7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 1/40
1
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
LKPP
UNIVERSITAS HASANUDDIN
GEOMETRI
Transformasi & Analitik Ruang
M M’
D
Refleksi
2011
M Saleh AF
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 2/40
2
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
BAB II
TRANSFORMASI GEOMETRI DI
A. Pendahuluan
Salam hangat dan sejahtera bagi para pembelajar Kreatif!
Bab ini merupakan bagian pertama bagi anda. Semoga anda
terinspirasi dan menyenangi mata kuliah Geometri Transformasi dan
Analitik Ruang ini, dan anda dapat memahami konsep-konsep dasar
dan muatan dalam bab ini tanpa mengalami kesulitan yang berarti.
Konsep geometri “sama” dan “sebangun” sudah dikenal dibangku
SLTP/SLTA. Hal ini secara tidak langsung telah memperkenalkan
transformasi yang menyebabkan objek-objek geometri menjadi sama
dan sebangun. Misalnya sebuah segitiga dikatakan sama dan sebangun
dengan segitiga lain jika dapat dilakukan penggeseran dan memutar
satu segitiga menjadi tepat berimpit dengan segitiga yang lainnya .
Jadi secara alamiah muncul pertanyaan tentang sifat-sifat dari
transformasi yang didasarkan pada pergeseran dan rotasi.
Dalam bab ini anda akan mempelajari konsep tentang Transformasi
pada bidang digunakan untuk memindahkan suatu titik atau bangun
pada suatu bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri
yang membahas tentang perubahan (letak bentuk dan penyajian) yang
didasarkan pada gambar atau notasi matriks. Selanjutnya akan
diperkenalkan tentang pencerminan, translasi, rotasi, penskalaan,
geseran, dilatasi dan komposisi transformasi. Pada bagian akhir bab ini
diberikan soal-soal dan pembahasan masalah disekitar anda.
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 3/40
3
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
B. Sasaran Umum
Setelah mempelajari bab ini, para pembelajar kfreatif diharapkan akan
dapat memahami pengertian transformasi geometri, pencerminan
(refleksi), translasi, rotasi, dan dilatasi terhadap suatu titik atau objek
pada bidang rata, serta komposisi transformasi dengan operasi matriks
C. Sasaran Khusus
Setelah mempelajari bab ini, para pembelajar kreatif diharapkan akan
dapat :
a. menentukan bayangan sebuah titik atau objek terhadap suatu
cermin garis yang di ketahui
b. menentukan bayangan suatu objek terhadap sumbu-sumbu
koordinat , titik asal atau garis-garis tertentu yang diketahui.
c. melakukan translasi sumbu koordinat terhadap suatu objek
yang diketahui
d. melakukan suatu rotasi objek terhadap titik asal atau terhadap
sembarang titik yang diketahui
e. menentukan refleksi (pencerminan) , translasi dan rotasi sutu
objek dengan menggunakan matriks berukuran 2x2
f. membuat geseran dan penskalaan serta dilatasi pada suatu
objek terhadap sumbu-sumbu koordinat
g. menentukan komposisi transformasi linier menggunakan
matriks
h. terlatih memecahkan soal-soal transformasi berdasarkan konsep
atau dalil-dalil yang baku dan benar.
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 4/40
4
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Selamat Datang Pada Trayek Seorang Pemuda
Seorang pemuda berangkat dari rumahnya berjalan kaki selama 3 jamuntuk tiba di rumah tunangannya. Dirumah tersebut ia beristirahat
selama 1 jam, kemudian pemuda tersebut pulang ke rumahnya dengan
kendaraan motor tunangannya, Gamabr 2.0. Dapatkah anda membantu
menemukan trayek perjalanan si Pemuda tersebut diantara gambar
berikut yang menunjukkan perjalanan si pemuda sejak meninggalkan
rumah hingga kembali kerumahnya. [deuxieme]
Sumbu X : waktu dalam jam (t ) ; Sumbu Y : Jarak dalam km.Gambar 2.0
1 2 3
10
km
2 4 53 10
km
2 4 53 10
km
2 4 53
6
10
km
2 4 53
5
10
km
2 4 53
4
10
km
2 4 53
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 5/40
5
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Kegiatan Belajar 1
2.1. TRANSFORMASI GEOMETRI
2.1.1 Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik
pada bidang dengan menggunakan sifat suatu cermin datar.
Gambar 2.2a memperlihatkan bahwa titik ′ adalah bayangan
dari titik akibat refleksi terhadap sumbu D, dinotasikan
= ( ).
• = ′ , jika ∈
• D adalah mediatris (garis tengah) segmen [MM’] jika
∉
• Jika = ( ), maka = ( )
• Sebuah titik M adalah invariant akibat jika dan
hanya jika M sebuah titik pada D
M M’
D
Gambar 2.2a : refleksi
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 6/40
6
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Refleksi dalam bentuk matriks di
Misalkan : → adalah transformasi linier pada bidang
datar. Suatu titik atau bangun dapat di refleksikan dengan
delapan cara sebagai berikut
(a) Refleksi terhadap sumbu x
Perhatikan bahwa koordinat titik ( , ) akan mempunyai
bayangan ( , − ) bila dicerminkan terhadap sumbu x, Gambar
2.2b.
Jika adalah sebuah operator yang mencerminkan titik ( , )
terhadap sumbu x, maka adalah transformasi linier, sehingga
dapat di lambangkan oleh matriks berukuran 2 × 2, yaitu :
= 1 0
0 −1(2.1)
Dalam hal ini disebut matrik stnadar untuk T.
Hal ini diperoleh dari (e ) = 1
0 =
10
dan (e ) = 0
1 =
0−1
dimana (e ) merupakan kolom pertama matrik A, dan (e )
merupakan kolom kedua dari matriks A, dimana = 0
1dan
= 0
1
adalah basis standar untuk .
Gambar 2.2b : Refleksi terhadap sumbu x
x
y ( , )
( , − )
x
y
F
F′0
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 7/40
7
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Dengan demikian bayangan dari titik ( , ) akibat refleksi
terhadap sumbu x, diperoleh dari rumus
′′
= 1 0
0 −1(2.2a)
atau disingkat
= (2.2b)
(b) Refleksi terhadap sumbu y
Dengan cara serupa, koordinat titik ( , ) akan mempunyai
bayangan (− , ) bila dicerminkan terhadap sumbu y, Gambar
2.3.
Jika adalah sebuah operator yang mencerminkan vector titik
( , ) terhadap sumbu y, maka matriks standar untuk adalah
= −1 0
0 1(2.3)
Karena (e ) = 1
0 =
−10
dan (e ) = 0
1 =
01
Gambar 2.3
Refleksi terhadap sumbu y
x
y
( , )(− , )
x
y
F F′
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 8/40
8
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Jadi bayangan dari titik ( , ) akibat pencerminan terhadap
sumbu y, dinyatakan dengan rumus
′′
= −1 0
0 1(2.4a)
atau disingkat
= (2.4b)
(c) Refleksi terhadap titik asal
Jika sebuah titik ( , ) di refleksikan terhadap titik asal O,
Gambar (2.4) maka matriks standar untuk diberikan oleh
= −1 0
0 −1(2.5a)
Sehingga
′
′
= −1 0
0 −1
(2.5b)
(d) Refleksi terhadap garis =
Koordinat titik ( , ) akan mempunyai bayangan ( , ) bila
dicerminkan terhadap garis = , Gambar 2.4.
Karena (e ) = 1
0 =
01
dan (e ) = 0
1 =
10
O
( , )
( − , − ) Gambar 2.4 Refleksi
terhadap titik asal
O
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 9/40
9
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
maka matriks stnadar untuk adalah :
= 0 1
1 0 (2.6a)
Sehingga
′′
= 0 1
1 0(2.6b)
(e) Refleksi terhadap garis = − , maka matriks standar untuk
adalah
= 0 −1−1 0
(2.7a)
Sehingga
′′
= 0 −1−1 0
(2.7b)
(f) Refleksi terhadap garis = ℎ (garis yang sejajar sumbu y)
Pencerminan titik ( , ) terhadap garis = ℎ menghasilkan
bayangan ( , ′), dimana = 2ℎ − dan = , Gambar
2.5
Gambar 2.4
Refleksi terhadap garis y=x
x
y
F
F′
=
x
y
( , )
( , ) =
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 10/40
10
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Jika di notasikan dalam matriks transformasi, rumusnya adalah
′′ = −1 00 1
+ 2ℎ0
(2.8)
(g) Refleksi terhadap garis = (sejajar sumbu x)
Pencerminan titik ( , ) terhadap garis = menghasilkan
bayangan ( , ′), dimana = dan = 2 − , Gambar
2.6
Jika di notasikan dalam matriks transformasi, rumusnya adalah
′′
= 1 0
0 −1 +
02
(2.9)
(h) Refleksi terhadap titik ( , )
Bayangan dari titik ( , ) bila direfleksikan terhadap titik
( , ) adalah ( , ′) dengan = 2 − dan = 2 − ,
Gambar 2.7, sehingga
Gambar 2.5 : Refleksi terhadap
garis = ℎ
( , )
( ′, ′)
(2ℎ − , )
2ℎ −
x = h
x
y
Gambar 2.6 : Refleksi terhadap
garis =
( , )
( ′, ′)
( , 2 − )2 −
y = k
x
y
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 11/40
11
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
′′
= −1 0
0 −1 +
22
(2.10)
2.1.2 Translasi di
Translasi adalah perpindahan titik-titik pada bidang dengan
jarak dan arah tertentu yang diwakili oleh ruas garis berarah
(vector) atau dengan suatu pasangan bilangan(ℎ, ), Gambar
2.5.
Trnaslasi = ℎ
memetakan titik M(x, y) ke titik M′( , ′),
dimana = + ℎ dan = + , dinotasikan sebagai
= ℎ
: M(x, y) → M′(x + h, y + k) (2.11a)
M′
M
Gambar 2.8
( , )
( ′, ′) = (2 − , 2 − )2 −
2 a − xx
y
( , )
Gambar 2.7 : Refleksi terhadapa titik ( , )
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 12/40
12
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Dalam bntuk matriks, bayangan diperoleh dengan rumus
′
′ = +
ℎ
(2.11b)
disingkat
= + (2.11c)
Langkah-langkah translasi
• Letakkan suatu titik atau bangun F pada suatu bidang (2D)
• Translasikan objek F dengan menambahkan jarak horisontal
= ℎ dan jarak pertikal = dari posisi semula,
sehingga titik atau bangun F bergeser tanpa mengalami
perubahan dimensi,Gambar 2.9.
2.1.3 Perputaran (rotasi)
Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan memutar
titik-titik tersebut sebesar sudut terhadap suatu titik pusat
rotasi I, disebut rotasi. Sebuah titik mempunyai bayangan di
titik ′ melalui rotasi pada pusat I dengan sudut di notasikan
sebagai = ( , )( ) , disingkat = ( ), Gambar 2.10
Gambar 2.9a :
sebelum translasi
Gambar 2.9b :
setelah translasi
x
y
O′
F′
O
x′
y′
x
y
0
F
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 13/40
13
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
dengan sifat bahwa
•M = M’ jika M = I
• IM = IM’ dan
sudut ; ′ = , jika M ≠
(a). Rotasi terhadap titik pusat (0,0)
Misalkan adalah transformasi linier yang memetakan ke
dalam yang merotasi setiap vector sebesar sudut yang
berlawanan arah jarum jam, terhadap titik asal (0,0). Pada
Gambar 2.11, tampak bahwa dipetakan ke
cossin dan peta dari
adalah −sin
cos. Matriks A yang melambangkan transformasi
ini akan memiliki entri-entri kolom pertama cos
sindan kolom
keduanya adalah −sin
cos, sehingga matrik transformasinya
adalah
= cos − sinsin cos
(2.12)
Secara geometrik ,jika = sembarang vector di , maka
untuk memutar berlawanan arah jarum jam sebesar sudut ,
maka tinggal mengalikan matriks dengan vector , Gambar 2.12.
M’
M
IGambar 2.10 : Rotasi
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 14/40
14
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Penurunan rumus (2.12) diperoleh sebagai berikut ,Pada koordinat
polar , titik ( , ) dinyatakan sebagai
= cos ∅ dan = sin ∅, dan bayangannya, dinyatakan
sebagai ( , ′) , Gambar 2.11, dimana
= cos(∅ + ) = ( cos ∅ )cos − ( sin ∅) sin
= sin(∅ + ) = ( cos ∅) sin + ( sin ∅ )cos ,
Setelah cos∅ dan sin∅, disubtitusi diperoleh
′ = cos − sin dan ′ = sin + cos
atau dalam bentuk matriks di tuliskan :
′′
= cos − sin
sin cosdisingkat = A (2.13)
Gambar 2.11
r
( , ′)y
x∅
r
( , )
Gambar 2.12
r
( , ′
)y
x
∅
r
( , )
( , )
O
(1,0)
(0,1)
(cos , sin )
(−sin , cos )
Gambar 2.11 Gambar 2.12
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 15/40
15
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
(b). Rotasi terhadap titik ( , )
Jika suatu titik ( , ) di putar sebesar sudut yang berlawanan
arah jarum jam dengan pusat titik ( , ), dan bayangannya adalah
( , ′), Gambar 2.12, dengan
− = ( − ) cos − ( − ) sin
− = ( − ) sin + ( − ) cos
atau dalam bentuk matriks, di tuliskan sebagai
′′
= cos − sin
sin cos
−− + (2.14)
2.1.4 Perkalian atau Dilatasi (Dilatation)
Suatu transformasi yang berbentuk
( ) = (2.15)
disebut dilatasi (perkalian) dengan faktor bilangan positif dengan
pusat dilatasi di O(0,0). Jika > 1 menghasilkan gambar yang
diperbesar (ekspansi), Gambar 2.13.a dan jika 0 < < 1,
menghasilkan gambar yang diperkecil (reduksi), Gambar 2.13b.
Transformasi dilambangkan oleh matriks = dengan
matriks identitas berukuran 2 × 2.
Gambar 2.13a : ekspansi, k=1.5
′
′
O
Gambar
semula
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 16/40
16
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Gambar 2.13a adalah sebuah ekspansi yang memperbesar
gambar dengan faktor sebesar = 1.5, yang berarti =
1.5 dan = 1.5 . Sedangkan Gambar 2.13b adalah
suatu reduksi yang memperkecil gambar dengan faktor sebesar
= , yang berarti " = dan " = .
Karena transformasi dilambangkan oleh matriks =
dengan matriks identitas berukuran 2 × 2, maka rumus
trnasformasi (2.15) dengan pusat (0,0) dapat dinyatakan
dalam bentuk :
′′
= 0
0(2.16)
disingkat
′ = atau ( ) = (2.17)
dengan = 0
0
Dilatasi dengan pusat ( , ) dinyatakan dengan rumus
′′
= 0
0
−− + (2.18)
Penskalaan dan Geseran (Scaling and Shear)
Jika koordinat x dari setiap titik pada bidang dikalikan dengan
sebuah konstanta positif , maka efeknya adalah memperbesar
Gambar 2.13b : reduksi, k=2/3
"
"
O
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 17/40
17
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
atau memperkecil gambar bidang datar dalam arah x. Jika
0 < < 1 , maka hasilnya adalah sebuah penskalaan yang
memperkecil (reduksi) gambar dalam arah x, dan jika > 1,
maka hasilnya akan memperbesar (ekspansi) gambar dalam arah x,
dengan matriks standar
00 1
. (2.19a)
Dengan cara serupa matriks standar untuk penskalaan ke arah y
adalah
1 00 (2.19b)
Geseran
Jika sebuah transformasi menggerakkan setiap titik ( , ) sejajar
sumbu x sebesar . ke posisi yang baru ( , ) = ( + . , ),
transformasi seperti ini disebut geseran (shear ) ke arah x, dengan
matriks standar
= 1
0 1, ∈ (2.20a)
Demikian juga bila setiap titik ( , ) sejajar sumbu y sebesar ke
posisi yang baru ( , ) = ( , + . ), transformasi seperti ini
disebut geseran ke arah y dengan matriks standar
= 1 0
1 , ∈ (2.20b)
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 18/40
18
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Tabel 2.1: Tabel Pemetaan dan Matriks Transformasi
No Jenis Transformasi Pemetaan / Bayangan Matriks transformasi
1 Refleksi terhadapsumbu x
( , ) → ( , − ) 1 00 −1
2 Refleksi terhadap
sumbu y( , ) → (− , )
−1 00 1
3 Refleksi terhadap
titik asal (0,0) ( , ) → (− , − )
−1 00 −1
4 Refleksi terhadap
garis = ( , ) → ( , )
0 11 0
5 Refleksi terhadap
garis = − ( , ) → (− , − )
0 −1−1 0
6 Refleksi terhadap
garis = ℎ
( , ) → (2ℎ − , ) −1 0
0 1 +
2ℎ0
7 Refleksi terhadap
garis = ( , ) → ( , 2 − )
1 00 −1
+ 02
8 Refleksi terhadap
titik ( , ) ( , ) → (2 − , 2 − )
−1 00 −1
+ 2ℎ2
9 Rotasi terhadap titik
(0,0) sebesar sudut
berlawanan arah
jam
( , ) → ( cos − sin ,
sin + cos )
cos − sinsin cos
10 Rotasi terhadap titik
( , ) sebesar sudut
berlawanan arah
jam
− = ( − ) cos
−( − ) sin
− = ( − ) sin+( − ) cos
cos − sinsin cos
−−
+
11 Dilatasi terhadap
titik pusat (0,0),
dengan faktor skala
> 0
( , ) → ( , ) 0
0
12 Translasi ℎ ( , ) → ( + ℎ, + ) +
ℎ
13 Scaling ke arah x
dengan faktor
> 0
( , ) → ( , )0
0 1
14 Scaling ke arah y
dengan faktor
> 0( , ) → ( , )
1 0
0
15 Geseran ke arah x
dengan faktor ∈ ( , ) → ( + , )
10 1
16 Geseran ke arah y
dengan faktor ∈ ( , ) → ( , + )
1 01
17 Bentuk umum
transformasi
Geometri
( , ) → ( , ′)= += +
Sumber : Modul Geometri transformasi H12SA
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 19/40
19
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Matriks-matriks transformasi tersebut diasumsikan dapat dibalik
(mempunyai invers)
2.2 KOMPOSISI TRANSFORMASI DI
Gabungan dari beberapa transformasi disebut komposisi
transformasi. Transforma dilanjutkan transformasi
terhadap titik ( , ), dapat digambarkan dalam bentuk bagan
urutan transformasi sebagai berikut:
( , ) ′( ′, ′) ′′( ′′, ′′)
yang dapat dituliskan dalam bentuk komposisi transformasi
berikut
= ∘ ∶ ( , ) ∘
′′( ′′, ′′)
dibaca “transforma dilanjutkan dengan transformasi
terhadap titik ( , )”.
2.2.1 Komposisi untuk Transformasi yang berbentuk perkalian
matriks (Multiplikatif)
Jika = adalah matriks yang bersesuaian dengan
trnasformasi dan =ℎ
adalah matriks yang
bersesuaian dengan trnasformasi , dengan dan matriks-
matriks yang dapat dibalik. Maka komposisi transformasi
menghasilkan perkalian matriks berikut :
(a) ∘ = =ℎ
(2.21)
(b) ∘ = =ℎ
(2.22)
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 20/40
20
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
dimana ∘ ≠ ∘
Rumus ini dapat diperluas untuk berhingga banyaknya
transformasi, dengan memperhatikan urutan trnasformasinya.
2.2.2 Komposisi untuk transformasi yang berbentuk
penjumlahan matriks (Additive)
Jika translasi = ℎ
dan = maka komposisi translasi
dilanjutkan dapat diwakili oleh translasi tunggal yang
ditentukan oleh
∘ = ℎ
+ = ℎ +
+(2.23)
Perhatikan diagram translasi berurutan yang mentranslasikan
titik ( , )
′′
′′′′
maka bayangan komposisi translasi adalah
′′′′
= + ℎ +
+(2.24)
Sifat-sifat komposisi translasi
(a) Jika dan dua translasi berurutan, maka
∘ = ∘ (komutatif )
(b) Jika tiga translasi berurutan , dan , maka
( ∘ ) ∘ = ∘ ( ∘ ) (asosiatif )
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 21/40
21
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
2.2.3 Transformasi Oleh Perkalian Matriks yang Dapat Dibalik
Teorema 2.1
Jika : → adalah perkalian oleh sebuah matriks
berukuran 2 × 2 yang dapat dibalik (mempunyai invers), maka
efek dari T adalah sama seperti urutan yang sesuai dari
gesesran, dilasi (kontraksi, ekspansi) dan refleksi.
Bukti
Karena matriks dapat dibalik, maka dapat direduksikepada identitas dengan urutan berhingga dari operasi baris
elementer. Sebuah baris elementer dapat dilakkan dengan
mengalikan sebuah matriks elementer dari kiri, sehingga ada
matriks-matriks elementer , , ⋯ , sedemikian sehingga.
⋯ , = (2.25)
Dengan mengalikan dari kiri ⋯ pada (2.25),
diperoleh
⋯ ⋯ , = ⋯
atau = ⋯ ∎ (2.26)
Teorema 2.2
Jika : → adalah perkalian oleh sebuah matriks
berukuran 2 × 2 yang dapat dibalik , maka
(a) Bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus
(b) Bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah
garis lurus melalui titik asal
(c) Bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis
lurus yang sejajar
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 22/40
22
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
(d) Bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik
adalah segmen garis yang menghubungkan
bayangan P dan bayangan Q.
(e) Bayangan dari tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika
dan hanya jika titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis
(koliner)
Dengan kedua teorema ini, dapat dijelaskan efek geometrik dari suatu
transformasi oleh perkalian matrik yang dapat dibalik.
Luas daerah bangun hasil transformasi
Jika mtariks transformasi adalah = yang
mentransformasikan bangun menjadi ′ maka luas bangun
= |(| |)| × (2.27)
dimana |(| |)| nilai mutlak determinan A dan
| | = = −
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 23/40
23
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
2.3 APLIKASI GEOMETRI TRANSFORMASI
Pada bagian ini akan dibahas beberapa soal-soal untuk memperjelas
konsep teori yang telah diuraikan sebelumnya.
2.3.1. Refleksi
1. Tentukan bayangan dari ruas garis yang berpangkal di titik
(1,1) dan berujung di titik (2,3) melalui refleksi terhadap
(a) sumbu x , (b) sumbu y , (c) titik asal , (d) = , (e)= − , (f) = 3
Penyelesaian
(a). Refleksi garis AB terhadap sumbu x. Dengan rumus (2.1),
maka
Bayangan titik (1,1) adalah
= ′
′ =
1 00 −1
11
= 1−1
Bayangan titik (2,3) adalah
= ′
′ =
1 00 −1
23
= 2−3
(b).Refleksi garis AB terhadap sumbu y. Dengan rumus (2.2a),
maka
Bayangan titik (1,1) adalah
= ′
′ =
−1 00 1
11
= −1
1
Bayangan titik (2,3) adalah
= ′
′ =
−1 00 1
23
= −2
3
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 24/40
24
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
(c). Refleksi garis AB terhadap titik asal (0,0). Dengan rumus
(2.5b), maka
Bayangan titik (1,1) adalah
= ′
′ =
−1 00 −1
11
= −1
−1
Bayangan titik (2,3) adalah
= ′
′ =
−1 00 −1
23
= −2
−3
(d). Refleksi garis AB terhadap garis = . Dengan rumus (2.6b),
maka
Bayangan titik (1,1) adalah = ′
′ =
0 11 0
11
= 1
1
Bayangan titik (2,3) adalah = ′
′ =
0 11 0
23
= 3
2
(e). Refleksi garis AB terhadap garis = − . Dengan rumus
(2.7b), maka
Bayangan titik (1,1) adalah
= ′
′ =
0 −1−1 0
11
= −1
−1
Bayangan titik (2,3) adalah
= ′
′ =
0 −1−1 0
23
= −3
−2
(e). Refleksi garis AB terhadap garis = 3 (sejajar sumbu x).
Dengan rumus (2.9), maka bayangan titik (1,1) adalah
= ′
′ =
1 00 −1
11
+ 02(3)
= 1
5
Bayangan titik (2,3) adalah
= ′
′ =
1 00 −1
23
+ 02(3)
= 2
3
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 25/40
25
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Hasil dari semua refleksi ini di tunjukkan dalam Gambar 2.14.
Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi terhadap sumbu y
Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Refleksi terhadap garis =
Refleksi terhadap garis = −
Refleksi terhadap garis = 3
2.3.2 Translasi
2. Sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut
(1,0), (3,1) dan (3,−1), di translasikan pada vector
= 4
3. Tentukan dan gambar hasil translasi tersebut.
Penyelesaian
Dengan rumus (3.11b), maka bayangan hasil transformasitiap-
tiap titik sudut segitiga ABC adalah
O
=
= −= 3
B(2,3)
A(1,1)
1
2
3
4
5
6
(1,5)
(2,−3)(−2,−3)
(3,2)
(−2,2)
(−1,1)
(−1,−1)
(−3, −2)
(1,−1)
Gambar 2.14 : Refleksi
1
2
3
4
5
6
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 26/40
26
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
′
′ =
10
+ 4
3 =
53
; ′
′ =
31
+ 43
= 7
4;
′′
= 3−1
+ 43
= 72
Sehingga diperoleh titik-titik (5,3), (7,4) dan (7,2) ,
Gambar 2.15
2.3.3 Rotasi
3. Diberikan titik (3,1) dan (2,3). Carilah bayangan segmen
garis AB dengan rotasi 90 berlawanan arah jarum jam dengan
pusat titik asal yaitu ( , )( )
Penyelesaian . Dengan rumus (2.13a), maka
( , )( ): = ′
′ =
cos 90 − sin 90sin 90 cos 90
31
= 0 −1
1 031
= −1
3
( , )( ): = ′
′ =
cos 90 − sin 90sin 9 0 cos 90
23
= 0 −1
1 023
= −3
2
Jadi hasil rotasi segmen garis AB adalah segmen ′ ′
dengan (−1,3) dan (−3,2), Gambar 2.16
x
y
(1,0)
B(3,1)
C(3, −1)
A
0
(a). sebelum translasi
Gambar 2.15
(b). setelah translasi
A′
B′(7,4)
C′(7,2)
x
y
0
(5,3)
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 27/40
27
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Cara lain adalah sebagai berikut :
( , )( ) =′ ′
= 0 −1
1 03 21 3
= −1 −3
3 2
Jadi kolom pertama adalah = (−1,3) dan kolom kedua
adalah (−3,2).
4. Tenukan bayangan parabola = + 1 bila dirotasikan
sebesar 90 berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat
rotasi (2, −1)
Penyelesaian
Ambil sembarang titik ( ′, ′) pada parabola, sehingga
′ = ′ + 1. Rotasikan titik sebesar 90 berlawanan arah
jarum jam dengan titik pusat rotasi ( , ) = (2, −1), sehingga
diperoleh bayangan titik ( , ), dengan
′′
= cos 90 − sin 90
sin 9 0 cos 9 0
−− +
= 0 −1
1 0
− 2+ 1
+ 2−1
= − − 1
− 2 +
2−1
= − + 1
− 3
B (−3,2)
A (−1,3)
A(3,1)
B(2,3)
O
Gambar 2.16
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 28/40
28
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
diperoleh persamaan
= − + 1 atau = 1 − ′
dan = − 3 atau = + 3
Subtitusi pada parabola = + 1, diperoleh
1 − = ( + 3)
1 − = ′ + 6 + 9 atau = − ′ − 6 − 8
Jadi bayangan dari parabola = + 1 akibat rotsi 90
berpusat di (2,−1) adalah
= − − 6 − 8
2.3.4. Dilatasi
5. Sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut
(2,0), (4,1) dan (4, −1), Tentukan dilatasi dengan
= 1/2 dan = 3 2⁄ . Kemudian gambarkan hasil
transformasinya.
Penyelesaian
Berdasarkan rumus dilatasi (2.16) untuk = 1/2 dan = 3/2
masing-masing adalah
0
0dan
0
0.
Tuliskan koordinat-koordinat x pada baris pertama dan y pada
baris kdua dari titik-titik A,B dan C, demikian pula untuk
bayangannya, sehingga:
• Untuk = 1/2,
′ ′ ′
′ ′ ′ =
0
02 4 40 1 −1
= 1 2 2
0 −
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 29/40
29
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
• Untuk = 3/2,
′ ′ ′′ ′ ′
= 00
2 4 40 1 −1
= 3 6 60 −
Jadi dilatasi dengan = 1/2, ukuran segitiga ABC mengecil,
dengan faktor sebesar = 1/2 , Gambar 2.17b, dan dengan
dengan = 3/2, maka ukuran segitiga ABC akan membesar
dengan faktor = 1.5, Gambar 2.17c
Cara lain dapat dilakukan dengan mendilatasikan setiap titik-
titik segitiga ABC dan memberikan hasil yang sama.
(c). Ekspansi, = 1.5
B"(6,3 2⁄ )
C"(6,−3 2⁄
A"0
(3,0)
B′(2, 1/2)
C′(2,−1/2)
A′
0 (1,0)
(b).Kontraksi, = 1/2
B(4,1)
C(4,−1
A0 (2,0)
(a).Gambar semula
Gambar 2.17 : Dilatasi
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 30/40
30
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
2.3.5. Komposisi Geseran dan Refleksi (Composition of Shear
and Reflection)
6. (a). Tentukan sebuah transformasi matriks dari
yang mula-mula menggeser objek dengan sebuah faktor sebesar
= 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap
garis = .
(b). Tentukan sebuah transformasi matriks dari
yang mula-mula merefleksikan objek terhadap garis = dan
kemudian menggeser dengan sebuah faktor sebesar = 2
dalam arah x .
(c). Berikan sebuah contoh figur untuk soal (a) dan (b)
untuk memperlihatkan efek transformasi tersebut.
Penyelesaian
(a). Dari rumus (2.20a), matriks standar untuk geseran kearah
x dengan faktor = 2 adalah
= 1 2
0 1dan dari rumus (2.6a) ,matriks refleksi terhadap garis =
adalah
= 0 1
1 0
Sehingga matriks standar untuk geseran yang di ikuti oleh
refleksi adalah
= 0 1
1 01 20 1
= 0 1
1 2
(b) dengan cara serupa, maka matriks standar untuk refleksi
yang di ikuti oleh geseran adalah
= 1 2
0 10 11 0
= 2 1
1 0
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 31/40
31
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Dari kasus ini tampak bahwa ≠ , sehingga efek
penggeseran kemudian di ikuti refleksi berbeda dari efek
refleksi kemudian di ikuti penggeseran.
(c) Gambar 2.18 memperlihatkan efek transformasi pada sebuh
persegi panjang
Verifikasi
Perhatikan titik (3,1) dituliskan = 3
1, dan misalkan
bayangannya adalah ( , ) atau ′
′, maka aturan
kompositnya
(a). ′
′ = =
0 11 2
31
= 1
5, yang sesuai hasil
(b) . ′
′ = =
2 11 0
31
= 7
3, yang sesuai hasil
Refleksi
terhadap =
Geseran pada arah ,
= 2Figur semula
1,3 =
3,1
7,3
Refleksi terhadap
=
Geseran pada arah ,
= 2
Figur semula
Gambar 2.18
3,1 5,1
1,5
=
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 32/40
32
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Jika di kehendaki mencari titik semula, maka dapat dicari dengan
rumus
= [ ] ′
′ =
0 11 −2
73
= 3
1
yang merupakan titik semula.
7. (a) Tentukan hasil transformasi matriks = 2 4
3 5terhadap
titik (2, −3) dan
(b) Kemudian cari efek geometrinya yang merupakan urutan
transformasinya
Penyelesaian
(a). Bayangan dari 2−3
adalah ′
′ =
2 43 5
2−3
= −8−9
(b). Lakukan operasi baris elementer pada matriks transformasi
2 43 5
× 1 23 5
1 20 −1
×( ) 1 20 1
1 00 1
dengan
= 0
0 1, =
1 0−3 1
, = 1 0
0 −1, =
1 −20 1
,
dan
= 2 0
0 1, =
1 03 1
, = 1 0
0 −1 , =
1 20 1
sehingga
= = 2 0
0 11 03 1
1 00 −1
1 20 1
= 2 4
3 5
Dengan membaca dari belakang maka efek geometri dari
tarnsformasinya adalah
(a). geseran ke arah x dengan factor = 2 , di ikuti
(b). refleksi terhadap sumbu x, di ikuti
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 33/40
33
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
(c). geseran kea rah y dengan factor = 3, di ikuti
(d). scaling kea rah x dengan skala = 2
Pemeriksaan :
1 20 1
2−3
= −4
−3 →
1 00 −1
−4−3
= −4
3 →
1 03 1
−43
= −4
−9
→ 2 0
0 1−4−9
= −8
−9
(a) → (b) → (c) → ( )
8. Nyatakan matriks = 1 2
3 4sebagai hasil kali matriks-
matriks elementer dan jelaskan efek geometric dari perkalian
oleh A dalam geseran, dilasi dan refleksi.
Penyelesaian
Matrik dapat direduksi pada matriks identitas berukuran 2 × 2
sebagai berikut :
1 23 4
1 20 −2
×1 20 1
1 00 1
Ketiga operasi baris yang berurutan tersebut dapat dilakukan dengan
mengalikan dari sebelah kiri oleh
= 1 0−3 1
, = 1 0
0 − , = 1 −2
0 1
Invers masing-masing matriks ini adalah
= 1 0
3 1 , =
1 00 −
, = 1 2
0 1
Berdasarkan (2.26) maka
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 34/40
34
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
= = 1 0
3 11 00 −2
1 20 1
Tetapi 1 0
0 − =
1 00 −1
1 00 2
, maka A dapat dituliskan dalam
bentuk
= 1 0
3 11 00 −1
1 00 2
1 20 1
Dengan membacanya dari arah kanan ke kiri, terlihat bahwa efek
pengalian matriks ekivalen dengan
(a). Geseran oleh sebuah faktor = 2 dalam arah x
(b). Kemudian menskalakannya dengan faktor sebesar =2 dalam
arah y
(c). Kemudian merefleksikannya terhadap sumbu x
(d). Kemudian menggesernya dengan sebuh faktor = 3 pada arah y
9. Tentukan bayangan garis = 2 + 1 melalui transformasi
matriks = 3 1
2 1
Penyelesaian
Menurut teorema 3.2, matriks = 3 1
2 1dapat dibalik
sehingga memetakan garis = 2 + 1 ke dalam garis yang
lain.
Misalkan ( . ) adalah sebuah titik pada garis = 2 + 1 dan
( ′, ′) adalah bayangannya di bawah perkalian oleh , maka
= atau ′
′ =
3 12 1
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 35/40
35
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Karena A dapat dibalik, yaitu =.
( ) =
1 −1−2 3 =
1 −1−2 3 , maka
= A ′ atau = 1 −1−2 3
′′
, diperoleh
= −
= −2 ′ + 3 ′(∗)
Dengan mensubtitusikan (*) ke dalam = 2 +1 diperoleh
−2 + 3 = 2( − ′) + 1
⟺ 5 = 4 + 1 atau = ′+
Jadi ( , ) memenuhi persamaan garis = + yang
diminta.
10. Cari bayangan sebuah bujur sangkar dengan titik-titk sudut(0,0), (1,0), (0,1) dan (1,1) di bawah transformasi perkalian
oleh matriks = −1 3
3 −1dan tentukan luas daerah bayangannya
Penyelesaian
Transformasikan setiap titik-titk sudut bujur sangkar untuk
memperoleh bayangannya
′
′
= −1 3
3 −1
0
0
= 0
0
′
′
= −1 3
3 −1
1
0
= −1
3
′′
= −1 3
3 −101
= 3−1
′′
= −1 3
3 −111
= 22
Jadi bayangan bujur sangkar adalah sebuah jajaran genjang
′ ′ ′ ′ dengan titik-titik sudut
′(0,0), ′(−1,3), ′(3,−1) dan ′(2,2), Gambar 2.19.
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 36/40
36
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Berdasarkan rumus (2.27), maka luas jajaran genjang
′ ′ ′ ′ = |(| |)| ×luas bujursangkar
= −1 3
3 −1 ×1 = |−8| × 1 = 8 satuan luas
Pemeriksaan
Alas jajaran genjang adalah = √10 dan tinggi adalah √10 ,
sehingga luas jajaran genjang
= × = √10 ×
4
5√10=8 ∎
Ataupun = 2 × ∆ = 2 ×4 = 8
11. Diketahui jajaran genjang ABCD dengan titik-titik sudut
(−3,2), (−1,11), (2,4) dan (0,−5). Tentukan bayangan
jajaran genjang tersebut jika
(a) di refleksikan terhadap sumbu x, dilanjutkan dengan
refleksi terhadap sumbu y
(b) di refleksikan terhadap sumbu y, dilanjutkan denganrefleksi terhadap sumbu x
Penyelsaian
(a) Bayangan refleksi jajaran genjang ABCD terhadap sumbu x
adalah
′(3,−1)
′(−1,3)
′(2,2)
O(1,0)
(0,1) (1,1)
O
Gambar 2.19
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 37/40
37
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
= 1 00 −1
−3 −1 2 02 11 4 −5
= −3 −1 2 0−2 −11 −4 5
Hasil ini di refleksikan terhadap sumbu y, sehingga bayangan
jajaran genjang ′ ′ ′ ′ adalah
= −1 0
0 1−3 −1 2 0−2 −11 −4 5
= 3 1 −2 0−2 −11 −4 5
(b) Bayangan refleksi jajaran genjang ABCD terhadap sumbu y
adalah
= −1 0
0 1−3 −1 2 02 11 4 −5
= 3 1 −2 02 11 4 −5
Hasil ini di refleksikan terhadap sumbu x, sehingga bayangan jajaran genjang ′ ′ ′ ′ adalah
= 1 00 −1
3 1 −2 02 11 4 −5
= 3 1 −2 0−2 −11 −4 5
Cara lain dapat digunakan komposisi dua refleksi, yaitu refleksi
terhadap sumbu y dilanjutkan refleksi terhadap sumbu x, yaitu
= 1 00 −1
−1 00 1
−3 −1 2 02 11 4 −5
= −1 0
0 −1−3 −1 2 02 11 4 −5
= 3 1 −2 0−2 −11 −4 5
Tampak bahwa hasil (a) sama dengan hasil (b). Hal ini disebabkan
karena dua refleksi berurutan terhadap sumbu-sumbu yang saling tegak
lurus, adalah bersifat komutatif.
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 38/40
38
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
RANGKUMAN GAMBAR
PENCERMINAN ( Reflection) SIMETRI TITIK (Simetri Pusat)
TRANSLASI ROTASI
PENSKALAAN (Scaling) DILATASI
GESERAN PADA ARAH X (Shear)
O
90
O
(a). Gambar semula(b). Geseran, > 0 (c). Geseran, < 0
(x+sy,y)(x ,y)(x+sy,y)
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 39/40
39
Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang
Mencari Grafik aliran air
Enam benda berikut mempunyai tinggi yang sama 80 dan memilikivolume yang sama 100 . Keenam benda tersebut di aliri air
dengan debit konstan / , Gambar 2.30.
Grafik kenaikan permukaan air dalam ke enam benda tersebut selama
awal pengisian hingga penuh, merupakan fungsi dari waktu,
ditunjukkan dalam Gambar 2.31.
Temukan pasangan yang bersesuaian antara benda dan grafik kenaikan
permukaan air tersebut. [ , , , , , ]
AB
CF
ED
air air airair air
Gambar 2.30
1
20
0
80
2 4 53 1
20
0
80
2 4 53 1
20
0
80
2 4 53
1 2 3
1
20
0
80
2 4 53 1
20
0
80
2 4 53 1
20
0
80
2 4 53
4 5 6
Gambar 2.31
7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF
http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 40/40
40
Referensi
1. David W Hnderson, 1995, Experiencing Geometry on plan and sphere, Ithaca
2. Nathalie Nakatani et Francis Nassiet, 1994, DIMATHEME 2 ,Didier, Paris3. P.A. Surjadi, 1979, Aljabar Linier dan Ilmu Ukur Analitik, Jambatan
4. Rawuh, 1988, GEOMETRI, Karunika Jakarta
5. Shanti Narayan, 2007, Analytical Solid Geometry, S.Chand & Company LTD. New
Delhi.
6. Suryadi, 1984, Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, Jakarta
7. Varberg Purcell, 2000, Calculus and Geometry, Prentice-Hall, Inc, New Jersey