lakukan operasi pembagian: π΄π
π= π (π ππ π π )
Unit dengan nomor urut=s terpilih sebagai sampel.
Jika s=0, unit ke-N (terakhir) terpilih sampel
Jika AR > πβ², maka lanjutkan penelusuran ke angka random di baris selanjutnya pada kolom yang sama.
Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi
Jika sudah sampai kolom terakhir dan belum mendapatkan AR sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama
MPC1
LOGO
Remainder Approach
Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS WOR n=3 dari populasi N=36 dengan remainder approach. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 2.
N=36, π=2, πβ² = 72
Angka random:
β’ 83 tolak, karena lebih dari πβ²
β’ 71 71
36= 1, π ππ π 35 (unit ke-35 terpilih sampel)
β’ 46 46
36= 1, π ππ π 10 (unit ke-10 terpilih sampel)
β’ 80 tolak, karena lebih dari πβ²
β’ 74 tolak, karena lebih dari πβ²
β’ 91 tolak, karena lebih dari πβ²
β’ 65 65
36= 1, π ππ π 29 (unit ke-29 terpilih sampel)
Sampel terpilih: 35, 10, 29
Baris Kolom
(1-5)
1 88347
2 57140
3 74686
4 68013
5 57477
6 89127
7 26519
8 48045
9 22531
10 84887
11 72047
12 19645
13 46884
14 92289
MPC1
LOGO
Quotient Approach
Dari N unit populasi dan jumlah digits dari N adalah sebanyak π digit, maka tentukan nilai πβ² yaitu kelipatan terbesar dari N dengan jumlah digit yang sama.
Misal: N=32, π=2, πβ²=96
Hitung nilai π =πβ²
π
Angka random (AR) yang diambil adalah mulai dari 0 sampai (πβ² β 1)
Hitung π‘ =π΄π
π (pembulatan ke bawah)
Sampel terpilih=unit dengan nomor urut (t-1)
Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi
Jika sudah sampai kolom terakhir dan belum mendapatkan AR sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama
MPC1
LOGO
Quotient Approach
Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS WOR n=3 dari populasi N=36 dengan quotient approach. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 2.
N=36, π=2, πβ² = 72, (πβ²β1) = 71, π =72
36= 2
Angka random:
β’ 83 tolak, karena lebih dari πβ² β 1
β’ 71 t =71
π=
71
2= 35 (unit ke-34 terpilih sampel)
β’ 46 t =46
π=
46
2= 23 (unit ke-22 terpilih sampel)
β’ 80 tolak, karena lebih dari πβ² β 1
β’ 74 tolak, karena lebih dari πβ² β 1
β’ 91 tolak, karena lebih dari πβ² β 1
β’ 65 t =65
π=
65
2= 32 (unit ke-31 terpilih sampel)
Sampel terpilih: 34, 22, 31
Baris Kolom
(1-5)
1 88347
2 57140
3 74686
4 68013
5 57477
6 89127
7 26519
8 48045
9 22531
10 84887
11 72047
12 19645
13 46884
14 92289
MPC1
LOGO
Estimasi
Nilai yang diestimasi
SRS
WR WOR
Rata-rata π¦ =1
π π¦π
π
π=1
Varians rata-rata π£ π¦ =π 2
π π£ π¦ =
π β π
πβπ 2
π
Total π =π
π π¦π = ππ¦
π
π=1
Varians Total π£ π = π2 βπ 2
π= π2 β π£ π¦
π£ π = π2 βπ β π
πβπ 2
π= π2 β π£ π¦
MPC1
LOGO
Estimasi Rata-rata
Estimasi rata-rata π¦ adalah estimasi yang unbiased dari parameter π .
Bukti:
πΈ π¦ = πΈ1
π π¦π
π
π=1
=1
π πΈ π¦π
π
π=1
=1
π ππππ
π
π=1
π
π=1
=1
π
ππ
π
π
π=1
π
π=1
=1
π π =
1
πππ
π
π=1
= π
MPC1
LOGO
Varians Rata-rata (1)
Varians rata-rata adalah:
π π¦ =πβπ
πβ
π2
π
Bukti:
π π¦ = πΈ π¦ β π 2 = πΈ1
π π¦π β π
π
π=1
2
=1
π2πΈ π¦π β π
π
π=1
2
=1
π2πΈ π¦π β π 2 + π¦π β π π¦π β π
π
πβ π
π
π=1
MPC1
LOGO
Varians Rata-rata (2)
π π¦ =1
π2 πΈ π¦π β π 2 +
1
π2 πΈ π¦π β π π¦π β π
π
πβ π
π
π=1
=1
π2
1
ππ¦π β π 2
π
π=1
+1
π2
1
πβ
1
π β 1β π¦π β π π¦π β π
π
πβ π
π
πβ π
π
π=1
=1
π2 π2
π
π=1
+1
π2β1
πβ
1
π β 1β π¦π β π
π
π=1
2
β π¦π β π 2
π
π=1`
π
πβ π
=1
π2ππ2 +
1
π2β1
πβ
1
π β 1β β π¦π β π 2
π
π=1
π
πβ π
=π2
πβ
1
π2β1
πβ
1
π β 1β π2
π
πβ π
=π2
πβ
1
π2β1
πβ
1
π β 1β π π β 1 π2 =
π β π
π β 1βπ2
π
π½ π =π΅ β π
π΅βπΊπ
π(πππππ πππππππ πππππ πΊπΉπΊ πΎπΆπΉ) MPC1
LOGO
Varians Rata-rata (3) Rumus Varians Untuk SRS WOR
π π¦ =π β π
πβπ2
π
= 1 βπ
πβπ2
π
= 1 β π βπ2
π
Keterangan:
πβπ
π πππ πππ’π‘ πππππ‘π ππππ’πππ‘πππ πππππππ‘ππππ (πππ)
π =π
π πππ πππ’π‘ π πππππππ πππππ‘πππ
Jika sampel diambil dengan SRS WR, π¦π dan π¦π saling statistically
independent, sehingga πΈ π¦π β π π¦π β π = 0 dan
π π¦ =1
π2 β ππ2
=π2
π(ππ’ππ’π π£ππππππ π’ππ‘π’π ππ π ππ )
MPC1
LOGO
Sample Varians ππ
π 2 adalah unbiased estimator dari parameter π2 dan π2.
πΈ π 2 = π2 jika sampel diambil secara SRS WR
πΈ π 2 = π2 jika sampel diambil secara SRS WOR
Bukti:
π 2 =1
π β 1 π¦π β π¦ 2
π
π=1
=1
π β 1 π¦π β π 2 β π π¦ β π 2
π
π=1
πΈ π 2 =1
π β 1πΈ π¦π β π 2
π
π=1
β πΈ π π¦ β π 2
MPC1
LOGO
Sample Varians ππ
πΈ π 2 =1
π β 1πΈ π¦π β π 2
π
π=1
β π¬ π π β π π
MPC1
π¬ π π β π π
πΊπΉπΊ πΎπΉ: π¬ π π β π π = π βππ
π= ππ β¦ (ππ)
πΊπΉπΊ πΎπΆπΉ: π¬ π π β π π = π βπ΅ β π
π΅βπΊπ
π
=π΅ β π
πβ πΊπ β¦ (ππ)
π¬ ππ β π π
π
π=π
= π¬ ππ β π π = π
π΅ππ β π π
π΅
π=π
π
π=π
π
π=π
=π
π΅β π β π΅ β π β πΊπ β¦ (π)
LOGO
SRS WR
Dari persamaan (1) dan (2a) diperoleh:
πΈ π 2 =1
πβ1
π(πβ1)
ππ2 β π2 = π2 (terbukti)
SRS WOR
Dari persamaan (1) dan (2b) diperoleh:
πΈ π 2 =1
πβ1
π(πβ1)
ππ2 β
πβπ
ππ2 = π2 (terbukti)
MPC1
Sample Varians ππ
LOGO
Varians Sampling Untuk penduga Rata-rata π π
Dengan men-substitusikan π 2 untuk π2 (SRS WR) dan π2 (SRS WOR), kita akan memperoleh unbiased estimasi varians sampling untuk penduga rata-rata, yaitu:
π£ π¦ =π 2
π (SRS WR)
π£ π¦ =πβπ
πβ
π 2
π (SRS WOR)
MPC1
LOGO
Estimasi Total Karakteristik (π )
Estimasi total karakteristik π = ππ¦
Penduga total di atas adalah unbiased estimator untuk parameter π, dapat dibuktikan:
πΈ π = πΈ ππ¦ = π β πΈ π¦ = ππ = π
Estimasi varians dari penduga total karakteristik:
π£ π = π£ ππ¦ = π2 β π¦
SRS WR: π£( π = π2 βπ 2
π
SRS WOR: π£( π = π2 βπβπ
πβ
π 2
π
MPC1
LOGO
Estimasi Rata-rata
Nilai yang diestimasi
SRS
WR WOR
Rata-rata π¦ =1
π π¦π
π
π=1
Varians rata-rata π£ π¦ =π 2
π π£ π¦ =
π β π
πβπ 2
π
Standar error π π π¦ = π£ π¦
Relative standar error (RSE)
ππ π π¦ =π π(π¦ )
π¦ Γ 100%
1 β πΌ % Confidence Interval
π¦ β ππΌ/2 β π π π¦ < π < π¦ + ππΌ/2 β π π π¦
MPC1 π 2 =
1
π β 1 π¦π β π¦ 2
π
π=1
Catatan:
πβπ
π πππ πππ’π‘ πππππ‘π ππππ’πππ‘πππ πππππππ‘ππππ (πππ)
π =π
π πππ πππ’π‘ π πππππππ πππππ‘πππ
LOGO
Estimasi Total
Nilai yang diestimasi
SRS
WR WOR
Total π =π
π π¦π = ππ¦
π
π=1
Varians total π£ π = π2 βπ 2
π= π2 β π£ π¦
π£ π = π2 βπ β π
πβπ 2
π= π2 β π£ π¦
Standar error π π π = π£ π
Relative standar error (RSE) ππ π π =
π π(π )
π Γ 100%
1 β πΌ % Confidence Interval
π β ππΌ/2 β π π π < π < π + ππΌ/2 β π π π
MPC1
LOGO
Contoh 1
Sebuah sampel acak sederhana yang terdiri dari 20 rumah tangga dipilih dari blok sensus X yang mempunyai muatan sebanyak 150 rumah tangga. Jumlah ART dari rumah tangga sampel sebagai berikut:
a. Perkirakan rata-rata jumlah ART dan total penduduk di blok sensus tersebut beserta standar error dan rse-nya !
b. Dengan tingkat kepercayaan 95%, buatlah selang kepercayaan untuk estimasi rata-rata jumlah ART dan total penduduk !
c. Interpretasikan hasil penghitungan di atas !
No ruta sampel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jumlah ART 4 2 3 5 4 6 3 4 5 7
No ruta sampel 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Jumlah ART 3 4 6 2 1 2 3 4 6 4
MPC1
LOGO
Penyelesaian (1)
Diketahui: π = 150, π = 20
Estimasi rata-rata:
π¦ =1
π π¦π =
1
204 + 2 + 3 + β― + 6 + 4 =
1
20β 78 = 3,9
π
π=1
Varians dari estimasi rata-rata:
π£ π¦ =π β π
πβπ 2
π=
150 β 20
150β2,515
20= 0,109
Standar error dari estimasi rata-rata:
π π π¦ = π£ π¦ = 0,109 = 0,330
Relative standar error (RSE):
ππ π π¦ =π π(π¦ )
π¦ β 100% =
0,330
3,9β 100% = 8,46%
Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95%: π¦ β ππΌ/2 β π π π¦ < π < π¦ + ππΌ/2 β π π π¦
3,9 β 1,96 β 0,330 < π < 3,9 + 1,96 β 0,330 3,253 < π < 4,547
MPC1
LOGO
Interpretasi:
Estimasi rata-rata anggota rumah tangga di blok sensus X adalah 3,9 orang per rumah tangga dengan perkiraan rata-rata penyimpangan (standar error) sebesar 0,33 dan relative standar error sebesar 8,46%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dinyatakan bahwa nilai populasi rata-rata anggota rumah tangga akan berada pada interval antara 3,253 sampai 4,547 orang per rumah tangga.
MPC1
Penyelesaian (2)
LOGO
Penyelesaian (3)
Estimasi total: π = ππ¦ = 150 β 3,9 = 585
Varians dari estimasi rata-rata:
π£ π = π2 β π£ π¦ = 1502 β 0,109 = 2452,895
Standar error dari estimasi rata-rata:
π π π = π£ π = 2452,895 = 49,526
Relative standar error (RSE):
ππ π π =π π(π )
π β 100% =
49,526
585β 100% = 8,46%
Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95%:
π β ππΌ/2 β π π π < π < π + ππΌ/2 β π π π
585 β 1,96 β 49,526 < π < 585 + 1,96 β 49,526 487,92 < π < 682,07
MPC1
LOGO
Interpretasi:
Estimasi total penduduk di blok sensus X adalah 585 orang dengan perkiraan rata-rata penyimpangan (standar error) sebesar 49,526 orang dan relative standar error sebesar 8,46%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dinyatakan bahwa nilai populasi total penduduk akan berada pada interval antara 487,92 sampai 682,07 orang.
MPC1
Penyelesaian (4)
LOGO
PERTEMUAN 4
Proporsi
Presisi
Penentuan Ukuran Sampel
All Possible Sample
Oleh: Adhi Kurniawan
LOGO
Proporsi Populasi π·
Proporsi adalah special case dari rata-rata ketika variabel/karakteristik yang diteliti ππ hanya bernilai 0 dan 1.
Misalkan, kita ingin mengetahui proporsi mahasiswa yang suka terhadap mata kuliah MPC di kelas 2KS1, maka
ππ = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC
ππ = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC
Maka proporsi populasi mahasiswa yang suka MPC di 2KS1:
π =1
π ππ
π
π=1
MPC1
LOGO
Estimasi Proporsi (π)
Jika π¦1, π¦2, β¦ , π¦π adalah random sampel dengan ukuran π yang diambil dari populasi sebanyak N, maka estimasi proporsi:
π =1
π π¦π
π
π=1
Keterangan:
π¦π harus bernilai 0 atau 1
Estimasi proporsi π adalah unbiased estimator untuk parameter π, hal ini dibuktikan:
πΈ π = πΈ1
π π¦π
π
π=1
=1
π πΈ π¦π
π
π=1
=1
πβ π β
ππ
π
π
π=1
= π
MPC1
LOGO
Varians Populasi dari ππ (ππ=0 atau 1)
Misalkan dari sebanyak N populasi mahasiswa, terdapat A mahasiswa yang suka mata kuliah MPC, sehingga:
ππ = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC
ππ = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC
Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan:
ππ = π΄
π
π=1
dan π =π΄
π , π = 1 β π
Varians dari ππ dapat dirumuskan:
π2 =1
π β 1 ππ β π 2 =
1
π β 1 ππ
2 β ππ 2
π
π=1
π
π=1
Karena ππ = 0 ππ‘ππ’ 1, maka:
ππ2 = π΄ = ππ
π
π=1
πππ π 2 = π2
π2 =1
π β 1ππ β ππ2 =
π
π β 1ππ
MPC1
LOGO
Varians Sampel dari ππ (ππ=0 atau 1)
Misalkan dari sebanyak n sampel mahasiswa, terdapat a mahasiswa yang suka mata kuliah MPC, sehingga:
π¦π = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC
π¦π = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC
Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan:
π¦π = π
π
π=1
dan π =π
π , π = 1 β π
Varians dari π¦π dapat dirumuskan:
π 2 =1
π β 1 π¦π β π¦ 2 =
1
π β 1 π¦π
2 β ππ¦ 2
π
π=1
π
π=1
Karena π¦π = 0 ππ‘ππ’ 1, maka:
π¦π2 = π = ππ
π
π=1
πππ π¦ 2 = π2
π 2 =1
π β 1ππ β ππ2 =
π
π β 1ππ
MPC1
LOGO
Varians Sampling dari Estimasi Proporsi
Untuk SRS WR
π£ π =π 2
π=
1
πβ
π
π β 1ππ
=ππ
π β 1
Untuk SRS WOR
π£ π =π β π
πβπ 2
π=
π β π
πβ1
πβ
π
π β 1ππ
=π β π
πβ
ππ
π β 1
MPC1
LOGO
Estimasi Total dari Proporsi
Misalkan dari populasi sebanyak N mahasiswa diambil sampel sebanyak n mahasiswa. Dari sampel tersebut, terdapat sebanyak π mahasiswa yang suka MPC.
π¦π = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC
π¦π = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC
Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan:
π¦π = π
π
π=1
Estimasi proporsi mahasiswa yang suka MPC:
π =π
π
Estimasi total mahasiswa yang suka MPC: π΄ = ππ
Estimasi varians total:
π£ π΄ = π2 β π£ π
MPC1
LOGO
Estimasi Proporsi
Nilai yang diestimasi
SRS
WR WOR
Rata-rata π =1
π π¦π
π
π=1
Varians rata-rata π£ π =ππ
π β 1 π£ π =
π β π
πβ
ππ
π β 1
Standar error π π π = π£ π
Relative standar error (RSE)
ππ π π =π π(π)
πΓ 100%
1 β πΌ % Confidence Interval
π β ππΌ/2 β π π π < π < π + ππΌ/2 β π π π
MPC1
Catatan: π¦π = 0 atau 1 π = 1 β π
πβπ
π πππ πππ’π‘ πππππ‘π ππππ’πππ‘πππ πππππππ‘ππππ (πππ)
π =π
π πππ πππ’π‘ π πππππππ πππππ‘πππ
LOGO
Estimasi Total
Nilai yang diestimasi
SRS
WR WOR
Total π΄ = ππ
Varians total π£ π΄ = π2 βππ
π β 1 π£ π΄ = π2 β
π β π
πβ
ππ
π β 1
Standar error π π π΄ = π£ π΄
Relative standar error (RSE) ππ π π΄ =
π π(π΄ )
π΄ Γ 100%
1 β πΌ % Confidence Interval
π΄ β ππΌ/2 β π π π΄ < π΄ < π΄ + ππΌ/2 β π π π΄
MPC1
LOGO
Contoh 1:
Dari populasi sebanyak 50 pegawai di perusahaan X, dipilih 10 orang sebagai sampel secara SRS WOR. Data yang diperoleh sebagai berikut:
Tentukan:
a. Estimasi proporsi pegawai yang berumur kurang dari 30 tahun
b. Estimasi total/jumlah pegawai yang berumur kurang dari 30 tahun
c. Estimasi proporsi pegawai yang pendidikan terakhir S1
d. Estimasi jumlah pegawai yang pendidikan terakhir S1
MPC1
No Umur Pendidikan terakhir
No Umur Pendidikan terakhir
1 24 S1 6 50 D3
2 35 D3 7 27 SMA
3 42 SMA 8 52 SMA
4 31 S1 9 46 S2
5 29 S1 10 39 S1
LOGO
Penyelesaian:
MPC1
No Umur Pendidikan terakhir
Kode Umur (<30=1,
30 ke atas=0)
Kode Pendidikan
Terakhir (S1=1, bukan S1=0)
1 24 S1 1 1
2 35 D3 0 0
3 42 SMA 0 0
4 31 S1 0 1
5 29 S1 1 1
6 50 D3 0 0
7 27 SMA 1 0
8 52 SMA 0 0
9 46 S2 0 0
10 39 S1 0 1
Jumlah dari sampel (π) 3 4
Estimasi proporsi (π) 3/10=0,3 4/10=0,4
LOGO
Penyelesaian: Estimasi Proporsi
MPC1
Statistik Rumus Kode Umur (<30=1, 30 ke atas=0)
Kode Pendidikan Terakhir (S1=1, bukan
S1=0)
Proporsi π =π
π π1 =
3
10= 0,3 π2 =
4
10= 0,4
Varians proporsi
π£ π =π β π
π
βππ
π β 1
π£ π1 =50 β 10
50β0,3 β 0,7
9
= 0,0186
π£ π2 =50 β 10
50β0,4 β 0,6
9
= 0,0213
Standar Error
proporsi
π π π = π£(π) π π π1 = 0,0186 = 0,136 π π π2 = 0,0213 = 0,145
RSE ππ π π
=π π(π)
πΓ 100%
ππ π π1 =0,136
0,3Γ 100%
= 45,33%
ππ π π2 =0,145
0,4Γ 100%
= 36,25%
95%CI [π β ππΌ
2β π π π ;
π + ππΌ/2 β π π π ]
[0,033; 0,567] [0,116; 0,684]
LOGO
Penyelesaian: Estimasi Total
MPC1
Statistik Rumus Kode Umur (<30=1, 30 ke atas=0)
Kode Pendidikan Terakhir (S1=1, bukan
S1=0)
Total π΄ = ππ π΄ 1 = 50 β 0,3 = 15 π΄ 2 = 50 β 0,4 = 20
Varians proporsi
π£ π΄ = π2 β π£(π) π£ π΄ 1 = 502 β 0,0186
= 46,5
π£ π΄ 2 = 502 β 0,0213
= 53,25
Standar Error
proporsi
π π π΄ = π£(π΄ ) π π π΄ 1 = 46,5 = 6,819 π π π΄ 2 = 53,25 = 7,297
RSE ππ π π΄
=π π(π΄ )
π΄ Γ 100%
ππ π π΄ 1 =6,819
15Γ 100%
= 45,33%
ππ π π΄ 2 =7,297
20Γ 100%
= 36,25%
95%CI [π β ππΌ
2β π π π ;
π + ππΌ/2 β π π π ]
[1,635; 28,365] [5,698; 34,302]
LOGO
Presisi (d)
Presisi (margin of error) menunjukkan besarnya toleransi kesalahan (error) dari suatu penduga (estimator).
Semakin kecil nilai margin of error maka suatu penduga/estimator akan semakin precise/reliable.
Rumus: π = ππΌ/2 β π π π¦
= π¦ β π
=1
2β πππππππ πππ‘πππ£ππ
Keterangan:
ππΌ/2 : koefisien reliability
π π π¦ : standar error
MPC1
LOGO
Presisi dan Confidence Interval
π β ππΆπ
β ππ π < π < π + ππΆπ
β ππ π
MPC1
Koefisien reliability
Koefisien reliability
Standar error
Standar error
Γ Γ
Presisi π Presisi π
Lower bound (lb) Upper bound (up)
π·ππππππ ππππππππ = ππ β ππ = π Γ π
LOGO
Penentuan Ukuran Sampel (Sample Size)
Jika diketahui nilai sample varians dari penelitian terdahulu:
SRS WR
ππ =ππΆ/π
πβ ππ
π π
SRS WOR
π =π΅ ππΆ/π
πβ ππ
π΅π π + ππΆ/π
πβ ππ
Keterangan:
π 2 : sample varians dari dari penelitian terdahulu
π : presisi/margin of error yang ditetapkan
MPC1
π =ππ
π +πππ΅
LOGO
Bukti:
SRS WR π = ππΌ/2 β π π π¦
π = ππΌ/2 βπ 2
π0
π2 = ππΌ/22 β
π 2
π0
ππ =ππΆ/π
πβ ππ
π π
SRS WOR π = ππΌ/2 β π π π¦
π = ππΌ/2 βπ β π
πβπ 2
π
π2 = ππΌ/22 β
π β π
πβπ 2
π
πππ2 = ππΌ/22ππ 2 β ππΌ/2
2ππ 2
πππ2 + ππΌ/22ππ 2 = ππΌ/2
2ππ 2
π ππ2 + ππΌ/22π 2 = ππΌ/2
2ππ 2
π =π΅ ππΆ/π
πβ ππ
π΅π π + ππΆ/π
πβ ππ
MPC1
LOGO
Bukti: Hubungan ππ dan π
SRS WR
ππ =ππΆ/π
πβ ππ
π πβ π 2 =
π0 β π2
ππΌ/2
2
SRS WOR
π =π΅ ππΆ/π
πβ ππ
π΅π π + ππΆ/π
πβ ππ
MPC1
π =π ππΌ/2
2β π 2
ππ2 + ππΌ/2
2β π 2
β π =
π ππΌ/22
βπ0 β π2
ππΌ/2
2
ππ2 + ππΌ/2
2β
π0 β π2
ππΌ/2
2
π =π β π0 β π2
ππ2 + π0 β π2 β π =π2(π β π0)
π2(π + π0)
π =π β π0
π + π0β1
π
1π
π =ππ
π +πππ΅
LOGO
Penentuan Ukuran Sampel (Sample Size)
Jika diketahui nilai presisi relative (persentase margin of error) dan koefisien variasi dari penelitian terdahulu:
SRS WR
ππ =ππΆ/π
πβ πͺπ
π β² π
SRS WOR
π =π΅ ππΆ/π
πβ πͺπ
π΅ π β² π + ππΆ/π
πβ πͺπ
Keterangan:
πΆ : koefisien variasi dari dari penelitian terdahulu
πβ² : presisi relatif/persentase margin of error yang ditetapkan
MPC1
π =ππ
π +πππ΅
LOGO
Bukti:
SRS WR
π0 =ππΌ/2
2β π 2
π2
π0 =ππΌ/2
2β πΆπ₯ 2
πβ²π₯ 2
ππ =ππΆ/π
πβ πͺπ
π β² π
SRS WOR
π =π ππΌ/2
2β π 2
ππ2 + ππΌ/2
2β π 2
π =π ππΌ/2
2β πΆπ₯ 2
π πβ²π₯ 2 + ππΌ/2
2β πΆπ₯ 2
π =π΅ ππΆ/π
πβ πͺπ
π΅ π β² π + ππΆ/π
πβ πͺπ
MPC1
πβ² =π
π₯ β π = πβ² β π₯
πΆ =π
π₯ β π = πΆ β π₯
LOGO
Bukti: Hubungan ππ dan π
SRS WR
ππ =ππΆ/π
πβ ππ
π πβ π 2 =
π0 β π2
ππΌ/2
2
SRS WOR
π =π΅ ππΆ/π
πβ ππ
π΅π π + ππΆ/π
πβ ππ
MPC1
π =π ππΌ/2
2β π 2
ππ2 + ππΌ/2
2β π 2
β π =
π ππΌ/22
βπ0 β π2
ππΌ/2
2
ππ2 + ππΌ/2
2β
π0 β π2
ππΌ/2
2
π =π β π0 β π2
ππ2 + π0 β π2 β π =π2(π β π0)
π2(π + π0)
π =π β π0
π + π0β1
π
1π
π =ππ
π +πππ΅
LOGO
Penentuan Ukuran Sampel (Sample Size)
Jika dari penelitian terdahulu, diketahui nilai proporsi kejadian dari indikator tertentu.
SRS WR
ππ =ππΆ/π
πβ ππ
π π
SRS WOR
π =π΅ ππΆ/π
πβ ππ
π΅π π + ππΆ/π
πβ ππ
Keterangan:
π : proporsi variabel/indikator tertentu
π : presisi/margin of error yang ditetapkan
MPC1
π =ππ
π +πππ΅
LOGO
Bukti:
SRS WR π = ππΌ/2 β π π π¦
π = ππΌ/2 βππ
π0 β 1
Untuk tujuan praktis, π0 β 1 β π0
π2 = ππΌ/22 β
ππ
π0
ππ =ππΆ/π
πβ ππ
π π
SRS WOR π = ππΌ/2 β π π π¦
π = ππΌ/2 βπ β π
πβ
ππ
π β 1
Untuk tujuan praktis, π β 1 β π
π2 = ππΌ/22 β
π β π
πβππ
π
πππ2 = ππΌ/22πππ β ππΌ/2
2πππ
πππ2 + ππΌ/22πππ = ππΌ/2
2πππ
π ππ2 + ππΌ/22ππ = ππΌ/2
2πππ
π =π΅ ππΆ/π
πβ ππ
π΅π π + ππΆ/π
πβ ππ
MPC1
LOGO
Contoh 2
Suatu survei akan memilih beberapa rumah tangga sebagai sampel untuk meneliti pengeluaran makanan sebulan. Margin of error (presisi) yang diinginkan sebesar Β±π π 40.000,00. Jika dari survei pendahuluan diperoleh standar deviasi sebesar Rp 120.000,00, dengan tingkat kepercayaan 95% tentukan:
a. Jumlah sampel minimum yang diperlukan jika pengambilan secara SRS WR ?
b. Jika jumlah populasi N=2000 rumah tangga dan pengambilan secara SRS WOR, berapa jumlah minimum sampel yang dibutuhkan ?
MPC1
LOGO
Penyelesaian
Diketahui : π = 40.000, π = 120.000, ππΌ/2 = 1,96
a. SRS WR
π0 =ππΌ/2
2β π 2
π2=
1,962 β 1200002
400002= 34,57 β 35
b. SRS WOR (N=2000)
π =π ππΌ/2
2β π 2
ππ2 + ππΌ/2
2β π 2
=2000 β 1,962 β 1200002
2000 β 400002 + 1,962 β 1200002= 33,98 β 34
MPC1
LOGO
Contoh 3
Suatu survei dilaksanakan di suatu sekolah untuk meneliti rata-rata berat badan siswa. Persentase margin of error (presisi relative) yang diinginkan sebesar Β±5% dari rata-ratanya. Jika dari survei pendahuluan diperoleh koefisien variasi sebesar 0,1, maka dengan tingkat kepercayaan 95% tentukan:
a. Jumlah sampel minimum yang diperlukan jika pengambilan secara SRS WR ?
b. Jika jumlah populasi N=100 siswa dan pengambilan secara SRS WOR, berapa jumlah minimum sampel yang dibutuhkan ?
MPC1
LOGO
Penyelesaian
Diketahui :
Presisi relative:
πβ² =π
π₯ = 5% = 0,05
Koefisien variasi:
πΆ =π
π₯ = 0,1
Reliability=95% ππΌ/2 = 1,96
a. SRS WR
π0 =ππΌ/2
2β π 2
π2=
ππΌ/22
β πΆπ₯ 2
πβ²π₯ 2=
ππΌ/22
β πΆ2
πβ² 2
=1,962 β 0,12
0,052= 15,36 β 16
MPC1
LOGO
Penyelesaian
a. SRS WOR (N=100)
π =π ππΌ/2
2β π 2
ππ2 + ππΌ/2
2β π 2
=π ππΌ/2
2β πΆπ₯ 2
π πβ²π₯ 2 + ππΌ/22
β πΆπ₯ 2
=π ππΌ/2
2β πΆ2
π πβ² 2 + ππΌ/22
β πΆ2
=100 β 1,962 β 0,12
100 β 0,052 + 1,962 β 0,12= 13,31 β 14
MPC1
LOGO
Contoh 4
Dari penelitian terdahulu diperoleh informasi bahwa persentase siswa laki-laki yang merokok sebesar 60%. Dengan tingkat kepercayaan 95% dan presisi 5%, tentukan:
a. Jumlah sampel minimum yang diperlukan jika pengambilan secara SRS WR ?
b. Jika jumlah populasi N=4000 siswa laki-laki dan pengambilan secara SRS WOR, berapa jumlah minimum sampel yang dibutuhkan ?
MPC1
LOGO
Penyelesaian
Diketahui : π = 60% = 0,6 ; π = 5% = 0,05 ; ππΌ/2 = 1,96
a. SRS WR
π0 =ππΌ/2
2β ππ
π2=
1,962 β 0,6 β 0,4
0,052= 368,79 β 369
b. SRS WOR (N=4000)
π =π ππΌ/2
2β ππ
ππ2 + ππΌ/2
2β ππ
=4000 β 1,962 β 0,6 β 0,4
4000 β 0,052 + 1,962 β 0,6 β 0,4= 337,66 β 338
MPC1
LOGO
Contoh 5
Misalkan, dari N=100, ingin diambil sejumlah sampel dengan tingkat kepercayaan 95% (ππΌ/2 = 1,96). Beberapa kemungkinan besar sampel
(n) untuk nilai proporsi dan presisi tertentu sebagai berikut:
MPC1
No Proporsi
Presisi
0.01 0.02 0.05 0.07 0.1
1 0.1 97 90 58 41 26
2 0.2 98 94 71 56 38
3 0.3 99 95 76 62 45
4 0.4 99 96 79 65 48
5 0.5 99 96 79 66 49
6 0.6 99 96 79 65 48
7 0.7 99 95 76 62 45
8 0.8 98 94 71 56 38
9 0.9 97 90 58 41 26
Kesimpulan:
Semakin precise suatu
penelitian, jumlah sampel
yang dibutuhkan akan
semakin besar
LOGO
Grafik
MPC1
LOGO
PERTEMUAN 5
Pengertian
Skema Pembentukan Strata
Estimasi Rata-rata, Total
Estimasi Varians
Oleh: Adhi Kurniawan
LOGO
Pengertian
Populasi sebanyak π unit dikelompokkan menjadi πΏ subpopulasi, masing-masing subpopulasi terdiri dari π1, π2, β¦, ππΏ unit
Subpopulasi yang terbentuk tidak boleh saling tumpang tindih (overlapping).
Jumlah unit dari semua subpopulasi sama dengan jumlah populasi, sehingga:
π1 + π2 + β― + ππΏ = π
Subpopulasi ini disebut strata.
Penarikan sampel dilakukan untuk setiap strata, dan bersifat independent antara strata satu dengan strata lainnya.
π1 + π2 + β― + ππΏ = π
Jika penarikan sampel di setiap strata dilakukan secara SRS, prosedur ini disebut stratified random sampling.
MPC1
LOGO
Keuntungan Meningkatkan efisiensi desain/presisi estimasi karakteristik
populasi.
Prinsip:
1. Unit/elemen yang karakteristiknya hampir sama dikelompokkan dalam satu strata.
Unit-unit dalam strata (within stratum) -- > homogen
2. Perbedaan rata-ratakarakteristik antarstrata dibuat sebesar mungkin.
Unit-unit antar strata (between stratum) -- > heterogen
Masing-masing strata bisa dianggap sebagai populasi tersendiri sehingga bisa diterapkan desain sampling yang berbeda.
Estimasi bisa dilakukan untuk penyajian sampai level strata.
Untuk kemudahan administratif.
MPC1
LOGO
Skema Pembentukan Strata
MPC1
β¦ β β¦ β₯ β₯ β β₯ β£ β¦ β β¦ β£ β β¦ β β£ β β₯ β β¦ β β β£ β β£ β₯ β£ β¦ β£ β¦ β£ β₯ β£ β£ β₯ β¦ β₯ β£ β₯ β β₯ β£ β₯ β₯ β β¦ β₯ β₯
β¦ β¦ β¦ β β β β£ β£ β£ β₯ β₯ β₯ β¦ β¦ β¦ β β β β£ β£ β£ β₯ β₯ β₯ β¦ β¦ β β β β£ β£ β£ β₯ β₯ β₯β₯ β¦ β¦ β β β β£ β£ β£ β₯ β₯ β₯β₯ Strata 1 Strata 2 Strata 3 Strata 4
POPULASI
STRATIFIKASI POPULASI
LOGO
Pembentukan Strata Untuk Meningkatkan Presisi
Untuk membentuk strata diperlukan variabel pendukung untuk mengelompokkan unit sampling sehingga varians dari nilai variabel di dalam strata menjadi lebih homogen.
Bila memungkinkan lebih baik lagi bila dapat diusahakan agar perbedaan rata-rata nilai karakteristik antar strata dibuat sebesar mungkin.
Untuk meningkatkan presisi maka perlu dipilih suatu variabel yang diperkirakan mempunyai korelasi dengan data yang akan dikumpulkan.
Contoh: variabel yang baik untuk dasar stratifikasi survei sosial ekonomi nasional antara lain pengelompokan wilayah elit dan non elit, atau daerah perkotaan dan daerah pedesaan.
MPC1
LOGO
Dasar-dasar Pembentukan Strata
Dasar pembentukan strata tergantung dari tujuan pembentukan strata dan sifat-sifat variabel yang akan dijadikan dasar pembentukan strata, contohnya:
a. Unit sampling itu sendiri, misalkan mahasiswa laki-laki dan mahasiswa perempuan
b. Variabel wilayah administrasi,misalnya desa perkotaan dan desa pedesaan.
c. Variabel letak geografis, misalnya desa pantai dan desa bukan pantai.
d. Variabel lainnya misalnya kepadatan penduduk, jenis lapangan usaha (daerah pertanian dan non pertanian).
e. Perusahaan/usaha bisa dibedakan usaha skala besar, sedang, dan kecil, misalnya berdasarkan omzet atau jumlah tenaga kerja.
f. Sekolah, bisa sekolah negeri dan sekolah swasta. MPC1
LOGO
Skema Penarikan Sampel (1)
MPC1
TAR halaman 1, baris 1, kolom 1, remainder approach
Baris Kolom
(1-5)
1 88347
2 57140
3 74686
4 68013
5 57477
6 89127
7 26519
8 48045
9 22531
10 84887
11 72047
12 19645
13 46884
14 92289
1. β 5. β 9.β 2. β 6. β 10.β 3. β 7. β 11.β 4. β 8. β 12.β
STRATA 2
π΅π = ππ
1. β 5. β 9.β 2. β 6. β 10.β 3. β 7. β 11.β 4. β 8. β 12.β
STRATA 2
ππ = π
π2 = 12, π2
β² = 96
β’74/12 sisa 2 β’68/12 sisa 8 β’57/12 sisa 9
1.β¦ 5.β¦ 9.β¦ 2.β¦ 6.β¦ 10.β¦ 3.β¦ 7.β¦ 4.β¦ 8.β¦
STRATA 1
π΅π = ππ
1.β¦ 5.β¦ 9.β¦ 2.β¦ 6.β¦ 10.β¦ 3.β¦ 7.β¦ 4.β¦ 8.β¦
STRATA 1
ππ = π
π1 = 10, π1
β² = 90
β’88/10 sisa 8 β’57/10 sisa 7
POPULASI SAMPEL
LOGO
Skema Penarikan Sampel (2)
MPC1
Baris Kolom
(1-5)
1 88347
2 57140
3 74686
4 68013
5 57477
6 89127
7 26519
8 48045
9 22531
10 84887
11 72047
12 19645
13 46884
14 92289
1.β₯ 5.β₯ 9.β₯ 2.β₯ 6.β₯ 10.β₯ 3.β₯ 7.β₯ 11.β₯ 13.β₯ 4.β₯ 8.β₯ 12.β₯ 14.β₯
STRATA 4
π΅π = ππ
π4 = 14, π4
β² = 98
β’22/14 sisa 8 β’84/14 sisa 0 β’72/14 sisa 2 β’19/14 sisa 5
1.β₯ 5.β₯ 9.β₯ 2.β₯ 6.β₯ 10.β₯ 3.β₯ 7.β₯ 11.β₯ 13.β₯ 4.β₯ 8.β₯ 12.β₯ 14.β₯
STRATA 4
ππ = π
1.β£ 5.β£ 9.β£ 2.β£ 6.β£ 10.β£ 3.β£ 7.β£ 11.β£ 4.β£ 8.β£ 12.β£
STRATA 3
π΅π = ππ
π3 = 12, π3
β² = 96
β’89/12 sisa 5 β’26/12 sisa 2 β’48/12 sisa 0
POPULASI SAMPEL
1.β£ 5.β£ 9.β£ 2.β£ 6.β£ 10.β£ 3.β£ 7.β£ 11.β£ 4.β£ 8.β£ 12.β£
STRATA 3
ππ = π
LOGO
Notasi π¦βπ : nilai karakteristik unit ke-i strata ke-h
π : jumlah populasi
πβ : jumlah populasi di strata ke-h
πβ = π
πΏ
β=1
πβ : penimbang strata ke-h (stratum weight)
πβ =πβ
π
π : jumlah sampel
πβ : jumlah sampel di strata ke-h
πβ = π
πΏ
β=1
πβ : fraksi sampling strata ke-h
πβ =πβ
πβ
MPC1
LOGO
Rata-rata Populasi
Rata-rata karakteristik populasi di strata ke-h
π β =1
πβ πβπ
πβ
π=1
Rata-rata karakteristik populasi
π =1
π πβπ =
1
π πβ β π β = πβ β π β
πΏ
β=1
πΏ
β=1
πβ
π=1
πΏ
β=1
MPC1
LOGO
Varians Populasi
Varians karakteristik populasi di strata ke-h
πβ2 =
1
πβ πβπ β π β
2πβ
π=1
πβ2 =
1
πβ β 1 πβπ β π β
2πβ
π=1
Varians karakteristik populasi
π2 =1
π ππ β π 2
π
π=1
MPC1
LOGO
Estimasi Rata-rata Estimasi rata-rata karakteristik di strata ke-h
π¦ β =1
πβ π¦βπ
πβ
π=1
Estimasi rata-rata karakteristik populasi:
π¦ π π‘ =1
π πβ β π¦ β = πβ β π¦ β
πΏ
β=1
πΏ
β=1
Estimator rata-rata di atas merupakan unbiased estimator, dibuktikan:
πΈ π¦ π π‘ = πΈ1
π πβ β π¦ β
πΏ
β=1
=1
π πβ β πΈ π¦ β =
1
π πβ β π β = πβ β π β = π
πΏ
β=1
πΏ
β=1
πΏ
β=1
MPC1
LOGO
Sampling Varians
π π¦ π π‘ = π πβ
πΏ
β=1
β π¦ β = πβ2 β π(π¦ β)
πΏ
β=1
Jika masing-masing strata dilakukan penarikan sampel secara SRS WOR, maka:
π π¦ β = 1 β πβ βπβ
2
πβ
π π¦ π π‘ = πβ2 β 1 β πβ β
πβ2
πβ
πΏ
β=1
Unbiased estimator dari πβ2 adalah π β
2 sehingga unbiased estimator dari sampling varians adalah
π£ π¦ π π‘ = πβ2 β 1 β πβ β
π β2
πβ
πΏ
β=1
MPC1
LOGO
Estimasi Total Estimasi total karakteristik di strata ke-h
π β =πβ
πβ π¦βπ
πβ
π=1
= πβ β π¦ β
Varians estimasi total karakteristik di strata ke-h
π£ π β = πβ2 β π£ π¦ β
Estimasi total karakteristik populasi:
π π π‘ = ππ¦ π π‘ = πβ β π¦ β
πΏ
β=1
Varians estimasi total karakteristik:
π£ π π π‘ = π2 β π£ π¦ π π‘
MPC1
LOGO
Estimasi Rata-rata
MPC1
Estimasi Domain
Strata ke-h Populasi
Rata-rata π¦ β =1
πβ π¦βπ
πβ
π=1
π¦ π π‘ = πβ
πβ π¦ β= πβ β π¦ β
πΏ
β=1
πΏ
β=1
Varians rata-rata
π£ π¦ β = 1 β πβ
π β2
πβ π£ π¦ π π‘ = πβ
2 β π£(π¦ β)
πΏ
β=1
Standar Error
π π π¦ β = π£ π¦ β π π π¦ π π‘ = π£ π¦ π π‘
RSE π ππΈ π¦ β =π π π¦ β
π¦ βΓ 100% π ππΈ π¦ π π‘ =
π π π¦ π π‘
π¦ π π‘Γ 100%
1 β πΌ % Confidence interval
π¦ β β ππΌ2
β π π π¦ β ;
π¦ β + ππΌ2
β π π π¦ β
π¦ π π‘ β ππΌ2
β π π π¦ π π‘ ;
π¦ π π‘ + ππΌ2
β π π π¦ π π‘
LOGO
Estimasi Total
MPC1
Estimasi Domain
Strata ke-h Populasi
Total π β = πβ β π¦ β π π π‘ = π β π¦ π π‘ = π β
πΏ
β=1
Varians Total
π£ π β = πβ2 β π£ π¦ β π£ π π π‘ = π2 β π£ π¦ π π‘ = π£(π β)
πΏ
β=1
Standar Error
π π π β = π£ π β π π π π π‘ = π£ π π π‘
RSE π ππΈ π β =π π π β
π βΓ 100% π ππΈ π π π‘ =
π π π π π‘
π π π‘
Γ 100%
1 β πΌ % Confidence interval
π β β ππΌ2
β π π π β ;
π β + ππΌ2
β π π π β
π π π‘ β ππΌ2
β π π π π π‘ ;
π π π‘ + ππΌ2
β π π π π π‘
LOGO
Latihan 1. Buktikan bahwa:
a. π β = πβ β π¦ β adalah unbiased estimator untuk parameter πβ
b. π = π β π¦ π π‘ adalah unbiased estimator untuk parameter π
c. π£ π π π‘ = π2 β π£ π¦ π π‘ dapat dinyatakan dalam bentuk
π£ π π π‘ = πβ πβ β πβ
π β2
πβ
πΏ
β=1
d. π£ π π π‘ = π2 β π£ π¦ π π‘ dapat dinyatakan dalam bentuk
π£ π π π‘ = π£(π β)
πΏ
β=1
2. Buktikan bahwa π2 =1
π ππ β π 2π
π=1 bisa dinyatakan dalam:
π2 = ππ€2 + ππ
2
Keterangan:
ππ€2 =
1
π πβ β πβ
2
πΏ
β=1
(π£ππππππ π€ππ‘βππ)
ππ2 =
1
π πβ β π β β π 2 (π£ππππππ πππ‘π€πππ)
πΏ
β=1
MPC1
LOGO
PERTEMUAN 6
Estimasi Proporsi
Alokasi Sampel
Oleh: Adhi Kurniawan
LOGO
Proporsi Populasi
Misalkan, populasi sebanyak N unit dibagi menjadi L strata sehingga sehingga banyaknya unit untuk strata ke-h adalah πβ .
πβπ adalah nilai karakteristik dari variabel kategorik (bernilai 0 atau 1) untuk unit ke-i strata ke-h, sehingga jumlah kejadian untuk variabel tsb di strata ke-h adalah:
π΄β = πβπ
πβ
π=1
Proporsi populasi di strata ke-h:
πβ =1
πβ πβπ =
π΄β
πβ
πβ
π=1
Proporsi populasi:
π = πβ
πβ πβ = πβ β πβ
πΏ
β=1
πΏ
β=1
MPC1
LOGO
Estimasi Proporsi
Jika π¦β1, π¦β2, β¦ , π¦βπβ adalah random sampel dengan
ukuran πβ yang diambil dari populasi sebanyak πβ , maka estimasi proporsi di strata ke-h:
πβ =1
πβ π¦βπ =
πβ
πβ
πβ
π=1
Keterangan:
π¦βπ harus bernilai 0 atau 1
π¦βπ = πβ
πβ
π=1
Estimasi proporsi populasi:
ππ π‘ = πβ β πβ
πΏ
β=1
MPC1
LOGO
Varians Estimasi Proporsi
Sampling varians dari estimasi proporsi:
π ππ π‘ = πβ2 β
πβ β πβ
πβ
πΏ
β=1
(π€π)
π ππ π‘ = πβ2 β 1 β πβ β
πβ β πβ
πβ
πΏ
β=1
(π€ππ)
Unbiased estimator dari sampling varians di atas:
π£ ππ π‘ = πβ2 β
πβ β πβ
πβ β 1
πΏ
β=1
(π€π)
π£ ππ π‘ = πβ2 β 1 β πβ β
πβ β πβ
πβ β 1
πΏ
β=1
(π€ππ)
MPC1
LOGO
Proporsi
MPC1
β¦ β¦ β¦ β β β β£ β£ β£ β₯β₯β₯ β¦ β¦ β¦ β β β β£ β£ β£ β₯β₯β₯ β¦ β¦ β β β β£ β£ β£ β₯β₯β₯β₯ β¦ β¦ β β β β£ β£ β£ β₯β₯β₯β₯
Strata 1 Strata 2 Strata 3 Strata 4
POPULASI
β¦ β¦ β β β£ β£ β₯ β₯ β₯ β¦ β¦ β β β£ β£ β₯ β₯ β₯ β¦ β β β£ β£ β₯ β₯
Strata 1
Strata 2
Strata 3
Strata 4
SAMPEL
π1 = 10 π1 = 5 π2 = 6 π2 = 12 π3 = 12 π4 = 14 π3 = 6 π4 = 8
π΄1 = 4 π΄2 = 4 π΄3 = 5 π΄4 = 7 π1 = 2 π2 = 2 π3 = 2 π4 = 4
π1 = 4/10
π2 = 4/12
π3 = 5/12
π4 = 7/14
π1 = 2/5
π2 = 2/6
π3 = 2/6
π4 = 4/8
π =10 β
410
+ 12 β412
+ 12 β512
+ 14 β714
10 + 12 + 12 + 14=
23
48 ππ π‘ =
10 β25
+ 12 β26
+ 12 β26
+ 14 β48
(10 + 12 + 12 + 14)=
19
48
Misalkan, kita ingin menghitung proporsi unit yang bewarna merah
LOGO
Estimasi Proporsi
MPC1
Estimasi Domain
Strata ke-h Populasi
Proporsi πβ =1
πβ π¦βπ =
πβ
πβ
πβ
π=1
ππ π‘ = πβ
πβ πβ= πβ β πβ
πΏ
β=1
πΏ
β=1
Varians proporsi
π£ πβ = 1 β πβ
πβπβ
πβ β 1 π£ ππ π‘ = πβ
2 β π£(πβ)
πΏ
β=1
Standar Error π π πβ = π£ πβ π π ππ π‘ = π£ ππ π‘
RSE π ππΈ πβ =π π πβ
πβΓ 100% π ππΈ ππ π‘ =
π π ππ π‘
ππ π‘Γ 100%
1 β πΌ % Confidence interval
πβ β ππΌ2
β π π πβ ;
πβ + ππΌ2
β π π πβ
ππ π‘ β ππΌ2
β π π ππ π‘ ;
ππ π‘ + ππΌ2
β π π ππ π‘
π¦βπ = 0 ππ‘ππ’ 1 πβ = 1 β πβ πβ = π¦βπ
πβ
π=1
LOGO
Estimasi Total (jika diketahui proporsi)
MPC1
Estimasi Domain
Strata ke-h Populasi
Total π΄ β = πβ β πβ π΄ π π‘ = π β ππ π‘ = π΄ β
πΏ
β=1
Varians Total
π£ π΄ β = πβ2 β π£ πβ π£ π΄ π π‘ = π2 β π£ ππ π‘ = π£(π΄ β)
πΏ
β=1
Standar Error
π π π΄ β = π£ π΄ β π π π΄ π π‘ = π£ π΄ π π‘
RSE π ππΈ π΄ β =π π π΄ β
π΄ βΓ 100% π ππΈ π π π‘ =
π π π΄ π π‘
π΄ π π‘
Γ 100%
1 β πΌ % Confidence interval
π΄ β β ππΌ2
β π π π΄ β ;
π΄ β + ππΌ2
β π π π΄ β
π΄ π π‘ β ππΌ2
β π π π΄ π π‘ ;
π΄ π π‘ + ππΌ2
β π π π΄ π π‘
LOGO
Alokasi Sampel
Alokasi sembarang --> jarang digunakan
Alokasi sama (equal)
Alokasi sebanding (proportional)
Alokasi Neyman
Alokasi optimum
MPC1
LOGO
Alokasi Sama (Equal) Alokasi ini sering digunakan jika varians strata πβ
2 hampir
sama.
Jumlah sampel untuk setiap strata sama.
Ukuran sampel untuk strata ke-h
πβ =π
πΏ
π : jumlah sampel
πβ : jumlah sampel di strata ke-h
πΏ : jumlah strata
Ukuran sampel keseluruhan:
π =πΏ πβ
2 β πβ2πΏ
β=1
π2π·2 + πβ β πβ2πΏ
β=1
Keterangan:
π· =π
ππΌ/2
MPC1
LOGO
Contoh 1
Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.:
Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara equal alocation, berapakah ukuran sampel (π) dan ukuran sampel tiap desa (πβ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya.
MPC1
No Strata Populasi rumah tangga
π΅π
Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga
π π
Standar deviasi ππ
1 Desa A 1200 1.5 0.5
2 Desa B 800 1.25 0.4
3 Desa C 600 1.2 0.32
4 Desa D 400 0.8 0.18
LOGO
Contoh 1
ππΌ/2 = 1,96 , πβ² = 5% = 0,05
π· =π
1,96=
πβ² β π¦
1,96=
0,05 β π¦
1,96=
0,05 β 1,28
1,96= 0,03265
π =πΏ πβ
2 β πβ2πΏ
β=1
π2π·2 + πβ β πβ2πΏ
β=1
=4 β 504448
30002 β 0,032652 + 502,4= 199,813 β 200
πβ =π
πΏ=
200
4= 50
MPC1
No Strata π΅π π π ππ πβ β π¦ β πβπ β2 πβ
2π β2
1 Desa A 1200 1.5 0.5 0,600 300 360000
2 Desa B 800 1.25 0.4 0,333 128 102400
3 Desa C 600 1.2 0.32 0,240 61,44 36864
4 Desa D 400 0.8 0.18 0,107 12,96 5184
Jumlah 3000 1,28 502,4 504448
LOGO
Alokasi Sebanding (Proportional)
Alokasi ini sering digunakan jika varians strata πβ2 tidak
berbeda signifikan antara strata yang satu dengan strata yang lainnya.
Jumlah sampel untuk setiap strata sebanding dengan ukuran populasi di strata tsb.
Ukuran sampel strata ke-h
πβ =πβ
πβ π
π : jumlah sampel
πβ : jumlah sampel di strata ke-h
π : jumlah populasi
πβ : jumlah populasi di strata ke-h
Ukuran sampel keseluruhan:
π =π πβ β πβ
2πΏβ=1
π2π·2 + πβ β πβ2πΏ
β=1
MPC1
LOGO
Alokasi Sebanding (Proportional)
Fraksi sampling sama untuk setiap strata
πβ =πβ
πβ=
π
π= π
Dengan menggunakan alokasi proportional, akan membentuk selfweighting design (desain yang tertimbang otomatis), hal ini dibuktikan:
π¦ π π‘ = πβ β π¦ β = πβ
πβ
1
πβ π¦βπ =
1
π π¦βπ
πβ
π=1
πΏ
β=1
πβ
π=1
πΏ
β=1
πΏ
β=1
π£ π¦ π π‘ = πβ2 β
1 β πβ
πββ π β
2
πΏ
β=1
= πβ
2
π2β1 β π
πββ π β
2 =1 β π
π πβ β π β
2
πΏ
β=1
πΏ
β=1
MPC1
LOGO
Contoh 2
Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.:
Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara proportional alocation, berapakah ukuran sampel (π) dan ukuran sampel tiap desa (πβ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya.
MPC1
No Strata Populasi rumah tangga
π΅π
Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga
π π
Standar deviasi ππ
1 Desa A 1200 1.5 0.5
2 Desa B 800 1.25 0.4
3 Desa C 600 1.2 0.32
4 Desa D 400 0.8 0.18
LOGO
Contoh 2 ππΌ/2 = 1,96 , πβ² = 5% = 0,05
π· =π
1,96=
πβ² β π¦
1,96=
0,05 β π¦
1,96=
0,05 β 1,28
1,96= 0,03265
π =π πβ β πβ
2πΏβ=1
π2π·2 + πβ β πβ2πΏ
β=1
=3000 β 502,4
30002 β 0,032652 + 502,4= 149,2513 β 150
π1 =π1
πβ π =
1200
3000β 150 = 60, π3 =
π3
πβ π =
600
3000β 150 = 40
π2 =π2
πβ π =
800
3000β 150 = 30, π4 =
π4
πβ π =
400
3000β 150 = 20
MPC1
No Strata π΅π π π ππ πβ β π¦ β πβπ β2
1 Desa A 1200 1.5 0.5 0,600 300
2 Desa B 800 1.25 0.4 0,333 128
3 Desa C 600 1.2 0.32 0,240 61,44
4 Desa D 400 0.8 0.18 0,107 12,96
Jumlah 3000 1,28 502,4
LOGO
Alokasi Neyman
Jika ada variabel pendukung yang bisa digunakan untuk mengetahui
nilai varians strata πβ2 atau π β
2 , maka alokasi Neyman akan
meningkatkan presisi dari metode sampling.
Biaya setiap strata diasumsikan sama.
Dalam metode ini sampel dialokasikan ke dalam setiap strata agar diperoleh standar error sekecil mungkin dan dengan memperhatikan besarnya varians.
Makin besar varians strata, maka jumlah sampel yang dialokasikan ke dalam strata tsb akan semakin besar.
Ukuran sampel strata ke-h:
πβ =πβ β πβ
πβ β πβπΏβ=1
β π
Ukuran sampel keseluruhan:
π = πβ β πβ
πΏβ=1
2
π2π·2 + πβ β πβ2πΏ
β=1
MPC1
LOGO
Contoh 3
Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.:
Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara Neyman alocation, berapakah ukuran sampel (π) dan ukuran sampel tiap desa (πβ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya.
MPC1
No Strata Populasi rumah tangga
π΅π
Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga
π π
Standar deviasi ππ
1 Desa A 1200 1.5 0.5
2 Desa B 800 1.25 0.4
3 Desa C 600 1.2 0.32
4 Desa D 400 0.8 0.18
LOGO
Contoh 3
ππΌ/2 = 1,96 , πβ² = 5% = 0,05
π· =π
1,96=
πβ² β π¦
1,96=
0,05 β π¦
1,96=
0,05 β 1,28
1,96= 0,03265
π = πβ β πβ
πΏβ=1
2
π2π·2 + πβ β πβ2πΏ
β=1
=11842
30002 β 0,032652 + 502,4= 138,8196 β 139
MPC1
No Strata π΅π π π ππ πβ β π¦ β πβπ β πβπ β2
1 Desa A 1200 1.5 0.5 0,600 600 300
2 Desa B 800 1.25 0.4 0,333 320 128
3 Desa C 600 1.2 0.32 0,240 192 61,44
4 Desa D 400 0.8 0.18 0,107 72 12,96
Jumlah 3000 1,28 1184 502,4
π1 =π1π1
πβπβ4β=1
π =600
1184β 139 = 70
π2 =π2π2
πβπβ4β=1
π =320
1184β 139 = 38
π3 =π3π3
πβπβ4β=1
π =192
1184β 139 = 23
π4 =π4π4
πβπβ4β=1
π =72
1184β 139 = 8
LOGO
Alokasi Optimum
Sampel yang berukuran n dialokasikan ke dalam setiap strata sedemikian rupa sehingga diperoleh varians sekecil mungkin dengan biaya yang tersedia atau meminimumkan biaya dengan varians tertentu.
Fungsi biaya:
πΆ = πΆ0 + πβπβ
πΏ
β=1
Ukuran sampel strata ke-h:
πβ =πβ β πβ/ πβ
πβ β πβ/ πβπΏβ=1
β π
Keterangan:
πΆ : total biaya
πΆ0 : biaya tidak dipengaruhi desain dan metode sampling
πβ : biaya per elemen untuk strata ke-h
MPC1
LOGO
Alokasi Optimum
Bukti:
Untuk menentukan nilai optimum πβ maka kita definisikan terlebih dahulu sebuah fungsi:
Ο = π π¦ π π‘ + Ξ»πΆ
Ξ» : konstanta
Dengan menggunakan Lagrange multipliers, kita bisa menentukan nilai πβ dan Ξ» yang meminimumkan Ο.
πΟ
ππβ= 0
βπβ
2πβ2
πβ2 + Ξ»πβ = 0
πβ =πβπβ
Ξ»πβ
π = πβπβ
Ξ»πβ
πΏ
β=1
MPC1
ππ =π΅ππΊπ/ ππ
π΅ππΊπ/ πππ³π=π
π
LOGO
Alokasi Optimum
Ukuran sampel keseluruhan:
1. Meminimumkan biaya dengan varians tertentu
π = πβπβ πβ
πΏβ=1 πβπβ/ πβ
πΏβ=1
π2π·2 + πβπβ2πΏ
β=1
2. Meminimumkan varians dengan biaya tertentu
π =πΆ β πΆ0 πβπβ/ πβ
πΏβ=1
πβπβ πβπΏβ=1
MPC1
LOGO
Contoh 4 Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur
(WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.:
Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara Optimum alocation, dengan tingkat kepercayaan 95%, berapakah ukuran sampel (π) dan ukuran sampel tiap desa (πβ) jika
a. Persentase margin of error yang diinginkan adalah 5% (dari nilai rata-ratanya).
b. Biaya yang disediakan 20 juta, biaya tetapnya 4 juta.
MPC1
No Strata Populasi rumah tangga
π΅π
Rata-rata jumlah WUS per rumah
tangga π π
Standar deviasi ππ
Biaya pencacahan per rumah tangga ππ
1 Desa A 1200 1.5 0.5 Rp 40.000,00
2 Desa B 800 1.25 0.4 Rp 22.500,00
3 Desa C 600 1.2 0.32 Rp 22.500,00
4 Desa D 400 0.8 0.18 Rp 62.500,00
LOGO
Contoh 4
a. Varians ditentukan, meminimumkan biaya
π· =π
1,96=
πβ² β π¦
1,96=
0,05 β π¦
1,96=
0,05 β 1,28
1,96= 0,03265
π = πβπβ πβ
πΏβ=1 πβπβ/ πβ
πΏβ=1
π2π·2 + πβπβ2πΏ
β=1
=214800 β 6,701
30002 β 0,032652 + 502,4= 143
MPC1
No Strata π΅π π π πΊπ πβ πβ β π¦ β πβπβ πβπβ2 πβπβ πβ πβπβ/ πβ
1 Desa A 1200 1.5 0.5 40000 0,600 600 300 120000 3,000
2 Desa B 800 1.25 0.4 22500 0,333 320 128 48000 2,133
3 Desa C 600 1.2 0.32 22500 0,240 192 61,44 28800 1,280
4 Desa D 400 0.8 0.18 62500 0,107 72 12,96 18000 0,288
Jumlah 3000 1,28 1184 502,4 214800 6,701
π1 =π1π1/ π1
πβπβ/ πβ4β=1
π =3,000
6,701β 143 = 64
π2 =π2π2/ π2
πβπβ/ πβ4β=1
π =2,133
6,701β 143 = 46
π3 =π3π3/ π3
πβπβ/ πβ4β=1
π =1,280
6,701β 143 = 27
π4 =π4π4/ π4
πβπβ/ πβ4β=1
π =0,288
6,701β 143 = 6
LOGO
Contoh 4
b. Biaya ditentukan, meminimumkan varians
π· =π
1,96=
πβ² β π¦
1,96=
0,05 β π¦
1,96=
0,05 β 1,28
1,96= 0,03265
π = π =πΆ β πΆ0 πβπβ/ πβ
πΏβ=1
πβπβ πβπΏβ=1
=(20000000 β 4000000) β 6,701
214800= 500
MPC1
No Strata π΅π π π πΊπ πβ πβ β π¦ β πβπβ πβπβ2 πβπβ πβ πβπβ/ πβ
1 Desa A 1200 1.5 0.5 40000 0,600 600 300 120000 3,000
2 Desa B 800 1.25 0.4 22500 0,333 320 128 48000 2,133
3 Desa C 600 1.2 0.32 22500 0,240 192 61,44 28800 1,280
4 Desa D 400 0.8 0.18 62500 0,107 72 12,96 18000 0,288
Jumlah 3000 1,28 1184 502,4 214800 6,701
π1 =π1π1/ π1
πβπβ/ πβ4β=1
π =3,000
6,701β 500 = 224
π2 =π2π2/ π2
πβπβ/ πβ4β=1
π =2,133
6,701β 500 = 159
π3 =π3π3/ π3
πβπβ/ πβ4β=1
π =1,280
6,701β 500 = 96
π4 =π4π4/ π4
πβπβ/ πβ4β=1
π =0,288
6,701β 500 = 21
LOGO
Kesimpulan
Ukuran sampel pada suatu strata akan lebih besar dari strata lainnya jika:
1. Jumlah populasi di strata tsb lebih besar
2. Varians strata lebih besar
3. Biaya lebih murah pada strata yang bersangkutan
MPC1
LOGO
Latihan Untuk meneliti perilaku kenakalan remaja, dilakukan suatu survei di suatu SMA.
Siswa di SMA tersebut dibagi menjadi 2 strata berdasarkan jenis kelamin. Setiap strata dilakukan penarikan sampel secara SRS WOR. Indikator yang digunakan untuk menentukan besar sampel adalah proporsi siswa yang pernah membolos yang diperoleh dari penelitian terdahulu.
a. Diketahui biaya untuk tiap siswa laki-laki adalah Rp 16.900,00 dan siswa perempuan sebesar Rp.28.900,00, sedangkan biaya tetapnya sebesar Rp 200.000,00, berapakah jumlah sampel optimum jika biaya survei yang tersedia sebesar Rp 2.200.000,00. Alokasikan sampel tersebut ke setiap strata dan hitunglah perkiraan variansnya untuk proporsi siswa yang pernah membolos.
b. Dengan jumlah sampel yang sama dengan point (a), alokasikan sampel tsb ke dalam tiap strata dengan metode alokasi neyman, proportional, dan equal. Perkirakan nilai variansnya dan bandingkan dengan hasil pada point (a) dan varians SRS (unstratified).
c. Hitung biaya survei untuk masing-masing alokasi.
d. Interpretasikan hasil di atas !
MPC1
Jenis Kelamin Jumlah Proporsi siswa yang pernah membolos
Laki-laki 400 0,64
Perempuan 600 0,18
LOGO
PERTEMUAN 7
Penjabaran Rumus Varians Untuk berbagai Tipe Alokasi
Relative Efisiensi
Oleh: Adhi Kurniawan
LOGO
Varians Untuk Alokasi Equal
Alokasi sama (equal)
πβ =π
πΏ
π£ π¦ π π‘ = πβ2 1 β πβ
π β2
πβ
πΏ
β=1
= πβ2 1 β πβ
π β2πΏ
π
πΏ
β=1
=πΏ
π πβ
2 1 β πβ π β2
πΏ
β=1
(π€ππ)
π£ π¦ π π‘ =πΏ
π πβ
2π β2
πΏ
β=1
(π€π)
MPC1
LOGO
Varians Untuk Alokasi Proporsional
Alokasi proporsional πβ
π=
πβ
π
π£ π¦ π π‘ = πβ2 1 β πβ
π β2
πβ
πΏ
β=1
= πβ
π
2
1 βπβ
πβ
π β2
πβ
πΏ
β=1
= πβ
π
πβ
π
1
πβ1 β
π
ππ β
2
πΏ
β=1
=1 β π
ππ πβπ β
2
πΏ
β=1
(π€ππ)
π£ π¦ π π‘ =1
ππ πβπ β
2
πΏ
β=1
(π€π)
MPC1
LOGO
Varians Untuk Alokasi Neyman
Alokasi Neyman
πβ =πβ β π β
πβ β π βπΏβ=1
β π
π£ π¦ π π‘ = πβ2 1 β πβ
π β2
πβ
πΏ
β=1
= πβ
π
2
1 β πβ
π β2
ππβπ ββ πβπ β
πΏ
β=1
πΏ
β=1
=1
π2π 1 β πβ πβπ β
πΏ
β=1
β πβπ β
πΏ
β=1
(π€ππ)
π£ π¦ π π‘ =1
π2π πβπ β
πΏ
β=1
2
(π€π)
MPC1
LOGO
Varians Untuk Alokasi Optimum
Alokasi Optimum
πβ =πβπ β/ πβ
πβπ β/ πβπΏβ=1
β π
π£ π¦ π π‘ = πβ2 1 β πβ
π β2
πβ
πΏ
β=1
= πβ
π
2
1 β πβ
π β2
ππβπ β/ πββ πβπ β/ πβ
πΏ
β=1
πΏ
β=1
=1
π2π 1 β πβ πβπ β/ πβ
πΏ
β=1
β πβπ β
πΏ
β=1
/ πβ (π€ππ)
π£ π¦ π π‘ =1
π2π πβπ β/ πβ
πΏ
β=1
2
(π€π)
MPC1
LOGO
Relative Efisiensi
Jika finite population correction (fpc) diabaikan, maka: ππππ‘ β€ πππππ β€ ππ ππ
Bukti:
ππ ππ = 1 β ππ2
π
πππππ =(1 β π)
π πβπβ
2 =1
π πβπβ
2 β
πΏ
β=1
1
π πβπβ
2
πΏ
β=1
πΏ
β=1
ππππ‘ =1
π2π 1 β πβ πβπ β
πΏ
β=1
β πβπ β
πΏ
β=1
=1
π πβπβ
πΏ
β=1
2
β1
π πβπβ
2
πΏ
β=1
MPC1
LOGO
Relative Efisiensi Analisis Varians untuk Stratified Sampling
π β 1 π2 = π¦βπ β π 2
πβ
π=1
πΏ
β=1
= π¦βπ β π β2 + πβ π β β π 2
πΏ
β=1
πβ
π=1
πΏ
β=1
= πβ β 1 πβ2 + πβ π β β π 2
πΏ
β=1
πΏ
β=1
π2 = πβπβ2 + πβ π β β π 2
πΏ
β=1
πΏ
β=1
Sehingga:
ππ ππ =(1 β π)
ππ2 =
1 β π
π πβπβ
2 +1 β π
π
πΏ
β=1
πβ π β β π 2
πΏ
β=1
ππ ππ = πππππ +(1 β π)
π πβ π β β π 2
πΏ
β=1
β πππππ β€ ππ ππ β¦ (1) MPC1
LOGO
Relative Efisiensi
πππππ =1
π πβπβ
2 β
πΏ
β=1
1
π πβπβ
2
πΏ
β=1
ππππ‘ =1
π πβπβ
πΏ
β=1
2
β1
π πβπβ
2
πΏ
β=1
πππππ β ππππ‘ =1
π πβπβ
2 β1
π πβπβ
πΏ
β=1
2
=1
π πβ πβ β π 2
πΏ
β=1
πΏ
β=1
πππππ = ππππ‘ +1
π πβ πβ β π 2
πΏ
β=1
β ππππ‘ β€ πππππ β¦ (2)
Keterangan:
π = πβπβ
πΏ
β=1
Dari (1) dan (2) diperoleh ππππ‘ β€ πππππ β€ ππ ππ
MPC1
LOGO
Contoh
Dari 36 mahasiswa kelas 2KS1, dikelompokkan menjadi 2 strata berdasarkan jenis kelamin. Jumlah mahasiswa laki-laki adalah 19 orang, perempuan 17 orang. Dari masing-masing strata diambil sejumlah sampel secara SRS WOR untuk meneliti jam belajar per minggu dan keikutsertaan dalam kegiatan UKM. Data yang diperoleh sbb:
MPC1
Laki-laki Perempuan
No Jam
belajar UKM No
Jam belajar
UKM
1 7 Ya 1 14 Tidak
2 10 Tidak 2 18 Ya
3 3 Ya 3 21 Tidak
4 6 Ya 4 10 Tidak
5 14 Tidak 5 16 Ya
6 5 Ya
a. Perkirakan rata-rata dan total jam belajar mahasiswa kelas 2KS1
b. Perkirakan proporsi dan total mahasiswa 2KS1 yang mengikuti kegiatan UKM.
Lengkapi dengan nilai standar error, RSE, 95%CI dan relatif efisiensi (RE)-nya terhadap SRS !
LOGO
Estimasi Rata-rata dan Total Jam Belajar (1)
MPC1
π πβ πβ πβ πβ π¦βπ π β2
Rata-rata Total
π¦ β πβπ¦ β π£(π¦ β) πβ2 β π£ π¦ β π β π£ π β
1 19 6 0,316 0,528
7,
10,
3,
6,
14,
5
15,5 7,5 3,96
1,767
0,493 142,5 637,89
2 17 5 0,294 0,472
14,
18,
21,
10,
16
17,2
15,8
7,46
2,429
0,541 268,6 701,98
Jumlah 36 11 1 11,42 1,034 411,1 1339,87
N π π¦ π π‘ π£(π¦ π π‘) π π π‘ π£(π π π‘)
LOGO
Estimasi Rata-rata Jam Belajar
π¦ π π‘ = πβ β π¦ β = 3,96 + 7,46 = 11,42
πΏ
β=1
π£ π¦ π π‘ = πβ2 β π£(π¦ β)
πΏ
β=1
= 0,493 + 0,541 = 1,033
π π π¦ π π‘ = π£(π¦ π π‘) = 1,033 = 1,0163
ππ π π¦ π π‘ =π π(π¦ π π‘)
π¦ π π‘Γ 100 =
1,0163
11,42Γ 100% = 8,9%
Confidence Interval 95%: π¦ π π‘ β 1,96 β π π π¦ π π‘ < π < π¦ π π‘ + 1,96 β π π π¦ π π‘
11,42 β 1,96 β 1,0163 < π < 11,42 + 1,96 β 1,0163 9,4 < π < 13,41
MPC1
LOGO
Estimasi Total Jam Belajar
π π π‘ = π β π¦ π π‘ = 36 β 11,42 = 411,12
π£ π π π‘ = π2 β π£ π¦ π π‘ = 362 β 1,034 = 1339,87
π π π π π‘ = π£(π π π‘) = 1339,87 = 36,604
ππ π π π π‘ =π π(π π π‘)
π π π‘
Γ 100 =36,604
411,12Γ 100% = 8,9%
Confidence Interval 95%:
π π π‘ β 1,96 β π π π π π‘ < π < π π π‘ + 1,96 β π π π π π‘
411,12 β 1,96 β 36,604 < π < 411,12 + 1,96 β 36,604 339,38 < π < 482,86
MPC1
LOGO
π πΈ =π£(π¦ π π‘)
π£(π¦ π π‘)π ππ Γ 100%
=1,033
2,113Γ 100%
= 48,89%
Estimasi Rata-Rata Jam belajar(Menghitung RE)
MPC1
π πβ πβ πβ πβ π¦βπ π β2
Rata-rata
πΎπ β πππ πΎπ β π π β π ππ
π π¦ β πβπ¦ β
1 19 6 0,316 0,528 7, 10, 3, 6,
14, 5 15,5 7,5 3,96 8,184 8,113
2 17 5 0,294 0,472 14, 18,
21, 10, 16 17,2
15,8 7,46 8,118 9,055
Jumlah 36 11 1 11,42 16,302 17,168
N π π¦ π π‘
π£(π¦ π π‘)π ππ =1
πβ
1
π πβ β π β
2 + πβ β π¦ β β π¦ π π‘2
πβ
β=1
πβ
β=1
=1
11β
1
3616,302 + 17,168 = 2,113
π£ π¦ π π‘ = 1,033
LOGO
Estimasi Proporsi Mahasiswa Yang Ikut UKM
MPC1
π πβ πβ πβ πβ πβ π β2
Rata-rata Total
πβ πβπβ π£(πβ) πβ2 β π£ πβ π΄ β π£ π΄ β
1 19 6 0,316 0,528 4 0,221 0,67 0,353 0.025 0.00705 12,73 9.148
2 17 5 0,294 0,472 2 0,240 0,40 0,188 0.034 0.00756 6,8 9.792
Jumlah 36 11 1 0,541 0.01461 19.46 18.940
N π ππ π‘ π£(ππ π‘) π΄ π π‘ π£(π΄ π π‘)
LOGO
Estimasi Proporsi
ππ π‘ = πβ β πβ = 0,353 + 0,188 = 0,541
πΏ
β=1
π£ ππ π‘ = πβ2 β π£(πβ)πΏ
β=1 = 0,00705 + 0,00756 = 0,01461
π π ππ π‘ = π£(ππ π‘) = 0,01461 = 0,1208
ππ π ππ π‘ =π π(ππ π‘)
ππ π‘Γ 100 =
0,1208
0,541Γ 100% = 22,35%
Confidence Interval 95%: ππ π‘ β 1,96 β π π ππ π‘ < π < ππ π‘ + 1,96 β π π ππ π‘
0,541 β 1,96 β 0,1208 < π < 0,541 + 1,96 β 0,1208 0,304 < π < 0,777
MPC1
LOGO
Estimasi Total
π΄ π π‘ = π β ππ π‘ = 36 β 0,541 = 19,46
π£ π΄ π π‘ = π2 β π£ ππ π‘ = 362 β 0,01461 = 18,94
π π π΄ π π‘ = π£(π΄ π π‘) = 18,94 = 4,325
ππ π π΄ π π‘ =π π(π΄ π π‘)
π΄ π π‘
Γ 100 =4,325
19,46Γ 100% = 22,35%
Confidence Interval 95%:
π΄ π π‘ β 1,96 β π π π΄ π π‘ < π΄ < π΄ π π‘ + 1,96 β π π π΄ π π‘
19,46 β 1,96 β 4,325 < π΄ < 19,46 + 1,96 β 4,325 10,936 < π΄ < 27,997
MPC1
LOGO
π πΈ =π£(ππ π‘)
π£(ππ π‘)π ππ Γ 100%
=0,01461
0,0156Γ 100%
= 93,68%
Penyelesaian (Menghitung RE)
MPC1
π πβ πβ πβ πβ πβ π β2
Rata-rata
πΎπ β πππ πΎπ β ππ β πππ
π πβ πβπβ
1 19 6 0,316 0,528 4 0,221 0,67 0,353 0,1167 0,0086
2 17 5 0,294 0,472 2 0,240 0,40 0,188 0,1133 0,0096
Jumlah 36 11 1 0,541 0,2300 0,0182
N π ππ π‘
π£(ππ π‘)π ππ =1
πβ
1
π πβ β π β
2 + πβ β πβ β ππ π‘2
πβ
β=1
πβ
β=1
=1
11β
1
360,2300 + 0,0182 = 0,0156
π£ ππ π‘ = 0,01461
LOGO
Latihan Dari Data 1, misalkan dari populasi 100 rumah tangga di desa X
dikelompokkan menjadi 3 strata berdasarkan blok tempat tinggal, yaitu blok A, blok B, dan blok C.
a. Dengan menggunakan TAR halaman 2 baris 1 kolom 1, lakukan penarikan sampel secara SRS WOR independen untuk setiap strata. Pengambilan angka random dengan pendekatan independent choice of digits.
b. Perkirakan rata-rata ART, jumlah penduduk, proporsi dan total rumah tangga yang lantai terluasnya bukan tanah. Lengkapi dengan nilai standar error, RSE, 95%CI, dan relatif efisiensinya jika dibandingkan dengan SRS ! Interpretasikan hasil yang diperoleh !
MPC1
Blok Populasi Sampel
A 30 8
B 48 12
C 22 5
Jumlah 100 25
LOGO MPC1
Have a nice sampling
Top Related