Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 89
HITUNG INTEGRAL
1.Integral tak tentu (tanpa batas)
a. Rumus-rumus
1) 11, 1
1
n nx dx x c n
n 3) adx ax c
2) 1. , 1
1
n naa x dx x c n
n 4) 1 1
lnx dx dx x cx
b. Sifat-sifat Integral
1) . ( ) . ( )k f x dx k f x dx 2) ( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
Contoh :
1. 27(7 5) 5
2x dx x x c
2. 2 2 2 2( 2) ( 4 4)x x dx x x x dx = 4 3 2 5 4 31 4
( 4 ) 45 3
x x x dx x x x c
3. 3
12
1 3 5
2 2 21 2
.3 5
12
x xdx x x dx x dx x c x c
A. Pemakaian Integral tak tentu
Contoh :
Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F
f(x) = 4x + 1
2( ) ( ) (4 1) 2F x f x dx x dx x x c
F(2)=17 22(2) 2 17c
10 17 7c c Jadi F(x)= 22 7x x
b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui d y
d x dan sebuah titik pada kurva.
Contoh :
Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x)
melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut.
Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti
2 4 atau (2 4)dy
x dy x dxdx
didapat bahwa y = f(x) = (2 4)dy x dx = 24x x C
grafik melalui titik (1,5) maka 25 1 4(1) 8C C
Jadi fungsi tersebut adalah 24 8y x x
BAB 15
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 90
c. Penerapan pada Fisika
Jika diketahui persamaan kecepatan yang merupakanfungsi dari waktu (v(t)), maka
persamaan jaraknya (s) diperoleh dengan : ds
v s vdtdt
Jika diketahui persamaan percepatan merupakan fugsi waktu (a(t)) maka persamaan
kecepatannya (v(t)) diperoeh dengan : dv
a v a dtdt
Contoh :
Sebuah partikel bergerak sepanjang s meter setelah t detikdan v adalah kecepatan partikel
pada t detik. Jika v = 3 – t dan s = 0 untuk t = 4. Tentukan panjang lintasan partikel itu.
21(3 ) 3
2
dsv s vdt t dt t t c
dt
s = 0 untuk t = 4 210 3.4 .4
2c
c = - 4 Jadi , 213 4
2s t t
II. Integral Tertentu
Contoh :
Hitung integral tertentu 4
0
x dx
3
2
4
0
42
03x dx x
3 2
322 2 1
(4 0 ) (8 0) 53 3 3
Jika diperhatikan bentuk ( ) ( )
b
a
bf x dx F x
a= F(b) – F(a)
= - F(a) – F(b) = ( )
a
b
f x dx
Untuk ( ) ( ) ( ) 0
a
a
f x dx F a F a
Sifat-sifat :
1. [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
2. ( ) ( ) , k=konstanta
a a
b b
kf x dx k f x dx
3. ( ) ( ) ( ) , dengan a<c<b
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
4. b
a
dx b a
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 91
y=f(x)
Luas sebagai limit suatu jumlah
Secara umum Penggunaan integral sebagai berikut:
1. Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x0 dan sumbu X
a. Diatas sumbu X
b. Dibawah sumbu X
c. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) ; pada interval x = a dan x =
b
Contoh :
Luas daerah dibatasi oleh parabola 2 2
dan 4y x y x adalah …
A. 8 2 B. 16 2
3 C. 4 2 D.
8 2
3 E. 2
Jawab :
Titik potong kedua parabola Cara cerdik :
2 2 24 2 4x x x 2
2; 4
6
D DL D b ac
a
22 2x x 2 2
4 2 4x x x
( )
b
a
L f x dx
a b
a b
y=f(x)
a
b
( ) atau L= ( )
b
a
L f x dx f x dx
a
1( )y f x
1( )y f x
2( )y g x
b
b
1 2
a
( ) atau L= { ( ) ( )}
b
a
L y y dx f x g x dx
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 92
22
2 32
32
2
(4 2 ) 4L x dx x x D = 32 2
32 32 162
6.2 3L
8 16
3 38 2 2 2
Untuk bentuk :
4. .
3L p q
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi : y = f(x) , sumbu X , x = a dan
x = b yang diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y
2
d
c
V x dy
2( ( ))
d
a
g y dy
3. Volume benda putar yang terjadi jika yang dibatasi oleh kurva 1
( )y f x dan 2
( )y g x
diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
y
(ii) Diputar mengelilingi sumbu Y
a b
X
c
b
1( )y f x
2( )y g x
X
2 2
1 2( )
b
a
V y y dx2 2
{( ( )) ( ( ) }
b
a
V f x g x dx
2 2
1 2( )
d
c
V x x dy 2
( )x g y 1
( )x f y
= 2 2(( ( )) ( ( ))
d
c
f y g y dy
2
b
a
V y dx
2( ( ))
b
a
f x dx
(p,q)
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 93
Contoh :
23y x diputar 360 o mengelilingi Tentukan volume benda putar jika
sumbu X
Cara cerdik : 3
. .
30.
D DV
a
2
3
.9 . 9 81
1030. 1V
III. Aturan Rantai untuk mencari Turunan Fungsi
Ingat kembali rumus Deferensial fungsi
1. 1( ) '( )
n nf x ax f x anx 5. ( ) sin '( ) cosf x x f x x
2. ( ) ( ). ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x f x u x v x u x V x 6. ( ) cos '( ) sinf x x f x x
3.2
( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) '( )
( ) ( ( ))
u x u x v x u x v xf x f x
v x v x 7.
2
1( ) tan '( )
cosf x x f x
x
4. ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x
Untuk mencari turunan/deferensial untuk fungsi yang lebih rumit (majemuk) tetapi dapat
dipandang sebagai hasil dari komposisi beberapa fungsi digunakan aturan rantai turunan
fungsi.
1. Jika F(x)=(fog)(x) dengan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan , berlaku
F'(x)=f'(g(x)).g'(x)
2. Jika F(x)= (fogoho….), berlaku F'(x)=f'(h(h…..)).g'(h(..)).h'(…).
3. a. dalam notasi Leibniz:
Jika y = F(x)=fog)(x) dengan v = g(x); berlaku : .dy dy dv
dx dv dx
b. y = F(x) = (fogoho…), maka : ...
' . . .........
dy dy dv dwy
dx dv dw dx ( Dalil Rantai)
Pengertian fungsi komposisi ( majemuk ).
Jika fungsi f : A B dan g : B C maka fungsi F: A C yang melalui dua fungsi f dan g
dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi F : a ( )( ) ( ( ))g f a g f a
Contoh : 2( ) 3 2 dan ( ) cosf x x g x x maka :
2 2: ( )( ) ( ( )) (3 2) cos(3 2)F g f x g f x g f x g x x
X
g(f(a))
a F(a
)
A B C
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 94
Contoh :
Tentukan F'(x) jika diketahui F(x) = 31((2 3) )
2 3x
x
Jika F(x) = f(g(h(x))) = 3 31((2 3) ) maka ( )
2 3x f x x
x,
1( )g x x
x , dan
( ) 2 3h x x
Sehingga F'(x) = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x)
= 2
2
1 13((2 3) ) .(1 .(2)
2 3 (2 3) ).x
x x
= 2
2
1 16((2 3) ) .(1
2 3 (2 3) )x
x x
Catatan :
Dalil rantai sering digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
Nilai stasioner y = F(x) dicari dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
F(a) adalah nilai balik maksimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0
F(a) adalah nilai balik minimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0
F(a) adalah nilai balik horizontal jika F'(a) = 0 dan F''(a) = 0, dan F''(a) 0
Contoh :
Tentukan nilai stasioner dari 3( ) (2 1) 3 (2 1)f x x x dan sifatnya.
3 1
2 2( ) (2 1) 3(2 1)f x x x
1 1
2 23 1
'( ) (2 1) .2 3. (2 1) .22 2
f x x x = 1 1
2 23(2 1) 3(2 1)x x = 1
2
3(2 1) 3
(2 1)
x
x
f" (x) = 1 1
2 21 1
3. (2 1) .2 3( )(2 1) .22 2
x x
= 1
2
1
23(2 1) 3(2 1)x x
Syarat stasioner f'(x) = 0
Jadi , 3(2 2)
0 2 2 0(2 1)
xx
x 1x
Untuk x =1 maka :
F(1) = -2
F"(x) = 6 (positip)
Jadi , f(1) = -2 adalah nilai balik minimum
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 95
IV. Integral Fungsi Trigonometri
Rumus Integral Trigonometri
1. sin cosxdx x c
1sin( ) cos( )ax b dx ax b c
a
2. cos sinxdx x c 4. 2cos cotec xdx anx c
1cos( ) sin( )ax b dx ax b c
a 2 1
cos ( ) cot( )ec ax b dx ax b ca
3. 2sec tanxdx x c 5. tan sec secx xdx x c
2 1sec ( ) tan( )ax b dx ax b c
a 6. cot cos cosx ecxdx ecx c
Contoh :
3sin .cosx xdx
A. 41
4sin x c B.
41
2sin x c C.
21
4cos x c D. 1
3sin x c E.
41
3sin x c
Jawab :
3sin .cosx xdx
3cos (sin )x x dx Cara cerdik :
Misal : y = sin x 3 3sin .cos sin (sin )x xdx xd x
coscos
dy dy
dx xx dx
41
4sin x c
3
coscos ( )
dy
xx y
3 4 41 1
4 4siny dy y c x c
V. Integral Substtitusi dan Integral parsial.
a. Integral Substitusi
a. 11
1
n nx dx x c
n
11 dengan u=f(x),n -1
1
n nu du u c
n
11( ) ( ) , 1
( 1)
n nax b dx ax b c n
a n
b. cos sinxdx x c
cos sin dengan ( )udu u c u f x
c. 11. .
' 1
n nvv u dx u c
u n , u = f(x)
d. sin cos'
vv udx u c
u
cos ( ( )) ( ( ))'
nvv udx f x d f x
u
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 96
= 11( ( ))
1
nf x c
n
Contoh :
Tentukan 2 5
dx
x……misal u = 2x + 5 2
du
dx du = 2 dx dx =
1
2du
2 5
dx
x1
2
1 11
2 2 21 1
.2.2 2
cduu du u
u
= 1
2 2 5u c x c
Catatan : Ciri suatu integral substitusi adalah jika integral tersebut merupakan integral hasil
kali dua fungsi yang satu merupakan kelipatan/turunan dari fungsi yang lain.
Contoh :
2 3 32 (4 1)x x dx
A. 3 41
2(4 1)x c B. 3 21
8(4 1)x c C. 3 31
4(4 1)x c D. 51
16(4 1)x c E. 3 41
24(4 1)x c
Jawab :
Misal : 34 1y x Cara cerdik :
2
212
12
dy dyx dx
dx x 1
( ) , 1'( )( 1)
n naaf x dx f syarat n
f x n
2 3 3 2 3
22 (4 1) 2 ( )
12
dyx x dx x y
x 2 3
2 , ( ) 4 1, 3a x f x x n
= 3 41 1
6 24y dy y c Hasil =
3 41(4 1)
24x c
2
3 4
2
3 4
2(4 1)
12 (3 1)
1(4 1)
24
xx c
x
x c
1( ) ln ( )
'( )
aaf x f x c
f x
b. Integral Substitusi Trigonometri.
Suatu integral yang variabelnya memuat bentuk 2 2 2 2 2 2, atau a x a x x a diselesaikan
dengan merasionalkan dengan menggunakan substitusi variable trigonometri.
FUNGSI INTEGRAN SUBSTITUSI DENGAN HASIL SUBSTITUSI
2 2a x x = a sin t 2
1 sin cosa t a t
2 2a x x = a tan t 2
1 seca tg t a t
2 2x a x = a sec t 2
sec 1 tana t a t
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 97
Contoh :
216 x
Misal x = 4 sin t 2 216 sinx t
Jadi 2 2 2 216 16 16 sin 16(1 sin ) 4 cos 4 cosx t t t t
4 sin 4 cosx t dx tdt
2 2 1 116 4 cos .4 cos 16 cos 16 ( cos 2 ) 8 8 cos 2
2 2x t tdt tdt t dt dt tdt
= (2 )
8 8 cos 2 8 4 sin 2 8 8 sin cos2
d tt t t t c t t t c
c. Integral Parsial
Jika dalam mengintegralkan dengan substitusi tidak membuahkan hasil maka digunakanlah
integral ganda/bagian demi bagian atau integral Parsial.
Dengan memisalkan bahwa u = f(x) dan v = g(x)
Didapat du = f'(x) dx dan dv = g'(x) dx
Sehingga didapat rumus integral Parsial : .udv uv vdu
Atau : ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( )f x g x d x f x g x g x f x dx
Jika f(x) mempunyai turunan ke-n=0, maka beraku :
( ). ( ) ( ) integral I ( )f x g x dx f x g x turunan I f(x) x integral II g(x) turunan II f(x) x
integral III g(x) …… (tanda selalu berselang-seling)
Contoh :
cos 2 ...x x dx
u x du dx
1 1
2 2 cos 2 sin 2 sin 2x x dx x x xdx
= 1 1
2 4sin 2 cos 2x x x c
contoh :
Tentukan 2cos 2 ..x xdx
Turunan integral
2x cos 2x
2x 1
2sin 2 x
2 1
cos 24
x
1
sin 28
x
2 2 1 1 1
2 4 8cos 2 . sin 2 (2 . cos 2 ) 2( sin 2 )x xdx x x x x x c
1cos 2 sin 2
2dv xdx v x
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 98
= 21 1 1
2 2 4sin 2 cos 2 sin 2x x x x x c
Soal Latihan :
1.
2
4
( 2)xdx
x adalah …
a. 4
3
2 3
1 2
x x xc d.
4
3
2 3
1 2
x x xc
b. 4
2
2 3
1 2
x x xc e.
4
3
2 3
1 2
x x xc
c. 4
3
2 3
1 2
x x xc
2. 21
2
2
x x xdx
x x
a. ln x x c d. ln 2x x c
b. ln x x c e. ln x x c
c. lnx x c
3. Persamaan kurva yang memenuhi persyaratan 2
26
d y
dx kurva melalui ( 1 , 2 ) san sejajar
8x – y + 10 = 0 adalah …
a. 2( ) 3 14 9f x x x d. 2
( ) 4 3f x x x x
b. 2( ) 3 3 1f x x x e. 3
( ) 2 4f x x
c. 2( ) 2f x x x x
4. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik 29y x dan y = x + 3 adalah …
a. 9 b. 8 c. 3
4 d. 9
2 e. 8
3
5. 4
2
1
1...
xdx
x
a. 3 4 b. 1 4 c. 1 2 d. 4 5 e. 4 6
6. Luas daerah yang dibatasi oeh grafik 4 2 24 dan 5y x x y x adalah
a. 3
464 b. 5
421 c. 5
620 d. 5
650 e. 6
556
7. Volume daerah yang dibatasi oleh 2 2
dan 2y x y x diputar pada sumbu x adalah
a. 1
225 b. 3
420 c. 2
523 d. 3
56 e. 1
35
8. Gradien garis singgung kurva dititik (x,y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva melalui ( 4 , 7 )
memotong sumbu y di :
a. ( 0 , 11 ) b. ( 0 , 10 ) c. ( 0 , 9 ) d. ( 0 , 8 ) e. ( 0 , 7 )
9. 8 cos(2 )x dx
a. 8 (2 )tg x c d. 4 sin(2 )x c
b. 8 cos(2 )x c e. 4 cos(2 )x c
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 99
c. 8 sin(4 )x c
10. 3 sec 3 cot(2 ) cos (2 ) ..tg x x x ec x dx
a. 4
cot(3 ) sin(2 )3
x x c d. 1 1
(3 ) ( ) (2 )3 2
tg x tg x c
b. 1 1
cos 3 ( ) cos (2 )3 2
ec x ec x c e. 2 1
sec(3 ) ( ) cos (2 )3 2
x x ec x c
c. 1 1
sec(3 ) ( ) cos(2 )3 2
x x c
11. 28 sin 7 .sin ...x xdx
a. 1 2
sin 8 sin 64 3
x x c d. 1 2
sin 8 sin 62 3
x x c
b. 1 2
sin 8 sin 62 3
x x c e. 1 2
sin 8 sin 62 3
x x c
c. 1 2
sin 8 sin 62 3
x x c
12. 6sin cos ,x xdx adalah
a. 1
sin 78
x c b. 1
sin 76
x c c. 1
cos 77
x c d. 1
sin 77
x c e. 1
sin 75
x c
13. 2 / 3(2 1) , ...x dx adalah
a. 33
(2 1) 2 110
x x c d. 32
(2 1) 2 110
x x c
b. 32
(2 1) 2 110
x x c e. 32
(2 1) 2 110
x x c c. 33
(2 1) 2 110
x x c
14. sin ...x xdx
a. –x cos x + sin x + c d. –x tg x - sin x + c
b. x sin x - sin x + c e. –x cos x + tg x + c
c. –x cos x + sin x + c
15. 1 ...x x dx
a. 22 4
( 1) 1 ( 1) 13 15
x x x x x c
b. 23 4
( 1) 1 ( 1) 12 15
x x x x x c
c. 22 4
( 1) 1 ( 1) 13 15
x x x x x c
d. 22 4
( 1) 1 ( 1) 13 15
x x x x x c
e. 22 4
( 1) 1 ( 1) 13 15
x x x x x c
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 100
1. Diketahui
3
225123
a
dxxx , nilai a2
1
3
23
2
2
3
3
a
xxx =25
252
2
3
333
2
23
3
3 2323aaa
25392723
aaa
253923
aaa
1423
aaa
01423
aaa
2 1 1 1 -14 2a
2 6 14 1
2
1a
1 3 7 0 ( D )
2. Nilai
2
0
cos.2sin xx dx=
=0
sin3sin2
1xx dx
0
cos2
13cos
6
1xx
0cos2
103cos
6
1cos
2
13cos
6
1
00000cos
2
10cos
6
1180cos
2
1540cos
6
1
12
11
6
11
2
11
6
1
2
1
6
1
2
1
6
1
3
4
6
8
6
3131 ( E )
3. Hasil x5
cos dx
= 4cos.cos x dx
=22
cos.cos xx dx
=22
sin1.cos xx dx
= dxxxx sinsin21cos2
= xxxxx42
sincossincos2cos
= xxx53
sin5
1sin
3
2sin C
= xxx53
sin5
1sin
3
2sin C ( D )
4. xx cos12 dx
)(
21x
xcos
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 101
x2 xsin
2(+) xcos
0 xsin
= xxxxxx sin2cos2sinsin2 +C
= Cxxxxx cos2sinsin2
= Cxxxx cos2sin12 ( B )
5. 3
240223
p
dxxx
40223
32dxxx
p
4022
2
3
33
23dxxxx
p
40232332323
ppp
402692723
ppp
4022423
ppp
016223
ppp
-2 -1 1 -2 -16 2p
2 -6 16
-1 3 -8 0 12
1p
( C )
6.
Hasil dari2
5cos.3sin
o
xdxx …
2
0
53sin53sin2
1dx
2
0
2sin8sin2
1dxxx
2
0
2sin2
18sin
2
1xdxx
90
0
2cos4
18cos
16
1xx
0cos
4
10cos
16
1180cos
4
1720cos
16
1
14
11
16
11
4
11
16
1
16
41
16
41
16
55
16
10 ( A )
7. Nilai
2
1
0
...sin2 xdxx
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 102
2
1
2
1
0 0
sin2 xdxxdx
xx cos0
2 2
1
0cos090cos2
1 2
2
14
1 2 ( C )
8. Nilai ...1sin2
dxxx
x
xdxx
2
11sin
2
2
11sin2
1 22xdx
cx 1cos2
1 2 ( C )
9. ...2sin xdxx
x
x
xx
2sin4
10
2cos2
11
2sin
cxxxjadi 2cos2
12sin
4
1 ( C )
10. 2
0
22...cossin dxxx
2
0
2cos xdx
2
02
)2(2cos
xdx
2
0
)2(2cos2
1xxd
90
0
2sin2
1x
0.2sin2
190.2sin
2
1
0
0.2
10.
2
1
( C )
11. Hasil ...
2
1cos2 xdxx
x2 x
2
1cos
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 103
2 x
2
1sin2
0 x
2
1cos4
cxxx
2
1cos8
2
1sin4 ( A )
12. Hasil ...92
dxxx
dxxx2
1
29
x
xdxx
2
99
2
2 2
1
2299
2
12
1
xdx
2
3
29
3
2.
2
1x
cxx22
993
1 ( A )
13. Nilai
1
0
6...15 dxxx
5x 61 x
5 71
7
1x
0 81
56
1x
1
0
871
56
51
7
5xxx
878701
56
5010
7
511
56
5111
7
5
6
5000
56
5 ( C )
14. Hasil dari ...4coscos xdxx
dxxx 3cos5cos2
1
xdxx 3cos2
15cos
2
1
cxx 3sin6
15sin
10
1 ( B )
15. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva2
xy dan garis 6yx adalah . . satuan
luas.
Jawab:
xyyx 66
2xy
2
6 xx
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 104
6,1,1
602
cba
xx
25
6.1.41
4
2
2
D
D
acbD
6
520
6
125
6
5.25
1.6
2525
62
L
L
L
L
a
DDL
( C )
16. Luas daerah yang diarsir pada gambar
adalah …satuan luas.
x=3
Jawab:
dxxxxx
3
1
223456
3
1
28102 dxxx
31853
2 23xxx
8)1(53
224)9(5)27.(
3
2
853
2244518
3
233
3
26 ( D )
17. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola
y= x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis
y = 4 adalah …satuan luas.
562
xxy
342
xxy
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 105
Jawab:
xy
xy
xy
2
2
2
12
120
202
atauxx
xx
xx
6
14
6
25
6
116
6
)2163(6
2
14
3
88
2
12
3
14
3
880
2
12
3
14
2
12
4)2(4
1
0
2
1
0
2
1
2
L
L
L
L
L
L
xxL
dxxdxxL
( A ) 18. Volume benda putar bila daerah yang
dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4
diputar 360o mengelilingi sumbu y
adalah….satuan volume.
Jawab:
y = -x2 + 4 y = -2x + 4
x2 = 4 – y 2x = 4 – y
x = 2 – ½y
yy
42
42
y-4 2
)y 8y - (162
yyy 4168162
40
0)4(
042
atauyy
yy
yy
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 106
3
8
3
168
12
648
12
1
2
1
4
1
4
1244
4
1244
2
124
4
0
32
4
0
2
4
0
2
4
0
2
4
0
2
V
V
V
yyV
dyyyV
dyyyyV
dyyyyV
dyyyV
( D )
19. Volume benda putar yang terjadi jika
daerah yang dibatasi oleh kurva 2
1
2 xy ,
garis xy2
1dan garis x = 4 diputar 360
o
terhadap sumbu x adalah …satuan volume.
Jawab:
xy 2 xy2
1
xx
xx
xx
44
10
4
14
2
12
2
160
44
10
atauxx
xx
3
226
12
1632
12
12
4
14
2
12
4
0
32
4
0
2
4
0
22
V
V
xxV
dxxxV
dxxxV
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 107
( C )
20. Volume benda putar yang terjadi bila darah
yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan
sumbu x dari x = 1, x = -1, diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah…
Jawab:
15
16
13
2
5
11
3
2
5
1
13
2
5
11
3
2
5
1
3
2
5
1
12
1
1
1
35
1
1
24
1
1
22
V
V
V
xxxV
dxxxV
dxxV
( C )
Top Related