ANALISA RESPONS TRANSIENT Respons transient : Kondisi awal Respons steady-state : t SISTEM ORDE PERTAMA Kondisi akhir
C(s) = 1 R(s) Ts +11. INPUT : UNIT-STEP r(t) = 1
R(s) = 1 s
C(s) =
1 .1 Ts + 1 s
C(s) = 1 T s Ts + 1
c(t) = 1 e
t
T
( t 0 ) ..(*)
KURVA RESPONS
-
Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1 Pada t = T, c(t) = 0,632
T = time constant sistem Time constant lebih kecil, respons sistem lebih cepat. Slope pada t = 0 adalah 1/T Slope c(t) berkurang : 1/T pada t = 0 t = T : 0 63,2% t = 2T : 0 86,5% t = 3T : 0 95% t = 4T : 0 98,2% t = 5T : 0 99,3% t= steady state 2. INPUT : UNIT-RAMP 0 pada t =
r(t) = t
R(s) = 1 s2
C(s) =
1 .1 Ts + 1 s 2
2 C(s) = 1 T + T s 2 s Ts + 1 t c(t) = t T + T.e T
( t 0)
Kurva Respons
e(t) = r(t) c(t) e(t) = T(1 e e( ) = Tt T
)steady state error lebih kecil
- Time constant lebih kecil ( T ) 3. INPUT : UNIT-IMPULSE r(t) = S(t) R(s) = 1
C(s) =
1 Ts + 1
C(t) = 1 e t / T T
(t 0)
KURVA RESPONS
Respons turunan/derivatif suatu signal input dapat diperoleh dengan men- defferensiasi-kan respons dari sinyal input semula.
SISTEM ORDE KEDUA R(s)+
E(s)
n2 s ( s + 2 n)
C(s)
C(s) = R(s)
n
2
S2 + 2 n S +
2 n
n = frekuensi sudut natural undamped = faktor redaman Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (). Bila 0 disebut overdamp. Untuk mengetahui respons sistem orde dua, ketiga keadaan tersebut akan dibahas untuk input yang berbentuk unit step, impuls, maupun ramp. < < 1, sistem
dinamakan underdamp. Bila = 1, sistem disebut critically damp, dan bila > 1, sistem
1 Input Unit Step R(s) = 1 S Untuk sistem yang UNDERDAMP C(s) = n 2 1
S2 + 2 n S + 1 C(s) = S
2 n
S
S+2 S2 + 2 n
n 2 n
S+
d= n 1 2 = frekuensi natural teredam (damped natural frequency) 1 C(s) = S 1 = S 1 = S 1 = S 1 = S C(t) = 1 - e nt
S+2 S2 + 2 n S + 2n 2
n 2
- 2
n
+
d
2
1 2
S+2 (S + n)2 + d 2
n 2
-
n
+ +n
d2 1 2 +
S+2 (S + n)2 + (1 - 2) S+2d 2
(1 2) 1 2
n
2
d
2
n 2 d
(S + n)2 + S+n
2 d
n 2
(S + n)2 + cos dt - e
(S + n)2 + 1 2
d
nt
sin dt
C(t) = 1 - e e(t)
nt
( cos dt +
1 2
sin dt )
(t 0)
= r(t) - c(t) = ent
( cos dt +
sin dt )
(t 0)
1 2 Frekuensi osilasi transient adalah d, dan berubah dengan faktor redaman ()
Sinyal error berkelakuan seperti osilasi sinusoidal yang teredam. Pada steady-state error (t = ~), error = 0 Bila = 0 c(t) = 1 cos nt (t 0) respons menjadi undamped dan osilasi terus menerus tidak terbatas Untuk Sistem yang CRITICALLY DAMPED C(s) = 1 - e n 2
(S + n)2 S =nt
( 1 + nt )
(t 0)
Respons transient tidak berosilasi Untuk Sistem yang OVERDAMPED C(s) = ( S + n+ 1 c(t) = 1+ 2 1 ( +2 n 2 n
1 2 ) ( S + n -
n
1 2 ) S
e ( + 1)2
2 1) n t
-
1 e ( + 2 1 ( +2
2 1) n t
1)2
Untuk mendapatkan C(s) di atas : C(s) = R(s) C(s) = R(s) d
2 n
S2 + 2
n
S+ 2 n
2 n
(S + n + d) (S + n - d)n
= =
1 2 j2 (2 - 1) 2 - 1 n 2
d
n
d
= nj =
C(s) R(s) (S + n - c(t) = 1 +n n
2 1) (S + e-S2t
n+
n
2 1)
e S1t
2 2 1 S1 S2 dimana : S1 = ( + 2 1) n S2 = ( - 2 1) n
(t 0)
-
Salah satu dari komponen yang dikandung c(t) akan menghilang lebih cepat dalam respons. Dengan demikian komponen eksponensial tersebut dapat diabaikan.
-
Bila S2 diletakkan lebih dekat terhadap sumbu j daripada S1 (|S2| a0a3 2 s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 Array Routh : s4 s s s3 2
1 2 1 -6 5
3 4 5
5 0
s10
sistem tidak stabil R(s)+
K s ( s 2 +s +1 )(s + 2)
C(s)
Tentukan range K agar sistem diatas stabil ! Penyelesaian : Transfer function closed-loop
C(s) K = 2 +s +1 )(s + 2) + K R(s) s(spersamaan karakteristik : 1+ G(s)H(s) = 0 s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0 Array Routh : s4 s3 s s2 1
1 3 7/3 -9/7K K
3 2 K
K 0
s0
agar sistem stabil : 14/9 > K > 0
ANALISIS ERROR (KESALAHAN) Selain stabil, hal lain yang perlu mendapat perhatian adalah mengenai error yang terjadi apabila suatu sistem kontrol diberi input tertentu.
E(s) = R(s) G(s).H(s) C(s) = E(s).G(s) Dari kedua persamaan diatas diperoleh : E(s) = R(s) E(s).G(s).H(s) Atau [1+G(s).H(s)] E(s) = R(s) Kesalahan statis atau steady-state error :
E (s) =
R (s) 1 +G (s).H (s)
KLASIFIKASI SISTEM KONTROL
Transfer function open-loop G(s) H(s) secara umum dituliskan sbb :G )H ) (s (s = K +Z )(s +Z )......(s (s 1 2 (s +p )(s +p ).......(s S 1 2 +Z ) n +p ) n
atauGs Hs () () KT s +) T ( 1( s +) 1......( T a b = ( S T s +) T 1( s +) 1.......( 1 2 m s +) 1 T s +) 1 p
Sistem disebut tipe 0 (nol), bila = 0 ; disebut tipe 1, bila = 1; disebut tipe 2, bila = 2, dst. 1 KOEFISIEN KESALAHAN STATIS
E (s) =
R (s) 1 +G (s) (s)H
Kesalahan steady-state:e = lim e(t) ss t
sR(s) = lim s 0 1 + G(s)H(s)Untuk input benbentuk unit step : R(s) = 1/s
s 1 e = lim ss s 0 1 + G(s)H(s) s= 1 1 + lim G(s)H(s) s 0
Bila didefinisikan :(s)H Kp = s lim 0 G (s)
Maka 1 e = ss 1 + Kp Kp : Koefisien kesalahan posisi statis. a u/ sistem tipe 0(s)H Kp = s lim 0 G (s) K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim (T s + )(T s + ).......( T s + ) s S 0 1 1 1 1 2 p =K
e
ss
= e( ) =
1 1+ K
b Untuk sistem tipe > 0K p K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim (T s + )(T s + ).......( T s + ) s S 0 1 1 1 1 2 p
K = lim s 0 s =e ss = e( = ) 1 1 +K = p 1 1 = =0 1 +
2 Koefisien Kesalahan Kecepatan Statis
E (s) =
R (s) 1 +G (s) (s)H
Kesalahan steady-statee ss = lim e(t) t
= lim s.E(s) s 0 s.R(s) = lim 1 +G (s)H (s) s 0
u/ Input berbentuk unit-ramp : R(s) =
1 s2
s 1 ess = lim . 2 s 0 1 + G(s)H(s) s1 = lim s 0 s + s.G(s)H(s) 1 = lim s 0 s.G(s)H(s) 1 = lim s.G(s)H(s) s 0Bila di definisikan :K v = lim s.G(s)H(s) s 0
maka : ess = K
1 v
Kv = koefisien kesalahan kecepatan statis a u/ sistem tipe 0(s)H Kp = s lim 0 s.G (s) sK (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim 0 (T s + )(T s + ).......( T s + ) s S 0 1 1 1 1 2 p =0
e
ss
= e() =
1 = 0
b u/ sistem tipe 1sK (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m s(T s + )(T s + ).......( T s + ) 1 1 1 1 2 p
K
= lim v s 0
=K e
ss
= e( ) =
1 K
2 u/ Input Berbentuk Unit-Parabolik : r(t) = t 2
R(s) =
1 s3
e
ss
= lim s.E(s) s 0
sR(s) = lim s 0 1 + G(s)H(s) s 1 = lim . s 0 1 + G(s)H(s) s3 s = lim 2 + s 2G(s)H(s) s 0 s = s 2 + s 2G(s)H(s) lim s s 0= lim s 2 .G (s) (s)H s 0
Bila didentifikasikan :K a
makae ss = 1 K a
Ka : Koefisien kesalahan percepatan statis a u/ sistem tipe 0K a = lim s 2 .G (s)H (s) s 0
s 2K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim 0 (T s + )(T s + ).......( T s + ) s s 0 1 1 1 1 2 p =0
e
ss
= e() =
1 = 0
b u/ sistem tipe 1K a = lim s 2 .G (s)H (s) s 0
= lim s 0 =0
s 2K (T
s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m 1(T s + )(T s + ).......( T s + ) s 1 1 1 1 2 p
e
ss
= e() =
1 = 0
c u/ sistem tipe 2K a = lim s 2 .G (s)H (s) s 0
s 2K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim 2 (T s + )(T s + ).......( T s + ) s s 0 1 1 1 1 2 p =K
ess = e( ) = K
1 a
=
1 K
d c u/ sistem tipe > 2K a = lim s 2 .G (s)H (s) s 0
s 2K (T s + )(T s + )......(T 1 1 s+) 1 a b m = lim 3 (T s + )(T s + ).......( T s + ) s s 0 1 1 1 1 2 p =
e
ss
= e() =
1 =0
Latihan Soal : (1) R(s)+
1,06 s(s +1)(s + 2)
C(s)
Hitunglah kesalahan steady-state, bila input berbentuk : a) step b) ramp c) parabolik (2)
bila input r(t) = a.t (a > 0), maka tunjukkan bahwa e() dapat dibuat sama dengan 0 (nol) dengan mengubah harga KI !
Top Related