7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
1/183
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
2/183
DAFTAR ISI
UJIAN TENGAH SEMESTER 1 KALKULUS 1 ......................................................................... - 5 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2003/2004 .............................................................................. - 6 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2003/2004 ................................................................... - 7 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ............................................................................ - 10 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ................................................................. - 11 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2005/2006 ............................................................................ - 13 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2005/2006 ................................................................. - 14 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 ............................................................................ - 17 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 ................................................................. - 18 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 ............................................................................ - 21 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 ................................................................. - 22 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 ............................................................................ - 25 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 ................................................................. - 26 -
UJIAN TENGAH SEMESTER 2 KALKULUS 1 ....................................................................... - 29 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2002/2003 ............................................................................ - 30 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2002/2003 ................................................................. - 31 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2004/2005 ............................................................................ - 34 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2004/2005 ................................................................. - 35 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2005/2006 ............................................................................ - 40 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2005/2006 ................................................................. - 41 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2006/2007 ............................................................................ - 45 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2006/2007 ................................................................. - 46 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2007/2008 ............................................................................ - 49 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2007/2008 ................................................................. - 50 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2008/2009 ............................................................................ - 53 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2008/2009 ................................................................. - 54 -
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS 1 .............................................................................. - 58 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 .................................................................................. - 59 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 ....................................................................... - 60 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 .................................................................................. - 64 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 ....................................................................... - 65 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 .................................................................................. - 70 -
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
3/183
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 ....................................................................... - 71 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 .................................................................................. - 75 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 ....................................................................... - 76 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 .................................................................................. - 79 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 ....................................................................... - 81 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 .................................................................................. - 85 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 ....................................................................... - 86 -
UJIAN TENGAH SEMESTER 1 KALKULUS 2 ....................................................................... - 89 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2003/2004 ............................................................................ - 90 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ............................................................................ - 94 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ................................................................. - 95 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2005/2006 ............................................................................ - 97 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 .......................................................................... - 102 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 ............................................................... - 103 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 .......................................................................... - 107 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 ............................................................... - 108 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 .......................................................................... - 112 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 ............................................................... - 113 -
Ujian Tengah Semester 2 KALKULUS 2 .................................................................................. - 116 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2004/2005 ........................................................ - 117 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2004/2005 ............................................. - 118 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2005/2006 ........................................................ - 125 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2005/2006 ............................................. - 126 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2006/2007 ........................................................ - 125 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2006/2007 ............................................. - 132 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2007/2008 ........................................................ - 136 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2007/2008 ............................................. - 137 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2008/2009 ........................................................ - 141 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2008/2009 ............................................. - 142 -
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS 2 ............................................................................ - 144 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 ................................................................................ - 145 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 ..................................................................... - 146 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 ................................................................................ - 150 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 ..................................................................... - 151 -
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
4/183
Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 ................................................................................ - 159 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 ..................................................................... - 160 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 ................................................................................ - 166 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 ..................................................................... - 167 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 ................................................................................ - 172 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 ..................................................................... - 173 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 ................................................................................ - 178 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 ..................................................................... - 178 -
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
5/183
UJIAN TENGAH SEMESTER 1
KALKULUS 1
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
6/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2003/2004
1.
Tentukan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan: ||2. Hitung 3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva 7 pada titik 1,24. Diberikan persamaan 1 dan . Tentukan :
a. Daerah asal b. 5. Diketahui sebuah bangun bujursangkar yang titik sudutnya berada pada lingkaran
dengan jari-jari r. Jika jari-jari lingkaran bertambah dengan laju 2 cm/detik, tentukan
laju pertambahan luas bujur sangkar pada saat jari-jari lingkaran
5cm.
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
7/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2003/2004
1.
Untuk menyelesaikan persamaan perlu Anda ketahui definisi tanda mutlak yaitu:| | , , Syaratnya adalah 1. Lalu dengan definisi harga mutlak seperti di atas diperoleh| 1| 1 , 1 1, 1Maka pertidaksamaan tersebut dibagi menjadi 2 daerah yaitu:
i. Untuk daerah 1maka pertidaksamaan dan penyelesaiannya menjadi: 2
1
21 0 1 21 0 21 0 2 1 0 2 1 1 0 Penyelesaiannya adalah:
1, 1 2, , tetapi diminta untuk daerah
1
maka penyelesaiannya adalah 1,1-1 1 2ii. Untuk daerah 1maka pertidaksamaan dan penyelesaiannya menjadi: 2 1 2 1 0 1 2 1 0
2 1 0 Karena 2 definit positif maka penyelesaiannya adalah1, . Makahimpunan penyelesaian dari ||adalah 1,1 1, .
2. Dengan teorema apit yaitu andaikan f, gdan hadalah fungsi yang memenuhi untuk semua x yang dekat dengan c, kecuali di c, jika lim lim maka lim .Diketahui bahwa nilai 1 sin 1, untuk , maka berlaku juga untuk
1 sin
1, untuk
0. Lalu kalikan pertidaksamaan ini dengan
maka
diperoleh sin . Maka untuk menghitung lim sin pilih
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
8/183
dan yang memenuhi . Karenalim lim 0 dan lim lim 0 , maka berdasarkanteorema apit lim sin 0 .
3. Untuk menentukan persamaan garis singgung titik
1,2maka tentukan terlebih dahulu
gradien (diperoleh dari turunan pertama terhadap x) garis singgung pada titik 1,2.Diketahui kurva maka akan dicari turunan pertama dari kurvatersebut titik 1,2, dengan menggunakan diferensial implisit diperoleh:2 2 0 2 2 Gradien titik 1,2
,
45
Maka persamaan garis singgungnya adalah , , 1,2Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 2 45 1
4. Diketahui 1 dan , maka:a. 1memiliki daerah asal 1, dan daerah hasil 0, .
sedangkan memiliki daerah asal dan daerah hasil 0, .Untuk menentukan daerah asal
lihat terlebih dahulu gambar di bawah ini:
Maka daerah asalah untuk adalah yaitu 0, 1, =1, b. Karena
1, , maka fungsi
adalah
1 5. Diketahui
2 / . Berapa pertambahan luas bujur sangkar?
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
9/183
MisalL adalah luas bujur sangkar, lihat gambar
Hubungan antara bujur sangkar dengan lingkaran yaitu: 2 4 ,sehingga 2 4 atau dapar ditulis 2 . Sehingga laju pertumbuhan luasbujur sangkar saat 5adalah
4 4 2 8 8 5 40 /
r
s
s
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
10/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1.
Tentukan daerah penyelesaian dari 2. Perhatikan gambar berikut ini (gambar)
a. Tentukan semua titik di manaf tidak kontinu
b. Tentukan semua titik di manaf tidak terdifferensialkan
c. Tentukan semua titik di manaf kontinu
d. Tentukan semua titik di manaf terdifferensialkan
3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva di titik 1, 4. a. Hitung
lim
tanpa menggunakan teorema LHopital
b. Diketahui segiempat Q dengan titik-titik sudut , 0, ,0, 0,1 0,1.Jika diberikan suatu segiempat lain: R dengan titik-titik sudutnya terletak padatitik tengah sisi-sisi segiempat Q, hitunglah lim
5. Sebuah lintasan lari yang panjangnya 1 km terdiri dari dua sisi yang sejajar yang
dihubungkan dengan dua buh setengah lingkaran pada ujung-ujungnya. Cari luas
daerah fungsi yang dibatasi oleh lintasan lari tersebut sebagai fungsi dari diameter
tersebut tentukan pula domainnya.
4
3
2
1
01 2 3 4 5
x
F(x)
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
11/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Daerah penyelesaiannya adalah dengan syarat 23 2 3 2 03 2 2 0 3 2
2 0
2 3 2 0 3 1 2 0 -1 2 3
Jadi himpunan penyelesaian adalah 1, 2 3, .
2. Jawab:
a. Dari gambar dapat diketahui bahwa 2 2 , sedangkanlim lim 3
, jadi karena
lim 2 maka
disimpulkan bahwaftidak kontinu di 2. Lalu 4 2 , kita lihat juga bahwalim 1 sedangkan lim 2 . Karena lim lim 4 maka tidak kontinu di 4. Oleh karena itu tidak kontinu di 2dan 4.
b. Karena tidak kontinu di 2dan 4, maka f tidak terdiferensialkan dititik 2 dan 4. Lalu tidak terdiferensialkan di 1 karenamembentuk sudut yang tajam, jadi tidak tunggal garis singgungnya di titik 1.
c. Fungsi kontinu jika lim terpenuhi di titik-titik pada selang0,1 1,2 2,4 4, 5. Pada titik batas 0 cukup kontinu kanan danpada
5cukup kontinu kiri.
d.
Fungsi terdiferensialkan jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, danterpenuhi di titik-titik pada selang0, 1 1,2 2,4 4, 5.3. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana . Kita cari turunan dari dengan aturan mencari turunanfungsi yaitu diperoleh Nilai di titik , 1, adalah 1 . Maka gradient garissinggung di titik
1,
adalah
, maka persaman garis singgungnya adalah
1 .
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
12/183
4. a. lim lim lim lim 0 b. Lihat gambar berikut
Panjang 1 Panjang 1 Dari gambar dapat dilihat perbandingan
1 1 dan 1 Dari hasil in diperoleh keliling segiempat Q yaitu segiempat
yaitu
4 1
dan keliling R yang merupakan segiempat yaitu 2 2 ,sehinggalim lim . 5.
Lihat gambar berikut
Maka panjang lintasan 1 Andaikan lingkaran berjari-jari d maka panjang dua
setengah lingkaran adalah adalah 2 . Lalu panjang lintasan adalah .Sehingga luas daerah di dalam (dibatasi) lintasan lari
tersebut adalah 2 Untuk domainnya, kita lihat bahwa:
a. Agar terbentuk lintasan berupa lingakaran
(setengah lingkaran) maka diameter harus lebih besar
dari nol atau 0b. Panjang lintasan yang bukan setengah lingkaran atau lintasan KL danMN harus leih
besar dari nol, yaitu 0 , sehingga diperoleh
c. Luas daerah harus lebih besar dari nol yaitu
0, sehingga
diperoleh0 .Dari ketiga syarat diatas diperoleh domain fungsinya yaitu: 0 0 0 .
K N
L M
d
d
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
13/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Tentukan nilaix yang memenuhi kesamaan | 3| 3 .2. Periksa apakah lim | | ada.3. Diberikan fungsi . Tentukan semua nilaixsehingga 2 .4. Sepeda motor A dan B melaju menuju persimpangan I yang tegak lurus (lihat
gambar), A menuju dari arah barat dengan kecepatan 25, sedangkan B menuju dari
arah selatan dengan kecepatan 22,5. Jika merupakan sudut antara IAB, berapabesar perubahan pada saat berjarak 0,4 dan 0,3 dari persimpangan I (jangan lupagambar)
5. Persamaan 2 8 menyatakan fungsi secara implicita. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang melalui titik 1,3b. Misalkan , merupakan titik yang terletak pada kurva. Taksir nilai b di
sekitar 3 dan jika 1,1
utara
IA
B
x
y
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
14/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Dari definisi harga mutlak diketahui bahwa | 3| 3, 3 3, 3 makai. Untuk daerah 3, 3 32 6 3
Karena persamaan di atas berlaku untuk daerah 3 maka tidak ada nilai xyang memenuhi persamaan di atas.
ii. Untuk daerah 3, 3 3
Maka persamaan ini akan terpenuhi untuk semuaxpada daerah 3Jadi nilaixyang memenuhi | 3| 3 adalah selang 3, 2. Syarat agar lim | |ada adalahlim | 2| 3 2 lim | 2| 3 2
Diketahui dari definisi harga mutlak | 2| 2, 2 2, 2 maka
lim | 2|
3 2 lim 2 3 2 lim
2 1 2 lim
1 1 1
Dan
lim | 2| 3 2 lim 2 3 2 lim 2 1 2 lim 1 1 1 Karena
lim | 2| 3 2 lim | 2| 3 2 Maka lim | |tidak ada
3. Diketahui
maka
tidak terdefinisi di
1, penyelesaiannya adalah
2 2 0 0 0 0 t
-2 -1 0 1
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
15/183
Lihat penyelesaiannya melalui grafik berikut
-1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
,1 ,
4.
Perhatikan gambar di bawah ini, misalkan pengendara motor yang berjalan dari arah
barat, adalah sepanjang sumbu-x dan dari arah selatan adalah sepanjang sumbu-y.
Diketahu bahwa 25 dan 22,5
Gambar tersebut menunjukkan bahwa tan , lalu kedua ruas diturunkanmenghasilkan: tan tan
,,,,, 6 5.
a. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana . Maka gradient garis singgung di titik 1,3 daripersamaan 2 8 dapat di lakukan dengan pendiferensialan secaraimplisit yaitu:
2 84 2 0
2 4
utara
x
A
I
y
B
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
16/183
, gradient garis singgung di titik 1,3 adalah , . Maka persamaan garis singgungnya adalah 3 1 b. Aproksimasi dapat dilakukan dengan persamaan .Karena 1,1 1 ,1maka ,1dengan 1 3 dan 1 , makapenyelesaiannya adalah:
1,1 1 ,1 1 1,1 1,1 3 ,1 3 ,2 2,98
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
17/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. (a) (Nilai 16) Cari himpunan terbesar dari : 1 1 2 (b) (Nilai 16) Tunjukan bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:
|| adalah semua bilangan real.2. (Nilai 16) Diketahui fungsi
3 3
3 3
(a)Hitung lim (b)Akan dibentuk fungsi g sehingga kecuali di 3. Berapakah 3
harus didefinisikan agar fungsi g kontinu di titik 3?3. (Nilai 16) Diberikan titik 0,0, 1,0, 0,2. Jika , adalah titik pada grafik 1 , hitung
lim
4.
(Nilai 16) Tentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik1,1.5. (Nilai 16) Tentukan pesawat terbang ke arah barat dengan laju 500km/jam dan
melintasi tepat di atas menara kontrol pada pukul 12.00 tengah hari. Pesawat lainnya
terbang kea rah utara pada ketinggian yang sama dengan laju 600 km/jam melintasi
tepat di atas menar kontrol yang sama pada pukul 13.00. Seberapa cepat jarak antara
kedua pesawat tersebut berubah pada pukul 14.00?
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
18/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. (a) Pertama penyelesaian untuk selang 1 1 1 1 1 1 Maka himpunan penyelesaiannya adalah Lalu penyelesaian untuk selang 1 2 1 2 1 4 3 3 3
Maka himpunan penyelesaian untuk untuk pertidaksamaan 1 1 2 adalah 3 3 3 3, (b) Dengan definisi harga mutlak diperoleh || , 0, 0Maka penyelesaian untuk
|| dibagi menjadi dua bagian yaitu:i. Untuk maka || menjadi
karena 2 1 definit positif maka penyelesaian hanya
2 1 atau 2 1 1 0 . Artinya untuk nilai 0berlaku persamaan 1 0
ii.
Untuk
maka
||
menjadi
karena 2 1 definit positif maka penyelesaian hanya2 1 atau 2 1 1 0 . Artinya untuk nilai 0berlaku persamaan 1 0
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
19/183
Oleh karena itu terbukti bahwa himpunan penyelesaian untuk|| adalah
bilangan real.
2. a.
lim lim lim
Untuk limit dari kiri berlaku:lim lim lim 2 3 0Untuk limit dari kanan berlaku:lim sin 3 0 Jadi lim 0
b. Agar fungsi gkontinu di 3maka melalui definisi kekontinuan yaitu:lim . Sehingga berlaku 3 lim
lim
sin
3 0 . Maka 3 0 .3. Lihat gambar berikut ini
Maka luas lim adalahlim lim lim lim 0
4. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana . Maka gradient garis singgung di titik 1,1dari persamaan dapat di lakukan dengan pendiferensialan secara implisit yaitu: 2 3 3
2 3
1 3
y
P(x,y
)B(0,2)
x
A(1,0)O(0,0)
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
20/183
, gradient garis singgung di titik 1,1 adalah , .... . Maka persamaan garis singgungnya adalah 1 1 5. Misal menara control adalah titik asal 0,0pesawat yang kea rah barat pesawat J danpesawat yang kea rah utara adalah pesawat K dan jarak antara keduanya adalah R.Dengan
500 dan 600
Dari gambar diperoleh hubungan . Kecepatan perubahan posisi keduapesawat adalah.
2 2 2
Pada pukul 14.00 jarak pesawat J dari menara control adalah 500 2 1000, sedangkan pada pukul 14.00 jarak pesawat K dari menara control adalah 600 1 600, maka kedua pesawat berubah secepat: ....
x
utara
menara
barat
y
K
R
J
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
21/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. (a) Gambarkan grafik dari 2 dan dalam saru sistem koordinat?(b) Carilah semua bilangan realxyang memenuhi 2
2. Hitunglah
(a) lim (b) lim
3. Diketahui
dan
dengan demikian
1
(a)
Tentukan fungsi gsehingga (b)Hitunglah 04. Diberikan dua fungsi yang dapat diturunkan dua kali, memenuhi 1 dan 2, tentukan(a) (b)
5. Sebuah perusahaan penyewaan mobil mengenakan tarif sebesar Rp. 200 ribu per hari
untuk 200 km pertama. Untuk setiap kelebihan 100 km atau bagiannya dikenakan
tambahan Rp. 180 ribu. Sebagai contoh jika seseorangsejauh 388 km, maka orang
tersebut harus membayar Rp. 200 ribu + 2 x Rp. 180 ribu.Gambarkan grafik fungsi harga sewa mobil untuk satu hari sebagai fungsi dari jarak.
Apakah fungsi tersebut kontinu pada daerah definisinya? Jika tidak, tentukan titik-titik
dimana fungsi tersebut tidak kontinu.
6. Sebuah palung sepanjang 12 meter dengan penampang berbentuk segitiga samakaki
terbalik mempunyai kedalaman 4 meter dan lebar 6 meter. Jika air mengalir ke dalam
palung dengan laju 9 /jam, berapa cepat permukaan air naik pada saat kedalaman air2 meter?
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
22/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. (a) Gambar kurvanya:
(b) 2 2 2
1 2 sehingga berlaku 1 2karena , maka nilai yang memenuhi
adalah 2menyebabkan 4.2.
(a) lim lim 1 lim lim sinDiketahui bahwa 1 sin 1 , lalu kalikan pertidaksamaan ini dengan makadiperoleh sin . Karena lim lim 0 , makalim sin 0 (Teorema Apit). Sehinggadiperolehlim sin 0 0 0 .
1 2
-1
-2
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
23/183
lim lim (dibagi pangkat tertinggi yaitu )sehingga
menjadi: lim lim 1 13. (a)
Diketahui maka 1 (b) Diketahui bahwa 1 1 (karena 1 )maka
0 0 1 1 4. Diketahui 1 dan 2maka yang dapat ditulis dan yang memenuhi 2adalah sin.a.
? Untuk menjawabnya kita harus turunkan fungsi sin. sin cos; sehingga
sin
cos
8
b. ? Untuk menjawabnya kita harus turunkan fungsi sin cos. sin cos sin sin. sin cos sin sin cos sin 32 2 2 2 2
5.
Gambar berikut
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
24/183
Tidak kontinu pada daerah definisinya, dan tidak kontinu pada titik 200 km, 300 km,
400 km.
6. Diketahui volume air mengalir lajunya 9 /jam dan panjang palung 12 meter,selanjutnya perhatikan gambar berikut:
Volume palungnya . . . Dengan kesebangunan segitiga diperoleh sehingga , jadi volumenya . . .12. . .Oleh karena ituvolume saat ini adalah fungsi dari tinggi, yaitu
. Lakukan diferensialterhadap waktu sehingga diperoleh 9 . Diketahui bahwa 9 /jam
Pertanyaan berapa cepat permukaan air naik pada
saat kedalaman air 2 meter?
9 9.2 9 1 /
6
4
12
20 30 40 50
20
38
560
74
Rp
km
6
l
h
4
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
25/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertaksamaan || |2 | 3 .2. (a) Jika diketahui | 4| 2 3hitunglah lim .(b) Hitunglah lim .
3. Sketsalah suatu grafik fungsi yang memenuhi semua syarat berikut:
(a)Daerah asal (definisi) adalah 0, .(b) 0 1 2 0 .(c) lim .(d)lim 1 .(e)f kontinu kanan di
1dan
2.
(f)
f tak kontinu kiri di 1.4. Jika diketahui 3 dan 3 1 , tentukan 1, bila .5. Tinggi sebuah tangki berbentuk kerucut tegak terbalik adalah 16 dm dan jari-jari
atasnya 4 dm. Tangki tersebut diisi air dengan laju 2 per menit. Tentukan lajupertambahan jari-jari permukaan air dalam tangki pada saat tinggi air tersebut 10 dm.
16
4
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
26/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Diketahui || |2 | 3 Dari definisi harga mutlak diketahui bahwa || , , dan |2 | 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2, 2Untuk selang penyelesaiannya: 2 3 2 1
2 1
Untuk selang 2penyelesaiannya: 2 3 1 Untuk selang 2penyelesaiannya: 2 3 2 5 2 5
Maka himpunan penyelesaiannya adalah: 2. (a) Diketahui | 4| 2 3, penyelesaiannya dari lim ?.
Bentuk | 4| 2 3dapat ditulis dengan2 3 4 2 3lalu beri limit pada ketiga ruaslim2 3 lim 4 lim2 30 lim 4 0 , berdasarkan teorema apit, diperoleh
lim 4 0, sehingga
lim 4.
(b) lim ?.Untuk menyelesaikan permasalahan maka bagi dengan pangkat tertinggi, yaitu
pangkat satu.
lim
lim
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
27/183
lim
lim 3. Sketsanya:
4. Diketahui 3 dan 3 1 serta , maka1?Untuk menyelesaiakan masalah ini harus diturunkan terlebih dahulu fungsi , yaitu: ... 1 . .. 1 ... 1 .. 3 3
5.
Lihat gambar berikut:
Dari gambar disamping dapat diketahui bahwa:
maka .
f(x)
x10 2
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
28/183
Volume kerucut: karena maka:
Karena
2 sehingga:2 (maka laju pertambahan jari-jari saat 10) .. .. ., maka laju pertambahan jari-jari . .
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
29/183
UJIAN TENGAH SEMESTER 2
(MA1122) KALKULUS 1
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
30/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2002/2003
1. Sebuah pagar dengan tinggi 2 meter berdiri sejajar dengan dinding sebuah gedung
sejauh 1 4 meter dari gedung tersebut (lihat gambar). Berapa panjang tangga yangdapat melintasi pagar dari permukaan tanah untuk mencapai dinding tersebut?
2. Cari persamaan kurva yang melalui 2,1, jika kemiringan garis singgungnya di setiaptitik adalah 2 kali kemiringan garis singgung pada kurva 2di titik dengan absisyang sama.
3.
Diketahui : 1 a. Tunjukkan bahwafmempunyai invers
b. Hitunglah 4. Diketahui D suatu daerah tertutup yang dibatasi oleh 1 , 0 , 3.
Hitunglah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah D diputar mengelilingi
sumbu-x. Buatlah terlebih dahulu sketsa daerah D
5. Tentukan :
a.
Turunan dari b. Tentukan
dari persamaan implisit 2
gedung
pagar
tangga
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
31/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2002/2003
1. Lihat gambar terlebih dahulu
Panjang tangga adalah maka dari gambar diperoleh sin dan cos . Sehingga .Yang ingin dicari adalah panjang tangga terpendek, oleh karena itu harus
meminimumkan fungsi
, yaitu turunan pertamanya sama dengan nol
0.
Diperoleh 2 sin 4cos 0 0 8 0 8 8tan 2Sehingga diperoleh juga sin dan cos , oleh karena itu panjang tangganyaadalah 5.
2.
Misal persamaan kurva yang dimaksud adalah , kemiringan garis singgung yangmenyinggung kurva tersebut adalah
. Diketahui kurva 2ekivalen dengan . Lalu kemiringannya adalah .
gedung
pagar tangga
A
BC
2m
1
25
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
32/183
Diketahui bahwa kemiringan kurva dua kali kemiringan garis yang menyinggungkurva 2, maka 2 . Dari informasi kita dapatmemperoleh
.
Diketahui kurva tersebut melalui 2,1, sehingga 2 1, makadiperoleh 1.Sehingga diperoleh kurva yang dimaksud yaitu 1
3. a. Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa f
monoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang I
apabila fungsi tersebut naik pada selang I atau turun pada selang I. Kemonotonan
fungsi ada:
i. makaf monoton naikii.
makaf monoton turun
Lalu untuk melihat kemonotonan selanjutnya kita turunkan 1 .Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang pertama, diketahui bahwa , sehingga 1 1 Karena 1 maka artinyaf monoton naik (monoton murni). Maka 1 mempunyai invers.b. Diketahui bahwa jika dengan syarat maka .Untuk mencari , informasi yang sudah didapat adalah 1 dan yaitu 1 maka x yang memenuhi adalah 1. Sehingga .
4.
(3,2)
(-1,0)
X=
y= 0
Y = 1
daerah D
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
33/183
Untuk menghitung volumenya dengan metode cincin 1 1 1
.
3
1
5. a. Untuk mencari turunan dari ln , perhatikan terlebih dahulu jika ln maka
. Dari persamaan , misal maka Maka
b. Diketahui 2 , maka
dapat diperoleh dari
2 0 1 0
1
x
y
x
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
34/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan 2 3 di titik1,2.2. Sebuah kolam panjangnya 40 meter, lebarnya 20 meter, kedalaman berubah dari 0
meter sampai 5 meter dengan alas berupa persegi panjang (lihat gambar). Jika air
dipompakan ke dalam kolam dengan laju 40 / menit, seberapa cepat permukaan airnaik pada saat kedalaman air pada ujung yang dalam 3 meter.
3. Tentukan n1ilai maksimum dan nilai minimum dari 3 3 , padaselang
1
.
4.
Diketahui daerah tertutupRyang dibatasi oleh grafik 3, sumbux, garis 1,dan garis 5a. Gambarkan daerahR.b.Nyatakan luas daerahRdalam integral tertentu dan hitunglah integralnya.
5. Suatu benda bergerak pada sumbux dengan kecepatan pada saat tadalah 2 14 5m/detik, dengan posisi awal di 1meter.a. Tentukan posisi benda saat 3.b.Pada saat 3, tentukan apakah benda sedang menjauhi atau mendekati titik . Jelaskan alasannya.
6. Diketahui daerahRdibatasi grafik , sumbuy, sumbux, dan garis 1a. Gambarkan daerahR.
b.
Jika daerahRdiputar terhadap garis 1, tentukan volumebenda putarnya.7. Diketahui fungsi 1 , dengan 0, a. Hitunglah b.Berikan alasan mengapafmempunyai invers
c. Hitung 0
5 m
20 m
40 m
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
35/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana adalah gradient garis singgungnya. Selanjutnya mencariterlebih dahulu gradient lengkungan, yaitu 2 3 3 2 4 2 3 2 4 2 2 4 2 3 Selanjutnya substitusi 1,2 ke , sehingga diperoleh , ..... .
Sehingga persamaan garis singgung dari lengkungan 2 3 0 di mana, 1,2adalah 2 1 2. Perhatikan gambar berikut
5 m
20 m
h
x
40 m
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
36/183
dari gambar akan diperoleh
8
Volume kolam: . . 20 10 0 dan diketahui bahwa air dipompakandengan laju 40 / menit, artinya 40 .Dari volume kolam yang merupakan fungsi dari tingginya diperoleh
160 ,oleh karena itu:40 160 Pertanyaannya adalah seberapa cepat permukaan air naik pada saat kedalaman air pada
ujung yang dalam 3 meter, maka:
.
3.
Diketahui fungsi 3 3 , dicari nilai maksimum dan nilai minimumpada selang 1 . Nilai maksimum dan minimum terjadi pada titik kritis. Titikkritis yaitu:
i. Titik ujung pada selang. Pada soal ini titik ujung selang terjadi pada 1dan , maka 1 3 1 3 1 6 dan 3 3 .ii.
Titik stasioner, yaitu titik yang mana 0 . Dari soal diperoleh 2
5 dimana
0. Sehingga diperoleh
2
5
0 . Tetapi tidak memenuhi karena berada di luar selang yang diminta.iii. Titik singular, yaitu titik dimana tidak terdefinisi, karena tidakterdefinisi di 0 dan titik 0 merupakan titik singular. Maka 030 3 0 0 .
Sehingga disimpulkan bahwa fungsi 3 3 mencapai maksimum dititik 1 di mana 1 6 dan mencapai titik minimum di 0 di mana0 0 .
h
5
x
40
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
37/183
4. Daerah dibatasi oleh grafik 3, sumbux, garis 1, dan garis 5a.
b. 3
3
3
(pada selang
1 3fungsi bernilai
negatif karena berada dibawah sumbu-x. 3 3 3 3 3 .3 . 3 3 . 1 . 1 . 5 3.5 . 3 3.3 4 5. Diketahui bahwa benda bergerak dengan kecepatan 3 14 5 m/detik,
dengan posisi awal di 100meter.a. Posisi benda dapat dihitung dari nilai . 3 14 5
5 (subtitusi
0)
0 0 . 0 5.0 100 diperoleh 100. Maka posisi bendasetiap saat tadalah 5 100 . Maka posisi benda pada saat 3adalah 3 3 . 3 5.3 100 49 meter.b.Kecepatan pada saat 3 adalah 3 3. 3 14.3 5 20 ,
kecepatannya bernilai negative atau gradiennya juga negative atau monoton
turun. Artinya mendekati 06. a.
2
31 5
y = x - 3
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
38/183
1
1 +
Y = -1
1
-3
x= 1
DaerahD
y =
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
39/183
b. 1 1 , maka volumenya: 1 1
1 1 1
7. Diketahui 1 dengan 0, a. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus I yaitu:
maka
1 1 b. Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa f
monoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang
Iapabila fungsi tersebut naik pada selangIatau turun pada selangI. Kemonotonan
fungsi ada:
i. 0 makaf monoton naikii. 0 makaf monoton turun
Dari hasil a. diketahui bahwa 1 0 untuk selang 0, yangartinya f monoton naik (juga monoton murni) maka f mempunyai invers pada
selang 0, .c. Bahwa jika dengan syarat 0 maka . Untuk
mencari 0, informasi yang sudah didapat adalah 1 dan 0 yaitu 1 0 maka x yang memenuhi adalah 1. Sehingga0 .
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
40/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Misalkan | 3 |, 3.a. Tentukan semua titik kritis darif.b. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum darif.
2. Diketahui lim adalah suatu limit jumlah Riemann untuk fungsif. Dengan memisalkan dan
a. Tuliskan limit jumlah Riemann di atas sebagai suatu integral tentu
b. Hitung integral tentu yang Anda dapatkan di bagian 2a
3. Hitunglah
2 | 1
|
4.
DiketahuiDadalah yang dibatasi oleh grafik dan 2a. Tentukan titik potong kedua grafik di atas.b. Gambarkan daerahDc. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika diputar mengelilingi garis 4.
5. a. Tentukandari
b. Tentukan
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
41/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Untuk menyelesaikan masalah ini sebelumnya harus dipahami dahulu mengenai
definisi harga mutlak, yaitu| | , , ,Dari definisi diperoleh bahwa fungsi | 3 |dapat ditulis 3 3 untuk 0 3 3 3 untuk 3 3a. Titik kritis
i.Titik ujung selang, yaitu: 0dan 3ii.Titik stasoiner, yaitu
0
Untuk 0 3 , 3 3 0 , diperoleh 1 dan 1,karena 1berada di luar selang, maka 1titik stasionernya.Untuk 3 3, 3 3 0 , diperoleh 1 dan 1,tetapi 1dan 1kedua-duanya berada di luar selang.Jadi titik stasionernya adalah 1
iii.Titik singular, yaitu titik dimana , yaitu di titik 3 karena turunandari kanan tidak sama dengan turunan dari kiri.
Turunan dari kanan:lim lim lim lim lim 3 6
Turunan dari kirilim lim
lim lim lim 3 6b.
Cek dari titik kritisnya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum.
i.Untuk 0, 0 0 ii.Untuk 3, 3 3 3 .3 1
iii.Untuk 1, 1 3.1 1 2 iv.Untuk 3, 3 0
Jadi titik maksimum adalah 18 dan minimumnya adalah 0.
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
42/183
2. Untuk menentukan integral tentu dari jumlah Riemann, kita lihat definisi dari integral
tentu terlebih dahulu yaitu: lim di mana .a.
lim
lim
lim lim lim Diketahui sehingga . Karena maka untuk 0diperoleh 0 dan untuk diperoleh
3
. Sehingga dari definisi integral tentu diperoleh
lim .b. Hitung . Dengan memakai permisalan 4 dan
pada saat 0 4dan 3 7, maka 3. Untuk menyelesaikan masalah ini sebelumnya harus dipahami dahulu mengenai
definisi harga mutlak, yaitu| | , , ,untuk soal ini yaitu 2 | 1| , maka| 1| 1 1 1 , 1 1 1 Sehingga 2 | 1| 2 1 2 1 1 3 1
1 1 . 9 3 1 2 12 2 124.
a. Titik potong kedua grafik: 2 2 0 2 1 0 2atau 1saat 2maka 4, diperoleh 4,2saat
1maka
1, diperoleh
1,1
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
43/183
b.
c. Disini 4 dan 4 2 4 4 2 , maka volumenya adalah
RL
RD
2
-1
f(x)
xx=
4
2
-1
(4,2)
x = y + 2
x = y2
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
44/183
4 4 2
9
4 12
3 2 12 5. Diketahui dan hitung
a.dari n n n sin ln ln
sinln
cos ln sin cos ln sin cos ln sinb. misal 5 maka ln ln 5
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
45/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. (Nilai 16) Sebuah bak air yang alasnya persegi (bujursangkar) akan dibangun untuk
menampung 12.000 air. Penutup bidang atas bak terbuat dari logam A, sementarasisi bidang bak yang lainnya terbuat dari logam B. Jika harga logamAper dua kalilipat harga logam B per , tentukan ukuran bak air agar biaya pembuatannyaminimum.
2. (Nilai 16) Misalkanffungsi kontinu dengan daerah asal bilangan real dan daerah hasil
interval , . Diketahui grafik sebagai berikut:
a. Tentukan selang kemonotonan dari grafikf.
b. Tentukan titik-titik ekstrim lokal darif.
c. Tentukan selang kecekungan dari grafik f dan titik di mana terjadi perubahan
kecekungan.
d. Bila diketahui 1, 1 , 3 2 sketsalah grafikf.3. (Nilai 16) Dengan menggunakan definisi integral tentu (limit jumlah Riemann), hitung
2
. Petunjuk: Gunakan
2
dan diketahui
4.
(Nilai 20) Diketahui cos . Tentukan fungsi fdan suatu konstanta aagaruntuk setiapxberlaku 5. (Nilai 16) Misalkan R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh , 2dan sumbu-x.
a. Gambarkan daerahR.
b. Hitung luas daerahR.
6. (Nilai 16) Alas sebuah benda pejal adalah R yang dibatasi oleh dan .Tiap penampang yang tegak lurus sumbu-y berupa setengah lingkaran dengan garis
tengah yang melintasi daerahR. Tentukan volume benda tersebut.
f'(x)
x
1
-1
1 2 3 4
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
46/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. Misal panjang sisi bak tersebut adalah s dan tingginya adalah t, Maka volume bak
tersebut adalah dan luas bahan adalah 2 4 . Misal harga untukbahan bak tersebut dimisalkan dengan H, maka harga bahan total adalah 4 . Diketahui 12 dan 2 sehingga 2 4 3 artinya adalahfungsi dari satau dapat ditulis 3 3 48 .Untuk mencari ukuran supaya harga pembuatannya minimum maka harus dicari . 48 48,
48 8 2 sehingga 30 Sehingga supaya pembuatan bak minimum maka panjang sisinya 20 dantingginya 30
2. Yang diketahui adalah grafik a. Untuk melihat selang kemonotonan dari fungsi, terlihat bahwa 0 pada
selang ,0 dan selang 1,3 artinya f monoton naik. Lalu terlihat bahwa 0 pada selang 1,1dan selang 3, artinyafmonoton turun.b. Titik ekstrim terjadi saat titik stasioner
0 pada
1 dan
3.Juga
terjadi pada titik singular yaitu tidak ada, yaitu saat 0c. Cekung atas: ,0, 0,2dan 4, . Cekung bawah: 2,4.Terjadi perubahankecekungan atau titik belok yaitu pada 2dan 4.
d.
f(x)
43210
1
x
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
47/183
3. Untuk menentukan integral tentu dari jumlah Riemann, kita lihat definisi dari integral
tentu terlebih dahulu yaitu: lim di mana .Panjang selang adalah
dimana
2 ;
2 ;
2 2 . ; , 2 ; , 2 1 . Sehingga 2 li li 2 2 li 4 li li
li
li 12 3 li 129 3 li 1 2 9 9 3 12 9 0 3 3 34. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang pertama, diketahui bahwa , oleh karena itu . Selain itu didapat
c in. Oleh karena itu berlaku c in c c c .Maka diperoleh c
5. Diketahui daerahRadalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh , 2dan sumbu-x
a)
y = y = -x + 2
y
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
48/183
a) Sebelum mencari luas kita harus tahu titik perpotongannya terlebih dahulu
yaitu: 2 2
2 1 1 1 1dan 1 2 2 2 6. Diketahui Alas sebuah benda pejal adalahRyang dibatasi oleh dan
Partisinya memiliki diameter yaitu , maka volume partisinya (berbentuk tabungtapi setengah lingkaran) adalah , maka volumenya adalah: 2
x x2 y = x
y = x2
z
x
y1
1
R
partis
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
49/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. Sebuah fungsi kontinufdengan periode mempunyai sifat-sifat: , 2, dan 2 untuk dan untuk untuk
a. Tentukan selang kemonotonan darif pada interval ,2 b. Tentukan selang kecekungan darif pada interval ,2 c. Gambarkan grafikf pada interval ,2
2.
Tentukan solusi dari persamaan differensial 3 2 1; 13. Tentukan fungsi kontinu jika diketahui .4. Diberikan fungsi ganjil dan fungsi genap dengan | | 3 dan | | 2 . Tentukan:
a. | | b. | |
5. Sebuah partikel bergerak pada sumbux. Posisi mula-mula berada di titik nol dan grafik
kecepatannya,
adalah fungsi yang terdefinisikan dan grafiknya diberikan oleh
gambar di samping. Gunakan informasi yang diberikan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut dan beri penjelasan:
a. Tenttukan posisi partikel pada saat 3.b.Selama 9 detik pertama, tentukan saat partikel paling jauh dari titik asal.
c. Kapan percepatan partikel bernilai 0?
d.Tentukan selang waktu di mana partikel bergerak mendekati titik asal.
6. Alas sebuah benda pejal adalah lingkaran 4 . Irisan penampang bendatersebut dangan bidang yang tegak lurus sumbu-x berbentuk segitiga sama sisi.
Tentukan volume benda tersebut.
(3,3)
(1,1)
(5,2)
(6,0) (9,0)
v
t
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
50/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. Dari informasi yang diberikan
a. Karena merupakan fungsi kontinu dengan periode , maka pada interval ,2 ,f monoton naik pada selang , dan , . Sedangkanf monotonturun pada selang , 0 , , dan ,2
b.Fungsifcekung bawah pada selang , 0 , 0, dan ,2c. Sketsa kurva
2. Diketahui 3 2 1; 1. Untuk mencari solusinya misalkan 2 1 2 1 2 2 . Sehingga: 32 1 (diintegralkan kedua ruas) 32 1 3 2 1 3 . 3
2 1 dimana 1maka 2. 1 10 1 1, sehingga solusinya adalah 2 1 1 .3.
Untuk menyelesaikan soal ini, perlu diketahui mengenai aturan rantai, yaitu untuk
menentukan turunan fungsi komposit yaitu: Misalkan
2maka
0
2
3/2/2 2-/2
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
51/183
. 2 .2 2 . Jadi fungsi kontinu yang dimaksud.
4. Diberikan fungsi ganjil dan fungsi genap dengan 3 dan 2 .a. (karena harga mutlak fungsi ganjil adalah fungsi
genap)
2 2 2.3 2.2 6 4 2 b. , karena fungsi ganjil dan fungsi genap, maka hasilkali fungsi ganjil dan fungsi genap adalah fungsi ganjil juga, oleh karena itu 0
5. Diketahui:
a. Posisi partikel pada saat 3?Persamaan garis yang melewati 1,1 dan 3,3 adalah , maka pososibenda adalah:
, diberitahu bahwa 0 0 , maka0 0 0 0 Sehingga
b. Pada detik ke-6 karena kecapatan selama 6 detik pertama adalah positif, sehingga
partikel bergerak menjauhi titik asal. Tetapi setelah detik ke-6 kecepatan partikel
negative, artinya partikel bergerak mendekati titik asal.
c. Percepatan nol terjadi saat titik balik kurva kecepatan, yaitu di sekitar 4 dan .d. Setelah detik ke-6 kecepatan partikel negative, artinya partikel bergerak mendekati
titik asal.
6.
Lihat gambar berikut ini
(3,3)
(1,1)
(5,2)
(6,0) (9,0)
v
t
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
52/183
Partisi mempunyai sisi 2 4 dan tingginya adalah 123, maka volume daripartisi tersebut adalah:
2 4 . 12 3 4 .123 34 , makavolume benda adalah: 34 3 4 3 4 34.2 2 42 2 3
x
1 2 3
24
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
53/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Diketahui | |. Tentukan fungsi turunan pertama dan turunan kedua fungsi f,kemudian gambarkan grafik fungsif.
2. Diketahui segitiga sama kaki ABC (lihat gambar) dengan panjang 12 dan 3. Titik Pterletak pada garis CD. Tentukan panjangDPsehingga jumlah kuadratjarak dari titik-titik sudut segitiga ABC ke titik P maksimum. (Petunjuk: misalkan
panjang .)
3. (a) Hitunglah .(b) Hitunglah 2jika diketahui co .
4. Misalkan D daerah di kuadran I dan II yang dibatasi oleh kurva-kurva 1, 1 , dan sumbuxa) Gambarkan daerahDdan tentukan luasD
b)
Hitunglah isi benda putar yang terjadi bila derah Ddiputar mengelilingi garis 15. Di sebuah SPBU, terdapat tangki bahan bakar berbentuk tabung (lihat gambar) yang
dipendam 3 satuan panjang dari permukaan tanah. Panjang tangki tersebut 6 satuan
panjang dan jari-jarinya1 satuan panjang. Pada awalnya, tangki tersebut penuh berisi
pertamax dengan berat jenis . Misalkan W menyatakan kerja yang dilakukanberdasarkan gaya berat untuk mengeluarkan setengah isi tangki bagian atas ke
permukaan tanah. Rumuskan Wdalam bentuk integral tentu tanpa dihitung.
3
1
6
3
D
P
B
C
A12
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
54/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Diketahui: | |, dimana || , 0, 0, sehingga | |
, 0 1 , 0 , 0 1 , 0
, 0 1. , 0Gambar kurva diketahui bahwa tidak terdefinisi di 1, maka 1adalah asimptot tegaknya. Lalu untuk 0li 1 dan li 1 ,maka 1dan 1adalah asimptot datarnya. Untuk 0turunan pertamanyanegative, maka fungsi turun, Untuk 0turunan pertamanya positif, maka fungsi naik. Untuk 0 1turunan keduanya negative, maka cekung bawah,untuk 1 turunan keduanya positif, maka cekung atas, untuk 0, selalupositif, maka cekung atas.
2.
Lihat kembali gambarnya
0
-1
1
1 x
f(x)
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
55/183
Inginnya maksimum, maka karena diketahui segitiga sama kaki, maka , dan diketahui , sehingga: 3 72 2 9 3 81 Misalkan 3 81 Supaya maksimum maka turunan pertama harussama dengan nol. l 1 Maka panjang
1
3. (a) Hitunglah Misal 1 1 1sehingga d 2 1
saat 1maka dan saat 4maka 1, Jadil 2 1 2
(b) Hitunglah 2jika diketahui co . Misalkan maka 2 , oleh karena itu co co . c 2
2 2 c . 2 2.2 5.4 454.
Gambar:
3D
P
B
C
A12
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
56/183
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
57/183
Maka usaha yang diperlukan adalah . 2 . 1 . 6 . 4 12 4 1
1
4 4 1
1
4
3
1
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
58/183
UJIAN AKHIR SEMESTER
(MA1122) KALKULUS 1
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
59/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2003/2004
1. Diketahui , tentukan:a. Daerah di mana grafikf naik atau turun dan titik ekstrimnya beserta jenisnya (bila
ada).
b. Daerah di mana grafik f cekung ke atas atau cekung ke bawa dan titik baliknya
(bila ada).
c. Garis-garis asimtot
d. Sketsa grafikf
2. Diketahui , tentukan 23. DaerahD dibatasi oleh kurva-kurva
dan
4
a.
Gambar daerahDdan hitung luas daerah tersebutb. Hitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar terhadap garis 1
4. Diberikan 1 . Tentukan 5. Hitung integral-integral berikut
a. 9 dengan menggunakan substitusi 9 b. .
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
60/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2003/2004
1. Diketahui a. Untuk memeriksaf naik atau turun perlu diketahui bahwa f naik untuk daerah , f turun untuk daerah dan titik ekstrim terjadi pada titik
stasioner yaitu . Untuk soal ini dimana dengan 1maka .. , lalu dicek 0 dan 0. Tetapi kita juga harus lebih kreatif karena 1 selalu negatif dan
1 selalu bernilai positif maka
selalu bernilai negatif untuk semua
kecuali di
1. Titik ekstrim untuk soal ini dicek melalui
0,
tetapi karena selalu bernilai negatif atau 0 maka nilai ekstrimtidak pernah terjadi.b.Untuk memeriksa f cekung atas atau cekung bawah, perlu diketahui bahwa f
cekung atas untuk daerah 0 , cekung bawah untuk daerah 0 dan titik balik jika 0 atau jika terjadi perubahan kecekungan .Diketahui maka . . Lalu dicek untuk
0dan
0maka melalui garis bilangan
++++++++++ ++++++++++
-1 0 1
Diperoleh : 0 atau cekung atas pada selang ,1 0,1dan 0 atau cekung bawah pada selang 1,0 1, . Lalu titikbaliknya 0 yaitu 0 (untuk 1) diperoleh 0 sebagai titik baliknya. Atau pada saat 0 terjadi perubahankecekungan.
c. Garis asimtot:
i. Untuk asimtot tegak diperoleh dengan mencari nilai x yang menyebabkan
nilaiymenjadi tak hingga yaitu, penyebut akanbernilai nol saat 1 1, maka diperoleh 1 1sebagai asimtot tegaknya.
ii. Untuk asimtot datarnya diperoleh dengan mencari nilaiysaat nilai dan . li 0 dan li 0 , maka 0adalah asimtot datarnya.
d.Grafiknya
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
61/183
2. Diketahui maka dapat ditulis sebagai berikut karena x bukan fungsi dari t. Sebelumnya kita harus tahu terlebihdahulu Teorema Dasar Kalkulus I diketahui bahwa
dapat ditulis
juga dimana . . Misal 4 dan 2 , Sehingga .Dengan aturan , diperoleh . misal terdapat a yaitu dengan sifat
, maka
Maka
2
. 2
.
.
-1 10
y
x
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
62/183
2 2 2. 3. (a)
(b) Dengan metode cincin, diketahui bahwa 1 dan 1 4 5 (perhatikan gambarnya), maka patisi volume kecilnya adalah:
5 1 24 2
maka volumenya adalah
2 4 2 24
y=4
y=-1
y=-6
y=x2
RD
RL
-1
-2
D
x
y
4
0 2
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
63/183
4. Diketahui 1 maka n n 1 n n . ln 1 ln ln . ln 1
ln 1 ln . . 2 ln 1 ln 1 ln 1 ln5. a. 9
Untuk menghitung integral perlu dilakukan substitusi 9 9 maka 2 karena 9 9 maka 2 9 , maka 9 . 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 2 3 ln 3 3 ln 3
= 2 3 ln 29 3 ln b. , diketahui bahwa c 2 1
c 2 1 c2 1 c 2 memakai pengintegralan parsial yaitu dan c 2 maka dan in2
in2
in2
in2 c2 0 0
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
64/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Sebuah silinder lingkaran tegak berjari-jari r terletak di dalam bola berjari-jari 2r
sehingga lingkaran alas dan atasnya terletak pada permukaan bola. Tentukan volume
silinder sebagai fungsi dari r
2. Tentukan konstanta adan b agar fungsi
1 ; 1 ; 1 23 ; 2 Kontinu pada (himpunan bilangan real)
3. Terdapat dua buah garis yang sejajar dengan garis dan menyinggung kurva
3
8. Jika titik singgungnya adalah A dan B, tentukan koordinat titik A
danBbeserta garis singgungnya di titik tersebut.4. Diketahui daerah tertutupDyang dibatasi oleh kurva dan 2.a. Gambarkan daerahDdan hitunglah luasnya
b. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jikaDdiputar terhadap sumbu-y
5. Laju perubahan suhu suatu benda sebanding dengan selisih suhu benda dengan suhu di
sekitarnya 30. Suatu benda yang suhunya 150 kemudian setelah 1 jam suhunyamenjadi 120 . Tentukan suhu benda setelah t jam sebagai fungsi dari tdan suhunyasetelah 2 jam.
6. Uraikan fungsi menjadi pecahan bagian kemudian hitunglah
7.
Dengan menggunakan penggantian 1 dan integral parsial, hitunglah
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
65/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Diketahui jari-jari silinder r dan jari-jari bola 2r. Lalu perhatikan gambar berikut.
Dari gambar diperoleh 2, dan 2. Dengan teorema Phytagorasdiperoleh
2 4 3
12 23Maka volume silinder sebagai fungsi dari adalah . 23 23.
2. Agar suatu fungsi kontinu pada suatu titik fungsi tersebut harus mempunyai limit kanan
dan limit kiri yang sama. Untuk soal ini, kita harus memeriksa kekontinuan fungsi ini
di titik 1dan di titik 2. Memeriksa kekontinuan fungsi di titik
1
li li li 1 li 2 (i) Memeriksa kekontinuan fungsi di titik 2li li li li 3 2 6(ii)
Dari (i) dan (ii) lakukan eliminasi dan subtitusi diperoleh 4dan 2.3. Misal kedua garis adalah garis g dan garis h, yang masing-masing mempunyai
persamaan garisyg= m
gx + a dany
h= m
hx + b. kedua garis tersebut sejajar dengan
garis y = x dan menyinggung kurvay = x3 + 3x2 8xmasing-masing di titik A dan B.
2r
rO
Q
P
h
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
66/183
a. karena garis g dan daris h sejajar dengan garisy = x, maka gradient kedua garis
tersebut haruslah sama dengan gradienty = x. jadi di peroleh mg =mh= 1.
b. Karena garis g dan garis h menyinggung kurvay = x3
+ 3x2 8x, maka gradient
kedua garis tersebut haruslah memenuhi persamaan mg = mh=dx
dy= 3x
2+ 6x
8 = 1
Kita dapat mencari titik singgung kedua garis tersebut dengan memecahkan
persamaany = x3
+ 3x2 8x = 1
0)1)(3(3
0963
1863
2
2
=+
=+
=+
xx
xx
xx
Sehingga diperoleh dua titik, yaitux = -3danx = 1
Jika kita kembali substitusi masing-masing titik ke persamaan y = x3
+ 3x2 8x,
maka akan didapatkan dua titik, yaitu (-3 , 24)dan (1, -4)
Sekarang anggaplah bahwa garisgmerupakan garis yang melewati titik (-3 , 24),
maka kita dapatkan garis gadalahy = x + 27
begitu pula untuk garis hyang melewati titik (1 , -4), maka kita dapatkan garis h
adalahy = x 5
4. a. DaerahDmerupakan daerah yang dibatasi oleh kurvay = x2
dany = 2x.
Daerah tersebut dapat di gambarkan sebagai
Luas: 2
x
y
D
2
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
67/183
b. Volume benda putar yang terjadi apabila daerahDdiputar mengelilingi sumbu y
dapat dihitung dengan menggunakan metode kulit tabung. Tabung yang dibentuk dari
hasil memutar partisi pada daerah D, diputus dan diperoleh balok/kulit tabung dengan
ukuran :
Panjang = keliling tabung = 2Lebar = jari-jari luar jari-jari dalam = Tinggi = 2x - x
2, dimana volume partisi kecilnya adalah:
2 22 Maka,
3
8
043
162
4
1
3
22
)2(2
)2(2
2
0
43
2
0
32
2
0
2
=
=
=
=
=
xx
dxxx
dxxxxVD
5. Misal : S: suhu benda
t: waktu
L: suhu sekitar ( 300C, dalam soal)
Maka )( LSKdt
dS= (
dt
dSadalah perubahan suhu terhadap waktu, Ksuatu konstanta
real)
cKteS
CKtS
KdtS
dS
SKdt
dS
+=
+=
=
30
30ln
)30(
)30(
Karena suhu benda tidak akan lebih rendah dari suhu sekitar, maka
KtCCKt eeeS .3030 +=+= +
Saat t = 0, S = 150, maka 150 = 30 + e0+C
KteS 12030+=
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
68/183
Saat t = 1, S =120maka 120 = 30 +120.eK
Ke=
4
3, jadi suhu setelah tjam = C
t
+
4
312030
Sehingga S = 30 +120(ek), setelah 2 jam, didapat S= C
+
2
4
312030
S = C
t
+
4
312030 S = 97.5
0C
Jadi suhu benda setelah dua jam adalah 97.50C
6.
Penyelesaiannya adalah
)4)(1(
)4()()(
)4)(1(
4
)4()1()4)(1(
6)(
2
2
2
22
22
+
+++
+
+++
+
++
=
+
=
xx
CAxBCxBA
xx
CBxCxBxAAx
x
CBx
x
A
xx
xxf
Sehingga A + B = 0
C B = 1
4A C = -6
Dengan menyelesaikan persamaan di atas, kita akan mendapatkan
A = -1, B = 1, C = 2
Jadi,
+
++
+=
+
+
=
+
+=
+
+=
)1(1
1
21
2
1)4(
4
1
2
1
1
1
4
2)2(2
1
1
1
4
2)(
1
1
4
2)(
2
2
2
2
2
2
xdx
xd
xxd
x
dxx
dxx
x
dxxx
xdxxf
xx
xxf
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
69/183
(Gunakan pemisalan u = x2+ 4untuk integral yang pertama, v = x/2untuk integral
yang kedua, dan w = x 1untuk integral ketiga)
Cx
x
x
Cxx
x
+
+
+
+
++
2tan
1
4ln
1ln
2
tan4ln
2
1
12
12
7. Misal 1+= xt
( )tdtdx
txdx
dt
2
2
1
12
1
=
=+
=
sehingga =+
tdtedxetx
21
lalu gunakan integral parsial dengan u = t dandv = et
Jadi Cetetdtedxetttx +==
+ 2221
( )
( )2
22
2
1
2
1
3
0
1
2
2224
22
2
e
eeee
ete
tdtedxe
tt
tx
==
=
= +
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
70/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Diketahui :
, 03 2, 0Tentukan 0agar kontinu di 0
2. Tentukandi titik , 0, jika cos
3. Sketsalah grafik fungsi dengan terlebih dahulu menentukan selangkemonotonan, titik ekstrem, selang kecekungan, titik belok dan asimtot asimtotnya
kalau ada.
4.
Tentukan pusat massa dari suatu lamina homogen yang dibatasi oleh , 6dan sumbu-x5. Diketahui 1 a. Tunjukkan bahwa mempunyai invers.b. Hitunglah 0
6. Hitunglah ln 2 7. Hitunglah
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
71/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Syarat agarf(x)kontinu dix = 0adalah )0()(lim)(lim00
fxfxfxx
==+
>>
2
1
2
223limtan
lim
2
22
00
=
=
=+=+
>>
k
kk
kkxx
kx
xx
Sehingga agarf(x) kontinu dix = 0, maka nilai kyang memenuhi adalah
.
2. Tentukanxd
yd2
2
di titik
2,0
jika xyy =cos
aturan rantai, )(cos)(cos ydy
d
dx
dyy
dx
d=
dengan aturan perkalian uvvuuv '')'( += makadx
dyxyxy
dx
d+=)(
pertama akan di cari
dx
dy dengan mendiferensialkan kedua sisi persamaan
xyy =cos
)(sin
))sin((
)(cos
xy
y
dx
dy
yxydx
dy
dx
dyxyy
dy
d
dx
dy
+=
=
+=
Nilaidx
dydi titik
2,0
adalah2
Untuk mencarixd
yd2
2
dapat dilakukan dengan mendiferensialkan kedua ruas persamaan
dx
dyxyy
dy
d
dx
dy+=)(cos . Dengan menyelesaikan pendiferensialan di samping, dan
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
72/183
kemudian mensubstitusikan titik
2,0
ke hasil pendiferensialan, akan didapatkan
=
xd
yd2
2
3.
Gambar sketsa grafik fungsi1
)(2
2
+=
x
xxf .
Agar mudah menggambarnya, carilah terlebih dahulu titik kritis dari f(x), yaitu titik
maksimum-minimum, titik potong dsb.
32
2
22
)1(
26)("
)1(
2)('
+
+=
+=
x
xxf
x
xxf
a. Kemonotonan, terjadi saatf(x) > 0atauf(x) < 0. Darif(x) di atas, dapat diketahui
bahwa f monoton naik padax > 0dan monoton turun padax < 0.
b. Titik stasioner adalah saatf(x) = 0, dan dapat dilihat pula akan terjadi saatx = 0.
c. Kecekungan akan terjadi saat f(x) > 0atau f(x) < 0. Sehingga dapat diketahui
bahwa grafikfcekung atas pada selang 33
13
3
1 x
xxfy
xx. jadi garis y = 1 merupakan asimtot datar dari f(x).
Sketsanya
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
73/183
4. Dengan mengambil partisi yang sejajar dengan sumbu x, kita akan memperoleh
2
)6(
2
221 yyxxx
++=
+=
dm= dyyydyxx )6()( 2
12
+=
dMx = y dm= dyyyy )6( 32 +
dMy = x dm= dyyyydyxyxxy )3612(2
)6( 422 ++=+
massa = +2
0
)26( dyyy =
2
27
Momen massa thd sb x
Mx= dMx
Mx= 4
63
Momen massa thd sb y
My= dMy
My= 5
306
Titik pusat massa ( )yx,
135
612
227
5306
===
m
Myx
54
63
227
463
==
y
5. a. Akan ditunjukkan f mempunyai invers, maka harus dibuktikan bahwa f monoton
murni pada daerah asalnya. Dengan TDK, adak didapatkan f(x) =41 x+ . Karena
f(x) > 0di suma nilai x, makafpasti monoton naik padaR. Maka dapat disimpulkan
bahwaf(x)mempunyai invers.
b. Apabilay = f(x), denganf(x) 0, maka)('
1)()'( 1
xfyf =
untuk fungsi tersebut,y = 0akan diperoleh jika , sehingga)1('
1)0()'( 1
ff =
jadi 22
1
11
1
)1('
1)0()'(
4
1=
+==
ff
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
74/183
6. Tulis ==1
0
1
0
43
2/
2/1
3
16
1
28
12ln duuedu
euexdxx u
uu
e
Penyelesaian
1
0
4
16
1duue u dapat dilakukan dengan menggunakan integral parsial
dengan memisalkanp= udan dq= ue4
Sehingga 1
0
4
16
1duue u
Menjadi )13(256
1
4
1
16
1
4
1
16
1 41
0
4
1
0
4+=
edueue
uu
7.
Dengan memisalkan u = e
x
+ 5maka e
x
= u 5sehingga du = e
x
dx.Maka kita akan memperoleh
=+ )5(5 uu
du
e
dxx
. Dengan mengubah)5(
1
uu
menjadi pecahan parsial yaitu:
Diperoleh dan Sehingga mengintegralkan
Ce
e
Cu
u
Cuu
duu
du
x
x
+
+=
+
=
++=
+
5ln
5
1
5ln
5
1
)5ln(5
1ln
5
1
255
1
5
1
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
75/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. (Nilai 13) Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, tunjukkan bahwa ada bilangan
real yang memenuhi persamaan: co .2. (Nilai 12) Karena dipanaskan secara merata, jari-jari sebuah bola bertambah panjang
dari 10 cm menjadi 10,05 cm. Dengan menggunakan diferensial, taksirlah pertambahan
volume bola. (Volume bola : )3. (Nilai 12) Tentukan persamaan kurva yang melalui titik 1,2dengan gradien di setiap
titik , sama dengan .4. Diketahui daerahRadalah sebagai berikut:
Hitung volume benda putar yang terjadi apabilaRdiputar mengelilingi sumbu-y
5. (Nilai 13) Diberikan fungsi n , .a. Tunjukkan bahwa fungsifmempunyai invers.
b.Hitung n 2.c. Hitung n 2.
6. (Nilai 12) Tentukan turunan dari fungsi coh.7. (Nilai 12) Hitung .8.
(Nilai 13) Hitung
R
6
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
76/183
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
77/183
Cxy += 22
2
1
2
1, kemudian kita substitusi titik (1,2)untuk mencari nilai C,
sehingga diperoleh nilai C = 3/2 . Jadi persamaan kurvanya adalah2
3
2
1
2
1 22 += xy
4.
Partisikan benda pejal yang di hasilkan dari memutar R terhadap sumbu . volumepartisi tersebut adalah
di integralkan dari 4 Sehingga volumenya adalah
3
184
32
1336
])6[(
4
0
32
4
0
2
=
+=
=
V
yyyV
dyyyV
5. a. Fungsi 0),ln()( 24 >+= xxxxf akan monoton naik jika )( 24 xx + monoton naik.
Dan telah diketahui bersama bahwa untukx > 0fungsix4danx
2monoton naik,
maka fungsi )( 24 xx + monoton naik. Maka, 0),ln()( 24 >+= xxxxf monoton
naik, sehinggaf(x)mempunyai invers.
b. )()(1 xfyxyf ==
( ) ( )( )( )( ) 0211
2ln2ln)(2ln)()2ln(
2
24241
=++
=++====
xxx
xxxxxfxfyxf
Karenax > 0, maka solusinya adalahx = 1. sehingga ( ) 12ln1 =f
4
0
R
6
R
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
78/183
c.)('
1)('1
xfxf = dari point b didapat bahwa untukx = 1dany = ln2
( ) )1('1
)2(ln'1
ff =
Untuk mencari nilai 24
3 24
)(':)1(' xx
xx
xff +
+
=
Substitusix =1 sehingga didapat 311
1.21.4)1(':)1('
24
3
=+
+=ff
Maka di dapat3
1
)1('
1)2(ln'1 ==
ff
6. Untuk lebih memudahkan perhitungan, maka kedua ruas diberi operator logaritma
natural sehingga fungsiy = (cosh x)2x-3
menjadi xxy ln(cosh))32(ln =
Dengan menurunkan kedua persamaan diperoleh
32))(coshcosh
sinh)32)ln(cosh2(
)cosh
sinh)32)ln(cosh2(
cosh
sinh)32()ln(cosh2
1
+
+=
+=
xxx
xxx
yx
xxx
dx
dy
x
xxx
dx
dy
y
Sehingga turunan dari fungsiy = (cosh x)2x-3
adalah
32))(coshcosh
sinh)32)ln(cosh2( + xx
x
xxx
7. Misal xu = maka dxx
du2
1= sehingga 2udu = dx. Karena itu,
Ceex
Ceue
Cdueue
duuedxe
xx
uu
uu
ux
+
+
+
=
22
22
22
2
8. Dengan menggunakan pecahan
3
22
23
2 )1(
1
1
xx
CxBxxA
x
CBx
x
A
xx
xx
+
+++=+
++=+
+
Berdasarkan kesamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa
A = 1 B = 0 C = -1
Jadi,23
2
1
111
xxxx
xx
+=
+
+sehingga
++
dxxx
xx3
21
= +
2
1 x
dx
x
dx n
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
79/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. Gunakan konsep diferensial untuk mengaproksimasi nilai ,.2. Tentukan persamaan garis singgung terhadap kurva n 3 1 di titikdengan absis 0.
3. Diberikan fungsi dengan k jika 0 2 4. Diketahui fungsi 1 . Tentukan interval I yang terbesar yang
memuat titik -1 sehingga fungsi mempunyai invers.
5. Diberikan sebuah segitiga siku-siku KLM yang panjang sisi-sisinya 3, 4 dan 5 cm. Di
dalam segitiga tersebut dibuat persegi panjang ABCD seperti gambar di samping.
Misalkan panjang
,
a.
Tunjukkan luas persegi panjang tersebut .b. Tentukan nilaix agar luas persegipanjang tersebut maksimal.
6. Diberikan sebuah daerah tertutup yang dibatasi oleh , grafik sumbux, dan garislurus yang melalui titik
4,2 dan
6,0, seperti pada gambar di samping. Tentukan
volume benda yang terbentuk bila daerah tersebut diputar terhadap garis 1
4
IIIII
D C
BA M
L
K
I
3
5
x
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
80/183
7. Hukum pendinginan Newton menyatakan laju perubahan temperatur sebuah objek
berbanding lurus terhadap perbadaan antara temperatur objek tersebut dengan
temperatur lingkungannya. Sepotong besi yang temperaturnya 1 diletakkan pada sebuah ruangan yang temperaturnya konstan P (keberadaan besi tidak
mengubah temperatur ruangan). Sesudah 5 menit 5 4 , dan sesudah 10 menit1 1 . Tentukan temperature ruangan tersebut.
R
4,2
,
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
81/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. Diketahui bahwa konsep diferensial yaitu . Misalkanfungsi , di mana nilai . Lalu diminta untuk mengaproksimasikan, maka terdapat perubahan nilai x dari 0 ke ,1 yang merupakan ,1,yang mana dan sehingga 1 begitu juga dengan 1, sehingga hampiran untuk ,adalah,1 , ,1 ,1 1 1 ,1 1 ,1 ,9
2. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana
. Maka gradien garis singgung dengan absis 0 dari persamaan
n 3 1 dapat di lakukan dengan pendiferensialan secara implisit yaitu n 3 1 n 3 n 3 3 3 3 n 3 n , diketahui absis 0 atau maka harus dicari terlebih dahulu yyaitu: n 3 1 maka diperoleh 1. Sehingga gradient garis singgungdi titik ,1 adalah
,
ln3 Maka persamaan garis
singgungnya adalah 1 ln 3 sehingga persamaan garis singgungnya adalah 1 ln 3.3. Untuk menyelesaikan soal ini, perlu diketahui mengenai aturan rantai, yaitu untukmenentukan turunan fungsi komposit yaitu: Selanjutnya
dan (melalui aturan rantai),sehingga diperoleh , lalu substitusi 0diperoleh
2
2 0 dimana 0Sehingga diperoleh 1 2 0 2 1 0 1 0 1.Maka nilai kyang diperoleh adalah 1
4. Menurut TDK I (Teorema Dasar Kalkulus), diketahui bahwa
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
82/183
3 2
0
3 2
)1(
)1()(
xx
dtttdx
d
dx
xdfx
+
+=
karena 1 + x2definit positif, maka pembuat nol adalahx = 0, sehingga interval terbesar
Iyang memuat 1agar fungsi tersebut memiliki invers adalah 0
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
83/183
)5(25
16
516
25
516
9
5
xKA
xKA
xKA
KA
BMxKA
=
=
=
=
Sehingga diperoleh nilai BC yaitu
xBC
xBC
KABC
25
12
5
12
)5(25
16
4
3
4
3
=
=
=
Jadi luas persegi panjang tersebut adalah
L =BC.CD
= xx
25
12
5
12= 2
25
12
5
12xx
b. agar luasnya maksimum makaL(x) = 0
L(x)= 2
25
12
5
12xX
L(x)= x25
24
5
12 = 0
2
5
5
12
25
24
=
=
x
x
6. Pertama geser kurva sejauh satu satuan, searah sumbu-x positif. Kemudian gunakan
metode kulit tabung biasa untuk mencari volume benda putar yang diputar terhadap
sumbuy (x = 0).
dengan metode kulit tabung,
1 7
1
1
442/15
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
84/183
jadi volume benda putar tersebut adalah 442/15 satuan volum.7. Persamaan diferensialnya adalah
PeQCktPQ
dtkPQ
dQ
dtkPQ
dQ
PQkdt
dQ
Ckt+=+=
=
=
=
+
ln
.
.
)(
Maka untuk :
Q(0) = eC
+P =100 (1)
Q(5) = e5k+C
+P =40 (2)
Q(10) = e10k+C
+P =16 (3)
Dari (1) dan (2) didapat eC(1-e
5k) = 60 (4)
Dari (1) dan (3) didapat eC(1-e
10k) = 84 (5)
Dari (4) dan (5) didapat
)1(
84
)1(
60105 kk
c
eee
==
Dimana 1 0 dan 1 0 , sehingga 05 7 2 0 5 2 1 0 1 0 tidak berlaku karena 0sehingga yang berlaku adalah
5
2 0
maka Lalu subtitusikan ke persamaan 2 sehingga diperolah 25 40 (6) dan daripersamaan (1) dan (6) diperoleh 3 5 60 didapat 100 Sehingga dari persamaan (1) diperoleh 100 100 0
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
85/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Pada tengah hari, pesawat A mulai terbang kea rah utara dengan kecepatan 4 /. Sejam kemudian pesawat B bergerak ke arah timur dengan kecepatan 300 /. Dengan mengabaikan kelengkungan bumi dan mengasumsikan bahwa keduapesawat tersebut terbang pada ketinggian yang sama, tentukan fungsi yang menyatakan
jarak anatara kedua pesawat tersebut pada saat tjam setelah tengah hari.
2. Diketahui fungsi 2 1 .(a)Tunjukkanf mempunyai fungsi invers
(b)Hitunglah 23. Diketahui ln 2 . Gunakan diferensial untuk menentukan nilai hampiran
0,9.
4.
Sebuah benda dimasukkan ke dalam lemari pendingin. Perubahan temperature (T,dalam satuan ) benda tersebut pada saat t (dalam satuan detik) memenuhipersyaratan
0,01 0,3 . Jika temperatur awal benda 0 30 , kapantemperature benda menjadi 0?
5. Selesaikan 6. Diketahui , 3 , 3 . Tentukan aagar f kontinu di 3.7. Jika titik , adalah titik pusat massa daerahDdi bawah ini, tentukan .
8.
Diketahui persamaan 2 1 . Hitunglah di 0
y
0
2
x
D
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
86/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Perhatikan gambar berikut ini:
Untuk pesawat yang ke arah utara menghitung jaraknya (dihitung dari tengah hari
12.00) adalah: . 400. Sedangkan untuk pesawat yang bergerak ke arah timurmenghitung jaraknya (dihitung dari tengah hari 12.00) adalah . 300 1(ini karena pesawat ke arah timur berangkat pukul 13.00). Maka fungsi jaraknya
adalah:
400 300 12. (a) Tunjukkan 2 1 mempunyai fungsi invers
Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa f
monoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang
Iapabila fungsi tersebut naik pada selangIatau turun pada selangI. Kemonotonan
fungsi ada:
iii. 0 makaf monoton naikiv. 0 makaf monoton turun
3
2 0, untuk setiapx, makafmonoton naik (juga monoton murni),
makaf punya invers.
(b) Hitunglah 2Diketahui bahwa jika dengan syarat 0 maka .Dari soal diketahui bahwa 2 sehingga 2 2 1 , maka diperolehakarnya yaitu: 1(pakai skema Horner). Sehingga 2 .
R
800
400
300
Utara (y)
timur (x)
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
87/183
3. Hampiran: . Sehingga untuk soal ,91 ,1 1 1 1. 0,1 dan ln 2 . Selanjutnyakita cari , yaitu:
, sehingga
0,9 1 0 , 1 1 1 1. 0,1 ln2 1 0,1 0 1. 0,1 0,1 4. Diketahui perubahan temperature
0,01 0,4 . Jika temperatur awal benda0 30 . Kapan temperature benda menjadi 0?Penyelesaian: 0,01 0,4 ,,
,, 100ln0,01 0,4 0,01 0,4 40 100 , diketahui 0 30 .0 30 40 100 , oleh karena itu 40 0 Kapan temperature benda menjadi 0?
0 40 0
ln 100 ln 55.96 5. Selesaikan .
Misal sehingga Karena L
6.
Dicek untuk limit kanan yaitu
li .
Dimana li memiliki bentuk , maka dapat di-lHopitalkanli li .Begitu juga untuk yang limit kiri li Maka nilai aagar kontinu di 3adalah
7.
Pusat massa untuk adalah
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
88/183
Maka hal ini terjadi karena terdapat dua fungsi yangberbeda, sehingga:
| 8. Diketahui 2 1 , maka2ln 2 2 2 2 ln2 2 2 , saat 0, maka 2 0 0 1 2 1 0 , sehingga
l
, .
.. 0
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
89/183
UJIAN TENGAH SEMESTER 1
(MA1222) KALKULUS 2
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
90/183
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
91/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1222) Kalkulus 2 Tahun 2003/2004
1. a. Untuk limit yang memiliki bentuk , maka penyelesaiannya denganmenggunakan lHopital. Untuk lim memiliki bentuk makapenyelesaiannya dengan menggunakan aturab lHopital
lim lim lim masih memiliki bentuk lim
b. Karena lim 0 maka lim1 1 0 1 2. Pertama lakukan pengintegralan terhadap . lim lim ln | limln ln 1 . Maka divergen.
Selanjutnya2
1
dx
x
kita lakukan :
2
1
dx
x
Akibatnya, dapat kita simputkan bahwa2
1
dx
x
konvergen.
Mengapa jika1
f(x)dx konvergen maka ( ) 0limx
f x
= ? Tapi kebalikan dari sifat ini
tidak benar?
Pandang1
( )limb
b
f x dx
sebagat suatu jumlah Riemann1
( )limn
i ix i
f x x =
,karena
1
( )limb
b
f x dx
konvergen maka ( ) 0limx
f x dx
=
Untuk menunjukkan kebalikan dari sifat ini tidak benar, asumsikan: jika ( ) 0limx
f x
=
maka1
( )f x dx
konvergen. Lalu kita berikan contoh penyanggah sehingga didapatkan
2
1
1 1 1
1
lim
lim lim
b
b
b
b bb
dxx
x b
=
= = +
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
92/183
pernyataan ini tidak benar.
Contoh penyanggah: pilih1
( )f xx
= , sehingga ( ) 0limx
f x
= tetapi1
( )f x dx
divergen.
3.
Suku banyak Maclaurin berderajat empat dari suatu fungsif(x) dapat dituliskansebagai:
2! 3! 4! untuk n 1 kita akan cari turunan dart fungsi f(x) sampai turunan ke limasebagai berikut:
ln 1 sehingga 0 ln 1 0 0 sehingga 0 1 sehingga 0 1 sehngga 0 2 sehingga 0 6 sehingga 0 24 Sehingga diperoleh suku banyak Maclaurin derajat empat dari ln 1 , yakni 0 1 1 2! 2 3!6 4! Suku sisa dari deret ini diberikan oleh: ! ! dengan 0 < c < xAkan ditentuka nilai k yang merupakan batas dari |1|sehingga |1| yakni:
1
.
Agar
maksimum maka haruslah
(1+c)5 minimum. Karena 0 < c < 1 maka min({(1+c)5=1 sehingga kita peroleh : k > . Jadi, telah didapat suatu batas k sehingga R4I terpenuhi, yaitu .4.
Menyelidiki kekonvergenan deret
a.
Bentuk menjadi bentuk : =1 0 0 0 1
.
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
93/183
Deret rnerupakan deret ganti tanda. Akan diujikekonvergenan dari deret sebagai berikut :Ambil suatu suku dari deret ,misalkan maka || Gunakan uji banding untuk melihat konvergensi dari deret
. Karena|| , maka dengan menggunakan uji banding dapat disimpulkanbahwa deret || konvergen sehingga konvergenDapat disimpulkan bahwa deret merupakan deret yang konvergenmutlak sehingga deret konvergenb. Untuk menyelidiki konvergensi dari deret . Ambil suatu suku di derettersebut dan suku setelahnya, misalkan Sehingga akan diuji :
lim lim 1 13 13
13lim 1 1 1 13Karena
1
konvergen.
5.
Berdasarkan uji rasio, suatu deret konvergen jika 1. Maka : lim : lim lim | 2x 1| lim | 2x 1|, untuk mencari selangkekonvergenan maka: | 2x 1| 1 , sehingga
1 2 2 1
Lalu cek dan dan substitusi ke . Untuk diperolehhasil , tetapi deret tersebut divergen (karena merupakan ekivalen denganderet harmonic atau pakai uji integral). Untuk diperoleh hasil danderet tersebut konvergen (kerena ekivalen dengan deret harmonic ganti tanda, dan
konvergen bersyarat). Jadi selang kekonvergenannya adalah
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
94/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1222) Kalkulus 2 Tahun 2004/2005
1. Hitunglah lim 2. Jelaskan mengapa , disebut integral tak wajar, kemudian periksa apakah
integral tersebut konvergen atau divergen.
3. Selidiki kekonvergenan deret 4. Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat
a. 1 5. Gunakan
,
1 1untuk menentukan deret pangkat dalam x dari
ln 1
7/26/2019 Bundel Soal TPB Kalkulus
95/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1222) Kalkulus 2 Tahun 2004/2005
1. Perhatikan bahwa :
lim 1ln 1 1 lim 1 ln 1 ln Bentuk lim merupakan bentuk sehingga dapat diseles
Top Related