TRIGONOMETRI
Oleh : Sherli Pitrah DewiSMA NEGERI 1 BANGKINANG KOTA
Ukuran Sudut1. Ukuran Derajat
Besar sudut dalam satu putaran adalah 360°. Berarti 1°= 1/360 putaran. Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).Hubungan ukuran sudut menit, detik, dan derajat adalah:
2. Ukuran RadianSatu radian adalah besar sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.
3. Hubungan Derajat dengan RadianUntuk mengubah sudut sebesar X ke dalam satuan radian, menggunakan rumus:
Dan untuk mengubah sudut sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan rumus:
Contoh Soal
1. Nyatakan sudut 0,65 radian dalam satuan derajat!Jawab :
2. Nyatakan sudut 154° ke satuan radian!Jawab:
B. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Perhatikanlah gambar berikut!
• Jika dipandang dari sudut, maka sisi BC disebut sisi depan, sisi AB disebut sisi samping, dan sisi AC disebut sisi miring.
• Jika sisi AB = x, sisi BC = y, dan sisi AC = r, maka
C. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Dalam satu putaran, yaitu 360 °, sudut dibagi menjadi 4 relasi, yaitu :
• Kuadran I : 0°≤ α ≤ 90°• Kuadran II : 90° < α ≤ 180°• Kuanran III : 180° < α ≤ 270°• Kuadran IV : 270° < α ≤ 360°
Perhatikan gambar berikut!
1. Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran I
• Pada ∆ AOC, berlaku:
• Pada ∆ BOC, berlaku:
2. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran II
Pada ∆ AOC, berlaku: α = 180°-∠ ᶿ
3. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran III
• Pada ∆ AOC berlaku: AOP = ∠ α
4. Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kadran IV
• sin (360° - ᶿ) = - sin ᶿ• cos (360° - ᶿ) = cos ᶿ• tan (360° - ᶿ) = - tan ᶿ• cosec (360° - ᶿ) = - cosec ᶿ• sec (360° - ᶿ) = sec ᶿ
5. Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360° atau Sudut Negatifa. Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360°Sin (k × 360° + ᶿ) = sin ᶿCos (k × 360° + ᶿ) = cos ᶿtan (k × 360° + ᶿ) = tan ᶿcosec (k × 360° + ᶿ) = cosec ᶿsec (k × 360° + ᶿ) = sec ᶿcotan (k × 360° + ᶿ) = cotan ᶿKeterangan:k = banyaknya putaran, dengan nilai k adalah bilangan bulat positif.
b. Perbandingan Trigonometri Sudut NegatifSin (- ᶿ) = -sin ᶿCos (- ᶿ) = cos ᶿtan (- ᶿ) = -tan ᶿcosec (- ᶿ) = -cosec ᶿsec (- ᶿ) = sec ᶿ
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
1. Fungsi TrigonometriPerhatikan fungsi-fungsi yang ditentukan sebagai berikut:
a. f(x) = sin x o b. f(x) = cos x o c. f(x) = tan x o d. f(x) = 2 sin x o e. f(x) = cos 2x o
Fungsi-fungsi di atas merupakan contoh fungsi trigonometri
Kita dapat menentukan nilai suatu fungsi trigonometri, untuk setiap x anggota daerah asal yang diberikan.
ContohSuatu fungsi trigonometri ditentukan oleh f(x) = cos xo Hitung nilai funsi f untuk nilai x sebagai berikut : a. x = 60 b. x = 150 c. x = 225Penyelesaian
a. f(60) = cos 60o = ½
b. f(150) = cos 150o = - 3/2Ö
c. f(225) = cos 225o = - 2/2Ö
Ditentukan f(x) = cos xo, maka :
2. Membuat Grafik Fungsi Trigonometri
a. Grafik y = sin xo
x 0 30 90 150 180 210 270 330 360 y 0 ½ 1 ½ 0 - ½ -1 - ½ 0
x
y
O 30 90 150 180210 270 330 360
1
-1
- ½
½
xO 60 90
120 180 240270 300 360
1
½
-½
-1
y
x 0 60 90 120 180 240 270 300 360 y 1 ½ 0 -½ -1 - ½ 0 ½ 1
b. Grafik y = cos xo
c. Grafik y = tg xo
x
y
O 45 90135
180 225 270 315 360
1
-1
asimptot asimptot
x 0 45 90 135 180 235 270 315 360 y 0 1 td -1 0 1 td 1 0
Ox
yP(x, y)
Qa)
r
x
y
Rumus yang Menghubungkan Perbandingan Trigonometri
Perhatikan gambar ! Segitiga OPQ siku-siku di Q
x = r cos a
y = r sin aSehingga diperoleh :
1. x2 + y2 = r2
r2 cos2 a + r2 sin2 a = r2
cos2 a + sin2 a = 1 atau
2. tg a = y x = r sin a
r cos a
tg a = sin a cos a dan
cotg a = cos a sin a
cos2 a = 1 - sin2 asin2 a = 1 - cos2 a
3. sec2 a = 1 + tg2 a 4. cosec2 a = 1 + cotg2 a
Contoh
Diketahaui sin A = 0,28 dan A sudut tumpul, tentukan nilai cos A dan tg A
Jawab
cos2 A = 1 - sin2 A = 1 - (0,28)2 = 1 – 0,0784 = 0,9216cos A = + 0,96 Maka cos A = - 0,96 ,karena A sudut tumpul
tg A = =
= -
sin A cos A
0,28 - 0,96
7 24
Identitas TrigonometriDalam membuktikan identitas biasanya dilakukan dengan
- mengubah ruas kiri sehingga sama dengan ruas kanan atau
- mengubah ruas kanan sehingga sama dengan ruas kiri atau
- mengubah kedua ruas sehingga diperoleh hasil yang sama
Contoh
Buktikan identitas trigonometri + sin A cos A
cos A sins A
= 1 cos A sin A
Jawab
Ruas kiri = sin A cos A +
cos A sins A
= sin2 A + cos2 A cos A sinA
= 1 cos A sinA
= Ruas kanan ( terbukti )
ATURAN SINUS
Rumus aturan sinus digunakan untuk menghitung unsur-unsur sebuah segitiga yang belum diketahui jika sebelumnya telah diketahui tiga unsur lainnya. Kemungkinan unsur-unsur yang telah diketahui adalah :
• sisi, sudut, sudut• sudut, sisi, sudut• sisi, sisi, sudut
Jika a, b dan c masing-masing menyatakan panjang sisi segitiga ABC, maka berlaku rumus :
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
C
BA
ab
c
BA
ab
c
C
,AECDalam
CEAAC sin
E
AbCE sin …(1)
AsinAC
CE
BECDalamB
a
C
E
Bsin
BBCCE sin
BaCE sin …(2)
BC
CE
Dari (1) dan (2)
BbAa sinsin
BA
Ab
BA
Ba
sinsin
sin
sinsin
sin
B
b
A
a
sinsin
maka,
(Kedua ruas dibagi sin A dan sin B)
…(3)
BA
ab
c
C
E
D
,ADBDalam
AsinAB
BD
AABBD sin
AcBD sin …(2)
,CDBDalam
BA
ab
c
C
E
D
CsinBC
BD
CBCBD sin
CaBD sin …(5)
Dari (4) dan (5)
CaAc sinsin (Kedua ruas dibagi sin A dan sin C)
CA
Ca
CA
Ac
sinsin
sin
sinsin
sin
maka,
A
a
C
c
sinsin …(6)
Dari (3) dan (6)
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
Contoh Soal:
.9847,35, CdanAcmcABCDalam
Hitung panjang sisi a dan b!!
Jawab:
C
c
A
a
sinsin
C
Aca
sin
sin
1.
98sin
47sin35
cma 8,25
2. 35)9847(180B
C
c
B
b
sinsin
C
Bcb
sin
sin
98sin
35sin35
cmb 3,20
1. Hitunglah unsur-unsur segita yang ditanyakan, jika unsur yang lain diketahui aseperti di bawah ini:
?,7560,6,. bCdanBcmaABCa
?,10530,8,. QRQdanPcmPQPQRb
?,4,62,54,123,. tUdanTcmsSTUc
KESIMPULANRumus aturan sinus digunakan untuk menghitung unsur-unsur sebuah segitiga yang belum diketahui jika sebelumnya telah diketahui tiga unsur lainnya. Kemungkinan unsur-unsur yang telah diketahui adalah
• sisi, sudut, sudut• sudut, sisi, sudut• sisi, sisi, sudut
Rumus Aturan Sinus :
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
Top Related