Download - Aljabar Linear

TUGAS ALJABAR LINEAR

Oleh:I Made Arya Gunawan (1429051006)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAPROGRAM PASCA SARJANAUNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA 2015

Transformasi dari R2 ke R2:Seorang peneliti akan mengukur kecepatan arus air sungai yang panjangnya 7 km dengan cara menghanyutkan sebuah bola. Ia mulai menghanyutkan bola tersebut dari hulu sungai pada pukul 07.00, dan bola tiba di hilir sungai pada pukul 07.30.Dari permasalahan di atas didapat bahwa bola mengalami perubahan posisi (jarak) dan perubahan waktu.I. Jika perubahan itu kita pandang satu demi satu yaitu perubahan jarak saja dan perubahan waktu saja, maka :a. x1x27bola bergeser dari titik awal (sebut saja titik 0) bergerak sesuai dengan arus sungai, berakhir pada jarak 7 km dari titik awal. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi) yaitu x2 = x1 + 7 dengan gambar

dimana x1 adalah posisi awal dan x2 adalah posisi akhir.b. t1t200.30bola bergerak dimulai dari waktu awal (yaitu 07.00) dan berakhir pada pukul 07.30. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi yaitu : t2 = t1 + 00.30 dengan gambar : dimana t1 adalah waktu awal

bola bergerak dan t2 adalah waktu akhir bola bergerak.II. 0707.0007.30WaktuJarak (km)ABJika perubahan tersebut dipandang sebagai satu kesatuan yaitu sebagai perubahan jarak sekaligus waktu (dua dimensi yaitu dimensi waktu dan jarak) maka pada awalnya bola diam pada pukul 07.00 dengan kata lain pada pukul 07.00 bola menempuh jarak 0 km, hal ini ditulis posisi bola pada titik (07.00, 0) selanjutnya bola bergerak sesuai arus sungai dan berhenti pada pukul 07.30 dengan menempuh jarak 7 km ditulis posisi bola pada titik (07.30, 7). Pemahaman ini dapat disajikan dalam grafik dua dimensi sebagai berikut :

III. Apabila uraian pada I dan II dibuatkan matriksnya (notasi aljabar linear) maka :1. Untuk translasi satu dimensi (perubahan jarak saja dan perubahan waktu saja) dapat dibuatkan notasi aljabar linearnya sebagai berikut :a. pada perubahan jarak saja, karena merupakan translasi satu dimensi dan berdasarkan persamaan x2 = x1 + 7 maka matriksnya adalah .b. demikian pula pada perubahan waktu saja karena ini merupakan translasi satu dimensi dengan persamaan t2 = t1 + 00.30 maka matriksnya adalah 2. Untuk translasi dua dimensi (perubahan jarak dan waktu) dapat dibuatkan notasi aljabar linearnya sebagai berikut IV. Notasi-notasi matriks yang disajikan pada bagian III adalah merupakan transformasi, karena 1. untuk translasi satu dimensia. pada perubahan jarak saja, matriks tersebut memetakan satu titik x1 dalam R1 dengan tepat satu titik x2 dalam R1 dan ini merupakan transformasi dari R1 ke R1.b. Pada perubahan waktu saja, matriks memetakan satu titik t1 dalam R1 dengan tepat satu titik t2 dalam R1 dan ini merupakan transformasi dari R1 ke R1.2. untuk translasi dua dimensi, matriks memetakan satu titik () dalam R2 dengan tepat satu titik dalam R2 sehingga ini merupakan transformasi dari R2 ke R2.

Transformasi dari R3 ke R3 :Dua buah roda berjari-jari 14 cm dan 28 cm digelindingkan di jalan dengan laju relatif tetap. Jika roda pertama berputar 20 kali dan roda kedua berputar 40 kali maka roda pertama menempuh jarak 1760 cm dan roda kedua menempuh jarak 7040 cm.Dari permasalahan di atas didapat bahwa terjadi perubahan jari-jari roda, perubahan banyaknya putaran dan perubahan jarak yang ditempuh kedua roda.I. Jika perubahan kedua roda itu kita pandang satu demi satu yaitu perubahan jari-jari saja, perubahan banyaknya putaran saja dan perubahan jarak yang ditempuh saja, maka :a. jari-jari roda pertama adalah 14 cm dan jari-jari roda kedua adalah 28 cm, sehingga terjadi perubahan jari-jari yaitu jari-jari roda kedua sama dengan dua kali jari-jari roda pertama. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai dilatasi (satu dimensi) dengan faktor 2, yaitu r2 = 2.r1 dimana r1 adalah jari-jari roda pertama dan r2 adalah jari-jari roda kedua.b. roda pertama berputar sebanyak 20 kali sedangkan roda kedua bergerak sebanyak 40 kali, sehingga terjadi perubahan banyaknya putaran antara roda pertama dengan roda kedua yaitu banyaknya putaran roda kedua sama dengan 2 kali banyaknya putaran roda pertama. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai dilatasi (satu dimensi) dengan faktor 2, yaitu x2 = 2.x1 dimana x1 adalah banyaknya putaran roda pertama dan x2 adalah banyaknya putaran roda kedua.c. roda pertama menempuh jarak 1760 cm dan roda kedua menempuh jarak 7040 cm, sehingga terjadi perubahan jarak tempuh yaitu jarak tempuh roda kedua sama dengan 4 kali jarak tempuh roda pertama. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai dilatasi (satu dimensi) dengan faktor 4, yaitu y2 = 4.y1 dimana y1 adalah jarak tempuh roda pertama dan y2 adalah jarak tempuh roda kedua.II. Jika perubahan tersebut dipandang sebagai satu kesatuan yaitu sebagai perubahan jari-jari roda sekaligus banyaknya putaran dan jarak tempuh roda (tiga dimensi) maka roda pertama dengan jari-jari 14 cm menggelinding sebanyak 20 kali putaran dengan menempuh jarak 1760 cm, hal ini bisa ditulis dengan (14, 20, 1760) dan roda kedua dengan jari-jari 28 cm menggelinding sebanyak 40 kali putaran dengan menempuh jarak 7040, hal ini bisa ditulis dengan (28, 40, 7040). Perubahan yang terjadi dapat dituliskan dengan (r2 , x2 , y2) = (2.r1 , 2.x1 , 4.y1) dimana r1 adalah jari-jari roda pertama dan r2 adalah jari-jari roda kedua, x1 adalah banyaknya putaran roda pertama dan x2 adalah banyaknya putaran roda kedua, y1 adalah jarak tempuh roda pertama dan y2 adalah jarak tempuh roda kedua.III. Apabila uraian pada I dan II dibuatkan matriksnya (notasi aljabar linear) maka :1. Untuk dilatasi satu dimensi (perubahan jari-jari saja, perubahan banyaknya putaran saja dan perubahan jarak tempuh saja) dapat dibuatkan notasi aljabar linearnya sebagai berikut :a. pada perubahan jari-jari saja, karena merupakan dilatasi satu dimensi dan berdasarkan persamaan r2 = 2.r1 maka matriksnya adalah .b. pada perubahan banyaknya putaran saja, karena ini merupakan dilatasi satu dimensi dengan persamaan x2 = 2.x1 maka matriksnya adalah .c. pada perubahan jarak tempuh saja, karena ini merupakan dilatasi satu dimensi dengan persamaan y2 = 4.y1 maka matriksnya adalah 2. untuk dilatasi tiga dimensi (perubahan jari-jari, banyaknya putaran dan jarak tempuh) dapat dibuatkan notasi aljabar linearnya sebagai berikut IV. a. R3 di atas adalah himpunan (panjang jari-jari, banyak putaran, jarak tempuh)Bilangan yang mungkin untuk panjang jar-jari adalah bilangan real postif, demikian pula halnya untuk banyak putaran dan jarak tempuh adalah bilangan real positif..V(R , + , .) jelas bahwa invers dari bilangan positif tidak dalam V , ini berarti V bukan ruang vektor.b. R3 adalah himpunan (r, p, s)r adalah perubahan panjang jari-jari, r dapat mengambil nilai semua bilangan real, misalnya :(i) jari-jari awal 14 berubah menjadi jari-jari 14,1 ; r = 14,1 14 = 0,1 R(ii) jari-jari awal 14,1 berubah menjadi jari-jari 14 ; r = 14 14,1 = -0,1 R(iii) jari-jari awal 14 berubah menjadi jari-jari 14 ;

r = 1414 = 14(-1) R(iv) jari-jari awal 14 berubah menjadi jari-jari 14 ;

r = 14 14 = 14(1 - ) Rp adalah perubahan banyak putaran, p dapat mengambil nilai semua bilangan real, misalnya :(i) banyak putaran awal 10 kali berubah menjadi 20 kali ; p = 20 10 = 10 R(ii) banyak putaran awal 20 kali berubah menjadi 10 kali ; p = 10 20 = -10 R(iii) banyak putaran awal 10 kali berubah menjadi 10 kali ;

p = 10 10 = 10( - 1) R(iv) banyak putaran awal 10 kali berubah menjadi 10 kali ;

p = 10 10 = 10(1 - ) RDemikian pula dengan s adalah perpindahan yang terjadi pada roda, s dapat mengambil nilai semua bilangan real.Domain dari relasi ini adalah V = (R3 , + , . ) yang anggotanya adalah (r, p, s) seperti yang telah didefinisikan di atas dan kodomainnya adalah W = (R3 , + , . ) yang anggotanya adalah (r, p, s) seperti yang telah didefinisikan di atas. Selanjutnya kita tunjukkan bahwa domain dan kodomain tersebut merupakan ruang vektor dengan melihat terpenuhinya 10 aksioma ruang vektor sebagai berikut :(i) Domain :

Misalkan : x, y, z V dengan x = (r1 , p1 , s1) , y = (r2 , p2 , s2) dan z = (r3 , p3 , s3)1) x + y = (r1 , p1 , s1) + (r2 , p2 , s2) = (r1 + r2 , p1 + p2 , s1 + s2)V bersifat tertutup terhadap penjumlahan, karena hasil akhirnya berupa triple (r, p, s) dalam V.2) x + y = (r1 , p1 , s1) + (r2 , p2 , s2) = (r1 + r2 , p1 + p2 , s1 + s2) = (r2 + r1 , p2 + p1 , s2 + s1) = (r2 , p2 , s2) + (r1 , p1 , s1) = y + x.Bersifat komutatif.3) x + (y + z) = (r1 , p1 , s1) + ((r2 , p2 , s2) + (r3 , p3 , s3)) = (r1 , p1 , s1) + (r2 + r3 , p2 + p3 , s2 + s3) = (r1 + r2 + r3 , p1 + p2 + p3 , s1 + s2 + s3) = ((r1 + r2) + r3 , (p1 + p2) + p3 , (s1 + s2) + s3) = (r1 + r2 , p1 + p2 , s1 + s2) + (r3 , p3 , s3) = (x + y) + z4) Terdapat vektor nol dalam V yaitu 0 V dengan 0 = (0, 0, 0) sedemikian sehingga :0 + x = (0, 0, 0) + (r1 , p1 , s1) = (0 + r1 , 0 + p1 , 0 + s1) = (r1 , p1 , s1) = xdan x + 0 = (r1 , p1 , s1) + (0, 0, 0) = (r1 + 0 , p1 + 0 , s1 + 0) = (r1 , p1 , s1) = x5) Dengan mendefinisikan invers penjumlahan dari x adalah -x = (-r1,-p1,-s1) maka :x + -x = (r1 , p1 , s1) + (-r1,-p1,-s1) = (r1+ (-r1), p1 + (-p1), s1 + (-s1)) = (0, 0, 0,) = 0-x + x = (-r1,-p1,-s1) + (r1 , p1 , s1) = (-r1 + r1, -p1 + p1, -s1 + s1) = (0, 0, 0) = 06) Untuk sembarang skalar k, maka :kx = k(r1 , p1 , s1) = (k.r1 , k.p1 , k.s1)V bersifat tertutup terhadap perkalian karena perkalian dengan skalar menghasilkan tripel (r, p, s) dalam V.7) Untuk setiap x, y dalam V dan skalar k, makak(x + y) = k ((r1 , p1 , s1) + (r2 , p2 , s2)) = k ((r1 + r2 , p1 + p2 , s1 + s2) = (k.r1 + k.r2 , k.p1 + k.p2 , k.s1 + k.s2) = (k.r1, k.p1, k.s1) + (k.r2, k.p2, k.s2) = k(r1 , p1 , s1) + k(r2 , p2 , s2) = k.x + k.y8) Untuk setiap x dalam V dan skalar k dan m, maka :(k + m).x = (k + m) (r1 , p1 , s1) = ((k + m).r1 , (k + m).p1 , (k + m).s1) = (kr1 + mr1 , k p1 + mp1 , k s1 + ms1) = (kr1 , kp1 , ks1) + (mr1 , mp1 , ms1) = k(r1 , p1 , s1) + m(r1 , p1 , s1) = k.x + m.x9) Untuk setiap x dalam V dan skalar k dan m, maka :k(m.x) = k(m(r1 , p1 , s1)) = k(mr1 , mp1 , ms1) = (kmr1 , kmp1 , kms1) = km (r1 , p1 , s1) = km.x10) 1.x = 1(r1 , p1 , s1) = (1.r1 , 1.p1 , 1.s1) = (r1 , p1 , s1) = xJadi V adalah ruang vektor.(ii) Kodomain

Misalkan : x, y, z W dengan x = (r1 , p1 , s1) , y = (r2 , p2 , s2) dan z = (r3 , p3 , s3)1) x + y = (r1 , p1 , s1) + (r2 , p2 , s2) = (r1 + r2 , p1 + p2 , s1 + s2)W bersifat tertutup terhadap penjumlahan, karena hasil akhirnya berupa triple (r, p, s) dalam W.2) x + y = (r1 , p1 , s1) + (r2 , p2 , s2) = (r1 + r2 , p1 + p2 , s1 + s2) = (r2 + r1 , p2 + p1 , s2 + s1) = (r2 , p2 , s2) + (r1 , p1 , s1) = y + x.Bersifat komutatif.3) x + (y + z) = (r1 , p1 , s1) + ((r2 , p2 , s2) + (r3 , p3 , s3)) = (r1 , p1 , s1) + (r2 + r3 , p2 + p3 , s2 + s3) = (r1 + r2 + r3 , p1 + p2 + p3 , s1 + s2 + s3) = ((r1 + r2) + r3 , (p1 + p2) + p3 , (s1 + s2) + s3) = (r1 + r2 , p1 + p2 , s1 + s2) + (r3 , p3 , s3) = (x + y) + z4) Terdapat vektor nol dalam W yaitu 0 W dengan 0 = (0, 0, 0) sedemikian sehingga :0 + x = (0, 0, 0) + (r1 , p1 , s1) = (0 + r1 , 0 + p1 , 0 + s1) = (r1 , p1 , s1) = xdan x + 0 = (r1 , p1 , s1) + (0, 0, 0) = (r1 + 0 , p1 + 0 , s1 + 0) = (r1 , p1 , s1) = x5) Dengan mendefinisikan invers penjumlahan dari x adalah -x = (-r1,-p1,-s1) maka :x + -x = (r1 , p1 , s1) + (-r1,-p1,-s1) = (r1+ (-r1), p1 + (-p1), s1 + (-s1)) = (0, 0, 0,) = 0-x + x = (-r1,-p1,-s1) + (r1 , p1 , s1) = (-r1 + r1, -p1 + p1, -s1 + s1) = (0, 0, 0) = 06) Untuk sembarang skalar k, maka :kx = k(r1 , p1 , s1) = (k.r1 , k.p1 , k.s1)W bersifat tertutup terhadap perkalian karena perkalian dengan skalar menghasilkan tripel (r, p, s) dalam W.7) Untuk setiap x, y dalam W dan skalar k, makak(x + y) = k ((r1 , p1 , s1) + (r2 , p2 , s2)) = k ((r1 + r2 , p1 + p2 , s1 + s2) = (k.r1 + k.r2 , k.p1 + k.p2 , k.s1 + k.s2) = (k.r1, k.p1, k.s1) + (k.r2, k.p2, k.s2) = k(r1 , p1 , s1) + k(r2 , p2 , s2) = k.x + k.y8) Untuk setiap x dalam W dan skalar k dan m, maka :(k + m).x = (k + m) (r1 , p1 , s1) = ((k + m).r1 , (k + m).p1 , (k + m).s1) = (kr1 + mr1 , k p1 + mp1 , k s1 + ms1) = (kr1 , kp1 , ks1) + (mr1 , mp1 , ms1) = k(r1 , p1 , s1) + m(r1 , p1 , s1) = k.x + m.x9) Untuk setiap x dalam W dan skalar k dan m, maka :k(m.x) = k(m(r1 , p1 , s1)) = k(mr1 , mp1 , ms1) = (kmr1 , kmp1 , kms1) = km (r1 , p1 , s1) = km.x10) 1.x = 1(r1 , p1 , s1) = (1.r1 , 1.p1 , 1.s1) = (r1 , p1 , s1) = xJadi W adalah ruang vektor.

Dan perlu juga dilihat apakah merupakan suatu fungsi. Untuk itu dapat kita tunjukkan sebagai berikut :(i) Ambil x dalam V dengan x = (r1 , p1 , s1), maka terdapat f(x1) = (r1 , p1 , s1) dalam W yang memenuhi . Sehingga setiap anggota domain (yaitu V) memiliki pasangan di kodomain (yaitu W)(ii) Ambil x1 dan x2 dalam V dengan x1 = (r1 , p1 , s1) dan x2 = (r2 , p2 , s2), maka terdapat f(x1) dan f(x2) dalam W dengan f(x1) = (r1 , p1 , s1) dan f(x2) = (r2 , p2 , s2). Jika x1 = x2 atau (r1 , p1 , s1) = (r2 , p2 , s2) maka :

f(x1) =

= = f(x2).

Dengan demikian adalah suatu fungsi. Dan karena bentuk tersebut adalah fungsi dengan domain dan kodomainnya merupakan ruang vektor maka dapat disimpulkan bahwa hal tersebut merupakan sebuah transformasi.

Transformasi dari R4 ke R4 :Ayah membeli es balok dengan ukuran 80 cm x 40 cm x 30 cm. Ayah membawa es batu tersebut dari tempat membelinya sampai di rumah, sepanjang perjalanan es terkena sinar matahari dari temperatur 150C sampai temperatur 200C sehingga es tersebut mencair hingga ukuran es menjadi 76 cm x 35 cm x 24 cm

Dari permasalahan di atas didapat bahwa terjadinya perubahan temperatur diikuti dengan perubahan panjang balok es, perubahan lebar balok es dan perubahan tinggi balok es.I. Jika perubahan es tersebut kita pandang satu demi satu yaitu perubahan temperatur saja, perubahan panjang balok es saja, perubahan lebar balok es saja dan perubahan tinggi balok es saja, maka :a. temperatur awal adalah 150C dan temperatur akhir adalah 200C, sehingga terjadi perubahan temperatur yaitu temperatur akhir sama dengan temperatur awal ditambah 50C. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu s2 = s1 + 5 dimana s1 adalah temperatur awal dan s2 adalah temperatur akhir.b. es mencair mengakibatkan panjang balok es berkurang dari 80 cm menjadi 76 cm, sehingga terjadi perubahan panjang balok es yaitu panjang balok es setelah mencair sama dengan panjang balok es sebelum mencair dikurangi 4 cm. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu p2 = p1 + (-4) dimana p1 adalah panjang balok es sebelum mencair dan p2 adalah panjang balok es setelah mencair.c. es mencair mengakibatkan lebar balok es berkurang dari 40 cm menjadi 35 cm, sehingga terjadi perubahan lebar balok es yaitu lebar balok es setelah mencair sama dengan lebar balok es sebelum mencair dikurangi 5 cm. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu l2 = l1 + (-5) dimana l1 adalah lebar balok es sebelum mencair dan l2 adalah lebar balok es setelah mencair.d. es mencair mengakibatkan tinggi balok es berkurang dari 30 cm menjadi 24 cm, sehingga terjadi perubahan tinggi balok es yaitu tinggi balok es setelah mencair sama dengan tinggi balok es sebelum mencair dikurangi 6 cm. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu t2 = t1 + (-6) dimana t1 adalah tinggi balok es sebelum mencair dan t2 adalah tinggi balok es setelah mencair.II. Jika perubahan tersebut dipandang sebagai satu kesatuan yaitu sebagai perubahan temperatur, perubahan panjang balok es, perubahan lebar balok es dan sekaligus perubahan tinggi balok es maka pada temperatur awal 150C panjang balok es 80 cm lebar balok es 40 cm dan tinggi balok es 30 cm, hal ini bisa ditulis dengan (15, 80, 40, 30) dan pada temperatur akhir 200C panjang balok es 76 cm lebar balok es 35 cm dan tinggi balok es 24 cm, hal ini bisa ditulis dengan (20, 76, 35, 24). Perubahan yang terjadi dapat dituliskan dengan (s2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + 5 , p1 + (-4) , l1 + (-5) , t1 + (-6)) dimana s1 adalah temperatur awal dan s2 adalah temperatur akhir, p1 adalah panjang balok es sebelum mencair dan p2 adalah panjang balok es setelah mencair, l1 adalah lebar balok es sebelum mencair dan l2 adalah lebar balok es setelah mencair, t1 adalah tinggi balok es sebelum mencair dan t2 adalah tinggi balok es setelah mencair.III. Uraian di atas dapat dibuatkan matriksnya sebagai berikut :

IV. R4 adalah himpunan (s, p, l, t)s adalah perubahan temperatur, s dapat mengambil nilai semua bilangan real, misalnya:(i) temperatur awal 15 berubah menjadi temperatur 20 ; r = 15 20 = -5 R(ii) temperatur awal 25 berubah menjadi temperatur 27 ; r = 20 15 = 5 R(iii) temperatur awal 15 berubah menjadi tempratur 15 ;

s = 1515 = 15(-1) R(iv) temperatur awal 15 berubah menjadi temperatur 15 ;

s = 15 15= 15(1 - ) Rp adalah perubahan panjang balok es, p dapat mengambil nilai semua bilangan real, misalnya :(i) panjang balok es awal 76 berubah menjadi 80 ; p = 76 80 = -4 R(ii) panjang balok es awal 80 berubah menjadi 76 ; p = 80 76 = 4 R(iii) panjang balok es awal 80 berubah menjadi 80 ;

p = 80 80 = 80( - 1) R(iv) panjang balok es awal 90 berubah menjadi 90 ;

p = 80 80 = 80(1 - ) RDemikian pula dengan l adalah perubahan lebar balok es dan t adalah perubahan tinggi balok es, l dan t dapat mengambil nilai semua bilangan real.Domain dari relasi ini adalah V = (R4 , + , . ) yang anggotanya adalah (s, p, l, t) seperti yang telah didefinisikan di atas dan kodomainnya adalah W = (R4 , + , . ) yang anggotanya adalah (s, p, l, t) seperti yang telah didefinisikan di atas. Selanjutnya kita tunjukkan bahwa domain dan kodomain tersebut merupakan ruang vektor dengan melihat terpenuhinya 10 aksioma ruang vektor sebagai berikut :a. Domain :

Misalkan : x, y, z V dengan x = (s1 , p1 , l1 , t1) , y = (s2 , p2 , l2 , t2) dan z = (s3 , p3 , l3 , t3)1) x + y = (s1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + s2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2)V bersifat tertutup terhadap penjumlahan, karena hasil akhirnya berupa 4-tupel (s , p , l , t) dalam V.2) x + y = (s1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + s2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2) = (s2 + s1 , p2 + p1 , l2 + l1 , t2 + t1) = (s2 , p2 , l2 , t2) + (s1 , p1 , l1 , t1) = y + x.Bersifat komutatif.3) x + (y + z) = (s1 , p1 , l1 , t1) + ((s2 , p2 , l2 , t2) + (s3 , p3 , l3 , t3)) = (s1 , p1 , l1 , t1) + (s2 + s3 , p2 + p3 , l2 + l3 , t2 + t3) = (s1 + s2 + s3 , p1 + p2 + p3 , l1 + l2 + l3 , t3 + t2 + t3) = ((s1 + s2) + s3 , (p1 + p2) + p3 , (l1 + l2) + l3 , (t3 + t2) + t3) = (s1 + s2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2) + (s3 , p3 , l3 , t3) = (x + y) + z4) Terdapat vektor nol dalam V yaitu 0 V dengan 0 = (0, 0, 0, 0) sedemikian sehingga :0 + x = (0, 0, 0, 0) + (s1 , p1 , l1 , t1) = (0 + s1 , 0 + p1 , 0 + l1 , 0 + t1) = (s1 , p1 , l1 , t1) = xdan x + 0 = (s1 , p1 , l1 , t1) + (0, 0, 0, 0) = (s1 + 0 , p1 + 0 , l1 + 0 , t1 + 0) = (s1 , p1 , l1 , t1) = x5) Dengan mendefinisikan invers penjumlahan dari x adalah -x = (-s1, -p1, -l1, -t1) maka:x + -x = (s1 , p1 , l1 , t1) + (-s1, -p1, -l1, -t1) = (s1+(-s1), p1+(-p1), l1+(-l1), t1+(-t1)) = (0, 0, 0, 0) = 0-x + x = (-s1, -p1, -l1, -t1) + (s1 , p1 , l1 , t1) = (-s1+s1, -p1+p1, -l1+l1, -t1+t1) = (0, 0, 0, 0) = 06) Untuk sembarang skalar k, maka :kx = k(s1 , p1 , l1 , t1) = (k.s1 , k.p1 , k.l1 , k.t1)V bersifat tertutup terhadap perkalian karena perkalian dengan skalar menghasilkan 4-tupel (s , p , l , t) dalam V.7) Untuk setiap x, y dalam V dan skalar k, makak(x + y) = k ((s1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , p2 , l2 , t2)) = k ((s1 + s2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2) = (k.s1 + k.s2 , k.p1 + k.p2 , k.l1 + k.l2 , k.t1 + k.t2) = (k.s1, k.p1, k.l1, k.t1) + (k.s2, k.p2, k.l2, k.t1) = k(s1 , p1 , l1 , t1) + k(s2 , p2 , l2 , t2) = k.x + k.y8) Untuk setiap x dalam V dan skalar k dan m, maka :(k + m).x = (k + m) (s1 , p1 , l1 , t1) = ((k + m).s1 , (k + m).p1 , (k + m).l1, (k + m).t1) = (ks1 + ms1 , k p1 + mp1 , k l1 + ml1, kt1 + mt1) = (ks1, k p1, k l1, kt1) + (ms1 , mp1 , ml1, mt1) = k(s1 , p1 , l1 , t1) + m(s2 , p2 , l2 , t2) = k.x + m.x9) Untuk setiap x dalam V dan skalar k dan m, maka :k(m.x) = k(m(s1 , p1 , l1 , t1)) = k(ms1 , mp1 , ml1 , mt1) = (kms1 , kmp1 , kml1 , kmt1) = km (s1 , p1 , l1 , t1) = km.x10) 1.x = 1(s1 , p1 , l1 , t1) = (1.s1 , 1.p1 , 1.l1 , 1.t1) = (s1 , p1 , l1 , t1) = xJadi V adalah ruang vektor.(iii) Kodomain

Misalkan : x, y, z W dengan x = (s1 , p1 , l1 , t1) , y = (s2 , p2 , l2 , t2) dan z = (s3 , p3 , l3 , t3)1) x + y = (s1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + s2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2)W bersifat tertutup terhadap penjumlahan, karena hasil akhirnya berupa 4-tupel (s , p , l , t) dalam W.2) x + y = (s1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + s2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2) = (s2 + s1 , p2 + p1 , l2 + l1 , t2 + t1) = (s2 , p2 , l2 , t2) + (s1 , p1 , l1 , t1) = y + x.Bersifat komutatif.3) x + (y + z) = (s1 , p1 , l1 , t1) + ((s2 , p2 , l2 , t2) + (s3 , p3 , l3 , t3)) = (s1 , p1 , l1 , t1) + (s2 + s3 , p2 + p3 , l2 + l3 , t2 + t3) = (s1 + s2 + s3 , p1 + p2 + p3 , l1 + l2 + l3 , t3 + t2 + t3) = ((s1 + s2) + s3 , (p1 + p2) + p3 , (l1 + l2) + l3 , (t3 + t2) + t3) = (s1 + s2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2) + (s3 , p3 , l3 , t3) = (x + y) + z4) Terdapat vektor nol dalam V yaitu 0 V dengan 0 = (0, 0, 0, 0) sedemikian sehingga :0 + x = (0, 0, 0, 0) + (s1 , p1 , l1 , t1) = (0 + s1 , 0 + p1 , 0 + l1 , 0 + t1) = (s1 , p1 , l1 , t1) = xdan x + 0 = (s1 , p1 , l1 , t1) + (0, 0, 0) = (s1 + 0 , p1 + 0 , l1 + 0 , t1 + 0) = (s1 , p1 , l1 , t1) = x5) Dengan mendefinisikan invers penjumlahan dari x adalah -x = (-s1, -p1, -l1, -t1) maka:x + -x = (s1 , p1 , l1 , t1) + (-s1, -p1, -l1, -t1) = (s1+(-s1), p1+(-p1), l1+(-l1), t1+(-t1)) = (0, 0, 0, 0) = 0-x + x = (-s1, -p1, -l1, -t1) + (s1 , p1 , l1 , t1) = (-s1+s1, -p1+p1, -l1+l1, -t1+t1) = (0, 0, 0, 0) = 06) Untuk sembarang skalar k, maka :kx = k(s1 , p1 , l1 , t1) = (k.s1 , k.p1 , k.l1 , k.t1)W bersifat tertutup terhadap perkalian karena perkalian dengan skalar menghasilkan 4-tupel (s , p , l , t) dalam W.7) Untuk setiap x, y dalam W dan skalar k, makak(x + y) = k ((s1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , p2 , l2 , t2)) = k ((s1 + s2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2) = (k.s1 + k.s2 , k.p1 + k.p2 , k.l1 + k.l2 , k.t1 + k.t2) = (k.s1, k.p1, k.l1, k.t1) + (k.s2, k.p2, k.l2, k.t1) = k(s1 , p1 , l1 , t1) + k(s2 , p2 , l2 , t2) = k.x + k.y8) Untuk setiap x dalam W dan skalar k dan m, maka :(k + m).x = (k + m) (s1 , p1 , l1 , t1) = ((k + m).s1 , (k + m).p1 , (k + m).l1, (k + m).t1) = (ks1 + ms1 , k p1 + mp1 , k l1 + ml1, kt1 + mt1) = (ks1, k p1, k l1, kt1) + (ms1 , mp1 , ml1, mt1) = k(s1 , p1 , l1 , t1) + m(s2 , p2 , l2 , t2) = k.x + m.x9) Untuk setiap x dalam W dan skalar k dan m, maka :k(m.x) = k(m(s1 , p1 , l1 , t1)) = k(ms1 , mp1 , ml1 , mt1) = (kms1 , kmp1 , kml1 , kmt1) = km (s1 , p1 , l1 , t1) = km.x10) 1.x = 1(s1 , p1 , l1 , t1) = (1.s1 , 1.p1 , 1.l1 , 1.t1) = (s1 , p1 , l1 , t1) = xJadi W adalah ruang vektor.Dan perlu juga dilihat apakah merupakan suatu fungsi. Untuk itu dapat kita tunjukkan sebagai berikut :1) Ambil x dalam V dengan x = (s1 , p1 , l1 , t1), maka terdapat f(x1) = (s1 , p1 , l1 , t1) dalam W yang memenuhi . Sehingga setiap anggota domain (yaitu V) memiliki pasangan di kodomain (yaitu W)2) Ambil x1 dan x2 dalam V dengan x1 = (s1 , p1 , l1 , t1) dan x2 = (s2 , p2 , l2 , t2), maka terdapat f(x1) dan f(x2) dalam W dengan f(x1) = (s1 , p1 , l1 , t1) dan f(x2) = (s2 , p2 , l2 , t2). Jika x1 = x2 atau (s1 , p1 , l1 , t1) = (s2 , p2 , l2 , t2) maka:f(x1) = = f(x2).


Transformasi dari R5 ke R5 :Ayah membeli es batu berbentuk balok dengan ukuran 90 cm x 30 cm x 25 cm. Ayah membawa es batu tersebut dari tempat membelinya pada pukul 15.00 sampai di rumah pukul 15.20, sepanjang perjalanan es terkena sinar matahari dari temperatur 250C sampai temperatur 270C sehingga es tersebut mencair (jika bentuk es tidak berubah) hingga ukuran es menjadi 85 cm x 25 cm x 20 cmDari permasalahan di atas didapat bahwa terjadinya perubahan temperatur, perubahan waktu diikuti dengan perubahan panjang balok es, perubahan lebar balok es dan perubahan tinggi balok es.I. Jika perubahan es tersebut kita pandang satu demi satu yaitu perubahan temperatur saja, perubahan waktu saja, perubahan panjang balok es saja, perubahan lebar balok es saja dan perubahan tinggi balok es saja, maka :a. temperatur awal (di tempat membeli es) adalah 270C dan temperatur akhir (di tempat berjualan) adalah 250C, sehingga terjadi perubahan temperatur yaitu temperatur akhir sama dengan temperatur awal ditambah 20C. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu s2 = s1 + 2 dimana s1 adalah temperatur awal dan s2 adalah temperatur akhir.b. Ayah es bergerak dari tempat membeli es batu pada pukul 15.00 ke tempat ia berjualan tiba pukul 15.20, sehingga terjadi perubahan waktu. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu q2 = q1 + 00.20 dimana q1 adalah waktu awal dan q2 adalah waktu akhir.c. es mencair mengakibatkan panjang balok es berkurang dari 90 cm menjadi 85 cm, sehingga terjadi perubahan panjang balok es yaitu panjang balok es setelah mencair sama dengan panjang balok es sebelum mencair dikurangi 5 cm. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu p2 = p1 + (-5) dimana p1 adalah panjang balok es sebelum mencair dan p2 adalah panjang balok es setelah mencair.d. es mencair mengakibatkan lebar balok es berkurang dari 30 cm menjadi 25 cm, sehingga terjadi perubahan lebar balok es yaitu lebar balok es setelah mencair sama dengan lebar balok es sebelum mencair dikurangi 5 cm. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu l2 = l1 + (-5) dimana l1 adalah lebar balok es sebelum mencair dan l2 adalah lebar balok es setelah mencair.e. es mencair mengakibatkan tinggi balok es berkurang dari 25 cm menjadi 20 cm, sehingga terjadi perubahan tinggi balok es yaitu tinggi balok es setelah mencair sama dengan tinggi balok es sebelum mencair dikurangi 5 cm. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu t2 = t1 + (-5) dimana t1 adalah tinggi balok es sebelum mencair dan t2 adalah tinggi balok es setelah mencair.II. Jika perubahan tersebut dipandang sebagai satu kesatuan yaitu sebagai perubahan temperatur, perubahan waktu, perubahan panjang balok es, perubahan lebar balok es dan sekaligus perubahan tinggi balok es maka pada pukul 15.00 dengan temperatur awal 250C panjang balok es 90 cm lebar balok es 30 cm dan tinggi balok es 25 cm, hal ini bisa ditulis dengan (25, 15.00, 90, 30, 25) dan tiba di tempat ia berjualan pada pukul 15.20 dengan temperatur akhir 270C panjang balok es 85 cm lebar balok es 25 cm dan tinggi balok es 20 cm, hal ini bisa ditulis dengan (27, 15.20, 85, 25, 20). Perubahan yang terjadi dapat dituliskan dengan (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + 2 , q2 + 00.20 , p1 + (-5) , l1 + (-5) , t1 + (-5)) dimana s1 adalah temperatur awal dan s2 adalah temperatur akhir, q1 adalah waktu awal dan p2 adalah waktu akhir, p1 adalah panjang balok es sebelum mencair dan p2 adalah panjang balok es setelah mencair, l1 adalah lebar balok es sebelum mencair dan l2 adalah lebar balok es setelah mencair, t1 adalah tinggi balok es sebelum mencair dan t2 adalah tinggi balok es setelah mencair.III. Uraian di atas dapat dibuatkan matriksnya (notasi aljabar linearnya) sebagai berikut :

IV. R5 adalah himpunan (s, q, p, l, t)s adalah perubahan temperatur, s dapat mengambil nilai semua bilangan real, misalnya:(i) temperatur awal 27 berubah menjadi temperatur 25 ; r = 25 27 = -2 R(ii) temperatur awal 25 berubah menjadi temperatur 27 ; r = 27 25 = 2 R(iii) temperatur awal 27 berubah menjadi tempratur 27 ;




p = 90 90 = 90(1 - ) RDemikian pula dengan q adalah perubahan waktu, l adalah perubahan lebar balok es dan t adalah perubahan tinggi balok es, q, l dan t dapat mengambil nilai semua bilangan real.Domain dari relasi ini adalah V = (R5 , + , . ) yang anggotanya adalah (s, q, p, l, t) seperti yang telah didefinisikan di atas dan kodomainnya adalah W = (R5 , + , . ) yang anggotanya adalah (s, q, p, l, t) seperti yang telah didefinisikan di atas. Selanjutnya kita tunjukkan bahwa domain dan kodomain tersebut merupakan ruang vektor dengan melihat terpenuhinya 10 aksioma ruang vektor sebagai berikut :a. Domain :

Misalkan : x, y, z V dengan x = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) , y = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) dan z = (s3 , q3, p3 , l3 , t3)1) x + y = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2)V bersifat tertutup terhadap penjumlahan, karena hasil akhirnya berupa 5-tupel (s , q , p , l , t) dalam V.2) x + y = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2)= (s2 + s1 , q2 + q1 , p2 + p1 , l2 + l1 , t2 + t1) = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) + (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = y + x.Bersifat komutatif.3) x + (y + z) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + ((s2 , q2 , p2 , l2 , t2) + (s3 q3 ,, p3 , l3 , t3)) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (s2 + s3 , q2 + q3 , p2 + p3 , l2 + l3 , t2 + t3) = (s1 + s2 + s3 , q1 + q2 + q3 , p1 + p2 + p3 , l1 + l2 + l3 , t3 + t2 + t3) = ((s1 + s2) + s3 , (q1 + q2) + q3 , (p1 + p2) + p3 , (l1 + l2) + l3 , (t3 + t2) + t3) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2) + (s3 , q3 , p3 , l3 , t3) = (x + y) + z4) Terdapat vektor nol dalam V yaitu 0 V dengan 0 = (0, 0, 0, 0, 0) sedemikian sehingga :0 + x = (0, 0, 0, 0, 0) + (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = (0 + s1 , 0 + q1 , 0 + p1 , 0 + l1 , 0 + t1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = xdan x + 0 = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (0, 0, 0, 0, 0) = (s1 + 0 , q1 + 0 ,p1 + 0 , l1 + 0 , t1 + 0) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = x5) Dengan mendefinisikan invers penjumlahan dari x adalah -x = (-s1, -q1 , -p1, -l1, -t1) maka:x + -x = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (-s1, -q1 ,-p1, -l1, -t1) = (s1+(-s1), q1 + (-q1) ,p1+(-p1), l1+(-l1), t1+(-t1)) = (0, 0, 0, 0, 0) = 0-x + x = (-s1, -p1, -l1, -t1) + (s1 , p1 , l1 , t1) = (-s1+s1, -p1+p1, -l1+l1, -t1+t1) = (0, 0, 0, 0) = 06) Untuk sembarang skalar k, maka :kx = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = (k.s1 , k.q1 , k.p1 , k.l1 , k.t1)V bersifat tertutup terhadap perkalian karena perkalian dengan skalar menghasilkan 5-tupel (s ,q , p , l , t) dalam V.7) Untuk setiap x, y dalam V dan skalar k, makak(x + y) = k ((s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2)) = k ((s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2) = (k.s1 + k.s2 , k.q1 + k.q2 , k.p1 + k.p2 , k.l1 + k.l2 , k.t1 + k.t2) = (k.s1, k.q1, k.p1, k.l1, k.t1) + (k.s2, k.q2, k.p2, k.l2, k.t1) = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + k(s2 , q2 , p2 , l2 , t2) = k.x + k.y8) Untuk setiap x dalam V dan skalar k dan m, maka :(k + m).x = (k + m) (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = ((k + m).s1 , (k + m).q1 , (k + m).p1 , (k + m).l1, (k + m).t1) = (ks1 + ms1 , kq1 + mq1 ,kp1 + mp1 , kl1 + ml1, kt1 + mt1) = (ks1, kq1, kp1, k l1, kt1) + (ms1 , mq1 , mp1 , ml1, mt1) = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + m(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = k.x + m.x9) Untuk setiap x dalam V dan skalar k dan m, maka :k(m.x) = k(m(s1 , q1 , p1 , l1 , t1)) = k(ms1 , mq1 , mp1 , ml1 , mt1) = (kms1 , kmq1 , kmp1 , kml1 , kmt1) = km (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = km.x10) 1.x = 1(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = (1.s1 , 1.q1 , 1.p1 , 1.l1 , 1.t1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = xJadi V adalah ruang vektor.b. Kodomain

Misalkan : x, y, z W dengan x = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) , y = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) dan z = (s3 , q3, p3 , l3 , t3)1) x + y = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2)W bersifat tertutup terhadap penjumlahan, karena hasil akhirnya berupa 5-tupel (s , q , p , l , t) dalam W.2) x + y = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2)= (s2 + s1 , q2 + q1 , p2 + p1 , l2 + l1 , t2 + t1) = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) + (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = y + x.Bersifat komutatif.3) x + (y + z) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + ((s2 , q2 , p2 , l2 , t2) + (s3 q3 ,, p3 , l3 , t3)) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (s2 + s3 , q2 + q3 , p2 + p3 , l2 + l3 , t2 + t3) = (s1 + s2 + s3 , q1 + q2 + q3 , p1 + p2 + p3 , l1 + l2 + l3 , t3 + t2 + t3) = ((s1 + s2) + s3 , (q1 + q2) + q3 , (p1 + p2) + p3 , (l1 + l2) + l3 , (t3 + t2) + t3) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2) + (s3 , q3 , p3 , l3 , t3) = (x + y) + z4) Terdapat vektor nol dalam W yaitu 0 W dengan 0 = (0, 0, 0) sedemikian sehingga :0 + x = (0, 0, 0, 0, 0) + (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = (0 + s1 , 0 + q1 , 0 + p1 , 0 + l1 , 0 + t1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = xdan x + 0 = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (0, 0, 0, 0, 0) = (s1 + 0 , q1 + 0 ,p1 + 0 , l1 + 0 , t1 + 0) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = x5) Dengan mendefinisikan invers penjumlahan dari x adalah -x = (-s1, -q1 , -p1, -l1, -t1) maka:x + -x = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (-s1, -q1 ,-p1, -l1, -t1) = (s1+(-s1), q1 + (-q1) ,p1+(-p1), l1+(-l1), t1+(-t1)) = (0, 0, 0, 0, 0) = 0-x + x = (-s1, -p1, -l1, -t1) + (s1 , p1 , l1 , t1) = (-s1+s1, -p1+p1, -l1+l1, -t1+t1) = (0, 0, 0, 0, 0) = 06) Untuk sembarang skalar k, maka :kx = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = (k.s1 , k.q1 , k.p1 , k.l1 , k.t1)W bersifat tertutup terhadap perkalian karena perkalian dengan skalar menghasilkan 5-tupel (s ,q , p , l , t) dalam W.7) Untuk setiap x, y dalam W dan skalar k, makak(x + y) = k ((s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2)) = k ((s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2) = (k.s1 + k.s2 , k.q1 + k.q2 , k.p1 + k.p2 , k.l1 + k.l2 , k.t1 + k.t2) = (k.s1, k.q1, k.p1, k.l1, k.t1) + (k.s2, k.q2, k.p2, k.l2, k.t1) = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + k(s2 , q2 , p2 , l2 , t2) = k.x + k.y8) Untuk setiap x dalam W dan skalar k dan m, maka :(k + m).x = (k + m) (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = ((k + m).s1 , (k + m).q1 , (k + m).p1 , (k + m).l1, (k + m).t1) = (ks1 + ms1 , kq1 + mq1 ,kp1 + mp1 , kl1 + ml1, kt1 + mt1) = (ks1, kq1, kp1, k l1, kt1) + (ms1 , mq1 , mp1 , ml1, mt1) = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) + m(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = k.x + m.x9) Untuk setiap x dalam W dan skalar k dan m, maka :k(m.x) = k(m(s1 , q1 , p1 , l1 , t1)) = k(ms1 , mq1 , mp1 , ml1 , mt1) = (kms1 , kmq1 , kmp1 , kml1 , kmt1) = km (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = km.x10) 1.x = 1(s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = (1.s1 , 1.q1 , 1.p1 , 1.l1 , 1.t1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = xJadi W adalah ruang vektor.Dan perlu juga dilihat apakah merupakan suatu fungsi. Untuk itu dapat kita tunjukkan sebagai berikut :1) Ambil x dalam V dengan x = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1), maka terdapat f(x1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) dalam W yang memenuhi . Sehingga setiap anggota domain (yaitu V) memiliki pasangan di kodomain (yaitu W)2) Ambil x1 dan x2 dalam V dengan x1 = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) dan x2 = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2), maka terdapat f(x1) dan f(x2) dalam W dengan f(x1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) dan f(x2) = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2). Jika x1 = x2 atau (s1 , q1 , p1 , l1 , t1) = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2) maka:

f(x1) = = f(x2).


Transformasi dari R6 ke R6 :Ayah membeli es batu berbentuk balok dengan ukuran 90 cm x 30 cm x 25 cm dan berat 2 kg. Ayah membawa es batu tersebut dari tempat membelinya pada pukul 15.00 sampai di rumah pukul 15.20, sepanjang perjalanan es terkena sinar matahari dari temperatur 250C (tempat membeli es) sampai temperatur 270C (tempat ia berjualan) sehingga es tersebut mencair (jika bentuk es tidak berubah) hingga ukuran es menjadi 85 cm x 25 cm x 20 cm dan berat 1,8 kg.Dari permasalahan di atas didapat bahwa terjadinya perubahan temperatur, perubahan waktu diikuti dengan perubahan panjang balok es, perubahan lebar balok es, perubahan tinggi balok es dan perubahan berat es.I. Jika perubahan es tersebut kita pandang satu demi satu yaitu perubahan temperatur saja, perubahan waktu saja, perubahan panjang balok es saja, perubahan lebar balok es saja, perubahan tinggi balok es saja dan perubahan berat saja, maka :a. temperatur awal (di tempat membeli es) adalah 270C dan temperatur akhir (di tempat berjualan) adalah 250C, sehingga terjadi perubahan temperatur yaitu temperatur akhir sama dengan temperatur awal ditambah 20C. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu s2 = s1 + 2 dimana s1 adalah temperatur awal dan s2 adalah temperatur akhir.b. Ayah bergerak dari tempat membeli es batu pada pukul 15.00 ke rumah tiba pukul 15.20, sehingga terjadi perubahan waktu. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu q2 = q1 + 00.20 dimana q1 adalah waktu awal dan q2 adalah waktu akhir.c. es mencair mengakibatkan panjang balok es berkurang dari 90 cm menjadi 85 cm, sehingga terjadi perubahan panjang balok es yaitu panjang balok es setelah mencair sama dengan panjang balok es sebelum mencair dikurangi 5 cm. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu p2 = p1 + (-5) dimana p1 adalah panjang balok es sebelum mencair dan p2 adalah panjang balok es setelah mencair.d. es mencair mengakibatkan lebar balok es berkurang dari 30 cm menjadi 25 cm, sehingga terjadi perubahan lebar balok es yaitu lebar balok es setelah mencair sama dengan lebar balok es sebelum mencair dikurangi 5 cm. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu l2 = l1 + (-5) dimana l1 adalah lebar balok es sebelum mencair dan l2 adalah lebar balok es setelah mencair.e. es mencair mengakibatkan tinggi balok es berkurang dari 25 cm menjadi 20 cm, sehingga terjadi perubahan tinggi balok es yaitu tinggi balok es setelah mencair sama dengan tinggi balok es sebelum mencair dikurangi 5 cm. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu t2 = t1 + (-5) dimana t1 adalah tinggi balok es sebelum mencair dan t2 adalah tinggi balok es setelah mencair.f. berat es yang semula 2 kg kemudian terkena sinar matahari yang menyebabkan es tersebut mencair sehingga berat es berkurang menjadi 1,8 kg, maka terjadi perubahan berat es yaitu berat es setelah mencair sama dengan berat es sebelum mencair dikurangi 0,2 kg. Pernyataan ini bisa dituliskan sebagai translasi (satu dimensi), yaitu b2 = b1 + (-0,2) dimana b1 adalah berat es sebelum mencair dan b2 adalah berat es setelah mencair.II. Jika perubahan tersebut dipandang sebagai satu kesatuan yaitu sebagai perubahan temperatur, perubahan waktu, perubahan panjang balok es, perubahan lebar balok es, perubahan tinggi balok es dan sekaligus perubahan berate s maka pada pukul 15.00 dengan temperatur awal 250C panjang balok es 90 cm lebar balok es 30 cm dan tinggi balok es 25 cm dengan berat 2 kg, hal ini bisa ditulis dengan (25, 15.00, 90, 30, 25, 2) dan tiba di tempat ia berjualan pada pukul 15.20 dengan temperatur akhir 270C panjang balok es 85 cm lebar balok es 25 cm dan tinggi balok es 20 cm dengan berat 1,8 kg, hal ini bisa ditulis dengan (27, 15.20, 85, 25, 20, 1.8). Perubahan yang terjadi dapat dituliskan dengan (s2 , q2 , p2 , l2 , t2 , b2) = (s1 + 2 , q2 + 00.20 , p1 + (-5) , l1 + (-5) , t1 + (-5) , b2 + (-0,2)) dimana s1 adalah temperatur awal dan s2 adalah temperatur akhir, q1 adalah waktu awal dan p2 adalah waktu akhir, p1 adalah panjang balok es sebelum mencair dan p2 adalah panjang balok es setelah mencair, l1 adalah lebar balok es sebelum mencair dan l2 adalah lebar balok es setelah mencair, t1 adalah tinggi balok es sebelum mencair dan t2 adalah tinggi balok es setelah mencair, b1 adalah berat es sebelum mencair dan b2 adalah berat es setelah mencair.III. Uraian di atas dapat dibuatkan matriksnya (notasi aljabar linearnya) sebagai berikut :

IV. R6 adalah himpunan (s, q, p, l, t, b)s adalah perubahan temperatur, s dapat mengambil nilai semua bilangan real, misalnya:(i) temperatur awal 27 berubah menjadi temperatur 25 ; r = 25 27 = -2 R(ii) temperatur awal 25 berubah menjadi temperatur 27 ; r = 27 25 = 2 R(iii) temperatur awal 27 berubah menjadi tempratur 27 ;




p = 90 90 = 90(1 - ) Rb adalah perubahan berat es, b dapat mengambil nilai semua bilangan real, misalnya :(i) berat es awal 2 berubah menjadi 1,8 ; p = 1,8 2 = -0,2 R(ii) berat es awal 1,8 berubah menjadi 2 ; p = 2 1,8 = 0,2 R(iii) berat es awal 2 berubah menjadi 2 ;


p = 2 2 = 2(1 - ) RDemikian pula dengan q adalah perubahan waktu, l adalah perubahan lebar balok es dan t adalah perubahan tinggi balok es, q, l dan t dapat mengambil nilai semua bilangan real.Domain dari relasi ini adalah V = (R6 , + , . ) yang anggotanya adalah (s, q, p, l, t, b) seperti yang telah didefinisikan di atas dan kodomainnya adalah W = (R6 , + , . ) yang anggotanya adalah (s, q, p, l, t, b) seperti yang telah didefinisikan di atas. Selanjutnya kita tunjukkan bahwa domain dan kodomain tersebut merupakan ruang vektor dengan melihat terpenuhinya 10 aksioma ruang vektor sebagai berikut :a. Domain :

Misalkan : x, y, z V dengan x = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) , y = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) dan z = (s3 , q3, p3 , l3 , t3 , b3)1) x + y = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2 , b1 + b2)V bersifat tertutup terhadap penjumlahan, karena hasil akhirnya berupa 6-tupel (s , q , p , l , t , b) dalam V.2) x + y = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2 , b1 + b2)= (s2 + s1 , q2 + q1 , p2 + p1 , l2 + l1 , t2 + t1 , b2 + b1) = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2 , b2) + (s1 , q1 , p1 , l1 , t1 , b1) = y + x.Bersifat komutatif.3) x + (y + z) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + ((s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) + (s3 q3 ,, p3 , l3 , t3, b3))= (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (s2 + s3 , q2 + q3 , p2 + p3 , l2 + l3 , t2 + t3, b2 + b3)= (s1 + s2 + s3, q1 + q2 + q3 , p1 + p2 + p3 , l1 + l2 + l3 , t3 + t2 + t3, b1 + b2 + b3)= ((s1 + s2) + s3, (q1 + q2) + q3, (p1 + p2) + p3, (l1 + l2) + l3, (t1 + t2) + t3, (b1 + b2) + b3)= (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2, b1 + t2) + (s3 , q3 , p3 , l3 , t3, b3)= (x + y) + z4) Terdapat vektor nol dalam V yaitu 0 V dengan 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0) sedemikian sehingga :0 + x = (0, 0, 0, 0, 0, 0) + (s1 , q1 , p1 , l1 , t1 , b1) = (0 + s1 , 0 + q1 , 0 + p1 , 0 + l1 , 0 + t1, 0 + b1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = xdan x + 0 = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (0, 0, 0, 0, 0, 0) = (s1 + 0 , q1 + 0 ,p1 + 0 , l1 + 0 , t1 + 0, b1 + 0) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = x5) Dengan mendefinisikan invers penjumlahan dari x adalah -x = (-s1, -q1 , -p1, -l1, -t1, -b1) maka:x + -x = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (-s1, -q1 ,-p1, -l1, -t1, -b1) = (s1+(-s1), q1 + (-q1) ,p1+(-p1), l1+(-l1), t1+(-t1), b1+(-b1)) = (0, 0, 0, 0, 0, 0) = 0-x + x = (-s1, -p1, -l1, -t1, -b1) + (s1 , p1 , l1 , t1, b1) = (-s1+s1, -p1+p1, -l1+l1, -t1+t1, -b1+b1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0) = 06) Untuk sembarang skalar k, maka :kx = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = (k.s1 , k.q1 , k.p1 , k.l1 , k.t1, k.b1)V bersifat tertutup terhadap perkalian karena perkalian dengan skalar menghasilkan 6-tupel (s ,q , p , l , t, b) dalam V.7) Untuk setiap x, y dalam V dan skalar k, makak(x + y) = k ((s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2)) = k ((s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2, b1 + b2) = (k.s1 + k.s2 , k.q1 + k.q2 , k.p1 + k.p2 , k.l1 + k.l2 , k.t1 + k.t2, k.b1 + k.b2) = (k.s1, k.q1, k.p1, k.l1, k.t1, k.b1) + (k.s2, k.q2, k.p2, k.l2, k.t2, k.b2) = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + k(s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) = k.x + k.y8) Untuk setiap x dalam V dan skalar k dan m, maka :(k + m).x = (k + m) (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = ((k + m).s1 , (k + m).q1 , (k + m).p1 , (k + m).l1, (k + m).t1, (k + m).b1) = (ks1 + ms1 , kq1 + mq1 ,kp1 + mp1 , kl1 + ml1, kt1 + mt1, kb1 + mb1) = (ks1, kq1, kp1, k l1, kt1, kb1) + (ms1 , mq1 , mp1 , ml1, mt1, mb1) = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + m(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = k.x + m.x9) Untuk setiap x dalam V dan skalar k dan m, maka :k(m.x) = k(m(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1)) = k(ms1 , mq1 , mp1 , ml1 , mt1, mb1) = (kms1 , kmq1 , kmp1 , kml1 , kmt1, kmb1) = km (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = km.x10) 1.x = 1(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = (1.s1 , 1.q1 , 1.p1 , 1.l1 , 1.t1, 1.b1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = xJadi V adalah ruang vektor.b. Kodomain

Misalkan : x, y, z W dengan x = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) , y = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) dan z = (s3 , q3, p3 , l3 , t3 , b3)1) x + y = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2 , b1 + b2)W bersifat tertutup terhadap penjumlahan, karena hasil akhirnya berupa 6-tupel (s , q , p , l , t , b) dalam W.2) x + y = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) = (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2 , b1 + b2)= (s2 + s1 , q2 + q1 , p2 + p1 , l2 + l1 , t2 + t1 , b2 + b1) = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2 , b2) + (s1 , q1 , p1 , l1 , t1 , b1) = y + x.Bersifat komutatif.3) x + (y + z) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + ((s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) + (s3 q3 ,, p3 , l3 , t3, b3))= (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (s2 + s3 , q2 + q3 , p2 + p3 , l2 + l3 , t2 + t3, b2 + b3)= (s1 + s2 + s3, q1 + q2 + q3 , p1 + p2 + p3 , l1 + l2 + l3 , t3 + t2 + t3, b1 + b2 + b3)= ((s1 + s2) + s3, (q1 + q2) + q3, (p1 + p2) + p3, (l1 + l2) + l3, (t1 + t2) + t3, (b1 + b2) + b3)= (s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t3 + t2, b1 + t2) + (s3 , q3 , p3 , l3 , t3, b3)= (x + y) + z4) Terdapat vektor nol dalam W yaitu 0 W dengan 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0) sedemikian sehingga :0 + x = (0, 0, 0, 0, 0, 0) + (s1 , q1 , p1 , l1 , t1 , b1) = (0 + s1 , 0 + q1 , 0 + p1 , 0 + l1 , 0 + t1, 0 + b1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = xdan x + 0 = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (0, 0, 0, 0, 0, 0) = (s1 + 0 , q1 + 0 ,p1 + 0 , l1 + 0 , t1 + 0, b1 + 0) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = x5) Dengan mendefinisikan invers penjumlahan dari x adalah -x = (-s1, -q1 , -p1, -l1, -t1, -b1) maka:x + -x = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (-s1, -q1 ,-p1, -l1, -t1, -b1) = (s1+(-s1), q1 + (-q1) ,p1+(-p1), l1+(-l1), t1+(-t1), b1+(-b1)) = (0, 0, 0, 0, 0, 0) = 0-x + x = (-s1, -p1, -l1, -t1, -b1) + (s1 , p1 , l1 , t1, b1) = (-s1+s1, -p1+p1, -l1+l1, -t1+t1, -b1+b1) = (0, 0, 0, 0, 0, 0) = 06) Untuk sembarang skalar k, maka :kx = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = (k.s1 , k.q1 , k.p1 , k.l1 , k.t1, k.b1)W bersifat tertutup terhadap perkalian karena perkalian dengan skalar menghasilkan 6-tupel (s ,q , p , l , t, b) dalam W.7) Untuk setiap x, y dalam W dan skalar k, makak(x + y) = k ((s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + (s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2)) = k ((s1 + s2 , q1 + q2 , p1 + p2 , l1 + l2 , t1 + t2, b1 + b2) = (k.s1 + k.s2 , k.q1 + k.q2 , k.p1 + k.p2 , k.l1 + k.l2 , k.t1 + k.t2, k.b1 + k.b2) = (k.s1, k.q1, k.p1, k.l1, k.t1, k.b1) + (k.s2, k.q2, k.p2, k.l2, k.t2, k.b2) = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + k(s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2) = k.x + k.y8) Untuk setiap x dalam W dan skalar k dan m, maka :(k + m).x = (k + m) (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = ((k + m).s1 , (k + m).q1 , (k + m).p1 , (k + m).l1, (k + m).t1, (k + m).b1) = (ks1 + ms1 , kq1 + mq1 ,kp1 + mp1 , kl1 + ml1, kt1 + mt1, kb1 + mb1) = (ks1, kq1, kp1, k l1, kt1, kb1) + (ms1 , mq1 , mp1 , ml1, mt1, mb1) = k(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) + m(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = k.x + m.x9) Untuk setiap x dalam W dan skalar k dan m, maka :k(m.x) = k(m(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1)) = k(ms1 , mq1 , mp1 , ml1 , mt1, mb1) = (kms1 , kmq1 , kmp1 , kml1 , kmt1, kmb1) = km (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = km.x10) 1.x = 1(s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = (1.s1 , 1.q1 , 1.p1 , 1.l1 , 1.t1, 1.b1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) = xJadi W adalah ruang vektor.Dan perlu juga dilihat apakah merupakan suatu fungsi. Untuk itu dapat kita tunjukkan sebagai berikut :1) Ambil x dalam V dengan x = (s1, q1, p1, l1, t1, b1), maka terdapat f(x1) = (s1, q1, p1, l1, t1, b1) dalam W yang memenuhi . Sehingga setiap anggota domain (yaitu V) memiliki pasangan di kodomain (yaitu W)2) Ambil x1 dan x2 dalam V dengan x1 = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1, b1) dan x2 = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2 , b2), maka terdapat f(x1) dan f(x2) dalam W dengan f(x1) = (s1 , q1 , p1 , l1 , t1 , b1) dan f(x2) = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2, b2). Jika x1 = x2 atau (s1 , q1 , p1 , l1 , t1 , b1) = (s2 , q2 , p2 , l2 , t2 , b2) maka:

f(x1) = = f(x2).
