Vectores discretos: funciones masa de probabilidad marginales

Vectores discretos: funciones masa de probabilidad marginales

Si X = (X1, . . . , Xn) es un vector aleatorio discreto, cada una de sus componentes es una variable aleatoriadiscreta, y cualquier subconjunto de ellas determina un vector aleatorio discreto, cuya funcion masa deprobabilidad esta determinada por la de X.

Vectores discretos: funciones masa de probabilidad marginales

Si X = (X1, . . . , Xn) es un vector aleatorio discreto, cada una de sus componentes es una variable aleatoriadiscreta, y cualquier subconjunto de ellas determina un vector aleatorio discreto, cuya funcion masa deprobabilidad esta determinada por la de X.

Concretamente, si EX es el conjunto de valores de X, cada componente, Xi, toma valores en el conjuntoEi

X = {xi ∈ R / ∃ x ∈ EX con (x)i = xi} y, por tanto, cada subvector, (Xi1 , . . . , Xik), {i1, . . . , ik} ⊆ {1, . . . , n},toma valores en el conjunto Ei1

X × · · · × EikX .

Vectores discretos: funciones masa de probabilidad marginales

Si X = (X1, . . . , Xn) es un vector aleatorio discreto, cada una de sus componentes es una variable aleatoriadiscreta, y cualquier subconjunto de ellas determina un vector aleatorio discreto, cuya funcion masa deprobabilidad esta determinada por la de X.

Concretamente, si EX es el conjunto de valores de X, cada componente, Xi, toma valores en el conjuntoEi

X = {xi ∈ R / ∃ x ∈ EX con (x)i = xi} y, por tanto, cada subvector, (Xi1 , . . . , Xik), {i1, . . . , ik} ⊆ {1, . . . , n},toma valores en el conjunto Ei1

X × · · · × EikX .

Su funcion masa de probabilidad se obtiene a partir de la de X por la relacion:

Vectores discretos: funciones masa de probabilidad marginales

Si X = (X1, . . . , Xn) es un vector aleatorio discreto, cada una de sus componentes es una variable aleatoriadiscreta, y cualquier subconjunto de ellas determina un vector aleatorio discreto, cuya funcion masa deprobabilidad esta determinada por la de X.

Concretamente, si EX es el conjunto de valores de X, cada componente, Xi, toma valores en el conjuntoEi

X = {xi ∈ R / ∃ x ∈ EX con (x)i = xi} y, por tanto, cada subvector, (Xi1 , . . . , Xik), {i1, . . . , ik} ⊆ {1, . . . , n},toma valores en el conjunto Ei1

X × · · · × EikX .

Su funcion masa de probabilidad se obtiene a partir de la de X por la relacion:

P (Xi1 = xi1 , . . . , Xik = xik) =∑

(x′i1

,...,x′in

)∈EX

x′i1

=xi1,...,x′

ik=xik

P (X1 = x′1, . . . , Xi1 = x′

i1, . . . , Xik = x′

ik, . . . , Xn = x′

n),

∀(xi1 , . . . , xik) ∈ Ei1X × · · · × Eik

X .

Vectores discretos: funciones masa de probabilidad marginales

Si X = (X1, . . . , Xn) es un vector aleatorio discreto, cada una de sus componentes es una variable aleatoriadiscreta, y cualquier subconjunto de ellas determina un vector aleatorio discreto, cuya funcion masa deprobabilidad esta determinada por la de X.

Concretamente, si EX es el conjunto de valores de X, cada componente, Xi, toma valores en el conjuntoEi

X = {xi ∈ R / ∃ x ∈ EX con (x)i = xi} y, por tanto, cada subvector, (Xi1 , . . . , Xik), {i1, . . . , ik} ⊆ {1, . . . , n},toma valores en el conjunto Ei1

X × · · · × EikX .

Su funcion masa de probabilidad se obtiene a partir de la de X por la relacion:

P (Xi1 = xi1 , . . . , Xik = xik) =∑

(x′i1

,...,x′in

)∈EX

x′i1

=xi1,...,x′

ik=xik

P (X1 = x′1, . . . , Xi1 = x′

i1, . . . , Xik = x′

ik, . . . , Xn = x′

n),

∀(xi1 , . . . , xik) ∈ Ei1X × · · · × Eik

X .

Este resultado se obtiene directamente, teniendo en cuenta que la probabilidad de que un vector aleatoriodiscreto pertenezca a un determinado conjunto se obtiene sumando la funcion masa de probabilidad en todoslos valores del vector en dicho conjunto. �

Vectores discretos: funciones masa de probabilidad marginales

Si X = (X1, . . . , Xn) es un vector aleatorio discreto, cada una de sus componentes es una variable aleatoriadiscreta, y cualquier subconjunto de ellas determina un vector aleatorio discreto, cuya funcion masa deprobabilidad esta determinada por la de X.

Concretamente, si EX es el conjunto de valores de X, cada componente, Xi, toma valores en el conjuntoEi

X = {xi ∈ R / ∃ x ∈ EX con (x)i = xi} y, por tanto, cada subvector, (Xi1 , . . . , Xik), {i1, . . . , ik} ⊆ {1, . . . , n},toma valores en el conjunto Ei1

X × · · · × EikX .

Su funcion masa de probabilidad se obtiene a partir de la de X por la relacion:

P (Xi1 = xi1 , . . . , Xik = xik) =∑

(x′i1

,...,x′in

)∈EX

x′i1

=xi1,...,x′

ik=xik

P (X1 = x′1, . . . , Xi1 = x′

i1, . . . , Xik = x′

ik, . . . , Xn = x′

n),

∀(xi1 , . . . , xik) ∈ Ei1X × · · · × Eik

X .

Este resultado se obtiene directamente, teniendo en cuenta que la probabilidad de que un vector aleatoriodiscreto pertenezca a un determinado conjunto se obtiene sumando la funcion masa de probabilidad en todoslos valores del vector en dicho conjunto. �

Esta expresion indica que para obtener la probabilidad de que el vector (Xi1 , . . . , Xik) tome un determinadovalor, basta fijar este valor en las componentes correspondientes, y sumar la funcion masa de probabilidad deX en el resto de las variables, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables

X1: Numero de caras.

X2: Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.

Calcular las funciones masa de probabilidad marginales a partir de la conjunta de X1 y X2.

Ejemplo: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables

X1: Numero de caras.

X2: Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.

Calcular las funciones masa de probabilidad marginales a partir de la conjunta de X1 y X2.

Calculamos la funcion masa de probabilidad del vector (X1, X2), teniendo en cuenta que X1 toma valores enel conjunto {0, 1, 2, 3} y X2 en el conjunto {1, 3}:

Ejemplo: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables

X1: Numero de caras.

X2: Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.

Calcular las funciones masa de probabilidad marginales a partir de la conjunta de X1 y X2.

Calculamos la funcion masa de probabilidad del vector (X1, X2), teniendo en cuenta que X1 toma valores enel conjunto {0, 1, 2, 3} y X2 en el conjunto {1, 3}:

P (X1 = 0, X2 = 3) = P ({XXX}) =1

8·

Ejemplo: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables

X1: Numero de caras.

X2: Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.

Calcular las funciones masa de probabilidad marginales a partir de la conjunta de X1 y X2.

Calculamos la funcion masa de probabilidad del vector (X1, X2), teniendo en cuenta que X1 toma valores enel conjunto {0, 1, 2, 3} y X2 en el conjunto {1, 3}:

P (X1 = 0, X2 = 3) = P ({XXX}) =1

8·

P (X1 = 1, X2 = 1) = P ({CXX, XCX, XXC}) =3

8·

Ejemplo: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables

X1: Numero de caras.

X2: Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.

Calcular las funciones masa de probabilidad marginales a partir de la conjunta de X1 y X2.

Calculamos la funcion masa de probabilidad del vector (X1, X2), teniendo en cuenta que X1 toma valores enel conjunto {0, 1, 2, 3} y X2 en el conjunto {1, 3}:

P (X1 = 0, X2 = 3) = P ({XXX}) =1

8·

P (X1 = 1, X2 = 1) = P ({CXX, XCX, XXC}) =3

8·

P (X1 = 2, X2 = 1) = P ({CCX, CXC, XCC}) =3

8·

Ejemplo: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables

X1: Numero de caras.

X2: Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.

Calcular las funciones masa de probabilidad marginales a partir de la conjunta de X1 y X2.

Calculamos la funcion masa de probabilidad del vector (X1, X2), teniendo en cuenta que X1 toma valores enel conjunto {0, 1, 2, 3} y X2 en el conjunto {1, 3}:

P (X1 = 0, X2 = 3) = P ({XXX}) =1

8·

P (X1 = 1, X2 = 1) = P ({CXX, XCX, XXC}) =3

8·

P (X1 = 2, X2 = 1) = P ({CCX, CXC, XCC}) =3

8·

P (X1 = 3, X2 = 3) = P ({CCC}) =1

8·

Ejemplo: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables

X1: Numero de caras.

X2: Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.

Calcular las funciones masa de probabilidad marginales a partir de la conjunta de X1 y X2.

Calculamos la funcion masa de probabilidad del vector (X1, X2), teniendo en cuenta que X1 toma valores enel conjunto {0, 1, 2, 3} y X2 en el conjunto {1, 3}:

P (X1 = 0, X2 = 3) = P ({XXX}) =1

8·

P (X1 = 1, X2 = 1) = P ({CXX, XCX, XXC}) =3

8·

P (X1 = 2, X2 = 1) = P ({CCX, CXC, XCC}) =3

8·

P (X1 = 3, X2 = 3) = P ({CCC}) =1

8·

Ası, observamos que el conjunto de valores del vector (X1, X2) es E(X1,X2) = {(0, 3), (1, 1), (2, 1), (3, 3)} y sufuncion masa de probabilidad queda descrita en la siguiente tabla de doble entrada:

Ejemplo: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables

X1: Numero de caras.

X2: Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.

Calcular las funciones masa de probabilidad marginales a partir de la conjunta de X1 y X2.

Calculamos la funcion masa de probabilidad del vector (X1, X2), teniendo en cuenta que X1 toma valores enel conjunto {0, 1, 2, 3} y X2 en el conjunto {1, 3}:

P (X1 = 0, X2 = 3) = P ({XXX}) =1

8·

P (X1 = 1, X2 = 1) = P ({CXX, XCX, XXC}) =3

8·

P (X1 = 2, X2 = 1) = P ({CCX, CXC, XCC}) =3

8·

P (X1 = 3, X2 = 3) = P ({CCC}) =1

8·

Ası, observamos que el conjunto de valores del vector (X1, X2) es E(X1,X2) = {(0, 3), (1, 1), (2, 1), (3, 3)} y sufuncion masa de probabilidad queda descrita en la siguiente tabla de doble entrada:

X1

X2 0 1 2 31 0 3/8 3/8 0

3 1/8 0 0 1/8

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

P (X1 = 0) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 0, X2 = 3) =1

8·

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

P (X1 = 0) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 0, X2 = 3) =1

8·

P (X1 = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 3) =3

8·

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

P (X1 = 0) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 0, X2 = 3) =1

8·

P (X1 = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 2) = P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 3) =3

8·

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

P (X1 = 0) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 0, X2 = 3) =1

8·

P (X1 = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 2) = P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 3) = P (X1 = 3, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 3) =1

8·

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

P (X1 = 0) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 0, X2 = 3) =1

8·

P (X1 = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 2) = P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 3) = P (X1 = 3, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 3) =1

8·

• Funcion masa de probabilidad de X2:

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

P (X1 = 0) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 0, X2 = 3) =1

8·

P (X1 = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 2) = P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 3) = P (X1 = 3, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 3) =1

8·

• Funcion masa de probabilidad de X2:

P (X2 = 1) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 1) =6

8·

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

P (X1 = 0) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 0, X2 = 3) =1

8·

P (X1 = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 2) = P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 3) = P (X1 = 3, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 3) =1

8·

• Funcion masa de probabilidad de X2:

P (X2 = 1) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 1) =6

8·

P (X2 = 3) = P (X1 = 0, X2 = 3) + P (X1 = 1, X2 = 3) + P (X1 = 2, X2 = 3) + P (X1 = 3, X2 = 3) =2

8·

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

P (X1 = 0) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 0, X2 = 3) =1

8·

P (X1 = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 2) = P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 3) = P (X1 = 3, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 3) =1

8·

• Funcion masa de probabilidad de X2:

P (X2 = 1) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 1) =6

8·

P (X2 = 3) = P (X1 = 0, X2 = 3) + P (X1 = 1, X2 = 3) + P (X1 = 2, X2 = 3) + P (X1 = 3, X2 = 3) =2

8·

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales se presentan en la siguiente tabla:

Calculamos a continuacion las funciones masa de probabilidad marginales.

• Funcion masa de probabilidad de X1:

P (X1 = 0) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 0, X2 = 3) =1

8·

P (X1 = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 2) = P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 3) =3

8·

P (X1 = 3) = P (X1 = 3, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 3) =1

8·

• Funcion masa de probabilidad de X2:

P (X2 = 1) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 1) =6

8·

P (X2 = 3) = P (X1 = 0, X2 = 3) + P (X1 = 1, X2 = 3) + P (X1 = 2, X2 = 3) + P (X1 = 3, X2 = 3) =2

8·

Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales se presentan en la siguiente tabla:

X1

X2 0 1 2 31 0 3/8 3/8 0 6/8

3 1/8 0 0 1/8 2/81/8 3/8 3/8 1/8

En ella observamos que la funciones masa de probabilidad marginales se obtienen sin mas que sumar losvalores de la conjunta por columnas (la de X1) o por filas (la de X2) �