Kegiatan Belajar 2
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat
a. Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian
b. Membuktikan identitas trigonometri sederhana dengan menggunakan rumus hubungan
antara perbandingan trigonometri
c. Memahami hubungan antara koordinat kutub dan koordinat cartesius suatu titik.
B. Uraian Materi 2
Identitas Trigonometri
a). Identitas Pythagoras
Pada gambar di atas berlaku :
θθ
θθ
coscos
sinsin
222
=⇒=
=⇒=
=+
xr
x
ryr
y
ryx
Sehingga titik P (x, y) kita bisa menuliskan menjadi P (r cos θ, r sin θ) dengan menggunkan
teorema Pythagoras maka akan didapat
( ) ( )
( )
1sincos
sincos
sincos
sincos
sincos
22
2
222
2222
22222
222
222
=+⇒
=+⇒
=+⇒
=+⇒
=+⇒
=+
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
r
r
rr
rrr
rrr
ryx
• P (x, y)
r y
θ
x
Hubungan dari persamaan-persamaan di atas disebut identitas trigonometri dan sering
disebut dengan identitas Pythagoras.
Dari identitas di atas dapat diturunkan menjadi beberapa identitas, diantaranya.
θθ
θθ22
22
coscot1).
sectan1).
ecb
a
=+
=+
b). Identitas Kebalikan
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
tan
1cot
cot
1tan.3
cos
1sec
sec
1cos.2
sin
1cos
cos
1sin.1
==
==
==
atau
atau
ecatauec
c). Identitas Perbandingan (Kuesien)
θ
θθ
θ
θθ
sin
coscot.2
cos
sintan.1
=
=
Contoh :
1. Jika diketahui 12
5tan −=A dan 90
o < A < 180
o tentukan
a. sec A b. sin A
Penyelesaian
a. Dengan menggunakan identitas Pythagoras maka
12
13sec
144
169sec
144
25144sec
144
251sec
sec12
51
tan1
2
2
2
2
22
=
=
+=
+=
=
−+
=+
A
A
A
A
A
ASecA
Karena 90o < A < 180
o terletak dikuadran II maka sec A =
12
13−
b. Dengan menggunakan identitas kebalikan
13
12cos
12
13
1cos
sec
1cos
−=
−
=
=
A
A
AA
Selanjutnya diselesaikan dengan identitas perbandingan
13
5sin
12
5
13
12sin
costansin
cos
sintan
=
−
−=
×=
=
A
A
AAA
A
AA
2. Buktikan bahwa A
AAA
sin1
costansec
++=
Penyelesaian
Kita ubah ruas kanan
A
A
A
AA
sin1
cos
cos
sinsec
++=
( )( )
( )
( )
( )terbuktiAA
AA
AA
AA
AA
AAAA
AA
AAAAA
⇒=
=
+
+=
+
++=
+
++=
secsec
cos
1sec
sin1cos
1sinsec
sin1cos
cossinsinsec
sin1cos
cos.cossin1sinsec
22
Jadi, terbukti A
AAA
sin1
costansec
++=
3. Sederhanakan bentuk dari
a. θ
θθ
sin
tancos 2
b. 3 – 3 cos2 θ
Penyelesaian
a. θ
θ
θθ
θ
θθ
sin
cos
sin.cos
sin
tancos
2
2
=
θ
θ
θ
θθ
θ
θθ
θ
tan
cos
sin
sin
1
cos
sin
sin
cos
sin
2
2
=
=
×=
=
b. 3 – 3 cos2 θ = 3 – 3 (1 – sin
2 θ)
= 3 – 3 + 3sin2 θ
= 3sin2 θ
Koordinat kutub
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri maka nilai θ pada gambar di atas adalah
45o. titik P (3, 3) dapat ditulis dalam bentuk lain, yakni P ( 23 , 45
o) .
Titik P(3, 3) disebut koordinat cartesius sedangkang P ( 23 , 45o) disebut sebagai koordinat
kutub.
Secara umum koordinat cartesius dapat ditulis P(x, y) dan koordinat kutub P(r, θ)
Kita telah mengetahui bahwa
r
x
r
y
=
=
θ
θ
cos
sin
maka kita temukan hubungan antara koordinat cartesius dan koordinat kutub
θθ
θ
θ
cossin
cos.
sin.
22
xratau
yr
xyr
rx
ry
==
+=
=
=
Contoh
1. Tentukan koordinat cartesius titik R (4, 150o)
Penyelesaian
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
• P (3, 3)
θ
23
r = 4 θ = 150o
32
32
14
150cos4
cos
−=
−=
=
=o
rx θ
2
2
14
150sin4
sin
=
=
=
=o
ry θ
Jadi koordinat titik R ( 32− , 2)
2. Tentukan koordinat kutub dari Q(6, 3)
Penyelesaian
53
45
936
36 22
=
=
+=
+=r
o
r
y
27
4472,0sin
55
1sin
53
3sin
sin
≈
=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
Jadi, koordinat kutub dari P(6,3) adalah P ( )027,53
• •
• •
• •
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
•R(4, 150o) •
150o
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
•
•
•
•
•
•
• P (6, 3)
θ
C. Rangkuman 2
1. Jenis-jenis identitas trigonometri
a. Identitas Pythagoras
� 1sincos 22 =+ θθ
� θθ 22 sectan1 =+
� θθ 22 coscot1 ec=+
b. Identitas Perbandingan
� θ
θθ
cos
sintan =
� θ
θθ
cos
sincot =
c. Identitas kebalikan
� sin
1cos
cos
1sin == θ
θθ ecatau
ec
� θ
θθ
θcos
1sec
sec
1cos == atau
� θ
θθ
θtan
1cot
cot
1tan == atau
2. Hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub
� r
y=θsin
� r
x=θcos
� θsin.ry =
� θcos.rx =
� 22xyr += atau
θθ cossin
xratau
yr ==
D. Lembar Kerja 2
1. Sederhanakanlah
a. cos x.tan x
b. sin2 x. cot
2 x + cos
2x. tan
2 x
c. sec x. tan x. cos x
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
2. Buktikan bahwa
a. (sin x – cosx)2 = 1 – 2 sin x cos x
b. (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)
2 = 2
c. xx
x
xxtan
sin
cos
sincos
1=−
d. AAAA
AAcossin1
cossin
cossin 33
−=+
+
e. θθθ
θcotcos
cos1
cos1−=
+
−ec
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
3. Nyatakan bentuk akar berikut ini ke dalam bentuk fungsi trigonometri sederhana
dengan mensubtitusikan x yang diberikan.
a. αsin6;9 2 =− xuntukx
b. βcos4;16 2 =− xuntukx
c. θtan2;4 2 =+ xuntukx
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
4. Tentukan koordinat cartesius dari titik
a. R (6, 30o) c. P (5, 240
o)
b. Q (2, 120o) d. T (8, 300
o)
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
5. Tentukan koordinat kutub dari
a. R (5, 13) c. P ( 102,152 −− )
b. Q (- 24, 7) d. T (- 5, - 5)
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
6. Sebuah perahu berlayar dari pelabuhan dengan arah 037o. kecepatan rata-rata perahu
itu adalah 12 KM/jam, setelah 5 jam hitunglah:
a. Jarak dari pelabuhan
b. jarak dari timur pelabuhan
c. jarak dari utara pelabuhan
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
7. Gambar di samping adalah bandul B yang diayun ke
kanan sebesar 30o. jika panjang tali 30 cm, hitunglah
a. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi tali (BA)
b. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi atap (BC)
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
30o
Atap
Tali
Bandul
A
B
C
E. Tes Formatif 2
1. Jika 0 ≤ θ ≤ π, maka cos θ identik dengan …
a. θ
θ2
2
sec
1sec − d. θ2
cos1−
b. θ
θ
sec
tan e.
θ
θθ
eccos
cos.sec
c. θ
θ
eccos
cot
2. Betnuk sederhana dari ....cossin
cossin 44
=−
−
xx
xx
a. sin3x – cos
2x d. sin x – cos x
b. sin3x + cos
3x e. sin x + cos x
c. sin2x – cos
2x
3. Bentuk yang senilai dengan 5.tan2 x + 3 adalah….
a. 2sin
52
−x
d. 2sin
32
+x
b. 2cos
52
−x
e. 5cos
22
+x
c. 3sin
52
+x
4. Bentuk yang senilai dengan bentuk x
x
sin
cos1− adalah…
a. x
x
cos1
sin
+
− d.
x
x
cos1
cos
+
b. x
x
sin1
cos
−
− e.
x
x
cos1
sin
+
c. x
x
cos1
sin
−
5. Bentuk ( ) AA22 tansin1− dapat disederhanakan menjadi…
a. 2 sin2 A – 1 d. 1 – sin
2A
b. sin2 a + cos
2 A e. cos
2 A + 2
c. 1 – cos2 A
6. Nilai dari x
x2tan1
tan.2
+ adalah…
a. 2. sin x. cos x d. 2 sin x
b. sin x cos x e. 2 cos x
c. 1 – 2 sin x
7. Bentuk sederhana dari xx
x
sintan
sec1
+
+ adalah…
a. sec x d. cosec x
b. sin x e. cos x
c. tan x
8. Diketahui xqp cos=− dan xpq sin2 = maka p2+ q
2 =…..
a. sin x + cos x d. sin2 x + sin
2 x
b. sin2 x + cos
2 x e. cos
2 x – sin
2 x
c. sin2 x – cos
2 x
9. Untuk setiap sudut β, maka bentuk (1 – sin2 β)(1 + tan
2 β) dapat disederhanakan
menjadi…
a. 1 + sin2 β d. 1
b. sin2 β – cos
2 β e. sin
2 β
c. 1 + cos2 β
10. Bentuk sederhana dari A
AA
sin1
costan
++ adalah…
a. sec A d. tan A
b. cos A e. cosec A
c. cot A
11. Koordinat kutub (8, 30o) jika dinyatakan dalam koordinat cartesius adalah….
a. ( )34,4 d. ( )34,24
b. ( )4,34 e. ( )24,4
c. ( )4,24
12. Koordinat kutub dari titik ( )3,1− adalah..
a. (2, 120o) d. (2, 330
o)
b. (2, 240o) e. (2, 360
o)
c. (2, 300o)
13. Koordinat cartesius dari titik P (1, y) dan koordinat kutubnya adalah P ( 2 , βo),
jika titik P terletak di kuadran I. maka nilai y dan β berturut-turut adalah…
a. 3 dan 30o d. 2 dan 225
o
b. 1 dan 45o
e. 1 dan 315o
c. 1 dan 135o
14. Koordinat titik P adalah (3, 30o). posisi P pada koordinat cartesius adalah..
a.
3
2
3,
2
3 d.
3
2
3,3
b.
2
3,3
2
3 e.
3,3
2
3
c.
2
3,3
15. Koordinat titik Q adalah
2
2
1,2
2
1. Posisi Q dalam koordinat kutub adalah..
a.
3,1π
d.
4,
2
1 π
b.
6,1π
e.
3,1π
c.
3,
2
1 π
Top Related