GEOMETRI RANCANG BANGUN
STUDI TENTANG DESAIN DAN PEMODELAN BENDA DENGAN KURVA DAN PERMUKAAN
BERBANTU KOMPUTER
Oleh:
Prof. Drs. Kusno, DEA, Ph.D
i
KATA PENGANTAR
Untuk melakukan kegiatan rancang bangun obyek (benda) dengan bantuan
komputer diperlukan tidak hanya kemampuan dan keterampilan bidang membangun
dimensi grafik, tetapi juga dalam hal melakukan analisa, evaluasi, dan pemilihan
formula guna mendapatkan efisiesi dan efektifitas proses realisasi benda. Sehubungan
dengan hal tersebut dan agar materi penyajian dalam buku ini mudah dipahami oleh
peserta didik, serta sesuai dengan tingkat perkembangan mahasiswa (pemula, tingkat
S1 atau S2), maka substansi materi buku ini dibagi ke dalam tiga bagian pokok
bahasan besar berikut.
Pertama, dibahas tentang studi geometri analitik dan sitem penyajian grafik
pada komputer. Tujuannya adalah untuk mendapatkan kemampuan dan ketrampilan
dalam pengaturan ruang grafik guna penyajian/visualisasi benda (baik bersifat statis
ataupun dinamis). Materi yang didiskusikan antara lain mengenai sistem koordinat,
hitung vektor, formulasi analitik klasik benda-benda standar bidang maupun ruang.
Dilanjutkan pembahasan tentang operasi transformasi titik dan koordinat homogen
yang kemudian kita manfaatkan untuk studi proyeksi dan sitem koordinat observator
dalam penyajian grafik berbantu komputer.
Kedua, dibahas tentang rancang bangun benda dengan kurva dan permukaan
berbantu komputer. Studi ini dimaksudkan untuk mendapatkan kemampuan dan
ketrampilan menyajikan permukaan benda di komputer baik dengan formulasi tunggal
ataupun teknik penggabungan beberapa potongan permukaan (komponen benda).
Materi yang diperkenalkan antara lain mengenai sifat-sifat lokal kurva dan permukaan
natural, beberapa contoh kurva/permukaan di bidang Computer Aided Geometric
Design (rancang bangun geometrik berbantu komputer) dan pemodelan permukaan,
serta beberapa teknik untuk rancang bangun benda.
Ketiga, diperkenalkan beberapa contoh riset pemodelan benda-benda industri.
Tujuannya adalah untuk mendapatkan informasi praktis dan ketrampilan matematis di
dalam memecahkan permasalahan perancangan benda-benda industri berbantu
komputer. Materi yang didiskusikan antara lain tentang pemodelan permukaan pelat,
benda putar, tabung evolutif, dan desain benda untuk ornamen bangunan.
Buku ini dimaksudkan untuk membantu pengkayaan referensi (materi ajar)
bagi para mahasiswa yang sedang belajar tentang perancangan dan visualisasi benda
berbantu komputer (mahasiswa Jurusan Matematika, Pendidikan Matematika,
Informatika, dan Teknik) serta para praktisi dan peminat rancang bangun benda
menggunakan komputer. Agar mahasiswa mendapatkan gambaran real implementasi
praktis teori yang telah dipelajari, dalam buku ini dilengkapi juga beberapa contoh
gambar benda hasil programasi software Pascal, Maple, dan Mathematica.
ii
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
mendukung dapat terbitnya buku ini, khususnya kolega saya Saudara Bagus Julianto
yang dengan tekun membantu proses editing sehingga penyajian buku ini menjadi
lebih baik.
Jember, Nopember 2009
Prof. Drs. Kusno, DEA, Ph.D
iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................................ i
DAFTAR ISI ....................................................................................................... iii
BAGIAN I
STUDI GEOMETRI ANALITIK
DAN SISTEM PENYAJIAN GRAFIK PADA KOMPUTER
BAB 1 BEBERAPA BENTUK SISTEM KOORDINAT .............................. 1
1.1 Koordinat Cartesius Bidang dan Ruang ........................................... 1
1.2 Koordinat Polar, Tabung, dan Bola ................................................ 2
1.3 Koordinat Titik pada Segmen Garis ................................................ 3
BAB 2 ALJABAR VEKTOR .............................................................................. 7
2.1 Komponen-komponen Vektor ......................................................... 8
2.2 Sifat-sifat Pejumlahan Vektor dan Perkalian Skalar ........................ 10
2.3 Perkalian Skalar, Vektor, dan Skalar Tripel .................................... 11
2.3.1 Perkalian Skalar ...................................................................... 11
2.3.2 Perkalian Vektor ..................................................................... 15
2.3.3 Perkalian Skalar Tripel ........................................................... 20
BAB 3 PENYAJIAN GARIS DAN SEGMEN GARIS DI BIDANG ............................... 23
3.1 Persamaan Parametrik dan Persamaan Umum Garis ....................... 23
3.2 Normal Garis, Relasi Dua Garis, dan Berkas Garis ......................... 26
3.3 Persamaan Normal Garis (Persamaan Hess) .................................... 31
3.4 Segmen Garis dan Jarak Titik terhadap Garis .................................. 34
3.5 Persamaan Kutub Garis ................................................................... 37
BAB 4 BENDA KUADRATIS BIDANG ........................................................ 41
4.1 Lingkaran ......................................................................................... 41
4.2 Elips ................................................................................................. 47
4.3 Hiperbola ......................................................................................... 56
4.4 Parabola ........................................................................................... 63
iv
BAB 5 PENYAJIAN BIDANG DAN GARIS DI RUANG .......................................... 69
5.1 Kosinus Arah ................................................................................... 69
5.2 Persamaan Umum Bidang ............................................................... 70
5.3 Persamaan Normal Bidang (Persamaan Hess) ................................. 75
5.4 Persamaan Garis .............................................................................. 78
5.5 Relasi dan Interseksi antara Titik, Garis, dan Bidang ...................... 81
BAB 6 BENDA KUADRATIS RUANG .................................................................. 93
6.1 Bola .................................................................................................. 93
6.2 Elipsoida .......................................................................................... 99
6.3 Hiperboloida .................................................................................... 103
6.3.1 Hiperboloida Daun Satu ......................................................... 103
6.3.2 Hiperboloida Daun Dua .......................................................... 107
6.4 Paraboloida ...................................................................................... 108
BAB 7 PERMUKAAN PUTAR DAN GARIS ......................................................... 113
7.1 Permukaan Putar ............................................................................. 113
7.2 Permukaan Garis .............................................................................. 122
BAB 8 SILINDER DAN KERUCUT ............................................................... 125
8.1 Silinder ............................................................................................. 125
8.2 Kerucut ............................................................................................ 128
BAB 9 TRANSFORMASI TITIK DAN KOORDINAT HOMOGEN .......... 133
9.1 Transformasi Titik ............................................................................. 133
9.1.1 Transformasi Titik di R2 ..................................................... 133
9.1.2 Transformasi Titik di R3 ..................................................... 144
9.2 Koordinat Homogen ........................................................................ 148
BAB 10 PROYEKSI DAN SISTEM KOORDINAT OBSERVATOR .............................. 151
10.1 Proyeksi Perspektif ........................................................................ 151
10.2 Proyeksi Paralel ............................................................................. 154
10.3 Sistem Koordinat Observator dan Proyeksi ke Monitor ................ 159
v
BAGIAN II
RANCANG BANGUN BENDA
DENGAN KURVA DAN PERMUKAAN BERBANTU KOMPUTER
BAB 11 SIFAT-SIFAT LOKAL KURVA DAN PERMUKAAN
NATURAL ........................................................................................... 165
11.1 Sifat-sifat Lokal Kurva .................................................................. 165
11.2 Sifat-sifat Lokal Permukaan ......................................................... 166
11.3 Tipe-tipe Titik di Permukaan dan Permukaan Pelat Natural ......... 173
BAB 12 KURVA DAN PERMUKAAN DALAM COMPUTER AIDED GEOMETRIC DESIGN ......................................................................... 175
12.1 Penyajian Bentuk Aljabar dan Geometri ....................................... 175
12.2 Kurva dan Permukaan Bezier ........................................................ 177
12.3 Kurva dan Permukaan B-Splin ...................................................... 181
12.4 Beberapa Contoh Formula Parametrik Kurva
dan Permukaan .............................................................................. 183
BAB 13 BEBERAPA CONTOH PEMODELAN PERMUKAAN ................. 189
13.1 Permukaan Putar Tegak dan Miring Bezier ................................... 189
13.2 Permukaan Geser Bezier ................................................................ 192
13.3 Permukaan Putar Terdefinisi dari Kurva Kondisi Batas ................ 195
13.4 Silinder Dibatasi Bidang Bujur Sangkar ........................................ 199
13.5 Silinder Tegak Lurus Bidang Bujursangkar .................................. 202
13.6 Silinder Terbatas Dua Bidang Berpotongan .................................. 203
13.7 Silinder Terbatas Dua Bidang Sejajar ............................................. 205
BAB 14 BEBERAPA TEKNIK RANCANG BANGUN BENDA .................. 207
14.1 Teknik Penggabungan Kurva dan Permukaan ............................... 207
14.2 Teknik Interpolasi Linier Dua Kurva ............................................. 209
14.3 Teknik Interseksi ............................................................................. 210
14.4 Teknik Konstruksi Permukaan Pipa Evolutif dan
Benda Putar ................................................................................... 211
14.5 Teknik Konstruksi Kurva dan Permukaan Paralel ......................... 213
14.6 Optimasi Rancang Bangun Obyek ................................................. 215
vi
BAGIAN III
BEBERAPA CONTOH RISET
PEMODELAN BENDA-BENDA INDUSTRI
BAB 15 PEMODELAN PERMUKAAN PELAT ............................................ 217
15.1 Permukaan Pelat Bezier Reguler Terdukung Dua Bidang
Sejajar ............................................................................................ 217
15.2 Keping Pelat Bezier Kurva Batas Derajat [n,n+k] ......................... 219
15.3 Pembeberan Permukaan Pelat ........................................................ 224
BAB 16 PEMODELAN BENDA PUTAR ....................................................... 233
16.1 Modifikasi Bentuk Kurva dan Permukaan Putar Kuadratik
Bezier ............................................................................................ 233
16.2 Modifikasi Bentuk Kurva dan Permukaan Putar Kubik
Bezier ............................................................................................ 235
16.3 Penggabungan Dua Permukaan Putar Bezier ................................. 238
16.4 Modifikasi Kontinyu Gabungan Permukaan Putar Bezier ............. 242
16.5 Contoh Desain Prototype Benda Onyx dan Marmer ..................... 244
BAB 17 PEMODELAN TABUNG/PIPA EVOLUTIF .................................... 245
17.1 Tabung Evolutif Terdefinisi dari Kurva Bezier dan Natural ......... 245
17.2 Tabung Evolutif Terdefinisi dari Kurva Kondisi Batas ................. 251
17.3 Kondisi Kontinyu Penggabungan Dua Tabung Evolutif ............... 253
BAB 18 DESAIN BENDA ORNAMEN BANGUNAN .................................... 259
18.1 Konstruksi Bangun-bangun Dasar Benda Ornamen
Bangunan ....................................................................................... 259
18.2 Transformasi Bentuk Poligon, Kurva, dan Permukaan .................. 267
DAFTAR BUKU BACAAN DAN PUSTAKA ........................................................... 269
DAFTAR INDEKS ............................................................................................ 273
BAGIAN I
STUDI GEOMETRI ANALITIK
DAN SISTEM PENYAJIAN GRAFIK PADA KOMPUTER
BAB 1
BEBERAPA BENTUK
SISTEM KOORDINAT
Dalam penyajian grafik ataupun desain objek (benda) berbantu
komputer, sering diperlukan beragam bentuk sistem koordinat. Hal ini ada
beberapa alasan berikut. Pertama, setiap sistem koordinat dipandang memiliki
kelebihan dan kekurangan tertentu sehubungan dengan keperluan pemodelan
bentuk, perhitungan tentang perbandingan ukuran benda terhadap model
penyajiannya di komputer, maupun dalam hal perumusan matematik yang
dipilih guna karakterisasi sifat-sifat obyek yang akan disajikan dalam grafik,
misalnya berkenaan dengan kompleksitas, kesetimbangan, ataupun kesimetrian
benda. Kedua, dapat terjadi sebelum membangun obyek, data geometris benda
yang berupa titik perlu dilakukan sorting terlebih dahulu agar dalam proses
konstruksi obyek mudah dilaksanakan. Dengan kata lain, untuk tujuan ini dan
efisiensi operasi sorting, maka diperlukan pemilihan penyajian titik dalam
koordinat tertentu agar prosedur sorting-nya sederhana. Ketiga, agar dalam
perlakuan dan perhitungan operasi pergerakan komponen benda mudah dan
langsung dilakukan, sering kita manfaatkan acuan koordinat lokalnya daripada
koordinat global benda. Dari beberapa alasan tersebut, berikut kita daftarkan
beberapa sistem koordinat yang banyak digunakan dalam desain grafik (benda)
di dimensi dua ataupun dimensi tiga, yaitu koordinat Cartesius, polar,
koordinat tabung, dan bola.
1.1 Koordinat Cartesius Bidang dan Ruang
Koordinat Cartesius (Kartesian) bidang dibangun oleh dua garis berpotongan di satu titik dan untuk ruang, dibangun oleh tiga garis yang tidak sebidang berpotongan di satu titik. Titik-titik potong ini selanjutnya disebut sebagai titik awal dan garisnya disebut sebagai sumbu-sumbu koordinat. Dalam hal khusus, koordinat Cartesius tegak lurus di bidang didefinisikan oleh dua sumbu (masing-masing sumbu datar XX’ sebagai absis dan sumbu tegak YY’ sebagai ordinat) berpotongan secara tegaklurus di titik awal O. Di ruang, jumlah sumbu-sumbu potong di O, kita tambah satu lagi, yaitu ZZ’ tegaklurus terhadap bidang XOY. Dengan demikian dalam sistem koordinat Cartesius ruang, jika ketiga sumbu diambil sepasang-sepasang, menentukan tiga buah bidang XOY, XOZ dan YOZ masing-masing disebut bidang-bidang koordinat
Beberapa bentuk system koordinat
2
tegaklurus. Bidang-bidang ini membagi ruang menjadi delapan bagian ruangan (oktan).
Untuk menyatakan terhadap sebarang titik P di bidang Cartesius, digunakan notasi P(x,y) dan di ruang dinyatakan oleh P(x,y,z) dengan x, y dan z berupa bilangan real (Gambar 1.1). Sebaliknya, jika diketahui pasangan bilangan-bilangan real (x,y) atau tripel (x,y,z), maka kita dapat menentukan titik P unik (tunggal) yang koordinatnya x dan y di bidang dan x, y dan z di ruang.
Gambar 1.1 Koordinat Cartesius
1.2 Koordinat Polar, Tabung, dan Bola
Penyajian titik P(x,y) dari koordinat Cartesius di R2 dapat dinyatakan
dalam sistem koordinat polar P(,) dengan pusat polar (kutub) O, panjang
jari-jari dan bersudut polar berlawanan arah jarum jam terhadap OX dengan
relasi (Gambar 1.2a)
x = cos ; y = sin . (1.1)
Seperti pada sistem koordinat polar, penyajian titik P(x,y,z) di ruang,
dapat dinyatakan dengan koordinat tabung melalui relasi (Gambar 1.2b)
x = cos ; y = sin ; z = z. (1.2)
Sedangkan penyajian titik P(x,y,z) dalam koordinat Cartesius, bila dinyatakan
dengan koordinat bola, diperlukan relasi-relasi (Gambar 1.2c) berikut
x = sin cos ; y = sin sin ; z = cos . (1.3)
Y Z
O X X
Y O
P(x,y) P(x,y,z)
x
y
x
y
z
Bagian I
3
Gambar 1.2 Koordinat Polar, Tabung dan Bola
1.3 Koordinat Titik pada Segmen Garis
Misalkan segmen garis PQ didefinisikan oleh titik P(x1,y1) dan
Q(x2,y2) di bidang. Kita cari koordinat titik R(x,y)PQ atas perbandingan m :
n terhadap titik ujung-titik ujung P dan Q.
(a) (b)
Gambar 1.3 Titik R diantara titik P dan Q
Pada Gambar 1.3a, SRP RQT sehingga berlaku
(a) (b) (c)
X
Y
P(x,y) =
(,)
P(x,y,z
)
O
P(x,y,z
)
X X
Y Y
Z Z
O O
X
Y
O
X
Y
Z
O
P R
Q
S T m n
P
R
Q
T S
m
n
U V W
Beberapa bentuk system koordinat
4
yy
yy
QT
SP
n
m
2
1 atau nm
nymyy
12 . (1.3)
Dengan cara yang sama untuk x, maka didapatkan hubungan
nm
nxmxx
xx
xx
n
m
12
2
1 atau . (1.4)
Jika segmen garis PQ didefinisikan oleh titik P(x1,y1,z1) dan
Q(x2,y2,z2) di ruang, maka koordinat titik R(x,y,z)PQ atas perbandingan m : n
terhadap titik ujung-titik ujung P dan Q dapat ditentukan sebagai berikut. Pada
Gambar 1.3b, SRP RQT sehingga berlaku hubungan
nm
nzmzz
zz
zz
QT
SP
n
m
12
2
1 atau . (1.5)
Dengan cara yang sama untuk x dan y, maka didapatkan hubungan
nm
nxmxx
xx
xx
n
m
12
2
1 atau (1.6)
nm
nymyy
yy
yy
n
m
12
2
1 atau . (1.7)
Jika R merupakan titik tengah dari PQ , yaitu m : n = 1:1, maka
koordinat titik R dapat dinyatakan sebagai
R(2
12xx
,2
12yy
,2
12zz
). (1.8)
Secara umum, jika perbandingan m:n bernilai sebarang real k -1, maka posisi
R dapat terletak mungkin diantara PQ atau diperpanjangannya dan koordinat R
berbentuk
Bagian I
5
R(k
xkx
1
12 ,k
yky
1
12 ,k
zkz
1
12 ). (1.9)
Oleh karenanya terdapat beberapa kemungkinan untuk nilai k berikut:
a). jika k > 0, maka R diantara PQ ;
b). jika -1<k<0, maka R pada perpanjangan QP ;
c). jika k = -1, maka menunjukkan titik di tak terhingga;
d). jika k < -1, maka R pada perpanjangan PQ .
Beberapa bentuk system koordinat
6
BAB 2
ALJABAR VEKTOR
Hitung vektor merupakan topik penting dalam rancang bangun
geometri, karena baik dalam penjajian data maupun operasi geometrik benda
(refleksi, translasi, rotasi, dilatasi) dan hitung interseksi, penggabungan
ataupun mencari kedudukan benda di ruang, maka penyajian ke dalam bentuk
vektor sangat mendukung pada efisiensi penggunaan memori maupun
efektivitas komputasi. Untuk itu sebelum membahas pemodelan benda, perlu
terlebih dahulu kita lakukan studi tentang aljabar vektor berikut.
Suatu segmen garis berarah disebut vektor. Panjangnya (besarnya)
disebut panjang vektor dan arahnya disebut arah vektor. Kita nyatakan vektor
dengan huruf kecil tebal, misalnya a, b, v, w dan x, sedangkan panjangnya
(norm Euclid) dinyatakan dengan . atau ., misalnya panjang dari vektor a
dan b masing-masing dinyatakan dengan a dan b. Dalam membahas vektor,
kita nyatakan bilangan real sebagai skalar dan dinotasikan dengan huruf kecil
biasa, misalkan a, k, v dan w.
Jika suatu vektor a pangkalnya adalah titik A dan ujungnya titik B,
maka dinotasikan dengan a = AB . Karena vektor-vektor ditentukan oleh arah
dan panjangnya, maka dua vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya
sama walaupun vektor-vektor tersebut diletakkan pada kedudukan yang
berbeda-beda. Vektor-vektor mempunyai panjang sama dan arah sama disebut
ekivalen. Suatu vektor panjangnya 1 (satu) disebut vektor satuan dan vektor nol
0 adalah vektor yang panjangnya nol dan arahnya sejajar terhadap semua
vektor.
(a). Vektor a = b (b). Dua vektor besarnya sama (c). Dua vektor
tetapi arahnya berbeda arahnya sama
tetapi panjang-
nya berbeda
a
b a
a b b
Bagian I
7
(d). Vektor-vektor yang ekivalen. (e). Dua vektor yang
besar
dan arahnya berbeda.
Gambar 2.1 Kesamaan vektor
2.1 Komponen-komponen Vektor
Pada koordinat Cartesius tegak lurus bidang [O,X,Y] lekatkan vektor-
vektor satuan i dan j masing-masing berimpit dengan sumbu OX dan OY
sehingga terbangun ruang vektor ortonormal [O, i, j] yang melekat pada
sistem [O,X,Y] seperti pada Gambar 2.2a. Misalkan v sebarang vektor pada
bidang dan anggaplah v ditempatkan sehingga pangkalnya berimpit dengan
titik awal O. Koordinat (v1,v2) dari titik ujung vektor v disebut komponen-
komponen dari v dan vektor v dinotasikan dengan
v = <v1,v2> = v1 i + v2 j. (2.1a)
Untuk selanjutnya, jika diketahui sebarang titik V dengan koordinat (v1,v2),
maka vektor v dengan pangkal titik awal O dan ujungnya di (v1,v2), disebut
sebagai vektor posisi dari titik V tersebut.
(a) (b)
Gambar 2.2 Komponen-komponen vektor
a b a
b c d
V(v1,v2)
X
Y
i j O
v
v2
v1
Y
X i j O x1 x2
y1
y2
A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
a1
a2
Beberapa bentuk system koordinat
8
Jika dua vektor v dan w diketahui ekivalen, maka bila titik-titik pangkal
kedua vektor tersebut ditempatkan pada titik awal koordinat, didapatkan kedua
ujungnya berimpit. Sebaliknya, jika kedua vektor memiliki komponen-
komponen sama, berarti mempunyai arah dan besar yang sama dan
konsekuensinya keduanya ekivalen. Kesimpulannya, dua vektor v = <v1,v2>
dan w = <w1,w2> adalah ekivalen jika dan hanya jika v1 = w1 dan v2 = w2.
Misalkan vektor a didefinisikan oleh segmen garis berarah AB dengan
koordinat titik A dan B masing-masing diketahui A(x1,y1) dan B(x2,y2) seperti
pada Gambar 2.2b. Komponen-komponen untuk vektor a adalah
a1 = x2 – x1 a2 = y2 – y1.
Sedangkan panjang dari vektor a, dapat ditentukan oleh teorema Phytagoras
sebagai
a = 2
2
2
1aa .
Seperti halnya penyajian vektor pada bidang, pada koordinat Cartesius
tegaklurus ruang [O,X,Y,Z] dapat kita lekatkan vektor-vektor satuan i, j dan k
masing-masing berimpit dengan sumbu OX, OY dan OZ sehingga terbangun
ruang vektor ortonormal [O, i, j, k] yang melekat pada sistem [O,X,Y,Z] seperti
pada Gambar 2.3. Sebarang vektor v pada ruang dengan pangkal berimpit titik
awal O, maka koordinat (v1,v2,v3) dari titik ujung vektor v disebut komponen-
komponen dari v dan vektor v selanjutnya dinotasikan sebagai
v = <v1,v2,v3> = v1i + v2j + v3k. (2.1b)
Gambar 2.3 Penyajian vektor di ruang
X
Y
Z
i j k
v
(v1,v2,v3)
O
Bagian I
9
2.2 Sifat-Sifat Pejumlahan Vektor dan Perkalian Skalar
Diketahui dua vektor a dan b. Tempatkan pangkal b pada titik ujung
vektor a, maka jumlah dari a dan b didefinisikan sebagai vektor c yang ditarik
dari pangkal a dan berakhir pada ujung titik vektor b (Gambar 2.4a).
Selanjutnya, ditulis dengan c = a + b.
(a) (b)
Gambar 2.4 Pejumlahan vektor
Jika vektor a = <a1,a2> dan b = <b1,b2>, maka komponen-komponen vektor c
= a + b = <c1,c2> didapatkan melalui (Gambar 2.4b)
c1 = a1 + b1 ; c2 = a2 + b2.
Dari definisi pejumlahan vektor tersebut, selanjutnya didapatkan sifat-
sifat pejumlahan vektor berikut
a). a + b = b + a ; (2.2)
b). (u + v) + w = u + (v + w);
c). a + 0 = 0 + a = a;
d). a + (-a) = 0.
dengan –a adalah vektor yang panjangnya a dan arahnya berlawanan dengan
a. Sedangkan untuk perkalian skalar, jika diketahui sebarang vektor a, b dan
skalar real m dan n, maka berlaku hubungan
a
b c
a
b c
X
Y
O a
1
a
2 b
1
b
2
c1
c2
Beberapa bentuk system koordinat
1
0
a). m(a + b) = ma + mb; (2.3)
b). (m+n)a = ma + na;
c). m(na) = (mn)a;
d). 1a = a;
e). 0a = 0;
f). (-1) a = -a.
Dalam hal ini yang dimaksud dengan vektor ma adalah vektor yang
panjangnya ma dan arahnya jika a 0 dan m > 0, maka vektor ma searah
dengan vektor a. Sebaliknya, jika a 0 dan m < 0, maka arah vektor ma
berlawanan arah dengan vektor a.
2.3 Perkalian Skalar, Vektor, dan Skalar Tripel
2.3.1 Perkalian Skalar
Perkalian skalar dari dua vektor bidang a = <a1,a2> dan b = <b1,b2>
didefinisikan sebagai bilangan real
a.b = a1b1 + a2b2. (2.4)
Dalam hal a dan b merupakan vektor-vektor ruang a = <a1,a2,a3> dan b =
<b1,b2,b3>, didefinisikan
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3. (2.5)
Dalam hal khusus, jika a = b, maka
a.a = a2. (2.6)
Selanjutnya kita daftarkan sifat-sifat dari perkalian titik untuk sebarang vektor-
vektor a, b, c dan skalar k berikut
a). a.b = b.a; (2.7)
b). a.(b+c) = a.b + a.c;
c). k(a.b) = (ka).b = a.(kb);
d). 0.a = 0.
Bagian I
11
Jika a dan b adalah vektor tidak nol, maka dapat dirumuskan
a .b = a b cos
dengan adalah sudut yang dibangun antara a dan b dan 0 . Untuk
menurunkan rumus ini, kita gunakan rumus kosinus berikut (Gambar 2.5)
a - b2 = a2 + b2 - 2 a b cos . (2.8)
Gambar 2.5 Rumus kosinus
Dengan sifat (2.6) dari perkalian skalar, diperoleh hubungan
a – b2 = (a - b) . (a - b) (2.9)
= a . (a - b) - b . (a - b)
= a.a - a.b - b.a + b.b
= a2 + b2 - 2 a. b.
Dari persamaan (2.8) dan (2.9), maka dapat disimpulkan
a .b = a b cos.
Misalkan b suatu vektor tidak nol, maka proyeksi skalar dari vektor a
terhadap b, dinotasikan Pb(a), adalah suatu skalar (Gambar 2.6a)
Pb(a) = (a.b)/b
(2.10)
= (a b cos)/b
a b
a – b
Beberapa bentuk system koordinat
1
2
= a cos
dengan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b. Sedangkan proyeksi
vektor dari dari vektor a terhadap b, yaitu Pb(a), adalah vektor Pb(a)ub dengan
ub suatu vektor satuan pada arah vektor b sehingga (Gambar 2.6b)
Pb(a) = Pb(a)ub (2.11)
= ((a.b)/ b) (b/ b)
= (a.b)b/b2
atau
Pb(a) = (a cos) ub.
Dua vektor a dan b dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika
a.b = 0.
(2.12)
(a). Proyeksi skalar (b). Proyeksi vektor
Gambar 2.6 Proyeksi vektor a terhadap vektor b
Contoh-contoh Hitung Perkalian Skalar dan Proyeksi
a). Misalkan a = <2,-1,1> dan b = <1,1,2>, carilah a.b dan sudut diantara a
dan b.
Penyelesaian:
a.b = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3.
Kita dapatkan a = b = 6, maka
Cos = (a.b)/(a b) = 1/2.
Jadi = 60o.
a a
b b
Pb(a) Pb(a)
Bagian I
13
b). Nyatakan vektor a = <2,4,5> sebagai jumlah dari vektor b yang sejajar v =
<2,-1,-2> dan vektor c yang tegaklurus v.
Gambar 2.7 Kedudukan vektor a
Penyelesaian:
Dari Gambar 2.7, vektor b merupakan proyeksi vektor a pada v, sehingga
Pv(a) = b = (a Cos) (a/a)
b = (a.v)v/ v2
=
2,1,2
414
)2)(5()1)(4()2)(2(
= <-20/9, 10/9, 20/9>.
Oleh sebab itu c = a – b = <38/9, 26/9, 25/9>.
c). Carilah suatu sudut yang dibentuk oleh diagonal kubus terhadap rusuk-
rusuknya.
Gambar 2.8 Diagonal kubus
a
b
c
v
a
b
c
d
X
Y
Z
O
Beberapa bentuk system koordinat
1
4
Penyelesaian:
Jika rusuk-rusuk kubus a = <k,0,0>, b = <0,k,0> dan c = <0,0,k>, maka
diagonalnya adalah d = <k,k,k>, sehingga berlaku
Cos = (a.d)/(ad) = 1/(3).
Jadi 54o 44’.
2.3.2 Perkalian Vektor
Pandanglah ruang vektor ortonormal [O,i,j,k] mengikuti sistem tangan
kanan seperti pada Gambar 2.9a. Misalkan vektor a dan b dinyatakan dengan
a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k. Perkalian vektor (perkalian
luar) dari a terhadap b didefinisikan
a x b = a b = (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k (2.13)
= <(a2b3 – a3b2), (a3b1 – a1b3), (a1b2 – a2b1)>.
(a) (b)
Gambar 2.9 Perkalian vektor
Untuk memudahkan perhitungan hasil kali vektor ini, kita gunakan
teknik hitung determinan matriks seperti dirumuskan berikut.
a). Hitung determinan untuk matriks order 2x2
i j
k
a
b
a x b = a b
Bagian I
15
.det bcaddc
ba
dc
ba
b). Hitung determinan untuk matriks order 3x3
.
det
21
21
3
31
31
2
32
32
1
321
321
321
321
321
321
cc
bba
cc
bba
cc
bba
ccc
bbb
aaa
ccc
bbb
aaa
Dengan demikian bentuk (2.13), dapat dinyatakan sebagai
a x b =
321
321
bbb
aaa
kji
= 32
32
bb
aai –
31
31
bb
aaj +
21
21
bb
aak. (2.14)
Sifat-sifat perkalian vektor
a). a x b = - (b x a); (2.15)
b). a x (b x c) (a x b) x c;
c). a x (b + c) = (a x b) + (a x c);
d). (ka) x b = k(a x b);
e). (a x b) a dan (a x b) b;
f). a x b = 0, jika dan hanya jika a dan b sejajar;
g). a x b2 = a2 b2 - a . b2.
Catatan: untuk membuktikan sifat (2.15g), ambil sebarang vektor a =
<a1,a2,a3> dan vektor b = <b1,b2,b3>, kemudian tunjukkan bahwa
hasil perkalian skalar a x b2 = (a x b).(a x b) sama dengan a2b2 - a
. b2 = (a.a)(b.b) – (a.b)(a.b).
Dari sifat (2.15g), didapat teorema
Beberapa bentuk system koordinat
1
6
a x b = a bSin (2.16)
dengan sudut yang dibentuk antara vektor a dan b dan Sin 0 untuk 0
.
Bukti:
a x b2 = a2 b2 - a . b2
= a2 b2 - a2 b2 Cos2
= a2 b2 (1 – Cos2)
= a2 b2 Sin2.
Jadi a x b = a b Sin.
Contoh-contoh Hitung Perkalian Vektor
a). Jika a = 2i – 3j – k dan b = i + 4j – 2k , tentukan a x b.
Penyelesaian:
1). Cara pertama dengan menerapkan sifat (2.15c)
(2i – 3j – k) x (i + 4j – 2k) = (2i – 3j – k) x (i) + (2i – 3j – k) x (4j) +
(2i – 3j – k) x (-2k).
(2i – 3j – k) x (i + 4j – 2k) = (2i x i) – (3j x i) – (k x i) +
(2i x 4j) – (3j x 4j) – (k x 4j) +
(2i x -2k) – (3j x -2k) – (k x -2k)
= 0 + 3k – j + 8k + 0 + 4i + 4j + 6i + 0
= 10i + 3j + 11k.
2). Cara kedua dengan menerapkan formula (2.13) atau (2.14)
a x b = 241
132
kji
= 24
13
i – 21
12
j + 41
32 k
= 10i – 3j – 11k.
Bagian I
17
b). Tunjukkan bahwa luas dari jajaran genjang dengan sisi a dan b adalah a x
b.
Penyelesaian:
Gambar 2.10 Luas jajaran genjang
Luas jajaran genjang (L) adalah ukuran tinggi kali alasnya, yaitu
L = h b
= a Sin b
L = a x b
c). Tentukan luas segitiga yang didefinisikan oleh titik P(2,2,0), Q(-1,0,2) dan
R(0,4,3).
Penyelesaian:
Luas segitiga (L) adalah setengah kali dari luas jajaran genjang yang
ditentukan oleh vektor-vektor PQ = <-3,-2,2> dan PR = <-2,2,3>.
Gambar 2.11 Luas segitiga
a
b
h
P
Q R
X
Y
Z
O
Beberapa bentuk system koordinat
1
8
Oleh karena itu dapat ditentukan luas PQR adalah
L = ½ PQ x PR = ½(15) = 7,5.
d). Tunjukkan teorema sinus untuk suatu segitiga (Gambar 2.12).
Penyelesaian:
Gambar 2.12 Teorema sinus
Misalkan a, b dan c suatu sisi-sisi segitiga ABC, maka a + b + c = 0.
Selanjutnya kalikan berturut-turut dengan perkalian vektor terhadap a, b
dan c, kita dapatkan hubungan
a x b = b x c = c x a
sehingga
ab Sin(a,b) = bc Sin(b,c) = ca Sin(c,a)
atau
[Sin(b,c)]/a = Sin(c,a)/b = [Sin(a,b)]/c.
2.3.3 Perkalian Skalar Tripel
Perkalian skalar tripel didefinisikan dengan a.bxc dan penulisan ini
dimaksudkan sebagai bentuk a.(b x c), yaitu perkalian skalar dari vektor a dan
vektor (b x c). Hasilnya dapat dirumuskan berikut ini. Jika
a = a1i + a2j + a3k = <a1,a2,a3> ,
b = b1i + b2j + b3k = <b1,b2,b3>,
c = c1i + c2j + c3k = <c1,c2,c3>,
maka
A
B C a
c b
Bagian I
19
a.bxc = (a1i + a2j + a3k) .
321
321
ccc
bbb
kji
.
a.bxc =
321
321
321
ccc
bbb
aaa
.
(2.17)
Dari sifat-sifat determinan untuk persamaan (2.17), didapat hubungan
a.bxc = c.axb = b.cxa.
a.bxc = – ( b.axc) = – (a.cxb) = – (c.bxa). (2.18)
Sifat-sifat skalar tripel:
a). a x (b x c) = (a . c)b – (a . b)c; (2.19)
b). (a x b) . (c x d) = (a.c)(b.d) – (a.d)(b.c);
c). (a x b) x (c x d) = (a.b x d)c – (a.b x c)d.
Contoh-contoh Hitung Skalar Tripel
a). Misalkan a = <1,2,-1>, b = <-1,1,0> dan c = <0,-1,2>. Hitung perkalian
skalar tripel dari a.bxc.
Penyelesaian:
a.bxc = 210
011
121
= (1)(2) – (2)(-2) + (-1)(1) = 5.
b). Tunjukkan bahwa a.bxc = axb.c.
Penyelesaian:
Misalkan a = <a1,a2,a3> , b = <b1,b2,b3> dan c = <c1,c2,c3>, maka
Beberapa bentuk system koordinat
2
0
a.bxc =
321
321
321
ccc
bbb
aaa
= –
321
321
321
bbb
ccc
aaa
=
321
321
321
bbb
aaa
ccc
.
a.bxc = c.axb = axb.c.
c). Tunjukkan bahwa harga mutlak dari a.bxc sama dengan volume paralel
epipedum dengan rusuk-rusuk panjangnya vektor a, b dan c (Gambar 2.13).
Penyelesaian:
Gambar 2.13 Volume paralel epipedum
Misalkan n vektor satuan tegaklurus terhadap alas (jajaran genjang) dengan
arah sejajar b x c. Tinggi paralel epipedum diketahui h, ditentukan dari
ujung vektor a terhadap alas. Volume (V) dari paralel epipedum adalah
tinggi h kali luas alas L, yaitu
V = h L
= (a.n) (b x c).
= a.[b x c.n]
V = a.(bxc).
Jika a, b dan c tidak dalam sistem tangan kanan a.n < 0 dan volumenya =
a.(bxc).
a c
b
n h
Bagian I
21
BAB 3
PENYAJIAN GARIS DAN SEGMEN GARIS
DI BIDANG
Studi tentang garis atau segmen garis sangat penting dalam bidang geometri
rancang bangun mengingat dalam setiap pemodelan benda, diperlukan perhitungan
yang melibatkan konsep ukuran panjang dan jarak antar dua titik, kedudukan garis
simetri benda, ataupun gradien dan vektor arah. Oleh karena itu beberapa definisi
analitik garis perlu diperkenalkan guna dapatnya menyajikan bentuk garis tersebut
dalam grafik.
Tujuan studi dalam bab ini adalah untuk mendapatkan beberapa model
persamaan garis dalam bentuk vektor (parametrik), bentuk umum implisit, eksplisit
ataupun sifat-sifat yang terjadi diantara relasi dua garis. Selanjutnya kita pelajari
penyajian bentuk normal persamaan garis dan segmen garis. Terakhir, setelah
mendiskusikan tentang hitung jarak titik terhadap garis, kita bahas persamaan kutub
garis.
3.1 Persamaan Parametrik dan Persamaan Umum Garis
Dalam geometri aksiomatik disebutkan bahwa melalui dua titik berbeda di
bidang, maka tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut. Selanjutnya, setiap garis
memuat sedikitnya dua titik berbeda. Melalui dua aksioma ini kita bangun persamaan
parametrik dan persamaan umum garis berikut (Gambar 3.1).
Gambar 3.1 Penyajian garis di bidang
X
Y
O i
j p
q r
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
R(x,y) g
Beberapa bentuk system koordinat
2
2
Misalkan garis g dan dua titik berbeda P(x1,y1) dan Q(x2,y2) di g, maka
sebarang titik R(x,y) sepanjang garis g dapat dinyatakan dalam relasi
)( OPOQtOPOR . Oleh sebab itu bentuk persamaan vektor garis g adalah
g r = p + t(q – p) (3.1)
atau
<x,y> = <x1,y1> + t <(x2 – x1),(y2 – y1)>
dengan t suatu skalar real. Bentuk (3.1) ini selanjutnya dapat kita sederhanakan
menjadi
x = x1 + t (x2 – x1) (3.2)
y = y1 + t (y2 – y1)
yang disebut sebagai bentuk persamaan parametrik garis g. Oleh karena itu
persamaan parametrik lengkap untuk garis g adalah
x(t) = x1 + t (x2 – x1)
y(t) = y1 + t (y2 – y1)
dengan - < t < + merupakan variabel parameter dari x dan y, yaitu fungsi-
fungsi skalar untuk vektor i dan j.
Jika dalam persamaan (3.2) harga t disubstitusikan dari satu kepada
yang lain kita dapatkan beberapa model persamaan garis berikut
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
t (3.3)
atau
)()()(
)(11
12
12
1xxmxx
xx
yyyy
(3.4)
atau
0)()()()(112112 yyxxxxyy (3.5)
Bagian I
23
dengan m suatu gradien (kemiringan) garis g. Dari persamaan (3.5) ini kita
dapatkan persamaan umum garis g dalam bentuk implisit
0)()(
11 yybxxa
atau
0 cbyax (3.6)
dengan koefisien real a = (y2 – y1), b = – (x2 – x1) dan c = – (ax1 + by1). Dalam
hal ini harga a dan b tidak serentak nol. Dalam hal a = 0, didapat garis g sejajar
sumbu OX melalui titik (0, -c/b) dan jika b = 0, garis g sejajar sumbu OY
melalui titik (-c/a,0). Jika b tidak nol, maka dari (3.6) didapat persamaan
eksplisit garis berikut
y = mx + k (3.7)
dengan m = -a/b = (y2 – y1)/(x2 – x1) dan k = -c/b. Bentuk persamaan (3.7) ini
merupakan persamaan garis bergradien (berkemiringan) m dan memotong
sumbu OY di titik (0,k) dengan k suatu bilangan real. Jika k = 0, maka g melalui
titik awal O(0,0).
Secara umum koefisien m pada persamaan (3.7) adalah sama dengan
nilai tangen dari sudut yang dibentuk antara garis g dengan sumbu OX. Harga
negatif terjadi, bila didapatkan seperti pada Gambar 3.2b.
a) b)
Gambar 3.2 Gradien garis
X
Y
Y
X
P
P
Q
Q
O O
g
g
Beberapa bentuk system koordinat
2
4
Misalkan g memotong sumbu-sumbu koordinat di titik A(a,0) dan titik
B(0,b) dengan a,b0, maka garis g dapat didefinisikan melalui titik A dan B
dengan mensubstitusikan koordinat kedua titik ini kedalam bentuk persamaan
(3.3). Dengan demikian didapat persamaan
1b
y
a
x. (3.8)
Persamaan ini selanjutnya disebut persamaan garis pemotong sumbu-sumbu
koordinat.
3.2 Normal Garis, Relasi Dua Garis, dan Berkas Garis
Misalkan garis g dalam bentuk persamaan umum ax + by + c = 0 dan
sebarang vektor n = <a,b>. Jika dua titik berbeda P(x1,y1) dan Q(x2,y2) terletak
pada g, maka berlaku
ax1 + by1 + c = 0
ax2 + by2 + c = 0.
Jadi didapat
a(x2 – x1) + b(y2 – y1) = 0.
Padahal vektor PQ yang segaris dengan g, berbentuk PQ = <(x2 – x1),(y2 –
y1)>. Oleh sebab itu persamaan a(x2 – x1) + b(y2 – y1) = 0 adalah bentuk
perkalian skalar dari
n . PQ = 0. (3.9)
Jadi setiap vektor n yang berbentuk n = <a,b> selalu tegaklurus terhadap garis
g dari bentuk umum ax + by + c = 0. Vektor normal n ini selanjutnya disebut
normal garis g dan dinotasikan dengan ng (Gambar 3.3).
Bagian I
25
Gambar 3.3 Normal garis
Pandanglah dua garis dalam bentuk umum
g1 a1x + b1y + c1 = 0
g2 a2x + b2y + c2 = 0,
maka normal garis g1 dan g2 masing-masing adalah
n1 = <a1,b1> dan n2 = <a2,b2>.
Jadi diantara dua garis g1 dan g2 dapat disimpulkan relasi dua garis berikut.
a). Garis g1 sejajar g2 jika kedua normalnya berkelipatan dari yang satu
terhadap yang lain, tetapi kedua persamaan bukan merupakan kelipatan
antar keduanya, yaitu
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a atau
2
2
1
1
b
a
b
a atau m1 = m2 (3.10)
dengan m1 dan m2 masing-masing gradien dari garis g1 dan g2.
b). Garis g1 berimpit g2 jika kedua normalnya berkelipatan dari yang satu
terhadap yang lain dan kedua persamaan identik, yaitu
X
Y
O a
b
i
j
n
ng = <a,b>
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
g
Beberapa bentuk system koordinat
2
6
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a . (3.11)
c). Garis g1 dan g2 saling berpotongan jika kedua normalnya bukan kelipatan
dari satu terhadap yang lain, yaitu
21
2
2
1
1
2
1
2
1 atauatau mmb
a
b
a
b
b
a
a . (3.12)
Dalam hal ini koordinat titik potong antara g1 dan g2 dapat ditentukan
melalui bentuk
2121
2121
2121
2121 danabba
caacy
abba
bccbx
; dengan 0
2121 abba . (3.13)
d). Garis g1 dan g2 saling tegaklurus jika perkalian skalar kedua normalnya
adalah nol, yaitu
1.atau1.atau021
2
2
1
1
2121 mm
b
a
b
abbaa . (3.14)
Tulislah dua garis g1 dan g2 berbentuk umum
g1 ax + by + c = 0
g2 a1x + b1y + c1 = 0
kedalam bentuk persamaan
1(ax + by + c) + 2(a1x + b1y + c1) = 0 (3.15)
dengan 1 dan 2 konstanta real. Bentuk persamaan (3.15) adalah linier, jadi
merupakan persamaan garis (berupa garis) dan disebut sebagai persamaan
berkas garis atau kipas garis. Karena setiap pasangan harga 1 dan 2 dalam -
<1,2< + menghasilkan garis, maka garisnya disebut anggota berkas.
Adapun untuk garis-garis g1 dan g2 selanjutnya disebut basis atau anggota dasar
berkas.
Bagian I
27
Contoh-contoh Penyajian dan Hitung Garis
a). Tentukan persamaan suatu garis dalam bentuk umum dan parametrik yang
dibangun melalui dua titik A(2,3) dan B(5,8).
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (3.3), diperoleh persamaan umum garis
25
2
38
3
xy atau 5x – 3y – 1 = 0.
Sedangkan dari bentuk (3.2) memberikan bentuk parametrik
x(t) = 2 + 3t y(t) = 3 + 5t.
b). Tentukan persamaan eksplisit garis g melalui titik (2,3) dengan gradien
m = – 3.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (3.4) dengan
12
12
xx
yym
, yaitu
)( 11 xxmyy , kita dapatkan persamaan y – 3 = – 3(x – 2) atau y = –
3x + 9. Jadi persamaan eksplisit dari garis g adalah g y = – 3x + 9.
c). Misalkan dua garis dalam bentuk persamaan
g1 ax + by + c = 0
g2 a1x + b1y + c1 = 0.
Carilah sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut (Gambar 3.4).
Gambar 3.4 Sudut merupakan sudut antara dua garis g1 dan g2
X
n
1
Y
O
n
2
n
1
n
2
g
1
g
2
Beberapa bentuk system koordinat
2
8
Penyelesaian: Sudut diantara dua garis didefinisikan sebagai sudut terkecil yang dibentuk
oleh interseksi kedua garis (Gambar 3.4). Sudut ini sama dengan sudut yang
dibentuk oleh kedua vektor normal garis, yaitu vektor-vektor n1 = <a,b> dan
n2 = <a1,b1>. Dengan perkalian skalar kita dapatkan sudut yang dibentuk
oleh kedua vektor adalah
Cos = 2
1
2
1
22
11
baba
bbaa
.
Jadi = arc Cos(2
1
2
1
22
11
baba
bbaa
).
d). Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (3,4) dan sejajar garis 6x – 2y
+ 3 = 0.
Penyelesaian:
Gradien garis 6x – 2y + 3 = 0 adalah m = 3. Oleh sebab itu persamaan garis
melalui titik (3,4) dan sejajar 6x – 2y + 3 = 0 adalah garis melalui titik (3,4)
dengan gradien m = 3, yaitu
(y – 4) = 3(x – 3) atau y = 3x – 5.
e). Misalkan dua garis berpotongan dalam bentuk persamaan
g1 ax + by + c = 0
g2 a1x + b1y + c1 = 0.
Carilah persamaan garis melalui titik (xo,yo) dan titik persekutuan dari garis
yang diketahui tersebut.
Penyelesaian:
Garis yang dinyatakan dalam bentuk
1(ax + by + c) + 2(a1x + b1y + c1) = 0
Bagian I
29
melalui titik interseksi dua garis yang diketahui tersebut. Karena garis ini
melalui titik (xo,yo), maka 1(axo + byo + c) + 2(a1xo + b1yo + c1) = 0. Hal
ini berarti untuk sebarang 1 dan 2 tidak serentak nol pada persamaan
tersebut, garis merupakan anggota berkas garis dan melalui titik (xo,yo).
Oleh sebab itu kita dapat memilih harga 1 = (a1xo + b1yo + c1) dan 2 = –
(axo + byo + c) sehingga didapatkan persamaan garis yang diminta dalam
bentuk
(a1xo + b1yo + c1) (ax + by + c) – (axo + byo + c)(a1x + b1y + c1) = 0.
f). Tentukan persamaan garis melalui titik potong garis-garis x + 2y = –2 dan x
+ y = –3 tegaklurus terhadap garis –3x + y = 1.
Penyelesaian:
Perpotongan garis x + 2y = –2 dan x + y = –3 adalah titik (– 4,1) dan
gradien untuk garis –3x + y = 1 adalah m = 3. Jadi garis yang dimaksud
bergradien m1.m = –1 atau m1 = –1/3 dan melalui (– 4,1), yaitu
y – 1 = –1/3 (x + 4) atau x + 3y + 1 = 0.
3.3 Persamaan Normal Garis (Persamaan Hess)
Misalkan n = <a,b> merupakan vektor normal garis g ax + by + c = 0,
yaitu ng, sehingga n = ng = <a,b>. Sedangkan pOP adalah jarak dari O
tehadap garis g dengan gOP dan vektor normal satuan nu dari garis g
adalah (Gambar 3.5)
nu = n/n
= ng/n
= Cos i + Sin j
nu = 22 ba
a
i +
22 ba
b
j. (3.16)
Beberapa bentuk system koordinat
3
0
Jika M(x,y) sebarang titik sepanjang garis g, maka persamaan normal garis g
dapat didefinisikan melalui perkalian skalar terhadap nu menurut salah satu
kondisi berikut.
a). Harga nu . PM = 0.
<Cos ,Sin > . <(x – pCos) ,(y – pSin)> = 0.
Jadi Cos (x – pCos) + Sin (y – pSin) = x Cos + y Sin – p = 0.
b). Harga OP = p = OM . nu = OM . (OP
OP) = <x,y> . <
22 ba
a
,
22 ba
b
>.
Jadi p = <x,y> . <Cos ,Sin > = x Cos + y Sin.
Kesimpulannya, persamaan normal garis g adalah
x Cos + y Sin – p = 0 (3.17)
atau
22 ba
a
x +
22 ba
b
y – p = 0.
Gambar 3.5 Persamaan normal garis
Dari garis g yang dinyatakan dalam bentuk umum
g ax + by + c = 0
X
Y
O i
j n
u
n
n
u
n
g P
M(x,
y)
g ax + by +
c = 0
Bagian I
31
dan bentuk normal
g x Cos + y Sin – p = 0,
maka dapat disimpulkan secara umum beberapa hal berikut.
a). Berdasarkan persamaan (3.17), maka nilai perbandingan dari koefisien-
koefisien kedua persamaan garis adalah
22
1
bac
p
b
Sin
a
Cos
. (3.17a)
b). Dari (a), jarak dari O terhadap garis g adalah:
22 ba
cp
. (3.17b)
c). Dari (a), kosinus arah normal garis dinyatakan oleh
= 22 ba
aCos
atau =
22 ba
bSin
. (3.17c)
Contoh-contoh Hitung Persamaan Normal Garis
a). Tentukan persamaan garis yang dibangun melalui dua titik A(2,1) dan
B(5,5) dalam bentuk normal.
Penyelesaian:
Penyajian dalam bentuk umum dari garis melalui A(2,1) dan B(5,5) adalah
15
1
25
2
yx atau 4x – 3y – 5 = 0.
Dalam bentuk normal (3.17) diperoleh (4/5)x – 3/5y + 1 = 0.
b). Tentukan jarak titik awal O(0,0) terhadap garis hasil (a) tersebut.
Penyelesaian:
Dari bentuk (3.17b), jarak O terhadap garis adalah 22 ba
cp
= 1.
Beberapa bentuk system koordinat
3
2
3.4 Segmen Garis dan Jarak Titik terhadap Garis
Penyajian segmen garis yang dibangun oleh dua titik berbeda A(x1,y1)
dan B(x2,y2) sebagai titik ujung-titik ujung segmen garis, dapat dinyatakan
sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x,y) berikut (Gambar 3.6)
),(),(),x()1(
2211yxPyxBtyAt . (3.18)
dengan t [0,1] atau identik dalam bentuk parametrik
x(t) = (1 – t)x1 + t x2 (3.19)
y(t) = (1 – t)y1 + t y2
dengan 0 t 1.
Gambar 3.6 Penyajian segmen garis
Sedangkan jarak d dari titik A terhadap titik B adalah
2
12
2
12)()( yyxxABd . (3.20)
Proyeksi titik C(x,y) terhadap segmen garis AB , ditulis P(C, AB ) =
C’(x’,y’) didefinisikan sebagai proyeksi ortogonal dari titik C ke garis yang
didukung AB . Sedangkan jarak titik C(x,y) terhadap segmen garis AB , ditulis
d(C, AB ), didefinisikan sebagai (Gambar 3.7)
a). jika proyeksi P(C, AB ) terletak di AB , maka d(C, AB ) = d(C,P(C, AB )),
b). jika tidak (a), maka d(C, AB ) = min{d(C,A), d(C,B)}.
X O
Y
A(x1,y1)
B(x2,y2)
P(x,y) (1-t)
t
Bagian I
33
P(D, AB ) = D’ P(C, AB ) = C’
d(D, AB ) = d(D,A) d(C, AB ) = d(C,C’)
Gambar 3.7 Proyeksi dan jarak titik ke segmen garis
Sedangkan proyeksi titik P(x,y) ke garis g ax + by + c = 0, yaitu titik
P’(x’,y’), dapat ditentukan dengan cara:
a). menarik garis h melalui P secara tegaklurus terhadap g dalam persamaan
h y – yP = mh (x – xP) dengan mh = – (1/mg);
b). menghitung titik potong g dan h, sehingga diperoleh koordinat P’(x’,y’).
Adapun untuk mencari formulasi jarak d dari titik P(xo,yo) ke garis g ax + by
+ c = 0, dapat dihitung melalui prosedur berikut (Gambar 3.8).
a). Tulis garis g ax + by + c = 0 dalam bentuk normal Hess dengan normal
satuan
nu = < 22 ba
a
, 22 ba
b
>
sehingga g 22 ba
a
x + 22 ba
b
y + 22 ba
c
= 0
atau g x Cos + y Sin = p.
b). Melalui titik P(xo,yo) dan nornal nu dapat dibangun garis g1//g dalam bentuk:
D
C
D’
A
C’
B
Beberapa bentuk system koordinat
3
4
g1 xo Cos + yo Sin = p d.
Oleh sebab itu jarak titik P terhadap garis g adalah jarak antara garis g1
terhadap g, yaitu:
d = xo Cos + yo Sin - p = .22
00
ba
cybxa
Jadi didapat
d = 22
00
ba
cybxa
. (3.21)
Gambar 3.8 Jarak titik terhadap garis
Contoh-contoh Hitung Jarak Titik terhadap Garis
a). Tentukan jarak dari garis g 2x + 3y + 8 = 0 terhadap titik A(4,5) dan B(1,-
4).
Penyelesaian:
Misal jarak garis g terhadap titik A dan B masing-masing adalah d1 dan d2 ,
maka
d1 = 22
00
ba
cybxa
= 22 32
8)5(3)4(2
=
13
31;
d2 = 22 32
8)4(3)1(2
=
13
2.
X
Y
O i
j n
u
n
u
g
d
p
Bagian I
35
b). Tentukan persamaan garis bagi sudut yang dibangun oleh garis g1 4x – 3y
+ 12 = 0 dan g2 3x – 4y + 8 = 0 pada daerah yang memuat titik awal.
Penyelesaian:
Pada daerah yang memuat titik awal, arah normal garis saling searah. Hal
ini ditunjukkan dari hitung jarak d1 dan d2 bahwa masing-masing bilangan
didalam harga mutlak adalah positip, yaitu
d2 = 22 )3(4
12)0(3)0(4
dan d2 = 22 )4(3
8)0(34)0(3
.
Oleh sebab itu dengan memenuhi kondisi jarak titik P(x,y) anggota garis
yang dicari adalah sama terhadap g1 dan g2, maka persamaan garis yang
dicari adalah
5
843
5
1234
yxyx atau x + y + 4 = 0.
3.5 Persamaan Kutub Garis
Persamaan garis g melalui kutub O membentuk sudut o terhadap
sumbu kutub dinyatakan sebagai = o (Gambar 3.9a).
(a) (b)
Gambar 3.9 Garis melalui kutub
Titik A di g yang jaraknya 2 (dua) satuan terhadap arah positip pusat
kutub O dan sudut polar = /3 (Gambar 3.9b) dinyatakan dengan A(2,/3)
o
O
g
Sumbu
Kutub
O
B(-1,
/3)
A(2,
/3)
/3
Sumbu
Kutub
Beberapa bentuk system koordinat
3
6
dan titik B sejauh 1 (satu) satuan arah negatif terhadap pusat kutub O
dinyatakan sebagai B(-1, /3).
Jika garis g tidak melalui O, maka g berjarak d > 0 dari kutub. Misalkan
o adalah besarnya sudut polar suatu garis f tegaklurus g, maka sebarang titik
P(,) di g dapat dinyatakan dengan bentuk (Gambar 3.10a)
= )(o
Cos
d
. (3.22)
Persamaan (3.22) selanjutnya disebut sebagai persamaan kutub garis. Dalam
hal ini dapat kita pandang sebagai variabel terikat dan dipandang sebagai
variabel bebas dari persamaan garis g.
(a) (b) (c)
Gambar 3.10 Persamaan kutub garis
= d/[Cos( -
o)] = d/[Cos
] =
d/[Sin ]
O O O
g
g g
d d
d
P(,
) 0 =
0 0 =
/2
f –
0 0
Bagian I
37
BAB 4
BENDA KUADRATIS BIDANG
Kurva-kurva bidang hasil dari interseksi kerucut dan bidang pada
berbagai posisi (tidak hanya melalui puncak kerucut) disebut irisan kerucut
(Gambar 4.1). Irisan kerucut memiliki sifat-sifat pokok yang menarik, yaitu
bahwa setiap irisan kerucut (kecuali lingkaran) merupakan tempat kedudukan
titik-titik di bidang dengan rasio jarak dari titik tertentu (fokus kerucut) dan
garis tertentu (direktrik) adalah konstan.
Dalam setiap pembahasan potongan kerucut ini, berisi dua topik
berikut. Pertama, kita formulasikan persamaan lingkaran, elips, hiperbola dan
parabola dalam bentuk koordinat Cartesius, parametrik dan polar. Selanjutnya,
didiskusikan interseksi antara masing-masing potongan kerucut tersebut
terhadap garis lurus. Adapun penjelasan detailnya, diuraikan berikut ini.
Gambar 4.1 Potongan kerucut
4.1 Lingkaran
Definisi 4.1: Lingkaran adalah himpunan titik-titik di bidang yang jaraknya
terhadap titik tertentu tetap. Titik tetap ini selanjutnya disebut
pusat lingkaran.
Hiperbola
Elips
Lingkaran
Parabola
Beberapa bentuk system koordinat
3
8
Dari definisi tersebut, jika P(x,y) sebarang titik pada lingkaran berpusat di
O(0,0), maka bentuk persamaan lingkaran yang didapat adalah (Gambar 4.2a)
rOP
ryx 22 atau 222 ryx (4.1)
dengan r disebut jari-jari lingkaran.
Sedangkan jika pusatnya di P(a,b), maka persamaan lingkaran dinyatakan oleh
bentuk (Gambar 4.2b)
(x – a)2 + (y – b)2 = r2. (4.2)
Ruas kiri bila diuraikan mendapatkan bentuk
x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0. (4.3)
Jadi persamaan umum lingkaran dapat ditulis sebagai
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (4.4)
dengan
A = – 2a (4.4a)
B = – 2b (4.4b)
C = (a2 + b2 – r2). (4.4c)
(a) (b)
Gambar 4.2 Lingkaran
X
Y
O
r
Y
X
r
(a,b
)
Bagian I
39
Untuk sebaliknya, jika diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C =
0, maka
(x2 + Ax + ¼ A2) + (y2 + By + ¼ B2) = (¼ A2 + ¼ B2 – C)
atau
(x + ½ A)2 + (y + ½ B)2 = (¼ A2 + ¼ B2 – C).
Kesimpulannya, pusat lingkaran tersebut adalah (– ½ A, – ½ B) dengan jari-jari
CBAr 22
4
1
4
1. (4.5)
Hasil ini adalah identik dengan bentuk kesamaan (4.4a,b,c) untuk lingkaran
yang berpusat di titik (a,b) dan berjari-jari r.
Dari persamaan (4.5) dapat disimpulkan beberapa hal berikut:
a). jika (¼ A2 + ¼ B2 – C) > 0, maka lingkaran yang didapat adalah nyata;
b). jika (¼ A2 + ¼ B2 – C) = 0, didapatkan sebuah titik;
c). jika (¼ A2 + ¼ B2 – C) < 0, kita dapatkan lingkaran imajiner.
Penyajian lingkaran dalam bentuk parametrik berjari-jari r berpusat di
O(0,0) dirumuskan sebagai
x() = r Cos
y() = r Sin (4.6a)
dengan 0 2. Sedangkan dalam bentuk polar (kutub), untuk lingkaran
berpusat di kutub dinyatakan dengan = r dan jika pusatnya di P(r,o), maka
dihitung melalui rumus kosinus berikut (Gambar 4.3a)
POLCosOPOLOPOLPL 2222
r2 = 2 + r2 – 2 r Cos( – o)
Beberapa bentuk system koordinat
4
0
atau
= 2 r Cos( – o).
Dengan demikian persamaan lingkaran berbentuk polar pusatnya di P(r,o)
dinyatakan oleh bentuk
= 2 r Cos( – o). (4.6b)
= 2 r Cos( -o) = 2 r Cos = 2 r Sin
(a) (b) (c)
Gambar 4.3 Penyajian lingkaran bentuk polar
Misalkan suatu lingkaran x2 + y2 = r2 dan persamaan garis y = mx + k.
Jika garis diiriskan pada lingkaran, maka didapat persamaan
(1 + m2)x2 + (2mk)x + (k2 – r2) = 0. (4.7)
Persamaan (4.7) memberikan tafsiran geometrik berikut:
a). jika D > 0, garis memotong lingkaran di dua titik real;
b). jika D = 0, didapat garis singgung lingkaran;
c). jika D < 0, garis memotong lingkaran di dua titik imajiner.
Hal menarik pada kasus (b), jika gradien garis m diketahui, maka
konstanta k dari garis singgung dapat dicari dengan kondisi
D = k2 – r2(1 + m2) = 0
r
o
L(,)
O
P(r,o)
Sumbu kutub
O
Sumbu kutub
r
O
r
Sumbu kutub
Bagian I
41
atau
21 mrk .
Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
21 mrmxy . (4.8)
Prosedur hitung ini dapat dilakukan untuk kasus umum perpotongan antara
lingkaran berbentuk
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
dan garis
y = mx + k.
Misalkan lingkaran x2 + y2 = r2, maka persamaan garis singgung
melalui titik R(xR,yR) pada lingkaran dapat ditentukan menurut prosedur
berikut.
1. Tentukan dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) di lingkaran, maka garis melalui
kedua titik tersebut adalah
y – y1 = 12
12
xx
yy
(x – x1). (4.9)
2. Karena P dan Q di lingkaran maka keduanya memenuhi persamaan
lingkaran, yaitu
x12 + y1
2 = x22 + y2
2 = r2
atau
12
12
12
12
yy
xx
xx
yy. (4.10)
Beberapa bentuk system koordinat
4
2
3. Jika titik P dan Q berimpit di R, maka xR = x1 = x2 dan yR = y1 = y2. Jadi dari
persamaan (4.9) dan (4.10) didapatkan persamaan garis singgung di R(xR,yR)
sebagai berikut
xRx + yRy = r2. (4.11)
Contoh-contoh Hitung Lingkaran
a). Evaluasi bentuk persamaan x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0.
Penyelesaian:
Bentuk tersebut identik dengan
(x2 + 4x + 4) + (y2 – 6y + 9) = 12 + 4 + 9
atau
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 25.
Jadi persamaan dimaksud adalah lingkaran berpusat di (-2,3) berjari-jari 5.
b). Carilah persamaan lingkaran melalui titik P(1,0), Q(0,1) dan R(2,2).
Penyelesaian:
Misalkan persamaan lingkaran berbentuk formulasi (4.4), maka lingkaran
melalui ketiga titik tersebut memenuhi
Titik (x,y) x2 + y2 + Ax + By + C = 0
P(1,0) 1 + A + C = 0
Q(0,1) 1 + B + C = 0
R(2,2) 4 + 4 + 2A + 2B + C = 0.
Melalui substitusi (eliminasi) tiga persamaan terakhir, maka dapat
ditentukan nilai-nilai koefisien A, B dan C dari persamaan (4.4), yaitu
A = B = –7/3
dan
C = 4/3.
Bagian I
43
Penyelesaian lain, dapat dilakukan dengan cara mencari determinan dari
bentuk persamaan (4.4) hasil substitusi sebarang titik P(x1,y1), Q(x2,y2) dan
R(x3,y3) berikut
.0
1
1
1
1
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
22
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
Dengan demikian melalui ketiga titik tersebut didapatkan persamaan
lingkaran dalam bentuk x2 + y2 – 7/3x – 7/3y + 4/3 = 0.
4.2 Elips
Untuk membangun suatu elips melalui formulasi aljabar, dapat kita
gunakan definisi-definisi elips berikut ini.
Definisi 4.2: Elips adalah himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap
dua titik tertentu (fokus elips) besarnya tetap.
Misalkan elips dengan fokus F1(-c,0) dan F2(c,0) dan jumlah jaraknya untuk
sebarang titik P(x,y) di elips adalah aPFPF 221 , maka (Gambar 4.4)
aPFPF 221
(4.12)
aycxycx 2)()( 2222
Beberapa bentuk system koordinat
4
4
.)(atau)(
2)(442
)()(44)(
)(2)(
22222
2222222
2222222
2222
ycxxa
caycxacxa
ccxxycxaaccxx
ycxycxaaycx
ycxaycx
Jadi jika kedua ruas dikuadratkan dan disederhanakan, didapat
.122
2
2
2
ca
y
a
x (4.13)
Gambar 4.4 Elips
Dalam F1PF2 berlaku hubungan 2121
FFPFPF sehingga 2a > 2c atau a >
c. Dengan demikian pada persamaan (4.13) disimpulkan bahwa penyebut (a2 –
c2) > 0 mempunyai harga akar berikut
22 cab atau a2 = b2 + c2. (4.14)
Oleh sebab itu persamaan elips (4.13) dapat dinyatakan secara umum
12
2
2
2
b
y
a
x. (4.15)
F1(-c,0) F2(-c,0)
P(x,y)
a O X
a b
c
Y
Bagian I
45
Persamaan (4.15) adalah elips berpusat di O(0,0) memotong sumbu-sumbu
koordinat di titik (a,0) dan (0,b) dengan sumbu panjang 2a dan sumbu
pendeknya 2b.
Dari sifat-sifat geometrik definisi 1, memberikan bentuk aljabar
persamaan (4.15). Sebaliknya, jika x dan y memenuhi bentuk (4.15) dengan 0 <
c < a, maka berlaku
2
22
222 )(a
xacay
. (4.16)
Bentuk (4.16) jika disubstitusikan dalam akar berikut diperoleh
xa
caycxPF 22
1)( (4.16a)
.)( 22
2 xa
caycxPF (4.16b)
Jika x terletak di –a x a, maka 1
PF dan 2
PF terletak di a + c dan a – c. Oleh
sebab itu harga mutlak dari 1
PF dan 2
PF masing-masing adalah
xa
caPF
1 dan .2 xa
caPF (4.17)
Jadi aPFPF 221 memenuhi sifat-sifat geometrik definisi 1. Kesimpulannya,
sifat-sifat aljabar dan geometrik dari elips tersebut adalah ekivalen.
Jika titik pusat elips tidak di O(0,0), tetapi misalnya di O’(p,q) dengan
sumbu-sumbu simetri elips sejajar sumbu OX dan OY, maka koordinat baru
untuk elips dapat dinyatakan sebagai (Gambar 4.5)
x' = x – p dan y’ = y – q
dengan sumbu-sumbu koordinat barunya adalah O’X’ dan O’Y’. Adapun untuk
persamaan elips dalam sumbu-sumbu baru ini, dinyatakan oleh bentuk
Beberapa bentuk system koordinat
4
6
1''2
2
2
2
b
y
a
x atau 1
''2
2
2
2
a
y
b
x (4.18)
tergantung dari sumbu panjang atau pendek yang mendefinisikannya.
Gambar 4.5 Elips berpusat di titik (p,q)
Definisi 4.3: Elips adalah himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya
terhadap suatu titik tertentu (fokus) dan suatu garis tertentu
(direktrik) adalah konstan (tetap).
Jika titik P(xp,yp) di elips, maka jarak P ke F1(-c,0) dan F2(c,0) adalah (Gambar
4.6)
222
1 ppycxPF
222
2 ppycxPF
sehingga
.42121
2
2
2
1 pcxPFPFPFPFPFPF
Padahal harga
aPFPF 221 (4.19a)
maka dari itu
P’(p+x’,q+y’) =
P(x,y)
X
X’
Y’ Y
O
O’(p,q)
Bagian I
47
a
cxPFPF
p2
21 . (4.19b)
Dari persamaan (4.19a,b) disimpulkan
px
c
a
a
cPF
2
1
.2
2
px
c
a
a
cPF (4.20)
Oleh karena 0 < c < a , jadi berlaku hubungan
1konstan
)()(2
2
2
1
ea
c
xc
a
PF
xc
a
PF
PP
(4.21)
atau
121
ePR
PF
PQ
PF
dengan e disebut bilangan eksentrisitas elips harganya lebih kecil dari satu. Hal
ini berarti elips adalah himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya
terhadap fokus dan direktrik adalah konstan.
Beberapa bentuk system koordinat
4
8
Eksentrisitas Elips (e) = c/a < 1
Gambar 4.6 Elips dengan garis-garis direktrik g dan h
Elips berpusat di O(0,0), sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendek 2b,
dalam bentuk parametrik dinyatakan oleh
x = a cos
y = b sin (4.22)
dengan suatu variabel parameter dan 0 2. Sedangkan penyajian elips
dalam koordinat polar ditentukan melalui perhitungan berikut.
Misalkan fokus elips F berada di kutub dan garis direktriknya berjarak
d dari kutub, maka menurut persamaan (4.21) berlaku bahwa perbandingan
jarak sebarang titik P(,) di elips ke fokus terhadap garis direktriknya adalah
konstan, yaitu (Gambar 4.7)
PDePFePD
PF atau
= e [d – Cos( – o)]
xh = a2/c = a/e
g
xg = - a2/c = - a/e
Q
Y
h a
ae
F1(-c,0) F2(c,0)
a
c
b
(a2/c + xp) P(xp,yp) (a2/c - xp) R
a/e
Bagian I
49
atau
o
Cose
de
1 (4.23)
dengan nilai eksentrisitas e dalam interval 0 < e < 1.
Gambar 4.7 Elips dalam koordinat polar
Misalkan suatu elips
12
2
2
2
b
y
a
x (4.24)
dan persamaan garis y = mx + k. Jika keduanya diiriskan didapat bentuk
(m2a2 + b2) x2 + (2a2mk) x + (m2a2 – a2b2) = 0. (4.25)
Jika gradien garis m diketahui, maka konstanta k garis singgung dapat dicari
melalui kondisi diskriminan
D = m2a2 + b2 – k2 = 0
atau
222 bamk .
D P(,
)
F =
O
d
o
Beberapa bentuk system koordinat
5
0
Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
222 bammxy . (4.26)
Prosedur untuk mendapatkan persamaan garis singgung di titik R(xR,yR)
pada elips (4.24) adalah identik dengan prosedur mencari persamaan garis
singgung melalui titik R(xR,yR) pada lingkaran x2 + y2 = r2 yang hasilnya
ditunjukkan pada persamaan (4.11). Oleh sebab itu persamaan garis singgung
melalui titik R(xR,yR) pada elips (4.24) didapat
122
b
yy
a
xx RR . (4.27)
Contoh-contoh Hitung Elips
a). Tentukan persamaan elips yang simetri terhadap sumbu Y berfokus di
sumbu X sebesar c = 9 satuan dan eksentrisitas e = 3/4.
Penyelesaian:
Nilai e = c/a = 3/4, maka 9/a = 3/4 atau a = 12. Karena a2 = b2 + c2, maka
didapat harga b sebagai berikut
b2 = a2 – c2 atau b = 63.
Jadi persamaan elips yang dicari adalah 163144
22
yx
.
b). Evaluasi bentuk 9x2 + 4y2 + 36x – 8y + 4 = 0.
Penyelesaian:
Jika kita nyatakan dalam bentuk kuadrat, didapat
9x2 + 4y2 + 36x – 8y + 4 = 0
9(x2 + 4x + 4) + 4(y2 – 2y + 1) = 36
atau
Bagian I
51
.19
)1(
4
)2( 22
yx
Jadi elips tersebut berpusat di (-2,1). Jika relasi koordinat baru dengan
koordinat lama diformulasikan
x' = x + 2 ; y’ = y – 1
maka didapat persamaan elips baru
19
'
4
' 22
yx
.
Dengan demikian titik-titik potong elips terhadap sumbu-sumbu baru X’
dan Y’ adalah (2,0) dan (0,3) dengan titik fokusnya dihitung sebagai
berikut. Karena
a2 = 9 dan b2 = 4,
maka
522 bac .
Jadi fokusnya berada pada titik (0,5) di sumbu baru Y’ atau di titik (-2,
15) menurut koordinat lama XOY.
c). Tentukan persamaan garis singgung pada elips 4x2 + 6y2 = 36 dan sejajar
terhadap garis 12x – 3y + 8 = 0.
Penyelesaian:
Bentuk persamaan garis 12x – 3y + 8 = 0 identik dengan y = 4x – 8. Jadi
gradien garis singgung dimaksud adalah m = 4. Sedang persamaan umum
elips didapatkan
Beberapa bentuk system koordinat
5
2
169
22
yx
.
Jadi menurut bentuk (4.26), persamaan garis singgung elips yang dimaksud
adalah
1504222 xbammxy .
4.3 Hiperbola
Definisi 4.4: Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya
terhadap dua titik tertentu (fokus hiperbola) besarnya tetap.
Misalkan hiperbola dengan fokus F1(c,0) dan F2(-c,0) dan selisih
jaraknya untuk sebarang titik P(x,y) di hiperbola adalah aPFPF 221 , maka
(Gambar 4.8)
aPFPF 221 (4.28)
aycxycx 2)()( 2222
atau
.122
2
2
2
ca
y
a
x
Gambar 4.8 Hiperbola
y = - (b/a) x y = (b/a) x
P(x,y)
F1 F2 b
a
c
Y
X
Bagian I
53
Dalam F1PF2 berlaku hubungan 2121
FFPFPF sehingga 2a < 2c atau a
< c. Dengan demikian pada persamaan (4.28) disimpulkan bahwa penyebut (a2
– c2) < 0 mempunyai harga akar berikut
a2 – c2 = –b2 . (4.29)
Persamaan hiperbola didapat
12
2
2
2
b
y
a
x. (4.30)
Persamaan (4.30) adalah hiperbola berpusat di O(0,0) dan tidak ada bagian
hiperbola yang terletak diantara x = – a dan x = a.
Dari sifat-sifat geometrik definisi 1, memberikan bentuk aljabar
persamaan (4.30). Sebaliknya, misalkan sebarang titik P(x,y) memenuhi bentuk
(4.30), maka panjang 1PF dan 2
PF diketahui
xa
caycxPF 22
1)( (4.31a)
xa
caycxPF 22
2)( (4.31b)
dengan x terletak didaerah x < -a atau x > a. Harga mutlak dari persamaaa
(4.31) adalah
a). untuk x > a berlaku
xa
caPF
1 (4.32a)
.2 xa
caPF
b) untuk x < – a berlaku
)(1
xa
caPF (4.32b)
Beberapa bentuk system koordinat
5
4
.2 xa
caPF
Jadi dari (4.32) dapat disimpulakan bahwa jika P di daerah x > a berlaku
aPFPF 221 dan jika P di daerah x < – a berlaku aPFPF 2
12 . Hal ini
berarti memenuhi sifat-sifat geometrik definisi 1. Kesimpulannya, sifat-sifat
aljabar dan geometrik dari hiperbola tersebut adalah ekivalen.
Jika titik pusat simetri hiperbola tidak di O(0,0), tetapi misalnya di
O’(p,q), maka koordinat baru untuk hiperbola dinyatakan sebagai
x' = x – p dan y’ = y – q
dengan sumbu-sumbu koordinat barunya adalah O’X’ dan O’Y’. Adapun untuk
persamaan hiperbola dalam sumbu-sumbu baru ini, dinyatakan oleh bentuk
1''2
2
2
2
b
y
a
x
atau
.1''2
2
2
2
a
y
b
x (4.33)
Definisi 4.5: Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang perbandingan
jaraknya terhadap suatu titik tertentu (fokus) dan suatu garis
tertentu (direktrik) adalah konstan (tetap) yang harganya lebih
besar dari satu.
Misalkan titik P(xp,yp) di hiperbola, maka jarak P ke F1(-c,0) dan
F2(c,0) masing-masing adalah (Gambar 4.9)
222
1 ppycxPF
222
2 ppycxPF
sehingga
Bagian I
55
p
cxPFPFPFPFPFPF 42121
2
2
2
1
.
Padahal diketahui harga
aPFPF 221 (4.33a)
maka dari itu
.
221
a
cxPFPF
p (4.33b)
Dari persamaan (4.33a,b) disimpulkan
px
c
a
a
cPF
2
1
.2
2
px
c
a
a
cPF (4.34)
Oleh karena cFF 221 dan aPFPF 2
21 sehingga
2121PFPFFF , maka
berlaku hubungan
1konstan
)(2
2
2
1
ea
c
xc
a
PF
xc
a
PF
PP
(4.35)
atau
121
ePR
PF
PQ
PF.
Hal ini berarti hiperbola adalah himpunan titik-titik yang perbandingan
jaraknya terhadap fokus dan direktrik adalah konstan berharga lebih besar dari
satu.
Beberapa bentuk system koordinat
5
6
Eksentrisitas Hiperbola (e) = c/a > 1
Gambar 4.9 Hiperbola dengan garis-garis direktrik g dan h
Hiperbola berpusat di O(0,0), dalam bentuk parametrik dinyatakan oleh
penyajian berikut
x = a sec
y = b tan, (4.36)
dengan suatu variabel parameter dan 0 /2. Sedangkan penyajian
hiperbola dalam koordinat polar seperti diberikan oleh bentuk elips, yaitu
= e [d – Cos( – o)]
atau
)(1o
Cose
de
(4.37)
dengan d adalah jarak fokus di kutub terhadap direktriknya dan nilai
eksentrisitas e > 1.
Seperti halnya pada elips, misalkan suatu hiperbola
12
2
2
2
b
y
a
x (4.38)
g h
Q R P(xp,yp)
F1 F2
Y
X
Bagian I
57
dan persamaan garis y = mx + k. Jika keduanya diiriskan didapat bentuk
(m2a2 – b2)x2 + (2a2mk)x + (m2a2 + a2b2) = 0. (4.39)
Jika gradien garis m diketahui, maka konstanta k garis singgung dapat dicari
melalui kondisi diskriminan
D = 4a2b2 (– a2m2 + b2 + k2) = 0
atau
222 bamk .
Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
222 bammxy . (4.40)
Prosedur untuk mendapatkan persamaan garis singgung di titik R(xR,yR)
pada hiperbola (4.40) adalah identik dengan prosedur mencari persamaan garis
singgung melalui titik R(xR,yR) pada lingkaran atau elips. Dalam hal ini,
didapat bentuk
122
b
yy
a
xx RR . (4.41)
Contoh-contoh Hitung Hiperbola
a). Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat simetri di O(0,0), titik api di
sumbu X sejauh 10 dan garis asimtotiknya y = 3/4 x.
Penyelesaian:
Jika persamaan hiperbola dalam bentuk 12
2
2
2
b
y
a
x dan garis asimtotik y =
mx, maka titik potongnya diperoleh di tak terhingga melalui perhitungan
persamaan
(b2 – a2m2)x2 = a2b2
dengan kondisi
Beberapa bentuk system koordinat
5
8
(b2 – a2m2) = 0
atau
m = b/a.
Oleh sebab itu karena garis asimtotnya y = 3/4x, maka b/a = 3/4. Karena
dalam hiperbola berlaku b2 = c2 – a2 > 0, maka
b2 = 100 – (16/9)b2 atau b = 6 dan a = 8.
Jadi hiperbola dimaksud adalah
.13664
22
yx
b). Evaluasi persamaan dalam bentuk x2 – 4y2 + 2x + 8y – 7 = 0.
Penyelesaian:
Bentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai
x2 – 4y2 + 2x + 8y – 7 = 0
(x2 + 2x + 1) – 4(y2 – 2y +1) = 7 + 1 – 4
atau
1)1(4
)1( 2
2
yx
.
Dengan demikian dapat dinyatakan dalam koordinat baru
x' = x + 1 dan y’ = y – 1
sehingga 11
'
4
' 22
yx
menyajikan hiperbola dengan pusat x’ = 0, y’ = 0 atau x = -1 dan y = 1 dan
memiliki nilai a2 = 4, b2 = 1 dan c2 = a2 + b2 = 5. Sedangkan garis
asimtotiknya masing-masing adalah (x’/2) – y’ = 0 dan (x’/2) – y’ = 0.
Bagian I
59
4.4 Parabola
Definisi 4.6: Parabola adalah himpunan titik-titik di bidang yang berjarak
sama dari titik tetap (fokus parabola) dan garis tertentu
(direktrik).
Misalkan fokus F suatu parabola di sumbu Y dan tegaklurus terhadap
garis direktrik g (Gambar 4.10). Titik pangkal (0,0) merupakan titik tengah
dari F dan g, sedangkan jarak F terhadap g sebesar 2p, maka koordinat F
adalah F(0,p) dan garis g dinyatakan oleh persamaan y = – p. Dengan demikian
menurut definisi 3, sebarang titik P(x,y) terdapat di parabola jika dan hanya jika
P memenuhi kondisi
PQPF (4.42)
dengan Q(x,-p). Karena harga
22 )( pyxPF
dan
2)( pyPQ (4.43)
maka persamaan untuk parabola berpuncak di (0,0) yang dimaksud adalah
x2 = 4py. (4.44)
Gambar 4.10 Parabola
Direktrik : y = -
p
P(x,y)
Q(x,-p)
F(0,p)
Y
X
Beberapa bentuk system koordinat
6
0
Sebaliknya jika bentuk (4.44) dipenuhi, maka
.)()2(4)( 22222 PQpypypypypyxPF
Sehubungan dengan persamaan hiperbola (4.35) atau elips, maka dapat
disimpulkan bahwa perbandingan jarak titik P(x,y) pada parabola ke fokus
terhadap direktrik adalah konstan berharga satu, yaitu
1 ePQ
PF
(4.45)
dengan e eksentrisitas dari parabola. Dengan demikian suatu parabola dapat
didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap
fokus dan direktrik adalah satu.
Dalam Gambar 4.11, kita sajikan beberapa contoh persamaan parabola
dengan fokus di sumbu koordinat yang berbeda.
(a). Parabola: x2 = -4 py (b). Parabola: y2 = -4 px
Direktrik: y = p
Y
F(0,-
p)
P(x,y
)
X
Y
X F(0,-
p)
Direktrik: x =
p P(x,y)
Bagian I
61
(c). Parabola: y2 = 4 px
Gambar 4.11 Beberapa contoh persamaan parabola
Jika titik puncak parabola tidak di O(0,0), tetapi misalnya di O’(r,s)
dengan sumbu simetri parabola sejajar salah satu sumbu OX atau OY, maka
koordinat baru untuk parabola dinyatakan sebagai
x' = x – r dan y’ = y – s
dengan sumbu-sumbu koordinat barunya adalah O’X’ dan O’Y’. Adapun untuk
persamaan parabola (4.44) dalam sumbu-sumbu baru ini, dinyatakan oleh
bentuk
(x’)2 = 4py’
atau
(x – r)2 = 4p(y – s). (4.46)
Persamaan parabola dalam bentuk parametrik dinyatakan oleh persamaan
berikut
x = tan2
y = 2 tanp (4.47)
Y
X
F(0,p)
P(x,y)
Direktrik: x =
-p
Beberapa bentuk system koordinat
6
2
dengan suatu variabel parameter dan 0 /2. Sedangkan penyajian
parabola dalam koordinat polar seperti diberikan oleh bentuk elips dan
hiperbola, yaitu
= e [d – Cos( – o)]
atau
)(1o
Cose
de
(4.48)
dengan d adalah jarak fokus di kutub terhadap direktriknya dan nilai
eksentrisitas e = 1.
Contoh-contoh Hitung Parabola
a). Carilah persamaan parabola yang dibangun melalui garis direktrik x – 5 = 0
dan fokusnya F(6,2).
Penyelesaian:
Misalkan titik P(x,y) pada parabola, maka menurut definisi harus dipenuhi
hubungan jarak P ke F dan ke garis direktrik x – 5 = 0 adalah sama, yaitu
5)2()6( 22 xyx
atau
(x – 6)2 + (y – 2)2 = (x – 5)2
y2 – 4y – 2x + 15 = 0.
Jadi parabola dimaksud adalah y2 – 4y – 2x + 15 = 0.
b). Evaluasi bentuk parabola berikut y = x2 + 4x.
Penyelesaian:
Jika dinyatakan dengan kuadrat sempurna didapat bentuk
y + 4 = (x + 2)2.
Dari bentuk (1.20), yaitu (x – r)2 = 4p(y – s), dapat disimpulkan bahwa
Bagian I
63
r = – 2, s = – 4 dan p = 1/4.
Jadi puncak parabola adalah T(-2,-4) dengan sumbu simetri x = –2 dan
fokus terletak sejauh 1/4 satuan dari puncak, yaitu F(-2, (-3,75)).
Gambar 4.12 Grafik parabola y = x2 + 4x.
X
Y
x = -2
y = x2 + 4x
T(-2,-4)
O
Beberapa bentuk system koordinat
6
4
BAB 5
PENYAJIAN BIDANG DAN GARIS
DI RUANG
Formulasi bidang banyak digunakan dalam desain permukaan benda-
benda industri. Hal ini dikarenakan bentuk komponen-komponen benda
dimaksud umumnya terkonstruksi dari beberapa potongan bentuk kubus,
balok, prisma, limas, ataupun bidang poligon, sehingga untuk
memodelisasikannya diperlukan penyajian bentuk bidang. Selain itu untuk
keperluan hitung volume benda tersebut, juga diperlukan adanya perhitungan
deteksi ukuran segmen garis interseksi antar bidang-bidang batas benda dan
hitung ukuran jarak/ketinggian benda, maupun arah bidang batasnya. Oleh
karenanya studi tentang penyajian bidang dan garis di ruang, lebih lanjut perlu
dikenalkan.
Tujuan studi dalam bab ini adalah untuk dapat memahami pengertian
kosinus arah vektor satuan (di ruang) dan mampu menggunakannya dalam
membangun persamaan umum bidang. Selain itu, melalui vektor normal
bidang yang diketahui dan jarak bidang terhadap titik awal, kita mampu
membangun bentuk formula Hess untuk penyajian bidang. Di lain pihak dalam
perhitungan garis di ruang, kita mendapatkan formula garis dalam bentuk
vektorial, ataupun bentuk proporsional. Uraian detailnya adalah berikut ini.
5.1 Kosinus Arah
Definisi 2.1 : Kosinus arah dari vektor satuan u adalah ukuran-ukuran aljabar
dari proyeksi vektor satuan u ke vektor i, j dan k masing-masing pada
sumbu-sumbu OX, OY dan OZ.
Misalkan u = A i + B j + C k = <A,B,C> dengan u = 1, maka kosinus
arah u menurut definisi tersebut adalah (Gambar 5.1)
Cos = (u.i)/(u i) = 222 CBA
A
(5.1)
Bagian I
65
Cos = (u.j)/(u j) = 222 CBA
B
Cos = (u.k)/(u k) = 222 CBA
C
dengan , dan masing-masing merupakan sudut yang dibentuk antara
vektor u terhadap sumbu OX, OY dan OZ.
Gambar 5.1 Kosinus arah vektor satuan u.
5.2 Persamaan Umum Bidang
Dalam sistem aksioma geometri Euclid disebutkan bahwa melalui tiga
titik berbeda tidak pada satu garis, tepat dapat dibangun sebuah bidang.
Berdasar pada aksioma ini, kita tentukan persamaan bidang berikut. Pandang
tiga titik berbeda tidak segaris di ruang, yaitu titik P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2) dan
R(x3,y3,z3) sehingga vektor (Gambar 5.2)
PQPQPQ zyx
zzyyxxPQ
,,
)(),(),( 121212
(5.2)
.,,
)(),(),( 131313
PRPRPR zyx
zzyyxxPR
X
Y
Z
i j
k
O
u
Beberapa bentuk system koordinat
6
6
Gambar 5.2 Konstruksi bidang
Karena ketiga titik P, Q dan R menentukan bidang , berarti bidang
terbangun oleh dua vektor bebas (bukan kelipatan dari satu terhadap yang lain)
PQ dan PR . Dengan demikian untuk sebarang titik S(x,y,z) di bidang , maka
berlaku vektor PS sebagai bentuk kombinasi linier dari vektor PQ dan PR ,
yaitu
PS = 1PQ + 2 PR
<x,y,z> - <x1,y1,z1> = 1 <xPQ ,yPQ ,zPQ> + 2 <xPR ,yPR,zPR>
atau
x = x1 + 1 xPQ + 2 xPR (5.3a)
y = y1 + 1 yPQ + 2 yPR (5.3b)
z = z1 + 1 zPQ + 2 zPR (5.3c)
dengan 1 dan 2 merupakan skalar real. Bentuk (5.3a,b,c) ini disebut sebagai
persamaan parametrik bidang dan dapat dinyakan sebagai
<x,y,z> = <x1,y1,z1> + 1 <xPQ ,yPQ ,zPQ> + 2 <xPR ,yPR,zPR>. (5.3d)
X
Y
Z
i j
k
P
Q
R
S(x,y,z)
O
Bagian I
67
Dari persamaan (5.3a,b) dapat ditentukan kedua harga 1 dan 2. Jika harga-
harga ini kemudian disubstitusikan ke (5.3c), maka diperoleh bentuk berikut
0)()()( 111 zzyx
yxyy
xz
xzxx
zy
zy
PRPR
PQPQ
PRPR
PQPQ
PRPR
PQPQ
atau
A (x – x1) + B (y – y1) + C (z - z1) = 0.
Jadi persamaan umum bidang adalah
A x + B y + C z + D = 0 (5.4)
dengan PRPR
PQPQ
zy
zyA ,
PRPR
PQPQ
xz
xzB ,
PRPR
PQPQ
yx
yxC , D = -(A x1 + B y1 + C z1).
Analog dengan persamaan garis pemotong sumbu-sumbu koordinat di R2,
maka persamaan bidang yang memotong sumbu-sumbu koordinat di titik
P(a,0,0), Q(0,b,0) dan R(0,0,c) dapat ditentukan melalui persamaan (5.4)
sebagai berikut
(bc) x + (ca) y + (ab) z – (abc) = 0
atau
1c
z
b
y
a
x. (5.5)
Misalkan persamaan bidang A x + B y + C z + D = 0 dan vektor n =
<A,B,C>. Tetapkan satu titik P(x1,y1,z1) di bidang dan ambil sebarang titik
lainnya Q(x2,y2,z2). Karena kedua titik ini terdapat di , maka berlaku
A x1 + B y1 + C z1 + D = 0
dan
Beberapa bentuk system koordinat
6
8
A x2 + B y2 + C z2 + D = 0.
Jadi didapat
A (x2 – x1) + B (y2 – y1) + C (z2 – z1) + D = 0.
Padahal sebarang vektor PQ di bidang , berbentuk
PQ = <(x2 – x1),(y2 – y1),(z2 – z1)>.
Oleh sebab itu persamaan A (x2 – x1) + B (y2 – y1) + C (z2 – z1) + D = 0 adalah
bentuk perkalian skalar dari
n . PQ = 0, (5.6)
yang berarti vektor n tegaklurus terhadap semua vektor di bidang . Dengan
demikian setiap vektor n yang berbentuk n = <A,B,C> selalu tegaklurus
terhadap bidang dari bentuk umum A x + B y + C z + D = 0. Vektor normal n
ini selanjutnya disebut normal bidang dan dinotasikan dengan n (Gambar
5.3).
Gambar 5.3 Normal bidang
Pandang tiga titik berbeda tidak segaris di bidang , yaitu titik
P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2) dan R(x3,y3,z3), maka veknor normal bidang dapat
ditentukan sebagai
X
i
P
Y
Z
j
k
n =
<A,B,C>
S(x,y
,z)
O
R
n =
<A,B,C>
Q
Bagian I
69
n =
PRPRPR
PQPQPQ
zyx
zyx
kji
PRPQ
= A i + B j + C k
= <A,B,C>.
Dengan demikian jika dipandang S(x,y,z) sebarang titik di bidang , maka
persamaan bidang dapat dicari melalui kondisi
n . PS = 0
<A,B,C> . <(x – x1),(y – y1),(z – z1)> = 0
atau
A (x – x1) + B (y – y1) + C (z - z1) = 0. (5.7)
Persamaan ini merupakan persamaan bidang yang dibangun melalui titik
P(x1,y1,z1) dan normalnya n = <A,B,C>.
Sehubungan dengan persamaan bidang A x + B y + C z + D = 0 dan
vektor normalnya n = <A,B,C>, dapat disimpulkan hal-hal berikut.
a). Jika A = 0 dan B = 0, maka vektor n sejajar terhadap sumbu Z. Bidang
sejajar dengan bidang XOY. Dalam hal khusus jika D = 0, berimpit
dengan XOY.
b). Jika A = 0 dan C = 0, maka bidang sejajar bidang XOZ dan berimpit
bidang D = 0.
c). Jika B = 0 dan C = 0, maka bidang sejajar bidang YOZ dan berimpit
bidang D = 0.
d). Jika A = 0 dan B,C 0, maka vektor n tegaklurus pada sumbu X. Bidang
sejajar sumbu X dan berimpit bila D = 0.
e). Jika A 0, B = 0 dan C 0, maka bidang sejajar sumbu Y dan berimpit jika
D = 0.
f). Jika A 0, B 0 dan C = 0, maka bidang sejajar sumbu Z dan berimpit jika
D = 0.
g). Jika D = 0, maka bidang melalui titik awal.
Beberapa bentuk system koordinat
7
0
Contoh-contoh hitung persamaan umum bidang
a). Carilah vektor normal bidang memuat titik P(0,1,1), Q(1,0,-1) dan R(1,-
1,0).
Penyelesaian:
Karena PQ = <1,-1,-2> dan PR = <1,-2,-1> maka
n = PQPR =
121
211
kji
= <-3,-1,-1>.
b). Tentukan persamaan bidang terdefinisi oleh titik P(2,-1,1), Q(3,2,-1) dan
R(-1,3,2).
Penyelesaian:
Vektor PQ = <1,3,-2> dan PR = <-3,4,1>. Tentukan sebarang titik
S(x,y,z) pada bidang sehingga PS = <(x-2),(y+1),(z-1)>, maka persamaan
bidang diperoleh dari kondisi
( PQ PR ) . PS = n . PS = 0
atau
143
231
kji
.<(x-2),(y+1),(z-1)> = 0.
Jadi persamaan bidang dimaksud adalah 11 x + 5 y + 13 z = 0.
5.3 Persamaan Normal Bidang (Persamaan Hess)
Misalkan n = <A,B,C> merupakan vektor normal dari bidang A x
+ B y + C z + D = 0. Sedangkan pOP adalah jarak dari O tehadap bidang
dengan OP dan vektor normal satuan nu dari bidang adalah (Gambar
5.4)
nu = n/ n = Cos i + Cos j + Cos k
Bagian I
71
= 222 CBA
A
i +
222 CBA
B
j +
222 CBA
C
k (5.8)
Gambar 5.4 Persamaan normal bidang
Jika M(x,y,z) sebarang titik pada bidang , maka persamaan normal bidang
dapat didefinisikan melalui perkalian skalar terhadap nu menurut salah satu
kondisi berikut:
a). Harga nu . PM = 0
< Cos , Cos , Cos >. <(x – p Cos ), (y - p Cos ), (z – p Cos )> = 0.
Jadi
Cos (x – p Cos ) + Cos (y - p Cos ) + Cos (z – p Cos ) = 0
x Cos + y Cos + z Cos - p = 0.
b). Harga OP = p = OM . nu = OM . (OP
OP)
= <x,y,z> .
<222 CBA
A
,
222 CBA
B
,
222 CBA
C
>.
X
i
n
Y
Z
j
k
n
u
M(x,y
,z)
P
Ax + By + Cz + D
= 0
O
Beberapa bentuk system koordinat
7
2
Jadi p = <x,y,z> . < Cos , Cos , Cos >
= x Cos + y Cos + z Cos .
Kesimpulannya, persamaan normal bidang adalah
x Cos + y Cos + z Cos - p = 0 (5.9)
atau
222 CBA
A
x +
222 CBA
B
y +
222 CBA
C
z – p = 0.
Dari bidang yang dinyatakan dalam bentuk umum
A x + B y + C z + D = 0
dan dalam bentuk normal
x Cos + y Cos + z Cos - p = 0
maka dapat disimpulkan hubungan berikut:
a). perbandingan dari koefisien-koefisien kedua persamaan tersebut adalah
222
1
CBAD
p
C
Cos
B
Cos
A
Cos
(5.9a)
b). dari (a), maka jarak O ke bidang adalah
222 CBA
Dp
. (5.9b)
Contoh-contoh hitung persamaan normal bidang
a). Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua bidang 1 dan 2 berikut,
kemudian evaluasi kemungkinan kedudukan dari yang satu terhadap yang
lain
Bagian I
73
1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Penyelesaian:
Normal bidang 1 dan 2 masing-masing adalah n1=<A1,B1,C1> dan
n2=<A2,B2,C2>. Oleh sebab itu sudut antara bidang 1 dan 2 dapat
ditentukan melalui
= arc Cos (n1. n2 /n1 n2).
Jika = 0o atau = 180o, kedua bidang sejajar atau berimpit. Dalam hal ini
1//2 jika komponen dari n1 dan n2 saling proporsional, yaitu
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A .
Di lain pihak, kedua bidang identik (berimpit), jika 2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A .
Jika harga = 90o, maka kedua bidang saling tegaklurus, yaitu jika n1. n2 =
0.
b). Nyatakan bidang bentuk umum 2 x + 4 y - 4 z + 8 = 0 kedalam persamaan
normal.
Penyelesaian:
Hubungan koefisien bentuk umum dan normal bidang telah dinyatakan
dalam persamaan (5.9a) dan 6222 CBA , maka persamaan
normalnya adalah
1/3 x + 2/3 y – 2/3 z +3
11 = 0.
5.4 Persamaan Garis
Tetapkan dua titik berbeda di ruang P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z1), maka
sebarang titik R(x,y,z) pada garis g yang didefinisikan oleh kedua titik tersebut
Beberapa bentuk system koordinat
7
4
memenuhi relasi )( OPOQOPOR . Karena itu bentuk persamaan
vektor garis g dapat dinyatakan dalam formula (Gambar 5.5)
g r = p + (q – p) (5.10)
atau
<x,y,z> = <x1, y1,z1> + <(x2 – x1), (y2 – y1),(z2 – z1)>
dengan suatu bilangan real.
Gambar 5.5 Penyajian garis di ruang
Bentuk (5.10) ini selanjutnya dapat kita nyatakan menjadi
x = x1 + (x2 – x1) (5.11)
y = y1 + (y2 – y1)
z = z1 + (z2 – z1)
dan disebut sebagai persamaan parametrik garis g dengan - < < + suatu
variabel parameter x, y dan z, yaitu fungsi-fungsi skalar untuk vektor basis i ,
j dan k.
Jika dalam persamaan (5.11) harga disubstitusikan dari satu kepada
yang lain, maka kita dapatkan model lain persamaan garis g berikut
X
Y
Z
O i j
k p
q r
g
P(x1,y1,z
1)
Q(x2,y2,z
2)
R(x,y,
z)
Bagian I
75
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
(5.12a)
atau
c
zz
b
yy
a
xx 111
(5.12b)
dengan penyebut-penyebut tidak sama dengan nol. Adapun vektor ng dalam
bentuk
ng = <(x2 – x1), (y2 – y1),(z2 – z1)> = <a,b,c>
disebut vektor arah atau koefisien arah garis g. Dengan demikian jika
Cos = a/( ng , Cos = b/( ng , Cos = c/( ng ,
maka persamaan garis g dapat juga dinyakan sebagai bentuk
Cos
zz
Cos
yy
Cos
xx 111
. (5.13)
Bentuk (5.12) dan (5.13) disebut persamaan garis melalui titik (x1,y1,z1),
dengan vektor arah garis ng = <a,b,c> atau ng = <Cos , Cos , Cos >.
Berikut beberapa sifat garis lurus g dengan vektor arahnya ng =
<a,b,c>:
a). bila a = 0 dan b,c 0, maka vektor ng = <0,b,c> sejajar dengan bidang YOZ.
Dengan demikian garis g juga sejajar atau berimpit dengan bidang YOZ.
b). bila b = 0 dan a,c 0, maka garis g sejajar atau berimpit dengan bidang
XOZ.
c). bila c = 0 dan a,b 0, maka garis g sejajar atau berimpit dengan bidang
XOY.
d). bila a,b = 0, maka garis g sejajar atau berimpit dengan sumbu Z, bila a,c =
0, maka garis g sejajar atau berimpit dengan sumbu Y dan bila b,c = 0,
maka garis g sejajar atau berimpit dengan sumbu X.
Beberapa bentuk system koordinat
7
6
Suatu garis g dapat dipandang sebagai perpotongan dua bidang
1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Misalkan ditetapkan satu titik P(x1,y1,z1) pada garis dan S(x,y,z) sebarang titik
di garis. Maka persamaan garis dimaksud adalah
c
zz
b
yy
a
xx 111
dengan vektor arah garis ng = <a,b,c> = n1 n2 , yaitu
ng =
222
111
CBA
CBA
kji
= 22
11
CB
CB i -
22
11
CA
CA j +
22
11
BA
BA k. (5.14)
5.5 Relasi dan Interseksi Diantara Titik, Garis, dan Bidang
Misalkan sebarang garis dan bidang masing-masing dinyatakan oleh
persamaan dalam bentuk
g c
zz
b
yy
a
xx 111
A x + B y + C z + D = 0.
Jika vektor arah garis ng dinyatakan oleh ng = <a,b,c> dan vektor normal
bidang adalah n = <A,B,C>, maka garis dan bidang adalah sejajar, jika kedua
vektor ng dan n saling tegaklurus, yaitu
ng . n = a A + b B + c B = 0. (5.15)
Garis g akan terletak pada bidang , bila dipenuhi kondisi
ng . n = a A + b B + c B = 0 (5.16)
dan
A x1 + B y1 + C z1 + D = 0.
Bagian I
77
Adapun garis g akan tegaklurus bidang , bila dipenuhi kondisi
c
C
b
B
a
A . (5.17)
Dengan demikian jika garis g dinyatakan oleh perpotongan dua bidang
1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
dan vektor arahnya ng = <a,b,c> sebagai
a = 22
11
CB
CB b = -
22
11
CA
CA c =
22
11
BA
BA,
maka garis g akan tegaklurus atau sejajar garis lain h dengan vektor arah nh =
<a1,b1,c1>, bila masing-masing bentuk (5.15) atau (5.17) dipenuhi.
Andaikan diketahui dua garis dalam bentuk umum
g1 1
1
1
1
1
1
c
zz
b
yy
a
xx
(5.18)
dan
g2 2
2
2
2
2
2
c
zz
b
yy
a
xx
.
Kedua garis g1 dan g2 adalah sejajar jika
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a (5.19)
dan keduanya adalah berimpit, jika selain kondisi (5.19) dipenuhi, maka
seharusnya dipenuhi juga sebarang titik di garis g1 akan terletak di g2 atau
sebaliknya, yaitu
Beberapa bentuk system koordinat
7
8
2
21
2
21
2
21
c
zz
b
yy
a
xx
.
Di lain pihak, kedua garis akan berpotongan, jika kondisi (5.19) tidak dipenuhi
tetapi harga determinan dari empat titik berbeda, masing-masing dua titik pada
garis yang berbeda, adalah nol. Adapun kedua garis adalah bersilangan, jika
selain tidak dipenuhinya kondisi (5.19), juga tidak dipenuhi harga determinan
dari keempat titik tersebut nol. Dengan kata lain, kedua garis terjadi:
a). kesejajaran, jika <a1,b1,c1> = <a2,b2,c2> dengan bilangan real, titik
(x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) terletak di dua garis berbeda.
b). berimpit, jika <a1,b1,c1> = <a2,b2,c2> sedangkan (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2)
keduanya terletak di g1 atau g2.
c). perpotongan, jika <a1,b1,c1> <a2,b2,c2>, tetapi g1 dan g2 sebidang.
d). bersilangan, jika <a1,b1,c1> <a2,b2,c2> dengan g1 dan g2 tidak sebidang.
Misalkan dua bidang berikut
1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
berpotongan dalam bentuk
1 (A1 x + B1 y + C1 z + D1) + 2 (A2 x + B2 y + C2 z + D2) = 0
atau
1 1 + 2 2 = 0 (5.20)
dengan 1 dan 2 konstanta real. Bentuk (5.20) ini adalah linier (berupa
persamaan bidang) disebut sebagai berkas bidang, yaitu himpunan bidang-
bidang yang melalui garis potong bidang 1 dan 2. Jika kedua bidang ini
sejajar, maka persamaan berkas bidang menjadi
A1 x + B1 y + C1 z = (5.21)
Bagian I
79
dengan suatu parameter.
Andaikan tiga bidang berikut
1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
3 A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0
berpotongan tidak membentuk berkas bidang, dalam bentuk
1 1 + 2 2 + 3 3 = 0 (5.22)
dengan 1 , 2 dan 3 konstanta real, maka persamaan (5.22) ini merupakan
himpunan bidang-bidang yang melalui satu titik potong ketiga bidang 1 ,2 dan
3.
Misalkan dua titik di ruang P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z1). Jarak antara titik
P dan Q, dinotasikan PQ , dapat ditentukan dengan teorema Phytagoras
sebagai
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxxPQ (5.23)
Andaikan titik P(xo,yo,zo) dan bidang Ax + By + Cz + D = 0, maka jarak d
dari titik P ke suatu bidang , dapat ditentukan melalui prosedur berikut
(Gambar 5.6):
a). Tulis bidang Ax + By + Cz + D = 0 dalam bentuk normal Hess dengan
normal satuan
nu = <222 CBA
A
,
222 CBA
B
,
222 CBA
C
>
sehingga
x Cos + y Cos + z Cos = p
atau
Beberapa bentuk system koordinat
8
0
222 CBA
A
x +
222 CBA
B
y +
222 CBA
C
z – p = 0.
.
Gambar 5.6 Jarak titik terhadap bidang
b). Melalui titik P(xo,yo,zo) dapat dibangun bidang 1// dalam bentuk:
xo Cos + yo Cos + zo Cos = p d
Oleh sebab itu jarak dari titik P ke bidang adalah jarak antara 1 dan , yaitu
d = xo Cos + yo Cos + zo Cos – p
Jadi didapat
d = 222
000
CBA
DzCyBxA
(5.24)
Andaikan titik P(xo,yo,zo) dan garis
g c
zz
b
yy
a
xx 111
= , (5.25)
maka jarak d dari titik P ke garis g, dapat ditentukan melalui prosedur (Gambar
5.7):
X
i
Y
Z
j
k
O
n
1
n
n
u
p
d
P(xo,yo
,zo)
Bagian I
81
a). Bangunlah bidang melalui P dan tegaklurus terhadap g. Jadi jika Q(x,y,z)
sebarang titik di bidang , maka persamaan bidang yang dimaksud adalah
PQ . <a,b,c> = 0
< (x – xo),(y – yo),(z – zo)> . <a,b,c> = 0
atau
ax + by + cz - (axo + byo + czo) = 0. (5.26)
b). Tentukan titik potong T antara bidang dan garis g dengan cara substitusi
persamaan (5.25) ke (5.26) untuk menentukan nilai , kemudian mencari
koordinat T.
c). Jarak d dari P ke garis g adalah panjang PT.
Gambar 5.7 Jarak titik ke garis.
Misalkan diberikan dua persamaan garis di ruang:
g1 c
zz
b
yy
a
xx )()()( 111
g2 f
zz
e
yy
d
xx )()()( 222
dengan vektor-vektor <a,b,c> dan <d,e,f> merupakan vektor arah masing-
masing garis. Jika kedua garis terjadi besilangan, maka jarak antara keduanya d
dapat ditentukan melalui prosedur berikut (Gambar 5.8).
P(xo,yo,zo)
Q T d
g
Beberapa bentuk system koordinat
8
2
Gambar 5.8 : Jarak dua garis bersilangan.
a). Melalui titik Q(x1,y1,z1) di g2 tarik garis g1’//g1. Dengan demikian dari g2
dan g1’ dapat dibangun bidang //g1. Bila R(x,y,z) sebarang titik di , maka
persamaan bidang dapat ditentukan oleh hubungan :
QR .[<a,b,c> <d,e,f> ] = 0
atau
< (x – x1),(y – y1),(z – z1)>. [<a,b,c> <d,e,f>] = 0 (5.27)
b). Tentukan titik P(xo,yo,zo) di g1.
c). Hitung jarak P ke bidang , yang merupakan jarak antara garis g1 terhadap
garis g2.
Contoh-contoh hitung Relasi dan Interseksi diantara Titik, Garis dan
Bidang
a). Nyatakan secara singkat persamaan bidang yang melalui titik P(x1,y1,z1),
Q(x2,y2,z2) dan R(x3,y3,z3) dalam bentuk determinan.
Penyelesaian:
Misalkan S(x,y,z) sebarang titik di bidang, maka vektor-vektor PS , PQ
dan PR sebidang sehingga tripel skalarnya nol. Dengan demikian
persamaan bidang dinyatakan oleh
P(xo,yo,zo)
Q
d
g1
g2
g1’
Bagian I
83
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
= 0.
b). Tentukan persamaan bidang melalui titik P(xo,yo,zo) sejajar bidang Ax
+ By + Cz + D = 0.
Penyelesaian:
Karena bidang dimaksud sejajar dengan bidang , maka normalnya juga
sejajar dengan normal bidang , yaitu n = <A,B,C>. Jadi persamaan bidang
tersebut adalah
<(x – xo),(y – yo),(z – zo)> . n = 0
atau
A (x – xo) + B (y – yo) + C (z – zo) = 0.
c). Tentukan persamaan garis g melalui titik P(xo,yo,zo) tegaklurus pada bidang
Ax + By + Cz + D = 0.
Penyelesaian:
Garis g tegaklurus terhadap , berarti g sejajar normal , yaitu g // n =
<A,B,C>. jadi persamaan garis dimaksud adalah
C
zz
B
yy
A
xxg 000
.
d). Garis g1 ditentukan oleh dua titik A(1,2,3) dan B(7,7,1). Sedangkan garis g2
pada bidang XOY dengan persamaan y = 6x. Hitunglah jarak g1 terhadap g2,
kemudian tentukan titik potong antara g1 dengan bidang yang dibentuk oleh
g2 dan sumbu Z.
Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (5.12a), persamaan garis g1 didapat:
Beberapa bentuk system koordinat
8
4
2
3
5
2
6
11
zyxg = (5.28)
dengan koefisien arahnya n1 = <6,5,-2>. Andaikan garis g1’ adalah garis
melalui titik awal O(0,0,0) di g2 dan g1’// g1, maka g1’ berbentuk
2
0
5
0
6
0'1
zyxg .
Sedangkan koefisien arah garis g2 diketahui n2 = <1,6,0>. Bidang //g1
yang dibentuk oleh garis g1’ dan g2 melalui O adalah
<(x – 0),(y – 0),(z – 0)> . [n1 n2] = 12x – 2y + 31z = 0.
Jadi jarak g1 terhadap g2 adalah jarak sebarang titik (7,7,1) di g1 terhadap
, yaitu diberikan oleh persamaan (5.24) berharga
d = 222 )31(2)12(
1.317.27.12
=
1109
101 3,03.
Adapun titik potong antara garis g1 dengan bidang 1 yang dibentuk oleh
sumbu Z dan garis g2, yaitu
1 <(x – 0),(y – 0),(z – 0)> . [ <0,0,1> n2] = -6 x + y = 0
terjadi pada harga dalam persamaan (5.28) berharga
- 6 (6 + 1) + (5 + 2 ) = 0 atau = - (4/31).
Jadi titik perpotongannya berkoordinat
x = (6) + 1 = 0,23
y = (5) + 2 = 1,35
z = (-2) + 3 = 3,26.
Bagian I
85
e). Tentukan persamaan garis yang ditentukan oleh garis potong bidang
1 3x + 7y + 8z + 3 = 0 (5.29)
2 2x + 3y + 7z -10 = 0.
Penyelesaian:
Vektor arah garis g hasil perpotongan antara 1 dan 2 adalah (Gambar 5.9)
ng = <3,7,8> <2,3,7>
= <25,-5,-5>
Tetapkan titik P pada garis g dengan mengambil harga z di z = 0, maka dari
(5.29) diperoleh harga x dan y dari persamaan-persamaan berikut
3x + 7y + 3 = 0
2x + 3y -10 = 0.
Karena itu harga x = 15,8 , sedangkan y = -7,2. Jadi koordinat titik P
didapat
x = 15,8
y = -7,2
z = 0.
Gambar 2.9 : Garis persekutuan dua bidang
2 2x + 3y + 7z -10 = 0
1 3x + 7 y + 8z + 3 = 0 P
g
Beberapa bentuk system koordinat
8
6
Dengan demikian persamaan garis melalui titik P dan vektor arahnya ng
adalah
55
2,7
25
8,15
zyx.
c). Tunjukkan bahwa ketiga bidang berikut membentuk jaringan bidang
1 2x + 2y + 3z + 5 = 0
2 x + 2y + z + 1 = 0
3 4x + y + z + 2 = 0.
Penyelesaian:
Normal dari masing-masing bidang tersebut adalah
n1 = <2,2,3>
n2 = <1,2,1>
n3 = <4,1,1>.
Ketiga bidang membentuk jaringan bidang bila ketiganya berpotongan pada
satu titik, yaitu apabila ketiga vektor tersebut tidak ada yang berkelipatan
satu sama lain (independen). Dengan demikian harus ditunjukkan
determinan dari ketiga vektor tersebut tidak sama nol berikut
014
114
121
322
.
Kesimpulannya, ketiga bidang membentuk jaringan bidang.
Bagian I
87
BAB 6
BENDA KUADRATIS RUANG
Dalam rancang bangun benda, permukaan komponen benda yang
dikonstruksi dapat berisfat datar, lengkung sederhana, atau bahkan kompleks.
Selain itu, pendekatan konstruksi bentuk komponen benda tersebut dapat
diambil (menggunakan) bagian potongan bidang, bola, ellipsoida, atau
mungkin benda-benda standar lainnya. Sehubungan dengan keperluan operasi
pemodelan komponen benda tersebut, dalam bab ini kita pelajari tentang
formulasi implisit dari benda-benda kuadratis ruang.
6.1 BOLA
Definisi 6.1 : Permukaan bola adalah himpunan titik-titik di ruang yang
jaraknya terhadap titik tertentu (pusat bola) adalah konstan.
Dari definisi tersebut, jika P(x,y,z) sebarang titik pada bola yang
berpusat di O(0,0,0), maka bentuk persamaan bola adalah (Gambar 6.1a)
rOP
rzyx 222
atau
x2 + y2 + z2 = r2 (6.1)
dengan r disebut jari-jari bola berharga real (konstan). Sedangkan jika pusatnya
di P(a,b,c), maka persamaan bola yang diperoleh berbentuk (Gambar 6.1b)
rPQ
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 (6.2)
atau x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + (a2 + b2 + c2 – r2) = 0.
Beberapa bentuk system koordinat
8
8
(a) (b)
Gambar 6.1 Bola.
Dengan demikian bentuk umum persamaan bola dinyatakan oleh
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 (6.3)
dengan
A = – 2a (6.3a)
B = – 2b (6.3b)
C = – 2c (6.3c)
D = a2 + b2 + c2 – r2. (6.3d)
Untuk sebaliknya, jika diketahui persamaan lingkaran dalam bentuk
umum
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0,
maka
(x2 + Ax + ¼ A2) +
(y2 + By + ¼ B2) +
(z2 + Cz + ¼C2) = (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 - D)
atau
(x + ½ A)2 + (y + ½ B)2 + (z + ½ C)2 = (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 - D).
Jadi pusat lingkaran tersebut adalah (-½ A, - ½ B, - ½ C) dengan jari-jari
r2 = (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 - D)
X
Z
Y
P
O
r
X
Y
Z
O
r
Q
P(a,b,c)
Bagian I
89
atau
DCBAr 222
4
1
4
1
4
1. (6.4)
Bentuk-bentuk ini adalah identik dengan kesamaan (6.3a,b,c,d) untuk lingkaran
berpusat di P(a,b,c) dan jari-jari r.
Dari persamaan (6.4) tersebut, terdapat beberapa hal berikut mengenai
lingkaran yang terbentuk:
a). jika (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 – D) > 0, maka didapat bola nyata;
b). jika (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 – D) = 0, didapatkan sebuah titik;
c). jika (¼ A2 + ¼ B2 + ¼ C2 – D) < 0, didapat bola imajiner.
Pandang suatu titik T(x1,y1,z1) di bola x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D =
0. Karena titik pada bola, maka memenuhi persamaan bola, yaitu
x12 + y1
2 + z12 + Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.
Sedangkan bola tersebut memiliki pusat di P(-½ A, - ½ B, - ½ C). Oleh sebab
itu garis g yang melalui pusat bola P dan titik T, memiliki vektor arah
(koefisien arah) garis
ng = < (x1+ ½ A), (y1 + ½ B), (z1+ ½ C)>.
Bidang singgung di titik T adalah tegaklurus terhadap jari-jari bola, maka
persamaannya berbentuk
<(x – x1), (y – y1), (z – z1)>. ng = 0 (6.5)
atau
x1x + y1y + z1z + ½ A(x + x1) + ½ B(y + y1) + ½ C (z + z1) + D = 0
dengan diketahui x12 + y1
2 + z12 + Ax1 + By1 + Cz1+ D = 0.
Bilamana harga A = B = C = 0, yaitu bola berpusat di O(0,0,0), maka
persamaan bidang singgung bola adalah
Beberapa bentuk system koordinat
9
0
x1x + y1y + z1z + D = 0 (6.6)
atau
x1x + y1y + z1z = r2.
Gambar 6.2 Bidang singgung bola di titik T.
Misalkan titik K(xo,yo,zo) diluar bola, maka dapat dibangun bidang
singgung bola melalui titik K ini sebanyak tidak terhingga bidang singgung.
Jika bidang singgungnya di titik T(x1,y1,z1), maka persamaan bidang singgung
ini adalah
x1x + y1y + z1z + ½ A(x + x1) + ½ B(y + y1) + ½ C(z + z1) + D = 0 (6.7a)
Karena bidang ini harus melalui K(xo,yo,zo), maka persamaan ini memenuhi
x1xo+y1yo+z1zo+½A(xo + x1) + ½ B(yo + y1) + ½ C(zo + z1) + D = 0 (6.7b)
Singkatnya, jika titik S(x,y,z) adalah titik di bidang singgung, maka persamaan
bidang singgung yang melalui titik S, K dan P dinyatakan oleh hubungan
(Gambar 6.2)
0.0. PTTKdanPTTS
atau
<(x-x1),(y-y1),(z-z1)> . <(x1+½A),(y1+½B),(z1+½C)> = 0
<(xo-x1),(yo-y1),(zo-z1)> . <(x1+½A),(y1+½B),(z1+½C)> = 0.
Y
X
Z
O
K
T
P
r
S(x,y,z)
Bagian I
91
Dari bentuk (6.7b) dapat disimpulkan bahwa titik singgung di T(x1,y1,z1) harus
memehuhi bentuk
xox + yoy + zoz + ½ A(x + xo) + ½B(y + yo) + ½C(z +zo) + D = 0 (6.8)
Oleh sebab itu, persamaan (6.8) ini merupakan persamaan bidang-
bidang singgung yang menyelubungi bola membentuk kerucut singgung bola
berpuncak di K. Adapun titik-titik singgung yang diperoleh, membentuk
lingkaran singgung kerucut. Bidang ini disebut dengan bidang kutub dari titik
K.
Tulislah dua bola B1 dan B2 berbentuk umum
B1 x2 + y2 + z2 + A1x + B1y + C1z + D1 = 0
B2 x2 + y2 + z2 + A2x + B2y + C2z + D2 = 0
sebagai
B1 + B2 = 0
dengan suatu bilangan real. Untuk setiap nilai yang diberikan, maka juga
diperoleh suatu persamaan bola yang melalui lingkaran potong kedua bola
tersebut (hal khusus jika = - 1, bola yang diperoleh dianggap berjari-jari tidak
terhingga). Persamaan linier dari kedua bola ini, selanjutnya disebut sebagai
berkas bola.
Andaikan tiga bola B1, B2 dan B3 (yang tidak membentuk berkas) berikut
B1 x2 + y2 + z2 + A1x + B1y + C1z + D1 = 0
B2 x2 + y2 + z2 + A2x + B2y + C2z + D2 = 0
B3 x2 + y2 + z2 + A3x + B3y + C3z + D3 = 0
dinyatakan dalam bentuk
B1 + 1B2 + 2B3 = 0
Beberapa bentuk system koordinat
9
2
dengan 1 dan 2 suatu bilangan real, maka kita dapatkan persamaan linier dari
ketiga bola. Bentuk ini kita sebut sebagai jaringan bola.
Contoh-contoh hitung bola
a). Tentukan pusat dan jari-jari bola dari bentuk umum
x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + 2z – 2 = 0.
Penyelesaian:
Dari persamaan (6.4), didapatkan pusat bola P(x,y,z) dengan
x = - ½ . 4 = -2
y = - ½ . -6 = 3
z = - ½ . 2 = -1
dan jari-jarinya r sebagai
24.4
136.
4
116.
4
1r = 4.
b). Dalam persamaan umum (6.3) terdapat empat parameter A, B, C dan D.
Oleh sebab itu secara umum, bola didefinisikan oleh empat titik. Tentukan
rumus untuk bola melalui titik yang tidak sebidang P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2),
R(x3,y3,z3) dan S(x4,y4,z4).
Penyelesaian:
Keempat titik tersebut memenuhi persamaan bola (6.3), oleh sebab itu
persamaan bola dapat ditentukan melalui determinan
0
1
1
1
1
1
444
2
4
2
4
2
4
333
2
3
2
3
2
3
222
2
2
2
2
2
2
111
2
1
2
1
2
1
222
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx
Bagian I
93
c). Evaluasi perpotongan dari dua bola
B1 x2 + y2 + z2 + A1x + B1y + C1z + D1 = 0
B2 x2 + y2 + z2 + A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Penyelesaian:
Dengan pengurangan suku per suku kita dapatkan persamaan bidang
(A2 – A1)x + (B2 – B1)y + (C2 – C1)z + (D2 – D1) = 0
Bidang tersebut tegaklurus terhadap garis hubung pusat bola P1(-½A1,-
½B1,- ½C1) dan P2(-½A2, - ½B2, - ½C2) serta memuat lingkaran potong
kedua bola.
d). Evaluasi relasi yang terjadi antara bola x2 + y2 + z2 + 6x – 4y + 2z – 3 = 0
dan bidang 2x + 3y + x = 0, kemudian tentukan bidang singgung bola di
T(1,2,0).
Penyelesaian:
Dari solusi soal (a) diketahui bahwa bola tersebut pusatnya P(-3,2,-1) dan
jari-jarinya r = 4. Jarak titik P ke bidang adalah
d = 14
1
132
)1.1()2.3()3.2(
222
< r.
Jadi bola dan bidang saling berpotongan membentuk suatu lingkaran
dengan jari-jari r1 = 22 dr 3,99. Oleh sebab itu persamaan lingkaran
di ruang dapat dinyatakan sebagai interseksi antara suatu bidang dan bola.
Adapun bidang singgung di T(1,2,0), dapat dicari melalui persamaan (6.5)
dan diperoleh bentuk 3x – y + z – 6 = 0.
6.2 Elipsoida
Misalkan pada bidang XOY dan YOZ masing-masing ditentukan elips
dengan persamaan (Gambar 6.3)
Beberapa bentuk system koordinat
9
4
12
2
2
2
b
y
a
x (6.9)
dan
12
2
2
2
c
z
b
y. (6.10)
Kedua elips puncaknya berimpit di sumbu OY.
Gambar 6.3: Puncak dua elips berimpit di sumbu OY.
Pandanglah ketentuan-ketentuan berikut:
a) Elips di bidang XOY digerakkan secara sejajar sepanjang sumbu OZ dan
pusat elips hasil pergerakan dipertahankan tetap di sumbu OZ.
b) Semua elips hasil pergerakan selain tegaklurus terhadap sumbu OZ, satu
terhadap yang lain saling sebangun.
c) Puncak elips hasil pergerakan selalu terletak di bidang YOZ.
Misalkan elips persamaan (6.9) di bidang XOY atau z = 0, digerakkan
ke bidang z = . Menurut ketentuan tersebut, maka sumbu-sumbu elips baru
akan sejajar sumbu-sumbu lama dan pada bidang YOZ, titik (0, y, ) akan
terletak di elips (6.10) sehingga berlaku
X
Y
Z
O
Elips-elips sebangun dan
saling sejajar
Bagian I
95
12
2
2
2
cb
y
y2 = b2(1 – 2
2
c
)
atau
y = 22 cc
b.
Karena elips di bidang z = harus sebangun dengan di bidang XOY
yang setengah sumbu-sumbunya adalah a dan b, maka perbandingan setengah
sumbu-sumbu elips di bidang z = juga harus sama, yaitu a:b. Oleh sebab itu
setengah sumbu-sumbu yang lain di bidang z = ini adalah
x = 22 cc
a.
Jadi di persamaan elips di bidang z = adalah
1)()(
2
222
2
2
222
2
c
cb
y
c
ca
x
. (6.11)
Jika parameter dari persamaan z = disubstitusikan ke persamaan (6.11),
maka didapat persamaan permukaan
2
22
2
2
2
2
c
zc
b
y
a
x
atau
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x.
Persamaan ini adalah suatu elipsoida dan dalam hal khusus jika a = b,
maka elipsoida yang didapat berupa elipsoida putar.
Beberapa bentuk system koordinat
9
6
Seperti pembahasan bidang singgung pada bola, persamaan bidang
singgung paraboloida di suatu titik dapat diuraikan sebagai berikut. Padang
suatu titik T(x1,y1,z1) di paraboloida
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x. (6.12)
Karena titik pada paraboloida, maka titik memenuhi persamaan paraboloida,
yaitu
12
2
1
2
2
1
2
2
1 c
z
b
y
a
x.
Sedangkan persamaan garis melalui titik tersebut dapat dinyatakan dengan
r
zz
q
yy
p
xx111
atau
x – x1 = p ; y – y1 = q ; z – z1 = r. (6.13)
Jika garis ini memotong elipsoida, maka persamaan titik potongnya dapat
diperoleh dari hubungan persamaan (6.13) dan (6.12), yaitu
1)()()(
2
2
1
2
2
1
2
2
1
c
rz
b
qy
a
px
atau
0)()222
( 2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1 c
r
b
q
a
p
c
rz
b
qy
a
px. (6.14)
Garis tersebut menyinggung elipsoida jika diskriminan persamaan (6.14)
adalah nol, yaitu jika harga
)222
(2
1
2
1
2
1
c
rz
b
qy
a
px = 0 (6.15)
Bagian I
97
sehingga didapatkan akar kembar dari persamaan kudrat tersebut adalah = 0.
Garis singgung ini terletak pada bidang singgung elipsoida di titik T(x1,y1,z1).
Oleh sebab itu himpunan garis-garis singgung di titik T diperoleh dengan
substitusi (6.13) ke (5.15), yaitu
12
1
2
1
2
1 c
zz
b
yy
a
xx (6.16)
yang merupakan bentuk persamaan bidang singgung di T(x1,y1,z1).
6.3 Hiperboloida
6.3.1 Hiperboloida Daun Satu
Misalkan pada bidang XOY dan YOZ masing-masing ditentukan elips
dan hiperbola dengan persamaan (Gambar 6.4)
12
2
2
2
b
y
a
x (6.17)
dan
. 12
2
2
2
c
z
b
y (6.18)
Gambar 6.4 Dua puncak elips menyinggung hiperbola.
X
Y
Z
O
Beberapa bentuk system koordinat
9
8
Dengan memperhatikan ketentuan-ketentuan seperti yang dilakukan
pada konstruksi permukaan elipsoida, gerakkan elips secara sejajar sepanjang
sumbu OZ. Misalkan letak elips di bidang z = . Menurut ketentuan tersebut,
maka sumbu-sumbu elips baru akan sejajar sumbu-sumbu lama dan pada
bidang YOZ, titik (0, y, ) akan terletak di hiperbola (6.18) sehingga berlaku
12
2
2
2
ca
y
y2 = b2 (1 + 2
2
c
)
atau
y = 22 cc
b.
Karena elips di bidang z = harus sebangun dengan di bidang XOY
yang setengah sumbu-sumbunya adalah a dan b, maka perbandingan setengah
sumbu-sumbu elips di bidang z = juga harus sama, yaitu a : b. Oleh sebab itu
setengah sumbu-sumbu yang lain di bidang z = ini adalah
x = 22 cc
a.
Jadi di persamaan elips di bidang z = adalah
1)()(
2
222
2
2
222
2
c
cb
y
c
ca
x
. (6.19)
Jika parameter dari persamaan z = disubstitusikan ke persamaan
(6.19), maka didapat persamaan permukaan hiperboloida daun satu
2
22
2
2
2
2
c
zc
b
y
a
x
atau
Bagian I
99
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x. (6.20)
Dalam hal khusus jika a = b, maka permukaan tersebut berupa
hiperboloida putar berdaun satu.
Untuk mencari persamaan bidang singgung yang terjadi di titik
T(x1,y1,z1), prosedurnya dapat kita lakukan seperti halnya pada kasus elipsoida.
Hasil yang diperoleh menurut cara tersebut adalah
12
1
2
1
2
1 c
zz
b
yy
a
xx. (6.21)
Tulislah persamaan (6.20) sebagai bentuk
)1)(1())((b
y
b
y
c
z
a
x
c
z
a
x
maka didapat hubungan
)1(1
dan)1(b
y
c
z
a
x
b
y
c
z
a
x
. (6.22)
Dari penyajian (6.20) dan (6.22) dapat disimpulkan bahwa hiperboloida
daun satu (6.20) dapat dibangun oleh garis-garis hasil interseksi bidang-bidang
(6.22). Dengan demikian dari bentuk (6.22) disimpulkan beberapa sifat berikut:
a) Garis-garis dalam satu sistem (6.22) tidak memiliki titik persekutuan.
Misalkan garis-garis didefinisikan oleh parameter berbeda 1 dan 2
sehingga
)1(1
dan)1(1
1b
y
c
z
a
x
b
y
c
z
a
x
Beberapa bentuk system koordinat
1
0
0
)1(1
dan)1(2
2b
y
c
z
a
x
b
y
c
z
a
x
maka diperoleh hubungan
)1(0)1(0b
ydan
b
y .
Jadi keduanya saling berlawanan tidak memiliki titik persekutuan.
b) Melalui satu titik di permukaan, ada satu garislurus untuk masing-masing
sistem tersebut. Pandang persamaan garis (6.22) melalui titik T(x1,y1,z1),
maka
)1(1
dan
)1(
111
111
b
y
c
z
a
x
b
y
c
z
a
x
Jika harga disubstitusikan dari satu kepada yang lain, didapat titik
memenuhi persamaan hiperboloida. Jadi hanya satu garis yang melalui titik
tersebut.
c) Setiap garis lurus yang dibangun dari (6.22) memotong semua garis lurus
yang lain. Pilih satu garis lurus
)1(1
dan)1(1
1b
y
c
z
a
x
b
y
c
z
a
x
dan yang lain
)1(1
dan)1(b
y
c
z
a
x
b
y
c
z
a
x
,
Bagian I
101
maka satu dengan yang lain saling bergantung, sebab bentuk persamaan
yang didapat adalah
)1(1
)1(
dan
)1(1
)1(
1
1
b
y
b
y
b
y
b
y
6.3.2 Hiperboloida Daun Dua
Misalkan pada bidang XOY dan YOZ masing-masing ditentukan elips
dan hiperbola dengan persamaan (Gambar 6.5)
12
2
2
2
b
y
a
x (6.23)
dan
12
2
2
2
c
z
b
y. (6.24)
Gambar 6.5 : Hiperboloida daun dua
X
Y
Z
O
Beberapa bentuk system koordinat
1
0
2
Jika elips digerakkan sejajar sepanjang sumbu OZ, maka dengan menggunakan
prosedur seperti pada hiperboloida daun satu, di bidang z = diperoleh elips
1)()(
2
222
2
2
222
2
c
cb
y
c
ca
x
. (6.25)
Jika parameter dari persamaan z = disubstitusikan ke persamaan (6.25),
maka didapat persamaan permukaan hiperboloida daun dua
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x. (6.26)
Dalam hal a = b, maka permukaan yang didapat berupa permukaan
hiperboloida putar daun dua.
Adapun bidang singgung di titik T(x1,y1,z1) pada permukaan, persamaannya
diberikan oleh bentuk :
12
1
2
1
2
1 c
zz
b
yy
a
xx. (6.27)
6.4 Paraboloida
Misalkan suatu parabola pada bidang XOZ dalam bentuk :
x2 = 2 pz (6.28)
Sepanjang parabola ini, digerakkan suatu elips sejajar bidang XOY dengan
pusat elips dipertahankan di sumbu OZ sehingga perbandingan setengah
sumbu-sumbunya selalu sama dengan perbandingan setengah sumbu-sumbu
elips
12
2
2
2
b
y
a
x
Bagian I
103
Elips pada kedudukan z = , setengah sumbu-sumbunya adalah
,2
dan
2
pa
by
px
sehingga didapat persamaan paraboloida elliptik (Gambar 6.6) dalam bentuk
1)2(2 2
222
pb
ya
p
x. (6.29)
O
Gambar 6.6 : Paraboloida eliptik
Jika parameter dari persamaan z = disubstitusikan ke persamaan (6.29),
maka didapat persamaan permukaan paraboloida eliptik
.02
22
2
2
2
za
p
b
y
a
x (6.30)
X
Y
Z
O
Beberapa bentuk system koordinat
1
0
4 Adapun bidang singgung di titik T(x1,y1,z1) pada permukaan ini,
persamaannya diberikan oleh bentuk
0)(122
1
2
1 zza
p
b
yy
a
xx. (6.31)
Jika pada persamaan parabola (6.28) yang kita gerakkan sejajar bidang
XOY adalah hiperbola
12
2
2
2
b
y
a
x,
maka permukaan yang terjadi berbentuk paraboloida hiperbolik (Gambar 6.7)
02
22
2
2
2
za
p
b
y
a
x. (6.32)
Gambar 6.7 : Paraboloida hiperbolik.
Bidang singgung di suatu titik T(x1,y1,z1) pada permukaan ini, persamaannya
diberikan oleh bentuk
0)(122
1
2
1 zza
p
b
yy
a
xx. (6.33)
X
Y
Z
O
Bagian I
105
Seperti halnya pada hiperboloida daun satu, tulislah persamaan
paraboloida hiperbolik (6.32) dalam bentuk
za
p
b
y
a
x
b
y
a
x2
2))(( ,
sehingga didapat hubungan
)2
(1
)(dan)(2a
p
b
y
a
xz
b
y
a
x
. (6.34)
Sisten persamaan (6.34) menyatakan garis-garis yang dibangun oleh
perpotongan kedua bentuk persamaan bidang. Sehubungan dengan persamaan
(6.34) ini terdapat beberapa sifat berikut:
a) dua garis dalam sistem yang sama didapat saling menyilang;
b) melalui satu titik di permukaan, ada satu garislurus untuk masing-masing
sistem tersebut;
c). setiap garis lurus yang dibangun dari (6.34) memotong semua garis lurus
yang lain.
Beberapa bentuk system koordinat
1
0
6 BAB 7
PERMUKAAN PUTAR DAN GARIS
Dalam mendesain benda industri, untuk mendapatkan unsur keindahan
(khususnya kesimetrian benda) atau kesederhanaan kecekungan permukaan
benda, dapat menggunakan teknik konstruksi permukaan putar atau bentuk
permukaan garis. Agar kita dapat memanfaatkan teknik tersebut, pada bab ini
dikenalkan cara membangun kedua jenis permukaan dimaksud. Untuk itu
dalam penyajiannya, pertama, didefinisikan permukaan putar, dan kemudian
dirumuskan ke dalam bentuk rumusan matematisnya. Kedua, didefinisikan
pengertian permukaan garis beserta formulasinya.
7.1 Permukaan Putar
Definisi 7.1 : Permukaan putar adalah suatu permukaan yang dibangkitkan
oleh suatu kurva ruang C (sebagai generatrik) diputar mengitari
sebuah sumbu putar g yang disebut sebagai sumbu putar
(Gambar 7.1).
Dalam membahas permukaan putar, terdapat beberapa istilah yang
perlu diketahui. Pertama, bagian bidang-bidang penampang yang melalui
sumbu putar dan dibatasi oleh permukaan putar, disebut dengan istilah
penampang-penampang meridian. Semua penampang-penampang meridian
adalah saling kongruen. Sedangkan lingkaran-lingkaran paralel permukaan
putar adalah perpotongan antara bidang-bidang sejajar yang tegaklurus sumbu
putar dengan permukaan putar.
Bagian I
107
Gambar 7.1 Permukaan Putar
Sehubungan dengan Gambar 7.1, pandanglah sumbu putar g melalui pusat bola
B di P(xo,yo,zo) dengan persamaan
c
zz
b
yy
a
xx000
. (7.1)
Sebarang lingkaran paralel L dari permukaan adalah interseksi antara bola B
dalam bentuk
(x – xo)2 + (y – yo)
2 + (z – zo)2 = 1 (7.2)
dengan suatu bidang yang memiliki normal <a,b,c> , misalnya dalam
bentuk
ax + by + cz = 2. (7.3)
Kedua parameter 1 dan 2, mendefinisikan lingkaran-lingkaran paralel
tegaklurus terhadap sumbu putar g didukung oleh perputaran kurva direktrik C.
Kondisi ini secara umum dinyatakan dalam bentuk G(1,2) = 0 dan
permukaan putar yang didapat merupakan persamaan dari bentuk
G((x – xo)2 + (y – yo)
2 + (z – zo)2, ax + by + cz) = 0. (7.4)
Dalam praktek untuk memudahkan perhitungan mendapatkan permukaan putar
ini, dipilih salah satu sumbu-sumbu putar OX, OY atau OZ.
Misalkan permukaan putar didefinisikan oleh perputaran terhadap
sumbu OZ dari sebuah kurva berbentuk
C
B
L
g
P(xo,yo
,zo)
Beberapa bentuk system koordinat
1
0
8 y = 0 dan f(x,z) = 0
di bidang XOZ. Jika ditetapkan sebuah titik (xo,yo,zo) pada kurva, maka titik
memenuhi persamaan kurva, yaitu
yo = 0 (7.5a)
dan
f(xo,zo) = 0. (7.5b)
Perputaran titik ini pada sumbu OZ, melukiskan sebuah lingkaran dengan
persamaan dalam kondisi (Gambar 7.2)
z = zo (7.5c)
dan
x2 + y2 + z2 = xo2 + yo
2 + zo2. (7.5d)
Bentuk (7.5c,d) menyatakan bidang melalui z = zo tegaklurus sumbu OZ dan
bola melalui titik (xo,yo,zo) berpusat di titik awal O(0,0,0). Jika bentuk
persamaan (7.5a) dan (7.5c) disubstitusikan pada persamaan (7.5d), kemudian
hasilnya substitusikan ke (7.5b), maka kita dapatkan lingkaran-lingkaran yang
berpusat sepanjang sumbu putar. Jadi persamaan permukaan putar adalah
f (22 yx , z) = 0. (7.6)
Gambar 7.2 Perputaran titik terhadap sumbu OZ.
X
Y
Z
O
(xo,yo,z
o)
Bagian I
109
Demikian juga, permukaan putar yang didefinisikan oleh perputaran terhadap
sumbu OZ dari sebuah kurva berbentuk
x = 0 dan f(y,z) = 0
di bidang YOZ, persamaannya adalah
f (22 yx , z) = 0. (7.7)
Contoh-contoh permukaan putar
a). Tunjukkan permukaan garis dengan persamaan x = 0 dan y = r diputar
terhadap sumbu OZ membangun silinder x2 + y2 = r2.
Penyelesaian:
Misalkan sebarang titik (xo,yo,zo) pada garis, maka titik memenuhi
persamaan garis
xo = 0 (7.8a)
dan
yo = r (7.8b)
Persamaan bidang melalui (xo,yo,zo) tegaklurus sumbu OZ adalah
z = zo (7.8c)
dan bola melalui titik tersebut dengan puasat O adalah
x2 + y2 + z2 = xo2+ yo
2 + zo2. (7.8d)
Jika persamaan (7.8a,c) disubstitusikan ke (7.8d) didapatkan
x2 + y2 = yo2. (7.8e)
Beberapa bentuk system koordinat
1
1
0 Jadi dari hubungan (7.8b,e) didapatkan persamaan permukaan silinder
x2 + y2 = r2.
b). Tunjukkan garis y = 0 dan x/a + z/b = 1 diputar terhadap sumbu OZ
membangun permukaan kerucut 1
22
b
z
a
yx.
Penyelesaian:
Misalkan sebarang titik (xo,yo,zo) pada garis, maka titik memenuhi
persamaan garis
yo = 0 (7.9a)
dan
xo/a + zo/b = 1. (7.9b)
Persamaan bidang melalui (xo,yo,zo) tegaklurus sumbu OZ adalah
z = zo (7.9c)
dan bola melalui titik tersebut dengan puasat O adalah
x2 + y2 + z2 = xo2+ yo
2 + zo2. (7.9d)
Jika persamaan (8.9a,c) disubstitusikan ke (7.9d) didapatkan
x2 + y2 = xo2. (7.9e)
Jadi dari hubungan (7.8b,c,e) didapatkan persamaan permukaan kerucut
1
22
b
z
a
yx.
Bagian I
111
c). Ellips x = 0 dan 012
2
2
2
b
z
a
y diputar terhadap sumbu OZ, mendapatkan
ellipsoida putar
012
2
2
22
b
z
a
yx.
d). Tunjukkan hiperbola y = 0 dan 12
2
2
2
b
z
a
x diputar terhadap sumbu OZ,
mendapatkan hiperboloida putar daun satu 12
2
2
2
2
2
c
z
a
y
a
x.
Penyelesaian:
Misalkan sebarang titik (xo,yo,zo) pada hiperbola, maka titik memenuhi
persamaan hiperbola
yo = 0 (7.10a)
dan
12
2
0
2
2
0
2
2
0 c
z
a
y
a
x. (7.10b)
Persamaan bidang melalui (xo,yo,zo) tegaklurus sumbu OZ adalah
z = zo (7.10c)
dan bola melalui titik tersebut dengan puasat O adalah
x2 + y2 + z2 = xo2 + yo
2 + zo2. (7.10d)
Jika persamaan (7.10a,c) disubstitusikan ke (7.10d) didapatkan
x2 + y2 = xo2. (7.10e)
Jadi dari hubungan (7.10a,b,c,e) didapatkan persamaan hiperboloida putar
daun satu
Beberapa bentuk system koordinat
1
1
2
12
2
2
2
2
2
c
z
a
y
a
x.
e). Hiperbola y = 0 dan 12
2
2
2
c
z
a
x diputar terhadap sumbu OX,
mendapatkan hiperboloida putar daun dua
12
2
2
2
2
2
c
z
a
y
a
x.
f). Parabola x = 0 dan y2 – 2pz = 0 diputar terhadap sumbu OZ, mendapatkan
paraboloida putar
x2 + y2 – 2pz = 0.
g). Tunjukkan bahwa garis y = a dan z = mx diputar terhadap sumbu OZ
(Gambar 7.3) mendapatkan hiperboloida putar daun satu
122
2
2
2
2
2
ma
z
a
y
a
x.
Gambar 7.3 Perputaran garis di bidang y = a terhadap sumbu OZ
X
Y
Z
O
(xo,a,mxo)
Bidang y = a
z = mx
a
Bagian I
113
Penyelesaian:
Misalkan sebarang titik (xo,a,mxo) pada garis, maka titik memenuhi
persamaan garis
yo = a (7.11a)
dan
z = mxo (7.11b)
Persamaan bidang melalui (xo,a,mxo) tegaklurus sumbu OZ adalah
z = mxo (7.11c)
dan persamaan lingkaran di bidang tersebut sebagai
x2 + y2 = xo2 + a2 . (7.11d)
Jika persamaan (7.11c) disubstitusikan ke (7.11d) didapatkan hiperboloida
putar daun satu
122
2
2
2
2
2
ma
z
a
y
a
x.
Prosedur membangun permukaan putar dari kurva-kurva direktrik garis,
ellips, hiperbola ataupun parabola terhadap sumbu putar OX ataupun OY dapat
dilakukan seperti pada kasus sumbu putar OZ. Adapun jika sumbu putar dipilih
sebarang garis, prosedurnya dapat diuraikan sebagai berikut.
Misalkan persamaan sumbu putar dipilih
c
zz
b
yy
a
xx111
dan kurva direktrik dalam bentuk
f1(x,y,z) = 0 dan f2(x,y,z) = 0.
Beberapa bentuk system koordinat
1
1
4 Tetapkan titik pada kurva, maka titik memenuhi persamaan
f1(xo,yo,zo) = 0 dan f2(xo,yo,zo) = 0. (7.12a)
Bidang melalui titik tersebut dan tegaklurus sumbu putar adalah
<a,b,c> . <(x – xo),(y – yo),(z – zo)> = 0
atau
a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo)> = 0. (7.12b)
Sedangkan bola dengan pusat (x1,y1,z1) dan jari-jari terhadap titik (xo,yo,zo)
adalah
(x – x1)2 + (y – y1)
2 + (z – z1)2 = (xo – x1)
2 + (yo – y1)2 + (zo – z1)
2 (7.12c)
Dengan melakukan substitusi persamaan-persamaan (7.12a,b,c) dari satu
terhadap yang lain untuk nilai-nilai xo,yo dan zo, maka diperoleh persamaan
permukaan putar.
Contoh permukaan putar dengan sumbu putar dari sebarang garis
Tentukan permukaan putar yang didapat dari perputaran ellips di bidang XOY
z = 0
dan
x2 + 2y2 – 2x = 0
diputar terhadap garis di bidang XOZ
y = 0
dan
z = px.
Bagian I
115
Penyelesaian:
Tetapkan sebarang titik (xo,yo,0) pada ellips, maka
xo2 + 2yo
2 – 2xo = 0. (7.13a)
dan persamaan bidang melalui (xo,yo,0) tegaklurus garis adalah
<1,0,p>. <(x – xo),(y – yo),z > = 0 (7.13b)
atau
x – xo + pz = 0.
Persamaan bola berpusat di O(0,0,0) dan melalui (xo,yo,0) adalah
x2 + y2 + z2 = xo2 + yo
2. (7.13c)
Dari persamaan (7.13a,b,c), diperoleh bentuk persamaan permukaan putar
x2 + 2y2 + (2 – p2) z2 – 2 pxz – 2x – 2pz = 0.
7.2 Permukaan Garis
Definisi 7.2 : Permukaan garis adalah suatu permukaan yang dibangkitkan oleh
suatu garis g (disebut generatrik) yang digerakkan menyinggung
sepanjang kurva satu arah C yang disebut direktrik (Gambar
7.4).
Kurva Direktrik
Gambar 7.4 Permukaan garis
g
C
Beberapa bentuk system koordinat
1
1
6 Beberapa contoh dari permukaan garis adalah permukaan silinder dan
kerucut. Adapun penyajian aljabar dari permukaan garis dapat dijelaskan
sebagai berikut.
Misalkan garis-garis lurus dalam bentuk
x = mz + p (7.14)
dan
y = nz + q.
Kurva direktrik dinyatakan oleh bentuk
f1(x,y,z) = 0 (7.15)
dan
f2(x,y,z) = 0.
Jika garis memotong kurva dan terdapat harga-harga x, y dan z memenuhi
persamaan (7.14) dan (7.15), maka untuk mendapatkan persamaan permukaan
garis tersebut, terlebih dahulu diperlukan hitung harga parameter-parameter m,
p, n dan q. Dalam hal ini untuk memudahkan proses perhitungannya, umumnya
diperlukan lagi syarat-syarat tambahan.
Contoh hitung permukaan garis
Diketahui dua garis dibangkitkan oleh
x = 0 dan y = 1
y = 0 dan x = z
dan kurva dalam bentuk
xz – x + z = 0 (7.16a)
dan
x = y. (7.16b)
Bagian I
117
Persamaan garis memotong (melalui) kedua garis adalah
x + 1(y – 1) = 0 (7.16c)
dan
y + 2 (x – z) = 0. (7.16d)
Jika dilakukan substitusi diantara persamaan (7.16a,b,c,d) sehingga y dan z
pada persamaan (7.16c,d) dapat dinyatakan dalam 1 dan 2, kemudian
disubstitusikan ke persamaan (7.16a), maka diperoleh
1 2 + 21 + 1 = 0. (7.16e)
Selanjutnya, jika solusi persamaan (7.16e) disubstitusikan ke persamaan
(7.16c,d), maka didapatkan permukaan garis
x = 0, y = 0
dan
2x2 – 2xy – 2xz + yz + x – z = 0.
Beberapa bentuk system koordinat
1
1
8 BAB 8
SILINDER DAN KERUCUT
Sehubungan dengan keperluan pemodelan benda-benda industri, selain
diperlukan studi bentuk kuadratis ruang, juga dibutuhkan studi tentang
formulasi permukaan silinder dan kerucut. Hal ini dikarenakan bentuk silinder
dan kerucut juga banyak dimanfaatkan dalam pemodelan permukaan benda-
benda industri dimaksud.
Tujuan studi dalam bab ini adalah, pertama, kita dapat mendefinisikan
pengertian silinder dan, kemudian, mampu menyatakannya ke dalam
persamaan matematis silinder. Kedua, dapat menurunkan persamaan kerucut
yang dibangun oleh suatu garis yang digerakkan sepanjang kurva dan, di lain
pihak, garis tersebut diharuskan melalui titik tetap. Selanjutnya dari hasil
formulasi tersebut, dilakukan contoh hitung konstruksi silinder dan kerucut.
Diskusi operasinal mengenai topik ini, diuraikan sebagai berikut.
8.1 Silinder
Definisi 8.1 : Permukaan silinder adalah suatu permukaan yang dibangun oleh
suatu garis g (disebut generatrik) digerakkan secara paralel
menyinggung sepanjang kurva satu arah C (disebut kurva
direktrik) dengan kondisi geometrik tertentu. Garis-garis paralel
hasil gerakan ini disebut garis pelukis silinder.
Dari definisi tersebut, jika garis-garis paralel itu (garis pelukis)
memiliki koefisien arah a, b dan c, maka persamaan garis yang melalui titik
tertentu (xo,yo,zo) di kurva adalah (Gambar 8.1)
c
zz
b
yy
a
xx000
(8.1)
Dari persamaan (8.1), misalkan
bz – cy = 1
dan
Bagian I
119
bx – ay = 2,
maka kondisi geometrik dimaksud berbentuk
G(1, 2) = 0. (8.2)
Gambar 8.1 Permukaan silinder
Jelasnya, misalkan diketahui generatrik bervektor arah <a,b,c> dan kurva
direktrik didefinisikan dari kondisi f1(x,y,z) = 0 dan f2(x,y,z) = 0. Tetapkan titik
(xo,yo,zo) pada kurva, maka berlaku hubungan
f1(xo,yo,zo) = 0
dan
f2(xo,yo,zo) = 0. (8.3)
Sedangkan garis-garis pelukis yang melalui titik ini dinyatakan sebagai
c
zz
b
yy
a
xx 000
(8.4)
Jika harga-harga xo, yo dan zo dalam persamaan-persamaan garis (8.4)
disubstitusikan ke persamaan (8.3), maka didapatkan persamaan silinder. Cara
X
Y
Z
C
g
Kurva Direktrik
Generatrik
Beberapa bentuk system koordinat
1
2
0 lain yang lebih efisien dapat ditempuh dengan menyatakan persamaan (8.4)
dalam bentuk
c
zz
b
yy
a
xx000
= (8.5)
sehingga diperoleh
xo = x - a (8.6)
yo = y - b
zo = z - c.
Kemudian setelah mensubstitusikan persamaan (8.6) ke (8.3) dan
meghilangkan nilai , kita dapatkan persamaan silinder.
Contoh-contoh hitung silinder
a). Diketahui pada bidang XOY terletak lingkaran x2 + y2 = 9 sebagai kurva
direktrik silinder. Garis-garis pelukis memiliki koefisien arah positip
<1,2,1> terhadap sumbu OX, OY dan OZ. Tentukan persamaan silinder
yang didapat.
Penyelesaian:
Pada lingkaran tentukan sebarang titik (xo,yo,0), maka titik memenuhi
persamaan lingkaran
xo2 + yo
2 = 9.
Sedangkan persamaan garis pelukis yang melalui titik itu adalah
121
00zyyxx
sehingga
xo = x – z
zo = y – z.
Bagian I
121
Harga ini bila disubstitusikan ke persamaan lingkaran dalam xo dan yo
tersebut, didapat persamaan silinder
x2 + y2 + 5z2 – 2xz – 4yz – 9 = 0.
b). Tentukan persamaan silinder yang generatriknya sejajar vektor <a,b,c>
melingkupi bola (menyinggung bola) dengan persamaan x2 + y2 + z2 = r2.
Penyelesaian:
Andaikan garis melalui titik (xo,yo,zo), maka persamaan garis yang didapat
adalah
c
zz
b
yy
a
xx000
.
Garis memotong bola di dua titik sehingga
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c) = r2.
Kedua titik potong ditentukan oleh akar-akar dari persamaan
(a2 + b2 + c2) 2 – 2(ax + by + cz) + (x2 + y2 + z2 - r2) = 0.
Dalam hal ini, garis singgung di (xo,yo,zo) terjadi, bila kedua titik potong
bola tersebut saling berimpit, artinya berharga kembar. Dengan demikian
didapatkan persamaan silinder (ax + by + cz) 2 - (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2 -
r2) = 0.
8.2 Kerucut
Definisi 8.2 : Permukaan kerucut (permukaan konik) adalah suatu permukaan
yang dibangun oleh suatu garis (disebut generatrik) digerakkan
melalui sebuah titik tetap dan menyinggung sepanjang kurva satu
arah C (disebut kurva direktrik) dengan kondisi geometrik
tertentu. Titik tetap ini selanjutnya disebut puncak kerucut.
Beberapa bentuk system koordinat
1
2
2 Dari definisi tersebut, jika puncak kerucut di titik awal O(0,0,0) dan
generatriknya dalam bentuk persamaan (Gambar 8.2)
y = 1 x (8.7)
z = 2 x
maka kondisi geometrik dari kerucut ini adalah
G(1, 2) = 0. (8.8)
Dengan demikian persamaan umum dari kerucut puncaknya di titik asal adalah
F(x,y,z) = G(1, 2) = G(y/x , z/x) = 0 , dengan x 0.
Gambar 8.2 Permukaan kerucut.
Untuk lebih detailnya, misalkan puncak kerucut di titik P(xp,yp,zp) dan kurva
direktrik didefinisikan oleh f1(x,y,z) = 0 dan f2(x,y,z) = 0. Pilihlah suatu titik
(xo,yo,zo) di kurva, maka berlaku hubungan
f1(xo,yo,zo) = 0 dan f2(xo,yo,zo) = 0 . (8.9)
Sedangkan garis-garis pelukis melalui titik puncak (xp,yp,zp) dan (xo,yo,zo),
memiliki persamaan
X
Y
Z
O
C
Kurva Direktrik
Generatrik
g
Bagian I
123
P
P
P
P
P
P
zz
zz
yy
yy
xx
xx
000
. (8.10)
Jika harga-harga xo, yo dan zo dalam persamaan-persamaan garis (8.10)
disubstitusikan ke persamaan (8.9), maka didapatkan persamaan kerucut.
Seperti halnya pada hitung silinder, cara lain yang lebih efisien dapat ditempuh
dengan menyatakan persamaan (8.10) kedalam bentuk
P
P
P
P
P
P
zz
zz
yy
yy
xx
xx
00
= (8.11)
sehingga diperoleh hubungan
xo = P
P
xxx
(8.12)
yo = P
P
yyy
zo = P
P
zzz
.
Kemudian setelah mensubstitusikan persamaan (8.12) ke (8.9) dan
meghilangkan nilai , kita dapatkan persamaan silinder.
Contoh hitung kerucut
Tentukan persamaan kerucut dengan puncak (a,0,1) dan kurva direktrik di
bidang XOY dengan persamaan x2 + y2 = r2.
Penyelesaian:
Diketahui kurva direktrik didefinisikan dari bentuk
z = 0 dan x2 + y2 = r2.
Tetapkan titik (xo,yo,0) pada lingkaran, maka xo2 + yo
2 = r2 dan persamaan garis
pelukis dinyatakan oleh hubungan
Beberapa bentuk system koordinat
1
2
4
1
1
0
0
00
z
y
y
ax
ax
sehingga az
xax
10 dan 1
0
z
yy .
Harga ini bila disubstitusikan ke persamaan lingkaran dalam xo dan yo tersebut,
didapatkan persamaan kerucut
x2 + y2 + (a2 – r2) z2 + (4a2 + 2r2) z + (2a2 – r2) = 0.
Bagian I
125
BAB 9
TRANSFORMASI TITIK
DAN KOORDINAT HOMOGEN
Dalam satu sistem koordinat, sering dilakukan suatu pemindahan obyek
dari satu posisi ke posisi lain. Proses ini terkadang dilakukan hanya satu kali
perpindahan atau bahkan diperlukan beberapa kali proses pemindahan.
Sehubungan dengan hal itu dalam pembahasan berikut, kita perlukan
diskusikan tentang transformasi titik dan koordinat homogen di R2 dan R3.
9.1 Transformasi Titik
9.1.1 Transformasi Titik di R2
Pandanglah suatu transformasi T memetakan titik P(x,y) ke titik
bayangannya P’(x’,y’), yaitu P’ = T(P). Selanjutnya kita diskusikan beberapa
bentuk transformasi T berikut.
a). Refleksi Titik terhadap Sumbu X, Sumbu Y dan Titik Pusat
Misalkan T: R2 R2 adalah suatu transformasi yang memetakan titik
P(x,y) ke P’(x’,y’) oleh perkalian matriks A =
dc
ba didefinisikan dengan P’
= PA, yaitu
dybxcyaxdc
bayxyx
'' (9.1a)
atau dapat juga dinyatakan dalam bentuk P’ = ATPT, yaitu
dybx
cyax
y
x
db
ca
y
x
'
'. (9.1b)
Hasilnya kita dapatkan bahwa koordinat baru (x’,y’) adalah suatu bentuk dari
x' = ax + cy (9.2)
y’ = bx + dy.
Beberapa bentuk system koordinat
1
2
6 Oleh karena itu hasil dari transformasi titik P(x,y) ini jelas tergantung dari
nilai koefisien-koefisien a, b, c dan d formula (3.2), yaitu elemen-elemen dari
matriks A. Untuk itu kita evaluasi 3 (tiga) kasus pemilihan matriks koefisien A
berikut ini.
Refleksi terhadap sumbu X
Jika harga a = 1, b = 0, c = 0 dan d = -1, maka dari persamaan (9.2)
diperoleh hubungan
x’ = x dan y’ = -y
yaitu P(x,y) dipetakan ke P’(x,-y). Hal ini berarti bahwa transformasi yang
didapat adalah suatu refleksi terhadap sumbu X (Gambar 9.1a). Jadi matriks
koefisien A yang bersesuaian dengan transformasi refleksi ini adalah
A =
10
01. (9.3a)
Dengan demikian menurut formula (9.1a,b), transformasi ini dapat
didefisikan sebagai
yxyxyx
10
01''
atau
y
x
y
x
y
x
10
01
'
'.
Refleksi terhadap sumbu Y
Jika harga a = -1, b = 0, c = 0 dan d = 1, maka dari persamaan (9.2)
diperoleh hubungan
x’ = -x dan y’ = y
yaitu P(x,y) dipetakan ke P’(-x,y) sehingga didapat refleksi terhadap sumbu
Y (Gambar 9.1b). Matriks koefisien A yang bersesuaian dengan
transformasi refleksi ini adalah
Bagian I
127
A =
10
01. (9.3b)
Refleksi terhadap titik pusat O(0,0)
Dengan memilih, a = -1, b = 0, c = 0 dan d = -1, maka berarti bahwa titik
P(x,y) dipetakan ke P’(-x,-y). Dalam hal ini matriks koefisien A yang
bersesuaian dengan transformasi refleksi terhadap pusat O(0,0) berbentuk
(Gambar 9.1c)
A =
10
01. (9.3c)
(a) (b) (c)
Gambar 9.1 Refleksi titik terhadap sumbu X, Y dan titik pusat
b). Rotasi
Pandanglah transformasi T seperti dalam persamaan (9.1), kemudian
pilihlah elemen-elemen matriks koefisien A dalam persamaan (9.1) tersebut
sebagai
a = cos b = sin
c = -sin d = cos
sehingga transformasi T terdefinisikan sebagai perkalian matriks
X
X
X
Y
O
Y
Y
O
O
P(x,y
)
P(x,y
)
P(x,y
)
P’(x’,y’) =
P’(x,-y)
P’(x’,y’) = P’(-
x,y)
P’(x’,y’) = P’(-
x,-y)
Beberapa bentuk system koordinat
1
2
8
cossinsincos
cossin
sincos''
yxyx
yxyx
(9.4a)
atau
cossin
sincos
cossin
sincos
'
'
yx
yx
y
x
y
x. (9.4b)
Matriks
cossin
sincosA (9.4c)
pada (9.4a) ataupun matrik
cossin
sincosA (9.4d)
pada (3.4b) adalah matriks koefisien yang bersesuaian dengan rotasi titik P(x,y)
ke P(x’,y’) terhadap titik pusat O(0,0) sebesar sudut berlawanan arah jarum
jam (arah trigonometri). Kita perlihatkan sebagai berikut.
Jika r menyatakan jari-jari putar dari pusat putar O(0,0) ke titik P(x,y),
maka untuk koordinat titik P berlaku hubungan (Gambar 9.2)
x = r cos
y = r sin.
Demikian juga, karena titik bayangan P’(x’,y’) memiliki jari-jari seperti halnya
P(x,y), maka untuk koordinat titik P’ berlaku hubungan
x' = r cos( + )
y’ = r sin( + ).
Kesimpulannya bahwa
Bagian I
129
.cossin
sincos
cossinsincos
sincoscossinsinsincoscos
)sin()cos(''
yx
yxyx
rrrr
rryx
Gambar 9.2 Rotasi titik terhadap titik awal O menurut arah trigonometri
c). Dilatasi
Misalkan transformasi T menurut persamaan (9.1), kemudian dipilih
a = k1, b = c = 0 dan d = k2, maka dari persamaan (9.2) diperoleh hubungan
x’ = k1x dan y’ = k2y
yaitu P(x,y) dipetakan ke P’(k1x, k2y). Hal ini berarti bahwa transformasi yang
didapat adalah suatu dilatasi (Gambar 9.3). Jadi matriks koefisien A yang
bersesuaian dengan transformasi dilatasi adalah
A =
2
1
0
0
k
k (9.5)
Matriks A memberi fasilitas untuk memperbesar atau memperkecil
suatu gambar (bangun geometri bidang) dalam dua arah, artinya semua
koordinat (x,y) dari gambar setelah dilakukan proses transformasi akan menjadi
(k1x, k2y). Pemilihan k1 menyajikan skala menurut sumbu X dan k2 menyajikan
skala untuk sumbu Y. Jika kedua skala berbeda, maka perubahan skala kedua
sumbu berbeda dan gambar yang didapat secara umum tidak sebangun dengan
X
Y
O
P(x,y)
P’(x’,y’)
Beberapa bentuk system koordinat
1
3
0 gambar semula. Sebaliknya jika kedua skala sama, maka perubahannya
seragam sehingga gambar yang didapat sebangun dengan gambar aslinya.
(a) (b)
Gambar 9.3 Transformasi dilatasi
Contoh 1:
Suatu segitiga PQR dengan titik-titik sudut P(1,2), Q(2,2) dan R(2,3)
ditransformasikan oleh matriks
A =
10
03
diperoleh
36
26
23
20
03
32
22
21
. .
Jadi segitiga bayangan P’Q’R’ bertitik sudut P’(3,2), Q’(6,2) dan R’(6,3)
seperti terlihat pada gambar (9.3a).
Contoh 2:
Suatu bujursangkar PQRS dengan titik-titik sudut P(0,0), Q(1,0), R(1,1)
dan S(0,1) ditransformasikan oleh matriks
X
Y
O
X
Y
O
P
Q
R
P’
Q
’
R’
P=P’
Q
R
S
Q
’
R’
S’
Bagian I
131
A =
40
04
diperoleh
40
44
04
00
40
04
10
11
01
00
. .
Jadi bayangan P’Q’R’ berupa bujursangkar bertitik sudut P’(0,0), Q’(4,0),
R(4,4) dan S(0,4) seperti terlihat pada gambar (9.3b).
d). Pemotongan
Misalkan transformasi T didefinisikan menurut persamaan (9.1),
kemudian dipilih harga-harga berikut: a = 1, b = k 0, c = 0 dan d = 1, maka
dari persamaan (9.2) diperoleh hubungan
x’ = x (9.6)
dan
y’ = k x + y
yaitu P(x,y) dipetakan ke P’(x, kx + y). Hal ini berarti bahwa transformasi yang
didapat adalah suatu pemotongan menurut sumbu Y (Gambar 9.4a).
Contoh 1:
Dengan menetapkan b = k = 2 untuk persamaan (9.6), bayangan dari titik-titik
P(0,0), Q(1,0), R(1,1) dan S(0,1) dapat ditentukan oleh
10
31
21
00
10
21
10
11
01
00
. .
Beberapa bentuk system koordinat
1
3
2 Dengan demikian bayangan yang diperoleh adalah P’(0,0), Q’(1,2), R’(1,3)
dan S’(0,1) seperti gambar (9.4a). Dalam hal a = 1, b = 0, c = k 0 dan d = 1
dalam persamaan (9.1), kita dapatkan pemotongan menurut sumbu X. Jika b
dan c tidak sama dengan nol, maka pemotongan terjadi pada sumbu X dan Y.
Contoh 2:
Dengan menetapkan a = 1, b = 2, c = 3 dan d = 1 untuk persamaan (9.1),
bayangan dari titik-titik P(0,0), Q(1,0), R(1,1) dan S(0,1) dapat ditentukan oleh
13
34
21
00
13
21
10
11
01
00
. .
Dengan demikian bayangan yang diperoleh adalah P’(0,0), Q’(1,2), R’(4,3) dan
S’(3,1) seperti pada Gambar (9.4b).
(a) (b)
Gambar 9.4 Transformasi pemotongan
e). Translasi (Geseran)
Transformasi T yang memetakan titik P(x,y) bergeser sejauh k1 satuan
kearah sumbu X dan k2 satuan ke arah sumbu Y sehingga didapat titik bayangan
P’(x’,y’) = T(P), didefinisikan sebagai (Gambar 9.5a)
X
Y Y
O O X
P=P
’ Q
R
Q
’
R
’
S=S’
Q
’
R
’
S
’
P
’
Bagian I
133
(x’ y’) = (x y) + (k1 k2) = (x + k1 y + k2)
(9.7a)
atau
2
1
2
1
kx
kx
k
k
y
x
'y
'x. (9.7b)
Contoh:
Hasil pergeseran segiempat PQRS dengan titik-titik sudut P(0,0), Q(2,0),
R(1,1) dan S(0,1) digeser sejauh 2 satuan ke arah sumbu X dan 3 satuan ke arah
sumbu Y, dapat ditentukan melalui persamaan (9.7a), yaitu
.523220'
633231'
343202'
323200'
S
R
Q
P
Dengan demikian bayangan yang diperoleh karena transformasi ini adalah
P’(2,3), Q’(4,3), R’(3,6) dan S’(2,5) seperti pada Gambar (9.5b).
(a) (b)
Gambar 9.5 Transformasi translasi (geseran)
X
X
Y
Y
O
O
P(x,y
)
P’(x’,y’) =
P’(x+k1,y+k2)
Ke arah
sumbu Y
digeser k2
satuan
Bangun
Asal
Ke arah
sumbu X
digeser k1
satuan
Bangun
Hasil
Geseran
P
Q
R
S
P
’
Q
’
R
’
S
’
Beberapa bentuk system koordinat
1
3
4 f). Proyeksi Titik pada Garis
Transformasi memproyeksikan titik P(x,y) ke garis g y = mx + k
didapatkan titik T(P) = P’(x’,y’) dengan P’ di g dan g'PP . Koordinat P’
dapat dihitung sebagai berikut (Gambar 9.6a).
(a) (b)
Gambar 9.6 Proyeksi dan pencerminan titik ke garis y = mx + k
Vektor 'KP adalah proyeksi dari vektor KP pada garis g, maka berlaku
hubungan
.')'.'
'.(
'
')
'
'.('
KPKPKP
KPKP
KP
KP
KP
KPKPKP
Dengan demikian terdapat hubungan
<(x’- 0),(y’- k)> = ( )'xm('x
)k]k'mx([),'x(.ky,x222
0
) . <x’, mx’>
=
'mx,'x)
)'xm('x
'xmk'x.my'x.x(
222
X
X
Y Y
O O
P(x,y
) P(x,y
)
P’(x’,y’
) P’(x’,y
’)
K(0,k
) K(0,k
)
K
’
y = mx +
k y = mx +
k
Bagian I
135
<x’,(y’- k)> =
m,.
m
mkmyx1
1 2 .
Jadi didapatkan
x' = 21 m
mkmyx
(9.7c)
y’ = km
)ky(mmx
2
2
1 .
g). Refleksi Titik terhadap Garis x = k dan Garis y = mx + k
Jika titik P koordinatnya P(x,y), maka hasil transformasi pencerminan P
ke garis x = k adalah titik P’(x’,y’) dengan x’ dan y’ didefinisikan oleh
hubungan
x' = x + 2 (k – x) = 2k – x
y' = y.
Sedangkan transformasi titik P(x,y) ke garis y = mx + k ditentukan oleh suatu
hubungan (Gambar 9.6b)
)'PK(KP'KP 2 . (9.7d)
Jika koordinat titik K’ diformulasikan oleh persamaan (9.7c), maka bentuk
(9.7d) dapat disederhanakan menjadi
<x’,(y’- k)> = <x,(y - k)> + 2([ 21 m
mkmyx
- x], [ k
m
)ky(mmx
2
2
1 -
y]).
Oleh sebab itu koordinat titik bayangan P’(x’,y’), diperoleh
x’ = 2( 21 m
mkmyx
) - x
y’ = 2( 2
2
1 m
)ky(mmx
) – 3k – y.
Beberapa bentuk system koordinat
1
3
6 h) Transformasi Komposisi
Suatu transformasi refleksi terhadap titik pusat O(0,0) dapat dipandang
sebagai komposisi dari dua transformasi berikut
a). transformasi refleksi terhadap sumbu X
b). transformasi refleksi terhadap sumbu Y.
Oleh sebab itu, bayangan titik P(x,y) karena transformasi ini dapat
didefinisikan sebagai
(x’ y’) = (x y)
10
01= (-x -y)
atau juga
(x’ y’) = (x y)
10
01.
10
01= (-x -y)
Secara umum untuk mendapatkan bayangan titik yang dikehendaki, kita dapat
menggunakan komposisi transformasi refleksi, rotasi, dilatasi ataupun translasi
dengan cara memanfaatkan perkalian diantara matriks-matriks koefisien yang
sesuai dengan urutan dan jenis transformasi yang digunakan dalam pemetaan
tersebut.
9.1.2 Transformasi Titik di R3
Misalkan transformasi T : R3 R3 merupakan pemetaan titik P(x,y,z)
ke titik bayangannya P’(x’,y’,z’) sehingga T(P) = P’ atau P’ = T(P).
Selanjutnya kita diskusikan beberapa transformasi berikut ini.
a). Refleksi terhadap Bidang XOY, XOZ dan YOZ
Pada refleksi terhadap bidang XOY, titik P(x,y,z) dipetakan pada titik
P(x’,y’,z’) dengan hubungan (Gambar 9.7)
x' = x
y’ = y
z’ = -z
Bagian I
137
Gambar 9.7 Refleksi terhadap bidang XOY
Dengan demikian hasil refleksi titik P(x,y,z) terhadap bidang XOY dapat
dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks
zyxzyx'z'y'x
100
010
001
(9.8a)
atau
z
y
x
z
y
x
'z
'y
'x
100
010
001
. (9.8b)
Matriks A dari bentuk
A =
100
010
001
disebut sebagai matriks koefisien yang bersesuaian dengan transformasi
refleksi terhadap bidang XOY.
Dengan cara yang sama seperti pada refleksi terhadap bidang XOY,
matriks koefisien yang bersesuaian dengan transformasi refleksi terhadap
bidang XOZ dan YOZ adalah
O
X
Y
Z
P(x,y,z)
P’(x’,y’,z’) = P’(x,y,-z)
Beberapa bentuk system koordinat
1
3
8
AXOZ =
100
010
001
dan AYOZ =
100
010
001
b). Rotasi terhadap Sumbu Z, Y dan X
Dalam bentuk perkalian matriks, transformasi rotasi terhadap sumbu Z
dapat dinyatakan sebagai (Gambar 9.8)
.cossinsincos
100
0cossin
0sincos
'''
zyxyx
zyxzyx
(9.9a)
atau
z
cosysinx
sinycosx
z
y
x
cossin
sincos
'z
'y
'x
100
0
0
(9.9b)
Gambar 9.8 Rotasi terhadap sumbu Z
X
Y
Z
O
Bagian I
139
Adapun matriks koefisien yang bersesuaian dengan rotasi sumbu Y dan X
masing-masing dinyatakan dalam perkalian matriks menurut formula (9.9b)
adalah
AY =
cossin
sincos
0
010
0
dan
AX =
cossin
sincos
0
0
001
.
c). Dilatasi
Transformasi dilatasi yang memetakan titik P(x,y,z) ke P’(x’,y’,z’)
didefinisikan dengan bentuk formulasi berikut
zkykxk
k
k
k
zyx'z'y'x321
3
2
1
00
00
00
(9.10a)
atau
zk
yk
xk
z
y
x
k
k
k
'z
'y
'x
3
2
1
3
2
1
00
00
00
. (9.10b)
Dalam hal ini pemilihan harga k1 menyajikan skala kearah sumbu X, k2 kearah
skala sumbu Y dan k3 menyajikan skala kearah sumbu Z. Jika k1 = k2 = k3, maka
peta obyek yang didapat sebangun dengan obyek aslinya (mungkin diperbesar,
diperkecil atau tetap).
Beberapa bentuk system koordinat
1
4
0 d). Translasi (Geseran)
Transformasi titik P(x,y,z) ke titik P’(x’,y’,z’) oleh suatu geseran sejauh
k1 satuan kearah sumbu X, sejauh k2 satuan kearah sumbu Y dan sejauh k3
satuan kearah sumbu Z, dalam bentuk perkalian matriks dinyatakan
321321kzkykxkkkzyx'z'y'x (9.11a)
atau
3
2
1
3
2
1
kz
ky
kx
k
k
k
z
y
x
'z
'y
'x
. (9.11b)
9.2 Koordinat Homogen
Jika kita evaluasi bentuk persamaan (9.1a), ternyata matriks A tidak
dapat menyajikan transformasi geseran sejauh m satuan kearah sumbu X dan n
satuan kearah sumbu Y. Untuk memecahkan problem ini maka kita dapat
memodifikasi persamaan (9.1a) tersebut menjadi bentuk lain sehingga P’ = PA
dinyatakan
(x’ y’) = PA + G = (ax+cy+m bx+dy+n) (9.12)
dimana G merupakan matriks ordo 1x2 untuk transformasi geseran. Dari
bentuk (9.12) dapat disimpulkan bahwa dalam transformasi bidang, matriks
ordo 2x2 tidak dapat menyajikan transformasi transalasi dilakukan serentak
dengan transformasi-transformasi refleksi, rotasi ataupun dilatasi. Dengan kata
lain untuk perlakuan kesemua transformasi tersebut, diperlukan dua operasi
matriks terhadap A dan kemudian G. Oleh sebab itu untuk jalan keluar agar
transformasi tersebut dapat dilakukan secara kompak, kita lakukan penyajian
matriks (x y) dan (x’ y’) kedalam bentuk
(x y 1) dan (x’ y’ 1)
Bagian I
141
sedangkan matriks koefisien A dan G kita ganti dengan matriks transformasi T
ordo 3x3. Selanjutnya kita tuliskan formulasi baru yang dapat digunakan untuk
perlakuan seluruh jenis transformasi tersebut sebagai berikut
(x’ y’ 1) = (x y 1)
1
0
0
nm
dc
ba
= (ax+cy+m bx+dy+n 1)
atau dapat diringkas
H’ = H T. (9.13)
Kesimpulan yang didapat dari penyajian bentuk (9.1a) atau (9.12) terhadap
persamaan (9.13) adalah bahwa problem transformasi titik P(x,y) ke P’(x’,y’)
di R2 dapat diselesaikan di R3 dengan memanfaatkan koordinat homogen di H3
sebagai transformasi titik P(x,y,1) ke P’(x’,y’,1). Oleh karena itu kita dapat
mengevaluasi bentuk umum matriks
T =
snm
qdc
pba
dalam transformasi homogen di H3 berikut. Titik P(x,y) di R2, dapat dipandang
sebagai titik P(xh,yh,h) di H3 dengan
x = xh / h
dan
y = yh / h
dan titik hasil transformasi P’(x’,y’) di R2 dipandang sebagai titik P’(xh’,yh’,h)
di H3 hasil transformasi bentuk
(xh’ yh’ h) = (x y 1) T (9.14)
dengan
Beberapa bentuk system koordinat
1
4
2
xh’ = ax + cy + m
yh’ = bx + dy + n
h = px + qy + s atau jika dinormalisasikan dinyatakan sebagai
(xh’/ h yh’/ h 1) = (x y 1) T (9.15)
dengan h tidak nol. Adapun untuk tafsiran geometrisnya dapat kita
demonstrasikan seperti pada Gambar 9.9.
Analog dengan solusi problem transformasi titik di R2, transformasi
titik P(x,y,z) ke P’(x’,y’,z’) di R3 dapat dilaksanakan secara serentak melalui
transformasi refleksi, rotasi, dilatasi dan geseran dengan bantuan penyajian
koordinat homogen bentuk normal di H4 berikut (Kusno, 2003)
(xh’/ h yh’/ h zh’/ h 1) = (x y z 1) T (9.16)
dengan T berupa matriks ordo 4x4 dan h tidak nol.
Gambar 9.9 Transformasi titik di R2 melalui bantuan Koordinat Homogen di
H3
H
P(x,y) X =
Xh
Y =
Yh
P’(x’,y’
)
R2
H3
h = 1
P(xh,yh,
1) P’(xh’,yh’,
1)
h 1
Bagian I
143
BAB 10
PROYEKSI PERSPEKTIF DAN PARALEL
Dalam bab ini dibahas beberapa jenis proyeksi perspektif dan paralel,
serta penggunaannya di dalam membangun sistem grafik guna penyajian obyek
pada layar monitor komputer. Melalui studi tersebut diharapkan kita dapat
memahami perbedaan keperluan jenis proyeksi untuk visualisasi obyek
berbantu komputer antara bidang komputer grafik, arsitek, seni, maupun untuk
bidang pemodelan benda industri.
10.1 Proyeksi Perspektif
Dalam komputer grafik, proyeksi pespektif sangat bermanfaat untuk menyajikan benda agar nampak lebih alami seperti yang dialami oleh pandangan mata manusia. Untuk itu terdapat beberapa hal yang perlu diketahui sehubungan dengan proyeksi perspektif ini. Pertama, pusat proyeksi berjarak berhingga terhadap bidang proyeksi (bidang gambar) dan hasilnya secara umum tidak mengawetkan ukuran benda yang diproyeksikan. Selain itu, hanya garis-garis yang sejajar bidang proyeksi saja yang tetap sejajar, jika dipandang secara perspektif.
Dalam proyeksi perspektif terdapat istilah titik lenyap, yaitu titik temu (konvergen) dari garis-garis sejajar. Tegasnya, titik lenyap dari suatu himpunan garis-garis sejajar adalah suatu titik dimana sebarang garis selain melalui pusat proyeksi dan sejajar terhadap himpunan garis-garis sejajar tersebut, maka garis juga memotong bidang proyeksi. Jarak dan sudut mengalami perubahan akibat proyeksi, kecuali permukaan obyek yang diproyeksikan sejajar terhadap bidang proyeksi (bidang gambar).
Beberapa bentuk system koordinat
1
4
4
(a). Perspektif (b). Satu Titik Lenyap L1
(c). Dua Titik Lenyap L1 dan L2 (d). Tiga Titik Lenyap L1, L2 dan L3
Gambar 10.1 Perspektif dengan titik lenyap
Proyeksi perspektif (kerucut), diklasifikasikan atas 3 (tiga) jenis, yaitu:
1) satu titik lenyap
2) dua titik lenyap
3) tiga titik lenyap (Gambar 10.1).
Dalam perhitungannya, ditentukan oleh 5 (lima) variabel berikut:
a) kedudukan (arah) dari bidang gambar relatif terhadap obyek yang
diproyeksikan
b) kedudukan (ketinggian) bidang gambar relatif terhadap obyek
c) jarak pusat proyeksi terhadap obyek
d) jarak bidang gambar terhadap obyek
e) pergerakan horisontal pusat proyeksi terhadap obyek.
Adapun untuk formula praktis hitung ini, dapat diuraikan sebagai berikut.
Pandanglah dalam sistem koordinat Cartesius tegak lurus [O,X,Y,Z],
kita lekatkan ruang vektor [O,i,j,k] dengan i, j dan k merupakan vektor-vektor
basis ortonormal di R3. Misalkan diketahui vektor posisi dari titik mata
observator atau pusat proyeksi M(xo,yo,zo) adalah m dan titik benda B(xb,yb,zb)
L1
L1
L2
L1
L2
L3
M
A’
B’
A
B
(Pusat Proyeksi)
(Bidang
Proyeksi)
Bagian I
145
adalah b. Persoalannya adalah mencari posisi titik gambar G(x’,y’,z’) pada
bidang gambar hasil proyeksi titik benda terhadap titik mata dengan vektor
posisi g (Gambar 10.2).
Jika kita definisikan titik awal bidang gambar adalah ro dan arah
sumbu-sumbunya pada arah vektor u dan v, maka vektor g dapat dinyatakan
dengan
g = ro + x’u + y’v
atau juga
g = z’ b + (1 – z’) m.
Jadi didapatkan hubungan
ro + x’u + y’v = z’b + (1 – z’)m. (10.1)
Dengan demikian dari persamaan (10.1) kita dapat menentukan koordinat titik
gambar G(x’,y’,z’) melalui perkalian skalar dan vektor berikut (Faux, 1987).
x’ = [b – m] . [v (ro – m)] . (1/w) (10.2)
y’ = [b – m] . [u (ro – m)] . (-1/w)
z’ = [ro – m] . [u v] . (1/w)
dengan harga
w = [b – m] . [u v].
Jika titik mata observator berjarak d dari bidang gambar, maka diperoleh
m = ro + d n
dan
n = u v
Oleh karenanya persamaan (10.2) menjadi
Beberapa bentuk system koordinat
1
4
6 x’ = [- d(b – ro) . u] . (1/w1) (10.3)
y’ = [- d(b – ro) . v] . (1/w1)
z’ = - d . (1/w1)
dengan harga
w1 = [(b – ro) . n] – d..
Gambar 10.2 Hitung proyeksi perspektif
10.2 Proyeksi Paralel
Definisi 4.1: Misalkan suatu bidang tidak paralel terhadap garis g. Titik M di
ruang dapat dikawankan dengan titik M’ di dengan cara
menginterseksikan garis g’ yang ditarik melalui M sejajar garis g
memotong . Titik M’ disebut proyeksi titik M ke bidang secara
paralel terhadap garis g dan selanjutnya metode proyeksi ini kita
sebut sebagai metode proyeksi paralel atau proyeksi silindrik
(Gambar 10.3).
X
Y
Z
O
j
i
k
r0
m
g
b
u
v
x’u
y’v
B(xb,yb,zb
)
G(x’,y’,z
’)
M(x0,y0,z
0)
Titik Mata
Bidang
Gambar
Titik Benda
Bagian I
147
(a). Garis Arah g Miring terhadap Bidang (b). Garis Arah g Tegaklurus
Bidang
Gambar 10.3 Proyeksi paralel (silindrik).
Terdapat beberapa sifat sehubungan dengan proyeksi paralel, yaitu:
a) jika A, B, C tiga titik berbeda dan A’, B’, C’ masing-masing proyeksinya di
bidang , maka '//'//' CCBBAA ;
b) jika tiga titik A, B, C pada satu garis yang tidak sejajar bidang proyeksi , maka proyeksinya A’, B’ dan C’ juga segaris. Dalam hal ini jika B diantara
A dan C, maka B’ diantara A’ dan C’(Gambar 10.4b);
c) jika garis g//g’ dan keduanya tidak sejajar bidang proyeksi , maka
proyeksinya pada bidang sejajar atau berimpit (Gambar 10.4c);
d) jika P1P2P3...Pn suatu poligon konveks, maka proyeksinya P1’P2’P3’...Pn’
adalah poligon konveks;
e) proyeksi segmen garis AB menurut arah garis g terhadap dua bidang
proyeksi 1 paralel 2, didapatkan segmen-segmen garis yang kongruen.
M
M’
g
g’
g
M
M’
g’
Beberapa bentuk system koordinat
1
4
8
(a). Posisi Pusat Proyeksi (b). Tiga Titik Segaris (c). Dua Segmen Sejajar
Gambar 10.4 Proyeksi paralel
Dalam proyeksi paralel, secara umum terdapat 2(dua) jenis proyeksi, yaitu:
a). Proyeksi paralel ortogonal (tegaklurus)
Dalam proyeksi ini arah garis proyeksinya adalah tegaklurus terhadap
bidang proyeksi. Sedangkan jenisnya antara lain:
1). Proyeksi aksonometri (ortografik)
yaitu proyeksi paralel pada bidang yang menyajikan obyek secara tiga
dimensi agar tampak alami. Pada proyeksi ini menampilkan bagian
muka obyek, samping dan bagian belakang obyek. Bentuk dan ukuran
ketinggian tidak dipertahankan kecuali bagian muka obyek yang sejajar
terhadap bidang proyeksi (Gambar 10.5). Sudut siku-siku tidak
dipertahankan, lingkaran disajikan kedalam bentuk elips. Proyeksi ini
umumnya dipakai dalam penyajian konstruksi komponen-komponen
mesin dan struktur obyek. Jenisnya ada tiga menurut arah bidang
proyeksi, yaitu besarnya sudut yang dibentuk antara bidang tersebut
terhadap sumbu-sumbu koordinat. Kita dapatkan proyeksi:
- isometrik, jika ketiga sudut adalah sama. Ketiga sumbu koordinat
dipendekkan dalam perbandingan yang sama.
- dimetrik, jika ketiga sudut adalah sama. Dua sumbu koordinat
dipendekkan dalam perbandingan yang sama.
A
A
’
A
A
’
B
C
B
’
C
’
g
g
’
Pusat Proyeksi di
Bagian I
149
- trimetrik, jika ketiga sudut adalah berbeda. Ketiga sumbu koordinat
dipendekkan berbeda.
2). Proyeksi industri
yaitu menyajikan dua atau beberapa permukaan obyek secara eksak.
Banyaknya sudut pandang permukaan obyek tergantung dari
kompleksitas permukaan obyek. Dalam proyeksi ini sering digunakan
garis titik-titik atau tersembunyi dan proyeksi ini umumnya dipakai
dalam gambar teknik atau arsitektur.
Gambar 10.5 Proyeksi aksonometri
b). Proyeksi paralel miring
Pada proyeksi miring, garis arah proyeksi adalah miring terhadap bidang
proyeksi. Tipe ini digunakan untuk menyajikan obyek dalam satu
permukaan dari aspek tiga dimensi dan dikarakterisasi oleh besarnya sudut
yang dibentuk antara bidang proyeksi dengan garis arah proyeksi. Garis-
garis lenyap umumnya digambarkan membentuk sudut-sudut 30o atau 45o
terhadap horisontal. Jenisnya antara lain adalah (Gambar 10.6):
1) proyeksi kavaleri, jika garis lenyap membentuk sudut 45o dan tidak
dipendekkan.
2) proyeksi kabinet, jika garis lenyap membentuk sekitar 63,4o dan
dipendekkan dengan perbandingan ½. Dalam hal aplikasi, proyeksi
kabinet nampak lebih alami dan realistik daripada proyeksi kavaleri.
X
Y
Z
O
Beberapa bentuk system koordinat
1
5
0
(a). Proyeksi Kavaleri (b). Proyeksi Kabinet
Gambar 10.6 Proyeksi Kavaleri dan Kabinet.
Untuk mendapatkan formulasi praktis tentang hitung proyeksi paralel,
kita perlu melakukan beberapa tahapan analisa berikut. Pandanglah dalam
sistem koordinat Cartesius tegak lurus [O,X,Y,Z], kita lekatkan ruang vektor
[O,i,j,k] dengan i, j dan k merupakan vektor-vektor basis ortonormal di R3.
Pandang titik obyek yang akan diproyeksikan pada bidang proyeksi
(bidang gambar), dinyatakan dengan vektor r. Arah proyeksi mengikuti vektor
u dan posisi titik hasil proyeksi (titik gambar) yang terletak di bidang proyeksi
(bidang gambar) dinyatakan oleh vektor r’. Bidang gambar bertitik awal pada
ro dan berkoordinat menurut arah vektor u1 dan u2 (Gambar 10.7).
Gambar 10.7 Hitung proyeksi paralel
Berdasar dari ketentuan-ketentuan tersebut, maka dapat diperoleh beberapa
hubungan berikut
1 1 1 1/2
X Y
Z
O
r r’
r0
z’r
x’u1
y’u2
Bidang Gambar
Titik Gambar
Titik Obyek
Bagian I
151
r' = r – z’u atau r’ = ro + x’u1 + y’u2
sehingga
r – ro = x’u1 + y’u2 + z’u. (10.4)
Jadi koordinat titik gambar x’, y’ dan z’ di bidang proyeksi adalah
x' = ).(
)).((
21
20
uuu
uurr
x
x;
y’ = ).(
)).((
12
10
uuu
uurr
x
x; (10.5)
z’ = ).(
)).((
21
210
uuu
uurr
x
x.
Jika bidang proyeksi dipilih tegaklurus terhadap garis proyeksi, maka formulasi
koordinat titik gambar menjadi
x' = (r-ro).u1; y’ = (r-ro).u2; z’ = (r-ro).u. (10.6)
10.3 Sistem Koordinat Observator dan Proyeksi ke Monitor
Pada bagian ini kita bahas sistem grafik dimensi tiga dengan bantuan
konsep transformasi titik melalui penyajian koordinat homogen dan proyeksi
perspektif (Kusno 2003). Dalam hal ini terdapat dua versi studi guna
menyajikan obyek di ruang. Versi pertama, titik pandang pada layar monitor
dianggap tetap dan benda ditransformasikan sesuai dengan keinginan kita.
Versi kedua, benda yang kita pandang tetap dan titik pandang observator
relatif yang harus berpindah (bergerak). Adapun dalam pembahasan ini kita
tertarik versi yang kedua agar mendapatkan penyajian obyek yang lebih alami.
Untuk itu berkenaan dengan Gambar 10.8a, pandanglah hal-hal berikut:
a. benda direferensikan terhadap sistem tetap [O,X,Y,Z];
b. mata observator direferensikan terhadap sistem relatif [M,Xo,Yo,Zo]
c. monitor dipandang bidang yang tegaklurus segmen OM dan terletak pada
jarak d dari mata observator
d. sumbu Zo dari sistem observator diarahkan pada titik asal O.
Selanjutnya dengan batuan koordinat sperik (bola) untuk menyatakan
posisi titik mata observator M(xo,yo,zo), kita cari matriks transformasi T4x4 yang
Beberapa bentuk system koordinat
1
5
2 berguna untuk mengobservasi benda melalui metode Dony (1990) dan Watt
(1989) berikut (dimulai dari Gambar 10.8a.i):
a. Translasikan titik awal O ke M, maka didapatkan relasi
xo = R.Cos .Cos
yo = R.Sin .Cos
zo = R.Sin
dan matriks translasinya adalah:
T1 =
1
0100
0010
0001
ooo zyx
.
Hal ini berarti sistem [O,X,Y,Z] ditransformasikan ke sistem [M,X1,Y1,Z1]
seperti terlihat pada Gambar 10.8a.ii.
b. Rotasikan sistem [M,X1,Y1,Z1] terhadap Z1 agar sumbu Y1 negatif
memotong sumbu Z. Adapun matriks rotasinya adalah
T2 =
1000
0100
00
00
SinCos
CosSin
.
dan hasilnya kita dapatkan sistem [M,X2,Y2,Z2] seperti Gambar 10.8a.iii.
c. Rotasikan sistem [M,X2,Y2,Z2] dari (90o + ) terhadap sumbu X2, yaitu
memutar sumbu Z2 menuju ke O, sehingga didapat sistem [M,X3,Y3,Z3]
seperti terlihat pada Gambar 10.8a.iv. Matriks rotasinya adalah
T3 =
1000
00
00
0001
SinCos
CosSin.
Bagian I
153
d. Konversikan sistem tetap yang telah didapat [M,X3,Y3,Z3] ke sistem relatif
[M,Xo,Yo,Zo], yaitu cukup mengganti arah sumbu X3 secara berlawanan,
seperti terlihat pada Gambar 10.8a.i. Matriks transformasinya adalah
T4 =
1000
0100
00
00
SinCos
CosSin
.
e. Menghitung matriks T4x4 yang dicari melalui perhitungan
T4x4 = T1.T2.T3.T4. (10.7)
Dengan menggunakan konsep dasar penyajian koordinat homogen bentuk
normal di H4 dan bentuk (10.7), maka transformasi dari sistem tetap benda
[O,X,Y,Z] ke sistem relatif observator [M,Xo,Yo,Zo], dapat ditentukan dengan
(x y z 1). T4x4 = (xo yo zo 1).
Hal ini berarti bahwa semua titik dalam sistem tetap benda [O,X,Y,Z] akan
menjadi sistem relatif observator [M,Xo,Yo,Zo] melalui formulasi berikut:
xo = -x.Sin + y.Cos ; (10.8)
yo = -x.Cos .Sin – y.Sin .Sin + z.Cos ;
zo = -x.Cos .Cos – y.Sin .Cos – z.Sin + R.
Misalkan sembarang titik P(xo,yo,zo) dalam sistem koordinat relatif
observator [M,Xo,Yo,Zo]. Proyeksi perspektifnya ke layar monitor , dapat
dirumuskan sebagai berikut (Gambar 10.8b). Kita tetapkan posisi monitor
tegaklurus sumbu Zo dan berjarak d dari M, maka proyeksi titik P ke monitor
P’(x,y) jika dihitung melalui kesebangunan segitiga, berlaku:
x = [d.xo]/zo
dan
Beberapa bentuk system koordinat
1
5
4 y = [d.yo]/zo. (10.9)
Selanjutnya untuk simulasi hasil dampak perubahan parameter , dan d
dalam penyajian kurva dan permukaan, dapat dilihat pada Gambar 10.8c
berikut.
(a) Transformasi koordinat benda ke koordinat observator
(i) (ii)
(iii) (iv)
Z
Z
Z
Z
X
X
X
X
Y
Y
Y
Y
Monit
or
M
M
M
M
Xo
Yo
Zo
Xr
Yr
O
O
O
O
X1
X3
X2
Y1
Y2
Y3
Z1
Z2
Z3
Bagian I
155
(b) Proyeksi titik obyek dalam koordinat observator ke monitor (a)
(c)
Gambar 10.8 Sistem koordinat observator dan proyeksi ke monitor
Theta = 45 Phi = 45 d = 35 Theta = 45 Phi = 45 d = 15
Theta = 55 Phi = 25
x
Yo
Yo
Zo
Zo
Zo
M
M
M
Xo
Xo
d
d
P(xo,yo,zo)
P(xo,yo,zo)
P(xo,yo,zo)
P(x,y)
Monito
r
Monitor
y
x
BAGIAN II
RANCANG BANGUN BENDA
DENGAN KURVA DAN PERMUKAAN BERBANTU
KOMPUTER
BAB 11
SIFAT-SIFAT LOKAL
KURVA DAN PERMUKAAN NATURAL
Desain bentuk benda, umumnya dibangun melalui formula yang tidak
unik. Dengan kata lain, pemodelan bentuk benda banyak dibangun melalui
prinsip penggabungan beberapa bagian benda yang lebih kecil untuk
mendapatkan bentuk benda secara utuh. Untuk itu agar operasi penggabungan
optimal, maka kita perlukan studi lokal tentang kurva dan permukaan.
Tujuannya adalah agar kita dapat menggabung beberapa potongan
kurva/permukaan dengan mulus (baik ke arah datar, lengkung, ataupun
berpuntir) sehingga benda yang didesain kelak bentuknya menjadi baik/indah.
11.1 Sifat-sifat Lokal Kurva
Pada bagian ini kita diskusikan tentang penyajian parametrik reguler
kurva, gerakan trihedron dan penyajian Frenet kurva. Untuk itu, kita
definisikan selanjutnya peristilahan kurva reguler berikut ini.
Definisi 11.1 : Suatu kurva X(t) dengan t dalam domain real I disebut dalam
penyajian parametrik reguler klas Cn jika dipenuhi kondisi
a). X(t) suatu fungsi 1-1, klas Cn
b). X ’(t) O untuk semua t I.
Perubahan parameter t = t() pada I dapat dilakukan dalam Cm,
jika t() dalam klas Cm di I dan (dt/d) 0 untuk semua I.
Misalkan X(s) suatu kurva reguler dari klas Cn2 dalam penyajian
parameter natural s, maka vektor satuan tangensial t(s), vektor kelengkungan
k(s), normal satuan n(s) dan vektor binormal b(s) dapat dinyatakan dalam
persamaan-persamaan berikut
t(s) =
X (s)
(11.1)
k(s) =
t (s) =
X (s) = (s) n(s)
b(s) = t(s) n(s)
Beberapa bentuk system koordinat
1
5
8
dengan (s) suatu fungsi kelengkungan berharga real dari s. Pasangan (t,n,b)
disebut gerakan trihedron kurva (Gambar 11.1). Selanjutnya dari bentuk
(11.1), harga
b (s) dapat dinyatakan oleh
b (s) = - (s) n(s) (11.2)
dengan (s) merupakan fungsi puntiran (torsi) berharga real kurva .
Gambar 11.1 Gerakan trihedron
Andaikan klas C3, maka perilaku X(s) = P di titik sekitar Po = X(0)
pada jarak aljabar h 0 dapat dinyatakan dengan ekspresi Taylor
PoP = h )0(
X + (1/2)h2 )0(
X + (1/3)h3 )0(
X + (h3). (11.3)
Dalam hal pasangan (t,n,b) dinyatakan (e1, e2, e3), bentuk Frenet dari (11.3)
dapat ditulis sebagai
PoP = [h – 1/6 (o2) h3] e1 + ½[o h
2 + (1/3) (
o) h3] e2
+ [(1/6) o o h3] e3 + (h3). (11.4)
11.2 Sifat-sifat Lokal Permukaan
Definisi 11.2 : Suatu permukaan parametrik S(u,v) disebut permukaan reguler
klas Cn jika semua titik di S(u,v), untuk suatu open set U di
bidang UV, dipenuhi kondisi
a). S(u,v) klas Cn
b). jika S(u,v) = f1(u,v)i + f2(u,v)j + f3(u,v)k, maka
t n
b
X (t)
Bagian I
159
rank
v
f
u
fv
f
u
fv
f
u
f
33
22
11
= 2 atau 0)(
vu
vuSS
SS.
Dari definisi kereguleran permukaan, selanjutnya kita sajikan definisi
matematik dan sifat-sifat lokal permukaan parametrik, yaitu persamaan
kelengkungan prinsipal dan paraboloida oskulator. Untuk itu, pertama
anggaplah sebuah titik Mo pada permukaan parametrik S(u,v) dengan bidang
singgung di titik tersebut, misalkan Vo. Jika titik Mo bergerak menuju titik lain
Mo + dr pada permukaan, maka kita dapatkan kuantitas skalar (tulislah dengan
simbul ds) dari vektor aproksimasi dr yang terletak pada Vo dengan titik asal
Mo berikut.
dr . dr ds2
ds2 = [Su(uo,vo) du + Sv(uo,vo) dv] . [Su(uo,vo) du + Sv(uo,vo) dv]
= Su(uo,vo)2 du2 + 2 [Su(uo,vo). S
v(uo,vo)] du dv +
Sv(uo,vo)2 dv2
atau juga
ds2 = e du2 + 2 f du dv + g dv2 (11.5)
dimana e = Su(uo,vo)2
,
f = [Su(uo,vo). S
v(uo,vo)],
g = Sv(uo,vo)2
.
Persamaan (11.5) disebut "Bentuk Dasar I Gauss".
Jika Su(uo,vo) dan S
v(uo,vo) saling tegaklurus, maka f = 0. Dilain fihak,
normal satuan pada titik Mo dari permukaan adalah
Beberapa bentuk system koordinat
1
6
0
ns(uo,vo) = [Su (uo,vo) S
v(uo,vo)] / S
u (uo,vo) Sv(uo,vo).
Pandanglah sebuah kurva pada permukaan S(u,v) dan melalui titik
Mo dengan t adalah vektor satuan tangensialnya. Maka vektor t adalah
tegaklurus pada vektor normal satuan ns dari permukaan, yaitu
t . ns = 0.
Dengan menderivasi terhadap panjang busur s dari kurva , maka didapat
dt/ds . ns + t . dns/ds = 0,
[kc . ns] + t . dns/ds = 0
atau
[(c nc) . ns] + t . dns/ds = 0 (11.6)
dengan kc , c, dan nc masing-masing adalah vektor kelengkungan,
kelengkungan dan vektor normal satuan dari kurva. Jika kuantitas
n = [kc . ns]
menyatakan kelengkungan normal, yaitu proyeksi dari vektor kelengkunagn kc
dari kurva pada vekror normal satuan ns dari permukaan pada titik Mo, kita
dapat menyederhanakan bentuk (11.6) dengan cara
n = c Cos
= - t . dns/ds
= - (ds . dns)/ds2. (11.6a)
Sudut adalah sudut yang dibentuk antara vektor normal satuan
permukaan dengan vektor normal prinsipal kurva . Substitusikan (11.5) ke
(11.6a), didapat
n = c Cos
Bagian I
161
= (E du2 + 2 F du dv + G dv2)/ [e du2 + 2 f du dv + g dv2] (11.7)
dimana
E = - Su. nsu
F = - 1/2 (Su.ns
v + S
u .ns
v)
G = - Sv.ns
v.
Kuantitas E du2 + 2 F du dv + G dv2 disebut "Bentuk Dasar II Gauss".
Bentuk (11.7) menunjukkan bahwa n adalah sebuah pemetaaan dari du
dan dv. Bentuk ini bergantung dari proporsi du : dv, yaitu arah dari garis
singgung kurva pada titik Mo.
Catatan: Deferensial
Su. ns = 0
dan S
v. ns = 0
memberikan empat persamaan
Suu
. ns + Su. ns
u = 0 S
vu. ns
+ S
v. ns
u = 0
Suv
. ns + Su. ns
v = 0 S
vv. ns + S
v. ns
v = 0.
Jadi koefisien E, F dan G dapat dinyatakan sebagai
E = Suu
. ns
F = Suv
. ns
G = Svv
. ns. (11.8)
Pandanglah semua bidang yang melalui titik Mo pada permukaan S(u,v)
dan memuat vektor normal satuan ns. Maka normal-normal dari kurva-kurva
interseksi antara bidang dan permukaan adalah paralel ns. Misal 1 sebuah
kurva melalui titik Mo. Kita sebut "potongan normal" dari kurva 1 pada Mo
Beberapa bentuk system koordinat
1
6
2 di permukaan adalah semua potongan sembarang dari bidang yang melalui
vektor ns pada titik Mo dan memuat tangen yang sama dari kurva 1. Pada
kasus ini, tulislah c adalah kelengkungan dari kurva 1 dan adalah
kelengkungan dari potongan normal. Karena semua kurva adalah dalam
orientasi sama, maka persamaan (11.8) didapat
n = c Cos
= .
Jadi, didapat teorema Meusnier berikut.
Teorema 11.1: Semua kurva yang memiliki garis singgung sama di titik Mo
pada suatu permukaan, memiliki kelengkungan sama pada
titik tersebut. Jelasnya, nilai dari kelengkungan normal pada
titik Mo dari kurva 1 atas suatu permukaan adalah sama
terhadap kelengkungan dari potongan normal yang melalui
tangen dari kurva di titik itu.
Dari persamaan (11.8), dapat disimpulkan bahwa semua kelengkungan
normal n dari kurva pada suatu permukaan dengan arah d atas bidang
singgung, memenuhi
(n e - E) du2 + 2 (n f - F) du dv + (n g - G) dv2 = 0. (11.9)
Jika selanjutnya
t = du/dv
dan
t* = dv/du
menyatakan arah tangensial dari potongan normal, maka persamaan tersebut
dapat ditulis
Q(n ,t) = At2 + 2Bt + C = 0
Bagian I
163
dan
Q(n ,t*) = A + 2Bt* + Ct*2 = 0
dimana
A = (n e - E)
B = (n f - F)
C = (n g - G).
Dengan menurunkan masing-masing t dan t*, didapat
( n e - E) du + (n f - F) dv = 0
( n f - F) du + (n g - G) dv = 0. (11.10)
Persamaan tersebut memiliki solusi tidak nol jika dan hanya jika
n n
n n
e E f F
f F g G
0 . (11.11)
Bentuk tersebut adalah persamaan dari derajat dua dari n. Penyelesaiannya
adalah nilai ekstrim berbentuk dua kelengkungan prinsipal berbeda 1 dan 2,
atau mungkin kelengkungan prinsipal unik dari dua multiplisitas, yaitu titik
umbilik. Jadi didapat teorema berikut.
Teorema 11.2: Kuantitas adalah kelengkungan prinsipal jika dan hanya jika
adalah solusi dari
[eg - f2] 2 - [eG - 2fF + gE ] + [EG – F2] = 0. (11.12)
Kedua arah sehubungan dengan solusi persamaan (11.12) "arah prinsipal".
Pandanglah permukaan S(u,v) dari klas C2dengan bidang singgung pada
titik
Mo = S(uo,vo)
Beberapa bentuk system koordinat
1
6
4 adalah Vo dan vektor normal satuannya ns. Kita dapatkan pengembangan
Taylor pada persekitaran S(uo,vo) sebagai
S(uo+u,vo+v) = S(uo,vo) + [Su (uo,vo) u + Sv (uo,vo) v] +
1/2.[ Suu(uo,vo) u2 + 2 Suv(uo,vo) u v +
Svv (uo,vo) v2] + O( u2 + v2).
Karena itu jarak aljabar , dari titik P = S(uo+u ,vo+v) pada bidang
singgung Vo diberikan oleh
= s . ns
= [S(uo+u ,vo+v) - S(uo,vo))] . ns
= 1/2 [Suu(uo,vo) . ns u2 + 2 Suv (uo,vo) . ns u v +
S vv (uo,vo) .ns v2 ] + O(u2+ v2).
Dari persamaan terakhir, didapat
= 1/2(E u2 + 2 F u v + G v2) + O( u2 + v2) (11.13)
dimana
E = Suu . ns
F = Suv . ns
G = S vv . ns.
Koefisien-koefisien E, F dan G adalah Bentuk Dasar II Gauss.
Misalkan sekarang pada bidang singgung tersebut, kita pandang sebuah
vektor x pada arah Su (uo,vo); vektor y pada arah Sv (uo,vo), dan ns(uo,vo)
adalah vektor normal pada titik S(uo,vo). Dalam sistem dengan pusat S(uo,vo)
dan sumbu-sumbu
[Su (uo,vo), Sv (uo,vo), ns(uo,vo)]
Bagian I
165
kita dapat melekatkan permukaan secara lokal dengan permukaan yang ditulis
dalam bentuk persamaan paraboloida oskulator berikut
z = 1/2 ( E x2 + 2 F x y + G y2 ). (11.14)
11.3 Tipe-tipe Titik di Permukaan dan Permukaan Pelat Natural
Kita ketahui bahwa nilai dari kelengkungan utama permukaan reguler
S(u,v) ditentukan oleh bentuk
[eg - f2] 2 - [eG - 2fF + gE ] + [EG - F2] = 0
dengan e,f,g dan E,F,G adalah koefisien bentuk Gauss I dan II. Jika
perhitungan bentuk tersebut dinyatakan
2 - [1+ 2] + [1.2] = 0
maka didapatkan
K = 1 . 2
= [EG - F2] / [eg - f2] (11.15)
H = 1/2 . [ 1+ 2 ]
= 1/2 . [eG - 2fF + gE ] / [eg - f2]. (11.16)
Harga
K = 1 . 2
disebut ”Kelengkungan Gauss”, sedangkan
H = 1/2.[1+ 2]
disebut ”Kelengkungan Rata-rata”. Dalam hal K> 0, sebarang titik MoS(u,v) dikatakan titik elliptik. Jika K<0, titik Mo disebut titik hiperbolik.
Akhirnya, jika harga 1 = 0 atau 2 = 0, dan K dianulir, titik Mo dikatakan titik
Beberapa bentuk system koordinat
1
6
6 parabolik. Dalam hal khusus K dan H tidak nol bersamaan, disebut titik pelat
(Gambar 11.2).
Gambar 11.2 Tipe-tipe titik di permukaan
Permukaan jenis yang terakhir ini, yaitu jenis titik-titiknya karakter
pelat, memiliki sifat bahwa jika ke arah parameter u berupa kurva, maka ke
arah parameter v berupa garis (generatris) atau sebaliknya. Selain itu semua
titik pada garis tersebut normalnya adalah konstan (Kusno, 1998). Dengan
demikian jika bentuk S(u,v) = f(u) + v g(u) merupakan permukaan garis
(natural), maka dapat disimpulkan bahwa permukaan garis S(u,v) adalah plat
jika dan hanya jika ketiga vektor [g'(u), f '(u), g(u)] saling bergantung, yaitu
det (g', f ', g) = 0 (11.17)
atau
[g' f ' . g] = 0.
ns
Mo
K <0
Mo
ns
Mo
ns
K > 0 K = 0, H >< 0
Bagian I
167
BAB 12
KURVA DAN PERMUKAAN
DALAM
COMPUTER AIDED GEOMETRIC DESIGN
Pada bagian ini kita sajikan beberapa bentuk standar kurva dan
permukaan yang sering dipakai dalam bidang Computer Aided
Design/Manufacturing (CAD/CAM), yaitu kurva dan permukaan Bezier dan
B-Splin. Tujuannya adalah agar kita dapat mengetahui sifat-sifat dasar dari
kedua tipe kurva dan permukaan tersebut dan mampu menunjukkan
kelebihan/kekurangannya di dalam pemodelan benda. Selain itu, dibahas pula
algoritma Casteljau dan de-Boor guna mengevaluasi potongan-potongan
kurva/permukaan dari masing-masing jenis kurva dan permukaan dimaksud.
Akhir dari bab ini kita perkenalkan beberapa bentuk formula parametrik benda-
benda standar beserta contoh visualisasinya di komputer agar lebih lanjut dapat
digunakan sebagai bahan praktek desain beberapa bentuk benda sederhana
melalui programasi komputer.
12.1 Penyajian Bentuk Aljabar dan Geometri
Telah dijelaskan bahwa pemilihan bentuk persamaan kurva atau
permukaan adalah sangat penting guna memudahkan operasi rancang bangun
obyek (benda). Sehubungan dengan hal itu, pada bagian ini kita pelajari
penyajian kurva dengan pendekatan bentuk aljabar dan geometri. Tujuannya
adalah untuk memperkenalkan adanya fungsi-fungsi basis dalam penyajian
kurva (permukaan) guna memudahkan perancangan obyek.
Misalkan kurva kubik parametrik P(u) dinyatakan dalam bentuk aljabar
x(u) = aox + a1x u + a2x u2 + a3x u
3 (12.1)
y(u) = aoy + a1y u + a2y u2 + a3y u
3
z(u) = aoz + a1z u + a2z u2 + a3z u
3
dengan parameter u dibatasi dalam interval 0 u 1 atau u [0,1].
Pembatasan terhadap harga parameter u ini dimaksudkan agar segmen kurva
yang terbangun terbatas dan mudah dikontrol.
Beberapa bentuk system koordinat
1
6
8 Dalam penyajian (12.1), kita dapatkan 12 (dua belas) koefisien
konstan yang disebut sebagai koefisien aljabar. Setiap himpunan 12 koefisien
tersebut, maka mendefinisikan sebuah kurva yang unik (tunggal). Sebaliknya,
untuk setiap dua kurva ruang berbeda, maka kita dapatkan dua himpunan 12
koefisien yang berbeda. Selanjutnya dari kurva bentuk (12.1), tulislah kedalam
fungsi vektorial (parametrik)
P(u) = ao + a1 u + a2 u2 + a3 u
3.
(12.2)
Kemudian, tetapkan beberapa kondisi berikut
P(0) = ao (12.3)
P(1) = ao + a1 + a2 + a3
Pu(0) = du
d )0(P = a1
Pu(1) = du
d )1(P= a1 + 2 a2 + 3 a3
dengan ao, a1, a2 dan a3 merupakan vektor-vektor yang ekivalen dengan
koefisien-koefisien skalar aljabar.
Jika sistem persamaan (12.3) diselesaikan, maka harga vektor-vektor
ao, a1, a2 dan a3 diperoleh
ao = P(0) (12.4)
a1 = Pu(0)
a2 = - 3 P(0) + 3 P(1) – 2 Pu(0) – Pu(1)
a3 = 2 P(0) – 2 P(1) + Pu(0) + Pu(1).
Jika persamaan (12.4) ini selanjutnya disubstitusikan ke persamaan (12.2),
maka didapatkan bentuk kurva Hermit (Mortenson, 1985)
P(u) = P(0) H1(u) – P(1) H2(u) + Pu(0) H3(u) + Pu(1) H4(u) (12.5)
dinotasikan P(u) = Po H1 – P1 H2 + Pou H3 + P1
u H4 dengan fungsi-fungsi basis
H1(u), H2(u), H3(u) dan H4(u) beharga
H1(u) = 2u3 – 3u2 + 1 H2(u) = - 2u3 + 3u2 (12.6)
H3(u) = u3 – 2u2 + u H4(u) = u3 – u2.
Bagian I
169
Bentuk persamaan (12.5) disebut sebagai penyajian kurva dalam bentuk
geometrik dan Po, P1, Pou dan P1
u disebut koefisien geometrik. Sedangkan
fungsi-fungsi H1(u), H2(u), H3(u) dan H4(u) dalam persamaan (12.6) disebut
basis Hermit. Adapun untuk tafsiran geometrik tentang vektor-vektor
geometrik dari kurva kubik tersebut, disajikan dalam Gambar 12.1 berikut.
Gambar 12.1 Vektor-vektor geometrik kurva kubik
12.2 Kurva dan Permukaan Bezier
Kurva non-rasional Bezier derajat n dinyatakan dalam bentuk (Bezier,
1987):
C(t) =
n
ii
0P B
n
i (t) dan 0 t 1
(12.7)
dimana Bn
i (t) = iinn
ittC .)1( dan )!(!
!
ini
nC
n
i .
Pada persamaan tersebut, titik-titik Pi disebut koefisien geometrik atau titik
kontrol kurva C(t). Tititk-titik tersebut berharga real. Untuk semua t [0,1],
kurva memiliki sifat antara lain berikut ini.
1). Invariant Affine: misal sebuah pemetaan Affin dari R3 ke R3, maka
X
Y
Z
O
u = 0
u = 1
P
0 P
0
P0u
P
1 P1
u P(u)
Pu(u)
Beberapa bentuk system koordinat
1
7
0
f(C(t)) = )()(0
tf Bn
i
n
ii
P .
2). Konveks dan
n
i
n
itB
0
1)( .
3). Positif: 0)( tBn
i ; i = 0 , ..., n.
po
p1
p2
p3
Gambar 12.2 Kurva kubik Bezier
4). Linier: )()1()()(11
1ttttt BBB
n
i
n
i
n
i
untuk semua i = 1,..., n-1
)()1()(1
00ttt BB
nn
dan
)()(1
1ttt BB
n
n
n
n
.
5). Pengurangan variasi, yaitu: jumlah interseksi sebuah bidang sembarang
dengan kurva Bezier adalah lebih kecil atau sama dengan banyaknya
bidang tersebut dengan poligon Bezier.
6). Simetris: )1()( tt BBn
in
n
i
.
7). Perubahan global bentuk kurva disebabkan karena perubahan titik-titik
kontrol.
Bagian I
171
8). Kenaikan derajat n menuju derajat n+1:
C(t)
1
0
n
iiP B
n
i
1
(t)
dengan
Pi*
= i Pi-1 + (1 - i) Pi dan i = i/(n+1); i = 1, ..., n.
Kita dapat memanfaatkan sifat-sifat linier (4) untuk mengevaluasi
kurva Bezier C(t) pada sebuah harga (sebagai data) s, dengan ekspresi titik
perantara
Pi(n)
(s) = (1-s) Pi-1(n-1)
+ s Pi(n-1)
(12.8)
dimana Pi(0)
(s) = Pi, didapat persamaan
Po(n)
(s) = C(t)
menurut prosedur hitungan segitiga berikut.
Po(0)
Po(1)
P1(0)
.
. . . Po(n-1)
. . . Po(n)
= C(t) (12.9)
. . P1(n-1)
Pn-1(0)
.
Pn-1(1)
Pn(0)
Beberapa bentuk system koordinat
1
7
2 Kurva C(t) dalam persamaan (12.9) dapat dicacah kedalam dua bagian
sub kurva C1(t) dan C2(t) dengan titik-titik kontrol masing-masing (Gambar
12.3):
[Po(0)
, Po(1)
, … , Po(n-1)
, Po(n)
]
dan
[Po(n)
, P1(n-1)
, … , Pn-1(1)
, Pn(0)
].
Gambar 12.3 Algoritma Casteljau
Turunan derajat r dari kurva C(t), ditulis C(r)(t), dapat dinyatakan sebagai
bentuk:
C(r)(t) = )(0
)!(! )( t
rn
i
rn
ii
r
rnn B
P (12.10)
dimana:
0 Pi = Pi
1 Pi = (Pi+1 - Pi)
2 Pi = (Pi+2 - 2 Pi+1 + Pi)
...............................................
(r) Pi = .)1(
0P jri
r
j
r
j
jr
C
P
P
P
P
P
P
PP
P
P
P
PP
0
0
0 0
11
1
11
11
22
2
2
2
3
4
4
C(t)1 C
(t)
23
2
Bagian I
173
Permukaan non-rasional Bezier derajat m dan n dapat dinyatakan
melalui perkalian tensor
nm
ji
n
j
m
iijvuvuvu BB
,
0,
1,0);()(),( PS . (12.11)
Sifat-sifat permukaan Bezier pada prinsipnya identik dengan kurva Bezier.
12.3 Kurva dan Permukaan B-Splin
Kurva non-rasional B-Splin order k atas nodals
[t0 < t1 < t2 < ... < tn-1 < tn < tn+1 ...<tn+k]
didefinisikan dengan bentuk
)()(0
tt Nk
i
n
ii
PQ (12.12)
dan n ≥ k-1.
Koefisien-koefisien Pi disebut titik kontrol atau titik de-Boor. Untuk
B-Splin ternormalisasi, polinom basis )(tNk
i memiliki sifat-sifat berikut:
1). Partisi dari satuan: i
n k
0
)(tNk
i 1;
2). Positif: )(tNk
i > 0; untuk t[ti,ti+k];
3). Dukungan lokal: )(tNk
i = 0, jika t [ti,ti+k];
4). Kontinyu: )(tNk
i adalah order k dan kontinyu Kk-2
pada setiap nodal;
5). Rekursif:
)(
)()(
)(
)()()(
1
1
1
1
1
iki
k
iki
iki
k
ii
k
i tt
ttt
tt
tttt NN
N (12.13)
Beberapa bentuk system koordinat
1
7
4 dimana
1, jika t [ti,ti+1];
N i
1
(t) =
0, jika t [ti,ti+1].
Selain seperti kurva Bezier, kurva B-Splin memiliki sifat-sifat berikut:
1). sifat-sifat lokal sehubungan perubahan titik kontrolnya,
2). multiplitas titik kontrol atau nodal mempengaruhi kekontinyuan kurva.
Algoritma de-Boor adalah untuk kurva B-Splin seperti halnya algoritma de
Casteljau untuk kurva Bezier. Algoritma ini memberi kemudahan dalam meletakkan
sebuah titik pada suatu kurva dan mencacahnya dalam derajat yang sama. Untuk
mengevaluasi pada harga t = s [tr , tr+1] pertama kita tentukan persamaan insersi
yang dihitung melalui persamaan (12.12) dan sifat-sifat (5). Kita dapatkan bentuk
berikut:
Q(t) = )()(0
tt Njk
i
jn
i
j
i
P (12.14)
dengan j = 0 , ... , (k-1) dalam bentuk tersebut titik-titik de-Boor dinyatakan dalam
bentuk interpolasi linier rekursif
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
P P P
( )1
1
1 1
(12.15)
dengan i
j i
i k j i
s t
t t
dan i jP P0 . Jika k = j+1, kita dapatkan basis rN
1
. Hal
ini berarti bahwa untuk harga t = s [tr , tr+1] didapat Q(s) = r
k
P1
.
Permukaan non-rasional B-Splin dari order k dan l, dinyatakan dalam bentuk
perkalian tensor sebagai berikut:
R(u,v) = )()(,
0,,
vu NNl
j
k
i
nm
jiji
P (12.16)
Sifat-sifat permukaan tersebut pada dasarnya adalah analog dengan kurva B-Splin.
Bagian I
175
12.4 Beberapa Contoh Formula Parametrik Kurva dan Permukaan
Pada bagian ini kita daftarkan beberapa contoh formula parametrik
kurva dan permukaan (natural) beserta bentuk visualisasinya dengan
menggunakan komputer (Kusno 2006-2007 dan Rusli 2006). Uraian detailnya
sebagai berikut.
1). Kurva ruang: C(u) = <x(u), y(u), z(u)>.
Contoh Gambar 12.4a: C(u) = <u.sin u, u, u.cos u> dengan - u 2.
2). Heliks berpusat di (x1,y1,z1): HL(u) = <x1 + cos u, y1 + sin u, z1 + u>.
Contoh Gambar 12.4b: HL(u) = <cos u, sin u, u> dengan 0 u 4.
(a) (b)
Gambar 12.4 Contoh kurva parametrik ruang
3). Bola dengan jari-jari R berpusat di (x1,y1,z1):
B(u,v) = < R.sin v cos u + x1, R.sin v. sin u + y1, R.cos v + z1>.
Contoh Gambar 12.5a: B(u,v) = <3.sin v cos u +1, 3. Sin v Sin u + 4, 3.cos v +3>
dengan 0u2 dan 0v2 adalah bentuk bola dengan
jari-jari R = 3 satuan berpusat di titik (1,4,3).
Contoh Gambar 12.5b: B(u,v) = <3.sin v cos u +1, 3.sin v sin u +1, 3.cos v +1>
dengan 0u2 dan 0.3v2 adalah keratan bola
dipotong terhadap sumbu z berjari-jari R = 3 satuan
berpusat di (1,1,1).
4). Elipsoida jari-jari R sumbu panjang sejajar sumbu Z dan berpusat di
(x1,y1,z1):
E(u,v) = < R.sin v cos u + x1, R.sin v sin u + y1, R1.cos v + z1>.
Contoh Gambar12.5c :E(u,v) = <3.sin v cos u +1, 3.sin v sin u +4, 5.cos v+3>
dengan 0 u 2 dan 0 v 2 adalah elipsoida dengan
sumbu panjang R1 = 5 satuan berpusat di (1,4,3).
5). Silinder (terbuka) jari-jari R melalui sumbu (x1,y1,z1):
Beberapa bentuk system koordinat
1
7
6 ST(u,v) = < R.cos u + x1, R.sin u + y1, z = c.v>.
Contoh Gambar 12.5d: ST(u,v) = <2.cos u + 4, 2.sin u + 4, 3. v > dengan 0 u 2
dan 1 v 3 adalah silinder terbuka berjari-jari R = 2
satuan berpusat di sumbu (0,0,z = 3 v).
Contoh Gambar 12.5e: ST(u,v) = <5.Cos u, 5.Sin u, v> dengan - u dan
1v3 adalah cincin (potongan silinder terbuka) jari-jari R =
5 satuan berpusat di sumbu (0,0, z = v).
6). Bidang lingkaran jari-jari R berpusat di (x1,y1,z1) dan berketinggian z1:
BL(u,v) = < R. u.cos v + x1, R. u.sin v + y1, z1>.
Contoh Gambar 12.5f: BL(u,v) = < 4. u.cos v + 2, 4. u.sin v + 4, 2> dengan 0 u
1 dan 0v2 adalah bidang lingkaran berpusat di (2,4,2)
dengan jari-jari R = 4 satuan dan berketinggian z = 2 satuan.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Gambar 12.5 Contoh bentuk bola, elipsoida, silinder, dan bidang lingkaran
7). Hiperboloida (daun satu) berpusat di (x1,y1,z1):
H(u,v) = < (cos u - v.sin u) + x1, (sin u + v.cos u) + y1, v + z1 >.
Contoh Gambar 12.6a: H(u,v) = <cos u - v.sin u, sin u + v.cos u, v> dengan
0u2 dan -5 v 5.
-2
0
2
4
0
2
4
6
0
2
4
6
-2
0
2
4
0
2
4
6
-2
0
2
4-2
0
2
4
0
1
2
-2
0
2
4
-20
24
0
2
4
6
0
2.5
5
7.5
0
2
4
6
-2-1
01
2
-2
-1
0
1
2
4
6
8
-2
-1
0
1
2
-5
-2.5
0
2.5
5-5
-2.5
0
2.5
5
11.5
22.5
3
-5
-2.5
0
2.5
5
-2
0
2
4
60
2
4
6
8
0
1
2
3
4
-2
0
2
4
6
Bagian I
177
Contoh Gambar 12.6b: H(u,v) = <cos u - v.sin u, sin u+v.cos u, v> dengan 0u2
dan -1v1.
8). Katenoida berpusat di (x1,y1,z1):
KT(u,v) = < R.cos u.cosh v, R.sin u.cosh v, 4. v > .
Contoh Gambar12.6c: KT(u,v) = <0.3.cos u.cosh v, 0.3.sin u.cosh v, 4.v> dengan
batas 0 u 2 dan -5 v 5.
9). Paraboloida: P(u,v) = < R. v.cos u + x1, R. v.sin u + y1, R1.v2 + z1>.
Contoh Gambar 12.6d: P(u,v) = <v.cos u, v.sin u+4, 0.4 v2 > dengan batas
0u2 dan -5 v 5.
Contoh Gambar12.6e: P(u,v) = <v.cos u, v.sin u+4, - 0.4 v 2> dengan batas
0u2 dan -5 v -2.5.
(a) (b) (c)
(d) (e)
Gambar 12.6 Contoh bentuk hiperboloida, katenoida, dan paraboloida
10). Kerucut: K(u,v) = < R. v.cos u + x1, R . v.sin u + y1, R1. v + z1>.
-5
-2.5
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
-1-0.5
00.5
1
-5
-2.5
0
2.5
5
-50
5
-5
0
5
-20
-10
0
10
20
-5
0
5
-5-2.5
02.5
5
0
2.5
57.5
0
2.5
5
7.5
10
-5-2.5
02.5
5
0
2.5
57.5
-5
-2.5
0
2.5
5
0
2.5
5
7.5
-10
-8
-6
-4
-5
-2.5
0
2.5
5
0
2.5
5
7.5
Beberapa bentuk system koordinat
1
7
8 Contoh Gambar 12.7a: K(u,v) = <v.cos u, v.sin u + 4, v> dengan batas 0 u 2 dan
-5 v 5.
11). Torus: T(u,v) = < (R.cos u + x1).cos v, (R.cos u + y1).sin v, R.sin v + z1>.
Contoh Gambar 12.7b: T(u,v) = <(2.cos u+5).cos v, (2.cos u +5).sin v, 2.Sin v>
dengan batas 0 u 2 dan - v .
12). Pseudo-bola: PB(u,v) = < R/v.cos u, R/v.sin u, R1. v >.
Contoh Gambar 12.7c: PB(u,v) = <10/v . cos u, 10/v. sin u, 8.v> dengan
batas - u dan - 1 v -5.
Contoh Gambar12.7d: PB(u,v) = <10/v . cos u, 0/v . sin u, 8.v> dengan
batas - u dan 1 v 4.
(a) (b) (c) (d)
(e) (f) (g)
Gambar 12.7 Contoh kerucut, torus, pseudo-bola, dan hasil pemodelan benda
-5
-2.5
0
2.5
5
0
2.5
5
7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
0
2.5
5
7.5
-5
0
5
-5 0 5-2-1012
-2-1012
-10-5
05
10
-10
-5
0
5
10
-40
-30
-20
-10
-10
-5
0
5
10
-10-5
05
10
-10
-5
0
5
10
10
20
30
-10
-5
0
5
10
-4 -2 0 2 4 -4-2
024
-5
0
5
10
-4 -2 0 2 4
-5 -2.5 0 2.5 5
-5-2.502.55
0
5
10
15
20
-5 -2.5 0 2.5 5
-5-2.502.55
-10 0 10
-5
0
5
0
5
10
15
-10 0 10
-5
0
5
Bagian I
179
BAB 13
BEBERAPA CONTOH
PEMODELAN PERMUKAAN
Pada Bab 11 dan Bab 12 telah diperkenalkan tentang sifat-sifat lokal
kurva/permukaan dan beberapa bentuk penyajian kurva/permukaan yang sering
digunakan dalam rancang bangun benda berbantu komputer. Namur pada
prakteknya, terkadang pemanfaatan kurva/permukaan tersebut tidak dapat
optimal untuk operasi desain benda, disebabkan beberapa alasan berikut.
Pertama, sering didapatkan kondisi lokal permukaan benda yang didesain tidak
kompatibel/cocok dengan penyajian kurva/permukaan yang telah tersedia, oleh
sebab itu diperlukan perlakukan tambahan untuk menanganinya. Sebagai
contoh, penyajian permukaan Bezier dan B-Splin secara umum merupakan
permukaan kompleks, jika benda yang dimodelisasi ternyata berpermukaan
sederhana seperti pelat, maka diperlukan studi agar permukaan tersebut
memenuhi kondisi pelat. Kedua, bentuk benda yang didesain secara topologis
terkadang juga bervariasi, misalnya ada yang kompleks, simetris, sebangun,
ataupun proposional terhadap komponen-komponennya, sehingga untuk
mendesain benda, ada yang perlu dicacah terlebih dahulu permukaan benda
sampai sekecil-kecilnya dan ada pula yang cukup dibangun sebagian
permukaannya kemudian direfleksi/dirotasi untuk mendapatkan kesimetrian
bentuk benda. Dari uraian dimaksud, pada bagian ini kita perkenalkan beberapa
contoh membangun suatu bentuk/model permukaan benda melalui proses
pemutaran ataupun melalui batasan tertentu yang diberikan (Kusno 2002,
2006-2007 dan Rusli 2006).
13.1 Permukaan Putar Tegak dan Miring Bezier
a. Konstruksi Permukaan Putar Tegak
Kita tuliskan kembali rumus umum kurva Bezier derajat n pada bagian
12.2 ke dalam bentuk
C(u) = )(0
uB n
i
n
i
i
P (13.1)
Beberapa bentuk system koordinat
1
8
0
dengan 0 u 1 sedangkan inn
i
n
i uuCuB .)1()( 1 dan .)!(!
!
ini
nCn
i
Selanjutnya, jika C(u) terletak di bidang meridian dan diputar terhadap suatu
sumbu putar g yang tidak memotong kurva tersebut, maka akan didapat
permukaan putar Bezier. Dalam hal khusus, jika C(u) berbentuk kurva
kuadratik, kubik dan kuartik, umumnya masing-masing akan menghasilkan
permukaan putar dengan satu, dua dan tiga kecekungan/kecembungan
permukaan (Gambar 13.1d).
(a). Kuadratik Bezier (b). Kubik Bezier (c). Kuartik Bezier
(d) Contoh permukaan putar kuadratik, kubik dan kuartik Bezier
Gambar 13.1 Contoh profil benda putar dibangkitkan oleh kurva Bezier
g
P4 P3
P2
P2
P0
P0
P2
P1
P0
g g
Bagian I
181
Apabila Cx(u), Cy(u), Cz(u) menyatakan komponen-komponen skalar dari
kurva generatris Bezier C(u) di bidang meridian XOZ, maka permukaan putar
bersumbu putar OZ dibangkitkan oleh kurva C(u) dapat diformulasikan sebagai
S(u,v) = < Cx(u) Cos v, Cx(u) Sin v, Cz(u) > (13.2)
dengan 0 u 1 dan 0 v 2.
b. Konstruksi Permukaan Putar Miring Bezier
Konstruksi permukaan putar dengan sumbu putar miring, dapat
didefinisikan dengan singkat melalui masalah berikut. Diketahui segmen garis
AB dan suatu vektor satuan u1 AB di bidang (meridian) . Persoalannya
adalah mendapatkan permukaan putar Bezier miring yang dibangun melalui
pemutaran kurva Bezier C(u) AB = berderajat n di bidang terhadap
sumbu putar garis AB (Gambar 13.2a).
Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, digunakan beberapa tahapan
hitung praktis sebagai berikut (contoh hasilnya terlihat pada Gambar
13.2b,c,d,e):
1. Tentukan vektor satuan segmen AB , yaitu u2, kemudian hitung vektor u3 =
u1u2.
2. Tentukan titik-titik kontrol [P0, P1, P2,..., Pn] kurva Bezier C(u) dari
kombinasi linier vektor-vektor satuan u1 dan u2, kemudian formulasikan
kurva C(u).
3. Sepanjang kurva C(u), dari titik batas awal kurva R sampai dengan titik
batas akhir S, hitung panjang jari-jari r(u) untuk permukaan putar yang
dibangun oleh perubahan jarak titik X di C(u) ke titik proyeksinya X’ di
garis AB , yaitu panjang segmen XX ' .
4. Konstruksi permukaan putar yang didefinikan dari vektor posisi titik A,
vektor AX’ dan suatu vektor yang ditentukan oleh perubahan jari-jari putar
r(u), vektor satuan u1 dan u3, yaitu:
S(u,v) = <xA,yA,zA> + AX’ + r(u) [Cos v u3 + Sin v u1].
Beberapa bentuk system koordinat
1
8
2
a)
(b) (c) (d) (e)
Gambar 13.2 Konstruksi permukaan putar miring Bezier
13.2 Permukaan Geser Bezier
Untuk mendapatkan komponen benda yang simetris, dapat
menggunakan permukaan geser. Permukaan geser S(u,v) secara umum
terbangun dari kurva C2(v) (sebagai generatris) digeser menyentuh sepanjang
r(u)
u2
S
R
X X’
B
C(u)
u1
u3
A
R’
S’
Bagian I
183
kurva C1(u) sebagai direktrisnya (Gambar 13.3a). Dalam hal khusus, jika kurva
C2(v) berupa kurva Bezier derajat n terletak di bidang dan C1(u) berupa
segmen PQ , maka permukaan geser yang terbentuk dengan titik pangkal
relatif terhadap P dapat dinyatakan dalam persamaan
S(u,v) = [u.Q + (1-u).P] + ( )(0
vBn
i
n
i
i
P - OP ) (13.3)
dengan 0 u,v 1. Beberapa contoh dari permukaan geser persamaan (13.3)
yang terdefinisi dari bentuk kurva kuartik Bezier dapat dilihat pada Gambar
13.3c.
(a) (b)
P
Q
P4
P3
P2
P1
C1(u) C1(u)
C2(v) C2(v)
P0
Beberapa bentuk system koordinat
1
8
4
(c)
(d)
Gambar 13.3 Beberapa contoh permukaan geser Bezier
Permukaan putar memiliki sumbu simetri pada sumbu putarnya,
sehingga benda putar yang terbentuk nampak menjadi lebih indah dan simetris.
Permukaan geser persamaan (13.3) dapat digunakan untuk membangun
permukaan simetris melalui cara berikut. Pertama, kurva C2(v) dipilih dari jenis
kurva dengan orientasi arah kurva tetap. Kedua, melalui operasi refleksi kurva
P
Q
P
Q
Q
P
Bagian I
185
C2(v), dibangun kurva C3(v) simetri terhadap kurva C2(v) dan kemudian
masing-masing kurva digeser menyentuh segmen persekutuan PQ . Dalam hal
yang lebih umum, jika PQ diganti dari bentuk kurva bidang, contoh hasilnya
terlihat pada Gambar 13.3d.
13.3 Permukaan Putar Terdefinisi dari Kurva Kondisi Batas
Pada bagian ini kita bahas permukaan putar tebangun dari pemutaran
kurva yang terdefinisi oleh suatu kondisi batas. Untuk itu, secara berurutan,
kita formulasikan bentuk-bentuk permukaan putar dari pemutaran kurva
kuadratik, dan bentuk kubik berikut.
a). Permukaan Putar Kuadratik
Misalkan kurva parametrik kuadratik dalam bentuk
p(u) = a2 u2 + a1 u + ao (13.4)
dengan 0 u 1 dan a2, a1, ao merupakan vektor dari koefisien-koefisien
bentuk aljabar persamaan (13.4). Turunannya terhadap variabel parameter u
adalah
pu(u) = 2 a2 u + a1. (13.5)
Jika kurva (13.4) diberikan kondisi batas
p(0) = ao (13.6)
p(1) = a2 + a1 + ao (13.7)
pu(1) = 2 a2 + a1, (13.8)
maka nilai a2, a1, ao dari sistem adalah
a2 = pu(1) - p(1) + p(0), (13.9)
a1 = 2 p(1) - pu(1) – 2 p(0) (13.10)
ao = p(0). (13.11)
Beberapa bentuk system koordinat
1
8
6 Bila selanjutnya nilai-nilai pada bentuk (13.11), (13.10) dan (13.9) kita
substitusikan ke persamaan (13.4), maka akan diperoleh kurva kuadratik dalam
bentuk
p(u) = p(0) (1 - 2u + u2) + p(1) (2u - u2) + pu(1) (-u + u2). (13.12)
Untuk penyederhanaan penulisan, jika harga
K1(u) = (1 - 2u + u2); K2(u) = (2u - u2); K3(u) = (-u + u2),
maka persamaan (13.12) dapat dinyatakan sebagai
p(u) = p(0) K1(u) + p(1) K2(u) + pu(1) K3(u). (13.13)
Dalam hal ini, p(0) dan p(1) merupakan titik kontrol (geometrik) bentuk kurva
yang dapat dipandang sebagai titik biasa di R2 atau di R3, sedangkan pu(1)
merupakan vektor singgung kurva di p(1). Adapun K1(u), K2(u) dan K3(u)
disebut fungsi-fungsi basis kurva p(u).
Di lain hal, jika kondisi (13.6), (13.7) dan (13.8) untuk kurva
persamaan (11) digantikan oleh syarat batas
p(0) = ao; p(1) = a2 + a1 + ao; pu(0) = a1,
maka diperoleh bentuk persamaan kurva kuadratik
p(u) = p(0) N1(u) + p(1) N2(u) + pu(0) N3(u) (13.14)
dengan N1(u) = (1 - u2); N2(u) = u2 N3(u) = (u - u2).
Oleh karena itu dalam kasus kurva ruang, untuk membangun bentuk
kurva kuadratik persamaan (13.13) ataupun persamaan (13.14), prosedurnya
berikut ini. Pertama, tetapkan dua titik batas kurva di (xo,yo,zo) dan (x1,y1,z1)
untuk menentukan vektor posisi p(0) = <xo,yo,zo> dan p(1) = <x1,y1,z1>.
Kedua, tetapkan vektor singgung pu(1) untuk menentukan bentuk kurva
persamaan (13.13) dan menetapkan vektor singgung pu(0) untuk menentukan
bentuk kurva persamaan (13.14). Selanjutnya, kurva persamaan (13.13) dan
Bagian I
187
(13.14) dapat direalisasikan. Dari kedua bentuk persamaan kurva tersebut,
selanjutnya dapat kita konstruksi permukaan putar kuadratik berikut.
Pandanglah ruang vektor ortonormal [O,i,j,k] dan padanya melekat
suatu koordinat Cartesius tegak lurus [O,X,Y,Z]. Tetapkan sumbu OZ sebagai
sumbu putar dan kurva bentuk persamaan (13.13) terletak pada bidang
meridian XOZ. Permukaan putar hasil pemutaran kurva (13.13), dapat
dirumuskan dalam bentuk
P(u,v) = < px(u) Cos v, px(u) Sin v, pz(u) > (13.15)
untuk 0 u 1 dan 0 v 2 dengan px(u) dan pz(u) merupakan fungsi skalar
dari komponen-komponen p(u) di bidang XOZ.
Untuk contoh validasi, tetapkan titik batas kurva putarnya di (1,0,1)
dan (2,0,6). Selanjutnya, kita simulasikan masing-masing grafik permukaan
putar dari perputaran kurva persamaan (13.13) dan persamaan (13.14) masing-
masing seperti dalam Gambar 13.4a dan Gambar 13.4b dengan memilih
terlebih dahulu vektor pu(1) dan pu(0) secara berbeda.
(a)
pu(1) = <2,0,-2> pu(1) = <5,0,0>
pu(1) = <5,0,5>
Beberapa bentuk system koordinat
1
8
8
(b)
Gambar 13.4 Permukaan putar kuadratik kondisi batas di pu(1) dan pu(0)
b). Permukaan Putar Kubik
Misalkan kurva parametrik kubik dalam bentuk kondisi batas Hermit
seperti disajikan dalam bagian 12.1 berikut
q(u) = q(0) H1(u) + q(1) H2(u) + qu(0) H3(u) + qu(1) H4(u) (13.16)
dengan
H1(u) = 2u3 – 3 u2 + 1; H2(u) = -2u3 + 3 u2;
H3(u) = u3 - 2u2 + u; H4(u) = u3 – u2.
Jadi dalam membangun kurva kubik Hermit, kita diberi 4 (empat) fasilitas
untuk memodelisasi bentuk kurva tersebut, yaitu dalam hal memilih posisi titik
batas awal kurva q(0) dan akhir q(1) serta dalam hal pemilihan bentuk kurva
karena pengaruh besar dan arah vektor singgung qu(0) dan qu(1). Adapun
untuk membangun permukaan putar dari kurva Hermit, dapat kita analogkan
seperti model permukaan putar persamaan (13.15), dan contoh hasilnya seperti
terlihat dalam Gambar 13.5 berikut.
pu(0) = <5,0,-5>
pu(0) = <5,0,0>
pu(0) = <5,0,5>
Bagian I
189
Gambar 13.5 Permukaan putar kubik Hermit
13.4 Silinder Dibatasi Bidang Bujur Sangkar
Misalkan suatu keratan permukaan putar. Pada terdefinisikan
bentuk bujur sangkar ABCD yang sisi-sisinya dibatasi oleh kedua kurva batas
keratan permukaan putar tersebut dan bertitik pusat di titik P (Gambar 13.6a).
Masalahnya adalah melalui data sumbu bujur sangkar g1 tidak tegak lurus bujur
sangkar ABCD dan segmen sumbu permukaan putar EF dari benda putar ,
perlu dibangun suatu silinder berjari-jari r dalam batas sisi-sisi bujur sangkar
ABCD dengan ketentuan g1 dalam salah satu posisi berikut (Gambar 13.6b):
a). sumbu g1 berjarak sama terhadap titik tengah sisi vertikal (tegak) bujur
sangkar dan membentuk sudut terhadap bujur sangkar ABCD (Gambar
13.6c),
b). seperti (a) tetapi g1 berjarak sama terhadap titik tengah sisi horisontal bujur
sangkar ABCD (Gambar 13.6d).
p(0) = <1,0,1>, p(1) = <6,0,6>
pu(0) = <16,0,0>, pu(1) = <10,0,0>
pu(0) = <10,0,0>, pu(1) = <-10,0,10>
Beberapa bentuk system koordinat
1
9
0
(a) (b) (c)
(d) (e)
Gambar 13.6 Masalah konstruksi silinder dibatasi bidang bujusangkar miring
Sehubungan dengan dua masalah tersebut, cukup didiskusikan mencari solusi
permasalah (a) sedangkan untuk solusi masalah (b) analog dengan kasus (a).
Adapun perhitungannya sebagai berikut (Gambar 13.6c, e).
g1
S
R
P
r
T’
P’
T’’
g1
S
R
d
P
U
T
g1
D C
B A
P
g1
S
R
P
F
Q
E
g1
g
Bagian I
191
Andaikan jari-jari silinder r ditetapkan 0< r (PR Sin ) dengan 0 dan
proyeksinya pada PR diketahui PT , maka proyeksi PT pada g1 adalah d = 'PT =
CosPT . Dengan demikian panjang CosPTdUT 22" . Jika dua vektor
ortonormal [w1, w2] didefinisikan oleh
w1 = TT
TT
'
' dan w2 =
PTTT
PTTT
''
''
(13.17)
maka persamaan lingkaran berpusat di titik T’ berjari-jari r berbentuk
L(v) = ][' 21 vSinvCosrOT WW (13.18)
dengan 0 v 2. Jadi silinder bersumbu PT ' dibatasi bidang bujur sangkar ABCD
dapat dinyatakan sebagai
S(u,v) = ])...[)(1()(. 2 vSinrvCosPTOPuvu WL (13.19)
dengan 0 u 1 dan 0 v 2. Contoh hasil formulasi (13.19) diperlihatkan pada
Gambar 13.7a,b dengan mengambil posisi titik A = (1,3,3), B = (-1,3,3), C = (-
1,3,1), D = (1,3,1), titik Q di garis g1 sebagai Q = (0,0,0) dan r diambil bervariasi.
(a) (b) (c)
Gambar 13.7 Masalah konstruksi silinder dibatasi bidang bujusangkar miring
r =0,5
r = 0,8
Beberapa bentuk system koordinat
1
9
2 Dari uraian tersebut, maka prosedur konstruksi silinder yang salah satu
kurva batasnya dalam bujursangkar ABCD dapat disimpulkan sebagai berikut:
a. menentukan pusat bujur sangkar P dan menetapkan sumbu silinder g1
melalui P,
b. menghitung sudut kemiringan 0 yang dibentuk antara g1 terhadap
bujursangkar ABCD, yaitu = ( 1, gPR ),
c. menentukan jari-jari silinder r PR.Sin dan menghitung pusat alas silinder
T’g1,
d. membangun permukaan silinder dengan sumbu PT ' .
13.5 Silinder Tegak Lurus Bidang Bujur Sangkar
Diketahui bidang bujur sangkar ABCD. Titik R dan S masing-masing
merupakan titik tengah segmen AB dan BC. Masalahnya adalah membangun
silinder tinggi d, jari-jari r PR, sumbu silinder g1 melalui pusat bujur sangkar
P dan posisi sumbu g1 tegak lurus serta salah satu kurva batas terletak pada
bidang ABCD (Gambar 13.8a).
Untuk merealisasikan silinder dimaksud, prosedur konstruksi dapat
dilakukan dalam beberapa tahap berikut:
1. Menghitung pusat bidang bujur sangkar titik P;
2. Menentukan tinggi silinder d dan jari-jari r PR;
3. Menghitung vektor satuan searah PS , PR dan menentukan vektor
PRPSPQ ;
4. Konstruksi permukaan silinder dalam bentuk
S(u,v) = u.PQd.v]CosPRvCosPSr.[OP (13.20)
dengan 0 u 1 dan 0 v 2.
Adapun contoh hasil dari perlakuan (1) sampai dengan (4) diperlihatkan seperti
pada Gambar 13.8b.
Bagian I
193
a) b)
(a) (b)
Gambar 13.8 Silinder tegak lurus bidang bujursangkar
13.6 Silinder Terbatas Dua Bidang Berpotongan
Misalkan dua bidang 1 dan 2 berpotongan di garis g. Melalui Rg,
segmen RP dan RQ menentukan kaki-kaki sudut bidang dua PRQ (Gambar
13.9a). Masalahnya adalah bagaimana membangun sebuah silinder bersumbu
segmen PQ dan dibatasi oleh bidang 1 dan 2.
(a) (b)
d
S
R
C
B
D
A
P
r
T
R
S
P U Q
g
1
2 R
P
Q
Beberapa bentuk system koordinat
1
9
4
(c) (d)
Gambar 13.9 Silinder terbatas dua bidang bepotongan
Untuk solusi dari permasalahan tersebut, dijelaskan dalam beberapa
tahapan perlakukan berikut (Gambar 13.9b):
1. Menetapkan data titik segitiga PQR dan harga dalam selang 0 < 1;
2. Menentukan posisi titik S dan T masing-masing pada segmen PR dan RQ
melalui harga interpolasi dan (1-);
3. Hitung vektor proyeksi satuan PS terhadap PQ , didapat PU
u ;
4. Hitung vektor satuan US , yaitu US
u , r = |US | dan vektor u = PU
u US
u ,
5. Formulasikan ellips berpusat di P dan Q masing-masing sebagai:
E1(v) = OP + ( PS Cos v + r. u. Sin v),
E2(v) = OQ + ( QT Cos v + r. u. Sin v)
dengan 0 v 2 ;
6. Konstruksi silinder terbatas dua bidang berpotongan dalam bentuk (Gambar
13.9c,d)
S(u,v) = u E1(v) + (1-u) E2(v) (13.21)
dengan 0 u 1 dan 0 v 2.
= 0.7
= 0.2
Bagian I
195
13.7 Silinder Terbatas Dua Bidang Sejajar
Misalkan dua bidang 1//2 dan dua titik P, Q masing-masing terletak
di bidang 1 dan 2. Masalahnya adalah bagaimana membangun sebuah
silinder bersumbu PQ dibatasi oleh bidang 1 dan 2 (Gambar 13.10).
Dengan menetapkan titik R2 sehingga PRQR , dapat digunakan
solusi seperti permasalahan di bagian 13.6 kecuali langkah (5), elips E1(v) dan
E2(v) berbentuk
E1(v) = OP + ( PS Cos v + r. u. Sin v),
E2(v) = OQ + ( PS Cos v + r. u. Sin v)
dengan 0 v 2.
Gambar 13.10 Silinder terbatas dua bidang sejajar
R
Q
P
Beberapa bentuk system koordinat
1
9
6 BAB 14
BEBERAPA TEKNIK RANCANG BANGUN BENDA
Untuk mendapatkan sebuah model obyek (benda) melalui penyajian
kurva dan permukaan, dapat digunakan beberapa teknik konstruksi ataupun
cukup dengan satu teknik saja melalui bantuan operasi geometrik sederhana.
Namun demikian dalam prakteknya, teknik-teknik konstruksi yang sering
dipakai dan diaplikasikan dalam modelisasi obyek adalah teknik penggabungan
kurva (permukaan), teknik interpolasi linier dua kurva, interseksi kurva
(permukaan), teknik konstruksi permukaan evolutif dan benda putar, serta
teknik konstruksi kurva dan permukaan paralel. Untuk itu pada bab ini kita
uraikan garis besar cara kerja dari beberapa teknik dimaksud.
14.1 Teknik Penggabungan Kurva dan Permukaan
Pada prinsipnya permukaan setiap obyek dapat dipandang sebagai
gabungan (kumpulan) beberapa segmen kurva atau kepingan permukaan. Oleh
sebab itu untuk mendapatkan suatu model obyek, dapat dilakukan dengan cara
menggabung beberapa segmen kurva ataupun permukaan (Gambar 14.1b).
Khususnya bila obyek tersebut permukaannya kompleks, perlakuan
penggabungannya diperlukan kecukupan segmen kurva (permukaan) agar
dalam perhitungannya diperoleh ketelitian yang tinggi. Selain itu, kondisi batas
antara dua kurva dan permukaan yang tergabung perlu diperhitungkan guna
mendapatkan cukup kekontinyuan (kontinyu order satu atau order dua)
sehingga semua permukaan benda yang terbangun diperoleh mulus.
Sehubungan dengan perlakukan kekontinyuan pengabungan dua
segmen kurva dan permukaan ini, kita bedakan pengertian kontinyu parametrik
dan geometrik. Pada pengertian pertama, visualisasi penggabungan tergantung
pada perubahan parameter, sedangkan pada kontinyu geometrik bebas dari
segala perubahan parameter. Adapun untuk memahami perbedaan dari kedua
kekontinyuan kurva secara ekspresi matematis, dapat diketahui melalui 2 (dua)
formulasi berikut (deRose 1988, Du 1988, Kusno 1998):
a). misalkan t I, u I1 dan I = I1 = [0,1]. Dua kurva parametrik X1(t) dan
X2(u) di R3 klas Cn bergabung kontinyu parametrik order n pada titik P, jika
Bagian I
197
turunan ke n pertama parameter dari X1(n)
(1) dan X2(n)(0) adalah sama,
yaitu:
X1(i)(1) = X2
(i)(0) = P
untuk i = 0, ... , n (Gambar 14.1a).
b). misalkan t I, u I1 dan I = I1 = [0,1]. Dua kurva parametrik (I, X1) dan
(I1, X2) di R3 klas Cn disebut bergabung kontinyu geometrik order n pada
titik P, jika ada ekivalen klas Cn dalam bentuk ^X1 dari X1 sehingga ^X1(1) = X2(0) = P.
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 14.1 Gabungan kurva dan permukaan
Untuk menggabung dua permukaan parametrik, prinsipnya sama
dengan gabungan antara dua kurva. Dalam hal ini, misalkan terdapat dua
kepingan permukaan S1(u,v) dan S2(u,v) dengan 0u,v1, maka
P
X (t)
X (u)
1
2
SS S
S1
2 34
P
P
O
L
A B
X (t) 1
X (u) 2
S (u,v) 1
S (u,v) 2
B
P Q
o
u
v
C1 C2
R
Beberapa bentuk system koordinat
1
9
8 kekontinyuan geometrik oder 0, 1 dan 2, yaitu CG0, CG1 dan CG2
sepanjang kurva interseksi bersama (v) = S1(1,v) = S2(0,v) dapat
dikarakterisasi sebagai:
a). kedua keping kontinyu C0
bergabung CG0
, jika keduanya mendukung kurva
bersama (v);
b). dua kurva kontinyu C1 bergabung CG1, jika selain CG0, setiap titik
sepanjang kurva bersama (v), bidang singgungnya berimpit: Det (S1u(1,v),
S2u(0,v), v(v)) = 0;
c). dua keping permukaan S1(u,v) dan S2(u,v) kontinyu C2 bergabung CG2, jika
selain kontinyu CG1 antara kedua keping permukaan, kelengkungan dan
arah prinsipalnya identik sepanjang (u). Dengan kata lain, jika kedua
keping permukaan memiliki bentuk paraboloida oskulator sama di semua
titik sepanjang (u), yaitu:
(E x2 + 2 F xy + G y2)1 = (E x2 + 2 F xy + G y2)2
dengan x dan y koordinat lokal titik, sedangkan E, F dan G koefisien gauss
II.
Apabila kedua kurva (permukaan) yang tersambung bentuknya tidak
kompleks, kita dapat menggunakan teknik menggelindingkan lingkaran (bola)
pada kedua kurva atau permukaan yang tersambung tersebut untuk
mengevaluasi kekontinyuan di titik persambungannya. Pada Gambar 14.1c,
untuk mendapatkan kekontinyuan di titik sambungan P, kita potong busur AP
dan PB masing-masing dari kurva bidang X1 dan X2, digantikan busur AB dari
lingkaran L berjari-jari OA = OB. Pada Gambar 14.1d, untuk mendapatkan
kekontinyuan di titik P sepanjang kurva interseksi , kita potong busur kurva
pada arah parameter u, yaitu RP dan PQ masing-masing dari kurva C1 di
S1(u,v) dan C2 di S2(u,v), diganti dengan busur RQ dari bola B berjari-jari OR =
OQ.
14.2 Teknik Interpolasi Linier Dua Kurva
Karena alasan ukuran obyek atau permukaannya berkelengkungan
kecil, seringkali untuk mendapatkan bentuk obyek, kita perlu mencacah
terlebih dahulu obyek tersebut dengan sekumpulan bidang kearah vertikal,
horisontal atau miring agar didapatkan sejumlah kurva yang dapat
Bagian I
199
mendefinisikan permukaan obyek. Selanjutnya dari pasangan-pasangan berurut
kurva pembangunnya, kita rekonstruksi permukaan obyek tersebut melalui
teknik interpolasi linier. Dalam hal ini, setiap pasangan kurva tersebut
dibangkitkan permukaan garis yang secara matematis didefinisikan melalui
bentuk natural berikut. Permukaan garis S(u,v) dibangkitkan oleh dua kurva
parametrik C1(u) dan C
2(u) kelas Cn1 adalah permukaan terparametrisasi
(Gambar 14. 2)
S(u,v) = C1(u) + v g(u) dengan g(u) = C
2(u) - C
1(u)
atau
S(u,v) = (1-v) C1(u) + v C2(u)
dimana a u b dan c v d.
(a) (b)
Gambar 14.2 Permukaan hasil interpolasi linier dua kurva
14.3 Teknik Interseksi
Untuk membangun permukaan obyek, dapat didefinisikan melalui data
titik atau kurva dari hasil interseksi (potongan) antara benda-benda geometrik
standar, misalnya lingkaran, parabola, kerucut, tabung, bola dan sebagainya.
Pada Gambar 14.3a, obyek tersebut dapat didefinisikan melalui interpolasi
linier antara kurva interseksi Tabung-1 dan Tabung-2 pada sudut potong 45o
dengan kurva-kurva batas lain kedua tabung tersebut. Selanjutnya Gambar
4.3b, melalui permukaan blending (perekat) yang didefinisikan oleh interpolasi
kuadratik antara dua kurva disisi berbeda dari kurva interseksi Tabung-1 dan
x
S(u,v)
C (u)
C (u)1
2
(1 - v)
v
.
u
v
Beberapa bentuk system koordinat
2
0
0 tabung-2 , dapat kita rekatkan kedua potongan tabung tersebut menjadi sebuah
bentuk obyek baru. Demikian juga untuk obyek berpermukaan kompleks,
sangat mungkin kita peroleh dari teknik interseksi kurva dan permukaan dari
penyajian bentuk implisit, eksplisit atau parametrik.
(a) (b)
Gambar 14.3 Interseksi dua tabung
Secara umum problem interseksi kurva dan permukaan dapat
diselesaikan dengan teknik solusi pendekatan diskret atau aljabar. Pada solusi
diskret, perhitungannya dilakukan dengan cara mensubdivisi (mencacah) dua
obyek yang berinterseksi menjadi beberapa potongan sub-obyek, kemudian
mencari sub-potongan yang berinterseksi. Proses subdivisi ini dihentikan, jika
kondisi error yang ditetapkan telah terpenuhi. Pada pendekatan aljabar,
masalah yang harus diselesaikan umumnya non-linier, sehingga persolannya
berupa
Problem: Min
(.)
dengan dan (.) masing-masing menyatakan vektor error dan variabel
parametrik yang dilibatkan.
14.4 Teknik Konstruksi Permukaan Pipa Evolutif dan Benda Putar
Untuk membangkitkan obyek evolutif berupa tabung dengan jari-jari
tidak konstan dan sumbu berbentuk kurva, dapat dijelaskan sebagai berikut
(Leon, 1991). Pertama, berangkat dari kurva C(t), di titik awal C(to) dapatkan
kurva (lingkaran) Lo terletak di bidang (bo,no) yang dibangun oleh vektor
TABUNG-1
TABUNG-2
Interseksi
TABUNG-1
TABUNG-2
BLENDING
Bagian I
201
binormal dan normal kurval C(t). Selanjutnya, dari kurva Lo, lingkaran
digerakkan sepanjang kurva C(t) secara tegaklurus terhadap vektor
singgungnya t sehingga mencapai titik akhir C(tn) dengan kurva Ln di bidang
(bn,nn). Dengan demikian di setiap titik C(ti), kita dapatkan kurva lingkaran Li
di bidang (bi,ni). Selanjutnya, dari himpunan kurva Li, permukaan evolutif
secara umum dapat berbentuk pipa (Gambar 14.4).
Gambar 14.4 Permukaan pipa evolutif
Pada prinsipnya, benda putar kompleks dapat kita bangun melalui
kurva bidang (sebagai generatrik) yang diperoleh dari gabungan kurva
potongan kerucut diputar terhadap sumbu putarnya. Jika kurva generatriknya
tunggal, kita dapat merumuskannya dalam bentuk parametrik berikut
R (u,v) = [p(u) Cos v] i + [p(u) Sin v] j + z(u) k
dengan z(u) kita tetapkan sebagai sumbu putar (tegak).
Gambar 14.5 Benda putar
Kurva Generatrik
Sumbu Putar
Lo
C(t)
C(to)
bo
to
no
nn
tn
bn
Ln
C(tn)
Beberapa bentuk system koordinat
2
0
2 14.5 Teknik Konstruksi Kurva dan Permukaan Paralel
Dalam rancang bangun obyek, terkadang kita perlu memperhitungkan
ketebalan obyek. Jika obyek terdefinisi dari kurva atau permukaan, maka untuk
mendapatkan permukaan dalamnya (luarnya) berketebalan , diperlukan
penggeseran (offset) terhadap kurva atau permukaan luarnya (dalamnya)
sebesar , searah vektor normal dalam (luar) kurva sehingga kurva atau
permukaan asal dan hasil geserannya saling paralel. Untuk jelasnya, kita
uraikan sebagai berikut.
a. Kurva dan Permukaan Paralel
Pada kasus kurva bidang, kurva paralel hasil geseran C(t) dapat
dibangun oleh sebuah kurva awal C0(t) sejauh menurut bentuk matematis
berikut
C (t) = Co(t) + no(t)
dengan no dari panjang aljabar no = 1. Dalam hal kurva asal C0(t)
terdapat titik singuler P, kurva C(t) disekitar P dapat ditentukan melalui busur
lingkaran berjari-jari yang di gelidingkan dengan pusat kurva Co(t) seperti
pada Gambar 14.6.
Pada kasus kurva ruang, untuk b, n dan t masing-masing menyatakan
vektor binormal, normal prinsipal dan vektor tangen kurva awal Co(s), kurva
paralel C(s,) berjarak dalam kerangka Frenet kearah t, dapat ditentukan
melalui bentuk
C(s,) = Co(s) + [n Cos + b Sin ]
dengan adalah parameter konstan atau fungsi dari s.
Pada kasus permukaan, suatu permukaan paralel S(u,v) dibangun
melalui permukaan awal S(u,v) dengan jarak dapat ditentukan oleh
S(u,v) = S
(u,v) + n
0(u,v).
Bila vektor normal n o, bidang singgung suatu titik P
di S
(u,v) dapat
ditentukan melalui bidang singgung titik pasangannya Po di S
(u,v) dari bentuk
Bagian I
203
Su
= Su
+ nou
dan
Sv
= Sov
+ nov ,
sedangkan normalnya: n = [S
u S
v].
b. Aproksimasi dengan Poligon
Jika kurva atau permukaan awal dibangkitkan oleh poligon karakteristik,
misalnya kurva dan permukaan Bezier, maka untuk mendapatkan kurva atau
permukaan paralelnya, dapat kita aproksimasi melalui offset poligon
karakteristiknya. Ide dasarnya adalah sebagai berikut. Pertama, misal
(P0,P1,...,Pn) sebuah poligon karakteristik dari kurva awal Co(t) berderajat n.
Dengan mengkombinasikan antara teknik subdivisi (mencacah) dan
transformasi segmen poligon, kita bangun sebuah poligon karakteristik baru
(qo, q1,..., qn) sehingga sisi-sisinya yang bersesuaian berjarak terhadap
poligon lama. Kemudian kita bangun kurva C(t) melalui (qo, q1,..., qn).
(a) (b)
Gambar 14.6 Kurva Bezier paralel dan posisi titik singuler P
Kurva Awal
Kurva Paralel
Kurva Paralel
P
Titik Singuler
Arah geseran
Beberapa bentuk system koordinat
2
0
4 14.6 Optimasi Rancang Bangun Benda
Beberapa teknik konstruksi permukaan obyek (benda) dengan kurva
dan permukaan telah diperkenalkan. Pertanyaan selanjutnya yang perlu
didiskusikan adalah bagaimana kita memilih teknik-teknik konstruksi tersebut
agar dalam merealisasikan obyek, hasilnya sesuai dengan yang diharapkan.
Jelasnya, bagaimana mendapatkan obyek agar tidak hanya kondisi geometrik
permukaannya saja yang dipenuhi, yaitu mulus dan alaminya obyek, tetapi juga
dalam proses perancangannya diharapkan sederhana, efisien serta mudah
dilaksanakan.
Secara natural, umumnya permukaan setiap obyek terkomposisi dari
permukaan sederhana sampai dengan kompleks. Sedangkan komponen-
komponennya, dapat terbangun dari permukaan tunggal ataupun jamak,
misalnya dari gabungan permukaan benda-benda geometrik standar seperti
halnya bola, tabung, ellipsoida ataupun hiperboloida. Selain itu karena
pengaruh dimensi dan ketebalan obyek, maka kelengkungan permukaannya
dapat bervariatif dari kecil sampai yang besar. Oleh sebab itu agar pemilihan
penggunaan teknik-teknik kostruksi tersebut dapat optimal dan sesuai dengan
yang kita harapkan, maka dalam aplikasinya disarankan perlu memperhatikan
prosedur konstruksi obyek berikut ini.
a) Dekomposisi obyek yang akan dibangun menjadi beberapa komponen
obyek. Kemudian untuk masing-masing komponen obyek tersebut,
permukaannya didekomposisi lagi menjadi beberapa kepingan permukaan
sehinggga setiap kepingan memungkinkan untuk dilakukan modifiksi
(contoh Gambar 14.1a, 14.3a dan 14.3b). Sedangkan data untuk
membangun kepingan tersebut dapat dibangkitkan melalui beberapa titik
atau kurva hasil interseksi dari beberapa kepingan permukaan.
b) Lakukan perlakukan konstruksi keping dan antar keping guna membangun
permukaan komponen-komponen obyek. Dalam hal ini dapat dipilih teknik
penggabungan permukaan kontinyu geometrik order 1, jika komponen
obyek yang dihasilkan diharapkan mulus order 1 atau digunakan teknik
interpolasi linier dua kurva, jika permukaan yang terbangun tidak perlu
kompleks. Demikian juga untuk teknik-teknik yang lain dapat diterapkan
menurut bentuk komponen obyek yang akan kita konstruksi. Tujuan dari
perlakuan per keping ini tidak hanya untuk memudahkan operasi teknik
penggabungan, interseksi ataupun teknik lainnya, tetapi juga memungkinkan
Bagian I
205
untuk membangkitkan parameter lokal guna membantu memudahkan proses
kreasi dan modifikasi bentuk obyek.
c) Rekonstruksi masing-masing keping permukaan dari setiap komponen-
komponen obyek pada perlakuan (b) agar didapat bentuk permukaan obyek
secara penuh. Jika terdapat suatu komponen obyek yang belum sempurna,
maka pada bagian tersebut dapat diulang menurut teknik konstruksi yang
dipilih.
BAGIAN III
BEBERAPA CONTOH RISET
BIDANG PEMODELAN BENDA-BENDA INDUSTRI
BAB 15
PEMODELAN PERMUKAAN PELAT
Permukaan pelat secara matematis mempunyai keistimewaan dapat dibeber ke
bidang secara isometrik tanpa ditarik maupun ditekan seperti halnya pelat. Oleh karena
itu studi tentang permukaan pelat dipandang penting untuk aplikasi industri-industri
berbasis logam pelat atau lembaran pelat, yaitu industri kapal laut, pesawat, kereta api
ataupun industri automotif (Faux 1987, Frey 1993, dan Elber 1995).
Bagian-bagian permukaan pesawat dan kapal secara umum berupa permukaan
kompleks dan tidak dapat hanya dinyatakan dalam satu keping permukaan pelat. Oleh
sebab itu agar pengoperasian pelat cepat dan mudah dilaksanakan, maka perlu
dilakukan pendeteksi dan lokalisasi bagian-bagian pelat dan bukan pelat dari
permukaan obyek tersebut agar masing-masing jenis permukaan dimaksud dapat
diperlakukan secara tersendiri. Jelasnya, jika permukaan obyek umumnya terdefinisi
dari permukaan garis R(u,v) didukung oleh dua kurva bidang [1(u), 2(u)] masing-
masing terletak di bidang 1 sejajar 2, maka masalah yang perlu dicari solusinya
adalah mencari kepingan permukaan Si(u,v) yang bersifat pelat atau hampir pelat
sebagai aproksimasi Ri(u,v) dalam batas error yang kita tentukan (Kusno, 1998,
2003). Dari permasalahan ini, berikut kita bahas tentang membangun permukaan pelat
dengan sejumlah data yang telah diketahui dan beberapa kondisi yang ditetapkan
tersebut.
15.1 Permukaan Pelat Bezier Reguler Terdukung Dua Bidang Sejajar
Definisi 15.1: Permukaan garis S(u,v) dari kelas Cn1 adalah semua permukaan
terparametrisasi
(u,v) I x R f(u) + v g(u)
dengan f : I R3 dan g: I R3 dari kelas Cn atas I dan o g(I). Pasangan
(I,f) disebut kurva direktrik dan g(u) berupa garis disebut generatrik.
Definisi 15.2: Permukaan garis S(u,v) = f(u) + v g(u) adalah permukaan pelat jika
semua u I, ketiga vektor [g'(u),f'(u),g(u)] sebidang, yaitu terdapat
skalar unik (u) dan (u) sehingga g'(u) = (u) f'(u) + (u) g(u).
Permodelan Permukaan Pelat
218
Gambar 15.1 Permukaan pelat
Definisi 15.3: Keping pelat Bezier adalah permukaan pelat yang dibangun oleh dua
kurva Bezier C1(u) dan C2(u) dalam penyajian:
S(u,v) = C1(u) + v g(u) dengan g(u) = C2(u) - C1(u)
atau juga
S(u,v) = (1-v) C1(u) + v C2(u) (15.1)
dimana 0 u,v 1. Berdasarkan pada definisi 15.2, maka dapat disimpulkan bahwa
keping permukaan garis Bezier S(u,v) adalah pelat jika ketiga vektor g'(u), C1'(u) dan
g(u) sebidang, yaitu jika terdapat skalar real (u) dan (u) sehingga
g'(u) = (u) C1'(u) + (u) g(u)
atau
C2'(u) = [1 + (u)] C1'(u) + (u) g(u)
= (u) C1'(u) + (u) g(u).
Dari ketiga definisi tersebut, misalkan kurva Bezier C1(u) dan C2(u) berderajat
[n,n+k] dari klas Cn
dengan n1 dalam bentuk
)()(0
1 uu Bn
i
n
ii
pC
dan
)()(0
2 uu Bkn
i
kn
ii
qC
S(u,v)
Bagian III
219
dengan 0 u 1. Jika C1(u) dan C
2(u) disyaratkan masing-masing terletak pada bidang
sejajar [1,2], maka kondisi pelat S(u,v) dapat disederhanakan menjadi (Kusno,
1998)
C2'(u) = (u) C
1'(u). (15.2)
Adapun untuk kondisi keregulerannya, selanjutnya dapat kita manfaatkan studi dari
Frey (1993) dan dapat kita nyatakan bahwa agar keping Bezier S(u,v) yang dibangun
oleh dua kurva [C1(u), C
2(u)] masing-masing terletak pada dua bidang sejajar [1,2]
adalah reguler, maka pemilihan (u) pada kondisi C2'(u) = (u) C
1'(u) harus (u) >
0.
15.2 Keping Pelat Bezier Kurva Batas Derajat [n, n+k]
Andaikan R(u,v) diketahui sebagai keping permukaan garis Bezier yang
dibangun oleh dua kurva Bezier C1(u) dan C
2(u) seperti dinyatakan dalam penyajian
(13.1). Tetapkan, pertama, kurva tersebut terletak masing-masing pada dua bidang
sejajar berbeda [1,2]. Kedua, kurva C1(u) diketahui semua titik kontrolnya,
sedangkan kurva C2(u) hanya titik kontrol pertama q
o dan terakhir q
n+k saja yang
diketahui. Masalahnya adalah mencari permukaan pelat Bezier S(u,v) yang dibangun
atas dasar data dimaksud (Gambar 15.2). Dalam hal ini secara umum permukaan
yang dicari hasilnya akan berupa keluarga dari permukaan pelat Bezier yang
memenuhi kondisi tersebut.
Gambar 15.2 Problem penyajian keping pelat bezier
Y
Z
1
2
q
qo
X
.
.
C (u)1
C (u)2
n+k
p
p
p
p
p
o
1
i
n-1
n
. . . . ..
Permodelan Permukaan Pelat
220
Andaikan dari persamaan (15.2), kita tentukan skalar (u) dalam bentuk
penyajian kubik (u) = [o (1-u) + 3 1 (1-u)2 u + 3 2 (1-u) u2 + 3 u] > 0 dan
kedua kurva batasnya berbentuk
C1(u) =
3
0
3
iii Bp (u); C
2(u) =
6
0
6
iii Bq (u),
maka dengan menggunakan prinsip identitas [(1 – u) + u = 1] dan
a). (1-u) Bii
i
33
0
a (u) = Bii
i
i 44
0
)4
4(
a (u) (15.3a)
b). u Bii
i
33
0
a (u) = Bii
i
i 44
01
)4
(
a (u) (15.3b)
c). (1-u)2 u Bii
i
33
0
a (u) = Bii
i
iii 66
01120
))(6)(5(
a (u) (15.3c)
d). u (1-u)2 Bii
i
33
0
a (u) = Bii
i
iii 66
02120
))(1)(6(
a (u) (15.3d)
kondisi pelat (15.2) dapat dinyatakan sebagai (Kusno 1998 dan 2002)
5
0i120 (qi – qi+1) + o [(3-i).(4-i).(5-i)].(pi+1 – pi) +
o [2(4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2)] +
3 1 (4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + 3 2 (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2) +
3 [(4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + 2 (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2)] +
3 [(i-2).(i-1).(i)].(pi-2 - pi-3) Bi
5
(u) = o. (15.4)
Karena Bi
5
(u) tidak nol untuk i = 0,...,5, maka Bi
5
(u) membentuk ruang polinom
derajat 5. Oleh sebab itu pada setiap suku bentuk (15.4), yang ada dalam kurung
kurawal adalah nol dan diperoleh persamaan-persamaan
[120.(qi – qi+1) + o [(3-i).(4-i).(5-i)].(pi+1 – pi) +
o [2(4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2)] +
Bagian III
221
3 1 (4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + 3 2 (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2) +
3 [(4-i).(5-i).(i).(pi – pi-1) + 2 (5-i).(i-1).(i).(pi-1 – pi-2)] +
3 [(i-2).(i-1).(i)].(pi-2 – pi-3)] = o (15.5)
untuk i = 0, 1, …, 5.
Selanjutnya jika kita menjumlahkan sistem persamaan (15.5), maka akan
diperoleh persamaan titik berat poligon Bezier kurva C1(u) dalam bentuk:
o ( p - po ) +
3 ( p3 - p ) = [(q
6 - q
o) -
1 v1 -
2 v2] (15.6)
dengan
p = 4
1
3
0i
pi
v1 =
3
1
)5)(4(40
1
i
iii ( pi – pi-1)
v2 =
5
2
)1)(5(40
1
i
iii ( pi-1 – pi-2).
Jika kita pilih titik-titik kontrol pi untuk i = 0, ..., 3 di bidang 1 dan dua titik kontrol
qo dan q
5 pada bidang 2 sebagai datanya, maka keping pelat Bezier berkurva batas
derajat 3 dan 6 masing-masing terletak pada bidang sejajar [1, 1], dapat
direalisasikan sebagai berikut:
a). menetapkan harga 1 dan 2 pada persamaan (15.6), kemudian menghitung harga
o, 3 dan (u). Jika didapat (u) > 0, kita lanjutkan perhitungan (b), jika tidak, kita
ulang perlakukan (a).
b). menyelesaikan persamaan (15.5) untuk mendapatkan titik-titik kontrol qi dengan i
= 1,...,5 selanjutnya mengkonstruksi permukaan.
Untuk validasi prosedur konstruksi ini, contoh hasilnya dapat dilihat pada Gambar 1
dan Gambar 2.
Permodelan Permukaan Pelat
222
(a)
(b)
Gambar 15.3 Keping pelat Bezier [3,6] dan contoh aplikasinya
Dengan menggunakan metode yang sama, kita pilih selanjutnya kasus lebih
umum untuk kurva batas berderajat n dan n+k dengan n, k 1 berikut. Tetapkan kurva
C1(u), C2(u) dan skalar real (u) derajat k dalam bentuk
C1(u) =
n
i
n
ii Bp0
(u)
C2(u) =
kn
i
kn
ii Bq0
(u)
(u) = [o (1-u) +i
k
1
1
i i
k
B (u) + k u] > 0 (15.7)
Kondisi pelat persamaan (15.2) dapat kita nyatakan sebagai
C2'(u) = [o (1-u) +
i
k
1
1
i i
k
B (u) + k u ] C1'(u) (15.8)
Dengan menggunakan identitas (Du 1988)
CBDR[(3,6),1]
1
2
Pelat kapal
Bagian III
223
(1-u)k1 uk2 i
n
0
ai i
n
B (u) = i
n k k
0
1 2
N N
D
1 2. ai-k2 i
n k k
B 1 2
(u)
dengan
N1 = (n + k2 +1 -i) (n + k2 + 2 -i) ... (n + k2 + k1 -i) jika k1 1, jika tidak N1 = 1
N2 = (i - k2 + 1) (i - k2 + 2) ... (i) jika k2 1, jika tidak N2 = 1
D = (n + 1) (n + 2) ... (n + k1 + k2) jika k1 + k2 1, jika tidak D = 1
dan kemudian membawa ke bentuk seperti persamaan (15.4), maka dari persamaan
(15.8) didapat persamaan-persamaan titik kontrol sebagai berikut:
(n+1)(n+2)...(n+k) (qi – qi+1) + o (n-i).(n+1-i)...(n-1+k-i).(pi+1 - pi) +
o [ 1
1k
C
(n+1-i).(n+2-i)...(n+(k-1)-i).i.(pi – pi-1) + .......... +
k
k
C
1
1
(n-1+k-i).(i-(k-1)+1)...(i-1).i.(pi-(k-2) – pi-(k-1) )] +
[1 1
k
C (n+1-i).(n+2-i)...(n+(k-1)-i).i.(pi-pi-1) +
...................................................................... +
k-1 k
k
C 1(n-1+k-i).(i-(k-1)+1)...(i-1).i.(pi-(k-2)- pi-(k-1))] +
k [ 0
1k
C
(n+1-i).(n+2-i)...(n+(k-1)-i).i.(pi – pi-1) + ........... +
k
k
C
2
1
(n-1+k-i).(i-(k-1)+1)...(i-1).i.(pi-(k-2)- pi-(k-1))] +
k (i-k+1).(i-k+2)...(i-1).i.(p
i-(k-1) – p
i-k) = o (15.9)
untuk i = 0, ..., (n+k-1) dan k 1. Dengan melalui perhitungan yang panjang, kita
dapatkan persamaan titik berat poligon Bezier kurva C1(u) dalam bentuk
o ( p - p
o ) + k ( pn
- p ) = [(qm - q
o) -
i
k
1
1
i vi] (15.10)
dengan
Permodelan Permukaan Pelat
224
p = 1
1n i
n
0
pi
v1 = 1
1 2
k
Cn n n k( )( )...( )
i
n
1
(n+1-i).(n+2-i)...(n+(k-1)-i).i.(pi - pi-1)
v2 = 2
1 2
k
Cn n n k( )( )...( )
i
n
2
1
(n+2-i).(n+3-i)...(n+1+(k-2)-i).(i-1).i.(pi-1- pi-2)
...............................................................................................................................
vk-1 = k
k
Cn n n k
1
1 2( )( )...( ) i k
n k
( )
( ) ( )
1
1 1
(n-1+k-i).(i-(k-1)+1)...(i-1).i.(pi-(k-2) – pi-(k-1)).
Oleh karena itu untuk membangun keping pelat Bezier reguler dari kurva batas derajat
n dan n+k pada bidang sejajar [1, 1], dapat dilakukan sebagai berikut:
a) menetapkan titik-titik kontrol pi dengan i = 0, ..., n pada bidang 1 dan dua titik
kontrol qo dan q
n+k pada bidang 2;
b) menetapkan i dengan i = 1, …, (k-1) kemudian menghitung o dan k persamaan
(15.10). Jika didapat (u)>0, dilanjutkan perhitungan (c), jika tidak, diulang
perlakuan (b);
c) dengan persamaan (15.9), menghitung qi dengan i = 1,...,n + (k-1).
15.3 Pembeberan Permukaan Pelat
Telah diketahui bahwa dalam perancangan kapal umumnya permukaan kapal
terdefinisi dari deretan permukaan garis yang terbangun dari dua kurva batas di bidang
sejajar (Gambar 15.4). Jika masing-masing kepingan deretan permukaan garis tersebut
telah kita lakukan pendeteksian sifat yang pelat dan bukan pelat, maka persolan
berikutnya adalah bagaimana kepingan-kepingan yang bersifat pelat itu dapat terbeber
ke bidang sehingga ukuran dan bentuknya dapat diketahui di bidang. Dengan demikian
selanjutnya pemotongan pelat dapat dilakukan secara otomatis oleh robot. Berikut kita
berikan beberapa hasil riset untuk pembeberan permukaan pelat di dari ruang ke
bidang.
Bagian III
225
Gambar 15.4 Masalah pembeberan deretan permukaan garis
a. Pembeberan Permukaan Pelat Karakter Bidang
Pandang potongan bidang dibatasi oleh segitiga ABC dengan vektor AB dan
AC membentuk sudut xo di ruang ortonormal [O,i,j,k]. Masalahnya adalah
membeber bidang ABC ke bidang ortonormal [O,i,j] dengan vektor '' BA (sebagai
beberan sisi AB dari segitiga ABC) melekat pada vektor satuan a1 (Gambar 15.5a).
Beberan permukaan pelat
Kepingan S1 di bidang beberan
Surfas Garis
S1
S2
Si
Sn
C1(u)
C2(u).
. .. . .
. .
...
Permukaan garis
Permodelan Permukaan Pelat
226
(a) (b) (c)
Gambar 15.5 Pembeberan potongan bidang bentuk segitiga
Prosedur pembeberan permukaan jenis ini ke bidang ortonormal [O,i,j] dapat
dilakukan sebagai berikut.
1). Tetapkan vektor '' BA = AB a1, dan hitung vektor satuan a2 a1
2). Hitung ukuran sudut x = arc Cos [ ACABACAB ./. ]
3). Menetapkan '''' CAOAOC
'OC = <xA’, yA’> + ( AC .Cos xo) a1 + ( AC . Sin xo) a2
(15.11)
4). Kontruksi bidang beberan bentuk segitiga A’B’C’ di bidang ortonormal [O,i,j].
Pandang potongan bidang dibatasi oleh poligon konveks segi-n dengan titik-
titik sudutnya diketahui P0, P1, P2, .., Pn di ruang ortonormal [O,i,j,k] seperti pada
Gambar 15.6. Pembeberan potongan bidang tersebut ke bidang ortonormal [O,i,j]
dapat dilakukan sebagai berikut:
k
j
j
i
i
a1
a2
C
B
A xo
C’
B’
A’
xo
Bagian III
227
1). Tentukan titik awal beberan Q0 dan dua vektor satuan saling tegak lurus a1 a2.
2). Tentukan titik beberan Q1 peta dari P1 sehingga 1010 PPQQ a1.
3). Hitung panjang di = 10 iPP dengan i = 1, 2, 3,...,(n-1)
dan ukuran sudut i = uP1P0Pi+1 dengan i = 1, 2, 3,...,(n-1).
4). Tentukan posisi titik Qi+1 dengan i = 1, 2, 3,...,(n-1) di bidang [O,i,j]
sebagai peta P2, P3, P4,..., Pn melalui perhitungan
][ 21010 aa iiii SinCosdOQQQ .
5). Kontruksi bidang beberan Q0Q1Q2... Qn di bidang ortonormal [O,i,j].
Gambar 15.6 Pembeberan potongan bidang bentuk poligon konveks
Secara umum untuk kasus pembeberan bidang segitiga, misalkan diberikan
barisan n potongan bidang bentuk segitiga di ruang didefinisikan oleh n+2 titik P1, P2,
P3, ..., P(n+2). Maka pembeberan barisan potongan bidang P1P2P3, P2P3P4, ... ,
PnP(n+1)P(n+2) ke bidang [O,i,j] dapat dilakukan secara berurutan melalui teknik hitung
persamaan (15.11) untuk masing-masing bidang tersebut. Contoh hasilnya terlihat
dalam Gambar 15.7.
Po P1
P2
P3
Pn
Permodelan Permukaan Pelat
228
Gambar 15.7 Pembeberan barisan bidang bentuk segitiga
b. Pembeberan Permukaan Pelat Silinder dan Kerucut
Andaikan suatu permukaan silinder atau kerucut S(u,v) = (1-v) C1(u) + v
C2(u) dengan ketinggian alas bawah dan atas masing-masing zC1 dan zC2, sedangkan
kurva batas C1(u) dan C2(u) masing-masing berupa lingkaran berjari-jari r1 dan r2
berbentuk
C1(u) = < r1 Cos u, r1 Sin u, zC1>
dan
C2(u) = < r2 Cos u, r2 Sin u, zC2>
dengan interval parametrik 0 v 1 dan 0 u 2 seperti pada Gambar 15.8.
Pembeberan permukaan S(u,v) dari ruang ke bidang [O,i,j] dapat dilakukan sebagai
berikut:
1). Tetapkan (n +1) harga parameter ui = (1/n).(i-1).( 2 ) dengan i = 1, 2, 3, ..., (n+1)
untuk menentukan 2n barisan potongan bidang berbentuk segitiga P1Q1P2,
P2Q1Q2, P2Q2P3, ..., P1Q(n+1)Q1 dengan Pi didefinisikan melalui C1(ui) dan Qi
didefinisikan dari C2(ui).
2). Hitung panjang ii PQ , 1iiPQ dan 1iiQQ serta ukuran pasangan sudut
1 iii PQP dan 11 iii QQP untuk i = 1, 2, 3, ...,n.
3). Di bidang [O,i,j], tetapkan titik pangkal beberan S1 dan vektor satuan saling tegak
lurus a1 a2. Dengan menggunakan bentuk persamaan (15.11) untuk pembeberan
bidang bentuk segitiga dan titik pangkal S1, beber ke bidang secara berurut
masing-masing potongan bidang segitiga P1Q1P2, P2Q1Q2, P2Q2P3,..., P1Q(n+1)Q1
Bagian III
229
untuk mendapatkan permukaan beberan R1S1R2, R2S1S2, R2S2R3, ..., R(n+1)SnS(n+1) di
bidang.
(a) (b)
(c)
Gambar 15.8 Contoh visual pembeberan permukaan silinder/kerucut ke bidang
c. Pembeberan Permukaan Pelat Terdukung Dua Kurva Batas
Q
2
C1(u)
C2(u)
P(n+1)
Q(n+1
)
P2 P1
Q
1
i
R
3
S2
S1
R
2
R
1
j
Permodelan Permukaan Pelat
230
Weiss (1988), dalam hal pembeberan permukaan pelat
S(u,v) berbentuk kombinasi linier dua kurva batas 1(u) dan
2(u), memberi
prosedur sebagai berikut:
menumerisasi masing-masing kurva batas 1(u) dan 2(u) dengan poligon p dan q
(Gambar 15.9a) dan kesalahan aproksimasi <.
setiap titik P(i) atas kurva batas 1(u) dan titik Q(i) atas kurva batas 2(u)
dengan harga i = 1, ..., n, evaluasi:
a). panjang [P(i-1)P(i)], [P(i)Q(i)], dan [P(i)P(i+1)],
b). sudut A(i) = Q(i)P(i)P(i+1) dan B(i) = P(i-1)P(i)Q(i),
hitung posisi titik terbeber P(i)d dan Q(i)d di bidang pembeberan U-V menurut
bentuk (Gambar 15.9b):
UP(i) = [P(i-1)P(i)] . Cos[G(i-1)], VP(i) = [P(i-1)P(i)] . Sin[G(i-1)],
UQ(i) = [P(i)Q(i)] . Cos[F(i)], VQ(i) = [P(i)Q(i)] . Sin[F(i)],
dimana:
F(1) = 0; G(0) = 0;
F(i) = - G(i-1) - B(i)
dan G(i) = F(i) + A(i),
bangun kembali permukaan terbeber di bidang U-V.
(a) (b)
P
P
P
P
P
P
Q
Q
Q
Q
Q
U
V
A
A
A
AB
B
B
(i)(i)
(i)(i)
p q (i)
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)F
G
(i-1)
(i-1)(i-1)
(i-1)
(1) (1)
d
d d
d
d(i+1)(i+1)
(i+1)(i+1)
(u)(u)1 2
Bagian III
231
(c) Contoh pembeberan permukaan pelat Bezier ke bidang
Gambar 15.9 Membeber permukaan pelat terdukung dua kurva batas
CBDR[(3,4),1]
CBDR[(3,6),1]
Permukaan pelat Permukaan pelat
Permodelan Permukaan Pelat
232
BAB 16
PEMODELAN BENDA PUTAR
Benda putar umumnya sangat diminati oleh banyak orang, sebab tampilan
benda putar umunya menarik dan indah. Hal ini dikarenakan secara geometris bentuk
benda putar bersifat tegak dan simetris sehingga tampak setimbang dan proporsional.
Oleh karena itu, banyak kalangan industri menggunakan pengemas barang
produksinya dengan model benda putar agar pemasaran hasil produksinya semakin
kompetitif. Mengingat besarnya manfaat benda putar dimaksud dalam dunia industri,
pada bab ini dibahas tentang garis besar membangun dan memodifikasi lokal
permukaan putar, menggabung dan memodifikasi kontinyu permukaan putar Bezier,
beserta aplikasinya. Uraian detailnya sebagai berikut (Kusno, 2007).
16.1 Modifikasi Bentuk Kurva dan Permukaan Putar Kuadratik Bezier
Misalkan kurva kuadratik Bezier dinyatakan dalam bentuk
C2(u) = )(22
0
uBi
i
i
P (16.1)
dengan 0u 1, maka turunan pertama C2’(0) = 2(P1-P0) dan C2’(1) = 2(P2-P1).
Pandang pada poligon Bezier [P0,P1,P2] titik kontrol antara W21, W22 dan W23 masing-
masing didefinisikan oleh hubungan
W21 = 21 P1 + (1- 21) P0 (16.2)
W22 = 22 P2 + (1- 22) P1
W23 = 23 W22 + (1- 23) W21
dengan 0 21, 22, 23 1 dan 21, 22, 23 ditetapkan (Gambar 16.1).
Gambar 16.1 Pendefinisian titik kontrol interpolasi kurva kuadratik
P2
C2(u)
W23 W22
W21
P1
P0
Bagian III
233
Dengan titik-titik kontrol poligon Bezier baru = [P0, W21, W23, W22, P2]
dapat dimodifikasi model kurva kuadratik Bezier C2(u) menjadi kurva kuartik Bezier
C4(u) dalam poligon berbentuk
C4(u) = P0 (1-u)4 + 4 W21 (1-u)3.u + 6 W23 (1-u)2.u2 +
4 W22 (1-u).u3 + P2 u4 (16.3)
dengan 0 u 1. Diketahui turunan pertama C4’(0) dan C4’(1) masing-masing
diberikan oleh
C4’(0) = 4 (W21 - P0) = 4 210WP (16.4)
C4’(1) = 4 (P2 - W22) = 4 222PW .
Karena titik W2110 PP dan W22
21PP , maka 10210 // PPWP dan
21122 // PPPW .
Hal ini berarti bahwa arah kecekungan (kecembungan) kurva C2(u) dan C4(u) pada
harga u = 0 dan u = 1 dari kedua kurva adalah sama, sedangkan untuk mengubah
bentuk kurva C2(u) sepanjang harga 0< u <1, dapat ditentukan melalui pemilihan
harga 21, 22 dan 23 (Gambar 16.2)
(a) Kurva awal (b) Permukaan hasil pemutaran kurva (a)
(c) Harga 21=0,2; 22=0,5 dan 23=0,2 (d) Permukaan hasil pemutaran kurva (c)
Permodelan Permukaan Pelat
234
(e) Harga 21=0,9; 22=0,5 dan 23=0,6 (f) Permukaan hasil pemutaran kurva (e)
Gambar 16.2 Beberapa contoh modifikasi bentuk kurva kuadratik bezier
Dalam persamaan (16.2), diberikan kebebasan pemilihan 3 (tiga) parameter
untuk memodifikasi bentuk kurva C2(u). Seperti diperlihatkan dalam Gambar 16.2,
dari kurva awal (Gambar 16.2a) dapat dimodifikasi ke bentuk kurva baru
berketinggian dibawah/diatas kurva awal (Gambar 16.2c,e). Akibatnya, permukaan
putar yang terbentuk (Gambar 16.2d,f) berbeda dengan permukaan putar awal
(Gambar 16.2b).
16.2 Modifikasi Bentuk Kurva dan Permukaan Putar Kubik Bezier
Pandang kurva kubik Bezier
C3(u) = )(33
0
uBi
i
i
P (16.5)
dengan 0 u 1 dan data titik kontrol [P0,P1,P2,P3] ditetapkan. Misalkan titik-titik
kontrol antara W31, W32 dan W33 didefinisikan sebagai
W31 = 31 P1 + (1- 31) P0 (16.6)
W32 = 32 P1 + (1- 32) P2
W33 = 33 P3 + (1- 33) P2
dengan 031, 32, 33 1 dan harga 31, 32, 33 dipilih terlebih dahulu (Gambar 16.3).
Bagian III
235
Gambar 16.3 Pendefinisian titik kontrol interpolasi kurva kubik
Analog kasus modifikasi kurva kuadratik Bezier ke kurva kuartik, maka
melalui titik-titik kontrol poligon baru [P0, W31, W32, W33, P3] dapat dilakukan
pemodelan kurva kubik Bezier C3(u) dengan kurva kuartik Bezier C4(u) dalam
bentuk
C4(u) = P0 (1-u)4 + 4 W31 (1-u)3.u + 6 W32 (1-u)2.u2 +
4 W33 (1-u).u3 + P2 u4 (16.7)
dengan 0 u 1. Dalam hal ini perubahan bentuk kurva C3(u) oleh kurva C4(u)
mutlak dipengaruhi oleh letak pergeseran titik-titik kontrol W31, W32 dan W33 di
sepanjang masing-masing sisi poligon Bezier [P0,P1,P2,P3] dari kurva kubik. Hasil
beberapa pemilihan parameter 31, 32, 33 dan aplikasinya diperlihatkan dalam
Gambar 16.4-5.
(a) Kurva awal (b) Permukaan hasil pemutaran kurva (a)
C3(u) W33
W32
W31
P3
P2
P1
P0
Permodelan Permukaan Pelat
236
(c). Harga 31=0,5; 32=0,5 dan 33=0,7 (d) Permukaan hasil pemutaran kurva (c)
(g) Harga 31=0,9; 32=0,5 dan 33=0,2 h). Permukaan hasil pemutaran kurva (e)
Gambar 16.4 Beberapa contoh modifikasi bentuk kurva kubik Bezier
(a) (b) (c)
Gambar 16.5 Beberapa contoh hasil modifikasi permukaan putar kubik Bezier
Dari beberapa formula permukaan putar beserta teknik pemodifikasian bentuk
kurva Bezier yang telah dikenalkan, selanjutnya perlu diaplikasikan untuk modelisasi
Bagian III
237
beragam bentuk komponen benda putar. untuk itu dalam studi selanjutnya, dibahas
tentang teknik penggabungan (pemasangan) dua permukaan putar Bezier berdekatan
kontinyu parametrik order dua. Uraian detailnya sebagi berikut.
16.3 Penggabungan Dua Permukaan Putar Bezier
Misalkan dua permukaan putar S1(u,v) dan S2(u,v) memiliki sumbu putar g
dan orientasi arah kurva sama, masing-masing pada bidang meridian dibangkitkan
oleh kurva generatris C1(u) dan C2(u). Masalahnya adalah menggabung kontinyu
parametrik kedua permukaan S1(u,v) dan S2(u,v) sepanjang kurva persekutuannya
(Gambar 16.6). Dalam hal ini pemilihan S1(u,v) dan S2(u,v) dapat berupa permukaan
putar natural, bentuk standar (berupa potongan bola, ellipsoida, paraboloida,
hiperboloida, silinder dan kerucut) ataupun dari permukaan putar Bezier.
Gambar 16.6 Problem penggabungan dua permukaan putar
Jika pada permukaan tersebut masing-masing parameter u dan v terdefinisi
dalam selang u0u u1 dan 0v2, maka untuk mendapatkan kekontinyuan
parametrik sepanjang kurva persekutuan lingkaran harus dipenuhi kondisi berikut.
1. Kontinyu order nol, apabila dipenuhi
S2(u0,v) = S1(u1,v) atau C2(u0) = C1(u1). (16.8a)
2. Kontinyu order 1, apabila selain kontinyu order nol dipenuhi
S2u(u0,v) = 1 S1
u(u1,v) atau C2’(u0) = 1 C1
’(u1) (16.8b)
S2(u,v)
C2(u)
C1(u)
S1(u,v)
g
Permodelan Permukaan Pelat
238
dengan 1 suatu konstanta.
3. Kontinyu order 2, apabila selain kontinyu order satu dipenuhi
S2uu(u0,v) = 2 S1
uu(u1,v) atau C2’’(u0) = 2 C1
’’(u1) (16.8c)
dengan 2 suatu konstanta.
Karena alasan aplikasi, misalkan S1(u,v) berupa permukaan putar kubik Bezier
dan S2(u,v) merupakan permukaan standar paraboloida dengan sumbu OZ sebagai
sumbu simetri/putarnya, masing-masing dalam bentuk
S1(u,v) = < )(33
0
uBi
i
xi
P . Cos v, )(33
0
uBi
i
xi
P Sin v, )(33
0
uBi
i
zi
P > (16.9)
dengan 0 u 1 dan 0 v 2 dan
S2(u,v) = < r. u. Cos v, r. u. Sin v, u2> (16.10)
dengan r > 0 konstan, a u b dan 0 v 2.
Di bidang meridian XOZ, untuk mendapatkan kontinyu
a. Order nol, cukup dipenuhi
C2(a) = C1(1), artinya Px3 = r.a dan Pz3 = a2;
b. Order satu, jika dipenuhi juga
C2’(a) = 1 C1
’(1), yaitu r = 1(Px3 - Px2) dan 2a = 1(Pz3 – Pz2) ;
c. Order dua, jika selain order satu dipenuhi juga
C1’’(a) = 2 C2
’’(1) artinya 2 = 2 (Pz3 –2Pz2 + Pz1).
Untuk persamaan (16.9) dan (16.10) misalkan dipilih titik-titik kontrol
P0 =<6,0,-4>, P1 =<0,0,-2>, P2=<2,0,0> dan P3=<4,0,4>,
sedangkan r = 2, a = 2 dan b = 3. Jika dievaluasi maka didapatkan (Gambar 16.7a,b,c)
a). kondisi order nol terpenuhi, sebab Px3 = 4 = r.a dan Pz3 = 4 = a2;
b). kondisi order satu terpenuhi, karena r = 2 = 1(4 – 2) dan 2a = 4 = 1(4 – 0);
c). kondisi order dua terpenuhi, karena 2 = 2 (Pz3 –2Pz2 + Pz1) = 2 (4 –2.0 – 2).
Bagian III
239
Gambar 16.7 Contoh penggabungan permukaan putar Bezier dengan paraboloida
Dalam hal persamaan (16.10) berbentuk permukaan putar kubik Bezier dalam
interval 0 u 1 dan 0 v 2 berikut
S2(u,v) = < )(33
0
uBi
i
xi
Q . Cos v, )(33
0
uBi
i
xi
Q Sin v, )(33
0
uBi
i
zi
Q > (16.11)
maka untuk mendapatkan kontinyu parametrik di bidang meridian XOZ antara
permukaan putar S1(u,v) dan S2(u,v) dipersyaratkan:
(a) Permukaan putar kubik Bezier
(c) Beberapa posisi pandang permukaan (b)
(b) Gabungan permukaan putar kubik Bezier
dengan paraboloida
Permodelan Permukaan Pelat
240
a. Order nol, cukup dipenuhi
C2(0) = C1(1), artinya [Qx0]2 = [Px3]1 dan [Qz3]2 = [Pz3]1; (16.12a)
b. Order satu, jika dipenuhi juga (contoh aplikasi dalam Gambar 16.8)
C2’(0) = 1 C1
’(1), yaitu [Qx1 - Qx0]2 = 1[Px3 - Px2]1 (16.12b)
dan [Qz1 – Qz0]2 = 1[Pz3 – Pz2]1;
c. Order dua, jika selain order satu dipenuhi juga
C1’’(0) = 2 C2
’’(1) artinya [Qx2 –2Qx1 + Qx0]2 = 2 [Px3 –2Px2 + Px1]1 (16.12c)
dan [Qz2 –2Qz1 + Qz0]2 = 2 [Pz3 –2Pz2 + Pz1]1.
Gambar 16.8 Contoh penggabungan kontinyu parametrik order satu
Kurva
(a) Penggabungan dua permukaan putar kubik Bezier
(b) Penggabungan tiga dan empat permukaan putar kubik Bezier
Bagian III
241
Dalam kasus yang lebih umum dari generatris kurva kubik Bezier persamaan
(12) dan (14), apabila masing-masing dari bentuk
S1(u,v) = < )(0
uB n
i
n
i
xi
P . Cos v, )(0
uB n
i
n
i
xi
P Sin v, )(0
uB n
i
n
i
zi
P > (16.13)
S2(u,v) = < )(0
uBn
i
n
i
xi
Q . Cos v, )(0
uBn
i
n
i
xi
Q Sin v, )(0
uB n
i
n
i
zi
Q > (16.14)
dengan 0 u 1 dan 0 v 2, maka untuk mendapatkan kontinyu parametrik di
bidang meridian XOZ antara permukaan putar Bezier S1(u,v) dan S2(u,v) syarat yang
harus dipenuhi adalah
a. Order nol:
[Qx0]2 = [Pxn]1 dan [Pz3]2 = [Qzn]1;
b. Order satu, jika dipenuhi juga:
[Px1 - Px0]2 = 1[Qxn - Qx(n-1)]1 dan [Pz1 – Pz0]2 = 1[Qzn – Qz(n-1)]1;
c. Order dua, jika selain order satu dipenuhi juga:
[Px2 –2Px1 + Px0]2 = 2 [Qxn –2Qx(n-1) + Qx(n-2)]1
dan
[Pz2 –2Pz1 + Pz0]2 = 2 [Qzn –2Qz(n-1) + Qz(n-2)]1.
16.4 Modifikasi Kontinyu Gabungan Permukaan Putar Bezier
Misalkan dua permukaan putar kubik Bezier bentuk (16.9) dan (16.11). Di
bidang meridian XOZ, masing-masing permukaan memiliki kurva generatris
C1(u) = )(33
0
uBi
i
i
P (16.15a)
dan
C2(u) = )(33
0
uBi
i
i
Q (16.15b)
termodifikasi oleh kurva kuartik formula (16.7) dan (16.6) masing-masing ke dalam
bentuk
C41(u) = P0 (1-u)4 + 4 W311 (1-u)3.u + 6 W321 (1-u)2.u2 +
4 W331 (1-u).u3 + P3 u4 (16.16)
Permodelan Permukaan Pelat
242
C42(u) = Q0 (1-u)4 + 4 W312 (1-u)3.u + 6 W322 (1-u)2.u2 +
4 W332 (1-u).u3 + Q3 u4 (16.17)
dengan 0 u 1. Masalahnya adalah, apabila kedua kurva C1(u) dan C2(u) bergabung
kontinyu parametrik order dua di bidang meridian XOZ, bagaimana melakukan
modifikasi kontinyu pasangan titik-titik kontrol [W311, W321, W331] dan [W312, W322,
W332] agar bentuk kurva C1(u) dan C2(u) berubah tetapi pada titik gabungannya tetap
memiliki tingkat kontinyuan parametrik yang sama dengan titik gabung kurva semula.
Karena kurva generatris C1(u) dan C2(u) bergabung kontinyu parametrik order
2 (dua), maka keduanya memenuhi kondisi persamaan (16.12a,b,c). Pengubahan
posisi titi-titik kontrol [W311, W321, W331] dan [W312, W322, W332] karena variasi
pemilihan parameter dalam selang 0 1, tetap menghasilkan gabungan order nol,
sebab nilai Q0 = P3 tidak berubah. Kondisi kontinyu order satu gabungan kurva awal
berbentuk (Q1-Q0) = 1(P3-P2) identik/segaris dengan (W312-Q0) = 1(P3-W331) karena
titik W312Q0Q1 dan W331P3P2. Oleh karerna itu hasil gabungan kurva kuartik Bezier
juga kontinyu parametrik order satu. Kondisi kontinyu order 2 (dua) gabungan kurva
awal berbentuk (Q2 - 2Q1-Q0) = 2 (P3-2P2-P1) dan gabungan kurva kuartik Beziet
berbentuk (W322-2W312-Q0) = 2 (P3-2W331-W321). Untuk mendapatkan gabungan
kurva kuartik Bezier kontinyu order dua, vektor pada masing-masing ruas dari kedua
persamaan terakhir dipilih sehingga satu merupakan kelipatan dari yang lain. Contoh
hasil teknik perlakukan order satu dapat dilihat pada Gambar 16.9.
Gambar 16.9 Modifikasi kontinyu gabungan permukaan putar Bezier
Gabungan
kontinyu
order satu
Gabungan
kontinyu
order nol
(a) Kurva awal (b) Kurva termodifikasi
kontinyu order satu
(c) Benda hasil modifikasi
kurva generatris tergabung
kontinyu order satu
Bagian III
243
16.5 Contoh Desain Prototype Benda Onyx dan Marmer
Dari beberapa fasilitas parameter pengubah bentuk permukaan putar Bezier
yang ada dalam formula (16.1) sampai dengan (16.17), selanjutnya dapat
dimanfaatkan untuk memodelisasi benda-benda industri karakter putar, misalnya
benda onyx dan marmer. Adapun metode perancangannya dapat menggunakan teknik
penggabungan beberapa komponen benda putar berikut. Pertama, tetapkan sumbu
putar utama benda yang akan dibangun. Kedua, konstruksi secara bertahap beberapa
potongan benda putar dalam urutan ketinggian sumbu putar naik (turun) untuk
mendefinisikan masing-masing potongan bentuk luar benda onyx (marmer) yang
diinginkan. Dalam hal ini, konstruksi komponen benda dapat hanya menggunakan satu
sumbu putar atau multi sumbu. Ketiga, evaluasi beberapa parameter dalam formula
yang telah digunakan agar penggabungan antar dua komponen benda putar yang
berdekatan didapat kontinyu parametrik dan permukaannya menjadi lebih alami.
Beberapa contoh hasil dari perlakukan ini, dapat dilihat pada Gambar 16.10 berikut.
bar 16.10 Contoh hasil simulasi desain prototype benda onyx dan marmer
(a)
(b)
Permodelan Permukaan Pelat
244
BAB 17
PEMODELAN TABUNG/PIPA EVOLUTIF
Rancang bangun jaringan pipa pada sistem aliran fluida/gas untuk
mesin ataupun industri, secara umum bentuknya berupa rangkaian pipa dengan
jari-jari konstan dan dalam melakukan operasi desain terhadap jaringan pipa
tersebut, banyak digunakan pendekatan teknik sketsa/denah ataupun wireframe
(berbentuk penyajian kurva atau garis). Dampaknya dalam desain sistem pipa
tersebut dibutuhkan waktu yang relatif lama, karena dalam visualisasinya,
perancang sulit mendeteksi dan menghindari terjadinya interseksi antar pipa
alir di ruang. Selain itu, dalam perancangan tersebut, sulit dilakukan efisiensi
dan kontrol pengaturan ruang yang dibutuhkan industri ataupun perancangan
mesin. Demikian juga terdapat kendala operasi hitung ketebalan dan volume
interior pipa guna deteksi kekuatan, keselamatan dan hitung output hasil
fabrikasi. Sehubungan dengan hal tersebut, dalam bagian ini diperkenalkan
beberapa formula geometrik untuk, pertama, mengkonstruksi secara efisien
beragam bentuk pipa evolutif (pipa dengan jari-jari tidak konstan) yang
terkontrol melalui kurva pusat pipa dan, kedua, formula untuk mendapatkan
kondisi kontinyu penggabungan dua pipa berdekatan, baik secara posisi
horisontal, vertikal, ataupun miring (Kusno, 2008). Selain itu untuk validasi
terhadap implementasi formula yang telah diperkenalkan, disajikan pula
gambar hasil simulasi dari formula dimaksud. Uraian detailnya berikut ini.
17.1 Tabung Evolutif Terdefinisi dari Kurva Bezier dan Natural
Kita definisikan kembali kurva Bezier derajat n dinyatakan dalam
bentuk parametrik:
C(u) =
n
ii
0P i
n
B (u) dan 0 u 1 (17.1a)
dengan i
n
B (u) = iinn
iuuC .)1( dan
)!(!
!
ini
nC
n
i . Dalam hal kurva
Bezier persamaan (17.1a) berbentuk kubik, maka derivasi order dua kurva
terhadap variabel parameter u dapat diuraikan sebagai berikut.
C3(u) = P0 (1 – u)3 + 3 P1 (1 – u)2.u + 3 P2 (1-u).u2 + P3 u3 (17.1b)
Bagian III
245
C3’(u) = P = 3 (P1 – P0) (1 – u)2 + 2 (P2 – P1) (1 – u).u + 3 (P3 – P2).u2 (17.1c)
C3’’(u) = Q = 6 [ (P2 – 2 P1 + P0).(1 – u) + (P3 – 2 P2 + P1).u]. (17.1d)
Oleh sebab itu jika dari bentuk (17.1c) notasi Px, Py, dan Pz masing-masing
merupakan komponen skalar untuk vektor basis i , j dan k dari vektor singgung
kurva C(u), maka diperoleh bentuk vektor singgung satuan
T(u) = C’(u) = s
uPuPuP zyx )(),(),( (17.2)
dengan s = (Px2 + Py
2 +Pz2)1/2. Penyajian vektor normal dari kurva diperoleh
N(u) = C’’(u) = .'..,'..,'..
2s
sPsQsPsQsPsQ zzyyxx (17.3)
Dengan demikian vektor binormal B(u) dari kurva C(u) dapat ditentukan
melalui perhitungan
B(u) =
222
'..'..'..
///
s
sPsQ
s
sPsQ
s
sPsQ
sPsPsP
zzyyxx
zyx
kji
. (17.4)
Berdasarkan teknik hitung penyajian bentuk trihedron kurva Bezier kubik
dalam formula (17.2), (17.3), dan (17.4) maupun untuk penyajian kurva
natural, selanjutnya dapat dilakukan evaluasi konstruksi tabung evolutif dari
beberapa jenis derajat kurva dan tipe pipa berikut.
a). Hitung tabung evolutif mono/tanpa gelembung
Andaikan kurva Bezier kuadratik
C2(u) =
2
0iiP Bi
2
(u) dan 0 u 1,
maka diperoleh:
1) Turunan pertama Bezier kuadratik
Px = 2((P1x - P0x).(1-u) + (P2x - P1x).u);
Py = 2((P1y - P0y).(1-u) + (P2y - P1y).u);
Pz = 2((P1z - P0z).(1-u) + (P2z - P1z).u);
Permodelan Permukaan Pelat
246
2) Vektor satuan singgung t dari kurva Bezier kuadratik:
tx = Px/(Px . Px + Py . Py + Pz . Pz)1/2;
ty = Py/(Px . Px + Py . Py + Pz . Pz)1/2;
tz = Pz/(Px . Px + Py . Py + Pz . Pz)1/2;
3) Vektor normal N ditentukan sebagai:
r =(Px.Px+Py.Py+Pz.Pz)1/2;
r1 =0.5.(2.Px.2.(P2x -2 P1x + P0x)+
2.Py.2.(P2y -2 P1y + P0y)+ 2.Pz. 2.(P2z -2 P1z + P0z))/r;
nx =(2.(P2x -2 P1x + P0x).r-r1.Px)/r2;
ny =(2.(P2y -2 P1y + P0y).r-r1.Py)/r2;
nz =(2.(P2z -2 P1z + P0z).r-r1.Pz)/ r2;
4) Vektor Binormal B dan panjang dari vektor N dan B dari kurva Bezier
kuadratik:
bx = -(ty . nz - ny . tz);
by = -(nx . tz - tx . nz);
bz = -(tx . ny - nx . ty);
PN = (nx2+ny
2+nz2)1/2;
PB = (bx2+by
2+bz2)1/2.
Dengan demikian tabung evolutif dari pembangkit kurva kuadratik jari-jari r
dapat dirumuskan sebagai:
T2(u,v) =
2
0iiP Bi
2
(u) + r.((N/PN).cos(v)+(B/PB).sin(v)) (17.5)
dengan 0 u 1 dan 0 v 2. Dalam kasus ini jari-jari tabung r dipilih
konstan. Jika titik-titik kontrol Bezier dipilih
P0x = -12 ; P1x = 2; P2x = 10;
P0y = 0 ; P1y = -2; P2y = 5;
P0z = 9 ; P1z = -12; P2z = 10,
maka hasilnya seperti disajikan dalam Gambar 17.1.
Bagian III
247
r = 2 r = 5
Gambar 17.1 Tabung evolutif dari kurva bezier kuadratik jari-jari konstan
Untuk kurva Bezier derajat n dengan vektor-vektor normal dan
binormalnya masing-masing adalah N dan B, maka bentuk (17.5) dapat
diperumum menjadi
Tn(u,v) =
n
ii
0P B
n
i (u) + r.(N/PN).cos(v)+(B/PB).sin(v)). (17.6)
Dengan mengambil harga n = 3 untuk persamaan (17.6), yaitu kurva Bezier
kubik, contoh hasilnya dapat dilihat dalam Gambar 17.2 berikut.
a) b)
Gambar 17.2 Tabung evolutif dari kurva bezier kubik
Permodelan Permukaan Pelat
248
b). Hitung tabung evolutif multi gelembung
Untuk mendapatkan perubahan jari-jari tabung secara terkontrol
sepanjang parameter u, dipilih r dalam persamaan (17.6) dari bentuk Bezier
kubik seperti pada persamaan (17.7a) berikut
r(u) = a.(1-u).(1-u).(1-u) + b.(3).(1-u).(1-u).u +
c.(3).(1-u).u.u + d.u.u.u (17.7a)
dengan a = 2, b = 1, c = 1 dan d =5. Hasilnya diperoleh perubahan bentuk
tabung dari Gambar 17.3a menjadi Gambar 17.3b. Sedangkan jika r dalam
bentuk kuartik
r = a.(1-u).(1-u).(1-u).(1-u) + b.(4).(1-u).(1-u).(1-u).u +
c.(6).(1-u).(1-u).u.u + d.(4).(1-u).u.u.u + e.u.u.u.u (17.7b)
dengan a = 3, b = 0.1, c = 8, d =0.1 dan e =5 didapat perubahan bentuk dari
Gambar 17.3c menjadi Gambar 17.3d.
a) b) c) d)
e) f)
Gambar 17.3 Tabung evolutif bergelembung
Bagian III
249
c). Kontruksi tabung evolutif model pilin/puntir
Dalam kontruksi tabung evolutif model pilin/puntir, dapat dilakukan
dengan pendekatan aproksimasi dan eksak. Pendekatan pertama dilakukan
melalui penentuan titik-titik kontrol sepanjang sekitar kurva pusat tabung yang
bentuknya pilin/puntir. Pendekatan kedua dilakukan dengan hitung eksak yaitu
menggunakan formula natural dari heliks dan torus serta gabungannya. Hitung
tabung evolutif untuk heliks terformulasi sebagai berikut . Andaikan kurva
heliks
CH(u) = < p.cos(u), p.sin(u), q.u>
dengan 0 u 1 dan skalar-skalar vektor singgung satuan serta normalnya
adalah
Hx = -p.sin(u)/s; Hy = p.cos(u)/s; Hz = q/s;
Kx = p.cos(u)/s; Ky = p.sin(u)/s; Kz = 0;
dengan s =(p2 + q2)1/2, maka didapat skalar untuk vektor binormalnya berupa
bx =-(Hy.Kz-Ky.Hz);
by =-(Kx.Hz-Hx.Kz);
bz =-(Hx.Ky-Kx.Hy);
dan panjang vektor normal dan binormal sebagai:
Hn = (Kx.Kx+ Ky.Ky+ Kz.Kz)1/2
Hb = (bx.bx+ by.by+ bz.bz)1/2.
Oleh karena itu formula untuk tabung pilin yang terkonstruksi dari kurva heliks
dapat dinyatakan sebagai
TL(u,v):= <p.cos(u)+ r.(((1/Hn).Kx).cos(v)+((1/Hb).bx).sin(v)),
p.sin(u) + r.(((1/Hn).Ky).cos(v)+((1/Hb).by).sin(v)),
q.u + r.(((1/Hn).Kz).cos(v)+((1/Hb).bz).sin(v))> (17.8)
dengan 0 u 1 dan 0 v 2. Dengan mengambil harga p dan q bernilai
3, didapat bentuk seperti terlihat pada Gambar 17.4a dan Gambar 17.4b.
Permodelan Permukaan Pelat
250
a) b) (c)
Gambar 17.4 Tabung evolutif pilin dari kurva heliks
17.2 Tabung Evolutif Terdefinisi dari Kurva Kondisi Batas
Andaikan suatu kurva parametrik kubik yang dibangun melalui kondisi
batas Hermit dalam bentuk:
q(u) = q(0) H1(u) + q(1) H2(u) + q’(0) H3(u) + q’(1) H4(u) (17.9)
dengan H1(u) = 2u3 – 3 u2 + 1; H2(u) = -2u3 + 3 u2;
H3(u) = u3 - 2u2 + u; H4(u) = u3 – u2,
sedangkan q(0), q(1), q’(0), dan q’(1) merupakan titik-titik kontrol yang
ditetapkan, maka tabung evolutif dari pembangkit kurva q(u) dengan jari-jari r
dapat dirumuskan sebagai:
TH(u,v) = q(u) + r.((N/PN).cos(v) + (B/PB).sin(v)) (17.10)
dengan 0 u 1 dan 0 v 2. Dalam hal ini N dan B masing-masing
merupakan vektor normal dan binormal dari kurva (5.9). Apabila kita tetapkan
jari-jari r dalam bentuk Bezier kuartik, maka hasilnya dapat diperoleh beberapa
contoh berikut.
Bagian III
251
a). Tabung evolutif dengan q(u) terletak di bidang/ruang bentuk mono
gelembung
Andaikan dengan persamaan (5.10) kita pilih titik-titik kontrol dalam
bentuk berikut:
q(0) = <0,0,0>, q(1) = <9,10,9>,
q’(0) = <16,0,16>, q’(1) = <-6,12,11>,
maka akan diperoleh Gambar 17.5.
Gambar 17.5 Tabung evolutif konstan terdefinisi dari kurva kondisi batas
b). Tabung evolutif multi gelembung.
Apabila data diambil dari contoh kasus (a) dan jari-jari r dipilih
berbentuk:
r = 3.(1-u).(1-u).(1-u).(1-u)+
2.(4).(1-u).(1-u).(1-u).u +
2.(6).(1-u).(1-u).u.u +
1.(4).(1-u).u.u.u +
3.u.u.u.u
maka diperoleh bentuk tabung seperti Gambar 17.6a. Adapun Gambar 17.6b
hasil pemberian r yang lain.
Permodelan Permukaan Pelat
252
(a) (b)
Gambar 17.6 Tabung evolutif multi gelembung
17.3 Kondisi Kontinyu Penggabungan Dua Tabung Evolutif
Pada bagian ini, kita evaluasi beberapa penggabungan antara dua
tabung (lurus), tabung dengan tabung evolutif dan penggabungan antar dua
tabung evolutif. Uraian detailnya sebagai berikut.
Andaikan suatu vektor satuan E dan dua vektor satuan N dan B yang
masing-masing tegak lurus pada vector E. Maka dapat dirumuskan suatu
tabung terpancung dengan jari-jari lingkaran alas r, berketinggian a dan
pemilihan parameter sudut pancungan 0,5 dalam bentuk interpolasi
linier u pada interval 0 u 1 dan 0 v 2 berikut:
TL(u,v) = r.[u.{ cos v . N + sin v . B } +
(1-u).{(a + sin) . E + N ).cos v + sin v . B }]. (17.11)
Jika dipilih = 0.5 , a = 4 dan 0 v 2, maka akan diperoleh bentuk
seperti terlihat pada Gambar 17.6a. Dengan memilih titik pusat penyabungan,
beberapa komposisi pasangan harga , a, dan v yang sesuai untuk membentuk
model tabung terpancung, maka penyambungan tabung dapat dilaksanakan
baik untuk penyambungan pertemuan 3 tabung ataupun 4 tabung (seperti
dalam Gambar 17.7b,c).
Bagian III
253
a) b) c)
Gambar 17.7 Penyambungan antar tabung lurus
Dalam hal penyambungan 2 tabung yang berupa tabung lurus bentuk
persamaan (17.11) dengan tabung Bezier persamaan (17.6), maka kondisi
kontinyu penyambungan yang harus dipenuhi adalah:
a). pusat lingkaran TL(1,v) dan Tn(0,v) untuk 0 v 2 sama
c). panjang jari-jari pada masing-masing tabung di TL(1,v) dan Tn(0,v)
sama b). arah vektor satuan E dari tabung TL(u,v) searah dengan
Tn’(0,v).
Dalam Gambar 17.7 diperlihatkan gabungan antara tabung lurus dengan tabung
evolutif Bezier kuadratik berjari-jari bentuk persamaan (17.8b).
Gambar 17.8 Penyambungan antara tabung lurus dan evolutif bergelembung
Permodelan Permukaan Pelat
254
Andaikan 2 (dua) tabung Bezier berderajat sama dari persamaan (17.6),
yaitu Tn_1(u,v) dan Tn_2(u,v), maka untuk mendapatkan kontinyu
penyambungan order satu sepanjang 0 v 2 harus dipenuhi:
a). pusat lingkaran Tn_1(1,v) dan Tn_2(0,v) untuk 0 v 2 sama;
b). panjang jari-jari tabung di Tn_1(1,v) dan Tn_2(0,v) sama.
c). turunan pertama terhadap parameter u memenuhi Tn_1u(1,v) =
Tn_2u(0,v), yaitu vektor:
(Pn_1, n - Pn_1, n-1) = (Pn_2, 1 - Pn_2, 0).
Contoh dari hasil penyambungan dua tabung evolutif Bezier menurut kondisi
tersebut diperlihatkan seperti dalam Gambar 17.8a,b,c.
Penyambungan dua tabung dapat dilakukan dengan cara interpolasi atau
pemberian cincin antara kedua tabung yang akan disambung tersebut. Dalam
kasus pertama, prinsipnya membangun kurva interpolasi yang menghubungkan
masing-masing ujung kurva pusat dua tabung yang secara berurutan
berdekatan, kemudian membangun bentuk tabung dengan jari-jari kedua ujung
tabung sama dengan jari-jari masing-masing ujung tabung yang akan
disambung (Gambar 17.9d,e,f). Kasus kedua, dilakukan dengan menambahkan
bentuk cincin dengan ukuran jari-jari cincin sama dengan jari-jari ujung
masing-masing tabung yang secara berurutan berdekatan (Gambar 17.9g,h).
a) b) c)
Bagian III
255
c) d) e)
f) g) h)
Gambar 5.9 Penyambungan antar Tabung Evolutif Bezier
Andaikan dua tabung evolutif TH_1(u,v) dan TH_2(u,v) terdefinisi dari
kondisi batas seperti dalam persamaan (17.10), maka untuk mendapatkan
kekontinyuan order satu penggabungan dua tabung tersebut perlu memenuhi
kondisi sebagai berikut:
a. posisi titik sambung identik, yaitu
qH_1(0) = qH_2(1);
b. q H_1’(0) = q H_2’(1);
c. panjang jari-jari rH_1 = rH_2.
Beberapa contoh hasilnya diperlihatkan pada Gambar 17.9a,b. Adapun untuk
mendapatkan gabungan tabung evolutif TH1(u,v) dalam persamaan (17,10)
dengan tabung heliks T(u,v) persamaan (17.8) kontinyu order satu, pada
prinsipnya juga harus dipenuhi posisi titik sambungnya perlu identik, kurva
pusat kedua tabung harus kontinyu order satu di titik sambung dan jari-jari di
Permodelan Permukaan Pelat
256
titik tersebut ukurannya sama. Contoh dari perlakuan ini diperlihatkan pada
Gambar 17.10c,d.
a) b)
c) d)
Gambar 17.10 Penyambungan tabung evolutif terdefinisi dari kondisi batas
Bagian III
257
BAB 18
DESAIN BENDA ORNAMEN BANGUNAN
Dalam ban ini diperkenalkan beberapa contoh pemodelan benda
ornamen (aksesoris) bangunan yang diangkat dari sebagian riset Kusno (2007
dan 2009) dan Anton (2009). Tujuannya adalah agar kita dapat memahami
beberapa formula parametrik yang berguna untuk mendefinisikan bentuk
segitiga, persegi panjang ataupun kurva dengan data titik, beserta aplikasinya
untuk membangun bentuk-bentuk dasar desain benda aksesoris bangunan.
Kedua, kita dapat mengetahui contoh transformasi titik yang digunakan dalam
desain benda-benda dimaksud baik di bidang atau di ruang.
18.1Kontruksi Bangun-Bangun Dasar Benda Ornamen Bangunan
Dalam pokok bahasan ini, pertama-tama ditetapkan data 3 (tiga) titik di
dimensi 2 (dua), selanjutnya dilakukan formulasi parametrik bangun segitiga
guna menghasilkan bentuk-bentuk simetris desain benda aksesoris bangunan
(melalui kekongruenan hubungan ketiga sisi/sudutnya). Selanjutnya dengan
memilih data berupa lingkaran ataupun elips dilakukan desain profil benda
menggunakan kombinasi bangun-bangun tersebut. Perinciannya sebagai
berikut.
a. Desain Motif Segitiga Nuansa Simetris
Data: 3 (tiga) titik A(xA,yA), B(xB,yB), dan C(xC,yC).
Perhitungan: Dihitung panjang AB, AC, dan BC dan besar ( ACAB, ).
Selanjutnya kita evaluasi beberapa kasus membangun relief motif segitiga
berikut.
Jika AB = BC = AC
Jika AB = BC = AC, maka dengan formula parametrik segmen garis AB
berbentuk BAAB uu )1( dalam interval 0 u 1, dapat kita bangun
motif segitiga melalui bentuk dasar persegi (bujur sangkar) ABDE dengan
ukuran panjang sisi sama dengan AB tertutup oleh beberapa segitiga sama sisi
ABC seperti pada Gambar 18.1. Dalam hal ini posisi sisi titik D dan E dapat
dihitung melalui
Permodelan Permukaan Pelat
258
AB
AB
B
B
yy
xx
y
xBDOBOD
01
10
dan .)AB(ODOE Jika tinggi segitiga ABC bernilai t = (0,75)AB, maka
posisi ABt)ODOB(,OF 50 . Dalam hal ukuran sisi AB, AC, dan BC
ingin dipanjangkan/dipendekkan secara proporsional sebesar , maka cara
desain motif tersebut adalah sama (Gambar 18.1a).
Jika AB = AC dan ukuran (AB,AC) 60o
Jika AB = AC dan ukuran (AB,AC) 60o, maka dapat kita bangun
motif kesimetrian putar berpusat di titik A dari bangun dasar segitiga ABC
diputar berurut 90o, 180o dan 270o searah jarum jam melalui matriks operasi
pemutaran berbentuk matriks koefisien
01
10. Pembesaran/pengecilan
ukuran dapat dilakukan melalui dilatasi sisi AB dan AC terhadap pusat
dilatasi titik A (Gambar 18.1b).
Lainnya
Jika ukuran AB, AC, dan BC berbeda dapat dilakukan desain motif
simetris melalui pencerminan sisi AC terhadap BC sehingga diperoleh AD .
Selanjutnya titik C, B, dan D diputar 180o atau dicerminkan terhadap titik pusat
A agar diperoleh titik pasangannya C’, B’ dan D’. Bangun yang diperoleh
bersifat simetris terhadap titik A (Gambar 18.1c).
A
B
C
A
B
D
E
F
G
H
P1
P3
P5
P7
P4
P6
P8
P2
Bagian III
259
(a) (b) (c)
Gambar 18.1 Desain beberapa motif segitiga dan simetris
b. Desain Motif Lingkaran/Elips Nuansa Simetris
Data: 3 (tiga) titik A(xA,yA), B(xB,yB), dan C(xC,yC).
Perhitungan: Perpotongan antar garis bagi sudut segitiga ABC di titik P(xP,yP)
yang merupakan pusat lingkaran dalam segitiga ABC dapat ditentukan melalui
perhitungan berikut (Gambar 18.2a). Pertama, menghitung vektor satuan
searah dengan garis bagi sudut A dan sudut B masing-masing nA, dan nB.
Kedua, membangun persamaan garis melalui titik A dan B dengan vektor arah
masing-masing nA, dan nB untuk mendapatkan dua bentuk persamaan garis:
g1 a1x + b1y + c1 = 0
g2 a2x + b2y + c2 = 0.
Ketiga, menghitung titik potong kedua garis tersebut sebagai
2121
2121
2121
2121 danabba
caacy
abba
bccbx
; (18.1)
dengan 02121 abba . Dalam hal titik A, B, dan C pada posisi di ruang dengan
titik asal O(0,0,0) tidak sebidang dengan ketiga titik tersebut, pusat lingkaran
dapat ditentukan melalui perhitungan berikut.
AP
APuOAOP atau
BP
BPvOBOP
Permodelan Permukaan Pelat
260
sehimgga AP
APuOA =
BP
BPvOB . Oleh karena itu diperoleh parameter
variabel
])/[()(AP
AP
BP
BPOBOA
BP
BPOBu . (18.2)
Jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC berukuran rD dapat ditentukan dari
hubungan
rD = S
= ).(5.0 cba
(18.3)
dengan sebagai luas segitiga ABC, sedangkan a, b, dan c masing-masing
merupakan panjang sisi segitiga ABC.
Pusat lingkaran luar P(xL,yL) dari segitiga ABC dapat ditentukan
melalui perpotongan antara sumbu AB dan AC dari segitiga tersebut (Gambar
18.2b). Andaikan titik tengah dan vektor normal segmen AB dan AC masing-
masing adalah D((xA+xB)/2,(yA+yB)/2), E((xA+xC)/2,(yA+yC)/2), nD, dan nE,
maka posisi titik P dapat ditentukan melalui persamaan (18.1). Dalam hal titik
A, B, dan C pada posisi di ruang dengan titik asal O(0,0,0) tidak sebidang
dengan ketiga titik tersebut, pusat lingkaran dapat ditentukan melalui
perhitungan:
DtODOP n atau EwOEOP n (18.4)
sehingga DtOD n = EwOE n . Oleh karena itu diperoleh parameter
variabel
])/[()( DEE OEODOEt nnn . (18.5)
Dalam hal ini, jari-jari lingkaran luar segitiga ABC dapat ditentukan dengan
hitungan
Bagian III
261
22 OAOPrL . (18.6)
Jadi lingkaran dalam/luar segitiga ABC dapat dikonstruksi. Oleh karena itu
melalui data 3 titik, dapat kita bangun relief motif lingkaran dan/atau segitiga
berikut.
Alternatif 1:
a. Membangun lingkaran dalam/luar L(P,r) segitiga ABC dari data titik A,
B, dan C berbentuk L(u) = P + r <(cos u), (sin u)> dengan 0 u 2π;
b. Membangun lingkaran/elips sepusat Ln(P,[1/n] r) dengan n dipilih salah
satu dari harga n = 2,...,5;
c. Konstruksi 2 lingkaran berjari-jari [(n-1)/(2n)]r pada masing-masing
diameter horisontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran
perlakuan (a) dan (b);
d. Terbangun motif lingkaran/elips simetris (Gambar 18.2c,d,e).
Alternatif 2:
1. Membangun lingkaran dalam/luar segitiga ABC berjari-jari r berbentuk
L(P, r);
2. Membangun 4 lingkaran/elips dengan data pusat lingkaran L dan titik-
titik maksimum/minimum diameter vertikal/horisontal
3. Terbangun motif lingkaran/elips simetris.
(a) (b)
Permodelan Permukaan Pelat
262
(c) (d) (e)
Gambar 18.2 Desain motif lingkaran/elips
c. Desain Profil dalam Batas Segitiga
Data: 3 (tiga) titik bentuk segitiga dan/atau 4 (empat) titik untuk bentuk kurva.
Alternatif 1:
1. Membangun segitiga ABC dari data 3 titik;
2. Membangun segitiga DEF dan data titik pusat segmen AB, AC, dan BC;
3. Memilih salah desain berikut:
a. membangun lingkaran dalam segitiga dari 4 bentuk segitiga yang ada,
atau
b. melakukan seperti kegiatan (2) untuk segitiga awal DEF;
4. Membangun lingkaran dalam/luar segitiga dari semua/sebagian bentuk
segitiga yang tersedia (Gambar 18.3a,b).
Alternatif 2:
1. Membangun segitiga ABC sama sisi/kaki dari data 3 titik;
2. Membangun segitiga DFE dengan data titik pusat segmen AB, AC, dan BC;
3. Dengan menggunakan salah satu data titik terurut (A-F-D-A, B-D-E-B, C-E-
F-C) atau (A-C-C-B, B-A-A-C, C-B-B-A) membangun kurva dengan
persamaan (Mortenson 1985, Rusli dan Kusno 2006):
p(u) = p(0) H1(u) + p(1) H2(u) + pu(0) H3(u) + pu(1) H4(u) (18.7)
Bagian III
263
pada interval 0 u 1 dengan p(0), p(1), pu(0), dan pu(1) masing-masing
merupakan vektor posisi di titik awal dan akhir kurva, serta vektor
singgung kurva di titik awal dan akhir kurva dan
H1(u) = 2u3 – 3 u2 + 1; H2(u) = -2u3 + 3 u2
H3(u) = u3 - 2u2 + u; H4(u) = u3 – u2;
4. Membangun lingkaran dalam segitiga DEF (Gambar 18.3c,d).
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 18.3 Desain profil dalam batas segitiga
d. Desain Profil dalam Batas Persegi Panjang
Permodelan Permukaan Pelat
264
Data: 4 (titik) persegi panjang dan 4 (empat) titik bentuk kurva.
Alternatif Desain:
1. Membangun persegi panjang ABCD dengan sisi-sisi sejajar sumbu
koordinat;
2. Menghitung data titik berat/pusat persegi panjang E dan titik tengah F, G,
H, dan I masing-masing dari segmen AB, BC, CD, dan DA;
3. Memilih salah satu hitungan berikut:
a. membangun lingkaran pusat E berjari-jari [(1/n)EF]< EI dengan harga n
salah satu dari n = 2, ...,5 dan membangun kurva persamaan (18.7)
dengan pasangan data titik (A-I-F-A, D-I-H-D, B-G-F-B, C-G-H-C), atau
b. membangun kurva persamaan (18.7) dengan pasangan titik (E-A-B-E,
E-B-C-E, E-D-C-E, E-A-D-E);
4. Terdesain bentuk simetris (Gambar 18.4).
Gambar 18.4 Desain profil dalam batas persegi panjang
Di lain pihak, untuk membangun profil permukaan benda bersifat
relief, prinsip sama dengan perlakuan pada kasus di dimensi dua, tetapi data-
data titik pada kasus ini diambil terletak pada ruang. Penyajian permukaan
relief dapat ditampilkan secara timbul atau cekung terhadap bidang datar. Agar
pemodelan desain permukaan relief mudah dilaksanakan, kita pilih teknik
desain menggunakan persamaan interpolasi linier/kubik dua kurva parametrik
Bagian III
265
(hasil penyajian data yang diberikan) C1(u) dan C2(u) kelas Cn1
berbentuk
berikut:
S(u,v) = (1-v) C1(u) + v C2(u)
atau
S(u,v) = (1-v3) C1(u) + v3 C2(u)
dimana 0 u 1 dan 0 v 1. Agar keperluan data menjadi efisien, proses
penyambungan dan pemodelan bentuk kurva menjadi mudah dilaksanakan,
dalam pembahasan ini kurva C1(u) dan C2(u) dipilih dari jenis kurva terdefinisi
kondisi batas kubik persamaan (18.7), bentuk segmen garis, atau berupa titik.
Sebagai contoh, modifikasi Gambar 18.3a,c dapat diperoleh hasil bentuk
Gambar 18.5 berikut ini.
Gambar 18.5 Desain relief benda aksesoris bangunan
18.2 Transformasi Bentuk Poligon, Kurva, dan Permukaan
Dari bangun-bangun dasar desain benda aksesoris bangunan yang
terdefinisikan di bagian (18.1), selanjutnya dilakukan operasi transformasi
geometri (titik) guna mendapatkan beberapa model baru bentuk benda-benda
aksesoris bangunan. Tekniknya antara lain, pertama, kita pilih bangun dasar
sebagai pembangkit profil yang diidentifikasi oleh titik-titik pembangkitnya.
Kedua, menggunakan operasi pencerminan dan/atau rotasi titi-titik
pembangkitnya tersebut terhadap sumbu cermin atau titik pusat perputarannya
agar mendapatkan kesimetrian benda. Ketiga, dilakukan operasi transformasi
dilatasi pasangan bentuk yang simetri agar dapat terbentuk beragam model
Permodelan Permukaan Pelat
266
permukaan benda sesuai dengan ukuran yang kita perlukan. Terakhir,
membangun kembali semua titik hasil transformasi untuk mendapatkan profil
permukaan benda dimaksud (contoh Gambar 18.6a,b,c,d,e,f).
Di lain pihak agar didapatkan kesimetrian bentuk benda ruang, maka
perlu dilakukan operasi pencerminan/refleksi atas komponen-komponen benda
dimaksud. Dengan demikian hasil konstruksi benda akan menjadi lebih
menarik (Gambar 18.6g,h).
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h) (j)
Gambar 18.6 Transformasi bangun-bangun dasar benda aksesoris bangunan
Bagian III
267
DAFTAR BUKU BACAAN DAN PUSTAKA
Anton, H., 1993. Aljabar Linier Elementer (Terjemahan), Erlangga, Jakarta.
Antonius C.P., Dewi, Y.K., Kusno, 2009. Desain dan Fabrikasi Benda-benda
Aksesoris Bangunan (Laporan Penelitian Hibah Bersaing). Lemlit UNEJ.
Bezier, P., 1987. Mathematiques et CAO Volume 4: Courbes et Surfaces. Hermes,
Paris-France.
Bohm, W., 1984. A Survey of Curve and Surface Methods in CAGD. CAGD,
Volume 1 (P.1-60).
Borceaux, F., 1986. Invitation a la Geometrie, Ciaco, Louvain la Neuve, France.
DeRose T.D. and Barsky B.A., 1988. Geometric Continuity, Shape Parameter, and
Geometric Construction for Catmull-Rom Splines. ACM Transaction on
Graphics Volume 7 (P.1-41).
doCarmo M.P., 1976. Differential Geometry of Curve and Surfaces. Prentice Hall
Englewood Cliff, New Jersey.
Dony, R., 1990. Graphisme, Masson, Paris.
Du, W.H., 1988. Etude sur la Representation des Surfaces Complexes: Application a
la Reconstruction de Surfaces Echantillonees, Sup. Telecom (ENST), Paris.
Du, W.H. and Schmitt, J.M., 1990. On the G1 Continuity of Picewise Bezier Surfaces:
a Review with New Results, CAD , Volume 22 No.9 (P.556-571).
Du, W.H., Schmitt, F.J.M., 1990. On the G1 Continuity of Piecewise Bezier Surfaces: a
Review with New Results. CAD, Volume 22, No.9 (P.556-571).
Elber ,G., 1995. Model Fabrication Using Surface Layout Projection, CAD, Volume
27 (P.283-291) Utah, USA.
Farin, G., 1990. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design,
Academic Press Inc., Boston.
Faux, I.,D. and Pratt, M.J., 1987. Computational Geometry for Design and
Manufacture. Ellis Horwood Limited, Reading.
Permodelan Permukaan Pelat
268
Florent, P., Lauton, G. dan Lauton, M., 1981. Outils et Modeles Mathematiques Calcul
Vectoriel, Geometrie Analytique, Vuibert, Quebec.
Frey, W.H. et.al, 1993. Computer Aided Design Of Class Of Developable Bézier
Surfaces. GM Publication R&D-8057. North American Operations.
Hoschek, J. and Lasser, D., 1989. Fundamentals of Computer Aided Geometric
Design. AK Peter, Willesly Massachusetts.
Hui, K.C., 1999. Shape Blending of Curves and Surfaces with Geometric Continuity,
CAD, Volume 31 (P.819-828).
Kusno 1998. Contribution à la Solution du Problème de Construction et de
Raccordement Géométrique de Surfaces Développables Régulières à l’Aide
des Carreaux de Bézier (Microfilm). ANRT, Grenoble CEDEX 9, France.
Kusno 2002. Kekontinyuan Parametrik dan Geometrik Order-2 Kurva dan Surfas
dalam “Computer Aided Geometric Design”. Natural Volume 6 (Edisi Khusus
316-320) UNIBRAW.
Kusno 2002. Survey Rancang Bangun Kurva dengan Kurva dan Permukaan. Jurnal
Matematika , Ilmu Pengetahuan Alam dan Pengajarannya, Tahun 22, Nomor
1, Januari 2003.
Kusno, 2000. Survey tentang Kondisi Cukup Kereguleran dan Klasifikasi Surfas Plat
Natural, Jurnal Ilmu Dasar Volume 1 No. 2 (P.30-38), FMIPA UNEJ.
Kusno, 2001., Visualisasi dan pembeberan Permukaan Plat Bezier, Jurnal MIPA No. 2
(P.137-148), FMIPA Universitas Negeri Malang.
Kusno, 2002. Realisasi Permukaan Plat dalam Bentuk Kepingan Permukaan Bezier,
MIHMI Volume 8 No. 1 (P.77-87), Jurusan Matematika ITB.
Kusno, 2002. Studi Numerik dan Visualisasi Permukaan Kerucut Terdukung Dua
Kurva Ruang, MATEMATIKA Tahun VIII No. 2 (P.105-117), Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang.
Kusno, 2003. Permukaan Plat dalam Bentuk Permukaan Bezier dan Aplikasinya pada
Bidang Teknologi Perkapalan (Laporan Akhir Riset Unggulan Terpadu VIII
Tahun 2001-2003), DRN.
Bagian III
269
Kusno, 2003. Simulasi Penggunaan Proyeksi Perspektif dalam Penyajian Kurva dan
Surfas, Jurnal Ilmu Dasar Volume 4, Nomor 1, FMIPA-UNEJ.
Kusno, 2006. Membangun Kurva dan Permukaan dengan Menggunakan Maple 6.
Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Jember.
Kusno, Agustina Pradjaningsih, Dewi Junita Koesumawati, 2006. Modelisasi Benda
Onyx dan Marmer Multi-Sumbu dengan Bantuan Permukaan Putar/Geser
Bezier. Jurnal Ilmiah Sains & Teknologi Volume 2 No.1 (P. 47-57) UBAYA.
Kusno, Antonius Cahyo P., Mahros darsin, 2007. Modelisasi Benda Onyx dan Marmer
melalui Penggabungan dan Pemilihan Parameter Pengubah Bentuk
Permukaan Putar Bezier, Vol. 8 No. 2 (P.175-185). Jurnal Ilmu Dasar FMIPA
Universitas Jember.
Kusno, Hidayat, H., Santoso, K.A., 2006. Penggunaan Kurva Bezier untuk Desain
Benda Pecah Belah dan Plastik Karakter Simetrik dan Putar, Proseding
Konferensi Nasional Matematika XIII-Universitas Negeri Semarang, p 747-
756.
Kusno, Hidayat R., Julianto, B. 2008. Studi Geometri Rancang Bangun Bentuk Pipa
Evolutif Bahan Besi, Gelas dan Plastik (Laporan Penelitian Hibah
Fundamental). Lemlit UNEJ.
Kusno, Hidayat R., Julianto, B. 2009. Pengembangan Seni dan Teknik Desain
Relief Benda-benda Industri Kerajinan Onyx Berbasis Kurva Kuartik dan
Natural Berbantu Komputer (Laporan Penelitian Hibah Kompetensi). Lemlit
UNEJ.
Leon, J.C. 1991. Modelisation et Construction de Surfaces pour la CFAO. Hermes,
Paris-France.
Lipcchutz, M.M. --. Theory and Problems of Differential Geometry, Schaum’s
Outline Series, McGraw-Hill Book Company, New York.
Liu, D. 1990. GC1 Continuity Conditions between two adjacent rational Bezier Surface
patches. CAGD, Volume 7 (P.151-163).
Mortenson, M, E., 1985. Geometric Modeling, JWS, New York,
Pogorelov, A. 1987. Geometry, Mir Publisher, Moskow.
Permodelan Permukaan Pelat
270
Purcell, E.J. dan Varberg, D., 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis (Terjemahan),
Erlangga, Jakarta.
Rawuh, Teng Tek Hoen, Entoem dan Gouw Key Hong, 1959. Ilmu Ukur Analitis,
Penerbit Tarate, Bandung.
Rogers, D.F. dan Adams, J.A., 1990. Mathematical Elements for Computer Graphics,
MacGraw-Hill, New York.
Rose, T.D. dan Barsky, B., 1988. Geometric Continuity, Shape Parameters and
Geometric Constructions for Catmull-Rom Splines. ACM Transactions on
Graphics, Volume 7, No.1 (P.1-41).
Rusli Hidayat, M. Hasan, M. Fatekurahman, Kusno, 2006. Modelisasi Benda Onyx dan
Marmer dengan Bantuan Permukaan Putar, Jurnal Ilmu Dasar (Terakreditasi),
Volume 7, No.1, FMIPA UNEJ.
Rusli Hidayat, Firdaus Ubaidillah dan Kusno, 2007. Pembeberan Permukaan Bambu
Tipe Pelat Silinder dan Kerucut ke Bidang. Jurnal Ilmiah Sains dan Tenologi.
Lemlit UNEJ.
Spiegel, M.R., 1981. Vector Analysis, Schaum’s Outline Series - MacGraw-Hill, New
York.
Sukirman, 1994/1995. Geometri Analitik Bidang dan Ruang (Modul 1-9),
DEPDIKBUD, Jakarta.
Suryadi, H.S., 1984. Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia,
Jakarta.
Thomas, G.B., 1964. Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley, Reading.
Vollewens, W.J., 1963. Diktat Ilmu Ukur Analitik, Lembaga Bahasa dan Budaja
Fakultas Sastra, UI.
Watt, A. 1989. Fundamentals of Three-Dimensional Computer Graphics, Addison-
Wesley, Reading.
Weiss, G. dan Furtner, P. 1988. Computer-Aided Treatment Of Developable Surfaces.
Computer & Graphics. Volume 12 (P.39-51).
Bagian III
271
DAFTAR INDEKS
A
aksesoris, 200, 207, 208
aksioma, 18, 53
arah prinsipal, 132, 158
B
basis, 22, 61, 115, 120, 134, 135, 139, 140, 150, 190
benda kuadratis, 70
berkas garis, 22, 24
Bezier, 134, 136, 137, 139, 140, 144, 145, 146, 147, 149, 163, 164, 166, 167,
168, 170, 171, 172, 178, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 185, 186, 187, 188,
189, 190, 191, 192, 195, 197, 198, 199
bidang gambar, 114, 115, 116, 120
bidang meridian, 144, 145, 150, 183, 184, 185, 186, 187
blending, 160
bola, 2, 3, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 77, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 96, 97, 121, 141,
142, 143, 159, 160, 164, 183
B-Splin, 134, 139, 140, 144
C
CAD/CAM, 134
Cartesius, 2, 3, 7, 115, 119, 150
Casteljau, 134, 138, 140
D
de-Boor, 134, 139, 140
dilatasi, 6, 103, 108, 111, 112, 113, 201, 207
direktrik, 86, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 167
diskriminan, 77
E
ekivalen, 158
ekivalen, 6, 7, 135 eksplisit, 18, 20, 23, 160
Permodelan Permukaan Pelat
272
elips, 75, 76, 78, 79, 81, 82, 118, 157, 200, 203, 204 elipsoida, 77, 78, 79, 141, 142 evolutif, 189, 190, 191, 192, 193, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 157, 161
G garis singgung, 97, 129, 130 Gauss, 128, 129, 132, 133 gelembung, 190, 192, 195, 196 generatrik, 85, 92, 94, 95, 97, 167, 161 geometrik, 6, 135, 136, 150, 157, 158, 160, 164, 189 geser, 147, 149 gradien, 18, 19, 22, 23, 24
H heliks, 193, 194, 195, 199 Hermit, 135, 151, 152, 195 Hess, 25, 28, 52, 57, 64 hiperbola, 78, 81, 84, 89, 91 hiperboloida, 79, 80, 81, 82, 84, 89, 90, 91, 143, 164, 183
I imajiner, 71 implisit, 18, 19, 70, 160 interior, 189 interpolasi linier, 140, 157, 159, 160, 164, 196, 207 interseksi, 6, 23, 24, 52, 75, 80, 86, 130, 137, 157, 158, 159, 160, 164, 189
J jarak aljabar, 127, 132 jarak, 18, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 52, 57, 59, 64, 65, 66, 67, 68, 115, 121, 127,
132, 146, 163 jari-jari, 70, 71, 72, 74, 75, 91, 102, 141, 142, 146, 153, 154, 155, 161, 189,
191, 192, 195, 196, 197, 198, 199, 203
K
Bagian III
273
kabinet, 119 katenoida, 143 kavaleri, 119 kelengkungan, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 133, 158, 164 keping pelat, 168, 170, 172 kerucut, 73, 88, 93, 94, 97, 98, 99, 115, 144, 160, 161, 176, 177, 183 koefisien arah, 61, 68 koefisien geometrik, 135, 136 koefisien, 19, 20, 26, 59, 60, 61, 68, 73, 94, 96, 99, 100, 101, 102, 103, 108,
109, 110, 112, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 139, 149, 159, 201 komponen, 2, 7, 8, 52, 59, 70, 118, 144, 145, 147, 151, 164, 165, 182, 188,
190, 207 kondisi batas, 149, 151, 157, 195, 196, 199, 200, 207 kondisi geometrik, 94, 97, 164 konstan, 70, 134, 161, 163, 184, 189, 191, 192, 196 konstanta, 22, 64, 183 kontinyu, 139, 157, 158, 164, 178, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 197,
198, 199 koordinat homogen, 99, 112, 113, 121, 122 kosinus arah, 26, 52, 72, 94, 96 kuadratik, 144, 145, 149, 150, 151, 160, 178, 179, 180, 181, 190, 191, 192, 197 kuartik, 145, 147, 179, 181, 187, 193, 195 kubik, 134, 135, 136, 144, 145, 149, 151, 152, 169, 180, 181, 182, 183, 185,
186, 187, 189, 190, 192, 195, 207 kurva, 85, 86, 87, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 123, 126, 127, 128, 129, 130,
131, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 144, 145, 146, 147, 149, 150, 151, 152, 154, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 186, 187, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 198, 199, 200, 204, 205, 206, 207
kutub, 18, 30, 31, 73
L lingkaran, 71, 73, 75, 85, 86, 87, 91, 96, 98, 99, 118, 142, 153, 159, 160, 161,
162, 176, 183, 196, 197, 198, 200, 202, 203, 204, 205, 206 linier, 22, 54, 64, 73, 74, 137, 146, 161, 177 lokal, 126, 128, 133, 140, 144, 159, 164, 178
M
Permodelan Permukaan Pelat
274
marmer, 188, 189
Meusnier, 130
model, 2, 18, 19, 61, 144, 152, 157, 178, 179, 193, 197, 207
modifikasi, 164, 180, 181, 182, 187, 207
monitor, 114, 121, 123, 124, 125
motif, 200, 201, 202, 203, 204
N
natural, 141, 126, 134, 159, 164, 183, 190, 193
non-rasional, 136, 139, 140
norm Euclid, 6
normal bidang, 52, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 67
normal garis, 21, 23, 25, 26, 29
normal, 18, 21, 23, 25, 26, 28, 29, 52, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 62, 64, 67, 68, 86,
113, 122, 126, 128, 129, 130, 131, 132, 161, 162, 163, 190, 191, 192, 194,
195, 203
O
observator, 115, 116, 121, 122, 123, 124, 125
offset, 162, 163
oktan, 2
onyx, 188, 189
ornamen, 200
ortogonal, 11, 27, 118
ortonormal, 7, 8, 12, 115, 120, 150, 153, 173, 174, 175
P
panjang aljabar, 162
parabola, 82, 84, 91, 160
paraboloida, 77, 83, 84, 90, 128, 133, 143, 159, 183, 184, 185
parameter, 19, 61, 64, 74, 77, 79, 80, 82, 83, 86, 93, 123, 126, 134, 149, 157,
159, 163, 164, 176, 180, 181, 183, 187, 188, 189, 192, 196, 198, 202, 203
parametrik, 18, 19, 23, 27, 54, 61, 126, 127, 128, 134, 135, 141, 149, 151, 157,
158, 159, 160, 161, 176, 182, 183, 185, 186, 187, 188, 189, 195, 200, 207
pelat, 133, 134, 144, 166, 167, 168, 169, 171, 173
pembeberan, 173, 174, 175, 176, 177, 178
Bagian III
275
pemotongan, 104, 105, 173
penggabungan, 6, 126, 157, 164, 182, 183, 185, 186, 188, 189, 196, 199
permukaan garis, 159
permukaan garis, 166, 167, 168, 173
permukaan garis, 85, 87
permukaan pelat, 166, 167, 168, 173, 177, 178
permukaan putar, 85, 86, 87, 91, 92, , 93, 94, 134, 144, 145, 146, 147, 149,
150, 151, 152, 178, 180, 182, 183, 185, 186, 187, 188
Phytagoras, 7, 64
pilin/puntir, 193
polar, 2, 3, 30
polinom, 139, 169
potongan normal, 130, 131
prinsipal, 128, 129, 131, 162
profil, 145, 200, 206, 207
prosedur, 2, 28, 64, 66, 82, 137, 154, 155, 164, 170, 177
prototype, 189
proyeksi paralel, 117, 118, 119, 120
proyeksi perspektif, 114, 116, 121
proyeksi titik, 28, 107, 115, 117, 123
proyeksi, 10, 11, 27, 28, 52, 107, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 123,
125, 129, 153, 156
pseudo-bola, 144
puntiran, 127
R
real, 2, 5, 6, 9, 19, 20, 22, 54, 60, 63, 64, 70, 73, 74, 126, 127, 136, 167, 171
refleksi, 6, 100, 108, 109, 112, 113, 149, 207
reguler, 126, 127, 133, 168, 172
relasi, 3,18, 19, 21, 60, 75, 121
rotasi, 102, 110, 112, 207
S
Permodelan Permukaan Pelat
276
segmen, 4, 5, 6, 7, 18, 27, 28, 52, 117, 121, 134, 146, 147, 149, 152, 154, 155,
156, 157, 163, 200, 203, 204, 205, 206, 207
sejajar, 6, 11, 13, 17, 20, 21, 24, 56, 59, 61, 62, 63, 64, 67, 68, 76, 78, 82, 84,
85, 96, 114, 117, 118, 141, 157, 166, 168, 170, 172, 173, 206
silinder, 87, 88, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 141, 142, 152, 153, 154, 155, 156, 157,
176, 177, 183
silindrik, 117
simetris, 144, 147, 149, 178, 200, 201, 202, 203, 204, 206
skalar, 6, 9, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 54, 55, 58, 61, 115, 128, 135,
145, 151, 167, 169, 171, 190, 194
sorting, 2
T
tabung, 2, 3, 160, 161, 164, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199,
200
Taylor, 127, 132
tegak lurus, 2, 7, 11, 115, 119150, 152, 155, 174, 176, 196
titik benda, 115
titik kontrol, 136, 137, 138, 139, 140, 146, 150, 168, 170, 171, 172, 178, 179,
180, 181, 184, 187, 191, 193, 195
titik lenyap, 114, 115
titik mata, 115, 116, 121
torus, 144, 193
transformasi, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112,
113, 121, 122, 163, 200, 207
translasi, 6, 106, 108
tripel, 3, 16, 17, 67
Prof. Drs. Kusno, DEA, Ph.D lahir di Tulungagung Jawa
Timur pada tanggal 8 Januari 1961. Tahun 1986 sampai
dengan tahun 1996 aktif menjadi dosen bidang matematika di
FKIP Universitas Jember (UNEJ) dan mulai tahun 1997
sampai sekarang bertugas sebagai dosen yang sama di FMIPA
UNEJ. Pengalaman menjadi Ketua Jurusan Matematika
FMIPA UNEJ dijalani tahun 1999-2004, menjadi ketua
Lembaga Penelitian UNEJ tahun 2004-2007, dan tahun 2007
sampai sekarang menjadi Dekan FMIPA UNEJ. Jabatan Guru
Besar Matematika diperoleh terhitung mulai 1 April 2004.
Pengalaman pendidikan yang pernah dilakukan diantaranya adalah lulus
SMAN/SMPP Boyolangu Tulungagung tahun 1980, sarjana pendidikan matematika
diselesaikan pada tahun 1985 di Jurusan Matematika FPMIPA IKIP Malang (sekarang
Universitas Negeri Malang). Pada Desember 1989 terseleksi mengikuti kegiatan
Program Bridging bidang matematika di ITB (atas kerja sama ITB dengan IDP
Australia) selama 13 bulan hingga akhir tahun 1990. Pada tahun 1991 sampai dengan
1993 ditugaskan mengikuti pelatihan bahasa dan studi S2 bidang matematika murni
ke Prancis. Tingkat DEA (Master) Bidang Geometri Algoritmik diperoleh tahun 1993
di Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Joseph Fourier Prancis. Tingkat
S3 diselesaikan dalam waktu tepat 3 (tiga) tahun, yaitu periode tahun 1995-1998, di
Jurusan Matematika/Informatika FMIPA Universitas Metz Prancis untuk bidang
Informatika, spesialisasi Geometri Rancang Bangun (CAD/CAM).
Pengalaman penelitian kompetitif di bidang perancangan benda berbantu
komputer yang pernah dilakukan sampai sekarang diantaranya adalah sebagai peneliti
utama kegiatan riset sumber dana Proyek ADB Loan 1253 Jakarta - DIKTI (tahun
1994 dan tahun 1999), peserta kegiatan Overseas Research bagi dosen senior selama
4 bulan di Grenoble Prancis program Pascasarjana ITB sumber dana Proyek Bank
Dunia XXI (tahun 1995), peneliti utama Riset Unggulan Terpadu (RUT) program
Dewan Riset Nasional (DRN) RISTEK selama 3 (tiga) tahun periode tahun 2001-
2003, pendamping peneliti utama kegiatan Riset Penguatan Sains Dasar RISTEK
(tahun 2005), dan peneliti utama program Insentif Riset Terapan RISTEK (tahun
2007). Selain itu juga aktif dalam kegiatan penelitian DP2M DIKTI diantaranya
adalah Penelitian Hibah Bersaing (tahun 2006, tahun 2007, dan tahun 2009), peneliti
utama kegiatan Riset Fundamental (tahun 2006 dan 2008), dan peneliti utama Riset
Strategis Nasional Batch II (tahun 2009-2010).
Buku ini menerangkan prinsip-prinsip dasar geometris membangun dan mengatur sistem dimensi grafik agar benda yang ditampilkan (didesain) pada komputer terlihat alami dan dapat dilihat dari segala posisi.
Buku ini memberikan pencerahan, fasilitas, dan beragam ilustrasi geometris kepada para mahasiswa Jurusan Matematika ataupun Pendidikan Matematika, mahasiswa Informatika, Teknik Engineering, Pengajar Matematika, ataupun para praktisi dan peminat rancang bangun benda berbantu komputer dalam hal melakukan analisa, evaluasi, dan pemilihan formula guna rancang bangun dan visualisasi benda maupun dalam hal mengkreasi keindahan bentuk benda melalui operasi geometris.
Top Related