PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Departemen MatematikaFMIPA-IPB
Bogor, 2012
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 1 / 20
Topik Bahasan
1 Konsep dan Istilah Dasar
2 PDB Orde-1 Terpisahkan
3 Terapan PDB
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 2 / 20
Konsep dan Istilah Dasar
Istilah-istilah
Persamaan diferensial biasa (PDB) berupa persamaan yangmelibatkan fungsi satu peubah yang tak diketahui, turunan fungsi,atau peubah bebas fungsi.
Fx, y, y0, y00, . . . , y(n) = 0
(1)
dengan y = y (x): fungsi terhadap x yang tak diketahui, x: peubahbebas, y0, y00, . . . y(n): turunan-turunan fungsi.Contoh:
dydx+ xy = 1 atau y0 + xy = 1
d2ydx2
+ y 1 = 0 atau y00 + y 1 = 0
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 3 / 20
Konsep dan Istilah Dasar
Terapan PDB
dydt = ky (model pertumbuhan populasi, peluruhan bahan radioakif)dRdS =
kS (model respons R terhadap stimulus S)
dxdt = ax (N x) (model penyebaran inovasi teknologi)dSdt +
rAM +
S = rA (model respons penjualan S terhadap iklan A)
dkdt = f (k) k c (model pertumbuhan ekonomi neoklasik)d2xdt2 + k
dxdt +
2x = 0 (model osilasi mekanik)dTdt = s+ rT
1 TTmax
T (model infeksi HIV)8
Konsep dan Istilah Dasar
Orde Persamaan Diferensial
Orde suatu persamaan diferensial adalah derajat (pangkat tertinggi)turunan persamaan tersebut.
Contoh:dydx= y) orde-1
d2ydx2
+ xdydx+ 2y = 0) orde-2
1+dydx
2!y = 0) orde-1
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 5 / 20
Konsep dan Istilah Dasar
Solusi Persamaan Diferensial
Fungsi f disebut solusi suatu persamaan diferensial jika persamaantersebut terpenuhi ketika y = y (x) = f (x) dan turunannyadisubstitusikan ke dalam persamaan diferensial tersebut.
Solusi umum suatu PDB orde-1 y0 = f (x, y) mengandungkonstanta C.Solusi khusus suatu PDB orde-1 y0 = f (x, y) dengan kondisi awaly (x0) = y0 tidak mengandung konstanta C.Permasalahan mencari solusi khusus persamaan diferensial dengankondisi awal disebut masalah nilai awal.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 6 / 20
Konsep dan Istilah Dasar
SoalTunjukkan bahwa
1 y (x) = Ce2x adalah solusi umum bagi persamaan diferensialdydx= 2y.
2 x2 + y2 = 1 adalah solusi khusus bagi masalah nilai awaly0 = x/y, y (0) = 1.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 7 / 20
PDB Orde-1 Terpisahkan
PDB Orde-1 Terpisahkan
PDB Orde 1 dikatakan terpisahkan jika dapat dituliskan dalambentuk
dydx= f (x) g (y) (2)
Untuk menyelesaikan PDB terpisahkan, kumpulkan suku-suku denganpeubah yang sama, lalu integralkan.Z dy
g (y)=Z
f (x) dx
Selesaikan integral masing-masing ruas untuk memperoleh
solusi eksplisit: y = y (x), atausolusi implisit: F (x, y) = 0.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 8 / 20
PDB Orde-1 Terpisahkan
Soal (PDB Terpisahkan)
Tentukan solusi PDB berikut:
1dydx+
xy= 0 , y (0) = 1, jawab: x2 + y2 = 1 SOLUSI
2dydt= y, y (0) = 1, y > 0, jawab: y = et
3dydx=
1+ xxy
, x > 0, y (1) = 4, jawab: y2 = 2 ln x+ 2x+ 14
4dydt= t ey, y (1) = 0, jawab: y = ln 2 ln 3 t2 , jtj < p3.
SOLUSI
5 y0 = x eyx, y (0) = 1, jawab: y = ln xex + ex + 1ee
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 9 / 20
Terapan PDB
Terapan PDBModel Eksponensial (Malthus) - 1
Cocok untuk masalah pertumbuhan tanpa adanya keterbatasanruang, sumber daya, persaingan.
Sederhana, baik untuk prediksi jangka pendek, kurang realistik untukprediksi jangka panjang.
Terapan:
pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.),peluruhan bahan radioaktif,tabungan dengan bunga dihitung kontinu, dsb.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 10 / 20
Terapan PDB
Terapan PDBModel Eksponensial (Malthus) - 2
Asumsi: laju perubahan y sebanding dengan besaran y
dydt= ky, y (0) = y0 (3)
Konstanta kesebandingan k disebut laju pertumbuhan (per kapita)(satuan: /[y][t], [y] = satuan y, [t] = satuan waktu t).Solusi (3) adalah
y (t) = y0ek t (4)
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 11 / 20
Terapan PDB
Grak Model Eksponensial
Dalam jangka panjang, y (t)! untuk pertumbuhan, y (t)! 0untuk peluruhan.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 12 / 20
Terapan PDB
Terapan Model EksponensialPrediksi Penduduk Dunia dengan Model Eksponensial
ContohSebuah koran memberitakan bahwa pada tahun 1990, banyaknyapenduduk dunia tercatat 5.3 miliar. Dengan laju pertumbuhan 0.017 (perorang per tahun) dan dengan asumsi laju pertumbuhan sebanding denganbanyaknya penduduk, maka populasi penduduk dunia diprediksi akanberlipat ganda dalam 40 tahun. Artinya, pada tahun 2030, pendudukdunia akan mencapai 10.6 miliar. Bagaimana prediksi semacam inidilakukan?
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 13 / 20
Terapan PDB
Terapan Model EksponensialUsia Benda Purbakala
Soal
Melalui pengukuran kandungan karbon C-14 pada contoh (sampel) bendapeninggalan purbakala, diperoleh hasil C-14 yang tersisa sebesar 10% darimassa semula. Bila waktu paruh C-14: 5730 tahun (diperlukan 5730tahun untuk meluruh separuhnya),
a Tentukan massa yang tersisa setelah t tahun. Jawab:y (t) = y0e
ln 25730 t.
b Berapakah usia benda tersebut? Jawab: 5730 ln 10/ ln 2 19 000tahun (dibulatkan ke ratusan terdekat).
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 14 / 20
Terapan PDB
Terapan Perluasan Model EksponensialOrang Pintar Berhenti Merokok
SoalJika seseorang membuka tabungan dengan jumlah awal S0 rupiah pada sebuah bankdengan bunga r per tahun yang dihitung secara kontinu, serta sejumlah d rupiahditabung secara reguler setiap tahun, maka besarnya tabungan pada waktu t, S (t), akanmemenuhi masalah nilai awal
dSdt= rS+ d , S (0) = S0.
a Tentukan S (t). Jawab: S (t) =S0 + dr
ert dr .
b Ketika berusia 20 tahun, "Tono Smoker" menghentikan kebiasaan merokoknya danmembuka tabungan awal sebesar Rp 100 000,- dengan bunga 8% per tahun yangdihitung secara kontinu. Ia pun secara rutin menyisihkan uang rokoknya sebesarRp 10 000,- per hari dan menabungnya Rp 3 650 000 per tahun. Tunjukkan bahwapada saat pensiun di usia 60 tahun kelak, Tono akan memiliki tabungan lebih dari1 milyar rupiah!!! (dan karenanya ia memutuskan untuk berhenti merokok).
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 15 / 20
Terapan PDB
Terapan PDBModel Logistik (Verhulst) - 1
Cocok untuk masalah pertumbuhan dengan adanya keterbatasanruang, sumber daya, persaingan.
Realistik untuk prediksi jangka panjang, sifat jangka pendekmenyerupai model eksponensial.
Terapan:
pertumbuhan populasi (penduduk, ikan, bakteri, dsb.),penyebaran inovasi, informasi, penyakit, dsb.
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 16 / 20
Terapan PDB
Terapan PDBModel Logistik - 2
Asumsi:
ada batas maksimum M (disebut daya dukung lingkungan) yangdapat "dicapai" suatu besaran y,laju perubahan y sebanding dengan besaran y dan kapasitas ruang sisaM y
dydt= ky (M y), y (0) = y0 (5)
Solusi (5) adalah
y (t) =M
1+ beMkt(6)
dengan b =My0 1.
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 17 / 20
Terapan PDB
Grak Model Logistik
ty0
0
y
M
( ) ( )01 / 1 M k tMy t
M y e-=
+ -
( )limt y t M =
Di awal, laju pertumbuhan meningkat, lalu perlahan menurun.
Dalam jangka panjang, y (t)! M(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 18 / 20
Terapan PDB
Terapan Model LogistikPenyebaran Inovasi
SoalSuatu inovasi "weed spray" dikenalkan kepada "kelompencapir"(Kelompok Pendengar, Pembaca, dan Pemirsa) petani yang berjumlah5000 orang. Andaikan laju penyebaran inovasi berbanding langsungdengan banyaknya petani yang sudah mengenal inovasi dan sisanya yangbelum mengenalnya. Di awal program, 50 petani telah mengenalnya, duaminggu kemudian 500 petani mengenalnya.
a Formulasikan model diferensial yang dimaksud. Jawab:dydt = ky (5000 y) .
b Tentukan konstanta kesebandingan model. Jawab: k = ln 1110000c Berapa lama waktu yang dibutuhkan sampai 50% petani mengenalinovasi tersebut? Jawab: hampir 1 bulan
SOLUSI
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 19 / 20
Terapan PDB
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)
Versi: 2012 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)
(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus I: Pengantar Pers. Diferensial Bogor, 2012 20 / 20
Konsep dan Istilah DasarPDB Orde-1 TerpisahkanTerapan PDB
Top Related