Datos agrupados
G. Edgar Mata Ortiz
3
IntroducciónEn las dos presentaciones anteriores se describió el
proceso para obtener los intervalos aparentes y reales para agrupar un conjunto de datos en diez intervalos.
Número de clase
Intervalos aparentes
Número de intervalo
Límites inferiores
Límites superiores
1 41 462 47 523 53 58… … ...10 95 100
Intervalos REALES
Límites inferiores
Límites superiores
40.5 46.546.5 52.552.5 58.5… ...
94.5 100.5
LI – 0.5LS + 0.5
Datos agrupadosEn esta presentación veremos el procedimiento para determinar las frecuencias: absoluta, acumulada, relativa y relativa acumulada.
FrecuenciasF. Absoluta F. Acumulada F. Relativa F. Relativa acumulada
fi fai fri frai
Datos agrupados1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 81 52 81 64 83 79 77 74 79 70 77 77 62 67 812 71 68 71 85 65 91 51 61 80 82 63 91 71 74 783 86 65 66 56 73 75 83 62 70 60 68 86 66 83 754 67 45 78 77 83 65 89 54 60 69 75 66 73 72 685 86 76 48 66 67 74 58 70 60 49 88 56 68 90 756 74 70 85 73 76 66 72 87 69 70 66 70 55 88 707 71 80 70 75 76 69 71 77 72 63 64 56 57 66 808 75 74 90 89 81 64 62 91 61 62 64 58 72 69 599 75 71 79 86 74 74 75 81 67 97 54 73 80 63 70
10 63 67 49 100 66 79 71 77 75 60 66 58 72 57 60
Datos agrupados16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
62 67 79 71 79 65 70 84 62 73 87 65 72 65 9272 59 60 66 63 83 65 87 62 79 89 51 70 70 5654 62 82 78 64 76 71 71 73 53 68 85 77 68 7267 77 42 80 68 64 73 55 79 43 58 74 78 79 5767 66 75 77 66 73 76 70 54 90 61 62 90 81 8166 83 69 72 65 85 74 79 59 72 78 67 81 77 5778 54 77 77 79 75 75 62 73 80 53 89 59 67 7881 65 62 63 85 68 74 75 61 60 62 50 94 77 9165 80 73 81 50 75 89 71 59 79 83 80 92 69 5775 69 60 73 62 83 72 66 85 61 52 86 55 83 80
Datos agrupadosEl primer paso consistió en obtener los intervalos aparentes.
Datos agrupadosIntervalo número
Intervalos aparentesLímites inferiores Límites superiores
1 41 462 47 523 53 584 59 645 65 706 71 767 77 828 83 889 89 9410 95 100
Los cuatro valores cumplen con las
condiciones necesarias.
41≤42 46≥42
95≤100 100≥100
Datos agrupadosQuinto paso:Después se obtuvieron los intervalos reales.
Datos agrupadosIntervalo número
Intervalos realesLímites inferiores Límites superiores
1 40.5 46 .52 46.5 52.53 52.5 58.54 58.5 64.55 64.5 70.56 70.5 76.57 76.5 82.58 82.5 88.59 88.5 94.5
10 94.5 100.5
Datos agrupadosSexto paso: Calcular las marcas de clase (xi)Las marcas de clase “representan”, cada una de ellas, todos los datos contenidos en el intervalo correspondiente.
Se calculan promediando los límites inferior y superior de los intervalos reales como se muestra en la diapositiva siguiente.
En el primer intervalo:40.5 46.5 43.5
2
Datos agrupadosMarcas de
Límite Límite claseinferior superior
40.5 46.5 43.546.5 52.5 49.552.5 58.5 55.558.5 64.5 61.564.5 70.5 67.570.5 76.5 73.576.5 82.5 79.582.5 88.5 85.588.5 94.5 91.594.5 100.5 97.5
Intervalos reales
ݔ Las marcas de clase
“representan”, cada una de ellas, todos los datos contenidos en el intervalo correspondiente.
Al tomar la marca de clase para efectuar todos nuestros cálculos vamos a perder un poco de exactitud.
Es como si afirmáramos que todos los datos en un intervalo son iguales a la marca de clase.
Datos agrupadosSéptimo paso: Determinar las frecuencias absolutas (fi)Esta parte del proceso es un tanto laboriosa cuando se
realiza a mano, ya que se debe contar para saber cuántos datos están dentro de cada intervalo.
Para el primer intervalo; ¿cuántos datos están entre 40.5 y 46.5? (o, más fácilmente, entre 41 y 46).
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 81 52 81 64 83 79 77 74 79 70 77 77 62 67 81 62 67 79 71 79 65 70 84 62 73 87 65 72 65 922 71 68 71 85 65 91 51 61 80 82 63 91 71 74 78 72 59 60 66 63 83 65 87 62 79 89 51 70 70 563 86 65 66 56 73 75 83 62 70 60 68 86 66 83 75 54 62 82 78 64 76 71 71 73 53 68 85 77 68 724 67 45 78 77 83 65 89 54 60 69 75 66 73 72 68 67 77 42 80 68 64 73 55 79 43 58 74 78 79 575 86 76 48 66 67 74 58 70 60 49 88 56 68 90 75 67 66 75 77 66 73 76 70 54 90 61 62 90 81 816 74 70 85 73 76 66 72 87 69 70 66 70 55 88 70 66 83 69 72 65 85 74 79 59 72 78 67 81 77 577 71 80 70 75 76 69 71 77 72 63 64 56 57 66 80 78 54 77 77 79 75 75 62 73 80 53 89 59 67 788 75 74 90 89 81 64 62 91 61 62 64 58 72 69 59 81 65 62 63 85 68 74 75 61 60 62 50 94 77 919 75 71 79 86 74 74 75 81 67 97 54 73 80 63 70 65 80 73 81 50 75 89 71 59 79 83 80 92 69 57
10 63 67 49 100 66 79 71 77 75 60 66 58 72 57 60 75 69 60 73 62 83 72 66 85 61 52 86 55 83 80
Datos agrupados1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 81 52 81 64 83 79 77 74 79 70 77 77 62 67 812 71 68 71 85 65 91 51 61 80 82 63 91 71 74 783 86 65 66 56 73 75 83 62 70 60 68 86 66 83 754 67 45 78 77 83 65 89 54 60 69 75 66 73 72 685 86 76 48 66 67 74 58 70 60 49 88 56 68 90 756 74 70 85 73 76 66 72 87 69 70 66 70 55 88 707 71 80 70 75 76 69 71 77 72 63 64 56 57 66 808 75 74 90 89 81 64 62 91 61 62 64 58 72 69 599 75 71 79 86 74 74 75 81 67 97 54 73 80 63 70
10 63 67 49 100 66 79 71 77 75 60 66 58 72 57 60
Datos agrupados16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
62 67 79 71 79 65 70 84 62 73 87 65 72 65 9272 59 60 66 63 83 65 87 62 79 89 51 70 70 5654 62 82 78 64 76 71 71 73 53 68 85 77 68 7267 77 42 80 68 64 73 55 79 43 58 74 78 79 5767 66 75 77 66 73 76 70 54 90 61 62 90 81 8166 83 69 72 65 85 74 79 59 72 78 67 81 77 5778 54 77 77 79 75 75 62 73 80 53 89 59 67 7881 65 62 63 85 68 74 75 61 60 62 50 94 77 9165 80 73 81 50 75 89 71 59 79 83 80 92 69 5775 69 60 73 62 83 72 66 85 61 52 86 55 83 80
Datos agrupadosSéptimo paso: Determinar las frecuencias absolutas (fi)Para el primer intervalo; ¿cuántos datos están entre
40.5 y 46.5? (o entre 41 y 46).Los datos que están dentro del primer intervalo están
resaltados con amarillo, son 3.Esta cantidad: tres, es la frecuencia absoluta para el
primer intervalo.
Marcas deLímite Límite clase F. absoluta
inferior superior40.5 46.5 43.5 346.5 52.5 49.5 952.5 58.5 55.5 2358.5 64.5 61.5 4364.5 70.5 67.5 6270.5 76.5 73.5 6376.5 82.5 79.5 5382.5 88.5 85.5 2688.5 94.5 91.5 1694.5 100.5 97.5 2
FrecuenciasIntervalos reales
ݔ �
Datos agrupadosSéptimo paso: Determinar las frecuencias absolutas (fi)
Este proceso se lleva a cabo para cada intervalo.Observa como van agregándose columnas a la tabla.
Marcas deLímite Límite clase F. absoluta
inferior superior40.5 46.5 43.5 346.5 52.5 49.5 952.5 58.5 55.5 2358.5 64.5 61.5 4364.5 70.5 67.5 6270.5 76.5 73.5 6376.5 82.5 79.5 5382.5 88.5 85.5 2688.5 94.5 91.5 1694.5 100.5 97.5 2
FrecuenciasIntervalos reales
ݔ �
Datos agrupados
Un histograma es la representación gráfica de la frecuencia absoluta.
Marcas de FrecuenciaLímite Límite clase absoluta
inferior superior40.5 46.5 43.5 346.5 52.5 49.5 952.5 58.5 55.5 2358.5 64.5 61.5 4364.5 70.5 67.5 6270.5 76.5 73.5 6376.5 82.5 79.5 5382.5 88.5 85.5 2688.5 94.5 91.5 1694.5 100.5 97.5 2
Intervalos reales
ݔ �
Datos agrupadosOctavo paso: Determinar las
frecuencias acumuladas (fai)La primera frecuencia
acumulada es igual a la primera frecuencia absoluta.
De la segunda en adelante se van sumando como se muestra en la tabla.
Este proceso se lleva a cabo para cada intervalo.
La frecuencia acumulada suele utilizarse para trazar gráficos de polígono.
Datos agrupados
Marcas de Frecuencia FrecuenciaLímite Límite clase absoluta acumulada
inferior40.5 46.5 43.5 3 346.5 52.5 49.5 9 1252.5 58.5 55.5 23 3558.5 64.5 61.5 43 7864.5 70.5 67.5 62 14070.5 76.5 73.5 63 20376.5 82.5 79.5 53 25682.5 88.5 85.5 26 28288.5 94.5 91.5 16 29894.5 100.5 97.5 2 300
ݔ � � El primer valor es
igual a la frecuencia absoluta
+ =Frecuencia
acumulada anterior más frecuencia absoluta actual:
3 + 9 =12
Datos agrupados
Así sucesivamente
Marcas de Frecuencia FrecuenciaLímite Límite clase absoluta acumulada
inferior40.5 46.5 43.5 3 346.5 52.5 49.5 9 1252.5 58.5 55.5 23 3558.5 64.5 61.5 43 7864.5 70.5 67.5 62 14070.5 76.5 73.5 63 20376.5 82.5 79.5 53 25682.5 88.5 85.5 26 28288.5 94.5 91.5 16 29894.5 100.5 97.5 2 300
ݔ � � Frecuencia acumulada
anterior más frecuencia
absoluta actual:12 + 23 = 35+ =
Datos agrupadosMarcas de Frecuencia Frecuencia
Límite Límite clase absoluta acumuladainferior superior
40.5 46.5 43.5 3 346.5 52.5 49.5 9 1252.5 58.5 55.5 23 3558.5 64.5 61.5 43 7864.5 70.5 67.5 62 14070.5 76.5 73.5 63 20376.5 82.5 79.5 53 25682.5 88.5 85.5 26 28288.5 94.5 91.5 16 29894.5 100.5 97.5 2 300
Intervalos reales
ݔ � � La última
frecuencia acumulada
debe ser igual al número de
datos.
Datos agrupadosNoveno paso: Determinar las frecuencias relativas (fri)
La frecuencia relativa se calcula dividiendo la frecuencia absoluta (fi) entre el número de datos, en este caso, 300.
La primera frecuencia relativa es:
13 0.01
300fr
Datos agrupadosNoveno paso: Determinar las frecuencias relativas (fri)
Se agrega una columna más a la tabla para anotar las frecuencias relativas.
En ocasiones se expresa la frecuencia relativa en términos de porcentaje, para la primera sería:
13 0.01 1%
300fr ó
Datos agrupados
Marcas de Frecuencia Frecuencia FrecuenciaLímite Límite clase absoluta acumulada relativa
inferior40.5 46.5 43.5 3 3 0.01046.5 52.5 49.5 9 12 0.03052.5 58.5 55.5 23 35 0.07758.5 64.5 61.5 43 78 0.14364.5 70.5 67.5 62 140 0.20770.5 76.5 73.5 63 203 0.21076.5 82.5 79.5 53 256 0.17782.5 88.5 85.5 26 282 0.08788.5 94.5 91.5 16 298 0.05394.5 100.5 97.5 2 300 0.007
ݔ � � ݎ� 13 0.01
300fr
29 0.03
300fr
323 0.076
300fr
0.0766666666 aparece como 0.077
Datos agrupadosMarcas de Frecuencia Frecuencia Frecuencia
Límite Límite clase absoluta acumulada relativainferior superior
40.5 46.5 43.5 3 3 0.01000046.5 52.5 49.5 9 12 0.03000052.5 58.5 55.5 23 35 0.07666758.5 64.5 61.5 43 78 0.14333364.5 70.5 67.5 62 140 0.20666770.5 76.5 73.5 63 203 0.21000076.5 82.5 79.5 53 256 0.17666782.5 88.5 85.5 26 282 0.08666788.5 94.5 91.5 16 298 0.05333394.5 100.5 97.5 2 300 0.006667
Intervalos reales
ݔ � � ݎ�
Datos agrupados Noveno paso: Determinar
las frecuencias relativas (fri) Las frecuencias relativas
pueden usarse con facilidad para trazar una gráfica circular y como tienen el mismo comportamiento que la frecuencia absoluta, pueden etiquetarse las divisiones de la gráfica como frecuencias absolutas o relativas.
Datos agrupados
Ambas gráficas son idénticas, sólo las etiquetas de datos son diferentes: en una están las frecuencias relativas y en otra las absolutas.
Datos agrupados
Anotando las marcas de clase como referencia y escribiendo la frecuencia relativa en formato de porcentaje podemos tener mayor claridad acerca de los datos.
Datos agrupadosDécimo paso: Determinar las frecuencias relativas acumuladas (frai)
En forma similar a la frecuencia acumulada, la primera frecuencia relativa acumulada es igual a la primera frecuencia relativa.
La segunda (frai) es igual a la primera (frai) más la segunda (fri)
Observa la columna que se agrega a la tabla.
Datos agrupados
Marcas de Frecuencia Frecuencia Frecuencia FrecuenciaLímite Límite clase absoluta acumulada relativa rel . acumulada
inferior superior40.5 46.5 43.5 3 3 0.010000 0.01000046.5 52.5 49.5 9 12 0.030000 0.04000052.5 58.5 55.5 23 35 0.076667 0.11666758.5 64.5 61.5 43 78 0.143333 0.26000064.5 70.5 67.5 62 140 0.206667 0.46666770.5 76.5 73.5 63 203 0.210000 0.67666776.5 82.5 79.5 53 256 0.176667 0.85333382.5 88.5 85.5 26 282 0.086667 0.94000088.5 94.5 91.5 16 298 0.053333 0.99333394.5 100.5 97.5 2 300 0.006667 1.000000
Intervalos reales
ݔ � � ݎ� � ݎ
La última frecuencia relativa acumulada debe ser igual a uno.
Datos agrupadosDécimo paso: Determinar las frecuencias relativas acumuladas (frai)
Si trazamos una gráfica de líneas con la frecuencia relativa acumulada, recibe el nombre de ojiva.
Datos agrupados
Datos agrupadosSe ha terminado de calcular
las frecuencias, pero faltan algunas columnas más. La siguiente tabla incluye las tres columnas faltantes.
En la siguiente presentación explicaremos cómo calcular las columnas faltantes y posteriormente abordaremos el tema de las gráficas.
Datos agrupados
Lim. Inferior Lim . Superior
Totales
=
Desviación media =
=
=
Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión
Clases o categoríasIntervalos
Marcas de clase
ix if ifa ifr ifra i if x i ix x f 2
i ix x f
Gracias por su atención
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