LIMIT DAN KEKONTINUAN
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi
ST, MT1
2
LIMIT DAN KEKONTINUAN
3
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
1
1)(
2
x
xxf
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,seperti pada tabel berikut
x
f(x)
0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011
21.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1
4
1
º2
x x
f(x)
f(x)
Secara grafik
Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1
Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut
21
1lim
2
1
x
xx
Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1
12
x
x
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berartibahwa
Lxfcx
)(lim
bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L
5
853lim1
xx
Contoh
1.
2. 2
)2)(12(lim
2
232lim
2
2
2
x
xx
x
xxxx
512lim2
xx
3
3
3
9lim
3
9lim
99
x
x
x
x
x
xxx
9
)3)(9(lim
9
x
xxx
63lim9
xx
3.
4. )/1sin(lim0
xx
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x
)/1sin( x
/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2
1 0 -1 0 1 0 -1 0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
6
Lxfcx
)(lim |)(|||00,0 Lxfcx
Definisi limit
jika
c
º
Untuk setiap 0
L
c
ºL
L
L
Terdapat sedemikian sehingga0
c
ºL
||0 cx |)(| Lxf
c c c
ºL
7
)(lim xfcx
Limit Kiri dan Limit Kanan
cx
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,
)(lim xfcx
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,
c x
LxfLxfLxfcxcxcx
)(limdan)(lim)(lim
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
notasi
notasi
Jika )(lim xfcx
)(lim xfcx
maka tidak ada)(lim xfcx
8
1,2
10,
0,
)(2
2
xx
xx
xx
xf
)(lim0
xfx
)(lim1
xfx
Contoh Diketahui
a. Hitung
)(lim2
xfx
d. Gambarkan grafik f(x)
Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=0
c. Hitung
b. Hitung Jika ada
1.
9
)(lim0
xfx
0lim 2
0
x
x
)(lim0
xfx
0lim0
xx
0)(lim0
xfx
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=1
)(lim1
xfx
1lim1
x
x
)(lim1
xfx
32lim 2
1
x
x
)(lim)(lim11
xfxfxx
)(lim1
xfx
)(lim2
xfx
62lim 2
2
x
x
Karena Tidak ada
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=2
10
Untuk x 02)( xxf
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk x 1
22)( xxf
Grafik: parabola
1
3
º
di x=1 limit tidakada
Grafik f(x)
11
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
1,
1,3)(
2 xcx
xcxxf
mempunyai limit di x=-1
Jawab
Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan
)(lim1
xfx
ccxx
33lim1
)(lim1
xfx
ccxx
1lim 2
1
Agar limit ada 3+ c=1-c
C=-1
12
)(lim3
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.
f(-3)
f(-1)
f(1)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Soal Latihan
13
Soal Latihan
1,2
1,1)(
2
2
xxx
xxxf
)(lim1
xfx x
f x
1lim ( )
x
f x
1
lim ( )
xxxg 32)(
x
g x
2lim ( )
x
g x
2
lim ( )
xg x
2lim ( )
2
2)(
x
xxf
x
f x
2
lim ( )
x
f x
2
lim ( )x
f x2
lim ( )
1. Diketahui :
a.Hitung dan
b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya
2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :
3. Diketahui , hitung ( bila ada )
a. b. c.
a. b. c.
B.
14
GxgLxfaxax
)(limdan)(lim
GLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
Sifat limit fungsi
Misal
(limit dari f , g ada dan berhingga)
maka
LGxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
0,)(lim
)(lim
)(
)(lim
Gbila
G
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
2.
3.
4.n
ax
n
axxfxf ))(lim())((lim
,n bilangan bulat positif
nn
ax
n
axLxfxf
)(lim)(lim5. bila n genap L harus positif
1.
15
222 )1(1
1sin)1()1(
x
xxx
)()()( xhxgxf
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
1
1sin)1(lim 2
1
xx
x
Prinsip Apit
Misal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh Hitung
Karena 1)1
1sin(1
x
dan0)1(lim 2
1
x
x0)1(lim, 2
1
x
x
01
1sin)1(lim 2
1
xx
x
maka
16
Limit Fungsi Trigonometri
1sin
lim.10
x
xx
1coslim.20
xx
1tan
lim.30
x
xx
Contoh
2.2
2tan5
4.4
4sin3
lim2tan5
4sin3lim
00
x
xx
x
xx
xxxx
2.2
2tanlim5
4.4
4sinlim3
0
0
x
xx
x
x
x
3
7
2.2
2tanlim5
4.4
4sinlim3
02
04
x
xx
x
x
x
x 0 ekivalen dgn 4x 0
17
Soal Latihan
t
tt sin1
coslim
2
0
t
ttt sec2
sincotlim
0
t
tt 2
3tanlim
2
0
tt
ttt sec
43sinlim
0
Hitung
1.
2.
3.
4.
x
xx 2sin
tanlim
05.
18
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga
maka,0)(limdan0)(limMisal
xgLxfaxax
)(
)(lim
xg
xfax
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiii
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif.
g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.
19
Contoh Hitung
1
1lim
2
1
x
x
x
a.1
1lim
2
2
1
x
x
x x
x
x sinlim
b. c.
Jawab
a. 021lim 2
1
x
x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karenax 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif
Sehingga
1
1lim
2
1 x
x
x
b. 021lim 2
1
x
x
akan menuju 0 dari arah atas, karenax -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
1)( 2 xxg
12 x
Sehingga
1
1lim
2
2
1 x
x
x
20
c.
0lim
xx
dan
f(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)
x
x
x sinlim
sehingga
Karena
21
Limit di Tak Hingga
Lxfx
)(lima. jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga
L
x
Contoh Hitung
42
52lim
2
2
x
xxx
Jawab
)2(
)1(lim
2
2
42
522
x
xx
x x
x
42
52lim
2
2
x
xxx
2
2
42
521
lim
x
xxx
= 1/2
22
Lxfx
)(lim jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
x
Contoh Hitung
42
52lim
2
x
xx
42
52lim
2
x
xx
Jawab
)2(
)(lim
2
2
42
522
x
xx
x x
x
)2(
)(lim
2
2
4
52
x
xx
x
= 0
23
Contoh Hitung
xxxx
3lim 2
Jawab :
Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )
xxxx
3lim 2)
3
3(3lim
2
22
xxx
xxxxxx
x
xxx
xxxx
3
3lim
2
22
xxx
xx
3
3lim
2
xx
x
xx
x
x
)1(
)1(lim
2312
3||2 xx
xx
x
xx
x
x
2
31
3
1
)1(lim
2
1
)11(
1lim
231
3
xx
x
x
24
Soal Latihan
limx
x
x
3
3
3
limx x 2
2
3
4
)1(lim xxx
limx
x
x 1 2
1
1lim
2
x
xx
limx
x x
x
2
1
.
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
25
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i) f(a) ada
ada)(lim xfax
(ii)
(iii) )()(lim afxfax
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a
a
(i)
ºf(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
26
a
(ii)
1L2L
Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a)f(a) ada
)(lim xfax
L ada
Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
27
(iv)
a
f(a)
f(a) ada
)(lim xfax
ada
)()(lim afxfax
f(x) kontinu di x=a
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia
º
28
contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya
2
4)(
2
x
xxf
2,3
2,2
4)(
2
x
xx
xxfa. b.
2,1
2,1)(
2 xx
xxxfc.
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinudi x=2
b. - f(2) = 3
42lim)2(
)2)(2(lim
2
4lim
22
2
2
xx
xx
x
xxxx
)2()(lim2
fxfx
-
-
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2
29
c. 312)2( 2 f-
- 31lim)(lim22
xxf
xx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2()(lim2
fxfx
-
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
30
Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2,1
2,)(
2 xax
xaxxf
Kontinu di x=2
31
Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
)2()(lim2
fxfx
aaxxfxx
2lim)(lim22
1412)2( 2 aaf
2 + a = 4a – 1-3a = -3
a = 1
f kontinu kanan di x=2
)2()(lim2
fxfx
1412)2( 2 aaf
141lim)(lim 2
22
aaxxf
xx
Selaludipenuhi
32
1. Diketahui
1,22
1,1)(
2
xx
xxxf
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1
Soal Latihan
2. Agar fungsi
2,3
21,
1,1
)(
xx
xbax
xx
xf
kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?
3. Tentukan a dan b agar fungsi
2,42
2,2
4)(
2
xx
xx
bxaxxf
kontinu di x = 2
33
Kekontinuan pada interval
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bilaf(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ]bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakanf(x) kontinu ( dimana-mana ).
Diskontinu
Dicirikan dengan adanya loncatan/ “gap” padagrafik fungsi.
Terdapat 3 jenis diskontinuitas:
1. tak hingga di a jika limitnya (kiri dan kanan) takhingga (tidak ada);
2. loncat berhingga di a jika limit kiri dan kanannyaberhingga namun tak sama;
3. dapat dihapuskan / dihilangkan di a jika nilai
fungsi dan limitnya ada, tetapi tidak sama,
)()(lim afxfax
f(x) Diskontinu yg dapat dihapuskan di a
Jika ada fungsi F sedemikian sehingga
F(x) = f(x) untuk semua x a didalamdomain dari f
Fungsi baru F kontinu di a
Contoh
0jika0
0jikasin
)(x
xx
xxh
36
f xx x
x( )
2 3
3
f xx
x( )
2
3
4
8
f xx
x( )
| |
2
2
94
1)(
2
x
xxf
24)( xxxf
A. Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu
Soal Latihan
1.
2.
3.
1.
2.
FUNGSI
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi
ST, MT1
FUNGSI
PENGERTIAN FUNGSI
Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong.Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkansetiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
ATURAN :
setiap anggota A harus habis terpasang dengananggota B.
tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
A B
ILUSTRASI FUNGSI
A f B
Input Kotak hitam Output
Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain,B disebut kodomain. Elemen a A disebut argumen dan f(a) B dise-
but bayangan(image) dari a.
Himpunan Rf:= { y B : y = f(x) untuk suatu x A } disebut daerahjelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S A maka himpunanf(S) := { f(s) : s S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.
ILUSTRASI FUNGSI (LANJ)
Fungsi
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangmempunyai 2 kawan.
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangtidak mempunyai kawan.
A B
GRAFIK FUNGSI
Misalkan f: A B. Grafik fungsi f adalahhimpunan pasangan terurut {(a,f(a) | a A}
Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbgf(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:
A
B
CONTOH FUNGSI1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2+x+1.
2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana
fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.
3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua
kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia
maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.
4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan
perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku btsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada
pada buku x.
5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif
Fungsi f : A B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S.
Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.
6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?
0jika
0jika:)(
xx
xxxf
• CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalamsuatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkanuntuk menyimpan data dengan 100 bit.
PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkanke atas, yaitu dibuthkan 100/8 = 12.5 = 13 byte.
• CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, datadisusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yangdapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500kilobyte per detik.
PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar
500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapatditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu
300,000,000/424 = 70,754 ATM.
OPERASI ALJABAR FUNGSI
Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g
didefinisikan oleh :
(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x)g(x).
Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2 dan
g(x) := x – x2. Diperoleh (f+g)(x) = x,
(fg)(x) = x3-x4.
Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dankodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap xdalam domainnya.
Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2)sama ?
FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF)
Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila[f(x) = f(y) → x = y ], atau [x y → f(x) f(y)].
Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:x y [f(x) = f(y) x = y] atau x y [x y → f(x) f(y)]
maka fungsi f disimpulkan satu-satu.
Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidaksatu-satu.
A B A B
satu-satu tidak satu-satu
• CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} denganf(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?
PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasanganganda pada A mk fungsi ini injektif.
• CONTOH: Apakah fungsi f: R R dengan f(x) = x2 satu-satu ?
PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadiada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.
• CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?
PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh
x + 5 ≠ y + 5 g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.
FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF)
Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y B
terdapat x A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habisterpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikankebenaran kuantor berikut:
y B x A sehingga y = f(x)
maka f surjektif. Namun, bila ada y B sehingga setiap x A, f(x)≠ y
maka f tidak surjektif.
A B A B
kepada tidak kepada
• CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke Rsurjektif ?
PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilanganreal. Maka untuk setiap bilangan real x, berlakux2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif.
• CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dariR ke R surjektif?
PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka
y = x-3 x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi hsurjektif.
FUNGSI BIJEKTIF• Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif.
Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.
• CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4,f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.
PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif.Jadi fungsi ini bijektif.
A B
fungsi bijektif
INVERS FUNGSI
Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi
yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satuelemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimanaf -1 : B → A. DKL,
y = f(x) ↔ x = f -1 (y)
Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
A B
b=f(a)
f(a)
f -1(b)
f -1(b)=a
• CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} denganaturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya,tentukan inversnya.
PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel
dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.
• CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2.Apakah f invertibel.
PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif
maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.
KOMPOSISI FUNGSI
Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi fungsi fdan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A Cdengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)).
Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi
f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.
A B C
g f
f◦g
Barisan dan Deret
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi ST,
MT1
12/09/2014 Matematika 2 2
Barisan
Barisan Tak Hingga
Kekonvergenan barisan tak hingga
Sifat – sifat barisan
Barisan Monoton
Matematika 2 3
Barisan Tak Hingga
Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan
−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.
Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam
bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku
ke–2 dan an menyatakan suku ke–n.
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana
daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga
adalah
1nna
12/09/2014 Matematika 2 4
Barisan Tak Hingga
Contoh − contoh barisan
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba
–coba.
...,8,6,4,2
1n
n2
...,6
4,
5
3,
4
2,
3
1
1nn2
n
12/09/2014 Matematika 2 5
Kekonvergenan barisantak hingga
Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila
atau
{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga
untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan
L akan kurang epsilon}
Lalimnn
La,Nn0N0n
na
12/09/2014 Matematika 2 6
Kekonvergenan barisantak hingga
Contoh 1Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena
maka divergen
1n
2
1n
n
1n
nlim
2
n
1n
2
1n
n
12/09/2014 Matematika 2 7
Kekonvergenan barisantak hingga
Contoh 2Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk
menyelesaikannya digunakan teorema berikut :
Misal ,bila maka
untuk x R.
1n
n
2
e
n
n
2
n e
nlim
nfan Lxflim
x
Lnflim
n
12/09/2014 Matematika 2 8
Kekonvergenan barisantak hingga
Jawaban (lanjutan)
Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka
Berdasarkan teorema maka .
Karena nilai limitnya menuju 0, maka
Konvergen menuju 0.
xx e
x2lim
x
2
e
xxf
x
2
x e
xlim
0e
nlim
n
2
n
1n
n
2
e
n
0e
2lim
xx
12/09/2014 Matematika 2 9
Kekonvergenan barisantak hingga
Contoh 3Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda
akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap
tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan
maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n nilai
, akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.
1n
ncosn
1
ncoslimn
0n
1limn
ncos.n
1
12/09/2014 Matematika 2 10
Sifat – sifat barisan
Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu
konstanta, maka
1.
2.
3.
4.
5.
kklimn
nnnnalimkaklim
nnnnnnn
blimalimbalim
nnnnnnn
blimalimbalim
0blim,blim
alim
b
alim
nn
nn
nn
n
n
n
12/09/2014 Matematika 2 11
Barisan Monoton
Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan
menjadi 4 macam :
1. Monoton naik bila
2. Monoton turun bila
3. Monoton tidak turun bila
4. Monoton tidak naik bila
1nnaa
1nnaa
1nnaa
1nnaa
12/09/2014 Matematika 2 12
Deret Tak Hingga
Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a1+a2+…+an .
Notasi deret tak hingga adalah .
Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan
barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :
Dan
1nn
a
1n na
nn
Slim
11aS
3213aaaS
n321n
a...aaaS
212aaS
....,S...,,S,SS k211nn
12/09/2014 Matematika 2 13
Deret Tak Hingga
Contoh
Selidiki apakah deret konvergen ?
Jawaban
Karena , maka adalah deret
konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu
deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.
1k
1
k
1
1k
1n
n
1n
11S
n
11n
nlimSlimnnn
1k
1
k
1
1k
12/09/2014 Matematika 2 14
Deret Suku Positif
Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-
sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang
sering digunakan :
1. Deret geometri
2. Deret harmonis
3. Deret-p
Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral
1nn
a
12/09/2014 Matematika 2 15
Deret Suku Positif
Deret geometri
Bentuk umum :
Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :
Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga
. untuk r 1. Kekonvergenan dari deret geometri
bergantung pada nilai r.
....... 1321
1
nk
k
rarararaara
1n32
nra...rararaaS
n1n32
nrara...rararaSr
n
nn raaSrS
r1
r1aS
n
n
12/09/2014 Matematika 2 16
Deret Suku Positif
Deret geometri(lanjutan)
Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret
geometri :
–Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , sehingga deret
divergen
–Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke
–Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen
nalimn
0rlim n
n
r1
a
n
nrlim
12/09/2014 Matematika 2 17
Deret Suku Positif
Deret harmonis
Bentuk umum :
Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari
Sn nya, yaitu
1n n
1
n
1....
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11Sn
.....16
1....
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
12/09/2014 Matematika 2 18
Deret Suku Positif
Deret harmonis (lanjutan)
Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen.
2
1....
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
....16
1....
16
1
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
11S n2
2
n1lim
n
2
n1
12/09/2014 Matematika 2 19
KedivergenanDeret Tak Hingga
Bila deret konvergen, maka .
kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah
Bila ,maka deret akan divergen.
Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,
maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu
dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.
1nna 0alim n
n
0alim nn
1nna
12/09/2014 Matematika 2 20
KedivergenanDeret Tak Hingga
Contoh
Periksa apakah konvergen ?
Jawaban
Jadi divergen
n12
1lim
n
1n 1n2
n
1n2
nlimalim
nn
n
1n 1n2
n
02
1
12/09/2014 Matematika 2 21
Uji Deret Positif
1. Uji integral
2. Uji Banding
3. Uji Banding limit
4. Uji Rasio
5. Uji Akar
12/09/2014 Matematika 2 22
Uji Deret Positif
Uji integral
Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun,
dimana , maka integral tak wajar dari f(x)
adalah .
Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak
ada, maka deret divergen.
Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret
konvergen.
1nna
Bnnfan
dxxflimdxxfb
1b1
12/09/2014 Matematika 2 23
Deret Suku Positif
Contoh 1: Uji Integral Deret–p
Bentuk umum :
Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga
merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan
bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa
deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu
Misal maka .
Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1
sampai .
1npn
1
pn
n
1nfa
px
1xf
12/09/2014 Matematika 2 24
Deret Suku Positif
Deret–p (lanjutan)
Integral tak wajar dari f(x) adalah
Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar
tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen.
Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga
akan divergen.
dxx
1lim
b
1pb
dxx
1
1p
b
1
p1
b p1
xlim
p1
1
p1
blim
p1
b
12/09/2014 Matematika 2 25
Deret Suku Positif
Deret–p (lanjutan)
Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :
– Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen
– Bila 0 p<1, maka ,sehingga deret
divergen
– Bila p>1, maka ,
sehingga deret konvergen.
1pb b1p
1
1p
1lim
p1
1
p1
blim
p1
b
p1
1
p1
blim
p1
b
1p
1
12/09/2014 Matematika 2 26
Uji Deret Positif
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan deret
Jawaban
Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji
integral yaitu :
Misal , maka
Perhitungan integral tak wajar :
dxxlnx
1lim
b
2b
2nnlnn
1
nlnn
1nfan
xlnx
1)x(f
dxxlnx
1
2
b2
bxlnlnlim
12/09/2014 Matematika 2 27
Uji Deret Positif
Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral
tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga
divergen.
2nnlnn
1
12/09/2014 Matematika 2 28
Uji Deret Positif
Uji Banding
Bila untuk n N, berlaku bn an maka
a. Bila konvergen, maka juga konvergen
b. Bila divergen, maka juga divergen
Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan
suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret
pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.
Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret
pembandingnya adalah yang bersifat divergen.
1nnb
1nna
1nna
1nnb
12/09/2014 Matematika 2 29
Uji Deret Positif
Contoh 1
Uji kekonvergenan
Jawaban
Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih
yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.
Dapat dipilh sebagai deret pembanding.
Karena dan merupakan deret
p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen
1n 2n
1
1n n3
1
1n n3
1
n3
1
2n
1
12/09/2014 Matematika 2 30
Uji Deret Positif
Contoh 2
Uji kekonvergenan
Jawaban
Dengan uji banding, digunakan deret pembanding ,
dimana . Karena merupakan deret
konvergen, maka juga konvergen.
1n2 5n
3
1n2n
3
22 n
3
5n
3
1n2n
3
1n2 5n
3
12/09/2014 Matematika 2 31
Uji Deret Positif
Contoh 3
Uji kekonvergenan
Jawaban
Karena untuk , maka deret pembanding yang
digunakan adalah .Karena dan
merupakan deret konvergen, maka juga konvergen
12
1
n n
ntg
2, 1
ntgn
1n22
n
2
2
2
1
nn
ntg
1n22
n
12
1
n n
ntg
12/09/2014 Matematika 2 32
Uji Deret Positif
Uji Banding Limit
Misal dan , merupakan deret suku positif dan
, berlaku
– Bila 0 < L < , maka kedua deret bersama-sama konvergen
atau bersama-sama divergen
– Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka .
juga konvergen
– Bila L = dan adalah deret divergen maka .
juga divergen
1nna
1nnb
n
n
n b
alimL
1nnb
1nna
1nnb
1nna
12/09/2014 Matematika 2 33
Uji Deret Positif
Contoh 1
Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Deret pembanding yang digunakan adalah dan
diketahui sebagai deret divergen ( sebagai ).
Karena . dan deret pembandingnya
divergen, maka . juga divergen.
1n23
2
3nn5
n
1n1n
3
2
n5
1
n5
n
1nnb
13nn5
n5limL
23
3
n
1n23
2
3nn5
n
12/09/2014 Matematika 2 34
Uji Deret Positif
Contoh 2Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Deret pembanding yang digunakan adalah dan
diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).
Karena . dan deret
pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama
divergen .
1i2 5n
1
1n1n
2 n
1
n
1
11n
nlim
5n
nlimL
2
2
n2
2
n
12/09/2014 Matematika 2 35
Uji Deret Positif
Uji Rasio
Misal merupakan deret suku positif dan
maka berlaku
– Bila <1, maka deret konvergen
– Bila >1, maka deret divergen
– Bila =1, maka uji gagal
1nna
n
1n
n a
alim
12/09/2014 Matematika 2 36
Uji Deret Positif
Contoh
Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Dengan uji rasio diperoleh
Karena = 0 < 1 , maka konvergen.
1
2
!i n
n
0n)1n(
)1n(lim
n
!n
!)1n(
)1n(lim
2
2
n2
2
n
n
1i
2
!n
n
12/09/2014 Matematika 2 37
Uji Deret Positif
Uji Akar
Misal merupakan deret suku positif dan ,
maka berlaku
– Bila r < 1, maka deret konvergen
– Bila r > 1, maka deret divergen
– Bila r = 1, maka uji gagal
1nna n
nn
alimr
1nna
1nna
12/09/2014 Matematika 2 38
Uji Deret Positif
Contoh
Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Dengan uji akar diperoleh
Karena , maka konvergen.
1
2
in
n
e
e
2
e
2limr n
n
n
n
n
1in
n
e
21
e
2r
12/09/2014 Matematika 2 39
Uji Deret Positif
Panduan Pemilihan uji deret
Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka
dapat dipilih uji banding atau uji banding limit
Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan
atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n
Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –
sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral
12/09/2014 Matematika 2 40
Deret Ganti Tanda
Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk
menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret
yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk
. dengan an> 0 untuk semua n dilakukan uji
tersendiri.
Notasi deret ganti tanda adalah . atau .
Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila
a. (monoton tak naik)
b.
1
1)1(i
nn a
1
)1(i
nna
n1n aa0
0alim nn
...aaaa 4321
12/09/2014 Matematika 2 41
Deret Ganti Tanda
ContohTentukan kekonvergenan deret
Jawaban
merupakan deret ganti tanda
dengan rumus suku ke–nnya adalah .
Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :
a. .
b. Nilai
1n
1n
1nn
3n1
1n
1n
1nn
3n1
n1n aa0
1nn
3nan
0alim nn
12/09/2014 Matematika 2 42
Deret Ganti Tanda
a.
Karena jadi {an} adalah monoton tak naik.
b.
Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.
1nn
3n
2n1n
4n0
16n5n
n4n
3n2n
4nn
a
a2
2
n
1n
1a
a
n
1n
0
1nn
3nlimalimn
nn
13n
1nn
2n1n
4n
a
a
n
1n
12/09/2014 Matematika 2 43
Konvergen Mutlak danKonvergen Bersyarat
Deret dikatakan konvergen
mutlak, bila deret mutlak konvergen
(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).
Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila
divergen, maka . juga divergen.
Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi
divergen.
321
1nn aaaa
|a|aaa 3211n
n
1nna
1nna
1nna
1nna
12/09/2014 Matematika 2 44
Konvergen Mutlak danKonvergen Bersyarat
Contoh 1
Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji
banding, dimana deret pembandingnya adalah maka
diperoleh bahwa untuk semua nilai n.
Karena merupakan deret konvergen, maka
juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.
1n3n
ncos
1n3n
ncos
1n3n
1
33 n
1
n
ncos
1n3n
1
1n3n
ncos
1n3n
ncos
12/09/2014 Matematika 2 45
Konvergen Mutlak danKonvergen Bersyarat
Contoh 2
Tentukan apakah konvergen mutlak atau
bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah .
Dengan uji rasio diperoleh .
Karena =0<1, maka konvergen.
Sehingga konvergen mutlak.
1n
nn
!n
21
1n
n
!n
2
n
1n
n 2
!n
!1n
2lim
1n
n
!n
2
1n
nn
!n
21
01n
2lim
n
12/09/2014 Matematika 2 46
Konvergen Mutlak danKonvergen Bersyarat
Contoh 3
Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen.
Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda
a. (monoton tak naik)
Diperoleh bahwa benar
b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.
Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret
mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .
1n
n
n
11
1n n
1
n1n aa0
n
1
1n
10
0n
1limalimn
nn
12/09/2014 Matematika 2 47
Uji rasio untukkekonvergenan mutlak
Misal deret dengan suku tak nol dan ,
tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :
• Bila r<1, maka konvergen mutlak
• Bila r>1, maka divergen
• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)
Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .
1nna
n
1n
n a
alimr
1nna
1nna
12/09/2014 Matematika 2 48
Konvergen Mutlak danKonvergen Bersyarat
Contoh 1
Tentukan apakah konvergen mutlak atau
divergen?
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
Karena , maka konvergen mutlak.
en
1nlim
3
3
n
1n
n
3n
e
n1
3
n
1n
3
n n
e
e
1nlimr
1n
n
3n
e
n11
e
1r
e
1
12/09/2014 Matematika 2 49
Konvergen Mutlak danKonvergen Bersyarat
Contoh 2
Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
Karena r > 1, maka divergen .
2
1nlim
n
1n
n
n
2
!n1
!n
2
2
!1nlimr
n
1nn
1n
n
n
2
!n1
12/09/2014 Matematika 2 50
Deret Pangkat
Bentuk umum :
Contoh deret pangkat
1.
2.
3.
......2210
0
nn
n
nn xaxaxaaxa
......2
2100
n
n
n
nn bxabxabxaabxa
......1 2
0
n
n
n xxxx
...!6!4!2
1!2
1642
0
2
xxx
n
x
n
nn
...
5
1
4
1
2
1
2
12
0
xx
n
x
n
n
12/09/2014 Matematika 2 51
Deret Pangkat
Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel,
yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan
nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak,
yaitu pada saat r < 1.
Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret
maupun disebut interval kekonvergenan.
Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki
ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –
masing deret.
n
0nn xa
n0n
n bxa
12/09/2014 Matematika 2 52
Deret Pangkat
Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :
Selang konvergensi untuk deret
• Deret konvergen hanya di x = 0
• Deret konvergen mutlak di x R
• Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atauditambah pada ujung – ujung intervalnya.
Selang konvergensi untuk deret
• Deret konvergen hanya di x = b
• Deret konvergen mutlak di x R
• Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
n
0nn xa
n0n
n bxa
12/09/2014 Matematika 2 53
Deret Pangkat
Contoh 1
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Deret akan konvergen untuk semua nilai x
Atau x R
01n
xlimn
0n
n
!n
x
n
1n
n x
!n
!1n
xlimr
12/09/2014 Matematika 2 54
Deret Pangkat
Contoh 2
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0
1nxlimn
0n
nx!n
n
1n
n x
!1n
!n
xlimr
12/09/2014 Matematika 2 55
Deret Pangkat
Contoh 3
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah –3 < x < 3.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
2n
1n
3
xlim
n
0nn
nn
1n3
x1
n
n
1n
1n
n x
1n3
2n3
xlimr
11.
3
x
12/09/2014 Matematika 2 56
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai
berikut :
• Saat x = -3 deretnya menjadi Deret ini
diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .
• Saat x = 3 deretnya menjadi dengan
uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah
0n 1n
1
0n
n
1n
11
0nn
nn
1n3
x1
3x3
12/09/2014 Matematika 2 57
Deret Pangkat
Contoh 4
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah 4 < x < 6.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
1n2n
n5xlim
2
2
n
1n2
n
n
5x
n2
2
1n
n 5x
n
1n
5xlimr
11.5x
12/09/2014 Matematika 2 58
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai
berikut :
• Saat x = 4 deretnya menjadi karena
. konvergen maka deret ganti tandanya juga
konvergen. .
• Saat x = 6 deretnya menjadi yang merupakan
deret-p yang diketahui konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah
1n2
n
n
11
0n2n
1
1n2n
1
1n2
n
n
5x
6x4
12/09/2014 Matematika 2 59
Operasi-operasideret pangkat
1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,
pembagian, dan substitusi
2. Turunan deret :
3. Integral deret :
1
1
0 n
nn
n
nnx xnaxaD
Cx1n
adxxadxxa 1n
0n
nn
0n 0nn
nn
12/09/2014 Matematika 2 60
Deret Pangkat
Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan
an = 1 .
Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri,
maka diperoleh
Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi
yang memuat x.
1n
nx
...xxx1x1
1 32
1x
...uuu1u1
1 32
1u
12/09/2014 Matematika 2 61
Deret Pangkat
Contoh 1Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Dengan menggunakan deret geometri
x1
1
x1
1
x1
1
x1
1
x1
1
...xxx1 32
1xx
1x
12/09/2014 Matematika 2 62
Deret Pangkat
Contoh 2
Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Dengan menggunakan jawaban sebelumnya
x1
x
...xxxx...xxx1x
x1
x
x1
x 43232
12/09/2014 Matematika 2 63
Deret Pangkat
Contoh 3Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Jadi
x1
x1ln
x1lnx1lnx1
x1ln
...x3
1x
2
1xdx...xxx1dx
x1
1x1ln 3232
...x3
1x
2
1xdx...xxx1dx
x1
1x1ln 3232
...x5
2x
3
2x2x1lnx1ln
x1
x1ln 53
12/09/2014 Matematika 2 64
Deret Pangkat
Contoh 4Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
adalah turunan dari sehingga
2x1
1
2x1
1
x1
1
...x4x3x21dx
...xxx1d
dx
x1
1d
x1
1 3232
2
12/09/2014 Matematika 2 65
Deret Taylor dan Maclaurin
Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat
digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,
dimana nilai-nilai a0,a1,a2,… diperoleh dari penurunan f(x) di
x = b sampai turunan ke-n, yaitu
33
2210 bxabxabxaaxf
!n
bfa
!2
bfa
bfa
bfa
n
n
''
2
'1
0
12/09/2014 Matematika 2 66
Deret Taylor dan Maclaurin
Atau f(x) bisa dituliskan sebagai
Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial
taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial
taylor, dinamakan deret taylor.
Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin,
yaitu
nn
3'''
2''
'
bx!n
bf
bx!3
bfbx
!2
bfbxbfbfxf
nn
3'''
2''
' x!n
0fx
!3
0fx
!2
0fx0f0fxf
12/09/2014 Matematika 2 67
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh 1Perderetkan ke dalam deret maclaurin
Jawaban
Sehingga
10fexf x
10fexf 'x'
10fexf ''x''
10fexf '''x'''
10fexf nxn
x,!n
x
!3
x
!2
xx1e
0n
n32x
xexf
12/09/2014 Matematika 2 68
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh 2
Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor
Jawaban
Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa
Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh
perderetannya adalah
1x2exf
x,
!n
x
!3
x
!2
xx1e
0n
n32x
!3
1x2
!2
1x21x21e
321x2
12/09/2014 Matematika 2 69
Deret Taylor dan Maclaurin
Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam
deret Maclaurin
x,!1n2
x1
!7
x
!5
x
!3
xxxsin
0n
1n2n
753
x,!n2
x1
!6
x
!4
x
!2
x1xcos
0n
n2n
642
1x1,1n
x1
4
x
3
x
2
xxx1ln
0n
1nn
432
1x1,1n2
x1
7
x
5
x
3
xxxtan
0n
1n2n
7531
1x,xxxxx1x1
1
0n
n432
12/09/2014 Matematika 2 70
Deret Taylor dan Maclaurin
Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau
maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat
seperti pada bagian sebelumnya, misal :
7
x
5
x
3
xx
753
xCos
xtan 1
dx
xSind
!6
x
!4
x
!2
x1
642
dxx1
12
dx
!7
x
!5
x
!3
xxd
753
dxxxx1 642
12/09/2014 Matematika 2 71
Soal Latihan
A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen
1. 2.
3. 4.
5. 6.
1n
2 1n2
n
1n
2
nsin
1n2
n
1n2n
1nln
1n
nn
22
1
1n
n ncose
1n
2
!n
n
12/09/2014 Matematika 2 72
Soal Latihan
A (Lanjutan)
7. 8.
9. 10.
11. 12.
1nn2
nn2
6e
e2e
1nn
n
4
1n
n
n
2
e
1n
2n
n
1n
n
n
11
1nn n
12/09/2014 Matematika 2 73
Soal Latihan
A (Lanjutan)
13. 14.
B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?
1. 2.
3. 4.
1n2
1n
1n
11
1nn2
n
e
100
1n n
nln
1n3 n5n3
n
1n 1nn
1
1n3 6n
1n3
12/09/2014 Matematika 2 74
Soal Latihan
B. (lanjutan)
5. 6.
7. 8.
9. 10.
1n
n
!n
60
1n
n
!n
n25
1nn2e
nln
1nn e
1
1n3n
ncos
1n
n2
!2n2
2!n
12/09/2014 Matematika 2 75
Soal Latihan
B. (lanjutan)
11. 12.
13. 14.
15. 16.
1n
2
!n
nsin5
1n185n2
1
1n5 2n
n
1nn4!n!4
!4n
1n3
1
n
ntan
1n
1n
2n3
1n1
12/09/2014 Matematika 2 76
Soal Latihan
B. (lanjutan)
17. 18.
19. 20.
21. 22.
1n
nn e1
n
3
1n
1n
e
n1
1n5
2
n
5ncos
1n
n
3
1n
1n2 nn3
1
1n3 2 nn6
1
12/09/2014 Matematika 2 77
Soal Latihan
B. (lanjutan)
23. 24.
C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan
konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen
1. 3.
2. 4.
1n
n
1n2
2n3
1n 5n
1
1n
1n
n3
11
1n5
n
n
4
n
1n
1n
1n3
2n1
1n2 1n
ncosn
12/09/2014 Matematika 2 78
Soal Latihan
D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut
1. 4.
2. 5.
3. 6.
0n
nn
!n
x1
1n
n1n
n
1x1
0nn
n
2
3x
0n
1nn
1n
x2
2n
n
nln
x
n
0nn
x2
!n
12/09/2014 Matematika 2 79
Soal Latihan
D. (Lanjutan)
7. 8.
9. 10.
E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat
1. 2.
4
x
3
x
2
xx
432
!6
x
!4
x
!2
x1
642
!3
3x
!2
3x3x1
32
6
3x8
5
3x4
4
3x2
3
1 32
xlnxf x3exf
12/09/2014 Matematika 2 80
Soal Latihan
E. (Lanjutan)
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
xexxf
2x41
1xf
2xsinxf
x31exf
x1
1xf
x1lnxxf
x31
xxf
2
x3lnxxf
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi ST, MT
1
MENGAPA
BELAJAR
TRIGONOMETRI ?
MASALAH
SEHARI-HARI
TRIGONO
METRI
SOLUSI
MANFAAT
Menentukan tinggi
menara?
Menghitung lebar
sungai?
2
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASIPOLITEKNIK NEGERI SAMARINDA
2014
SILABUS
1. PENDAHULUAN
2. FUNGSI TRIGONOMETRI
3. RUMUS-RUMUS SEGITIGA
4. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
5. RUMUS PENJUMLAHAN/PENGURANGAN FUNGSI TRIGONOMETRI
6. PERSAMAAN DAN PERTAKSAMAAN TRIGONOMETRI
7. BENTUK a cos x + b sin x
3
Pendahuluan Istilah TrigonometriSudut
Istilah TrigonometriIstilah Trigonometri
Istilah trigonometri berasal dari dua kata bahasa, yakni
“trigonos” dan “metron”. Trigonos artinya segitiga dan metron
artinya ukuran.
Trigonometri berarti salah satu unit dari Matematika yang
menjelaskan tentang ukuran-ukuran segitiga meliputi besaran
sudut, besaran sisi, sudut, dan fungsi trigonometri.
4
Pendahuluan Istilah TrigonometriSudut
SudutSudut
sudut sudut
Sudut sebagai bentuk (tidak berarah)
Dua sinar garis dengan titik pangkal yangberimpit membagi bidang menjadi duabagian, masing-masing dinamakan sudut
Arah positifArah negatif
Sudut sebagaigerak putar(berarah)
A
B
5
Pendahuluan Istilah TrigonometriSudut
SudutSudut
Kedudukan Standar dariSudut
AOB=30°AOC=150°AOD=225°-360°=-135°
X
Y
BC
D
AO
6
Pendahuluan Istilah TrigonometriSudut
SudutSudut
Ukuran Sudut : Derajat
1° = 1/360 putaran 360° = 1 putaran ¼ putaran = ¼ x 360°
7
Pendahuluan Istilah TrigonometriSudut
SudutSudut
Ukuran Sudut : Derajat
Contoh Soal
Tentukan ukuran sudut berikut dalam satuan derajata. ½ putaranb. ¼ putaran
Jawab :a. ½ putaran = ½ x 360° = 180°b. ¼ putaran = ¼ x 360° = 90°
8
Pendahuluan Istilah TrigonometriSudut
SudutSudut
Ukuran Sudut : Radian
POQ=Panjang PQ radianr
Besar sudut satu putaran penuh= keliling lingkaran radian
jari-jari=2 π r radian = 2π radian
rBesar sudut ½ putaran = π radianBesar sudut ¼ putaran = ½ π radianJika panjang busur PQ=r, maka besarsudut POQ = 1 radian.1 radian = besar sudut pusat lingkaranyang panjang busurnya r.
P
Q
O
r
r
r
9
Pendahuluan Istilah TrigonometriSudut
SudutSudut
Hubungan Satuan Derajat dan radianJika Sudut satu putaran penuh = 360°= 2π radian,Maka 180°= π radian.
Contoh Soal1. Ubahlah 90° ke dalam satuan radian2. Ubahlah ½ π radian ke dalam satuan derajat3. Ubahlah ¼ radian ke dalam satuan derajat
Jawab :a. 90° = 90 x π/180 rad = ½ π radb. ½ π rad = ½ π x 180°/ π = 90°
c. ¼ rad = 1/4 x 180°/ π = 45°/ π
1°= π rad atau 1 rad = 180° = 57,3°180 π
10
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Perbandingan Trigonometri
Perbandingan trigonometri segitigaABC dengan siku-siku di Cdidefinisikan sebagai :
Sin θ = sisi depan sudut A = asisi miring (hipotenusa) c
Cos θ = sisi samping sudut A = bsisi miring (hipotenusa) c
Tan θ = sisi depan sudut A = asisi samping sudut A b
A C
B
a
b
c
θ
11
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Fungsi Trigonometri
B(x,y)
X
Y
oθ
r
X
y
2 2
1cosec
sin
1sec
cos
1ctg
tan
cos sin 1
r
y
r
x
x
y
sin
cos
sintan
cos
y
r
x
r
y
x
12
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Fungsi Trigonometri
Contoh Soal
Tentukan nilai cos θ dan tan θ jika ditentukan sin θ=3/5 dantan θ > 0.
Jawab :
A B
C
35
θ
Cara 1 :
AB2 = AC2-BC2
= 52-32
= 16AB = 4cos θ = 4/5 dan tan θ = 3/4
13
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Fungsi Trigonometri
Contoh Soal
Tentukan nilai cos θ dan tan θ jika ditentukan sin θ=3/5 dantan θ > 0.
Jawab :
A B
C
35
θ
Cara 2 : rumus cos2θ+sin2θ=1⇔ cos2θ=1- sin2θ⇔ cos2θ=1- (3/5)2
⇔ cos2θ=1- 9/25⇔ cos2θ=16/25⇔ cos θ = 4/5 atau cos θ = -4/5Karena tan θ > 0, maka ambil cosθ = 4/5 dan tan θ = 3/4
14
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Fungsi Trigonometri
Soal
1. Pada segitiga ABC yang siku-sikunya di B berlaku sin A =3/5. Jika BC =6 cm, tentukan panjang sisi AC dan AB.(AC=10 cm dan AB = 8 cm)
2. Pada segitiga ABC dengan siku-siku di B berlaku sin A =12/13. Tentukan nilai cos A dan tan B. (cos A = 5/13 dan tanA=12/5)
3. Tentukan nilai sin α dan tan α jika cos α = 5/13 dan tan α < 0
15
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Tanda Fungsi Trigonometri
o X
Y
I
All (+)
0<θ<1/2 π
II
Sin (+)
1/2 π<θ< π
III
Tan (+)
π<θ< 3/2π
IV
Cos (+)
3/2 π<θ< 2π
1. Sin 200° bernilaipositif/negatif ?
2. Cos 340° bernilaipositif/negatif ?
3. Tan 2/3 π bernilaipositif/negatif ?
(-)
(+)
(-)
16
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Sudut Istimewa
0 30 45 60 90
Sin θ° 0 ½ ½ √2 ½ √3 1
Cos θ° 1 ½ √3 ½ √2 ½ 0
Tan θ° 0 1 √33
1 √3 tak terdefinisi
Hitung nilai dari1. sin 45°+cos 452. tan 30° + tan 60°3. sin245°+cos245°+tan45°4. sin245°sin260°+cos245°cos260°
tan30° tan60°
5. Tunjukkan bahwacos230°tan230°+cos245°tan245° =1
sec30° cot30°- tan45°
17
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Sudut Istimewa 30° dan 60°
60°
30°
B C D
A
c cb
aa
∆ABC siku-siku di C dengan∠BAC=30° dan ∠ABC=60°. Jika
∆ABC dicerminkan terhadap sisi AC,maka didapatkan ∆ACD.
Gabungan ∆ABC dan ∆ACD, yaitu∆ABD merupakan segitiga sama sisidengan c=2a. Berdasarkan dalilPythagoras, ∆ABC berlaku :
c2 = a2+b2
(2a)2= a2+b2
b2 = 3a2
b = √3a2
18
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Sudut Istimewa 30° dan 60°
60°
30°
B C D
A
c=2 c
b=√3
aa=1
c2 = a2+b2
(2a)2= a2+b2
b2 = 3a2
b = √3a2
sin 30°= a/c = a/2a = ½cos 30°= b/c = a√3/2a = ½√3tan 30°= a/b = a/a√3 = 1/√3 = 1√3
3sin 60°=cos 60°=tan 60°=
19
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Sudut Istimewa 0° dan 90°
O
X
Y
P (a,0) O
X
Y
P (0,b)
Agar ∠XOP = 0°, maka titik Pterletak di sumbu X positif.Misal koordinat titik P adalah (a,0)P(a,0) maka x=a, y=0,r=√a2+02 = asin 0°=y/r =0/a=0cos 0°=x/r =a/a=1tan 0°=y/x =0/a=0
Agar ∠XOP = 90°, maka titik Pterletak di sumbu Y positif.Misal koordinat titik P adalah (0,b)P(0,b) maka x=0, y=b,r=√02+b2 = bsin 90°=y/r =b/b=1cos 90°=x/r =0/b=0tan 90°=y/x =b/0=tak terdefinisi
20
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Rumus Trigonometri dari sudut yang berelasi
1. (π- θ) dan θ
P(x,y) dicerminkan terhadapsumbu Y.Bayangannya P1(-x,y).
XOP1 = (π- θ)
Didapat :cos (π- θ) = -cos θsin (π- θ) = sin θtan (π- θ) = -tan θ
Sin 120° = sin (π - 60°) = sin 60°= ½ √3
P(x,y)
X
Y
oθ
P1(-x,y)
(π- θ)
21
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Rumus Trigonometri dari sudut yang berelasi
2. ( ½ π- θ) dan θ
P(x,y) dicerminkan terhadapGaris y=x.Bayangannya P2(y,x).
XOP2 = ( ½ π- θ)
Didapat :cos ( ½ π- θ) = sin θsin ( ½ π- θ) = cos θtan ( ½ π- θ) = cot θ
sin (½ π- 30°)= cos 30°= ½ √3
P(x,y)
X
Y
oθ
P2(y,x)
y=x
22
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Rumus Trigonometri dari sudut yang berelasi
3. ( π+θ) dan θ
P(x,y) dicerminkan terhadap O.Bayangannya P3(-x,-y).
XOP3 = (π+θ)
Didapat :cos (π+θ) = -cos θsin (π+θ) = -sin θtan (π+θ) = tan θ
Cos 240°= cos (π + 60°)= -cos 60° = -½
P(x,y)
X
Y
oθ
P3(-x,-y)
23
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Rumus Trigonometri dari sudut yang berelasi
4. -θ, 2π-θ dan θ
P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X.Bayangannya P4(x,-y).
XOP4 = -θ atau 2π-θ
Didapat :cos (-θ) = cos θ = cos (2π-θ)sin (-θ) = -sin θ = sin (2π-θ)tan (-θ) = -tan θ = tan (2π-θ)
Cos (-45°) = cos 45° = ½ √2Tan 315°= tan (2π-45°) = - tan 45°=-1
X
P(x,y)
Y
P4(x,-y)
oθ
-θ
24
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Rumus Trigonometri dari sudut yang berelasi
Contoh Soal
Tentukan nilai dari :a. Cos 135°b. Tan 150°c. Sin 180°d. Cos 210°e. Tan 225°f. Cot 300°g. Sec 330°
25
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Koordinat Kutub
1. Koordinat CartesiusSuatu titik pada bidang datarditentukan oleh jarak titiktersebut ke sumbu mendatarX yang disebut ordinat, danjarak ke sumbu vertikal Ydisebut absis.
Contoh :Pasangan koordinat titik Aadalah (x,y) ditulis A(x,y).
A(x,y)
X
Y
o x
y
26
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Koordinat Kutub
2. Koordinat Kutub (Polar)Letak suatu P ditentukanoleh jarak titik tersebut ketitik pangkal O dan besarsudut antara OX dan OP.
Contoh :Koordinat Kutub titik P(r,α),artinya jarak OP=r satuandan ∠XOP= α.
P(r,α)
X
Y
oα
27
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Koordinat Kutub
3. Hubungan Koordinat Kutubdengan Koordinat Cartesius
didapatkan :cos α=x/r ⇔x=r cos αsin α=y/r ⇔y=r sin α
tan α=y/xr2=x2+y2 ⇔ r=√x2+y2
P(x,y)
X
Y
oα
Qx
r
y
28
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Koordinat Kutub
Contoh Soal
1. Diketahui titik A(3,4). Tentukan koordinat polar titik A.Jawab :r = √x2+y2= √32+42= 5tan α = 4/3, maka α = 53,1°jadi, koordinat polar titik A adalah (5, 53,1°)
2. Diketahui titik B (7, ¾π). Tentukan koordinat Cartesius titik B.Jawab :x=r cos α = 7 x cos ¾π = -4,950y=r sin α = 7 x sin ¾π = 4,950Jadi, koordinat Cartesius titik B adalah (-4,950, -4,950)
29
Fungsi Trigonometri Perbandingan TrigonometriFungsi TrigonometriTanda tanda Fungsi TrigonometriRumus Trigonometri dari sudut yang berelasiKoordinat Kutub
Koordinat Kutub
Soal1. Tentukan koodinat kutub untuk titik-titik berikut dalam satuan
derajat dan radian.a. (3,-4)b. (5,6)c. (-8,5)d. (1/2, -5/4)
2. Tentukan koordinat Cartesius untuk titik-titik berikuta. (3, 45°)b. (8, 135°)c. (15, ½ π)d. (4, ¾ π)
30
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Identitas Trigonometri
Perbandingan trigonometri :
31
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Identitas Trigonometri
32
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Identitas Trigonometri
33
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Identitas Trigonometri
34
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Sinus
a
c
b
βα
γ
Sin α
Sin α
Sin β
Sinβ
Sin α Sin β
Sin α Sin β
35
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Sinus
Sin β
Sin β
Sin γ
Sin γ
Sin β Sin γ
Sin β Sin γ
Sin β Sin γSin α
36
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Sinus
Rumus Aturan Sinus :
C
A B
a
c
b
α
γ
β
Rumus Aturan sinus ini digunakan untukmenghitung unsur-unsur sebuahsegitiga yang belum diketahui denganterlebih dahulu diketahui ketiga unsurlainnya.
Misal :
Diketahui : sisi a (panjang BC) , sudut α(∠BAC), sudut β (∠ABC)
Ditanyakan : sisi b (panjang AC)
C
A B
ab ?
α β
37
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Sinus
Contoh 1Pada ∆ABC, panjang AC = 16 cm, BC =12 cm dan ∠BAC = 30°. Hitung besar∠ABC.Jawab :
BC = ACsin α sin β
⇔ 12 = 16sin 30° sin β
⇔ 12 = 16½ sin β
⇔ sin β = 16 x ½12
⇔ sin β = 0,67⇔ β = 42,07°
∴ besar ∠ABC adalah 42,07°.
C
A B
1216
30° ?
Contoh 2Pada ∆PQR, panjang PQ = 8 cm, ∠RPQ= 30° dan ∠PQR = 105°. Hitungpanjang QR.Jawab :∠PRQ=180°-(30°+105°) = 45°
QR = PQsin ∠RPQ sin ∠PRQ
⇔ QR = 8sin 30° sin 45°
⇔ QR = 8½ ½ √2
⇔ QR = 8 x ½½ √2
⇔ QR = 8 x √2 = 4√2√2 √2
∴ panjang QR adalah 4√2 cm.
R
P Q
?
8
30° 105°
38
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Sinus
39
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Sinus
40
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Kosinus
c-bcosα
αααα α
α
α
41
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Kosinus
α
β γ γ α
β
β γ
β
γ
α
42
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Kosinus
αα
α
β
γ
β
β
γ
γ
43
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Kosinus
C
A B
a
c
b
α
γ
β
Rumus Aturan kosinus ini digunakan untuk :1.Menghitung panjang sisi sebuah segitiga
apabila diketahui panjang dua sisi lainnyadan besar sudut yang di apitnya.
2.Menghitung besar sudut pada sebuahsegitiga jika diketahui panjang ketigasisinya.
44
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Kosinus
Contoh 1Pada ∆ABC, panjang AC = 18 cm, BC =14 cm dan ∠ACB = 120°. Hitungpanjang AB.Jawab :
Misal BC=a, AC=b, makac2=a2+b2-2ab cos γ
=142+182-2(14)(18) cos 120°=196 + 324-504 (-0,5)=520+252=722
c =√722=27,78∴panjang c=AB adalah 27,78 cm.
C
A B
1418 120°
?
Contoh 2Pada ∆PQR, panjang PQ = 20 cm, QR= 16 cm dan PR=8 cm. Hitung ∠RPQ.Jawab :
Misal PQ=r, QR=p, PR=q , ∠RPQ = ∠θ makacos θ =q2+r2-p2
2qr⇔cos θ =82+202-162
2(8)(20)⇔cos θ =64+400-256=208=0,65
320 320∴ besar ∠θ adalah 49,46° cm.
R
P Q
168
?
20
45
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Kosinus
46
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Aturan Kosinus
47
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Luas Daerah Segitiga
Rumus Luas Daerah Segitiga :1. Luas ∆ABC = ½ bc sin α
= ½ ac sin β= ½ ab sin γ
2. Luas ∆ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c)dengan s= ½ (a+b+c)
C
A B
a
c
b
α
γ
β
Contoh :
1. Dalam ∆ABC, a(BC)=25 cm, b(AC)= 45
cm, dan γ( ACB)=30°. Hitung luas
daerah ∆ABC.
Jawab :
Luas ∆ABC = ½ ab sin γ
= ½ x 25 x 45 sin 30°
= ½ x 25 x 45 x 0,5 = 281,25
Luas daerah ∆ABC adalah 281,25 cm2
C
A B
254530°
48
Rumus-Rumus Segitiga Identitas TrigonometriAturan SinusAturan KosinusLuas daerah segitiga
Luas Daerah Segitiga
Latihan
1. Dalam ∆PQR, PQ=5 cm, PR= 6 cm,dan QPR=60°. Hitung luas daerah∆PQR.
2. Dalam ∆ABC, AB=10 cm, BC= 10 cm,dan ABC=45°. Hitung luas daerah∆ABC.
3. Hitung luas daerah ∆ABC jikadiketahui ketiga sisinya yaitu 11 cm,12 cm, 13 cm.
Contoh :
2. Hitung luas daerah ∆ABC jika
diketahui ketiga sisinya yaitu 3
cm, 4 cm, 5 cm.
Jawab :
s= ½ (a+b+c) = ½ (3+4+5) = 6
Luas ∆ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c)
= √6(6-3)(6-4)(6-5)
= √6 x 3 x 2 x 1
= √36 = 6
Luas daerah ∆ABC adalah 6 cm2
49
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Periodisitas Fungsi Trigonometri
Periode fungsi Sinus dan Kosinus adalah
360°.
sin(θ°+k.360°)=sin θ°,k є { bil. bulat }
cos(θ°+k.360°)=cos θ°,k є { bil. bulat }
Periode fungsi tangen adalah 180°.
tan(θ°+k.180°)=tan θ°, k є { bil. bulat }
Contoh :
1. sin 430° = sin (70°+1.360°)= sin 70°2. cos 400° = cos (40°+1.360°)= cos 40°3. tan 950° = tan(50°+5.180°)= sin 50°
Nilai Maksimum dan minimum fungsi
sinus dan kosinus :
-1 ≤ sin θ° ≤ 1
-1 ≤ cos θ° ≤ 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
50
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
Cara menggambargrafik y=sin xdengan{x|0°≤x≤360°,xєR } :1. Buat tabel x dan
y=sin x2. Plot setiap
pasangankoordinat. Misal :(0,0), (30,1/2),dst
51
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
TRIK
a sin x :perbesar sebesar aperkecil sebesar 1/a
sin ax :a gelombang (rapat)1/a gelombang (regang)
sin (x±θ°) :sin (x+θ°) (geser ke kirisebesar θ°)sin (x-θ°) (geser ke kanansebesar θ°)
sin x ± b :sin x + b (geser ke atassebesar b)sin x - b (geser ke bawahsebesar b)
52
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
TRIK
a sin x :perbesar sebesar aperkecil sebesar 1/a
sin ax :a gelombang (rapat)1/a gelombang (regang)
sin (x±θ°) :sin (x+θ°) (geser ke kirisebesar θ°)sin (x-θ°) (geser ke kanansebesar θ°)
sin x ± b :sin x + b (geser ke atassebesar b)sin x - b (geser ke bawahsebesar b)
53
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
Cara menggambargrafik :1. Gambar grafik y
= sin x.2. Gunakan TRIK.
TRIK :a. Gambar y=sin x.b. Y=sin(x-30°)
(geser kanan 30)c. Y=2sin(x-30°)
(perbesar 2 kali)d. Y=2sin(x-30°)+2
(geser atas 2)
54
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
Cara menggambargrafik :1. Gambar grafik y
= sin x.2. Gunakan TRIK.
TRIK :a. Gambar y=sin x.b. Y=sin(x-30°)
(geser kanan 30)c. Y=2sin(x-30°)
(perbesar 2 kali)d. Y=2sin(x-30°)+2
(geser atas 2)
55
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
LatihanBuat Sketsa Grafik Fungsi berikut inidalam domain {x|0°≤x≤360°,xєR } :1. Y = ½ sin x2. Y = ½ sin 2x3. Y = ½ sin (x+30°)4. Y = ½ sin (x-30°) +4
56
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
Cara menggambargrafik y=cos xdengan{x|0°≤x≤360°,xєR } :1. Buat tabel x dan
y=cos x2. Plot setiap
pasangankoordinat. Misal :(0,1), (60,1/2),dst
57
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
Cara gambar :
a cos x :perbesar sebesar aperkecil sebesar 1/a
cos ax :a gelombang (rapat)1/a gelombang (regang)
cos (x±θ°) :cos (x+θ°) (geser ke kirisebesar θ°)cos (x-θ°) (geser ke kanansebesar θ°)
cos x ± b :cos x + b (geser ke atassebesar b)cos x - b (geser ke bawahsebesar b)
58
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
Cara gambar :
a cos x :perbesar sebesar aperkecil sebesar 1/a
cos ax :a gelombang (rapat)1/a gelombang (regang)
cos (x±θ°) :cos (x+θ°) (geser ke kirisebesar θ°)cos (x-θ°) (geser ke kanansebesar θ°)
cos x ± b :cos x + b (geser ke atassebesar b)cos x - b (geser ke bawahsebesar b)
59
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
Cara menggambargrafik :1. Gambar grafik y =
cos x.2. Gunakan TRIK.
TRIK :a. Gambar y=cos x.b. Y=cos (1/2 x)
( jadi ½gelombang,regang)
c. Y=cos(½x-30°)(geser kanan 30)
d. Y=1/2 cos(½x-30°)(perkecil ½).
e. Y=1/2cos(½x+30°)+2
(geser keatas 2)
60
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
Cara menggambargrafik :1. Gambar grafik y =
cos x.2. Gunakan TRIK.
TRIK :a. Gambar y=cos x.b. Y=cos (1/2 x)
( jadi ½gelombang,regang)
c. Y=cos(½x-30°)(geser kanan 30)
d. Y=1/2 cos(½x-30°)(perkecil ½).
e. Y=1/2cos(½x+30°)+2
(geser keatas 2)
61
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
LatihanBuat Sketsa Grafik Fungsi berikut inidalam domain {x|0°≤x≤360°,xєR } :1. Y = 4 cos x2. Y = 4 cos (x-30°)3. Y = 4 cos 2x4. Y = 4 cos 2x +25. Y = 4 cos (x-30°) + 2
62
Grafik Fungsi Trigonometri Periodisitas Fungsi TrigonometriGrafik
Grafik Fungsi Trigonometri
X= ½ πX= 1 ½ π
x 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
tan x 0 1 td -1 0 1 td -1 0
63
1. cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Contoh :
cos 15°
= cos (45° - 30°)
= cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
= ½ √2 . ½ √3 + ½ √2 . ½
= ¼ √6 + ¼ √2
=1/4 (√6 + √2)
2. cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Bukti :
cos (α + β) = cos(α – (-β))
= cosα cos(-β)+sin α sin (-β)
= cos α cos β+ sin α sin β
Contoh :
cos 75°
= cos (45° + 30°)
= cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30°
= ½ √2 . ½ √3 - ½ √2 . ½
= ¼ √6 - ¼ √2
=1/4 (√6 - √2)
V. RUMUS – RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
A. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH 2 SUDUT
64
4. sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
Bukti :
sin (α - β) = sin (α + (- β))
= sin α cos (-β) + cos α sin (-β)
= sin α cos β - cos α sin β
Contoh :
sin 15°
= sin (45° - 30°)
= sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30°
= ½ √2 . ½ √3 - ½ √2 . ½
= ¼ √6 - ¼ √2
=1/4 (√6 - √2)
3. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Bukti : Cos (90°-θ) = sin θ
Jadi, sin (α + β) = cos (90°-(α + β))
= cos ((90°-α) + β)
= cos (90°-α) cos β - sin (90°-α) sin β
= sin α cos β + cos α sin β
Contoh :
sin 75°
= sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= ½ √2 . ½ √3 + ½ √2 . ½
= ¼ √6 + ¼ √2 =1/4 (√6 + √2)
V. RUMUS – RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
A. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH 2 SUDUT
65
5. tg (α + β) = tg α + tg β1 - tg α tg β
Bukti :
tg (α + β) = sin (α + β) =…..cos (α + β)
= tg α + tg β1 - tg α tg β
Contoh :
tg75° = tg (45° + 30°)
= tg 45° + tg 30°
1 - tg 45° tg 30°
= 1 + 1/3 √3
1 - 1 . 1/3 √3
= 2 + √3
6. tg (α - β) = tg α - tg β1 + tg α tg β
Bukti :
tg (α - β) = tg (α +(- β))
= tg α + tg (-β)1 - tg α tg (-β)
= tg α - tg β1 + tg α tg β
Contoh :
tg15° = tg (45° - 30°)
= tg 45° - tg 30°
1 + tg 45° tg 30°
= 1 - 1/3 √3
1 + 1 . 1/3 √3
= 2 - √3
V. RUMUS – RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
A. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH 2 SUDUT
66
Latihan
Hitung :
1. sin 165°
2. cos 165°
3. tg 165°
Buktikan bahwa :
4. sin (π – θ) = sin θ
5. cos (π + θ) = - cos θ
6. tg ( ½ π + θ) = - ctg θ
7. sin (α + β) sin (α - β) = sin2α- sin2 β
8. Nyatakan sin 2α dalam bentuk sin α
9. Nyatakan cos 3α dalam bentuk cos α
V. RUMUS – RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
A. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH 2 SUDUT
67
VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Y
X (dlm °)
y = sin x
y = cos x
sin θ = sin (π - θ)= sin (θ + k. 2π)
cos θ = cos (-θ)= cos (θ + k. 2π) 68
VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan dasar (dlm rad)sin θ = sin (π - θ)
= sin (θ + k. 2π)shgsin x = sin θ x = θ + k. 2π atau
x = (π – θ) + k. 2πdengan k є ℤ (bil. Bulat)
Contoh :Tentukan penyelesaian persamaansin x = sin ½ π dengan 0 ≤ x ≤ 2π.Jawab :sin x = sin ½ π⇔ x = ½ π + k. 2π…(pers 1)
atau x = (π – ½ π) + k. 2π….(pers 2)
Untuk x = ½ π + k. 2π…(pers 1)
k = 0 ⇒ x = ½ π + 0. 2π = ½ π
(memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π )k = 1 ⇒ x = ½ π + 1. 2π = 2½ π
(tdk memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π )
Untuk x = (π – ½ π) + k. 2π…(pers 2)
k = 0 ⇒ x = (π – ½ π) + 0. 2π = ½ π
(memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π )k = 1 ⇒ x = (π – ½ π) + 1. 2π = 2½ π
(tdk memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π )
nilai x yang memenuhi adalah ½ π.
69
VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan dasar (dlm rad)cos θ = cos (-θ)
= cos (θ + k. 2π)shgcos x = cos θ x = θ + k. 2π atau
x = (-θ) + k. 2πdengan k є ℤ (bil. Bulat)
Contoh :Tentukan penyelesaian persamaancos x = cos 1/9 π dgn - 2π ≤ x ≤ 2π.
Jawab :cos x = cos 1/9 π x = 1/9 π + k. 2π … (pers 1)atau x = (- 1/9 π) + k. 2π … (pers 2)
Untuk x = 1/9 π + k. 2π … (pers 1)k = 0 ⇒ x = 1/9 π + 0. 2π = 1/9 π
(memenuhi - 2π ≤ x ≤ 2π)k = 1 ⇒ x = 1/9 π + 1. 2π = 19/2 π
(tdk memenuhi - 2π ≤ x ≤ 2π)
Untuk x = (- 1/9 π) + k. 2π … (pers 2)
k = 0 ⇒ x = (- 1/9 π) + 0. 2π = - 1/9 π
(memenuhi - 2π ≤ x ≤ 2π )k = 1 ⇒ x = (- 1/9 π) + 1. 2π = 17/9 π
(memenuhi - 2π ≤ x ≤ 2π )
∴ nilai x yang memenuhi adalah
1/9 π ( 20°), -1/9 π (- 20°), 17/9 π(340°)
70
VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan dasar (dlm rad)
tg x = tg θ x = θ + k. πctg x = ctg θ x = θ + k. π
dengan k є ℤ (bil. Bulat)
Contoh :Tentukan penyelesaian persamaantg 2x = tg 1/3 π dgn 0 ≤ x ≤ π.
Jawab :tg x = cos 1/3 π2x = 1/3 π + k.π x = 1/6 π + k.π/2
Untuk x = 1/6 π + k.π/2k = 0 ⇒ x = 1/6 π + 0. π/2 = 1/6 π
(memenuhi 0 ≤ x ≤ π)k = 1 ⇒ x = 1/6 π + 1. π/2 = 2/3 π
(memenuhi 0 ≤ x ≤ π)k = 2 ⇒ x = 1/6 π + 2. π/2 = 7/6 π
(tdk memenuhi 0 ≤ x ≤ π)
nilai x yang memenuhi adalah 1/6π dan 2/3 π
71
VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan kuadratcara 1 :x2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0(x - 2) = 0 atau (x + 1) = 0
x = 2 x = -1
Cara 2 : rumusax2 + bx + c = 0dg a≠0 dan a,b,c bil riilMaka
Contoh :
x2 - x - 2 = 0a = 1, b = -1, c = -2Maka
X1,2 = - (-1) ± √ (-1)2 – 4. 1. (-2)2. 1
= 1 ± √ 92
= 1 ± 32
X1 = 1 + 3 = 22
X2 = 1 - 3 = -12
72
VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan kuadrat FungsiTrigonometri
contoh :Untuk -π ≤ x ≤ 2π , selesaikanpersamaan sin x2 – sin x - 2 = 0 .
Jawab :cara 1 :sin x2 – sin x - 2 = 0
(sin x - 2)(sin x + 1) = 0(sin x - 2) = 0 atau (sin x + 1) = 0
sin x = 2 sin x = -1(tdk ada nilai x) sin x = - sin ½ π
sin x = sin(- ½ π)
x = - ½ π + k. 2πk = 0 ⇒x = - ½ π + 0. 2π = - ½ π
(memenuhi)k = 1 ⇒x = - ½ π + 1. 2π = 3/2 π
(memenuhi)k = 2 ⇒x = - ½ π + 2. 2π = 7/2 π
(tdk memenuhi)
x = (π- (-½ π)) + k. 2πk = 0⇒x = (π+½ π) + 0. 2π = 3/2 π
(memenuhi)k = 1⇒x = (π+½ π) + 1. 2π = 7/2 π
(tdk memenuhi)
nilai x yang memenuhi adalah- ½ π dan 3/2 π.
73
VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
cara 2 :sin x2 – sin x - 2 = 0a = 1, b = -1, c = -2Maka
sin x1,2 = - (-1) ± √ (-1)2 – 4. 1. (-2)2. 1
= 1 ± √ 92
= 1 ± 32
sin x1 = 1 + 3 = 2 (tdk ada nilai x)2
sin x2 = 1 - 3 = -12
sin x = - sin ½ πsin x = sin(- ½ π)
x = - ½ π + k. 2πk = 0 ⇒x = - ½ π + 0. 2π = - ½ π
(memenuhi)k = 1 ⇒x = - ½ π + 1. 2π = 3/2 π
(memenuhi)k = 2 ⇒x = - ½ π + 2. 2π = 7/2 π
(tdk memenuhi)
x = (π- (-½ π)) + k. 2πk = 0⇒x = (π+½ π) + 0. 2π = 3/2 π
(memenuhi)k = 1⇒x = (π+½ π) + 1. 2π = 7/2 π
(tdk memenuhi)
nilai x yang memenuhi adalah- ½ π dan 3/2 π.
74
VI. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
A. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Latihan
Tentukan penyelesaian persamaanberikut dengan - 2π ≤ x ≤ 2π.1. sin x = 02. sin x = 13. cos x = cos ¼ π4. cos x = cos 30°5. tg x = tg 1/9 π6. 6 sin2x– sin x - 3 = 07. 3 cos2x°– 5 cos x° - 2 = 0
Persamaan dasar (dlm derajat)sin x° = sin θ° x° = θ + k. 360° atau
x° = (180 – θ)° + k. 360°
cos x° = cos θ° x° = θ° + k. 360° atau
x° = -θ° + k. 360°
tg x° = tg θ° x° = θ° + k. 180°ctg x°= ctg θ° x° = θ° + k. 180°
dengan k є ℤ (bil. Bulat)
75
Integral Tertentu dan Tak Tertentu
2014
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI
2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi
ST, MT1
Integral Tak Tentudan
Integral Tertentu
Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yangbersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atauintegral dari f(x).
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap xdinotasikan sebagai berikut :
• notasi integral (yang diperkenalkan olehLeibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f(x) fungsi integran
• F(x) fungsi integral umum yang bersifatF’(x) f(x)
• c konstanta pengintegralan
cxFdxxf
• Jika f ‘(x) = xn, maka , n≠ -1, dengan c sebagai konstanta
cxn
xf n
1
1
1
Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapatdidiferensialkan pada interval sedemikianhingga maka antiturunan dari f(x) adalahF(x) + c
• Secara matematis, ditulis
cxFdxxf
• di mana
• Lambang integral yangmenyatakan operasi antiturunan
• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yangdicari antiturunannya
• c Konstanta
dx
Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
, c adalah konstanta.cxn
dxx nn
1
1
1
Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan ksuatu konstanta, maka
dxxfkdxxkf
Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yangterintegralkan, maka
dxxgdxxfdxxgxf
Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yangterintegralkan, maka
dxxgdxxfdxxgxf
Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapatdidiferensialkan dan r suatu bilanganrasional tak nol maka
, dimana c adalah konstanta dan r≠ -1.
cxur
dxxuxutr 1
1
1'
Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapatdidiferensialkan, maka
vduuvudv
Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
• dimana c adalah konstanta.
cxx
cxxdx
cxxdx
tancos
1
cossin
sincos
2
...)4(2.1 52 dxxx
x
dudx
2
cxcuduu 62655 )4(6
1
6
1
2x
du2xu
)...(1
2.2
3
2
latihanbuatx
dxx
METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita
mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar
dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
Jawab :u = x2 + 4 du = 2x dx
duvvuddvu .).(.
duvvudvu ...
duv dvu.
INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
harus lebih mudah dari
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :
(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).
dxxln dvu.
ln xu dxdux
1
dxxln dx
Contoh :
=
Jawab :
dv = dx v = x
Jadi :
= xln x -
= x ln x – x + c
nnnnn axaxaxaxa
12
21
10 ......
)(
)()(
xQ
xPxH
22
22)(
23
2
xxx
xxxH
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom
Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x)disebut “Rasional Sejati”Contoh :
Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
4
2336
4
1310)(
2
2
2
24
x
xx
x
xxxxH
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
)(
)(
xQ
xP: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
)).....()(()( 21 naxaxaxxQ
)(.....
)()()(
)(
2
2
1
1
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
naxxQ )()(
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
)(.....
)()()(
)(2
21
))(()( 22 fexdxcbxaxxQ
)()()(
)(22 fexdx
DCx
cbxax
BAx
xQ
xP
1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
, maka :
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
, maka :
3. Q(x) adalah kuadratis,
, maka :
....
2
)1(.1
2dx
xx
x
)1)(2(
)2()1(
12)1)(2(
1
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
dx
xx
x
2
)1(2 23
1
x
dx 13
2
x
dx
cxx |1|ln3
2|2|ln
3
1
contoh :
jawab :
x = 2 2 – 1 = A(2+1)
1 = 3A A = 1/3x = -1 -1 – 1 = B(-1-2)
-2= -3B B = 2/3Jadi,
+
=
....
12
)1(.2
2dx
xx
x
222 )1(
)1(
)1(1)1(
1
x
BxA
x
B
x
A
x
x
dx
xx
x
12
)1(2 1x
dx 2)1(
2x
dx
cx
x
)1(
2|1|ln
x = 1 1 + 1 = B B = 2
mis, x = 0 0 +1 = A(0 – 1) + B1 = - A + 2 A = 1
Jadi,
+
,222 xba atauxba ,222 222 axb
222 xba zb
ax sin zaxba cos222
222 xba ztg
b
ax zaxba sec222
222 axb zb
ax sec ztgaaxb 222
SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapatditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri denganmenggunakan variabel baru :
Bentuk Subtitusi Memperoleh
....49
.12
dxx
x
zx sin2
3 zdzdx cos
2
3 cos349 2 zx
dzz
zdzz
z
zdx
x
x
sin
cos3)cos
2
3(
sin2
3
cos349 22
dzzdzzec sin3cos3
cxx
x
2
2
49|2
493|ln3
contoh :
jawab :
,
Jadi,
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
dzz
z
sin
sin13
2
....4
.222 xx
dx
ztgx 2 zdzdx 2sec2 sec24 2 zx
22 4 xx
dx dz
zztg
z
)sec2)(4(
sec22
2
dzz
z2sin4
cos
z
zd2sin
)(sin
4
1c
z
sin4
1c
x
x
4
4 2
jawab :
,
Jadi,
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :
• Dimana :
• f(x) : integran
a : batas bawah
b : batas atas
Integral TerTentu
b
a
dxxf )(
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
6,6183231255
1
255
1
5
1
5555
25
5
2
5
2
54
x
xdxx
a
a
dxxf 0)(
032325
1
225
1
5
1
5552
25
2
2
2
2
54
x
xdxx
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
6,6183125325
1
525
1
5
1
5552
55
2
5
2
5
54
x
xdxx
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
3093323125
5
1.5
555
5
25
5
2
5
2
54
x
xdxx
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
6,7111.330936,618
555
2
5
2
5
2
4444
dxxdxxdxxx
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( 6,6183
2
5
3
5
2
444 dxxdxxdxx
Luas dan Volume Benda Putar
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi ST, MT
1
PENGGUNAAN INTEGRAL
1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dansumbu-sumbu koordinat.
2. Menghitung volume benda putar.
9
2xy
Luas daerah di bawahkurva
Volume benda putar yang diputarmengelilingi sumbu Y
=
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]
= 16 – 8 + 2 + 2 = 12
2
1
2 dx46 xx 2123 22 xx
Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah
Hitunglah nilai dari
2
1
2 dx46 xx
Contoh 1 :
Jawab
NextBackHome
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Teorema Dasar Kalkulus
)(F)(F)( abdxxfb
a
bax)(F
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
y
x
0 a bx
y
a
x
0 b
b
a
dxxf )(
Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral
Tentukan limitnya
n
)(xf
n
iii xxf
1)(
)(xf
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
i
n
ii
n
b
a
xxfdxxfL 1
)()( lim
NextBackHome
Kegiatan pokok dalam menghitung luas
daerah dengan integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi
Li f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
L f(xi) xi
5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi
6. Nyatakan dalam integral
x
0
y)(xfy
a
xi
xi
)( ixfLi
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
a
dxxf0
)(L
NextBackHome
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3
Contoh 1.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi
4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim xi2 xi
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
3
2)( xxf
dxx3
0
2L
903
333
03
3L
x
Li
xi
xi
2ix
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab
NextBackHome
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4
Contoh 2.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya L xi.y
4. Jumlahkan luasnya L y. y
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim y. y
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
4
dyy4
0
.L
3
168.
3
2
3
2L
4
0
2
3
y
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab
NextBackHome
xi
2)( xxf
y
y
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan
Aj -(4xj - xj2)xj
3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan A
-(4xj - xj2)xj
4. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi
dan A = lim -(4xj - xj2)xj
5. Nyatakan dalam integral
y
0x64
24)( xxxf
dxxx 4
0
2 )4(L dxxx 6
4
2 )4(A
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 6
Contoh 3.
Jawab
NextBackHome
dxxx 4
0
2 )4(L
dxxx 6
4
2 )4(A
y
0x64
24)( xxxf
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
40
33122L xx
3643
312 320)4()4(2L
64
33122A xx
33123
312 )4()4(2)6()6(2A
364
3216 3272A
40A 3152
3
1214032daerahLuas 3
1523
64
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBackHome
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBackHome
Kesimpulan :
b
a
dyxL .b
a
dxyL .
y
0
x
y
y
x
0
)(xfy xi
xi
)( ixf
y
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x
4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x
5. Ambil limitnya :
L = lim [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
y
ba
)(xfy
)(xgy
0
xLi
x
x
)()( xgxf
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBackHome
dxxgxfb
a )()(L
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x
Contoh 4.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (2 - x - x2)x
5. Nyatakan dalam integral tertentu
dxxx
1
2
2 )2(L 0
x
1 2-1-2-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab
NextBackHome
dxxx
1
2
2 )2(L
0
x
1 2-1-2-3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
1
232
32
2L
xxx
3
3)2(
2
2)2(
3
312
21 )2(2)1(2L
38
31
21 242L
38
31
21 242L
21
21 45L
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBackHome
Untuk kasus tertentu pemartisian
secara vertikal menyebabkan ada
dua bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama untuk
menghitungnya.
)(xfy
y
a b
Lix
x
)()( xgxf
)(2 xf
Ai
0
x
)(xgy
Luas daerah = a
dxxf0
)(2 b
a
dxxgxf )()(
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBackHome
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh
satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
)()( yfxxfy y
0
x
)()( ygxxgy
Luas daerah = d
c
dyyfyg )()(
Li y
c
d
)()( yfyg
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
NextBackHome
Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Contoh 5.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (6 - y - y2)y
5. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
0
6
Liy
y
2)6( yy
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab
NextBackHome
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
0
6
Li yy
2)6( yy
Luas daerah =
2
03
3
2
26
yyy
Luas daerah = 03
3224)2(6
Luas daerah =
38212
Luas daerah =3
22
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Home Back Next
Pendahuluan
Bola lampu di samping dapat
dipandang sebagai benda
putar jika kurva di atasnya
diputar menurut garis
horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan dipelajari
juga penggunaan integral
untuk menghitung volume
benda putar.
Volume Benda Putar
Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan,
pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu. Gb. 4
Home NextBack
Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
0 x
y
x
0x
1 2-2
-1
y
1
2
3
4
NextBackHome
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
NextBackHome
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
V r2h atau V f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
V f(x)2 x
V = lim f(x)2 x
dxxfa0
2)]([v
x
h=x
x
x
y
0 x
y
xa
)(xf
)(xfr
NextBackHome
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 7.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
y
2x
12 x
x
12 xy
1
y
h=x
x
x
12 xr
x
Jawab
NextBackHome
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
y
h=x
x
x
12 xr
V r2h
V (x2 + 1)2 x
V (x2 + 1)2 x
V = lim (x2 + 1)2 x
dxxV 2
0
22 )1(
dxxxV 2
0
24 )12(
20
3325
51 xxxV
1511
316
532 13)02( V
NextBackHome
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 8.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
bentuk integral.
2
y
y
2xy
x
y
y
x
y
h=y
y
yr
Jawab
NextBackHome
Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
V r2h
V (y)2 y
V y y
V = lim y y
dyyV 2
0
2
0
221 yV
)04(21 V
x
y
h=y
y
yr
2
dyyV 2
0
2V
NextBackHome
Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombay
dengan memotong-motongnya yang
potongannya berbentuk cincin.
NextBackHome
Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= (R2 – r2)h
hr
R
Gb. 5
NextBackHome
Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 9.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
x2
2x
y
x
Jawab
NextBackHome
Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
y
x
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
r=x2
R=2x
V (R2 – r2) h
V [ (2x)2 – (x2)2 ] x
V (4x2 – x4) x
V (4x2 – x4) x
V = lim (4x2 – x4) x
dxxxV 2
0
42 )4(
20
5513
34 xxV
)(5
323
32 V
)(15
96160 V
1564V
NextBackHome
Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar disamping.
NextBackHome
Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
rr
h
h
2rΔr
V = 2rhΔr
NextBackHome
Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 10.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral. 0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
Jawab
NextBackHome
Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
r = x
x
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
V 2rhx
V 2(x)(x2)x
V 2x3x
V = lim 2x3x
dxxV 2
0
32
2
0
4412 xV
8V
NextBackHome
Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
0
x
1 2-2 -1
y
1
2
3
4
V (R2 – r2)y
V (4 - x2)y
V (4 – y)y
V = lim (4 – y)y
dxyV 4
0
4
4
0
2214 yyV
)816( V
8V
0
x
1 2x
2xy
y
1
2
3
4
yr=x
R = 2
Home Back Next
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali
Latihan (6 soal)
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
0X
Y 2xy
2
4dxx
2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
Soal 1.
A
B
C
D
E
Home Back Next
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
Soal 1.
0X
Y 2xy
2
4dxx
2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
A
B
C
D
E
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
0
2 ( Jawaban D )
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk
integral sebagai ....
Soal 1.
dxx2
0
2
dyy4
0
dxx4
0
2
dxx 2
0
2)4(
dxx 4
0
2)4(
A
B
C
D
E
0X
Y 2xy
2
4
x
x
4 - x2
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
0
2 ( Jawaban D )
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
Home Back Next
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
2
2
( Jawaban E )
2
2
3314L
xx
)8()8(L 38
38
3210L
3
32
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 2.
4,5 satuan luas
6 satuan luas
7,5 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 2/3 satuan luas
0X
Y
24 xy
2-2
x
x
L (4 – x2) x
L (4 – x2) x
L = lim (4 – x2) x
dxx )4(L2
2
2
( Jawaban E )
2
2
3314L
xx
)8()8(L 38
38
3210L
3
32
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
Home Back Next
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
L (8 – x2 -2x) x
dxxx )28(L2
0
2
( Jawaban D )319L
3
28
2
0
23318L xxx
416L 38
0X
Y
28 xy
xy 2
2
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….
A
B
C
D
E
Soal 3.
5 satuan luas
7 2/3 satuan luas
8 satuan luas
9 1/3 satuan luas
10 1/3 satuan luas
0X
Y
28 xy
xy 2
2
L (8 – x2 -2x) x
dxxx )28(L2
0
2
( Jawaban D )319L
3
28
2
0
23318L xxx
416L 38
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
Home Back Next
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas
( Jawaban B )
L [(2 – y ) – y2 ] y
dyxy )2(L1
2
2
5,42
9L
1
2
3312
212L
yyy
)24()2(L 38
31
21
0X
Y
2yx
yx 2
-2
1
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
( Jawaban B )
L [(2 – y ) – y2 ] y
dyxy )2(L1
2
2
5,42
9L
1
2
3312
212L
yyy
)24()2(L 38
31
21
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 4.
2,5 satuan luas
4,5 satuan luas
6 satuan luas
10 2/3 satuan luas
20 5/6 satuan luas0
X
Y
2yx
yx 2
-2
1
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
Soal 5.
4
0dxxv
4
0
2 dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
Soal 5.
4
0dxxv
4
0
2 dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
( Jawaban D )
V 2xx x
dxxx4
02V
Jawaban Anda Benar
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
( Jawaban D )
V 2xx x
dxxx4
02V
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y
sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang
menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....
A
B
C
D
E
Soal 5.
4
0dxxv
4
0
2 dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home NextBack
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
( Jawaban C )
V (x)2 x
4
0V dxx
4
0
221V x
8V
Jawaban Anda Benar
Home Back Next
Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
( Jawaban C )
V (x)2 x
4
0V dxx
4
0
221V x
8V
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X
sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
x
x
Jawaban Anda Salah
Home Back Next
Integral Tak Wajar
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi ST, MT
1
Integral Tak Wajar
Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahreiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :
b
a
dxxf )(
a. Batas pengintegralan berhingga
b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral tentu disebut integral tak wajar
Jenis-jenis integral tak wajar
a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga
b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga
a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga
Definisi :
b
a
b
adxxfdxxf )(lim)(
b
aab
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajardisebut konvergen, sebaliknya disebut divergen
(i)
(ii)
(iii)
c
c
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
b
cb
c
aadx)x(flimdx)x(flim
c
dx)x(f
c
dx)x(f
dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen
Contoh Periksa kekonvergenan ITW
0
212 )x(
dxdxxxe
4
2
)xx(
dx
522a. b. c.
Jawab :
dxxedxxxeb
x
b
4
2
lim4
2
42
1lim
2 be x
ba.
2
1
)12(2
1
2
1lim
bb
Jadi integral tak wajar konvergen ke
b.
bxb
0
)12(2
1lim
1616
2
1
2
1 2
eeelim b
b
Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2
16
2
1 e
0
2)12(lim
0
2)12( b x
dx
x
dxb
12
1
2 5252522 xx
dx
xx
dx
)xx(
dx
1
1
22 52lim
52lim
a
b
ba xx
dx
xx
dx
b
x
ba
x
a1
211
1
211 tan
2
1limtan
2
1lim
1tantan2
1limtan1tan
2
1lim 1
211
2111
b
b
a
a
422
1
242
1
c.
2
2
Jadi integral tak wajar konvergen ke
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
024 x
dx
04 dxxe
1 x
dx
1
2
1
x
dxe x
a. b. c. d.
2
22 )1( x
dxxe. f.
)162(x
dx
2xe
xdxg.
1722 xx
dxh.
b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga
(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang
Jika kontinu pada [a,b) dan maka
)x(flimbx
t
abt
b
a
dx)x(flimdx)x(f
Jika kontinu pada (a,b] dan maka
)x(flimax
b
sas
b
a
dx)x(flimdx)x(f
Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakankonvergen, sebaliknya dikatakan divergen
(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan
)(lim xfcx
maka
b
cdxxf
c
adxxf
b
adxxf )()()(
b
s
dxxft
a cs
dxxf
ct
)(lim)(lim
I II
Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar b
a
dxxf )(
konvergen.
Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar
1
0
dxx
xln
Jawab :
x
xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan
x
xlnlim
x 0
maka
1
0
1
0
lnlim
ln
tt
dxx
xdx
x
x
tx
t
1)(ln
2
1lim 2
0
22
0)()(ln0
2
1lim tt
Integral tak wajar divergen
dxx
x
2
0 1
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
Jawab
Fungsi diskontinu di x=1 danx
xxf
1)(
x
x
x 1lim
1
2
1
1
0
2
0111
dxx
xdx
x
xdx
x
x
s
tts
dxx
xdx
x
x
0
2
11 1lim
1lim
0|1|lnlim1
sss
ss
ssxxdx
x
x
0011
|1|lnlim1
lim
Karena
maka integral tak wajar divergendxx
x
2
01
Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungandari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga danintegran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contohberikut
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
0 1dx
x
x
Jawab :Integral diatas merupakan integral tak wajar karena
- batas atas integral tak hingga- integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selangpengintegralan
sehingga
0 1dx
x
x
1
0
2
1 2111
dxx
xdx
x
xdx
x
x
2
2
101 111 limlimlim dxx
xdx
x
xdx
x
x
btt
s
s
Karena
0|1|lnlim|1|lnlim
1lim
10
011ssxxdx
x
x
s
ss
ss
Maka integral tak wajar divergen
0 1dx
x
x
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
1
13
1
x
dx
1
1dxxxe
1
1 x
dx
1
0 21 x
dxa. b. c. d.
0
2
2 107xx
dxxe.
1
2
2 1x
dxx
1
2
2 1x
dxxf. g.
3
0ln xx
dxh.
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
1
13
1
x
dx
1
1dxxxe
1
1 x
dx
1
0 21 x
dx
g.
b. c. d.
0
2
2 107xx
dxxe.
1
2
2 1x
dxx
1
2
2 1x
dxx
f.
a.
3
0ln xx
dxh.
Integral RangkapIntegral Rangkap
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi ST, MT
1
INTEGRAL GANDA
Integral untuk fungsi satu variable, kitamembentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadiinterval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, ….n
Dengan cara yang sama, Kita definisikan integraluntuk fungsi dua variable.
Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatudaerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah inidibagi atas n buah sub daerah yang masing-masingluasnya A1 , A2 , A3 …… An
n
k
b
a
dxxf1
kkn
x)f(xlim)(
Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk )
dan bentuklah jumlah :
Jika jumlah sub daerah makin besar (n→∞), makaintegral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atasdaerah R didefinisikan :
AyxfAyxfAyxfAyxf nnn
n
kkkk
),(.......),(),(),( 2221
111
n
kkkk
nR
AyxfdAyxf1
),(lim),(
Untuk menghitung integral lipat dua dapatdigunakan integral berulang yang ditulis dalambentuk :
a.
dimana integral yang ada dalam kurung harusdihitung terlebih dahulu dengan menganggapvariabel y konstanta, kemudian hasilnya diintegralkembali terhadap y.
),(),( RR
dxdyyxfdAyxf
b
a
yfy
yfy
dydxyxf)(
)(
2
1
),(
b.
dimana integral yang ada dalam kurung harusdihitung terlebih dahulu dengan menganggapvariable x konstanta, kemudian hasilnya diintegralkembali terhadap x.
Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b)secara umum akan memberikan hasil yang sama.
RR
dydxyxfdAyxf ),(),(
b
a
yfy
yfy
dxdyyxf)(
)(
2
1
),(
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG
Bentuk umum :
dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }
a,b,c dan d adalah konstanta
d
R
c
a b
dxdyyxfdAyxfR
),(),(
Contoh
Contoh :
1.
2.
3.
4.
1
0
2
1
dxdy
4
2
2
1
22 )( dxdyyx
4
2
2
1
2 )3( dydxyxy
4
2
2
0
)2cos(sin
drdr
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG
dimana :
R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }
)(f
)(
2
1
dx),(),(.x
xfy
b
axR
dyyxfdAyxfa
dimana :
R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }
)(f
)(
2
1
dy),(),(.y
yfx
d
cyR
dxyxfdAyxfb
Contoh
1 1
0
2
2
x
x
dydxxy
2
1
3
)(.2y
y
dxdyyx
1
0 2
2
2
.3xx
x
dydxx
2 2sin
2cos
2.4
drd
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :
dapat dijelaskan sbb :
1. LUAS
Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipatdua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat duamenjadi :
R
dAyxf ),(
RR
dydxdxdyAatauR
dAA
Dalam koordinat polar :
contoh :
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = 0, x + y = 2
dan 2y = x + 4
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh
parabola-parabola : y2 = 4 – x dan y2 = 4 – 4x
3. Hitung :
dengan R adalah daerah dikuadran pertama yang
berada diluar lingkaran r=2 dan di dalam
kardioda r = 2(1+cos ѳ)
2
1
2
1
dd
R
dAA
R
dAA
2. VOLUME
Jika z=f(x,y) adalah persamaan permukaan , maka:
adalah volume benda antara permukaan dan bidangxoy.
Contoh :
Hitung volume benda yang dibatasi oleh selinder
x2 + y2 = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0
R
dxdyyxfV ),(
3. MassaJika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis (massapersatuan luas ), maka :
merupakan massa dari benda itu.
contoh :
Sebuah lamina (pelat tipis) dengan kerapatan f(x,y)=xydibatasi oleh sumbu x, garis x = 2 dan kurva y=x3
Tentukan massa totalnya.
R
dxdyyxf ),(
4. Pusat Massa
Jika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina (pelat
tipis), maka pusat massanya : (x,y) adalah sbb :
,
Contoh :
Tentukan pusat massa dari lamina yang mempunyai
Kerapatan f(x,y) = xy dan dibatasi oleh sumbu x , garis
x = 2 dan kurva y = x3
S
SY
dAyxf
dAyxfx
M
Mx
),(
),(
S
SX
dAyxf
dAyxfy
M
My
),(
),(
5. Momen InersiaMomen Inersia dari pelat tipis yang mempunyai
Kerapatan f(x,y) terhadap sumbu x dan sumbu y
adalah :
,
Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z ( titik
asal ) :
Contoh :
Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z
Untuk lamina yang mempunyai kerapatan xy dan
dibatasi sumbu x , garis = 2 dan kurva y = x3
R
x dAyxfyI )..,(2
R
y dAyxfxI )..,(2
R
yxZ dAyxfyxIII )..,()( 22
INTEGRAL LIPAT TIGAIntegral lipat tiga dari suatu fungsi tiga
variabel bebas thd. daerah R, dimana fungsi bernilai
tunggal dan kontinu, merupakan suatu pengembangan
dari integral tunggal dan integral lipat dua.
Jika f(x,y,z) = 1, maka integral menjadi :
dapat diartikan pengukuran
volume daerah R
R
dVzyxf ),,(
dVdVzyxfR
),,(
Dalam koordinat tegak lurus , integral tersebut dapat
dinyatakan dalam bentuk :
dimana :
x1 ≤ x ≤ x2
y1 (x) ≤ y ≤ y2(x)
z1 (x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)
2
1
2
1
2
1
)(
)(y
),(
),(
z)dzdydxy,f(x,),,(x
x
xy
x
yxz
yxzR
dVzyxf
Contoh :
2
1
3
2
4
3
dzdydxxyz.1
1
0 x 02
dzdydx2z.2x xy
1
0 2-x 0
2
dzdydx2xz.3x yx
1
0
2
x
2
0
dzdydx2z)(x.4x yx
LUAS BIDANG ANTARA 2 KURVA
y=f1(x)
y=f2(x)
a b x
y
a
b
x
y
x=f1(y)
x=f2(y)
b
a
yf
yf
yxyxf)(2
)(1
),(
Volume dari benda
Dan jika
Akan menjadi
ContohTentukan luas area antara 2 kurva y1=(x-1)2 dan kurva y2= 4- (x-3)2
Tentukan titik potong kedua kurva
Titik potong kurva
Satuan luas
contohSuatu plat segiempat dibatasi oleh sumbu x dan y dan garis x=6 dan y=4.Ketebalan dari plat berbanding lurus dengan jarak terhadap kuadrat titikke titik asal. Tentukan volume dari plat tersebut.
kxxk
xxk
xyyxkV
x
x
x
x
416)]3
643
4(
3
644
)]3
1(
60
3
6
0
2
6
0
40
32
Volume elemen padaPTotal volume V
contoh
Volume elemen
Volume kolom
Volume potongan
Volume benda padat
ContohTentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang bidang koordinat danBidang 3x+6y+4z-12=0
Z=0 maka 3x+6y-12=0 atau x+2y-4=0 pada bidang xyY=0 maka 3x +4z-12=0 pada bidang xzX=0 maka 6y+4z -12=0 pada bidang yz
z
y
x
2
4
3
Z=(12-3x-6y)/4
AyxR
244
3
RBidang xy maka y=2-x/2 dan x=4-2y daerah R
R={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤2-x/2}AtauR={(x,y)|0≤x≤4-2y,0≤y≤2}
2
0
24
0
4
0
2/2
0
4244
3
4244
3
y
x
yxyxV
atau
xyyxV
LATIHAN
AdaptifMatrik
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI
2013
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi ST, MT
1
Konsep Matriks
AdaptifHal.: 3 Matriks
Macam-macam Matriks
Kompetensi Dasar :
Mendeskripsikan macam-macam matriks
Indikator :
1. Matriks ditentukan unsur dan notasinya
2. Matriks dibedakan menurut jenis dan relasinya
AdaptifHal.: 4 Matriks
Kinds of Matrix
Basic Competences :
Describing the kinds of matrix
Indicators :
1. Matrix is determined by its elements andnotations
2. Matriks matrix is distinguished by its kinds andrelations
AdaptifHal.: 5 Matriks
Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :am1 am2……amj……. amn
A =baris
kolom
Notasi:
Matriks: A = [aij]
Elemen: (A)ij = aij
Ordo A: m x n
Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen.Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.
Macam – macam Matriks
AdaptifHal.: 6 Matriks
Definition of Matrix
Matrix is the arrangement of numbers whichconsists of rows and columns.
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :am1 am2……amj……. amn
A =rows
column
Notation:
Matrix: A = [aij]
Element: (A)ij = aij
Order A: m x n
Each of the numbers in matrix is called as entry or element. Order(size) of matrix is the value of the row number multiplied by thenumber of column.
Kinds of Matrix
AdaptifHal.: 7 Matriks
Macam-macam Matriks
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.
21A 2 5
31 xB
41xC
1 -8 25
-2 0 14 8
1. Matriks Baris
AdaptifHal.: 8 Matriks
Kinds of Matrix
Row matrix is a matrix which consists of one row.
21A 2 5
31 xB
41xC
1 -8 25
-2 0 14 8
1. Row matrix
AdaptifHal.: 9 Matriks
Macam-macam Matriks
12P
2. Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom
2
-7
13Q9
2
1
AdaptifHal.: 10 Matriks
Kinds of Matrix
12P
2. Column matrix
Column matrix is a matrix which consists of one column.
2
-7
13Q9
2
1
AdaptifHal.: 11 Matriks
1 2 4
2 2 2
3 3 3
3. Matriks Persegi
Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah barisdan jumlah kolom sama.
Trace(A) = 1 + 2 + 3
Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama
diagonal utama
Macam – macam Matriks
AdaptifHal.: 12 Matriks
1 2 4
2 2 2
3 3 3
3. Square matrix
Square matrix is a matrix which has the same numbers of rows andcolumns.
Trace(A) = 1 + 2 + 3
Trace from matrix is the total numbers from the main diagonalelements.
Main diagonal
Kinds of Matrix
AdaptifHal.: 13 Matriks
4. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol
0 000 0
0 0
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I2I3 I4
Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonalutamanya 1 dan elemen lainnya 0
Macam- macam Matriks
AdaptifHal.: 14 Matriks
4. Zero matrix
zero matrix is a matrix which all of its elements are zero.
0 000 0
0 0
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I2I3 I4
Matrix identity is a square matrix which its main diagonalelement is 1 and the other element is 0.
Kinds of Matrix
AdaptifHal.: 15 Matriks
5. Matriks ortogonal
Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1
0 -1
1 0A =
0 1
-1 0AT=
B = ½√2 -½√2
½√2 ½√2
BT= ½√2 ½√2
-½√2 ½√2
Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1
= A-1
= B-1
(A-1)T = (AT)-1A-1 AT
Macam-macam Matriks
AdaptifHal.: 16 Matriks
5. Orthogonal Matrix
Matrix A is orthogonal if and only if AT = A –1
0 -1
1 0A =
0 1
-1 0AT=
B = ½√2 -½√2
½√2 ½√2
BT= ½√2 ½√2
-½√2 ½√2
If A is orthogonal matrix, so (A-1)T = (AT)-1
= A-1
= B-1
(A-1)T = (AT)-1A-1 AT
Kinds of Matrix
AdaptifHal.: 17 Matriks
Macam – macam Matriks
Definisi:
Transpose matriks A adalah matriks AT, kolom-kolomnya adalahbaris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.
4 2 6 7
5 3 -9 7
A = AT = A’ =
4 5
2 3
6 -9
7 7
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran………..
[AT]ij = [A]ji
n x m
AdaptifHal.: 18 Matriks
Kinds of Matrix
Definisi:
Transpose matrix A is matrix AT, its columns are rows of A, its rowsis columns of A.
4 2 6 7
5 3 -9 7
A = AT = A’ =
4 5
2 3
6 -9
7 7
if A is matrix m x n, so matrix transpose AT should be ………..
[AT]ij = [A]ji
n x m
AdaptifHal.: 19 Matriks
Kesamaan dua matriks
Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama.
1 2 4
2 1 3A =
1 2 4
2 1 3B =
1 2 2
2 1 3C =
2 1 2
2 1 3D =
1 2 4
2 2 2E =
x 2 4
2 2 2F =
2 2 2
4 5 6
9 0 7
G = H =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
A = B
C ≠ D
E = F jika x = 1
G = H
2 2 2
4 5 6
9 0 7
Macam – macam Matriks
AdaptifHal.: 20 Matriks
Similarity of two matrixes
Two matrix are similar if its size is similar and each symmetrical entry is similar
1 2 4
2 1 3A =
1 2 4
2 1 3B =
1 2 2
2 1 3C =
2 1 2
2 1 3D =
1 2 4
2 2 2E =
x 2 4
2 2 2F =
2 2 2
4 5 6
9 0 7
G = H =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
A = B
C ≠ D
E = F jika x = 1
G = H
2 2 2
4 5 6
9 0 7
Kind of Matrix
AdaptifHal.: 21 Matriks
Matriks Simetri
Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT
4 2
2 3A =
4 2
2 3A’ = A simetri
1 2 3 42 5 7 03 7 8 24 0 2 9
A = = AT
Macam-macam Matriks
AdaptifHal.: 22 Matriks
Symmetrical matrix
Matrix A is called symmetric if and only if A = AT
4 2
2 3A =
4 2
2 3A’ = A symmetric
1 2 3 42 5 7 03 7 8 24 0 2 9
A = = AT
Kinds of Matrix
AdaptifHal.: 23 Matriks
Sifat-sifat transpose matriks
A AT (AT)T
(AT )T = A1. Transpose dari A transpose adalah A:
4 2 6 7
5 3 -9 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
= A
Contoh:
Macam-macam Matriks
AdaptifHal.: 24 Matriks
properties of transpose matrix
A AT (AT)T
(AT )T = A1. Transpose of A transpose is A:
4 2 6 7
5 3 -9 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
= A
Example:
Kinds of Matrix
AdaptifHal.: 25 Matriks
Macam-macam Matriks
2. (A+B)T = AT + BT
A+B
(A+B)T
T
BT
B
T
A
T
AT
=
=
+
+
AdaptifHal.: 26 Matriks
Kinds of Matrix
2. (A+B)T = AT + BT
A+B
(A+B)T
T
BT
B
T
A
T
AT
=
=
+
+
AdaptifHal.: 27 Matriks
Macam-macam Matriks
3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k
kA
(kA)T = k(A)T
A
T T
k
AdaptifHal.: 28 Matriks
Kinds of Matrix
3. (kA)T = k(A) T for scalar k
kA
(kA)T = k(A)T
A
T T
k
AdaptifHal.: 29 Matriks
Macam-macam Matriks
4. (AB)T = BT AT
(AB)T
AB
T T
AB
T
=
AB = BTAT
AdaptifHal.: 30 Matriks
Kinds of Matrix
4. (AB)T = BT AT
(AB)T
AB
T T
AB
T
=
AB = BTAT
AdaptifHal.: 31 Matriks
Macam-macam Matriks
Isilah titik-titik di bawah ini
1. A simetri maka A + AT= ……..
2. ((AT)T)T = …….
3. (ABC)T = …….
4. ((k+a)A)T = ….....
5. (A + B + C)T = ……….
Kunci:1. 2A2. AT
3. CTBTAT
4. (k+a)AT
5. AT + BT + CT
Soal :
AdaptifHal.: 32 Matriks
Kind of Matrix
Fill in the blanks bellow
1. A symmetric then A + AT= ……..
2. ((AT)T)T = …….
3. (ABC)T = …….
4. ((k+a)A)T = ….....
5. (A + B + C)T = ……….
Answer keys:1. 2A2. AT
3. CTBTAT
4. (k+a)AT
5. AT + BT + CT
Quiz :
AdaptifHal.: 33 Matriks
OPERASI MATRIKS
Kompetesi Dasar
Menyelesaikan Operasi Matriks
Indikator1. Dua matriks atau lebih ditentukan hasil
penjumlahan atau pengurangannya
2. Dua matriks atau lebih ditentukan hasil kalinya
AdaptifHal.: 34 Matriks
OPERATION OF MATRIX
Basic competence
Finishing operation matrix
Indicator1. Two or more matrixes is defined by the result of
their addition or subtraction
2. Two or more matrixes is defined by the result oftheir multiplication
AdaptifHal.: 35 Matriks
Penjumlahan dan pengurangan dua matriks
Contoh :
10 22
1 -1
A = 2 6
7 5B =
10+2 22+6
1+7 -1+5A + B =
12 28
8 4=
8 16
-6 -6
=A - B = 10-2 22-6
1-7 -1-5
OPERASI MATRIKS
AdaptifHal.: 36 Matriks
Addition and subtraction of two matixes
Example:
10 22
1 -1
A = 2 6
7 5B =
10+2 22+6
1+7 -1+5A + B =
12 28
8 4=
8 16
-6 -6
=A - B = 10-2 22-6
1-7 -1-5
OPERATION OF MATRIX
AdaptifHal.: 37 Matriks
OPERASI MATRIKS
Apa syarat agar dua matriks dapatdijumlahkan?
Jawab:
Ordo dua matriks tersebut sama
A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,
A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij
AdaptifHal.: 38 Matriks
OPERATION OF MATRIX
What is the condition so that two matrixescan be added?
Answer:
The ordo of the two matrixes are the same
A = [aij] dan B = [bij] have the same size,
A + B is defined: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij
AdaptifHal.: 39 Matriks
Jumlah dua matriks
5 6 1
7 2 3C =
25 30 5
35 10 15D =
C + D =? ? ?
? ? ?
1 4 -93 7 05 9 -13
K =7 3 1-2 4 -59 -4 3
L =
K + L =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
D + C =
L + K =
Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?
OPERASI MATRIKS
AdaptifHal.: 40 Matriks
The quantity of two matrixes
5 6 1
7 2 3C =
25 30 5
35 10 15D =
C + D =? ? ?
? ? ?
1 4 -93 7 05 9 -13
K =7 3 1-2 4 -59 -4 3
L =
K + L =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
D + C =
L + K =
What is your conclusion? Is the addition of matrixes commutative?
OPERATION OF MATRIX
AdaptifHal.: 41 Matriks
Soal:
C + D =…
C + E = …
A + B = …
3 -8 0
4 7 2
-1 8 4
C = D =
3 7 2
5 2 6
-1 8 4
E =2 7 2
5 2 6
0 0 0
0 0 0A =
0 0 0
0 0 0B =
6 -1 2
9 9 8
-2 16 8
C +D =Feedback:
OPERASI MATRIKS
AdaptifHal.: 42 Matriks
Exercise:
C + D =…
C + E = …
A + B = …
3 -8 0
4 7 2
-1 8 4
C = D =
3 7 2
5 2 6
-1 8 4
E =2 7 2
5 2 6
0 0 0
0 0 0A =
0 0 0
0 0 0B =
6 -1 2
9 9 8
-2 16 8
C +D =Feedback:
OPERATION OF MATRIX
AdaptifHal.: 43 Matriks
Hasil kali skalar dengan matriks
5 6 1
7 2 3A = 5A = =
250 300 50
350 100 150H = H =
Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cAmempunyai entri-entri sebagai berikut:
(cA)ij = c.(A)ij = caij
Apa hubungan H dengan A?
5x5
5x5
5x6
5x2
5x1
5x3
25
35
30
10
5
15
Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifattertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)
50A
OPERASI MATRIKS
AdaptifHal.: 44 Matriks
The multiplication result of scalar matrix
5 6 1
7 2 3A = 5A = =
250 300 50
350 100 150H = H =
Given matrix A = [aij] aand scalar c, the multiplication of scalar cAhave the following entries:
(cA)ij = c.(A)ij = caij
What is the relation between H and A?
5x5
5x5
5x6
5x2
5x1
5x3
25
35
30
10
5
15
Note: In the set of Mmxn, the matrix multiplication with scalar have closedproperties (it will have matrix with the same orrdo)
50A
OPERATION OF MATRIX
AdaptifHal.: 45 Matriks
OPERASI MATRIKS
K 3 x 3
1 4 -93 7 05 9 -13
K =
5 20 -4515 35 025 45 -655K =
4 16 -3612 28 020 36 -52
4K =
AdaptifHal.: 46 Matriks
OPERATION OF MATRIX
K 3 x 3
1 4 -93 7 05 9 -13
K =
5 20 -4515 35 025 45 -655K =
4 16 -3612 28 020 36 -52
4K =
AdaptifHal.: 47 Matriks
OPERASI MATRIKS
Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Andatentang A dan c?
0 0 0
0 0 0A =A =
2 7 2
5 2 6c = 0c = 7
cA =0*2 0*7 0*2
0*5 0*2 0*6
0 0 0
0 0 0=cA =
7*0 7*0 7*0
7*0 7*0 7*0
Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang.Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.
Contoh:
kesimpulan
AdaptifHal.: 48 Matriks
OPERATION OF MATRIX
Known that cA is zero matrix. What is your conclusion aboutA and c?
0 0 0
0 0 0A =A =
2 7 2
5 2 6c = 0c = 7
cA =0*2 0*7 0*2
0*5 0*2 0*6
0 0 0
0 0 0=cA =
7*0 7*0 7*0
7*0 7*0 7*0
Case 1: c = 0 and A is any matrixCase 2: A is zero matrix and c can be anynumber
Example:
Conclusion
AdaptifHal.: 49 Matriks
OPERASI MATRIKS
Definisi:
Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n,maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut:
∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj
k = 1
(C)ij = (AB)ij =
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
B = Tentukan AB dan BA
A B AB
m x r r x n m x n• Syarat:
r
Perkalian matriks dengan matriks
AdaptifHal.: 50 Matriks
OPERATION OF MATRIX
Definition: If A = [aij] have size m x r , and B = [bij] have size r x n, then the
matrix which is from the multiplication result between A and B,yaitu is C = AB has elements that defined as follows:
∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj
k = 1
(C)ij = (AB)ij =
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
B = Define AB and BA
A B AB
m x r r x n m x n• Condition:
r
Multiplication between matrix
AdaptifHal.: 51 Matriks
Perkalian matriks dengan matriks
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
11 3
B =
A B =2.1 +3.7+4.4+5.11 -35
-49 -35
-94 -55
94 -35
-49 -35
-94 -55
=
OPERASI MATRIKS
=
Contoh :
BA tidak didefinisikan
AdaptifHal.: 52 Matriks
The multiplication between matrixes
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
11 3
B =
A B =2.1 +3.7+4.4+5.11 -35
-49 -35
-94 -55
94 -35
-49 -35
-94 -55
=
OPERATION OF MATRIX
=
Example:
BA is not define
AdaptifHal.: 53 Matriks
OPERASI MATRIKS
1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu?
2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol?
2 32 3
A =3 -3-2 2
B =0 00 0
AB =
B A
n x k m x n
m = k
ABmxm ABnxn
AB dan BAmatriks persegi
AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol
A B
n x km x n
AdaptifHal.: 54 Matriks
OPERATION OF MATRIX
1. Given A and B, AB and BA is defined. What is your conclusion?
2. AB = O is zero matrix, is one of (A or B) is zero matrix?
2 32 3
A =3 -3-2 2
B =0 00 0
AB =
B A
n x k m x n
m = k
ABmxm ABnxn
AB and BAsquare matricx
AB is zero matrix. Matrix A and B is not certainzero matrix
A B
n x km x n
AdaptifHal.: 55 Matriks
Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.
• A B = ??• AC = ??• BD = ??• CD = ??• DB = ??
OPERASI MATRIKS
2 3 4 54 7 9 02 3 5 6
A =
1 2-9 08 05 6
B =
7 -11 43 5 -6
C = 1 8 9 5 62 5 6 -9 00 -4 7 8 9
D =
Contoh 1:
AdaptifHal.: 56 Matriks
Define the multiplication result if it defined:
• A B = ??• AC = ??• BD = ??• CD = ??• DB = ??
OPERATION OF MATRIX
2 3 4 54 7 9 02 3 5 6
A =
1 2-9 08 05 6
B =
7 -11 43 5 -6
C = 1 8 9 5 62 5 6 -9 00 -4 7 8 9
D =
Example 1:
AdaptifHal.: 57 Matriks
OPERASI MATRIKS
Contoh 2:2 31 2
A =
A2 =2 31 2
2 31 2
A3 = A x A2 =2 31 2
2 31 2
2 31 2
A0 = IAn =
n faktor
An+m = An Am
A A A …A
AdaptifHal.: 58 Matriks
OPERATION OF MATRIX
Example 2:2 31 2
A =
A2 =2 31 2
2 31 2
A3 = A x A2 =2 31 2
2 31 2
2 31 2
A0 = IAn =
n factor
An+m = An Am
A A A …A
AdaptifHal.: 59 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Kompetensi Dasar:
Menentukan determinan dan invers
Indikator :
1. Matriks ditentukan determinannya
2. Matriks ditentukan inversnya
AdaptifHal.: 60 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
Basic Competence:
Define the determinant and inverse
Indicator :
1. Matrix is defined by its determinant
2. Matrix is defined by its inverse
AdaptifHal.: 61 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Determinan Matriks ordo 2 x 2
Nilai determinan suatu matriks ordo 2 x 2 adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen pada diagonal kedua.
Misalkan diketahui matriks A berordo 2 x 2, A =
Determinan A adalah
det A =
dc
ba
dc
ba= ad - bc
AdaptifHal.: 62 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
Determinant Matrix ordo 2 x 2
Determinant value of a matrix ordo 2 x 2 is the multiplication result of themain diagonal elements and subtract by the multiplication result of thesecond diagonal.
For example, known matrix A ordo 2 x 2, A =
Determinant A is
det A =
dc
ba
dc
ba= ad - bc
AdaptifHal.: 63 Matriks
Contoh: Invers matriks 2x2
3 2
4 1A =
I=
1 -23.1-4.2 3.1-4.2
3-43.1-4.2 3.1-4.2
=A-1
1 25 5
345 5
DETERMINAN DAN INVERS
AdaptifHal.: 64 Matriks
Example: Matrix inverse 2x2
3 2
4 1A =
I=
1 -23.1-4.2 3.1-4.2
3-43.1-4.2 3.1-4.2
=A-1
1 25 5
345 5
DETERMINANT AND INVERSE
AdaptifHal.: 65 Matriks
DETERMINANT DAN INVERSE
1. Kapan matriks TIDAK mempunyai invers?a b
c d
2. Tentukan invers matriks berikut ini
1 0
0 1d.
5 1
1 2a.
0 1
0 2b.
0 0
4 1c.
1 0
0 1d.
2/3 -1/5
-1/5 5/3a.
ad-bc = 0
b. tidak mempunyai invers
c. tidak mempunyai invers
Contoh :
AdaptifHal.: 66 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
1. When matrix Doesn’t have inverse?a b
c d
2. Define the following matrix inverse
1 0
0 1d.
5 1
1 2a.
0 1
0 2b.
0 0
4 1c.
1 0
0 1d.
2/3 -1/5
-1/5 5/3a.
ad-bc = 0
b. Doesn’t have inverse
c. Doesn’t have inverse
Example :
AdaptifHal.: 67 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
B adalah invers dari matriks A, jika AB = BA = I matriksidentitas, ditulis B = A-1
dc
ba
A IA-1A-1 A= =
Jika A = , maka
ac
bd
bcadA
11
0 bcadAdengan
AdaptifHal.: 68 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
B is inverse of matrix A, if AB = BA = I matrix identities,it is written B = A-1
dc
ba
A IA-1A-1 A= =
If A = , then
ac
bd
bcadA
11
0 bcadAwith
AdaptifHal.: 69 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh 1 :
Tentukan invers dari matriks
27
517
5.717.2
11
ac
bd
AA
42
105
177
52danBA
Jawab :
27
517
det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , sehingga matriks B
tidak memiliki invers
AdaptifHal.: 70 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
Example 1 :
Defined the inverse of matrix
27
517
5.717.2
11
ac
bd
AA
42
105
177
52danBA
Answer :
27
517
det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , So, matrix B doesn’t
have inverse
AdaptifHal.: 71 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4 2
2 2
½ -½
-½ 1
4 2 1
2 2 1
3 3 1
½ -½ 1
-½ -½ 1
0 3 -2
1 0
0 1
Contoh 2 :
4 2
2 2
½ -½
-½ 1= =
A A-1 A-1 A I
4 2 1
2 2 1
3 3 1
½ -½ 1
-½ -½ 1
0 3 -2
= =
B B-1 B-1 B I
Diketahui matriks
Tunjukkan bahwa A.A-1 = A-1.A = I dan B.B-1 = B-1. B = I
133
122
124
22
24danBA
AdaptifHal.: 72 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4 2
2 2
½ -½
-½ 1
4 2 1
2 2 1
3 3 1
½ -½ 1
-½ -½ 1
0 3 -2
1 0
0 1
Example 2 :
4 2
2 2
½ -½
-½ 1= =
A A-1 A-1 A I
4 2 1
2 2 1
3 3 1
½ -½ 1
-½ -½ 1
0 3 -2
= =
B B-1 B-1 B I
Known matrix
Show that A.A-1 = A-1.A = I and B.B-1 = B-1. B = I
133
122
124
22
24danBA
AdaptifHal.: 73 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Matriks ordo 3 x 3
.
ihg
fed
cba
MisalkanA
Determinan Matriks Ordo 3 x 3
Dengan aturan Sarrus, determinan A adalah sebagai berikut.
hg
ed
ba
ihg
fed
cba
A
_ _ _ + + +
bdiafhcegcdhbfgaei
)()( bdiafhcegcdhbfgaei
AdaptifHal.: 74 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
Matrix ordo 3 x 3
.
ihg
fed
cba
exampleA
Matrix Determinant Ordo 3 x 3
With Sarrus rule, determinant A is as follows
hg
ed
ba
ihg
fed
cba
A
_ _ _ + + +
bdiafhcegcdhbfgaei
)()( bdiafhcegcdhbfgaei
AdaptifHal.: 75 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Matriks
Misal SPL111 cybxa
222 cybxa
Persamaan tersebut dapat di ubah menjadi bentuk matriks
berikut
2
1
22
11
c
c
y
x
ba
ba
AdaptifHal.: 76 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
The equation of linear with two variable using matrix
For example SPL111 cybxa
222 cybxa
The equation can be changed into the following matrix
2
1
22
11
c
c
y
x
ba
ba
AdaptifHal.: 77 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Misalkan ,,2
1
22
11
C
CdanB
y
xP
ba
baA maka dapat ditulis
2
1
22
11
c
c
y
x
ba
ba
BAP
BAP 1
AdaptifHal.: 78 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
Example ,,2
1
22
11
C
CandB
y
xP
ba
baA Then can be write
as
2
1
22
11
c
c
y
x
ba
ba
BAP
BAP 1
AdaptifHal.: 79 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh :
1632 yx
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear
134 yx
134 yxJawab :
Sistem persamaan 1632 yx
Jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi
13
16
41
32
y
x
AdaptifHal.: 80 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
Example:
1632 yx
Define the value of x and y that fulfill the equation of linear system
134 yx
134 yxanswer :
Equation system 1632 yx
If in matrix
13
16
41
32
y
x
AdaptifHal.: 81 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Perkalian matriks berbentuk AP = B dengan
13
16,
41
32danB
y
xPA
21
34
5
1
21
34
3.14.2
11A
BAP
BAP 1
13
16
21
34
5
1
y
x
2
5
10
25
5
1
2616
3964
5
1
Jadi nilai x = 5 dan y = 2
AdaptifHal.: 82 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
The matrix multiplication in the form of AP =B with
13
16,
41
32danB
y
xPA
21
34
5
1
21
34
3.14.2
11A
BAP
BAP 1
13
16
21
34
5
1
y
x
2
5
10
25
5
1
2616
3964
5
1
So, the value of x = 5 and y = 2
AdaptifHal.: 83 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel denganmenggunakan determinan atau aturan Cramer.
cbyax Misal SPL
rqypx
Maka dengan aturan Cramer, diperoleh
,
qp
ba
qr
bc
x
qp
ba
rp
ca
y dan
AdaptifHal.: 84 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
The solution of linear equation system with two variablesusing determinant or Cramer rule
cbyax For example
SPLrqypx
Then, with Cramer rule, we get
,
qp
ba
qr
bc
x
qp
ba
rp
ca
y dan
AdaptifHal.: 85 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Contoh :Gunakan aturan Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaiansistem persamaan linear
543 yx
42 yx
111
11
)4.(21.3
)4.(41).5(
12
43
14
45
x
Jawab :
Dengan aturan Cramer diperoleh
211
22
)4.(21.3
)5.(24.3
12
43
42
53
y
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}.
AdaptifHal.: 86 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
Example :Use the Cramer rule to define the solution set of linear equationsystem
543 yx
42 yx
111
11
)4.(21.3
)4.(41).5(
12
43
14
45
x
answer :
With cramer Rule, we get
211
22
)4.(21.3
)5.(24.3
12
43
42
53
y
So, the solution set is {(1,2)}.
AdaptifHal.: 87 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel denganmenggunakan Matriks
SPL dalam bentuk:
Dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:
a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm
a11 a12……...a1n
a21 a22 ……..a2n
: : :am1 am2…… amn
x1
x2
:xn
=b1
b2
:bn
A: matriks koefisien
Ax = b
x b
AdaptifHal.: 88 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
Finishing the equation of linear system with three variablesusing matrix
SPL in the form of:
It can be written in the form of matrix equation:
a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm
a11 a12……...a1n
a21 a22 ……..a2n
: : :am1 am2…… amn
x1
x2
:xn
=b1
b2
:bn
A: matrix coefficient
Ax = b
x b
AdaptifHal.: 89 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
x1 + 2x2 + x3 = 6
-x2 + x3 = 1
4x1 + 2x2 + x3 = 4
SPL
1 2 1
0 -1 1
4 2 1
x1
x2
x3
=
6
1
4
1.x1 +2.x2 + 1.x3
0.x1 + -1.x2 + 1.x3
4.x1 +2.x2 + 1.x3
=
6
1
4
Dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut
Contoh :
AdaptifHal.: 90 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
x1 + 2x2 + x3 = 6
-x2 + x3 = 1
4x1 + 2x2 + x3 = 4
SPL
1 2 1
0 -1 1
4 2 1
x1
x2
x3
=
6
1
4
1.x1 +2.x2 + 1.x3
0.x1 + -1.x2 + 1.x3
4.x1 +2.x2 + 1.x3
=
6
1
4
It can be written in the form of the following matrix
Example :
AdaptifHal.: 91 Matriks
Perkalian dengan matriks identitas
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A=1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
A.I =
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I.A ==
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
X
DETERMINAN DAN INVERS
X
AdaptifHal.: 92 Matriks
The multiplication of identity matrix
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A=1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
A.I =
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I.A ==
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
X
DETERMINANT AND INVERSE
X
AdaptifHal.: 93 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu?
1 4 -93 7 05 9 -13
1 4 -93 7 05 9 -13
AB = A dan BA = A, maka B = I
(I matriks identitas)
1 0 00 1 00 0 1
1 0 00 1 00 0 1
=
=
1 4 -93 7 05 9 -13
1 4 -93 7 05 9 -13
A AII A= =
AdaptifHal.: 94 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
AB = A and BA = A, what is your conclusion?
1 4 -93 7 05 9 -13
1 4 -93 7 05 9 -13
AB = A and BA = A, then B = I
(I identity matrix )
1 0 00 1 00 0 1
1 0 00 1 00 0 1
=
=
1 4 -93 7 05 9 -13
1 4 -93 7 05 9 -13
A AII A= =
AdaptifHal.: 95 Matriks
d -bab-cd ab-cd
-c aab-cd ab-cd
DETERMINAN DAN INVERS
4 2
2 2
½ -½
-½ 1
1 0
0 1
d -b
-c a
1
ad - bc
Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai invers.
=
A IA-1
a b
c dA-1
1 0
0 1=
A-1 = =
AdaptifHal.: 96 Matriks
d -bab-cd ab-cd
-c aab-cd ab-cd
DETERMINANT AND INVERSE
4 2
2 2
½ -½
-½ 1
1 0
0 1
d -b
-c a
1
ad - bc
If ad –bc = 0 then A doesn’t have inverse
=
A IA-1
a b
c dA-1
1 0
0 1=
A-1 = =
AdaptifHal.: 97 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
1. Invers dari matriks jika ada adalah tunggal:
Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C
4 2
2 2A =
½ -½
-½ 1A-1
4 2
2 2
1 0
0 1
2. (A-1)-1 = A
?
(A-1)-1
=½ -½
-½ 1
A-1 =
A
AdaptifHal.: 98 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
1. If there is inverse of matrix is only one:
If B = A-1 and C = A-1, then B = C
4 2
2 2A =
½ -½
-½ 1A-1
4 2
2 2
1 0
0 1
2. (A-1)-1 = A
?
(A-1)-1
=½ -½
-½ 1
A-1 =
A
AdaptifHal.: 99 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
3. Jika A mempunyai invers maka An mempunyai invers dan
(An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,…
4 2
2 2A =
4 2
2 2A3 =
4 2
2 2
4 2
2 2
½ -½
-½ 1A-1 =
=104 64
64 40
(A3)-1 =0.625 -1
-1 1.625
(A-1)3 = 0.625 -1
-1 1.625
½ -½
-½ 1
½ -½
-½ 1
½ -½
-½ 1=
sama
AdaptifHal.: 100 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
3. If A have inverse then An have inverse and
(An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,…
4 2
2 2A =
4 2
2 2A3 =
4 2
2 2
4 2
2 2
½ -½
-½ 1A-1 =
=104 64
64 40
(A3)-1 =0.625 -1
-1 1.625
(A-1)3 = 0.625 -1
-1 1.625
½ -½
-½ 1
½ -½
-½ 1
½ -½
-½ 1=
The same
with
AdaptifHal.: 101 Matriks
DETERMINAN DAN INVERS
4. (AB)-1 = B-1 A-1
4 2
2 2A =
3 5
2 2B = B-1 =
½ 5/4
½ - ¾
(AB)-1 = 16 24
10 14
-1
=-0.875 1.50.625 -1
A-1 B-1 = ½ 5/4
½ - ¾
½ -½
-½ 1=
-0.5 10.75 -1.375
B-1 A-1 = ½ 5/4
½ - ¾
½ -½
-½ 1=
-0.875 1.50.625 -1
AdaptifHal.: 102 Matriks
DETERMINANT AND INVERSE
4. (AB)-1 = B-1 A-1
4 2
2 2A =
3 5
2 2B = B-1 =
½ 5/4
½ - ¾
(AB)-1 = 16 24
10 14
-1
=-0.875 1.50.625 -1
A-1 B-1 = ½ 5/4
½ - ¾
½ -½
-½ 1=
-0.5 10.75 -1.375
B-1 A-1 = ½ 5/4
½ - ¾
½ -½
-½ 1=
-0.875 1.50.625 -1
Bilangan komplek
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi ST, MT
1
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI
DASARBILANGANKOMPLEKS
TUJUAN
33
Mahasiswa diharapkan mampu :• Memahami bilangan kompleks• Menggambarkan kurva pada bilangan kompleks• Menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk
polar
Apakah Tujuan Pertemuan ini ?
PENDAHULUAN
44
Bilangan Kompleks adalah gabungan dari bilangannyata (Riil) dengan bilangan imajiner
Apakah Bilangan Kompleks itu ?
PENDAHULUAN
55
PENDAHULUAN
66
Apakah Bilangan Imajiner itu ?
Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatubilangan negatif
Contoh :
Definisi 1 : dan
Jadi dapat ditulis
13,7,5
1i
5 55*1 i
12 i
PENDAHULUAN
77
Bilangan kompleks dinotasikan dalambentuk a + bj dimana a dan b merupakanbilangan real dan j merupakan bilanganimajiner
Jika nilai a ≠ 0 dan b = 0 maka a+bimerupakan bilangan kompleks yang real
Jika nilai a = 0 dan b ≠ 0 maka a+bi merupakanbilangan imajiner murni
MACAM BIL KOMPLEKS
88
1. Bilangan Kompleks Sekawancontoh: a+bi dan a-bi
contoh: a+bi dan –(a+bi)
2.Bilangan Kompleks Berlawanan
ASAL BILANGAN KOMPLEKS
99
Mengapa bisa muncul bilangan tersebut ?
Bilangan tersebut berasal dari akar-akar persamaankuadrat yang diperoleh dengan menggunakan rumusABC
1
Masih ingatkah Anda dengan Rumus ABC ?
a
cabbxx
.2
..4,
2
21
RUMUS ABC
1010
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat berikut :x² - 4x + 5 = 0
Jawab :1. Cari nilai diskriminan D nya.
D = b² - 4ac= (-4)² - 4(1)(5)= 16 – 20= -4 D < 0
apabila D < 0 maka persamaan tersebut tidak memilikiakar real
2. Gunakan rumus ABC
RUMUS ABC
1111
Akar-akar ini merupakan akar imajiner dan apabila digunakanlambang i maka dapat ditulis :
x1 = 2 + ix2 = 2 - i
a
cabbxx
.2
..4,
2
21
.2
44, 21
xx
.2
124, 21
xx
121 x 122 x
LATIHAN 1
1212
Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat berikut :
0522 xx
0123 2 xx
0842 xx
072 xx
0322 xx
BILANGAN KOMPLEKS
1313
Penulisan bilangan kompleks z =a+bj sering disingkat sebagaipasangan terurut (a,b), olehkarena itu bilangan kompleksdapat dinyatakan dalam suatubidang datar seperti halnyakoordinat titik dalam sistemkoordinat kartesius
Bidang yang digunakan untukmenggambarkan bilangankompleks disebut bidangkompleks atau bidang argand
BILANGAN KOMPLEKS
1414
Buatlah grafik bilangan kompleks berikut :x = 4 + 6j dimana :4 merupakan bilangan real positif6j merupakan bilangan imajiner positif
Latihan 2
1515
Buatlah grafik bilangan kompleks berikut :x = -4 + 3j dimana :-4 merupakan bilangan real negatif3j merupakan bilangan imajiner positif
Latihan 2
1616
berapa nilai bilangan kompleks dari grafis berikut:
x = - 6 – j 2
Latihan 3
1717
Buatkan kedalam bentuk grafis bilangan kompleks berikut:x =4 – j 6x = -7x = - 6 – j 13x =j11
Bentuk-bentuk Bilangan Kompleks
1818
Ada beberapa bentuk penulisan bilangan kompleksyaitu : Bentuk Polar Bentuk Rectangular Bentuk Exponensial
BENTUK REKTANGULAR
1919
Bentuk bilangan kompleks a + jbdisebut juga bilangan kompleks bentukrektangular
Gambar grafik bilangan kompleksbentuk rektangular :
Dari gambar di atas titik A mempunyaikoordinat (a,jb). Artinya titik Amempunyai absis a dan ordinat b.
BENTUK POLAR
2020
Bilangan kompleks bentuk rektangulara+ jb dapat juga dinyatakan dalambentuk polar, dengan menggunakansuatu jarak (r) terhadap suatu titikpolar
Jika OA = r, maka letak (kedudukan)titik A dapat ditentukan terhadap r dan .
BENTUK POLAR
2121
Sehingga rumus yang didapatkan untuk mengubah suatu bilangankompleks dari bentuk rektangular ke bentuk polar adalah:
r adalah sisi miring, yang nilainya adalah :
Besar sudut kemiringan
dengan θ :
BENTUK EKSPONENSIAL
2222
Bentuk eksponensial diperoleh daribentuk polar.
Harga r dalam kedua bentuk itu samadan sudut dalam kedua bentuk itu jugasama, tetapi untuk bentukeksponensial harus dinyatakan dalamradian.
KUADRAN
2323
Selain itu, perlu diketahui pula letak posisi sudut berada kuadranberapa dari garis bilangan. Dimana :
Kuadran I berada pada sudut ke 0 - 90
Kuadran II berada pada sudut ke 90 - 180
Kuadran III berada pada sudut ke 180 – 270 atau (-90) – (-180)
Kuadran IV berada pada sudut ke 270 – 360 atau 0 – (-90)
CONTOH SOAL
2424
Perhatian persamaan bilangan kompleks berikut z = 3 – j8bentuk umum bilangan kompleks diatas dapat dirubah kedalam bentuk bentuk penulisan yang lain.
Sudut yang dibentuk adalah di kuadran IV
Bentuk Polar nya :z = r(cos + j sin) = 8.54(cos(-69.44) + j sin(-69.44))Bentuk Exponensialnya :
44,69..54,8. jj eerz
LATIHAN SOAL
2525
Dapatkan bentuk polar dan bentuk exponensial dari bilangankompleks z = -3 + 3i dan terletak di kuadran berapa sudut nya ?
JAWABAN
2626
Persamaan bilangan kompleks z = -3 + j3
Dimana : Sin =
Cos = di kuadran II
Bentuk Polar nya :z = r(cos + j sin) = 3 (cos(135) + j sin(135))Bentuk Exponensialnya :
135..23. jj eerz
233)3( 22 r
135)1()3/3( arctgarctg
22
1
22
1
2
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
2727
Operasinal matematika penjumlahan dan penguranganmerupakan konsep yang umum dan sederhana. Namunbagian ini merupakan bagian yang terpenting danmendasar.
Prinsip penjumlahan dan pengurangan adalah sama,memenuhi sifat-sifat aljabar penjumlahan dan pengurangan
CONTOH SOAL
2828
x1 = 2- j3x2 = 5+ j4
Jawab :xt = (2-j3) + (5+j4)
= (2+5) +j(-3+4)= 7+j
CONTOH SOAL
2929
x1 = 2- j3x2 = 5+ j4
Jawab :x1 + x2= (2-j3) + (5+j4)
= (2+5) +j(-3+4)= 7+j
x1-x2 = (2-j3) - (5+j4)= (2-5) +j(-3-4)= -3-j7
LATIHAN MATEMATIKA 1Klas IE dan IF
Teknologi Informasi POLNESTeknologi Informasi POLNES
1. Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat berikut :
0522 xx 0123 2 xx
0842 xx 072 xx
0322 xx
2. Gambarkan dalam bentuk kartesian, bentuk polar danbentuk exponensial dari bilangan kompleks z = -3 + 3idan terletak di kuadran berapa sudut nya ?
Aplikasi bilangan komplek
PROGRAM STUDI TEKNOLOGI INFORMASI2014
Mata Kuliah : MATEMATIKA 1
SKS : 2
Pengajar : Hari Purwadi ST, MT
1
2
Aplikasi Bilangan Kompleks,Phasor,Impedans,admitans
3
BILANGAN KOMPLEKS
Definisi:
Satuan bilangan khayal (imajiner) adalah bilangan 1
yang umumnya dinyatakan dengan simbol 1jatau1i
Penyelesaian persamaan 0565 2 xx adalah 8,06,0 j
Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks
79)36()43( jjj
jjj 3)36()43(
12
j
4
BILANGAN KOMPLEKS
Perkalian bilangan kompleks
jjjjj 336)1224918()36()43(
jjjjj 1530)1224918()36()43(
25)1612129()43()43( jjjj
Pembagian bilangan kompleks
22 36
1530
)36()36(
)36()43(
36
43
j
jj
jj
j
j
)36( j )36( jadalah Konjugat dari
)36( jZ )36( jZ
Konjugatnya adalah
5
BILANGAN KOMPLEKS
Bentuk kutub bilangan kompleks
a
b
x
y
jjba )sin(cos jr
r
a
barctan 22 bar
Bentuk-bentuk kompleks
jyxz
Polar atau steinmetz: zzExponensial: jrezTrigonometri: )sin(cos jrz
Rectangular
6
BILANGAN KOMPLEKS
Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar
)sin(cos 1111 jrjbaz
)sin(cos 2222 jrjdcz
)]sin(cos)][sin(cos[))((. 22211121 jrjrjdcjbazz
)]sin()[cos(. 21212121 jrrzz
)(... 2121221121 rrrrzz
Andaikan:
7
BILANGAN KOMPLEKS
Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar
)sin(cos 1111 jrjbaz
)sin(cos 2222 jrjdcz
)]sin(cos)][sin(cos[))((. 22211121 jrjrjdcjbazz
)]sin()[cos(. 21212121 jrrzz
)(... 2121221121 rrrrzz
Andaikan:
Pembagian bilangan komplek
)]sin()[cos()sin(cos
)sin(cos2121
2
1
222
111
2
1
j
r
r
jr
jr
z
z
8
Sumber gelombang sinusoidal
9
Gelombang Sinusoidal
10
Sumber tegangan dan arus
sinusoidal;satuan sudut(Derajat dan radian)
(a) Sumber tegangan ac sinusoidal
(b) Sumber arus sinusoidal
2 rad = 360o
1 rad = 57,3o
r
r
57.296o
1 radian
dl=rd
11
Perioda,frekuensi,kecepatan sudut
Satuan frekuensi : Hertz (Hz)
1 Hz = 1 cycle per second (c/s)
t
)(det
)(kecepatan
dant
ikwaktu
radianatauderajatjaraksudut
f2
(rad/s)2
)(det
1T
1
T
sikT
Hzf
fdan
Tf
12
Sinyal sinusoidal bisa dinyatakan dalam bentuk matematis :
Am sin
Atau
Am sin t
Bentuk Umum Sinyal Sinusoidal
13
Pergeseran Gelombang• Jika sinyal sinusoidal digeser ke kanan atau
kiri dari titik 0, bentuknya menjadi :
Am sin (t + )
dengan adalah sudut geser dalam derajatatau radian
• Jika gelombang melalui sumbu horisontaldan slope ke arah negatif (naik seiringwaktu) terjadi sebelum 0o (gambar a),maka bentuk matematis gelombangnya :
Am sin (t + )
• Jika gelombang melalui sumbu horisontaldan slope ke arah positif terjadi setelahsumbu 0o (gambar b), maka bentukmatematis gelombangnya :
Am sin (t - )
(a)
(b) t di mana
14
Jika gelombang melewati sumbu horizontal dengan slope ke arah kiriartinya lebih cepat 90o (/2) seperti pada gambar di bawah,makadisebut gelombang cosinus
2tcos)90-tcos(sin
atau
tcos2
sin)90sin(
o
o
t
tt
Pergeseran Gelombang
15
Bagaimana respons paksa ( arus yang diakibatkan mengalirdalam rangkaian ) jika masukan fungsi sinusoidal diberikanpada rangkaian RL seri ?
tVRidt
diL m cos
tBtAi f sincos
tVtBtARtBtAL m cossincoscossin
mVLBRA 0 RBLA
222 LR
RVA m
222 LR
LVB m
tm
V cosDengan tabel trial solutionakan diperoleh:
16
tLR
LVt
LR
RVi mm
f
sincos
222222
R
Lt
LR
Vi m
f
1
222tancos
tIi mf cos
222 LR
VI m
m
R
L 1tan
tL
R
n eAi
1dimana
L
R
2
2L
R
17
R
Lt
LR
Vi m
1
222tancos
Solusi nya dalam keadaan mantap
tZ
Vi m cos
18
Contoh berikut adalah rangkaian R//Cdicatu oleh sumber arus sinusoidal atauforcing functionnya sinusoidal
Tentukan v dan i di kapasitor C dalamkeadaan mantap
19
RC
V
dt
dV
C
tI cCm cos
tBtAVCf sincos
)sincos(1
cossincos
tBtARC
tBtAC
tIm
tBRC
AtARC
BC
tIm
sin1
cos1cos
CRAB
RC
ACRA
RCCRAA
RCB
C
Im2
2 )(111
Dari Trial Solution
R
VitI ccm cos
01
RC
A
20
CR
1
t
CR
CRt
CRCR
RIV m
Cf
sin
1cos
1
1
1222
sinsincoscos
12
ttCR
RIV m
Cf
t
CR
RIV m
Cf cos1
2
21 CR
RIA m
22
211 CR
CRIR
CR
RICRB mm
ACRRIm2)(1
21
Solusi nya adalah :
t
CR
RIV m
C cos1
2
dt
dvCi c
c
t
CR
CRIi mc sin
12
90cos
12
t
CR
CRIi mc
Cara penyelesaian dengan menggunaakantrial solution ,adalah cara kuno dan tidakmenarik buat calon sarjana Teknik Elektro.Cara lain lebih elegan adalah denganmenggunakan Phasor
22
PHASOR
)cos( tVv m
maka )( )( tjmeVev
Jika kecepatan sudut dari fungsi tersebut diketahui,dan fungsi tsb dapat ditentukan oleh nilai mV dan
maka ditulis mm VV
90sin
0cos
)cos(
phasordomaintime
mmm
mmm
mmm
VVtV
VVtV
VVtV
Jika terdapat suatu fungsi
Pemahaman Phasor dalam dimensi ranah waktu danbidang komplek
Phasor dalam arah maju ( leading )dan mundur ( lagging)
25
Hitunglah amplituda dan phasa dari fungsi sinusberikut (Beca 10.1.2)
)602cos()433()302cos()334()
2sin42cos3)
00
ttb
tta 00 9.36;5)1.53;5) ba
Tentukan frekuensi fungsi sinusberikut ( Beca 10.1.3)
tb
ta
377sin4)
)106cos(3) 0 Hzba 60);3)
Jawab 10.1.2
26
Pada R
PHASOR
Contoh penggunaan:
iR
tVm cosiRtVm cos
RIVm 0
0R
VI m
VVm 0
II m 0
Diagram phasor
27
Pada L
PHASOR
Contoh penggunaan:
fi
LtVm cos
tVdt
diLv mL cos
Lj
V
j
jjx
L
V
L
V
L
VI mmmm
00
0
90900
maka ILjLIVL 090
induktansReaktansi LXLjX LL
V
I
tL
VttdV
Li m
m
sincos1
)90cos( tL
Vi m
28
Pada C
PHASOR
Contoh penggunaan:fi
CtVm cos
))90cos((sincos
tVCtCVdt
tdVC
dt
dVCi mm
m
mmm CVjCVCVI 000 90900
09011
CCj
XC
kapasitifreaktansi1
C
X C
I
V
29
PHASOR
Dari sini diperoleh:
RRZ R 00
LL XLLjZ 090
CC XCCj
Z
09011
Animasi phasor
Animasi Phasor 2
1 10 50cos( )v t 2 12 10sin( )v t dan
Hitunglah sudut antara V1 dan V2
32
IMPEDANSI
Z
I
V
Jika:
VV II
I
V
I
V
I
VZ
dan
maka
Jika111111
jXRZZ ZZ
1X
1Z
1R
Z
33
IMPEDANSI
Jika2220
2jXRZZ 2X
2Z2R
ADMITANSI Y
RjX
jBGjXRZ
Y
11
G = konduktansi, B= suseptansi
2222;
XR
XB
XR
RG
34
R jX
jXRZ
111
IMPEDANSI SERI
jGY G
B Y
nT ZZZZ ....21
V
1Z 2ZI
nZ
35
IMPEDANSI PARALEL
V 1Z 2ZnZ
1I 2
I nI
nT Z
V
Z
V
Z
V
Z
V ...
21
nT ZZZZ
1...
111
21
nT YYYY ...21
Y = admitansi
36
Tentukan impedans dari rangkaian jika diketahuidalam domain waktu yang direpresentasikan olehphasor
IdanV Adalah: (Beca 10.15)
Ampti
voltttva
)202cos(7.1
2sin162cos30)0
mAeji
voltjevb
tj
tj
)302(
2
0
)1(
)
09.17120
k0152
1
Jawab 10.15
37
Dari gambar tentukan v1 dan gunakanuntuk mencari v1 bila tegangan masuk34cos4t ( Beca 10.9)
Jawab 10.9
volttvAmpev tj )1.284cos(1010 0)1.284(1
0
Bab VI 39
21 2
1 2 3
xs s
x
Z ZV V V V
Z Z Z
22 3 1
1 2 3
xx
x
Z ZZ Z Z Z
Z Z Z
32
1
x
ZZ Z
Z
1
2
x s
RC C
R
42
2
1
x s
RL L
R
Top Related