ALJABAR BOOLEAN II
SISTEM DIGITALSISTEM DIGITAL
TEKNIK INFORMATIKATEKNIK INFORMATIKA
UNIVERSITASUNIVERSITAS TRUNOJOYOTRUNOJOYORahmadyRahmady LiyantantoLiyantanto, S.kom, S.kom
[email protected]@gmail.com
10/25/201110/25/2011 22
PembahasanPembahasannn FungsiFungsi BooleanBooleannn KomplemenKomplemen FungsiFungsinn BentukBentuk KanonikKanonik
àà SOPSOPàà POSPOS
nn AplikasiAplikasi AljabarAljabar BooleanBoolean
10/25/201110/25/2011 33
Fungsi BooleanFungsi Booleannn Fungsi BooleanFungsi Boolean (disebut juga fungsi biner)(disebut juga fungsi biner)
adalah pemetaan dariadalah pemetaan dari BnBn keke BB melalui ekspresimelalui ekspresiBoolean, kita menuliskannya sebagaiBoolean, kita menuliskannya sebagai
ff :: BnBn ®® BByang dalam hal iniyang dalam hal ini BnBn adalah himpunan yangadalah himpunan yangberanggotakan pasangan terurut gandaberanggotakan pasangan terurut ganda--nn((ordered nordered n--tupletuple) di dalam daerah asal) di dalam daerah asal BB..
nn Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakanSetiap ekspresi Boolean tidak lain merupakanfungsi Boolean.fungsi Boolean.
10/25/201110/25/2011 44
nn Misalkan sebuah fungsi Boolean adalahMisalkan sebuah fungsi Boolean adalahff((xx,, yy,, zz) =) = xyzxyz ++ xx’’yy ++ yy’’zz
FungsiFungsi ff memetakan nilaimemetakan nilai--nilai pasangan terurutnilai pasangan terurutgandaganda--3 (3 (xx,, yy,, zz) ke himpunan {0, 1}.) ke himpunan {0, 1}.Contohnya, (1, 0, 1) yang berartiContohnya, (1, 0, 1) yang berarti xx = 1,= 1, yy = 0, dan= 0, danzz = 1= 1sehingga f(1, 0, 1) = 1sehingga f(1, 0, 1) = 1 ×× 00 ×× 1 + 1’1 + 1’ ×× 0 + 0’0 + 0’×× 1 = 0 +1 = 0 +0 + 1 = 1 .0 + 1 = 1 .
10/25/201110/25/2011 55
nn ff((xx) =) = xxnn ff((xx,, yy) =) = xx ’’yy ++ xyxy ’+’+ yy ’’nn ff((xx,, yy) =) = xx ’’ yy ’’nn ff((xx,, yy) = () = (xx ++ yy)’)’nn ff((xx,, yy,, zz) =) = xyzxyz ’’
ContohContoh--contoh fungsi Boolean yang lain:contoh fungsi Boolean yang lain:
10/25/201110/25/2011 66
nn Setiap peubah di dalam fungsi Boolean,Setiap peubah di dalam fungsi Boolean,termasuk dalam bentuk komplemennya,termasuk dalam bentuk komplemennya,disebutdisebut literalliteral..
nn Contoh: FungsiContoh: Fungsi hh((xx,, yy,, zz) =) = xyzxyz’ pada’ padacontoh di atas terdiri dari 3 buah literal,contoh di atas terdiri dari 3 buah literal,yaituyaitu xx, y, dan, y, dan zz’.’.
10/25/201110/25/2011 77
Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’,nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Contoh.
Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’00001111
00110011
01010101
00000010
10/25/201110/25/2011 88
nn Cara pertama: menggunakan hukum DeCara pertama: menggunakan hukum DeMorganMorganHukum De Morgan untuk dua buah peubah,Hukum De Morgan untuk dua buah peubah,xx1 dan1 dan xx2, adalah2, adalah
Komplemen Fungsi
10/25/201110/25/2011 99
nn MisalkanMisalkan ff((xx,, yy,, zz) =) = xx((yy’’zz’ +’ + yzyz), maka), makaff ’(’(xx,, yy,, zz) = () = (xx((yy’’zz’ +’ + yzyz))’))’
== xx’ + (’ + (yy’’zz’ +’ + yzyz)’)’== xx’ + (’ + (yy’’zz’)’ (’)’ (yzyz)’)’== xx’ + (’ + (yy ++ zz) () (yy’ +’ + zz’)’)
Contoh.
10/25/201110/25/2011 1010
nn CaraCara keduakedua:: menggunakanmenggunakan prinsipprinsip dualitasdualitas..TentukanTentukan dualdual daridari ekspresiekspresi BooleanBoolean yangyangmerepresentasikanmerepresentasikan ff,, lalulalu komplemenkankomplemenkansetiapsetiap literalliteral didi dalamdalam dualdual tersebuttersebut..
Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), makadual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’
Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)
10/25/201110/25/2011 1111
BentukBentuk KanonikKanonik
Jadi, ada dua macam bentuk kanonik:Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
10/25/201110/25/2011 1212
Contoh :Contoh :
1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz à SOPSetiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) à POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
Setiap minterm/maxterm mengandung literallengkap
10/25/201110/25/2011 1313
Minterm Maxterm
x y Suku Lambang Suku Lambang
0011
0101
x’y’x’yxy’x y
m0m1m2m3
x + yx + y’x’ + yx’ + y’
M0M1M2M3
10/25/201110/25/2011 1414
Minterm Maxterm
x y z Suku Lambang Suku Lambang00001111
00110011
01010101
x’y’z’x’y’zx‘y z’x’y zx y’z’x y’zx y z’x y z
m0m1m2m3m4m5m6m7
x + y + zx + y + z’x + y’+zx + y’+z’x’+ y + zx’+ y + z’x’+ y’+ zx’+ y’+ z’
M0M1M2M3M4M5M6M7
10/25/201110/25/2011 1515
Contoh Soal:Contoh Soal:nn NyatakanNyatakan tabeltabel kebenarankebenaran didi bawahbawah iniini dalamdalam
bentukbentuk kanonikkanonik SOPSOP dandan POSPOS..
x y z f(x, y, z)00001111
00110011
01010101
01001001
10/25/201110/25/2011 1616
nn PenyelesaianPenyelesaian::SOPSOPKombinasiKombinasi nilainilai--nilainilai peubahpeubah yangyang menghasilkanmenghasilkannilainilai fungsifungsi samasama dengandengan 11 adalahadalah 001001,, 100100,, dandan111111,, makamaka fungsifungsi BooleannyaBooleannya dalamdalam bentukbentukkanonikkanonik SOPSOP adalahadalah
ff((xx,, yy,, zz)) == xx’’yy’’zz ++ xyxy’’zz’’ ++ xyzxyzatauatau (dengan(dengan menggunakanmenggunakan lambanglambang mintermminterm),),
ff((xx,, yy,, zz)) == mm11 ++ mm44 ++ mm77 == åå ((11,, 44,, 77))
10/25/201110/25/2011 1717
Contoh:Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalambentuk kanonik SOP dan POS.Penyelesaian:(a) SOPx = x(y + y’)
= xy + xy’= xy (z + z’) + xy’(z + z’)= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
y’z = y’z (x + x’)= xy’z + x’y’z
Jadi f(x, y, z) = x + y’z= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = S (1,4,5,6,7)
10/25/201110/25/2011 1818
(b) POSf(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z)Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)atau f(x, y, z) = M0M2M3 = Õ(0, 2, 3)
10/25/201110/25/2011 1919
Aplikasi Aljabar BooleanAplikasi Aljabar BooleanNyatakan fungsiNyatakan fungsi ff((xx,, yy,, zz) =) = xyxy ++ xx’’yy ke dalamke dalamrangkaian logika.rangkaian logika.
Jawab: (a) Cara pertama
x'
x
yxy
x
yx'y
xy+x'y
10/25/201110/25/2011 2020
(b) Cara kedua
x'
xyxy
x'y
xy+x'y
10/25/201110/25/2011 2121
x'
xy
x y
x'y
xy+x'y
(c) Cara ketiga
10/25/201110/25/2011 2222
Penyederhanaan Fungsi BooleanPenyederhanaan Fungsi Boolean
nn Penyederhanaan Secara AljabarPenyederhanaan Secara AljabarContoh:
f(x, y) = x + x’y= (x + x’)(x + y)= 1 × (x + y )= x + y
10/25/201110/25/2011 2323
f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’= x’z(y’ + y) + xy’
= x’z + xz’
f(x,y,z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x +x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z
Top Related