8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
1/21
BAB II
MOMEN INERSIA BIDANG DATAR
1. Pendahuluan
Momen inersia dapat disebut juga Momen Kedua atau Momen Kelembaman. Datamomen inersia suatu penampang dari komponen struktur akan diperlukan pada
perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, tegangan torsi, defleksi balok,
kekakuan balok/kolom dan sebagainya. Luasan A pada gambar 2.. merupakan bidangdatar yang menggambarkan penampang dari suatu komponen struktur, dengan dA
merupakan suatu luasan/elemen ke!il.
y
A
" dA
r
y
"
#
$ambar 2.. %otongan %enampang
&e!ara metematis momen inersia ditentukan dengan persamaan-persamaan berikut'
Momen (nersia terhadap sumbu "'
(" ) ∫ y2 dA *2.+
Momen (nersia terhadap sumbu y'
(y ) ∫ "2 dA *2.2+
Momen (nersia kutub'
( p ) ∫ r 2 dA *2.+
Momen (nersia %erkalian *%rodu!t of (nertia+'
("y ) ∫ "y dA *2.+
Momen inersia pada %ersamaan 2., %ersamaan 2.2, dan %ersamaan 2. selalu bertanda positip, sedangkan momen inersia perkalian pada %ersamaan 2. dapat bertanda negatip.
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
2/21
Momen inersia pada keempat persamaan diatas penggunaannya terbatas pada momen
inersia bidang tunggal, sedangkan se!ara umum banyak bidang/penampang merupakan
gabungan dari beberapa penampang tunggal. Misalnya penampang yang berbentuk Ladalah gabungan dari dua penampang segi empat. ntuk menyelesaikan momen inersia
pada penampang gabungan diperlukan pengembangan dari %ersamaan 2., 2.2, 2., dan
2.. yang disebut dengan 0eori &umbu &ejajar.
2. Teori Sumbu Sejajar
Y yo
dA "1 "
r y"o
A #
r1 # ) titik berat luasan A
y1
$ambar 2.2. %enampang dengan &umbu 0ransformasiMomen inersia terhadap sumbu "'
(" ) ( )∫ + dA y y 23
(" ) ∫ ∫ ∫ ++ dA ydA yydA y 22 332
(" ) ∫ ∫ ∫ ++ dA y ydA ydA y 22 332
&umbu "o melalui titik berat bidang A, maka ∫ = ydA , sehingga'
(" ) ("o 4 Ay12 *2.5+
Momen inersia terhadap sumbu y'
(y ) ( )∫ + dA x x 23
(y ) ∫ ∫ ∫ ++ dA xdA xxdA x 22 332
(y ) ∫ ∫ ∫ ++ dA x xdA xdA x 22
332
&umbu yo melalui titik berat bidang A, maka ∫ = xdA , sehingga'
(y ) (yo 4 A"12 *2.6+
Momen inersia polar'
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
3/21
( p ) ( ) ( )∫ +++ dA y y x x .33 22
( p ) [ ]∫ +++++ dA y yy y x xx x .332332 2222
( p ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +++++ ydA y xdA xdA y xdA y x 323233 2222
&umbu "o dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka ∫ xdA ) dan ∫ ydA)
&ehingga'( p ) ( p
o 4 Ar12 *2.7+
Momen inersia perkalian'
("y ) ( )( )∫ ++ dA y y x x 33
("y ) ∫ ∫ ∫ ∫ +++ dA y x ydA x xdA y xydA 3333
&umbu "o dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka ∫ xdA ) dan ∫ ydA ) &ehingga'
("y ) ("yo 4 A"1y1 *2.8+
. !on"oh#!on"oh
9ontoh 2.
:itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang segi empat dengan lebar b dan tinggi
h terhadap sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang
y
dyy
h "
b
2
%enyelesaian'
dA ) bdy
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
4/21
(" ) ∫ y2dA
("o ) ∫
−
h
h
2
2
y2 bdy
("o ) b [ ]
h
h y
2
2
,,
−
("o ) b
,
8
,
,
8
, .. hh +
("o )
2
bh
Dengan !ara yang sama dapat dihitung (yo, dengan dA ) h d", sehingga dapat diperoleh
(yo ) hb2
Momen (nersia polar, (po ) ∫ dAr 2
) ( )∫ +=+ x y I I dA y x 22 ) 2 *bh 4 bh+
Menghitung momen inersia perkalian ("y'
y
dy
h y
"
b
("y ) ∫ xydA
("y ) ∫ h
bybdy
2
("y ) ∫ h
ydyb
22
("y ) [ ] h
yb
22
22
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
5/21
("y ) ; b2h2
ntuk menghitung ("yo gunakan rumus 2.8.
("y ) ("yo 4 A"1y1
; b2h2 ) ("yo 4 bh.
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
6/21
("o ) ∫
−
−
h
h
yh
bby,
2
,
,2,
2 +* dy
("o ) [ ]
h
h yhb yb
,2
,
--
,,,2 ..
−−
("o )
-
8
-
,
27
,
,2
-
86
-
,
278
,
,2 ........ h
hbhbh
hbhb −−−−
("o ) ( ) ( ),,2-,2-,2,,2-6,2-,6 bhbhbhbh −−−−
("o ) ( ),,2-5,2-,8 bhbh −
("o
)
6
bh
Dengan !ara yang sama dapat dihitung (y, dengan dA ) h1 d", sehingga dapat diperoleh
(yo ) hb6
Momen (nersia polar, (po ) ∫ dAr 2
) ( )∫ +=+ x y I I dA y x 22 ) 6 *bh 4 bh+
y
dA
hh1
"
" d"
b
h1' h ) *b-"+ ' b
5
h1 )b
xbh +* −
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
7/21
("y ) ∫ xydA
("y ) ∫ −−b
dx xbb
h xbb
h x
2 +*+*
("y )
∫ −
b
dx xb
b
h x
2
2
2
2 +*
("y ) ∫ +−b
xbx xbb
h
22
2
2
+2*2
dx
("y ) ∫ +−b
dxb
xh
b
xh xh
2
2222
+22
*
("y )
b
xb
h xh
b xh
-
2
2222
-
8
+−
("y )22
822
,22
- hbhbhb +−
("y )22
2- hb
("y ) ("yo 4 A"1y1
222-
hb ) ("yo
4 hbbh ,,2 ..
("yo )
2272
hb−
Momen (nersia perkalian segitiga pada gambar diatas, ("yo )
2272
hb−
9ontoh 2.:itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang lingkaran dengan jari-jari r terhadap
sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat penampang y
dρ dA
ρ
dθ
θ "
6%enyelesaian'
dA ) ρdθ dρ
(" ) ∫ dA y2
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
8/21
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
9/21
(" ) ∫ dA y2
(" ) θ ρ θρ ρ π
d d
r
..sin
22∫ ∫
(" ) θ ρ θ ρ π
d d
r
..sin
2
∫ ∫
(" ) ∫ π
θ θ ρ 6
2
--
.sin d
r
(" ) ∫ −π
θ θ
2
2-
- +2!os* d r
(" ) [ ]π
θ θ
-
2-
- 2sin−r
(" ) +*+* 2-
- −−−π r
(" )-
8 r π
&elanjutnya dengan %ersamaan 2.5. dapat dihitung ("o sebagai berikut'
(" ) ("o 4 Ay12
-8
r π ) ("o 42
22
-
π π
r r
("o )
-8
r π -2
22
-
π π
r r
("o ) -8 r π -
π =8
-
r
("o )
−
28-
=
8
π π r
Momen inersia terhadap sumbu y'
(y ) ∫ dA x2
8
(yo ) θ ρ ρ θ ρ π
d d
r
...!os2
2
∫ ∫
(yo ) θ ρ θ ρ
π
d d
r
..!os
2∫ ∫
(yo ) ∫
π
θ θ ρ 6
2
--
.!os d
r
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
10/21
(yo ) ∫ +
π
θ θ
2
2-
- +2!os* d r
(yo ) [ ]
π
θ θ
-
2-
- 2sin+r
(yo
) +>*+?* 2-
-
+−+π
r
(yo )
-8
r π
( po ) ("
o 4 (yo
( po )
−
28-
=
8
π π r 4 8
πr
( po )
−
2--
=
8
π π r
Karena sumbu y merupakan sumbu simetris, maka ("yo )
@angkuman momen inersia penampang sederhana *umum+ yang telah dibahas diatasdapat dilihat pada 0abel 2.. Momen inersia ini dapat dipakai untuk menyelesaikan
momen inersia penampang gabungan *komposit+.
=0abel 2.. Momen (nersia idang Datar %enampang mum
segiempat
B
h "
(" )
2 bh
(y ) hb
2
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
11/21
#
( p ) +*,,
2 hbbh +
("y )
segitiga
y
b/
h
h/ # "
b
(" )
6 bh
(y ) hb
6
( p ) +*,,
,6 hbbh +
("y )22
72 hb−
lingkaran
y
D ) 2r " #
(" )-
- r π
(y )-
- r π
( p )-
2 r π
("y )
setengah lingkaran
B
r/π # y
2 r
(" )
−
28-
=
8
π π r
(y )-
8 r π
( p )
−
2--
=
8
π π r
("y )
2
$. !on"oh %oal &enam&an' (om&o%i"
9ontoh 2.5.:itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang baja siku terhadap sumbu " dansumbu y yang melalui titik berat penampang
2,7 mm
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
12/21
52 mm
2,7 mm
2 mm
%enyelesaian
. :itung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada !ontoh ..2. $ambarkan salib sumbu " dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut'
y
2,7 mm
52 mm "
# 2,7 mm5,22 mm
2
2 mm
25,22 mm
. agi penampang menjadi bidang dan bidang 2 seperti pada gambar . :itung momem inersia terhadap sumbu " sebagai berikut'
(" ) ("o 4 Ay12
(" )2
22
2 +5,622,5.*7,2.,8=7,2.,8=.+22,576.*52.7,252.7,2. −++−+
2
(" ) 7666,67 4 282=6,55 4 52,8 4 28268,=8 ) 7=758,8 mm
5. :itung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut'
(y ) (yo 4 A"12
(y )2
22
2 +22,255,57.*7,2.,8=7,2.,8=.+5,622,25.*52.7,252.7,2. −++−+(y ) 25=6,85 4 6877,88 4 75662, 4 778,62 ) 26776,= mm
6. :itung momen inersia polar sebagai berikut'( p ) (" 4 (y
( p ) 7=758,8 4 26776,= ) =85,=6 mm
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
13/21
7. :itung momen inersia perkalian sebagai berikut'
Menghitung momen inersia perkalian, perhatikan "anda jara( , jarak dapat bertanda
negatip sesuai dengan posisinya pada salib sumbu. :al ini berbeda dengan perhitungan(" dan (y yang mana jarak dipangkatduakan sehingga tetap bertanda positip.
("y ) ("yo 4 A"1y1
("y ) 4 2,7. 52. ?-*25,22- 6,5+.*76- 5,22+>4 4 8=,.2.7.*57,5-25,22+?-*5,22-6,5+>
) - ==78,=85 - 5=8576,=25
) - 257655,= mm
9ontoh 2.6.
:itunglah momen inersia *(", (y, ( p, ("y + penampang tergambar terhadap sumbu " dansumbu y yang melalui titik berat penampang
25 mm
225 mm
25 mm 5 mm 25 mm
%enyelesaian. :itung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada !ontoh .5.
2. $ambarkan salib sumbu " dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut'
22
y
25 mm
==,
"2 2
225 mm
5,=6
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
14/21
25 mm 5 mm 25 mm
. agi penampang menjadi bagian yaitu bidang dan 2 bagian bidang 2 seperti pada
gambar
. :itung momem inersia terhadap sumbu " sebagai berikut'
(" ) ("o 4 Ay12
(" )2
2 5-,86.25.225.2. + ) 77627,67 mm
("2 )2
2 -6,8.225.25.2225.25..2 + ) 668, mm 4
(" ) 878=2,67 mm
5. :itung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut'
(y ) (yo 4 A"12 (y ) 25.2.
2
+ ) 6666666,67 mm
(y2 )2
2 5,87.225.25.2225.25..2 + ) 867875, mm
(y ) 856,67 mm
6. :itung momen inersia polar sebagai berikut'( p ) (" 4 (y
( p ) 878=2,67 4 856,67 ) 25==, mm
7. :itung momen inersia perkalian sebagai berikut'
("y ) ("yo
4 A"1y1("y ) 4 )
("y2 ) 25.225.*- 87,5+*- 8,6+ 4 25.225.*87,5+*- 8,6+ ) ("y ) ("y 4 ("y2 )
Momen inersia perkalian akan bernilai apabila salah satu sumbu yang melalui titik berat penampang adalah sumbu simetri.
2
9ontoh 2.7.%enampang seperti tergambar dibaCah, # adalah titik berat penampang. :itung a supaya
(" ) (y
y
mm
" 2 mm
#
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
15/21
mm 2 a 2 mm
%enyelesaian
(" ) * 2 .2. 4 2. . 52 + 4 2. 2
.. 22
(" ) 52=6 4 776666,67 ) 776666,67 mm
(y ) ? 2 ..2 4 .2 *7 4 2
a+2> 4 2. 2 ..22 4 2..22 *54 2
a+2
(y ) ? 4 2 *= 4 7a 4 ,25 a2+> 4 6666,67 4 *25 45a 4 ,25 a2+
(y ) 576 4 252 4 6a 4 2 a2 4 6666,67 4 4 22a 4 a2
(y ) 2 a2 4 58a 4 2=26666,67
(" ) (y776666,67 ) 2 a2 4 58a 4 2=26666,67
2 a2 4 58a 28 )
a2 4 55,65 a 7=7,8 )
a2 )2
8,7=-7.-65,5565,55 2 +±−
a )2
86,=65,55 +− ) 77,5 mm
Maka nilai a ) 77,5 mm
2
&oal-soal'
. 0entukan (", (y, ("y bidang trapeEium berikut ini'
5 mm
2 mm
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
16/21
= mm
2. 0entukan (", (y, ("y bidang kombinasi segi empat dengan setengah lingkaran
berikut ini
6 mm
6 mm
2 mm
. 0entukan (", (y, ("y bidang berikut ini
mm 8 mm mm
2 mm
25
). Sumbu *"ama dan Momen Iner%ia *"ama
&umbu utama adalah sumbu yang saling tegak lurus dan akan memberikan momen
inersia, ( maksimum dan ( minimum pada suatu penampang. %ada komponen struktur yang mengalami gaya aksial/normal tekan maka ke!enderungannya batang akan tertekuk
terhadap sumbu dengan momen inersia yang paling lemah *minimum+. Dengan
demikian penentuan sumbu utama dan momen inersia utama menjadi penting.
y
y1
y sin θ
" dA
"1
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
17/21
y !os θ y1
y "1
θ " !os θ
" sin θ θ "
$ambar 2.. &umbu tama
&umbu " dan sumbu y diputar sehingga menjadi sumbu "1 dan dan sumbu y1 dengan
sudut putar sebesar θ. Dengan demikian dapat diperoleh hubungan sebagai berikut'
"1 ) " !os θ 4 y sin θ
y1 ) y !os θ - " sin θ
("1 ) ∫ dA y 23
("1 ) ∫ − dA x y 2
+sin!os* θ θ
("1 ) (" !os2θ 4 (y sin
2θ - 2 ("y sinθ !osθ
(y1 ) ∫ dA x 23
(y1 ) ∫ + dA y x 2+sin!os* θ θ (y1 ) (y !os
2θ 4 (" sin2θ 4 2 ("y sinθ !osθ
("1y1 ) ∫ dA y x 33
("1y1 ) ∫ *" !os θ 4 y sin θ+*y !os θ - " sin θ+ dA("1y1 ) *(" (y+ sin θ !os θ 4 ("y *!os
2θ - sin2θ+
26
9atatan'
sin 2θ ) 2 sinθ !osθ
!os 2θ ) !os2θ - sin2θ
!os2θ ) 2 4 2
!os 2θ
sin2θ ) 2 - 2
!os 2θ
("1 ) (" * 2
4 2
!os 2θ+ 4 (y * 2
- 2
!os 2θ+ - ("y sin2θ("1 ) 2
(" 4 2 (" !os 2θ 4 2
(y - 2 (y !os 2θ - ("y sin2θ
("1 ) θ θ 2sin2!os22
xy
y x y x I
I I I I −
−+
+*2.=+
Dengan !ara yang sama dapat ditentukan (y1 dan ("1y1 sebagai berikut'
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
18/21
(y1 ) θ θ 2sin2!os22
xy
y x y x I
I I I I +
−−
+*2.+
("1y1 ) θ θ 2!os2sin2
xy
y x I
I I +
−*2.+
Dari %ersamaan 2.=.
("1 - θ θ 2sin2!os22
xy
y x y x I
I I I I −
−=
−*2.2+
%ersamaan 2. dan %ersamaan 2.2 masing-masing dikuadratkan kemudia dijumlahkan
sehingga diperoleh'
2
2
2
33
2
322
xy
y x
y x
y x
x I I I
I I I
I +
−=+
+− *2.+
%ersamaan 2. adalah persamaan lingkaran dengan bentuk *"-a+2 4 y2 ) r 2
("1y1
r
("1
# F 9 M
a
$ambar 2.. Lingkaran dengan &alib &umbu ("1 dan &umbu ("y127
Dari $ambar 2.. diatas dapat ditentukan Momen inersia maksimum dan momen inersiaminimum
(maks ) #M ) #9 49M
(min ) #F ) #9 9M
&ehingga'
2
2
22 xy
y x y x
maks I I I I I
I +
−+
+=
2
2
min22 xy
y x y x I
I I I I I +
−−
+=
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
19/21
%ada saat terjadi (maks dan (min maka ("1y1 ) , sehingga dari %ersamaan 2. diperoleh'
2!os2sin2
=+−
θ θ xy y x
I I I
y x
xy
I I
I tg
−−=
22θ
9ontoh 2.8.
%enampang seperti tergambar,. 0entukan (", (y, ("y terhadap sumbu " dan sumbu y yang melalui titik berat
penampang
2. 0entukan sumbu utama dan momen inersia utama
y
mm
" mm
mm
6 mm mm 6 mm
28%enyelesaian'
(" ) 2 .6. 4 6..552 4 2
..2 4 2.. 2 4 2 .6. 4 6..*-55+2
(" ) 5,8.6 mm
(y ) 2 ..6 4 6..*-5+2 4 2
.2. 4 2..2 4 2 ..6 4 .6.52
(y ) ,8. 6 mm
("y ) 6..*55+*-5+ 4 2..*+*+ 4 6..*-55+*5+
("y ) -2,. 6 mm
Momen inersia utama'
2
2
22 xy
y x y x
maks I I I I I
I +
−+
+=
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
20/21
( ) 262
6666
.,22
.8-,.8,5
2
.8-,.8,5−+
−+
+=maks I
I maks ) 6,28. 6 mm
2
2
min22 xy
y x y x I
I I I I I +
−−
+=
( ) 262
6666
.,22
.8-,.8,5
2
.8-,.8,5−+
−−
+=maks I
I min ) ,6=. 6 mm
&umbu tama
y x
xy
I I
I tg
−
−=2
2θ
-25=,.8-,.8,5
+.,2*22
66
6
=−
−−=θ tg
θ ) 27,8° *berlaCanan jarum jam+
2=
sumbu min y
sumbu maks
27,8° "
8/15/2019 Bab-2 Momen Inersia
21/21
Top Related