5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 1/14
6INETIK SISTEM PARTIKEL
6.1. PRINSIP NEWTON UNTUK SISTEM PARTlKEL
Sebelum kita menentukan persamaan Newton II untuk sistem partikel, kita mulai
dengan menentukan persamaan Newton II untuk tiap - tiap partikel P " dimana batasan i
adalah: J ~ i ~n.
Dengan memperhatikan suatu partikel, seperti terlihat pada Gambar 6.1. di bawah,
di misalkan :
r , = vektor posisi partikel P, terhadap sistem sumbu.
massa partikel P, .
percepatan partikel P, .
gaya oleh PJkepada P, .
m,
a,
= gaya oleh semua partikel pada P, . (dalam hal iniJ;, = 0)
I' = gaya luar yang bekerja pada partikel P, .
117
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 2/14
F,
x
o,m,.a,
ox
z z
Gambar 6.1. Gaya Efektive Pada Sistem Partikel
Hukum Newton II untuk partikel Pj, dapat ditulis dengan persamaan sebagai berikut:
n
~ +Ih} = m,.a i (6.1)j=l
Bila ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan 6.1, dikalikan dengan vektor posisi r, '
maka diperoleh :
~ X
F , +i:(~I y ) = ~X
m , . a , .j= I ( 6 . 2 )
Jika persamaan 6.1 dan persamaan 6.2 diulang untuk seluruh partikel, maka diperoleh
sejumlah n persamaan 6.1 dan n persamaan 6.2, dimana i = 1, 2, 3, ..... , n.
Hukum Newton II untuk partikel P, ' dapat ditulis dengan persamaan sebagai berikut:
II
F , +Iiu =m,.a, (6.1)}=l
Bila ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan 6.1, dikalikan dengan vektor posisi r, 'maka diperoleh :
r, xF, +i:( r , X I I ) ) = r, xm ,.a , .j=l
( 6 . 2 )
Jika persamaan 6.1 dan persamaan 6.2 diulang untuk seluruh partikel, maka diperoleh
sejumlah n persamaan 6.1 dan n persamaan 6.2, dimana i = 1, 2, 3, ..... , n.
118
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 3/14
Vektor 1 1 1 "a, disebut gaya efektive dari partikel P, .Persamaan di atas menggambarkan
bahwa gaya luarJ, dan gaya dalamJ" yang bekerja pada sistem partikel, ekuivalen dengan
gaya efektive dari sistem partikel, dimana dalam hal ini berlaku :
/ 1 ] =gaya dalam oleh partikel Pjkepada partikel P, .
~, =gaya dalam oleh partikel P, kepada partikel Pj
•
F,
J,. . . . . . . . . . .· · · · 0
.II" " " ' 0
x
z
Gambar 6.2. Gaya Luar dan Gaya Dalam Pada Sistem Partikel
Gambar 6.2 menunjukkan, bahwa gaya luar dan gaya dalam yang bekerja pada
sistem partikel sarna dengan sistem gaya efektive.
Berdasarkan hukum Newton III,untuk partikel P dan partikel P , berlaku :, j
1+1- 0U j'
Momen oleh gaya~ dan gaya!;" terhadap pusat 0, adalah :
~ X /y +~Xr.=~X v , J +~J+ ( r J - ~ ) x ~ , = 0 , karena
~ +!;, = 0 , maka: ( r j -~)X~, = 0
Jadi dapat disimpulkan bahwa vektor (rJ- r)dan!;, adalah berimpit.
Apabila kita jumlah semua gaya dalam dan momen oleh gaya dalam terhadap pusat
0, maka diperoleh :
t t ( r , X J ; J = o,=1 J=l
(6.3)
119
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 4/14
Dengan memasukkan persamaan 6.3 ke dalam persamaan 6.1 dan persamaan 6.2,
maka dapat diperoleh :
(6.4)
/=1
n n
I(r, xF;)= I(r , xm,.a,)/=1
(6.5)
Persamaan 6.4 dan persamaan 6.5 menunjukkan bahwa sistem gaya luar yang bekerja
pad a sistem partikel dan sistem gaya efektive dari partikeI, adalah ekuivalen.
y
o
z
F
P~
P3 Y
m ~ : , ?F] PI
c In1J.aJ
cI2 P2
X X
Gombar 6.3. GayaLuar dan GayaEfektive Pada Sistem Partikel
6.2. LINIER DAN ANGULAR MOMENTUM SISTEM
PARTIKEL
Linier momentum dari sistem partikel dapat dituliskan dengan persamaan sebagai
berikut:
n
L= Im,.v/ .1=1
(6.6)
Sedangkan angular momentum dari sistem partikel terhadap pusat 0, adalah sebagai
berikut:
n • n
Ho =Im/.v/ =Im/.a/I................................................... (6.7)/=1 ,=1
Bila persamaan 6.6 dan persamaan 6.7, di atas di defferensialkan terhadap waktu,
maka diperoleh :
120
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 5/14
• n • n
L=Lm,.vi=Lm,.a i,=1 ,=1
(6.8)
n n
= L (v,xm ,.v,)+ L(r , xm ,.a,),=1 ,=1
n
Dimana harga: L v , X m , .V, ) = 0 ,maka:,=1
• n
Ho = L (r , xm ,.a ,) (6.9);=1
Dengan memasukkan persamaan 6.4 dan persamaan 6.5 ke dalam persamaan 6.8dan persamaan 6.9, maka dapat diperoleh :
L = F (6.10)
H o = M o (6.11)
6.3. GERAK DARI PUSAT BERAT SISTEM PARTIKEL
Bila diketahui, bahwa :
F = Vektor posisi dari pusat berat suatu sistem partikel.
n
m = Lm , = total massa dari sistem partikel., = 1
r = vektor posisi partikeli (1sisn)
maka berlaku :
_ n
m .r =Lm,.1j
, = 1
(6.12)
Dengan menggunakan sumbu x, y , Z, maka persamaan 6.12 akan berubah menjadi:_ n
m .x= L m ,.xi, = 1
_ n
m .y= L m,.y,,=1
121
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 6/14
_ n
m.z= Iml.zl1 = 1
Bila persamaan 6.12 di atas, di defferensialkan terhadap waktu, maka diperoleh
persamaan:
_ n
m.r= Iml.vI
1 = 1
_ n
m.v= Iml.vI
1 = 1
(6.13)
Bila Ladalah linier momentum dari sistem, maka :
L=m.v (6.14)
Lt=m.v=m.a (6.15)
Dan hila diketahui, hahwa :
.L= IF ,maka:
IF =m.a (6.16)
6.4. ANGULAR MOMENTUM SISTEM PARTlKEL
TERHADAP PUSAT BERATNYA
Pada Gambar 6.4. di bawah, diketahui :
oxy z = sistem sumbu tetap
0X'y'z' = sistem sumbu yang sistem sumbu tetap dengan pusat di G
G =pusat berat sistem partikel
r = posisi partikel P terhadap sumbu G ...I I xyz
v ' =kecepatan partikel P terhadap sumbu G ...I I xyz
Dimana angular momentum HG' dari sistem partikel terhadap pusat berat G,
adalah sebagai berikut :
n
HG' =Ir , 'xm,.V I ') •.•••••••.••..••......••• • .••••.•••...•••..•...• • ••.• .••• (6.17); = 1
122
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 7/14
y
x'
x
z
Gombar 6.4. Angular Momentum Sistem Partikel Terhadap Pusat Berat
Bila persamaan 6.17 di atas, di defferensialkan terhadap waktu, maka diperoleh
persamaan:
• II
HG ' = L (~'xm,.a,'), = 1
(6.18)
Dimana:
a,' =percepatan partikel P, relative terhadap sistem sumbu GX)"Z'
Dengan mengetahui, bahwa :
Dimana:
aI
=percepatan partikel P, relative terhadap sistem sumbu 0 X)'= •
=percepatan pusat G relative terhadap sistem sumbu 0 X)'Z •a
maka persamaan 6.18, berubah menjadi :
H G ' = ~(r ,xm,n, ' ) - (~m, .~)~
123
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 8/14
dimana suku kedua dari ruas kiri, harganya adalah :
n
Im,.v,, =m.rG '= 0, = 1
rG'=0 , karena G adalah pusat berat sistem, maka :
• n
HG' =Ir , 'xm,.a, '), = 1
(6.19)
dimana harga :
n
Ir , 'xm,.a,') =MG ,jadi:, = 1
IMG = SG' (6.20)
Jadi total momen terhadap pusat G oleh gaya luar, adalah sarna dengan angular
momentum terhadap pusat G dari sistem partikel.
y
m,.v,
x'
x
z
Gambar 6.5. Gerak Absolut Sistem Partikel Terhadap Pusat Berat
124
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 9/14
Dimana:
v ' =kecepatan partikel P terhadap sistem sumbu G o o o
1 I xyz
V , =kecepatan absolut partikel P, (relative terhadap 0 X } 0 = ) .
Angular momentum dari gerakan absolut sistem partikel (gerakan relative terhadap
sumbu 0 xyz ) terhadap pusat berat G, adalah :
n
HG = L ( r , 'xm,v,,)1 = 1
(6.21)
Karena harga :
V, =V+V,'
Maka:
H G = ( t m , ~ ) x ~ + t ( ~ ' x m , · v : )Dimana harga :
n
Lm,.r,' = m.r B'= 0/=1
Sehingga:
n
HG = Lm,.r,' = m.r B'= 01 = 1
/I
HG = L ( r , 'xm.v,')= HG' (6.22), = 1
Dengan memperhatikan persamaan 6.20 dan persamaan 6.22, dapat diperoleh
persamaan sebagai berikut :
.LMG =HG 0•••••••••••••••••••••• 0•••••••••••••••• 0••• 00. (6.23)
Berdasarkan analisa di atas, maka angular momentum HG dapat dihitung dengan
menentukan momen terhadap pusat G dari linier momentum partikel, dengan memperhatikan
gerakan relative terhadap sisstem sumbu Oxyz atau G x ' y 0 = o ,jadi :
n n
HG= L{r,'xm,.v,')= L{v,'xm,.v,') (6.24),=1 1 = 1
125
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 10/14
6.5. PRINSIP KEKEKALAN MOMENTUM SISTEM
PARTIKEL
Bila tidak ada gaya luar yang bekerja pada sistem partikel, maka ruas kiri dari
persamaan 6.10 dan persarnaan 6.11, adalah sarna dengan nol, dan berlaku :
L= O
Ho =O ,maka:
L =konstan
Ho = konstan (6.25)
Persamaan 6.25 ini menunjukkan bahwa linier momentum dan angular momentum
dari sistem partikel terhadap pusat 0 adalah sarna dengan nol.
Dengan memperhatikan kecepatan rata - rata pusat berat ~ dari sistem partikel,
maka:
-L=m.vBilaL =konstan, maka:
~ = konstan (6.26)
Hal ini berarti bahwa berat sistem partikel bergerak lurus dengan kecepatan konstan.
Apabila total momen terhadap pusat berat G, sarna dengan nol, maka persarnaan 6.23 menjadi
HG = konstan (6.27)
6.6. KINETIK ENERGI DARI SISTEM PARTIKEL
Lihat Garnbar 6.6, sebagai berikut :
y <> v
P,
v
x'
x
Gambar 6.6. Energi Kinetik Sistem Partikel
126
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 11/14
Energi kinetik sistem partikel dapat dituliskan dengan persamaan sebagai berikut :
T = ~ t ( m , . v / ) .j=/
(6.28)
Dengan memperhatikan sumbu gerak GXJ"z " dim ana G adalah pusat berat sistem
partikel, dapat diketahui bahwa :
Vi =V+V,'
Maka persarnaan 6.28 berubah menjadi :
T =~tm,[(~+v , ') ], = /
1=/ .=/ .=/
Dimana suku kedua dari ruas kanan adalah sarna dengan nol , maka :
(6.29)
6.7. PRINSIP IMPULS DAN MOMENTUM UNTUK SISTEM
PARTIKELApabila persarnaan 6.10 dan persarnaan 6.11 diintegralkan dalarn batas t1 sampai
dengan t2 ' maka dapat diperoleh :
12 L2
L fFdt= fdL1 / L1
12 (HoJ2
L fMo.dt = fd(Ho)1/ (HoJ/
atau
12
L/'+L fFdt =L2tJ
(6.30)
12
(Ho)/ +L fMo.dt = (Ho}21/
(6.31)
127
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 12/14
Dimana persamaan 6.30 dan persamaan 6.31 dapar dijelaskan dengan menggunakan
Gambar 6.7, sebagai berikut :
y y
mA·(vAJJ
I~nJJ
Co
0
mC.(vc11
y
1 2
LfF.dtII
x 0 x
t1
Gambar 6.7. Prinsip Impuls dan Momentum Untuk Sistem Partikel
6.8. SOAL - SOAL LATlHAN
1. Suatu bola dengan berat 20 Ib dan kecepatannya Vo = 100 ft/det, Ketika meledak
(pecah) menjadi dua bagian, yaitu bagian A dan bagian B, yang masing - masing
beratnya adalah 51b dan 15 lb. Diketahui bahwa kecepatan A dan B, seperti
terlihat pada Gambar 6.8 di bawah. Dimana 8A
= 45° dan 8B
= 30°. Hitung
kecepatan A dan B.
yA c r b,/
. . .,. . . .
/ . \ B A
. . . ./ \2 0 / b O · · · · · · · · · · : < : ; ; : . : : : : . : J 8
B<
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . • . . • . . . • . . • . . . .
Gambar 6.S. Soal Latilum No.1
128
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 13/14
2 . Suatu bola dengan berat 50 lb dan kecepatannya Vo = 200 ftldet. Ketika meledak
(pecah) menjadi dua bagian, yaitu bagian A dan bagian ~ yang masing - masing
beratnya adalah 25 lb dan 25 fbi.Diketahui bahwa kecepatan A dan B, seperti terlihat
psda Gambar 6.9 di bawah. Dimana B A = 60° dan B B = 45°. Hitung kecepatan
A danB.
Gambar 6.9. Soal Latihan No.2
3. Pada permainan biliard, bola A diberi kecepatan Vo = 10 ftldet dengan arah sejajar
sumbu meja. Diketahui bahwa bola A memukul bola B, kemudian bola C yang mula
- mula diam. Kemudian bola A, bola B dan bola C memukul tepi meja seperti terlihat
pada Gambar 6.10 di bawah. Hitung VA' VB dan Vc dengan mana bola memukul tepimeja.
8ft 2ft
______~, "
.......
4ft
7ft
Gambar 6.10. Soal Latihan No.3
129
5/14/2018 Bab6 Kinetik Sistem Partikel - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/bab6-kinetik-sistem-partikel 14/14
Suatu bola dengan berat 10 kg dan kecepatannya Vo = 150 m/det . Ketika meledak
(pecah) menjadi tiga bagian, yaitu bagian A, bagian B dan bagian C, yang masing-
masing beratnya adalah 3 kg, 4 kg dan 3 kg. Diketahui bahwa kecepatan bola A, B
dan C, seperti terlihat pada Gambar 6.11 di bawah. Dimana B A =45°, B B =0° dan B e
= 30°. Hitung kecepatan A, B dan C.
4.
/V
'd", '
B O - - - - , - . , . . . - I ' _ B _ _ _ _-I kg
('~
~r7t'
Gambar 6.11. Soal Latihan No.4
5. Pada permainan biliard, bola A diberi kecepatan va =25 mldet dengan arah sejajar
sumbu meja. Diketahui bahwa bola A memukul bola B, kemudian bola C dan
bola D yang mula - mula diam. Kemudian bola A, bola B, bola C dan bola D
memukul tepi meja seperti terlihat pada Gambar 6.12 di bawah. Hitung VA' VB've
dan vD' dengan mana bola memukul tepi meja.
2 015 085
1m
I
m . m l J' m J• T T
-~
,
~ c o&~,
A 1 1 ,
-er- e . .o~ D
\ ,
\,\ ,\
E O__:C
-\VB
1,75 m
O,5m
Gambar 6.12. Soal Latihan No.5
130
1,25 m
Top Related