Universidad de los Llanos. Rojas Germn, Amaya Diana. Simulaciones.
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ResumenEn las finanzas, el modelo de Heston,
el nombre de Steven Heston, es un modelo
matemtico que describe la evolucin de la
volatilidad de un subyacente de los activos. Se trata
de una volatilidad estocstica modelo: un modelo de
este tipo supone que la volatilidad del activo no es
constante, ni siquiera determinista, sino que sigue un
proceso aleatorio.
Por otro lado tenemos el modelo poblacional, mide
es el cambio en la poblacin en un cierto plazo, y
puede ser cuantificado como el cambio en el nmero
de individuos en una poblacin por unidad de tiempo
para su medicin. El trmino crecimiento
demogrfico puede referirse tcnicamente a
cualquier especie, pero refiere casi siempre a seres
humanos, y es de uso frecuentemente informal para
el trmino demogrfico ms especfico tarifa del
crecimiento poblacional, y es de uso frecuente
referirse especficamente al crecimiento de la
poblacin del mundo.
ndice de Trminos Algoritmo, aprendizaje, Heston, modelo poblacional.
Abstract In finance, the Heston model, the name
of Steven Heston, is a mathematical model that
describes the evolution of the volatility of an
underlying asset. It is a stochastic volatility model: a
model of this type assumes that the asset volatility is
not constant, even deterministic, but follows a
random process.
On the other hand we have the population model,
measures the change in the population over time, and
can be quantified as the change in the number of
individuals in a population per unit time for
measurement. The term population growth can
technically refer to any species, but almost always
refers to humans, and is often used informally for the
more specific demographic term population growth
rate, and is often used to refer specifically to the
growth of the world population .
Key words Algorithm, learning, Heston,
population model.
I. INTRODUCCIN
Un modelo matemtico se define como una
descripcin desde el punto de vista de las
matemticas de un hecho o fenmeno del mundo
real, desde el tamao de la poblacin, hasta
fenmenos fsicos como la velocidad, aceleracin o
densidad. El objetivo del modelo matemtico es
entender ampliamente el fenmeno y tal vez predecir
su comportamiento en el futuro.
El proceso para elaborar un modelo matemtico es
el siguiente: Encontrar un problema del mundo real
Formular un modelo matemtico acerca del
problema, identificando variables (dependientes e
independientes) y estableciendo hiptesis lo
suficientemente simples para tratarse de manera
matemtica. Aplicar los conocimientos matemticos
que se posee para llegar a conclusiones matemticas.
Rojas Riveros Germn Camilo - 160002529. Amaya Rojas Diana Yesenia 160002502.
Universidad de los Llanos
Facultad de Ciencias Bsicas e ingeniera
Modelos matemticos Heston y Crecimiento
poblacional
Universidad de los Llanos. Rojas Germn, Amaya Diana. Simulaciones.
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Comparar los datos obtenidos como predicciones
con datos reales. Si los datos son diferentes, se
reinicia el proceso. Es importante mencionar que un
modelo matemtico no es completamente exacto con
problemas de la vida real, de hecho, se trata de una
idealizacin. Hay una gran cantidad de funciones que
representan relaciones observadas en el mundo real;
las cuales se analizarn en los prrafos siguientes,
tanto algebraicamente como grficamente.
Los dos modelos en los cuales nos enfocaremos son
el poblacional y el de Heston.
II. MODELO MATEMATICO PARA EL CRECIMIENTO POBLACIONAL
A. Modelo terico
Para el modelo de crecimiento poblacional,
implementamos dos mtodos matemticos, el
primero es un modelo bsico, el cual determina el
incremento de la poblacin a medida que avanza el
tiempo y est dado por la siguiente ecuacin:
xt= x*exp(((x-
(((alf)^2)/2))*t)+(alf*W(j))); (1)
Donde alf es la tasa de crecimiento de la poblacin,
x es la poblacin inicial y W(j) es un movimiento
browniano.
El segundo modelo matemtico fue generado para
analizar la influencia de las fluctuaciones de la
temperatura de almacenamiento sobre el
crecimiento de bacterias lcticas en emulsiones
crnicas cocidas. La ecuacin obtenida fue la
siguiente:
(2)
Donde A es el nmero mximo de la poblacin,
Lambda es el tiempo de latencia, niu es 1/lambda, te
es el tiempo y e = exp (1).
B. Modelo practico
Para implementar el primer modelo, hemos
generado el siguiente cdigo:
%GENERA MOVIMIENTOS BROWNIANOS ESTANDAR
UNIDIMENSIONAL randn(80,100); % genera el arreglo de
numeros aleatorios T = 1; N = 500; dt = T/N; dW = zeros(1,N); % se predefinen los
arreglos W = zeros(1,N); % para mayor rapidez en
el programa dW(1) = sqrt(dt)*randn; % primer valor
... W(1) = dW(1); % W(0) = 0 no esta
permitido en MATLAB for j = 2:N dW(j) = sqrt(dt)*randn; % incremento
general W(j) = W(j-1) + dW(j); end x=3; alf=2; t=0:0.01:3; xt= x*exp(((x-
(((alf)^2)/2))*t)+(alf*W(j))); media= mean (xt); disp(media); var=std(xt); disp(var); plot(t,xt,t,media,t,var) title('Crecimiento Poblacional') xlabel('tiempo','FontSize',9) ylabel('Poblacion','FontSize',9,'Rotation
',0) line(t, media, 'linestyle', 'o') line(t, var, 'linestyle', '*') legend('f(t)', 'media o','varianza *') grid on
Obtuvimos la siguiente grfica:
Fig.1. Crecimiento en das de la poblacin
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Para el segundo modelo, el cdigo implementado
fue el siguiente:
A=30; lambda=2; umax=(1/lambda); t=0:0.1:90; xt=A*exp(-exp(
(((umax*exp(1))/A)*(lambda-t)) +1 )); media= mean (xt); disp(media); var=std(xt); disp(var); plot(t,xt,t,media,t,var) title('Crecimiento Poblacional') xlabel('tiempo','FontSize',9) ylabel('Poblacion','FontSize',9,'Rotation
',0) line(t, media, 'linestyle', 'o') line(t, var, 'linestyle', '*') legend('f(t)', 'media o','varianza *') grid on
Fig.2. crecimiento de las bacterias en 90 minutos
III. MODELO MATEMATICO HESTON
A. Modelo terico
A partir de las siguientes ecuaciones:
(3)
(4)
(5)
Aplicando el mtodo lineal y newton rapson
(algunos pasos en la referencia [3]), obtuvimos las
siguientes formulas:
(6)
(7)
(8)
Que son las que ingresaremos en nuestra
simulacin.
B. Modelo prctico
El cdigo implementado: %GENERA MOVIMIENTO BROWNIANO ESTANDAR
UNIDIMENSIONAL B1(t)->w1(j) randn(100,100); % genera el arreglo de
numeros aleatorios T1 = 1; N1 = 500; dt1 = T1/N1; dW1 = zeros(1,N1); % se predefinen los
arreglos W1 = zeros(1,N1); % para mayor rapidez en
el programa dW1(1) = sqrt(dt1)*randn; % primer valor
... W1(1) = dW1(1); % W(0) = 0 no esta
permitido en MATLAB for j = 2:N1 dW1(j) = sqrt(dt1)*randn; % incremento
general W1(j) = W1(j-1) + dW1(j); end media1= mean (W1); disp(media1); var1=std(W1); disp(var1); subplot(2,1,1) plot((0:dt1:T1),[0,W1],'r-
',(0:dt1:T1),media1,(0:dt1:T1),var1)
%grfica de W contra t title('MOVIMIENTO BROWNIANO ESTANDAR
UNIDIMENSIONAL W1 Y W2 '); xlabel('Tiempo','FontSize',12) ylabel('W1(t)','FontSize',12,'Rotation',0
) line((0:dt1:T1), media1, 'linestyle',
'o') line((0:dt1:T1), var1, 'linestyle', '-')
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legend('f(t)', 'media o','varianza -')
grid on
%GENERA MOVIMIENTO BROWNIANO ESTANDAR
UNIDIMENSIONAL B2(t)-->w2(j) randn(80,80); % genera el arreglo de
numeros aleatorios T2 = 1; N2 = 500; dt2 = T2/N2; dW2 = zeros(1,N2); % se predefinen los
arreglos W2 = zeros(1,N2); % para mayor rapidez en
el programa dW2(1) = sqrt(dt2)*randn; % primer valor
... W2(1) = dW2(1); % W(0) = 0 no esta
permitido en MATLAB for j = 2:N2 dW2(j) = sqrt(dt2)*randn; % incremento
general W2(j) = W2(j-1) + dW2(j); end media2= mean (W2); disp(media2); var2=std(W2); disp(var2); subplot(2,1,2) plot((0:dt2:T2),[0,W2],(0:dt2:T2),media2,
(0:dt2:T2),var2) %grfica de W contra t line((0:dt2:T2), media2, 'linestyle',
'o') line((0:dt2:T2), var2, 'linestyle', '-') legend('f(t)', 'media o ','varianza -') xlabel('Tiempo','FontSize',12) ylabel('W2(t)','FontSize',12,'Rotation',0
)
grid on
%FUNCION V(t) volatilidad
T3 = 1; N3= 500; dt3 = T3/N3; S0 = 10; V0 = .01; r = 0; k = 2; theta =.01; sigma= .1; delT = .02; rho=
0.1; dv = zeros(1,N3); % se predefinen los
arreglos V = zeros(1,N3); % para mayor rapidez en
el programa dv(1) = V0 + k*(theta - V0)*delT +
sigma*sqrt(V0)* (rho*W1(j) + sqrt(1-
rho^2)*W2(j))*sqrt(delT); dv(1) =dv(1)*100; V(1)=dv(1); for j = 2:N3 dv(j) = 100*(V0 + k*(theta - V0)*delT +
sigma*sqrt(V0)* (rho* W1(j) + sqrt(1-
rho^2)*W2(j))*sqrt(delT));
V(j) = V(j-1) + dv(j); end media3= mean (dv); disp(media3); var3=std(dv); disp(var3);
h3 = figure; plot((0:dt3:T3),[0,dv],'b-
',(0:dt3:T3),media3,'b--
',(0:dt3:T3),var3,'b--') %grfica de V(t)
contra t legend('FUNCION DE VOLATILIDAD ') xlabel('Tiempo','FontSize',12) ylabel('V(t)','FontSize',12,'Rotation',0) grid on
h = figure; plot((0:dt3:T3),[0,dv],'b-
',(0:dt3:T3),media3,'b--
',(0:dt3:T3),var3,'b--') %grfica de V(t)
contra t title(' FUNCIONES PRECIO Y VOLATILIDAD
'); legend('V(t)->b', 'S(t)->r') xlabel('Tiempo','FontSize',12) ylabel('V(t) y
S(t)','FontSize',12,'Rotation',0) grid on
%FUNCION S(t) precio
T4 = 1; N4= 500; dt4 = T4/N4; ds=zeros(1,N4); S=zeros(1,N4); ds(1)=(S0 + r*S0*delT +
S0.*W1(j)*sqrt(delT)*sqrt(k)); S(1)=ds(1); for j=2:N4 ds(j) =(S0 + r*S0*delT +
S0.*W1(j)*sqrt(delT)*sqrt(k)); S(j)=S(j-1) + ds(j); end media4= mean (ds); disp(media4); var4=std(ds); disp(var4); hold on plot((0:dt4:T4),[0,ds],'r-
',(0:dt4:T4),media4,'r--
',(0:dt4:T4),var4,'r--') %grfica de S
contra t grid on
Obtuvimos los siguientes resultados:
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Fig.3. Estos son los dos movimientos brownianos
que requerimos para nuestro modelo matemtico.
Fig.4. Este esta es la grfica de la funcin del
precio (rojo) Vs la de volatilidad (azul), donde vemos
que la volatilidad permite llevar los cambios
obtenidos por el precio del activo.
Fig.5. Funcin de volatilidad ampliada
IV. CONCLUSIONES
El modelo de crecimiento poblacional es uno de
los mtodos ms importantes, puesto que permiten
determinar el ndice poblacional y con ello tomar
medidas para evitar colisiones en un futuro.
El modelo de crecimiento poblacional es muy
usado en los laboratorios de biologa para determinar
el crecimiento de bacterias, y otros organismos.
Tambin nos puede indicar que tan bien esta una
poblacin dependiendo de la cantidad de nios,
jvenes, adultos y ancianos.
El modelo de Heston es muy bueno, permite
determinar el valor que tomara un activo en aos
futuros, con esto se pueden evitar prdidas y obtener
grandes beneficios econmicos.
El modelo Heston es usado en los bancos, en las
grandes compaas por grandes empresarios, es
importante conocerlo e implementarlo, puesto que
brinda confianza.
REFERENCIAS
[1] Senz Pea, Chaco. Modelo dinmico para el crecimiento de bacterias lcticas sobre emulsiones crnicas. 2004
[2] Guillermo, Abramson. la matemtica de los sistemas biolgicos. Agosto 2013.
[3] Nimalin, Moodley. The Heston Model. 2005. [4] Acinto, Marabel. estimacin de los parmetros del modelo de
heston. 2010. [5] Uriza, Myriam. estudio numrico del modelo de heston: mtodo
de diferencias finitas. 2013.