Bila T1 adalah suatu transformasi dari titik A(x,y) ke titik A(x,y) dilanjutkan dengan transformasi T2 adalah transformasi dari titik A(x,y) ke titik A(x,y) maka dua transformasi berturut-turut tsb disebut Komposisi Transformasi dan ditulis T2 o T1
a Misalkan T1 = b
c dilanjutkan dengan T2 = d maka T2OT1adalah : a c
b d c
2T1 b
T2
d
1
3
a
Contoh :Transformasi titik A dengan R90 dilanjutkan denganR45 Maka A11 adalah .
A1 A A11450 900
P(0,0)
Diketahui garis g dan h dan segitiga ABC seperti pada gambar. Tentukan Mg[Mh(ABC)]
A
g
CB
h
A
C
Mg[Mh(ABC)] berarti kita refleksikan dahulu ABC terhadap garis h menjadi ABC. Karena titik B berada di garis h, maka B=B Setelah itu barulah refleksikan ABC terhadap garis g menjadi ABC
B
A
g
C B C A h
Bila T1 dinyatakan dengan matriks a
p q dan T2 dengan matriks r s
b c d
maka dua Transformasi berturut-turut mulamula T1 dilanjutkan dengan T2 ditulis T2 o T1 =
p q r s
a b c d
Contoh Soal:
Matriks
yang
bersesuaian
dengan
dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor
skala 3 dilanjutkan dengan refleksiterhadap garis y = x adalah
Pembahasan M1= Matrik dilatasi skala 3 adalah
3 0 0 3
M2 = Matrik refleksi terhadap y = x adalah 0 1
1 0
Matriks
yang0 1 1 0
bersesuaian3 0 0 3
dengan
M1
dilanjutkan M2 ditulis M2 o M 1 =
=
0 0 0 3 3 0 0 0
= 0 3 3 0 0 3 3 0
Jadi matriknya adalah
Andaikan F dan G dua transformasi, dengan F:V G:V V V
Maka produk atau komposisi dari F dan G yangditulis sebagai G 0 F didefinisikan sebagai:
( G 0 F ) (x) = G [ F (x) ] . x VJika F : V V dan G : V V masingmasing suatu
transformasi, maka hasil kali H=G0F:V V adalah juga suatu transformasi.
Untuk membuktikan bahwa H injektif, harus kita Untuk perlihatkan bahwa kalau PQ maka H(P)H(Q) ini harus dibuktikan dua hal yaitu: Andaikan H(P)=H(Q), maka G[F(P)]=G[F(Q)] 1) H Surjektif G injektif maka F(P)=F(Q). Karena Oleh karena F injektif maka pula P=Q ini bertentangan dengan pengandaian bahwa PQ. Jadi pemisalan bahwa H(P)=H(Q) tidak benar. Sehingga transformasi maka Karena F haruslah H(P)H(Q)daerah nilai F adalah Jadi H injektif seluruh bidang V, dan daerah asal G juga seluruh Vsebab G suatu transformasi. Ambil y V, apakah ada x sehingga H(x) = y? Akan dibuktikan y = H(x). Injektif transformasi maka y V z V y = G(z). Karena G Karena F suatu transformasi maka pada z x V z = F(x). Maka y = G[F(x)] atau y = G o F (x). Jadi y = H(x). Jadi H surjektif.
2) H
Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi F : V V yang didefinisikan sebagai berikut X g maka T (X) = x Jika x g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g yang tegak lurus.x
T(X)
Ambil T(X) kemudian transformasikan Misalkan sebagai berikut:
X kedua.
g
x(T o Mh)(x)
T(X)
(Mh o T)(x)
Y
gX h
Ambil sebuah garis h g dan Mh adalah refleksi dari garis h, jadi hasil kali Mh[T(x)]= Y adalah suatu tranformasi pula sehingga : Y = (Mh o T)(x).
Andaikan x = ( x, y ) maka T (x) = ( x,y) dan Mh [T(x)] = (-x, y). Oleh karena Mh[T(x)] = T[Mh(x) maka (Mh o T)(x) = (T o Mh )(x)
Akan tetapi sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku. Untuk memperlihatkan ini ambil lagi garis g dan garis h yang tidak tegak lurus.
h
x
T(X)(T o Mh)(x)
g
X(Mh o T)(x)
Tampak bahwa Mh[T (x)] T[ Mh(x)] . Jadi (Mh o T)(x) (T o Mh)(x)
Top Related