Kegiatan Belajar 2

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat

a. Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian

b. Membuktikan identitas trigonometri sederhana dengan menggunakan rumus hubungan

antara perbandingan trigonometri

c. Memahami hubungan antara koordinat kutub dan koordinat cartesius suatu titik.

B. Uraian Materi 2

Identitas Trigonometri

a). Identitas Pythagoras

Pada gambar di atas berlaku :

θθ

θθ

coscos

sinsin

222

=⇒=

=⇒=

=+

xr

x

ryr

y

ryx

Sehingga titik P (x, y) kita bisa menuliskan menjadi P (r cos θ, r sin θ) dengan menggunkan

teorema Pythagoras maka akan didapat

( ) ( )

( )

1sincos

sincos

sincos

sincos

sincos

22

2

222

2222

22222

222

222

=+⇒

=+⇒

=+⇒

=+⇒

=+⇒

=+

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

r

r

rr

rrr

rrr

ryx

• P (x, y)

r y

θ

x

Hubungan dari persamaan-persamaan di atas disebut identitas trigonometri dan sering

disebut dengan identitas Pythagoras.

Dari identitas di atas dapat diturunkan menjadi beberapa identitas, diantaranya.

θθ

θθ22

22

coscot1).

sectan1).

ecb

a

=+

=+

b). Identitas Kebalikan

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θ

tan

1cot

cot

1tan.3

cos

1sec

sec

1cos.2

sin

1cos

cos

1sin.1

==

==

==

atau

atau

ecatauec

c). Identitas Perbandingan (Kuesien)

θ

θθ

θ

θθ

sin

coscot.2

cos

sintan.1

=

=

Contoh :

1. Jika diketahui 12

5tan −=A dan 90

o < A < 180

o tentukan

a. sec A b. sin A

Penyelesaian

a. Dengan menggunakan identitas Pythagoras maka

12

13sec

144

169sec

144

25144sec

144

251sec

sec12

51

tan1

2

2

2

2

22

=

=

+=

+=

=

−+

=+

A

A

A

A

A

ASecA

Karena 90o < A < 180

o terletak dikuadran II maka sec A =

12

13−

b. Dengan menggunakan identitas kebalikan

13

12cos

12

13

1cos

sec

1cos

−=

−

=

=

A

A

AA

Selanjutnya diselesaikan dengan identitas perbandingan

13

5sin

12

5

13

12sin

costansin

cos

sintan

=

−

−=

×=

=

A

A

AAA

A

AA

2. Buktikan bahwa A

AAA

sin1

costansec

++=

Penyelesaian

Kita ubah ruas kanan

A

A

A

AA

sin1

cos

cos

sinsec

++=

( )( )

( )

( )

( )terbuktiAA

AA

AA

AA

AA

AAAA

AA

AAAAA

⇒=

=

+

+=

+

++=

+

++=

secsec

cos

1sec

sin1cos

1sinsec

sin1cos

cossinsinsec

sin1cos

cos.cossin1sinsec

22

Jadi, terbukti A

AAA

sin1

costansec

++=

3. Sederhanakan bentuk dari

a. θ

θθ

sin

tancos 2

b. 3 – 3 cos2 θ

Penyelesaian

a. θ

θ

θθ

θ

θθ

sin

cos

sin.cos

sin

tancos

2

2

=

θ

θ

θ

θθ

θ

θθ

θ

tan

cos

sin

sin

1

cos

sin

sin

cos

sin

2

2

=

=

×=

=

b. 3 – 3 cos2 θ = 3 – 3 (1 – sin

2 θ)

= 3 – 3 + 3sin2 θ

= 3sin2 θ

Koordinat kutub

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri maka nilai θ pada gambar di atas adalah

45o. titik P (3, 3) dapat ditulis dalam bentuk lain, yakni P ( 23 , 45

o) .

Titik P(3, 3) disebut koordinat cartesius sedangkang P ( 23 , 45o) disebut sebagai koordinat

kutub.

Secara umum koordinat cartesius dapat ditulis P(x, y) dan koordinat kutub P(r, θ)

Kita telah mengetahui bahwa

r

x

r

y

=

=

θ

θ

cos

sin

maka kita temukan hubungan antara koordinat cartesius dan koordinat kutub

θθ

θ

θ

cossin

cos.

sin.

22

xratau

yr

xyr

rx

ry

==

+=

=

=

Contoh

1. Tentukan koordinat cartesius titik R (4, 150o)

Penyelesaian

• •

• •

• •

• •

• •

• •

• •

•

••

••

•

•

•

•

•

•

•

• P (3, 3)

θ

23

r = 4 θ = 150o

32

32

14

150cos4

cos

−=

−=

=

=o

rx θ

2

2

14

150sin4

sin

=

=

=

=o

ry θ

Jadi koordinat titik R ( 32− , 2)

2. Tentukan koordinat kutub dari Q(6, 3)

Penyelesaian

53

45

936

36 22

=

=

+=

+=r

o

r

y

27

4472,0sin

55

1sin

53

3sin

sin

≈

=

=

=

=

θ

θ

θ

θ

θ

Jadi, koordinat kutub dari P(6,3) adalah P ( )027,53

• •

• •

• •

• •

• •

•

•

•

•

•

•

•

•R(4, 150o) •

150o

• •

• •

• •

• •

• •

• •

• •

•

•

•

•

•

•

• P (6, 3)

θ

C. Rangkuman 2

1. Jenis-jenis identitas trigonometri

a. Identitas Pythagoras

� 1sincos 22 =+ θθ

� θθ 22 sectan1 =+

� θθ 22 coscot1 ec=+

b. Identitas Perbandingan

� θ

θθ

cos

sintan =

� θ

θθ

cos

sincot =

c. Identitas kebalikan

� sin

1cos

cos

1sin == θ

θθ ecatau

ec

� θ

θθ

θcos

1sec

sec

1cos == atau

� θ

θθ

θtan

1cot

cot

1tan == atau

2. Hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub

� r

y=θsin

� r

x=θcos

� θsin.ry =

� θcos.rx =

� 22xyr += atau

θθ cossin

xratau

yr ==

D. Lembar Kerja 2

1. Sederhanakanlah

a. cos x.tan x

b. sin2 x. cot

2 x + cos

2x. tan

2 x

c. sec x. tan x. cos x

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

2. Buktikan bahwa

a. (sin x – cosx)2 = 1 – 2 sin x cos x

b. (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)

2 = 2

c. xx

x

xxtan

sin

cos

sincos

1=−

d. AAAA

AAcossin1

cossin

cossin 33

−=+

+

e. θθθ

θcotcos

cos1

cos1−=

+

−ec

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

3. Nyatakan bentuk akar berikut ini ke dalam bentuk fungsi trigonometri sederhana

dengan mensubtitusikan x yang diberikan.

a. αsin6;9 2 =− xuntukx

b. βcos4;16 2 =− xuntukx

c. θtan2;4 2 =+ xuntukx

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

4. Tentukan koordinat cartesius dari titik

a. R (6, 30o) c. P (5, 240

o)

b. Q (2, 120o) d. T (8, 300

o)

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

5. Tentukan koordinat kutub dari

a. R (5, 13) c. P ( 102,152 −− )

b. Q (- 24, 7) d. T (- 5, - 5)

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

6. Sebuah perahu berlayar dari pelabuhan dengan arah 037o. kecepatan rata-rata perahu

itu adalah 12 KM/jam, setelah 5 jam hitunglah:

a. Jarak dari pelabuhan

b. jarak dari timur pelabuhan

c. jarak dari utara pelabuhan

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

7. Gambar di samping adalah bandul B yang diayun ke

kanan sebesar 30o. jika panjang tali 30 cm, hitunglah

a. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi tali (BA)

b. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi atap (BC)

…………………………………………………………

…………………………………………………………

…………………………………………………………

…………………………………………………………

…………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

30o

Atap

Tali

Bandul

A

B

C

E. Tes Formatif 2

1. Jika 0 ≤ θ ≤ π, maka cos θ identik dengan …

a. θ

θ2

2

sec

1sec − d. θ2

cos1−

b. θ

θ

sec

tan e.

θ

θθ

eccos

cos.sec

c. θ

θ

eccos

cot

2. Betnuk sederhana dari ....cossin

cossin 44

=−

−

xx

xx

a. sin3x – cos

2x d. sin x – cos x

b. sin3x + cos

3x e. sin x + cos x

c. sin2x – cos

2x

3. Bentuk yang senilai dengan 5.tan2 x + 3 adalah….

a. 2sin

52

−x

d. 2sin

32

+x

b. 2cos

52

−x

e. 5cos

22

+x

c. 3sin

52

+x

4. Bentuk yang senilai dengan bentuk x

x

sin

cos1− adalah…

a. x

x

cos1

sin

+

− d.

x

x

cos1

cos

+

b. x

x

sin1

cos

−

− e.

x

x

cos1

sin

+

c. x

x

cos1

sin

−

5. Bentuk ( ) AA22 tansin1− dapat disederhanakan menjadi…

a. 2 sin2 A – 1 d. 1 – sin

2A

b. sin2 a + cos

2 A e. cos

2 A + 2

c. 1 – cos2 A

6. Nilai dari x

x2tan1

tan.2

+ adalah…

a. 2. sin x. cos x d. 2 sin x

b. sin x cos x e. 2 cos x

c. 1 – 2 sin x

7. Bentuk sederhana dari xx

x

sintan

sec1

+

+ adalah…

a. sec x d. cosec x

b. sin x e. cos x

c. tan x

8. Diketahui xqp cos=− dan xpq sin2 = maka p2+ q

2 =…..

a. sin x + cos x d. sin2 x + sin

2 x

b. sin2 x + cos

2 x e. cos

2 x – sin

2 x

c. sin2 x – cos

2 x

9. Untuk setiap sudut β, maka bentuk (1 – sin2 β)(1 + tan

2 β) dapat disederhanakan

menjadi…

a. 1 + sin2 β d. 1

b. sin2 β – cos

2 β e. sin

2 β

c. 1 + cos2 β

10. Bentuk sederhana dari A

AA

sin1

costan

++ adalah…

a. sec A d. tan A

b. cos A e. cosec A

c. cot A

11. Koordinat kutub (8, 30o) jika dinyatakan dalam koordinat cartesius adalah….

a. ( )34,4 d. ( )34,24

b. ( )4,34 e. ( )24,4

c. ( )4,24

12. Koordinat kutub dari titik ( )3,1− adalah..

a. (2, 120o) d. (2, 330

o)

b. (2, 240o) e. (2, 360

o)

c. (2, 300o)

13. Koordinat cartesius dari titik P (1, y) dan koordinat kutubnya adalah P ( 2 , βo),

jika titik P terletak di kuadran I. maka nilai y dan β berturut-turut adalah…

a. 3 dan 30o d. 2 dan 225

o

b. 1 dan 45o

e. 1 dan 315o

c. 1 dan 135o

14. Koordinat titik P adalah (3, 30o). posisi P pada koordinat cartesius adalah..

a.

3

2

3,

2

3 d.

3

2

3,3

b.

2

3,3

2

3 e.

3,3

2

3

c.

2

3,3

15. Koordinat titik Q adalah

2

2

1,2

2

1. Posisi Q dalam koordinat kutub adalah..

a.

3,1π

d.

4,

2

1 π

b.

6,1π

e.

3,1π

c.

3,

2

1 π