IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
1
Integrasi Numerik(Bag. 1)
Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I
Oleh; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
2
Persoalan Integrasi Numerik
Hitunglah nilai Integral-Tentu
yang dalam hal ini:- a dan b batas-batas integrasi, - f adalah fungsi yang dapat diberikan secara eksplisit
dalam bentuk persamaan ataupun secara empirik dalam bentuk tabel nilai.
b
a
dxxfI )(
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
3
• Contoh integral fungsi eksplisit:
• Contoh integral dalam bentuk tabel (fungsi implisit):
Hitung:
2
0
23 ))cos(6( dxexxx x
x f(x)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
6.0 7.5 8.0 9.0 8.5
0.1
0.0
)( dxxf
Tafsir Geometri Integral Tentu
• Nilai integral-tentu = luas daerah di bawah kurva
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
y
a b
y = f(x )
x
b
a
dxxfI )( = luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a dan garis x = b
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
5
Contoh persoalan integral
1. Dalam bidang teknik elektro/kelistrikan, telah diketahui bahwa harga rata-rata suatu arus listrik yang berosilasi sepanjang satu periode boleh nol. Disamping kenyataan bahwa hasil netto adalah nol, arus tersebut mampu menimbulkan kerja dan menghasilkan panas. Karena itu para rekayasawan listrik sering mencirikan arus yang demikian dengan persamaan
yang dalam hal ini IRMS adalah arus RMS (root-mean-square), T adalah periode, dan i(t) adalah arus pada rangkaian, misalnya
i(t) = 5e-2t sin 2t untuk 0 t T/2 = 0 untuk T/2 t T
T
dtti
I
T
RMS
0
2
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
6
2. Pengukuran fluks panas matahari yang diberikan oleh tabel berikut:
Waktu, jam Fluks panas q,kalori/cm/jam
0 0.11 1.622 5.323 6.294 7.85 8.816 8.007 8.578 8.039 7.04
10 6.2711 5.5612 3.5413 1.014 0.2
t
ab qAdteH0
Data yang ditabulasikan pada tabel ini memberikan pengukuran fluks panas q setiap jam pada permukaan sebuah kolektor sinar matahari. Anda diminta memperkiraan panas total yang diserap oleh panel kolektor seluas 150.000 cm2 selama waktu 14 jam. Panel mempunyai kemangkusan penyerapan (absorption), eab, sebesar 45%. Panas total yang diserap diberikan oleh persamaan
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
7
Klasifikasi Metode Integrasi Numerik
1. Metode Pias Daerah integrasi dibagi atas sejumlah pias (strip) yang berbentuk segiempat. Luas daerah integrasi dihampiri dengan luas seluruh pias.
2. Metode Newton-CotesFungsi integrand f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi pn(x). Selanjutnya, integrasi dilakukan terhadap pn(x).
3. Kuadratur Gauss.Nilai integral diperoleh dengan mengevaluasi nilai fungsi pada sejumlah titik tertentu di dalam selang [-1, 1], mengalikannya dengan suatu konstanta, kemudian menjumlahkan keseluruhan perhitungan.
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
8
Metode-Metode Pias
• Selang integrasi [a, b] menjadi n buah pias (strip) atau segmen. Lebar tiap pias adalah
• Titik absis pias dinyatakan sebagai xr = a + rh, r = 0, 1, 2, ..., n dan nilai fungsi pada titik absis pias adalahfr = f(xr)
nabh
y
y =f(x)fn-1
fn
f2
f1
f0
hhh
x a = x0 x1 x2 xn-1 xn=b
Gambar 6.2 Metode pias
r xr fr
0 x0 f0
1 x1 f1
2 x2 f2
3 x3 f3
4 x4 f4
... ... ...
n-2 xn-2 fn-2
n-1 xn-1 fn-1
n xn fn
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
9
• Kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adalah:1. Kaidah segiempat (rectangle rule)2. Kaidah trapesium (trapezoidal rule)3. Kaidah titik tengah (midpoint rule)
• Dua kaidah pertama pada hakekatnya sama, hanya cara penurunan rumusnya yang berbeda
• Kaidah yang ketiga, kaidah titik tengah, merupakan bentuk kompromi untuk memperoleh nilai hampiran yang lebih baik.
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
10
Kaidah Segiempat (Rectangle Rule)
y
xx 0
y = f(x )
h
x 1
Pandang sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x = x0 sampai x = x1 berikut Luas satu pias adalah (tinggi pias = f(x0) )
)()( 0
1
0
xhfdxxfx
x
atau (bila tinggi pias = f(x1) )
)()( 1
1
0
xhfdxxfx
x
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
11
1
0
)(x
x
dxxf hf (x0)
1
0
)(x
x
dxxf hf(x1) +
2 1
0
)(x
x
dxxf h [ f(x0) + f(x1)]
1
0
)(x
x
dxxf 2h [f(x0) + f(x1)]
(Kaidah Segiempat)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
12
• Kaidah segiempat gabungan (composite rectangle's rule):
b
a
dxxf )( hf (x0) + hf (x1) + hf (x2) + ... + hf (xn-1)
b
a
dxxf )( hf (x1) + hf (x2) + hf (x3) + ... + hf (xn) +
2 b
a
dxxf )( hf(x0) + 2hf (x1) + 2hf(x2) + ... + 2hf(xn-1) + hf(xn)
b
a
dxxf )( 2h f (x0) + hf(x1) + hf(x2) + ... + hf(xn-1) +
2h f (xn)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
13
Jadi, kaidah segiempat gabungan adalah
b
a
dxxf )( 2h ( f0 + 2f1 + 2f2+ ... + 2fn-1 + fn) =
2h (f0 + 2
1
1
n
iif + fn)
dengan fr = f(xr) , r = 0, 1, 2, ..., n .
y
xa = x 0 x n = b
y = f(x )
x 1 x 2
...
... x n- 1x n- 2x 3
Gambar Kaidah segiempat gabungan
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
14
Kaidah Trapesium
y
x
h
x 0 x 1
Luas satu trapesium adalah
1
0
)(x
x
dxxf 2h [ f(x0) + f(x0)]
Pandang sebuah pias berbentuk trapesium dari x = x0 sampai x = x1 berikut
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
15
• Kaidah trapesium gabungan (composite trapezoidal's rule):
b
a
dxxf )( 1
0
)(x
x
dxxf + 2
1
)(x
x
dxxf + ... +
n
n
x
x
dxxf1
)(
2h [ f(x0) + f(x1)] +
2h [ f(x1)+ f(x2)] + ... +
2h [ f(xn-1) + f(xn)]
2h [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn)]
2h ( f0 + 2
1
11
n
i
f + fn)
dengan fr = f(xr) , r = 0, 1, 2, ..., n.
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
16
procedure trapesium(a, b : real; n: integer; var I : real);{ Menghitung integrasi f(x) di dalam selang [a, b] dan jumlas pias adalah n dengan menggunakan kaidah trapesium. K.Awal : nilai a, b, dan n sudah terdefinisi K.Akhir: I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan kaidah segi-empat. }var h, x, sigma: real; r : integer; begin h:=(b-a)/n; {lebar pias} x:=a; {awal selang integrasi} I:=f(a) + f(b); sigma:=0; for r:=1 to n-1 do begin x:=x+h;
sigma:=sigma + 2*f(x); end; I:=(I+sigma)*h/2; { nilai integrasi numerik}end;
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
17
Kaidah Titik Tengah• Pandang sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x
= x0 sampai x = x1 dan titik tengah absis x = x0 + h/2
y
x
y = f(x )
h
x 0 x 1x 0 + h /2
Luas satu pias adalah
1
0
)(x
x
dxxf h f(x0 + h/2) h f(x1/2)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
18
y
x
a b
y = f(x )
x 1/2 x 3/2
...
... x n- 1/2x n- 3/2x 5/2
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
19
Kaidah titik-tengah gabungan adalah
b
a
dxxf )( 1
0
)(x
x
dxxf + 2
1
)(x
x
dxxf + ... +
n
n
x
x
dxxf1
)(
hf(x1/2) + hf(x3/2) + hf(x5/2) + hf(x7/2) + ... + hf(xn-1/2)
h(f1/2 + f3/2 +... + fn-1/2) h
1
0
n
i
fi+1/2
yang dalam hal ini,
xr+1/2 = a + (r+1/2)h) dan
fr +1/2 = f(xr+1/2) r = 0,1,2,..,n-1
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
20
procedure titik_tengah(a, b : real; n: integer; var I : real);{ menghitung integrasi f(x) dalam selang [a, b] dengan jumlah pias sebanyak n. K.Awal : harga a, b, dan n sudah terdefinisi K.Akhir: I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan kaidah titik-tengah}var h, x, sigma : real; r : integer; begin h:=(b-a)/n; {lebar pias} x:= a+h/2; {titik tengah pertama} sigma:=f(x); for r:=1 to n-1 do begin
x:=x+h; sigma:=sigma + f(x)
end; I:=sigma*h; { nilai integrasi numerik}end;
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
21
• Contoh: Hitung integral dengan kaidah trapesium. Ambil h = 0.2. Gunakan 5 angka bena.Penyelesaian: Fungsi integrand-nya adalah
f(x) = ex Jumlah pias adalah n = (b-a)/h = (3.4 - 1.8)/0.2 = 8
Tabel data diskritnya adalah sebagai berikut:
4.3
8.1
dxe x
r xr f(xr) r xr f(xr) 0 1.8 6.050 5 2.8 16.445 1 2.0 7.389 6 3.0 20.086 2 2.2 9.025 7 3.2 24.533 3 2.4 11.023 8 3.4 29.964 4 2.6 13.464
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
22
Nilai integrasinya,
4.3
8.1
dxe x 2h (f0 + 2f1 + 2f 2+ ... + 2f6 + 2f7 + f8)
22.0 [[6.050 + 2(7.389) + 2(9.025) +....+ 2(16.445)
+ 2(20.086) + 2(24.533) + 29.964] 23.994 Nilai integrasi sejatinya adalah
4.3
8.1
dxe x = ex 4.38.1
xx
= e 3.4 - e1.8 = 29.964 - 6.050 = 23.914
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
23
Galat Metode-Metode Pias• Galat:
E = I – I '• yang dalam hal ini I adalah nilai integrasi sejati dan I ' adalah
integrasi secara numerik.
• Galat kaidah trapesium:
E = h
dxxf0
)( - 2
h ( f0 + f1)
y
x
y = f(x )
h
0 h
galat
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
24
Galat untuk satu buah pias adalah
E = h
dxxf0
)( - 2
h ( f0 + f1)
E =h
0
[ f0 + xf0' + 21 x2f0" +
61 x3f0"' + ... ]dx -
2h f0 - 2
h [ f0 + hf0' + 21 h2f0" + ...]
= xf0 + 1/2 x2f0' + 1/6 x3f0"'+..]0
h - 1/2 hf0 - 1/2h f0 - 1/2 h2f0' - 1/4 h3f0"' - ...
= (hfo + 1/2 h2f '0 + 1/6 h3f "0 + ...) - (hf0 + 1/2 h2f '0 + 1/4 h3f0"'+ ...)
= - 121 h3f0 " + ...
- 121 h3f "(t) , 0 < t < h
O(h3)
Uraikan f(x) dan f1 = f(x1) = f(h) ke dalam deret Taylor di sekitar x0 = 0
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
25
Jadi,
h
dxxf0
)( 2h ( f0 + f1) + O(h3)
Untuk n buah pias, galat keseluruhan (total) adalah
Etot - 12
3h ( f0" + f1" + f2" + ... + f "n-1)
yang dapat disederhanakan dengan teorema nilai antara untuk penjumlahan menjadi
Etot - 12
3h
1
1
n
i
fi "
- n 12
3h f "(t) , a < t < b
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
26
Mengingat
h = n
ab
maka
Etot -n 12
3h f "(t)
- n n
ab 12
3h f "(t)
- 12
3h (b - a) f "(t)
O(h2)
Dengan demikian,
b
a
dxxf )( = 2h ( f0 + 2
1
1
n
i
fi + fn) + O(h2)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
27
• Galat kaidah titik-tengah:Galat untuk satu buah pias adalah
E = h
dxxf0
)( - hf1/2
Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaidah trapesium, dapat dibuktikan bahwa
E
24
3h f "(t) , 0 < t < h
Galat untuk seluruh pias adalah
Etot n 24
3h f "(t) , a < t < b
24
2h ( b - a) f "(t)
= O(h2)
Galat integrasi dengan kaidah titik tengah sama dengan 1/2 kali galat pada kaidah trapesium
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
28
Metode-Metode Newton-Cotes• Metode Newton-Cotes adalah metode yang umum untuk
menurunkan kaidah integrasi numerik. • Polinom interpolasi menjadi dasar metode Newton-Cotes. • Gagasannya adalah menghampiri fungsi f(x) dengan polinom
interpolasi pn(x)
yang dalam hal ini,pn (x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn
I = b
a
dxxf )( b
an dxxp )(
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
29
• Sembarang polinom interpolasi yang telah kita bahas sebelumnya dapat digunakan sebagai hampiran fungsi
• Tetapi dalam kuliah ini polinom interpolasi yang kita pakai adalah polinom Newton-Gregory maju:
• Kaidah integrasi numerik yang diturunkan dari metode Newton-Cotes, tiga di antaranya yang terkenal adalah:1. Kaidah trapesium (Trapezoidal rule)2. Kaidah Simpson 1/3 (Simpson's 1/3 rule)3. Kaidah Simpson 3/8 (Simpson's 3/8 rule)
pn(x) = f0 + (x - x0) hf!1
0 + (x - x0)(x - x1) 2
02
!2 hf + … +
(x - x0)(x - x1). ..(x - xn-1) n
n
hnf
!0
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
30
Kaidah Trapesium (lagi)y
y = p 1 (x )
x 0 = 0 x 1 = h
y = f(x )
x
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 1 yang melalui kedua buah titik itu adalah
p1(x) = f(x0) + x hxf 0
= f0 + xhf 0
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
31
Integrasikan p1(x) di dalam selang [0,1]:
I h
dxxf0
)( h
dxxp0
1 )(
h
f0
0( + x hf 0
) dx
xf0 + h
x2
2
f0 0
xhx
hf0 + 2h
f0
hf0 + 2h ( f1 - f0) , sebab f0 = f1-f0
2h f0 +
2h f1
2h ( f0 + f1)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
32
Jadi, kaidah trapesium adalah
h
dxxf0
)( 2h ( f0 + f1) sama seperti yang diturunkan
Dengan metode pias
Kaidah trapesium untuk integrasi dalam selang [0, h] kita perluas untuk menghitung
I = b
a
dxxf )(
b
a
dxxf )( 1
0
)(x
x
dxxf + 2
1
)(x
x
dxxf + ... +
n
n
x
x
dxxf1
)(
2h ( f0 + f1) +
2h ( f1+ f2) + ... +
2h ( fn-1 + fn)
2h ( f0 + 2f1 + 2f2 + ... + 2fn-1 + fn)
2h ( f0 + 2fi +
1
1
n
inf )
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
33
Kaidah Simpson 1/3• Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan
dengan mengunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi.
• Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk parabola.
• Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah parabola.
• Untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik data, misalkan (0, f(0)), (h, f(h)), dan (2h, f(2h)).
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
34
x
y = f(x )
x 0 = 0 x 1 = h x 2 = 2 h
y = p 2 (x )y
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga buah titik tersebut adalah
p2(x) = f(x0) + hx f(x0) +
2!2 hhxx 2f(x0) = f0 + x f0 +
2!2 hhxx 2f0
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
35
Integrasikan p2(x) di dalam selang [0, 2h]:
I h
dxxf2
0
)( h
dxxp2
02 )(
h2
0
( f0 + hx f0 +
2!2 hhxx 2f0) dx
f0x + h2
1 x2 f0 + ( 2
3
6hx -
hx4
2
) 2f0 0 2
xhx
2hf0 + h
h2
4 2
f0 + (2
3
68
hh -
hh4
4 2
) 2f0
2hf0 + 2h f0 + ( 3
4h - h) 2f0
2hf0 + 2h f0 + 3h 2f0
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
36
Mengingat
f0 = f1 - f0 dan
2f0 = f1 - f0 = ( f2 - f1) - ( f1 - f0) = f2 -2f1 + f0 maka, selanjutnya
I 2hf0 + 2h ( f1 - f0) + 3h ( f2 - 2f1 + f0)
2hf0 + 2hf1 - 2hf0 + 3h f2 - 3
2h f1 + 3h f0
3h f0 +
34h f1 +
3h f2
3h ( f0 + 4f1 + f2)
(Kaidah Simpson 1/3)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
37
• Kaidah Simpson 1/3 gabungan:
b
a
dxxf )( 2
0
)(x
x
dxxf + 4
2
)(x
x
dxxf + ... +
n
n
x
x
dxxf2
)(
3h ( f0 + 4f1 + f2) +
3h ( f2 + 4f3 + f4) + ... +
3h ( fn-2 + 4fn-1 + fn)
3h ( f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + 2f4 + ... + 2fn-2 + 4fn-1 + fn)
3h ( f0 + 4
1
5,3,1
n
iif + 2
2
6,4,2
n
iif + fn )
Ingat pola koefisien dalam rumus Simpson 1/3:1, 4, 2, 4, 2, ... ,2, 4, 1
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
38
• Penggunaan kaidah 1/3 Simpson mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus genap.
• Ini berbeda dengan kaidah trapesium yang tidak mempunyai persyaratan mengenai jumlah selang.
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
39
procedure Simpson_sepertiga(a, b : real; n: integer; var I : real);{ menghitung integrasi f(x) dalam selang [a, b] dengan jumlah pias sebanyak n (n harus genap} K.Awal : harga a, b, dan n sudah terdefinisi (n harus genap) K.Akhir: I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan kaidah Simpson 1/3}var h, x, sigma : real; r : integer; begin h:=(b-a)/n; {jarak antar titik } x:=a; {awal selang integrasi} I:=f(a) + f(b); sigma:=0; for r:=1 to n-1 do begin x:=x+h; if r mod 2 = 1 then { r = 1, 3, 5, ..., n-1 }
sigma:=sigma + 4*f(x) else { r = 2, 4, 6, ..., n-2 } sigma:=sigma + 2*f(x); end; I:=(I+sigma)*h/3; { nilai integrasi numerik}end;
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
40
• Contoh: Hitung integral dengan menggunakana. kaidah trapesiumb. kaidah titik-tengahc. kaidah Simpson 1/3
Gunakan jarak antar titik h = 0.125.
1
01
1dx
x
Penyelesaian: Jumlah upaselang: n = (1 - 0)/0.125 = 8 Tabel titik-titik di dalam selang [0,1]: Tabel titik-titik di dalams elang [0, 1]: (untuk kaidah trapesium dan Simpson 1/3) (untuk kaidah titik-tengah)
r xr fr r xr fr 0 0 1 1/2 0.063 0.94118 1 0.125 0.88889 3/2 0.188 0.84211 2 0.250 0.80000 5/2 0.313 0.76190 3 0.375 0.72727 7/2 0.438 0.69565 4 0.500 0.66667 9/2 0.563 0.64000 5 0.625 0.61538 11/2 0.688 0.59259 6 0.750 0.57143 13/2 0.813 0.55172 7 0.875 0.53333 15/2 0.938 0.51613 8 1.000 0.50000
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
41
(a) dengan kaidah trapesium
1
01
1 dxx
h/2 ( f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + 2f4 + 2f5 + 2f6 + 2f7 + f8)
0.125/2 [1 + 2(0.88889) + 2(0.80000) + ... + 0.50000) 0.69412 (b) dengan kaidah titik-tengah
1
01
1 dxx
h ( f1/2 + f3/2 + f5/2 + f7/2 + f9/2 + f11/2 + f13/2 + f15/2 )
0.125 (5.54128) (c) dengan kaidah 1/3 Simpson
1
01
1 dxx
h/3 ( f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + 2f4 + 4f5 + 2f6 + 4f7 + f8)
0.125/3 (16.63568) 0.69315 Bandingkan solusi (a), (b), dan (c) dengan solusi sejatinya:
1
01
1 dxx
= ln(1+x) 0 1
xx
= ln(2) - ln(1) = 0.69314718
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
42
Galat Kaidah Simpson 1/3
Galat kaidah Simpson 1/3 untuk dua pasang upaselang adalah
E = h
dxxf2
0
)( - 3h ( f0 + 4f1 +f2) (P.6.29)
Uraikan f(x), f1, dan f2 masing-masing ke dalam deret Taylor di sekitar x0 = 0:
f(x) = f0 + xf0' + 2
2x f0" + 6
3x f0"' + 24
4x f0(iv) + ... (P.6.30)
f1 = f(h) = f0 + hf0' + 2
2h f0" + 6
3h f0"' + 24
4h f0(iv) + ... (P.6.31)
f2 = f(2h) = f0 + 2h f0' + 2
4 2h f0" + 6
8 3h f0"'+ 24
16 4h f0(iv) + ... (P.6.32)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
43
Sulihkan persamaan (P.6.30), (P.6.31), (P.6.32) ke dalam persamaan (P.6.29):
E = h2
0
( f0 + xf0' + 2
2x f0" + 6
3x f0"' + 24
4x f0(iv) + ...) dx
- 3h [ ( f0 + 4f0 + 4hf0' +
24 2h f0" +
64 3h f0"' +
244 4h f0
(iv) + ...)
+ (f0 + 2hf0' + 2
4 2h f0" + 6
8 3h f0"' + 24
16 4h f0(iv) + ...) ]
= (xf0 + 2
2x f0' + 6
3x f0" + 24
4x f0"' + 120
5x f0(iv) + ...)
0 2
xhx
- 3h (6f0 + 6hf0' + 4h2f0" + 2h3 f0"' +
2420 4h f0
(iv) + ...)
= (2hf0 + 2h2f0' + 3
4 3h f0" + 3
2 4h f0"' + 12032 5h f0
(iv) +...)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
44
- (2hf0 + 2h2f 0' + 3
4 3h f0" + 3
2 4h f0"' + 72
20 5h f0IV + ...)
= 12032 5h f0
(iv) - 72
20 5h f0(iv) + ...
= ( 308 -
1805 ) h5fo
(iv) + ...
= - 901 h5 f0
(iv) (P.6.33)
= O(h5)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
45
Jadi, kaidah Simpson 1/3 untuk sepasang upaselang ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai
h
dxxf2
0
)( = 3h ( f0 + 4f1 + f2) + O(h5)
Galat untuk n/2 pasang upaselang adalah
Etot = - 901 h5( f0
(iv) + f2(iv) + f4
(iv) + ... + fn-2(iv)) = -
901 h5
2
,...2,0
n
i
fi (iv)
= -
90
5h . 2n . f (iv)(t) , a < t < b
= -
180
4h (b - a) f (iv)(t) , karena n = (b - a)/h (P.6.34)
= O(h4)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
46
Jadi, kaidah Simpson 1/3 gabungan ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai,
b
a
dxxf )( 3h ( f0 + 4
1
5,3,1
n
iif + 2
2
6,4,2
n
iif + fn ) + O(h4)
dengan kata lain, kaidah Simpson 1/3 gabungan berorde 4
Dibandingkan dengan kaidah trapesium gabungan, hasil integrasi Dengan kaidah Simpson gabungan jauh lebih baik, karena orde galatnya lebih tinggi.
Tapi ada kelemahannya, yaitu kaidah Simpson 1/3 tidak dapat diterapkan bila jumlah upaselang (n) ganjil.
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
47
Kaidah Simpson 3/8
• Fungsi f(x) kita hampiri dengan polinom interpolasi derajat 3.
• Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah kurva polinom derajat 3 tersebut.
• Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data, misalkan titik-titk tersebut (0, f(0)), (h, f(h)), (2h, f(2h)), dan (3h, f(3h)).
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
48
x 0 = 0 x 1 = h x 2 = 2 h x 2 = 3 h
y
x
y = f(x )
y = p 3 (x )
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
49
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang melalui keempat buah titik itu adalah
p3(x) = f(x0) + hx f(x0) +
2!2 hhxx 2f(x0) +
3!32
hhxhxx 3f(x0)
= f0 + hx f0 +
2!2 hhxx
2f0 + 3!3
2h
hxhxx 3f(x0)
Integrasi p3(x) di dalam selang [0,3h] adalah
I h
dxxf3
0
)( h
dxxp3
03 )(
h3
0
[ f0 + hxf0 +
2!2 hhxx
2f0 + 3!3
2h
hxhxx 3f(x0) ] dx
Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaidah Simpson 1/3, diperoleh
h
dxxf3
0
)( 8
3h ( f0 + 3f1 + 3f2 + f3) Kaidah Simpson 3/8
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
50
Galat kaidah Simpson 3/8 adalah
E - 803 h5 f0
(iv) (t) , 0 < t < 3h
Jadi, kaidah Simpson 3/8 ditambah dengan galatnya deapat dinyatakan sebagai
h
dxxf3
0
)( 8
3h ( f0 + 3f1 + 3f2 + f3) + O(h5)
Sedangkan kaidah Simpson 3/8 gabungan adalah
b
a
dxxf )( 83h ( f0 + 3f1 + 3f2 + 2f3 + 3f4 + 3f5 + 2f6 + 3f7 + 3f8 + 2f9 + ...
+ 2 fn-3 + 3 fn-2 + 3 fn-1 + fn)
8
3h ( f0 + 3
1
,...9,6,31
n
ii
if + 2
3
,...9,6,3
n
iif + fn)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
51
Galat kaidah 3/8 Simpson gabungan adalah
Etot
3/
1
n
i
803 5h f (iv)(t) -
803 5h
3
1
n
i
f (iv)(t)
- 80
3 5h . 3n . f (iv) (t)
- 80
5h h
ab f (iv)(t)
- 80
4hab f (iv)(t) , a < t < b
= O(h4)
Jadi, kaidah Simpson 3/8 ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai
b
a
dxxf )( 8
3h ( f0 + 3
1
,...9,6,31
n
ii
if + 2
3
,...9,6,3
n
iif + fn) + O(h4)
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
52
Metode Integrasi Numerik Untuk h yang Berbeda-beda
y = f(x )
x
y
x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9
h 1 h 1 h 1 h 1
h 2 h 2 h 1
h 3h 4
1/3Simpson kaidah
3/8Simpson kaidah
trap
trap
IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB
53
Bentuk Umum Metode Newton-Cotes
b
a
dxxf )( = h[w0 f0 + w1 f1+ w2 f 2+ ... + wn fN] + E
n wi , i = 1, 2, ..., n E Nama
1 1/2 1 1 -1/12 h3 f " Trapesium
2 1/3 1 4 1 -1/90 h5 f ( 4) 1/3 Simpson
3 3/8 1 3 3 1 -3/80 h5 f (4) 3/8 Simpson
4 2/45 7 32 12 32 7 -8/945 h7 f (6) Boole
5 5/288 19 75 50 50 75 19 -275/12096 h7 f (4)
6 1/140 41 216 27 272 27 216 41 -9/1400 h9 f (8)
7 7/17280 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751
-8183/518400 h 9 f (8)
8 8/14175 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 989
-2368/467775 h 11 f (10)
9 9/89600 2857 15741 1080 19344 5788 5788 19344 1080 15741 2857
-173/14620 h11 f (10)
10 5/299376 16067 106300 -48525 272400 -260550 427368 -260550 272400 -48525 106300 16067
-1346350/326918592 h13 f (12)
Top Related