В.А. Львовский В.Ю. Грук

Национальный фонд подготовки кадровПроект «Информатизация системы образования»

Закрытое акционерное общество «1С»

В.А. ЛьвовскийВ.Ю. Грук

ÔÈÇÈÊÀв системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ 8 КЛАССА ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

МОСКВА2008

Издание подготовлено в рамках проекта «Информатизация системы образования», реализуемого Национальным фондом подготовки кадров по

заказу Министерства образования Российской Федерации

Львовский В.А., Грук В.Ю.Физика в системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова. 8 кл.: Учебн. пособие для общеобразоват. учреждений – М.: ЗАО «1С», 2008 – 96 с.: ил.

Учебное пособие предназначено для школ, работающих по системе Д.Б. Эльконина –

В.В. Давыдова, но может использоваться и в других образовательных системах, реализующих деятельностный подход к обучению.

Данное пособие является составной частью Инновационного учебно-методического комплекса (ИУМК) «Физика в системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова. 7–9 класс» и используется вместе с рабочей тетрадью для 8 класса (авторы: В.Ю. Грук, В.А. Львовский), диском «1С: Школа. Физика в системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова. 7–9 класс» (под ред. В.А. Львовского и В.Ю. Грук) и методическим пособием (авторы: В.А. Львовский, В.Ю. Грук, П.Г. Нежнов).

Поддержка ИУМК осуществляется на сайте: http://physclub.ru.

Воспроизведение издания в целом или любой из его частей влечет ответственность в соответствии с действующим законодательством.

Учебное издание

Львовский Владимир Александрович [email protected]Грук Вера Юрьевна [email protected]

ФИЗИКА в системе Д.Б. Эльконина – В.В. ДавыдоваУчебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений

Все замечания, предложения, пожелания просим направлять на электронные адреса авторов и по почте: 129515, Москва, а/я 66

© ЗАО «1С», 2008 © Львовский В.А., Грук В.Ю., 2008 Все права защищены

3

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ§ 1. Что мы знаем о сохранении энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

§ 2. Как движется изолированное тело. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

§ 3. Куда исчезает и откуда появляется кинетическая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 4. Как запасти энергию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§ 5. Как предсказать изменение кинетической энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§ 6. Как работает сила тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

§ 7. Как работает сила трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§ 8. Как работает сила упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

§ 9. Когда появляется и исчезает потенциальная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

§ 10. Рисуем графики энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

§ 11. Как неравномерное померить равномерным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

§ 12. Второй закон Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

§ 13. Свободное падение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

§ 14. Сложение сил. Равнодействующая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§ 15. Силы в природе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

§ 16. Закон Кулона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

§ 17. Закон всемирного тяготения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

§ 18. Третий закон Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

§ 19. Напряженность и потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§ 20. Поле точечного заряда. Поле массивной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

§ 21. Движение частицы в поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

§ 22. Можно ли нарисовать поле (силовые линии) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 23. Можно ли нарисовать поле (эквипотенциалы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

§ 24. Ток жидкости и электрический ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

§ 25. Характеристики и применения тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Ôèçè÷åñêèé êðóæîê

§ 26. Можно ли выиграть в работе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

§ 27. Могут ли простые механизмы повысить КПД. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 28. Как показать проигрыш в расстоянии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§ 29. Уточняем правило моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

§ 30. Можно ли все тепло превратить в работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

§ 31. Загадки внутренней энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

§ 32. Взаимодействие частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

§ 33. Сила упругости. Сила трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

§ 34. Равноускоренное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

§ 35. Газ в гравитационном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

§ 36. Жидкость в гравитационном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

§ 37. Электронный газ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Îãëàâëåíèå

4

§1. ×òî ìû çíàåì î ñîõðàíåíèè ýíåðãèè

Идею сохранения энергии связывают обыкновенно с именами немецких ученых – врача и естествоиспытателя Роберта Майера и физика, математика, физиолога и психолога Германа Гельмгольца. Однако история открытия закона сохранения энергии восходит к Галилею и Декарту, а развитие этих идей продолжается до сих пор. Наше знакомство с сохранением и превращением энергии началось в 7 классе.

Воспользуйтесь учебным пособием по физике для 7 класса и выделите те вопросы, которые имеют отношение к закону сохранения энергии. Найдите примеры его проявления в других естественнонаучных дисциплинах, в технике и быту. Запишите в свою тетрадь вопросы, задачи, проблемы, которыми следует заняться для уточнения наших представлений об энергии.

Вспомнить и уточнить наши представления об энергии и ее сохранении вам поможет работа групп.

Группа Ани пыталась доказать, что простые механизмы не дают выигрыша в работе.

Группа Бориса столкнулась с парадоксом: КПД механизма достиг 100% и устремился в бесконечность!

Группа Веры решила продемонстрировать, что встречаются случаи, когда непросто показать проигрыш в расстоянии для простого механизма.

Группа Гены занялась вопросами, связанными с сохранением энергии в тепловых процессах. Ученики вспомнили первый закон термодинамики.

В изучении этих вопросов вам помогут тексты, посвященные сохранению энергии в тепловых процессах.

Группа Даши взялась за объяснение загадок внутренней энергии, связанных с агрегатными превращениями.

В 7 классе мы узнали, что закон сохранения энергии − один из наиболее важных законов физики. Часто говорят об основополагающем, фундаментальном характере этого закона, так как он находится в основании большинства физических теорий. Когда мы сталкиваемся с нарушением закона сохранения энергии, это означает либо допущенную ошибку, либо необходимость расширения наших представлений об энергии. Рассмотрим несколько примеров.

1. Самый характерный пример – многовековая история изобретения вечных двигателей.

Будет ли работать устройство, смоделированное в исследовательской лаборатории «Вечный двигатель»?

§01 ×òî ìû çíàåì î ñîõðàíåíèè ýíåðãèè

1-02

1-01

§26

§27

§28

§31

§30

Г. Гельмгольц(1821–1894)

Р. Майер(1814–1878)

5

2. В компьютерной исследовательской лаборатории «Движение молекул» мы заложили правило, при котором частицы отскакивали от стенки с большей скоростью, чем в момент удара. Если бы такое действительно случилось в микромире, это привело бы в макромире к саморазогреву газа, т.е. возрастанию без внешней причины его внутренней энергии. Закон сохранения энергии помог нам прийти к выводу, что в среднем скорость частиц не должна меняться при ударах. Конечно, если стенки сосуда нагреваются, газу передается некоторое количество теплоты и внутренняя энергия газа должна возрастать.

3. «Нарушение» закона сохранения при агрегатных превращениях было связано с тем, что мы не учитывали взаимодействие частиц вещества. Введение нового вида энергии – потенциальной − позволило нам спасти этот закон.

§2. Êàê äâèæåòñÿ èçîëèðîâàííîå òåëî

Рассмотрим различные явления в макромире с энергетической точки зрения и сопоставим их с известными нам событиями в микромире.

Мы уже знаем, что и частица массой m и тело массой m, движущиеся со скоростью υ, обладают кинетической энергией (разница между ними лишь в масштабах величин):

Частицы сильно разреженного газа могут пролетать от одной стенки сосуда до другой не испытав соударений с другими частицами. При этом их кинетические энергии остаются неизменными – в противном случае нарушался бы закон сохранения энергии. А что происходит с кинетической энергией шара, который катится по бильярдному столу? Даже без всяких столкновений с другими шарами его скорость постепенно снижается. Значит ли это, что в микромире и макромире действуют разные законы?

Закон инерции Галилея гласит: если тело не испытывает воздействий других тел, оно сохраняет свое состояние равномерного прямолинейного движения или покоя неограниченно долго.

Этот закон можно сформулировать короче, для этого:

1) тело, которое не испытывает воздействий других тел, назовем изолированным;

2) будем считать покой частным случаем равномерного движения (движение с нулевой скоростью).

Предложите краткую формулировку закона инерции.

У этого закона особая история. Его нельзя было открыть экспериментально в земных условиях, поскольку любое движущееся тело испытывает сопротивление среды (сопротивление воздуха или воды, трение о поверхность и т.п.). Галилей нашел новый метод доказательства – мысленный эксперимент.

Êàê äâèæåòñÿ èçîëèðîâàííîå òåëî §02

§32

Г. Галилей(1564–1642)

6

Прочитайте выдержку из его знаменитого труда, где с помощью мысленного эксперимента обосновывается закон инерции.

Можно ли сегодня закон инерции доказать экспериментальным путем? Имеют ли отношение к ответу на этот вопрос:

- движение на воздушной подушке;

- движение ракеты в космосе с выключенным двигателем;

- движение Луны вокруг Земли;

- равномерное падение парашютиста?

Прочитайте описание явлений:

- при резком встряхивании с плаща слетают капли дождя;

- при резком торможении автобуса пассажиры перемещаются вперед;

- всадник слетает с лошади, когда она резко меняет направление движения;

- при встряхивании термометра столбик ртути опускается;

- грузовик с тяжелым грузом начинает тормозить раньше, чем порожний.

Правильно ли объяснять эти явления законом инерции? Обоснуйте свой ответ.

Итак, изолированное тело движется с постоянной скоростью, его кинетическая энергия также не меняется. Верно ли обратное утверждение: если тело движется с постоянной скоростью и его кинетическая энергия сохраняется, означает ли это, что оно не взаимодействует с другими телами?

Рассмотрите разные случаи изменения кинетической энергии тела. Предположите, откуда она появляется и куда исчезает.

Если тело движется равномерно, нетрудно предсказать его положение в любой момент времени – как в прошлом, так и в будущем. Придумайте собственные задачи на равномерное прямолинейное движение.

Смоделируйте равномерное движение тела с помощью исследовательской лаборатории «Кинематика». Поставьте и решите задачи на прогнозирование и управление.

Можно ли предсказать положение тела в том случае, если движение неравномерное? В некоторых случаях эта непростая задача имеет решение. Для этого нужно научиться неравномерное движение заменять равномерным.

1-03

§03

§11

§02 Êàê äâèæåòñÿ èçîëèðîâàííîå òåëî

7

§3. Êóäà èñ÷åçàåò è îòêóäà ïîÿâëÿåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ

На рисунках показаны различные ситуации движения (интересующее нас тело подчеркнуто в тексте). Для каждой ситуации качественно опишите изменения кинетической энергии: а) словесно или с помощью схемы; б) с помощью графика зависимости кинетической энергии тела от времени (Wк, t). Выскажите предположения, куда исчезает и откуда появляется кинетическая энергия.

Êóäà èñ÷åçàåò è îòêóäà ïîÿâëÿåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ §03

Ребята перебрасывают друг другу мяч.

Шарик оттянули вниз и отпустили.

Шарик отклонили от вертикали и отпустили.

Маятник часов-ходиков.

Человек на колесе обозрения.

Тележка с магнитом в начале наблюдения двигалась вправо.

Тележка с магнитом в начале наблюдения двигалась влево.

Брусок соскальзывает и останавливается.

Стальной шарик отпускают и он

падает на стальную плиту.

Заряженный шарик пролетает сквозь заряженное кольцо.

Человек падает с парашютом.

Пластилиновый шарик бросают

вертикально вверх.

1 32

54 6

7 8 9

10 11 12

8

Выберите из графиков зависимостей кинетической энергии от времени (Wк, t) наиболее подходящие к ситуациям 1 − 12. Опишите или нарисуйте в тетради ситуации движения тела, подходящие к остальным графикам.

§03 Êóäà èñ÷åçàåò è îòêóäà ïîÿâëÿåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

Рис. 9 Рис. 10




9

Ситуации 1 − 12, изображенные на рисунках, можно разделить на следующие группы:

кинетическая энергия не меняется с течением времени (Wк = const);

некоторое время кинетическая энергия убывает (Wк ↓), затем возрастает (Wк ↑) до прежней величины;

кинетическая энергия меняется (Wк ≠ const), но в конечном счете Wк = 0.

Если кинетическая энергия тела изменяется, это означает, что тело вступает во взаимодействие с другими телами: пружиной, рукой, поверхностью, Землей, нитью и т.д.

В каких случаях кинетическая энергия «бесследно» исчезает, а в каких − то исчезает, то появляется?

В нашем классе мы попытались ответить на вопрос, вынесенный в название параграфа. После длительного обсуждения мы пришли к следующим выводам.

1. Кинетическая энергия рассматриваемого тела меняется во всех ситуациях, кроме №9. Колесо обозрения вращается равномерно, и человек в кресле так же движется равномерно. Кинетическая энергия человека сохраняется за счет расходования электрической энергии. При определенных условиях, когда сила тяжести и сила сопротивления воздуха уравновешивают друг друга, можно считать, что кинетическая энергия парашютиста (ситуация №6) не меняется.

2. В некоторых ситуациях можно пренебречь потерями энергии на трение и сопротивление (если рассматривать небольшой промежуток времени). Например, колебания тел в ситуациях №№3, 7 происходят некоторое время без заметного затухания. В этих случаях кинетическая энергия то убывает, то возрастает. Мы предположили, что она превращается в потенциальную энергию.

3. Есть ситуации (№№1, 12), в которых кинетическая энергия уменьшается до нуля, тело останавливается и больше не движется. Роман заметил, что в этих ситуациях происходят сложные процессы. В ситуации №1 пластилиновый шарик сначала теряет кинетическую энергию, двигаясь вверх, затем приобретает ее, двигаясь вниз и, наконец, безвозвратно теряет ее в момент падения. В ситации №12 брусок сначала разгонялся, потом тормозился и в конце тоже полностью потерял кинетическую энергию.

Прочитайте и проиллюстрируйте определения:

консервативная система (от лат. conservation – сохранение) – система тел, полная механическая энергия которой сохраняется: Wмех = Wк + Wп = const;

диссипативная система (от лат. dissipation − рассеяние) − система тел, полная механическая энергия которой убывает и переходит в другие виды энергии.

Нарисуйте кадры из мультфильма про энергетические процессы в следующих явлениях:а) снаряд, вылетевший из орудия, падает на землю;б) космический корабль отправляется на другую планету;в) от поверхности жидкости отрывают пластинку с помощью пружинки;г) в закрытом сосуде образуется насыщенный пар.

Пользуясь полученными картинками, проведите аналогию (где возможно) между энергетическими преобразованиями в микромире и макромире.

Êóäà èñ÷åçàåò è îòêóäà ïîÿâëÿåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ §03

§04

§09

10

§04 Êàê çàïàñòè ýíåðãèþ

§4. Êàê çàïàñòè ýíåðãèþ

Управление движением тела – это важнейшая задача, которую человек решает уже много веков. Воспользуйтесь разными источниками информации и перечислите основные проблемы, с которыми сталкивались люди в разные эпохи при конструировании машин и механизмов, создающих движение.

В нашем классе мы остановились на такой проблеме. Как управлять процессами превращения энергии? Где накапливается энергия и как она превращается в работу:

Аня: Я предлагаю такую схему:

Рассмотрю превращение энергии на примере одного из самых древних оружий – лука со стрелами:

1) охотник натягивает тетиву лука − делает запас энергии;

2) выпускает стрелу – энергия натянутой тетивы превращается в кинетическую энергию стрелы;

3) стрела попадает в жертву – она остановилась и отдала свою энергию.

Боря: Я согласен, но хочу сделать уточнение. Аня, стрела не будет лететь по прямой: она сначала поднимается и теряет скорость, потом опускается и набирает скорость.

Вера: Еще надо учесть сопротивление воздуха, стрела потеряет часть энергии до удара.

Гоша: Эта схема годится для стрелы, но не подходит для движения самолета. Самолет все время летит, и двигатель все время работает, энергия топлива все время превращается в энергию движения самолета. По твоей схеме самолет должен лететь рывками, останавливаться в воздухе.

С кем из ребят вы согласны и в чем? Предложите свой вариант схемы. Рассмотрите знакомые вам машины и механизмы с точки зрения энергетических преобразований (откуда поступает энергия, где она накапливается, как передается, куда рассеивается и т.п.). Узнайте о главном источнике энергии на Земле – солнечном излучении.

В обычном автомобиле основным источником энергии является топливо, кроме этого используется аккумулятор, который запасает электрическую энергию. В результате сложных процессов химическая энергия, заключенная в топливе, превращается в механическую энергию – автомобиль движется.

Познакомьтесь с принципом работы двигателя внутреннего сгорания.

11

Êàê ïðåäñêàçàòü èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè §05

А можно ли непосредственно запасать механическую энергию и использовать ее для движения машины? В книгах доктора технических наук профессора Нурбея Владимировича Гулиа рассказывается об удивительном изобретении – махомобиле, который движется за счет энергии, запасенной во вращающемся маховике. О деле его жизни – поиске «энергетической капсулы», универсальном устройстве для хранения энергии, – можно без труда найти материал в Интернете.

Вместе с тем запасание механической энергии – не столь редкое явление. Есть природные запасы этой энергии: ветер, приливы и отливы, течение реки (отсюда различные двигатели: ветряные, водяные и т.п.).

С этой же целью используют водонапорные башни, пружины в механических часах, копры (см. рис.).

С помощью разных источников информации узнайте о старинных и современных способах накапливания энергии. В каких случаях накапливается кинетическая (реальная) энергия, а в каких − потенциальная (существующая в возможности, в потенции)?

§5. Êàê ïðåäñêàçàòü èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

Итак, что же происходит, когда изолированное тело попадет в сферу воздействия другого тела? Допустим, ракета, движущаяся вдали от планет, сближается с массивным астероидом и начинает испытывать заметное действие его гравитационного поля. Сила тяготения совершает работу и увеличивает кинетическую энергию ракеты:

Ракета может встретить на своем пути целое скопление астероидов. Как учесть их влияние (мы не будем рассматривать катастрофический случай прямого столкновения)? Логично предположить, что надо посчитать работу всех сил, действующих на ракету:

Это уравнение часто называют теоремой об изменении кинетической энергии. Им можно пользоваться для решения любой, не только космической задачи, однако надо учесть все действующие силы и уметь рассчитывать их работу.

Рассмотрим ситуацию №4. Ее можно описать двумя способами.

Н.В. Гулиа (род. 1939 г.)

§03

12

§05 Êàê ïðåäñêàçàòü èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

Способ 1. Сила тяжести совершает положительную работу и разгоняет шарик (Wк↑). Шарик касается стальной плиты и начинает сжиматься, сила упругости, действующая на шарик, совершает отрицательную работу и останавливает шарик (Wк↓). Сила упругости со стороны плиты на шарик продолжает действовать и теперь уже разгоняет шарик до прежней кинетической энергии (Wк↑). Шарик начинает двигаться вверх, но его тормозит сила тяжести, направленная вниз – против движения, в итоге шарик останавливается (Wк↓). В этом рассказе мы пренебрегли сопротивлением воздуха, выделением тепла при ударе (считаем, что стальной шарик абсолютно упруго ударяется о стальную плиту, полностью сохраняя кинетическую энергию Wк до удара = Wк после удара). Узнайте больше о работе силы тяжести.

Способ 2. В верхней точке шарик обладает потенциальной энергией взаимодействия с Землей. В процессе падения потенциальная энергия переходит в кинетическую, и если нет сопротивления воздуха, то энергия не теряется (Wп в верхней точке = Wк в нижней точке). При соприкосновении с плитой начинается превращение кинетической энергии шарика в потенциальную энергию шарика и плиты, а затем обратное превращение (если удар абсолютно упругий и тела не нагреваются, эти превращения происходят без потерь энергии). Шарик отскакивает от плиты с той же скоростью, что и упал, после чего летит вверх до тех пор, пока вся его кинетическая энергия не превратится в потенциальную энергию шарика и Земли. Узнайте больше об энергетических превращения.

Итак, если нет потерь энергии на трение, сопротивление (не меняется внутренняя энергия участвующих в процессах тел), движение шарика будет продолжаться вечно и неизменно. Понятно, что в обычных условиях такого не бывает, но иногда можно пренебречь потерями в течение длительного промежутка времени (например, шарик на нити колеблется достаточно долго).

На схеме показаны два способа математического описания явлений с энергетической точки зрения (подумайте, какой из этих способов более общий):

§06

§09

13

Êàê ðàáîòàåò ñèëà òÿæåñòè §06

Интересно, что при определенных условиях эти два способа дают одинаковый результат. Это происходит тогда, когда внешняя сила – сила электрическая, сила упругости, сила тяжести (эти силы получили название «консервативные», от лат. conservare – сохранять). Более внимательно сравним два способа:

С помощью ситуации №6 проиллюстрируем расхождение этих двух способов. Известно, что через некоторое время после раскрытия парашюта движение парашютиста становится практически равномерным (Wк = const). Первый способ дает правильный результат:

Aвсех сил = ΔWк ⇒ Aс. тяж + Aс. сопр = 0 ⇒ сила тяжести работает против сил сопротивления.

Второй способ здесь применить нельзя, т.к. механическая энергия уменьшается (потенциальная энергия убывает, а кинетическая энергия не меняется). Механическая энергия превращается во внутреннюю энергию (нагреваются воздух и парашют). Таким образом, закон сохранения энергии придется записать так: Wмех1 = Wмех2 + Q.

§6. Êàê ðàáîòàåò ñèëà òÿæåñòè

В классе мы решали несколько задач, связанных с работой силы тяжести.

Задача №1. Оценить скорость падения яблока на землю.

Петя: Эту задачу невозможно решить, потому что неизвестно, какое это яблоко – большое или маленькое.

Саша: Неизвестно, с какой высоты падает яблоко.

Таня: Яблоко может падать вниз само, или его могли сбить палкой, мог ураган сорвать.

Учитель: Безусловно, эта задача требует доопределения. Давайте разделимся на четыре группы. Одна группа возьмет «маленькое» яблоко (m = 50 г) и отпустит его с «нижней ветки» (h = 1 м). Вторая группа будет проводить расчеты для «большого» яблока (M = 200 г), которое падает с «верхней ветки» (H = 5 м). Вероятно, скорость обычного яблока будет лежать где-то между полученными значениями. Для большей точности предлагаю третьей группе поручить расчеты для случая m = 50 г, H = 5 м, а четвертой группе − M = 200 г, h = 1 м. Для решения мы воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

§03

14

Чтобы ускорить решение, будем находить квадрат скорости. Он равен удвоенной работе силы тяжести деленной на массу яблока. Помните, что все величины надо выразить в СИ. Обозначьте скорость яблока с индексом, соответствующим номеру группы.

Изучите и оцените отчеты групп.

Отчет первой группы

Найдем силу тяжести, действующую на яблоко: Fтяж ≈ 0,05 кг · 10 Н/кг = 0,5 Н.

Найдем, какую работу совершит сила тяжести на всем пути: A = 0,5 Н · 1 м = 0,5 Дж.

Квадрат скорости яблока вблизи земли: υ12 = 2·0,5 Дж/0,05 кг = 20 (м/с)2.

Отчет второй группы

Отчет третьей группы

Отчет четвертой группы

Учитель: Прежде чем вы сравните результаты групп, исправьте результат третьей группы. Ребята все сделали правильно, молодцы, что честно посчитали размерность полученной величины. Скоро мы узнаем, что полученная ими единица измерения совпадает с единицей

измерения квадрата скорости в СИ:

Сравните полученные результаты. Совпали ли ответы ребят с вашими ожиданиями?

При обсуждении отчетов групп вначале мы решили, что где-то допущена ошибка. Результаты первой и второй групп особых сомнений не вызвали – как и ожидалось, тяжелое яблоко, падающее с большей высоты, приобрело бóльшую скорость. Все думали, что результаты третьей и четвертой группы должны быть «где-то между». Кто-то предполагал, что второе яблоко получит большую скорость, чем третья, кто-то – наоборот. Мы никак не ожидали, что скорость не зависит от массы яблока: с высоты 1 м и легкое и тяжелое яблоко приобрели скорость, примерно равную 4,5 м/с, с высоты 5 м – 10 м/с. Только после внимательного анализа решения четвертой группы мы заметили, что в полученном уравнении сокращается масса:

§06 Êàê ðàáîòàåò ñèëà òÿæåñòè

15

Учитель: Обратите внимание, насколько выгоднее решать задачу сначала в «общем виде», не подставляя конкретных числовых значений. Допустим, я попросил бы вас сделать более подробное исследование зависимости скорости падения яблока от его массы, составить таблицу значений и построить график. Сколько бы лишних вычислений пришлось произвести

для обнаружения факта независимости конечной скорости от массы тела. Затем пришлось бы искать способ доказательства этого факта. Решая задачу алгебраически, преобразуя формулы, мы приходим к этому выводу намного быстрее. Конечно, мы пока не объяснили физику этого удивительного явления. Качественно понятно, что, с одной стороны, на большее яблоко действует бóльшая сила тяжести, а с другой – и разгонять его труднее. Позднее бы еще вернемся к этому вопросу.

Задача №2. Какую начальную скорость надо сообщить яблоку, чтобы оно долетело до крыши пятиэтажного дома?

Для того чтобы задача имела решение, условимся пренебречь сопротивлением воздуха.

Переведите текст в схеме на язык формул (дополните схему):

Кинетическая энергия не может быть отрицательной, следовательно, отрицательной должна быть работа силы тяжести. Так и есть – сила тяжести направлена против движения яблока, сопротивляется его движению и своей работой уменьшает кинетическую энергию яблока. Продолжим решение:

Мы решили задачу в общем виде. Воспользуйтесь полученной формулой и доведите решение до конца.

Воспользуйтесь калькулятором или электронными таблицами

Excel и постройте графики зависимости: а) скорости падения тела от высоты; б) начальной скорости тела, брошенного вертикально вверх, от высоты подъема; в) высоты подъема тела от начальной скорости, направленной вертикально вверх. Сделайте предсказания по графикам и проверьте с помощью формул.


16

Решите задачу. Тело бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какой высоте окажется тело через а) 1 с, б) 2 с, в) 3 с?

Задача №3. Какую скорость приобретает лыжник у подножия горы?

Лена: Ответ будет зависеть от высоты горы.

Митя: Большую роль играют лыжи − какое на них покрытие, какая ширина лыж.

Наташа: Вес лыжника очень важен.

Олег: Очень сильное сопротивление воздуха, когда спускаешься с горы. Его нельзя не учитывать!

Учитель: Вынужден согласиться с вами, такую задачу мы не сможем решить – слишком много неизвестных. Чтобы воспользоваться формулой связи работы и энергии, необходимо знать и силу трения лыж о снег, и сопротивление воздуха, и траекторию лыжника (ведь обычно спуск с горы происходит не по прямой линии). Упростим ситуацию и рассмотрим задачу, которую решал Галилей: какую скорость приобретает шарик, который практически без трения скатывается с наклонной плоскости. Правда, и здесь нам придется сделать допущение – будем считать, что кинетическая энергия вращения шарика пренебрежимо мала. Еще лучше решать эту задачу для тележки, скатывающейся с наклонной плоскости.

Итак, условия новой задачи выглядят так: найти скорость, которую приобретает в конце наклонной плоскости тело массой m, соскальзывающее без трения с высоты h.

Петя утверждает, что необходимо учесть угол. Он изобразил рисунок, на котором показал несколько наклонных плоскостей, образующих разные углы с горизонтальной поверхностью.

Вот решение, которое появилось на классной доске:

Мы опять получили, что скорость тележки не зависит от ее массы!

Многим ребятам показалось спорным, что скорость тележки растет с увеличением длины плоскости. Другие, напротив, уверены, что это правильный результат.

Рита: Такого не может быть. Тележка должна разгоняться быстрее на крутом склоне.

Сережа: Наоборот, чем дольше катится тележка, тем большую скорость она наберет.

Учитель: Проведем мысленный эксперимент (см. рис.). Пусть шарик скатывается по длинной плоскости, а поднимается по короткой. Если бы скорость действительно зависела от длины плоскости, на пологой и длинной шарик набирал бы больше скорость, чем затем терял на крутой и короткой. Так без всяких затрат энергии можно было бы разгонять шарик, а это явно противоречит закону сохранения энергии. Следовательно, мы получили неправильную формулу. В чем же была допущена ошибка?


§11

1-03

17

Тщательные эксперименты в классе показали, что шарик приобретает примерно одинаковую скорость во всех случаях, когда она скатывается с одной и той же высоты. Если увеличить высоту, увеличится и скорость тележки. Это совпадает с результатами экспериментов

Галилея. Правильная формула для скорости в конце наклонной плоскости (если не считать потерь энергии на трение, сопротивление воздуха, вращение колес тележки или шарика):

Нам предстояло объяснить, каким образом работа силы тяжести, которую мы честно считали по формуле A = F · S, оказалась не зависящей от пути S. Мы уже сталкивались с ситуациями, когда эта формула нас подводила. Например, были случаи, когда действие силы не сопровождается выполнением работы: если сила действует, но тело не перемещается, ее работа равна нулю (сила не работает).

Особого внимания заслуживает изучение силы трения, которая работает против движения и уменьшает кинетическую энергию тела (работа силы трения отрицательная).

Задача №4. Шарик сначала скатывается без начальной скорости с крутой горки (1), затем движется по горизонтальной поверхности (2) и въезжает на пологую горку (3). Если пренебречь потерями энергии, шарик должен остановиться на той же высоте, с которой начал скатываться.

Как работает сила тяжести на этих участках пути?

В результате обсуждения этого вопроса в классе мы поняли, что работа силы должна зависеть от направлена силы. Если сила направлена перпендикулярно движению шарика, она не работает. Так, на участке 2 тело движется, но «по инерции», сила тяжести не принимает участия в этом движении, она не помогает и не мешает шарику катиться, в результате кинетическая энергия шарика не меняется. Понятно, что формула A = F · S здесь не работает, ведь F ≠ 0 и S ≠ 0, однако A = 0, ΔWк = 0, Wк = const. На участке 1 сила тяжести разгоняет шарик (ΔWк > 0, Wк↑), она совершает положительную работу (A > 0). На участке 3 сила тяжести, напротив, сопротивляется движению, работает против движения, тормозит тело (ΔWк < 0, Wк↓) – работа ее отрицательная (A < 0). Мы поняли, как влияет угла наклона плоскости: на первом участке сила тяжести «быстрее» разгоняет шарик, ей достаточно меньшего пути, чем на втором участке, где та же сила тяжести «медленнее» влияет на его скорость, поэтому ту же работу она совершает на большем пути.

Проанализируйте движение шарика по внутренней поверхности полусферы и подумайте, что должно происходить с работой силы тяжести на отдельных небольших ее участках. Для решения задачи можете заменить окружность ломаной линией.


§13

§07

18

Воспользовавшись справочной литературой, мы уточнили формулу для нахождения работы постоянной силы на пути S (α − угол между направлением силы и перемещением тела):

С помощью схемы выведите следствия из формулы для вычисления работы силы. Перерисуйте схему в тетрадь и заполните пропуски, подберите примеры для каждого случая.

Используя подсказку, предложите геометрические интерпретации новой уточненной формулы для работы.

С помощью своих рисунков объясните, почему в некоторых случаях сила действует, но не работает, хотя тело перемещается.

Воспользуйтесь выводом про связь работы и потенциальной энергии и предложите формулу для нахождения потенциальной энергии в поле тяжести Земли.


§06

19

§7. Êàê ðàáîòàåò ñèëà òðåíèÿ

Превратите описанные ситуации в задачи (придумайте к ним вопросы). Решите задачи, если необходимо, дополните условия.

1. Яблоко, сорвавшееся с ветки на высоте 5 м, упало на землю со скоростью 6 м/с.

2. Игрушечной машинке массой 100 г придали скорость 150 см/с, в результате чего она смогла преодолеть горку высотой 8 см.

3. Шарик, скатившийся с горки высотой 50 см, приобрел скорость 2 м/с, а затем въехал на горку высотой 10 см.

4. Небольшое тело соскальзывает вниз по наклонной плоскости, переходящей в мертвую петлю. В верхней точке мертвой петли тело имеет кинетическую энергию Wк = mgR.

5. Шарик, подвешенный на нити длиной 0,5 м, отклонили, как показано на рисунке, и отпустили. Сделав 10 полных колебаний, шарик потерял в высоте подъема 20%.

В классе ученикам было предложено решить задачу.

Задача. На брусок массой 200 г, который движется по горизонтальной поверхности, действует сила трения равная Fтр = 3 Н. В т. А брусок имел скорость υн = 10 м/с. Какую кинетическую энергию будет иметь брусок в т. B, C, D, E …, отстоящих друг от друга на расстоянии 1 м?

Создайте и изучите компьютерную модель этой задачи с помощью исследовательской лаборатории «Динамика».

Решение Веры:

Aс. тр = Fтр · S.

В т.

т. A → т. B т. B → т. C т. C → т. D

Aс. тр 3 Н · 1 м = 3 Дж 3 Н · 1 м = 3 Дж 3 Н · 1 м = 3 Дж

Wк 10 Дж → 13 Дж 13 Дж → 16 Дж 16 Дж → 19 Дж . . .

Êàê ðàáîòàåò ñèëà òðåíèÿ §07

20

Решение Гены:

У меня решение почти такое же, как у Веры. За каждый метр сила трения совершает работу 3 Дж, но кинетическая энергия не может расти, так как сила трения сопротивляется движению. Ответ такой: WA = 10 Дж, WB = 7 Дж, WC = 4 Дж, WD = 1 Дж, WE = − 2 Дж и т.д.

Оцените решения ребят и предложите свой вариант.

В результате обсуждения этой задачи мы обнаружили, что и Вера, и Гена допустили ошибки. Сила трения действительно направлена против движения тела, поэтому ее работа должна быть отрицательной: Aс.тр. = −Fтр. · S. Тогда и ΔWк < 0 ⇒ Wк ↓ − в этом оказался прав Гена. Однако кинетическая энергия не может стать отрицательной. Найдем, где остановится брусок:

Подчеркните все ошибки Веры и Гены и запишите правильный ответ к задаче.

Дима нашел энергию взаимодействия бруска и поверхности. В чем его ошибка?

Ответить на этот вопрос вам поможет обсуждение закона сохранения механической энергии и консервативных сил.

Итак, если нам известная сила трения, действующая на тело, мы сможем прогнозировать его движение: каков будет тормозной путь, какая у него будет скорость на том или ином участке пути. А можно ли спрогнозировать, какой будет сила трения, действующая на тело? Для ответа на этот вопрос проведите лабораторное исследование.

Для обработки экспериментальных данных можно воспользоваться лабораторной работой «Сила трения».

Во многих задачах происходят потери кинетической энергии вследствие сопротивления, трения. Эта энергия в конечном счете превращается также в кинетическую энергию, но уже не макротел, а частиц, из которых состоят тела – атомов, молекул, ионов. Таким образом, кинетическая энергия тел превращается в их внутреннюю энергию. Иногда ее даже можно почувствовать: потрите бруски друг о друга и вы почувствуете, как нагрелись их поверхности. Сколько же выделяется тепла в этих процессах? Если других превращений энергии нет, вычислить это легко:

§07 Êàê ðàáîòàåò ñèëà òðåíèÿ

2-02

§05

21

Если нам известно, как изменилась кинетическая энергия тела, мы можем вычислить работу внешней силы. Если работает консервативная сила, изменение кинетической энергии равно изменению потенциальной энергии, а сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется неизменной. Если работает диссипативная (от лат. dissipatio – рассеяние) сила, убыль кинетической энергии равна выделившемуся количеству теплоты. К диссипативным силам относят силы трения, сопротивления. Выделение тепла сопровождает также неупругие деформации.

Доопределите условия и решите задачи.

1. Если известно, с какой скоростью пуля вылетела из ствола ружья и масса сгоревшего пороха, можно определить КПД этого процесса.

2. Можно узнать работу сил сопротивления воздуха, если известно, на какую высоту поднялось брошенное тело.

3. Если известны начальная и конечная скорость тела, можно узнать, сколько выделилось тепла в процессе движения.

4. Если известны скорости шаров до и после ударов, можно определить, какие были соударения – упругие или неупругие, а также выделившееся количество теплоты.

Выполните серию лабораторных работ и экспериментальных заданий, связанных с расчетом работы силы, оценкой энергетических потерь, вычислением параметров движения тел.

Выполните лабораторное исследование «КПД наклонной плоскости».

§8. Êàê ðàáîòàåò ñèëà óïðóãîñòè

В классе было предложено решить задачу.

Задача. Брусок на пружине скользит без трения по горизонтальной поверхности (см. рис.). Подберите мягкую пружину, проведите необходимые измерения и постройте график зависимости кинетической энергии бруска от координаты. Предскажите по графику несколько значений скорости.

На рисунке изображен график, показывающий, как примерно должна изменяться кинетическая энергия бруска (см. рис.).

Подумайте, в какой момент времени был запущен секундомер.

Вспомните лабораторное исследование силы упругости.

Êàê ðàáîòàåò ñèëà óïðóãîñòè §08

2-01

2-02

22

Для точных расчетов мы взяли мягкую пружину и нашли ее коэффициент жесткости (если подвесить груз весом 100 Г, пружина растянется на 20 см):

.

Теперь мы сможем вычислять силу упругости для разных смещений Δl относительно положения равновесия:

Учитель: Чтобы график был как можно более точным, надо рассчитать побольше значений кинетической энергии для разных положений бруска. Поскольку мы предполагаем, что график будет симметричным, достаточно рассмотреть четверть всего пути. Мы взяли отрезок от максимального сжатия пружины до недеформированного состояния (до положения равновесия). Предположим, что этот путь равен 40 см и при этом сохраняются упругие свойства пружины. Разобъем этот путь на равные части и обозначим точки: 0, 1, 2, … 10, где 0 – положение равновесия, кинетическая энергия максимальная; 10 – максимальное отклонение, грузик неподвижен, и его кинетическая энергия Wк10 = 0).

У нас будет работать несколько групп независимо друг от друга, чтобы можно было сделать перекрестную проверку. Количество учащихся в каждой группе будет равно числу точек, которые надо обсчитать. Аня и Боря независимо друг от друга рассчитают значения Wк0. Группы Вити и Гали посчитают Wк5 и Wк0. Группы Даши и Егора посчитают Wк6, Wк2, Wк0. Группы Жени и Зои найдут Wк8, Wк6, Wк4, Wк2, Wк0. Группы Игоря и Кати посчитают значения кинетической энергии во всех промежуточных точках.

Прежде чем приступать к расчетам, выработаем единую стратегию.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: ΔWк = Ас. упр .

Каждая группа будет начинать от т. 10, в которой кинетическая энергия равна нулю. В следующей точке (например, в т. 7) кинетическая энергия Wк7 = 0 + А10→7;

в т. 5 Wк5 = Wк7 + А7→5 и т.д.

§08 Êàê ðàáîòàåò ñèëà óïðóãîñòè

Р. Гук(1635–1703)

23

Таким образом, работу в группе надо строить цепочкой: каждому выделяется участок, на котором он вычисляет работу силы упругости, а затем по очереди рассчитывается кинетическая энергия.

Работу, которая равна произведению силы на перемещение, будем измерять в Г·см, в этих же единицах будем измерять кинетическую энергию.

Согласованные результаты групп представлены в таблице (Wк, Г·см):10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

А и Б 0 8000В и Г 0 4000 6000Д и Е 0 3200 5120 5440Ж и З 0 1600 2880 3840 4480 4800И и К 0 800 1520 2160 2720 3200 3600 3920 4160 4320 4400

Вот подробный отчет о работе группы Даши и Егора:10 10→6 6 6→2 2 2→0 0

x, см −40 −24 −8 0|Δx|, см 16 16 8F = k |Δx|, Г 200 120 40 0A = F · |Δx|, Г·см 3200 1920 320Wк = …, Г·см 0 3200 5120 5440

Проверьте таблицы. Что могло привести к столь разным результатам для кинетической энергии? Какому значению кинетической энергии в положении равновесия (т. 0) вы доверяете больше – 8000, 6000, 4800, 4400?

При обсуждении полученных результатов в классе была обнаружена причина расхождения. Дело в том, что в процессе движения бруска меняется сила упругости, а мы считаем работу так, как будто на протяжении всего интервала сила постоянная. Следовательно, чем на меньшие отрезки разбивается путь, тем точнее будет результат. С помощью Excel ребята посчитали работу силы упругости, разбив весь путь на отрезки: 1) по 10 см; 2) по 2 см; 3) по 1 см. Расчеты проводились для следующего участка пути – когда брусок прошел положение равновесия 0 и прошел все точки до 10 (максимальное растяжение пружины).

Заполните самостоятельно строчку Wк для таблиц №№2,3 в предположении, что значение кинетической энергии в положении недеформированной пружины (т. 0) примерно равно 4200 Г·см в таблице №2 и 4100 Г·см в таблице №3.

Таблица №1x, см 0 10 20 30 40F, Г 0 50 100 150 200А, Г·см 0 500 1000 1500 2000Wк, Г·см 5000 4500 3500 2000 0


24

Таблица №2x, см 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20F, Г 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100А, Г·см 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Wк, Г·см

x, см 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40F, Г 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200А, Г·см 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400Wк, Г·см

Таблица №3x, см 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16F, Г 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80А, Г·см 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80Wк,Г·см

x, см 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28F, Г 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140А, Г·см 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140Wк, Г·см

x, см 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40F, Г 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200А, Г·см 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200Wк, Г·см

Ниже показаны три диа-граммы, соответствующие трем таблицам. Можно за-метить, что закрашенная площадь численно равна работе силе упругости. Точ-ность вычисления работы зависит от того, на сколько частей мы разбиваем весь путь. Таким образом, при переходе от первой диа-граммы к третьей точность возрастает.

Пользуясь графиком, найдите формулу для потенциальной энергии пружины.

Для выполнения задания можете воспользоваться схемой описания явлений с энергетической точки зрения; теоремой, связывающей работу консервативных сил и потенциальную энергию.

§08 Êàê ðàáîòàåò ñèëà óïðóãîñòè

§05

25


26

§9. Êîãäà ïîÿâëÿåòñÿ è èñ÷åçàåò ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ

Мы знаем, что изолированное тело (тело, на которое не действуют другие тела) сохраняет свою кинетическую энергию. Обратное не всегда верно: тело может двигаться равномерно (например, автомобиль может двигаться с постоянной скоростью), но при этом другие тела (Земля, асфальт, воздух) на него воздействуют. В этом случае можно сказать, что действия внешних сил на тело скомпенсировано.

Подробнее о сложении сил.

Если же на тело действуют другие тела и их действия не скомпенсированы, кинетическая энергия тела меняется. Более того, мы даже знаем теорему, которая управляет этим изменением:

Рассмотрим случаи, когда внешние силы действуют, но их работа равна нулю и кинетическая энергия сохраняется (силы есть, но они не работают – не помогают и не мешают движению; не двигают тело и не сопротивляются его движению; направлены и не по направлению движения и не против направления движения, а перпендикулярно ему). На рисунке показана тележка, которая катится по горизонтальной поверхности и через некоторое время t останавливается, пройдя путь S.

Покажите силы, которые работают в этом процессе и запишите формулы для расчета их работ. Покажите силы, которые не работают в этом процессе.

Рассмотрите схему следствий из общей формулы работы постоянной силы. Если необходимо, дополните ее.

Как вы полагаете, движение Луны вокруг Земли можно считать движением «по инерции» (будем считать, что кинетическая энергия Луны сохраняется, хотя это не совсем так)? Покажите силы, действующие на Луну. Работают ли эти силы?

Рассматривая разные случаи изменения кинетической энергии, можно заметить те, в которых энергия исчезает «бесследно» (например, переходит во внутреннюю энергию участвующих во взаимодействии тел и больше не возвращается). Можно заметить и те, в которых кинетическая энергия то исчезает, то появляется; то уменьшается, то увеличивается – и если можно пренебречь выделением тепла, которое сопровождает всяческие трения и сопротивления, то процессы энергетических превращений происходят снова и снова.

Рассмотрим характерный случай таких превращений – колебания шарика на пружинке.

§09 Êîãäà ïîÿâëÿåòñÿ è èñ÷åçàåò ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ

§02

§06

§03

§14

27

1. Для простоты рассуждений договоримся пренебречь сопротивлением воздуха и использовать пружину, работающую только на растяжение.

2. Если осторожно подвесить шарик массой m, пружина растянется так, чтобы сила упругости скомпенсировала силу тяжести.

3. Поднимем шарик так, чтобы вся пружинка «собралась». Пока мы держим шарик, его кинетическая энергия равна нулю. Однако стоит нам отпустить шарик, и он начнет наращивать свою кинетическую энергию. Откуда же шарик добывает свою энергию? На пружину вначале можно не обращать внимания – она вступит в игру только тогда, когда начнет растягиваться. Понятно, что падает шарик благодаря притяжению Земли. Можно сказать, что, поднимая шарик вверх, мы увеличивали его потенциальную энергию − как энергию будущего возможного движения. По мере движения шарика вниз убывает его потенциальная энергия и в той же мере возрастает кинетическая – так, что их сумма сохраняется: Wмех = Wк + Wп = const.

4. Итак, мы добрались до точки, в которой «включается» пружина. Заметим: в отличие от Земли пружина не разгоняет, а тормозит шарик. Сначала в этой битве будет побеждать Земля, и кинетическая энергия шарика продолжит свой рост (правда, этот рост будет замедляться).

5. В положении равновесия воздействия Земли и пружины сравняются, после этого шарик начнет тормозиться. Его кинетическая энергия будет убывать, будет убывать и потенциальная энергия в поле тяжести Земли.

6. Мы считаем пружину идеальной («хорошей») и не допускаем ее необратимого растяжения или тем более разрыва. Поэтому рано или поздно пружина остановит шарик, т.е. заберет всю его кинетическую энергию:

потенциальная энергия шарика, созданная взаимодействием с Землей, уменьшилась до минимального значения (ниже он уже не опустится);

кинетическая энергия шарика равна нулю;

потенциальная энергия пружины, напротив, возросла до максимального значения; теперь пружина является своеобразным аккумулятором энергии.

Êîãäà ïîÿâëÿåòñÿ è èñ÷åçàåò ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ §09

28

Расскажите, что произойдет дальше, какие еще энергетические превращения ожидают систему «Земля – шарик – пружина». Подумайте, какие энергетические потери мы не рассматривали, чем мы пренебрегли в наших рассуждениях. Покажите качественно графики зависимости кинетической, потенциальной и полной механической энергии от времени (считайте, что время одного полного колебания равно 4 с).

Получим формулу для расчета потенциальной энергии взаимодействия тела и пружины. Используем для этого горизонтально расположенную пружину (см. рис.), чтобы исключить влияние силы тяжести. Пусть пружина работает одинаково на сжатие и растяжение. Состояние недеформированной пружины отметим на оси x точкой с координатой 0. Учтем, что: 1) сила упругости меняется в процессе перемещения бруска; 2) пружина «хорошая», т.е. подчиняется закону Гука (сила упругости прямо пропорциональна величине деформации); 3) работа силы упругости равна убыли потенциальной энергии. Получим:

Зависит ли потенциальная энергия взаимодействия груза и пружины от массы груза? Какова потенциальная энергия системы в положении равновесия (x = 0)?

Будет ли потенциальная энергия системы отрицательной после прохождения положения равновесия (x3)?

Какую кинетическую энергию приобретет брусок при переходе из положения x1 в положение x2?

Какие измерения надо произвести, чтобы рассчитать кинетическую энергию бруска в положении равновесия?

§09 Êîãäà ïîÿâëÿåòñÿ è èñ÷åçàåò ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ

§08

29

Сравните две схемы и ответьте на вопросы:

Как связаны между собой работа внешних сил над газом и работа газа? Приведите примеры процессов, когда работа газа положительная, равна нулю, отрицательная. Возможен ли процесс, при котором к газу подводится тепло, а его температура не меняется? При каком процессе внутренняя энергия газа меняется только за счет совершения газом работы?

Проведите аналогию между газом и механической системой тел. Можно ли изменению внутренней энергии газа поставить в соответствие изменение механической энергии системы тел? Какие еще аналогии вы усматриваете? Почему количество теплоты Q входит в уравнения с разными знаками?

Получите формулу для потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли Wп = mgh. Увеличится ли потенциальная энергия тела, если изменить начало отсчета высоты?

§10. Ðèñóåì ãðàôèêè ýíåðãèè

Рассмотрим ситуацию. Шарик может скользить на горизонтальном стержне без трения. К нему прикреплено две пружины справа — «мягкая», слева — «жесткая» (см. рис. на стр. 30). Шарик отклоняют влево, до точки А.

Опишите характер движения шарика. Какие энергетические превращения будут происходить? Как долго будет продолжаться движение шарика при отсутствии трения?

Начертите в тетради оси координат (Wк, x). Заштрихуйте области на координатной плоскости, где график кинетической энергии шарика проходить не может. Изобразите примерный ход графика зависимости потенциальной энергии шарика от координаты. Нарисуйте график полной энергии, считая, что в положении равновесия потенциальная энергия равна нулю. Нарисуйте график потенциальной энергии, предполагая, что в этом процессе не происходит выделение тепла. Изменятся ли графики, если изменить начальные условия (изменить положение т. А)?

Ðèñóåì ãðàôèêè ýíåðãèè §10

§06

§09

30

В начале координат хитро устроенная частица создает поле. По прямому стержню, расположенному вдоль оси Х без трения может скользить другая частица. Постройте график зависимости кинетической энергии от координаты, чтобы предсказать характер ее движения, если известен график потенциальной энергии взаимодействия.

Решите задачи на построение графиков зависимости кинетической энергии от координаты для разных значений полной энергии.

Научитесь по графику потенциальной энергии определять зоны отталкивания и притяжения.

Научитесь по потенциальной кривой строить график зависимости силы от координаты, а также решать обратные задачи.

Можно ли по графикам зависимости потенциальной энергии и силы от координаты определить положения равновесия, отличить устойчивое от неустойчивого равновесия?

С помощью компьютерной демонстрации «Потенциальные кривые» разгадайте поле, в котором движутся частицы.

§10 Ðèñóåì ãðàôèêè ýíåðãèè

3-04

3-05

3-06

3-07

31

Закрепленная в начале координат частица-источник создает поле. По прямому стержню, расположенному вдоль оси Х без трения может скользить частица-пробник. На рисунке изображен график энергии взаимодействия двух частиц.

В начальный момент частица неподвижна (скорость и, соответственно, кинетическая энергия второй частицы в первый момент равна нулю). Как и куда будет двигаться частица, если в начальный момент времени ее поместить в точку….

A:____________________________________________________________________________________

B:____________________________________________________________________________________

C:____________________________________________________________________________________

D:____________________________________________________________________________________

E:____________________________________________________________________________________

F:____________________________________________________________________________________

G:____________________________________________________________________________________

H:____________________________________________________________________________________

Куда надо поместить частицу, чтобы она совершала колебания?С какой максимальной скоростью можно бросить издалека частицу-пробник, чтобы она

не смогла преодолеть точку E?

Ðèñóåì ãðàôèêè ýíåðãèè §10

32

§11. Êàê íåðàâíîìåðíîå ïîìåðèòü ðàâíîìåðíûì

Задача 1. Теннисный мяч бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какой высоте он окажется через 3 с?

Решите задачу и сравните свое решение с двумя решениями, которые были предложены в классе. Как могли рассуждать ребята, предложившие эти решения? Познакомьтесь с дискуссией, которая состоялась в нашем классе, определите свою позицию.

Решение 1

h = υ · t ⇒ h = 10 м/с ⋅ 3 с = 30 м

Ответ. Через 3 с мяч будет на высоте 30 м над землей.

Решение 2

Ответ. Мяч поднимется на

высоту 5 м.

Аня: Мне кажется правильным второе решение, потому что мяч никак не может подняться на такую большую высоту. Скорость 10 м/с − самая обычная, я могу бросить мяч с такой скоростью, но он не поднимется на высоту 10-этажного дома!

Боря: Я согласен с Аней, первое решение неверное. Здесь ребята решили так, как будто мяч движется равномерно. Значит, через 5 секунд он поднимется на 50 м, а через 100 секунд на 1000 м? Мяч замедляется, по этой формуле нельзя решать.

Вика: Второе решение тоже неверное, ведь в нем не используется условие, что мяч двигался 3 секунды.

Аня: Вика, а тебе не кажется, что это лишнее данное в задаче?

Галя: Аня! Время не может быть лишним. Во втором решении нашли самую большую высоту подъема, а в задаче спрашивается про другое!

Учитель: Аргументы «за» и «против» понятны. А можно рассчитать время подъема мяча?

Боря: Это просто. Если мяч бросили со скоростью 10 м/с, и он поднялся на высоту 5 м, значит, он летел полсекунды.

Прав ли Боря? Как он рассуждал? Как бы вы нашли время подъема мяча?

Аня: Боря, ты сам себе противоречишь. Мяч замедляется при полете вверх, поэтому он будет двигаться больше чем 0,5 с!

Дима: Я точно знаю, как надо решать задачу! Возьмем среднюю скорость мяча – она равна 5 метров в секунду. Значит, он будет подниматься 1 секунду. Падать он будет тоже 1 секунду. Поэтому через 3 секунды он будет лежать на земле.

Учитель: Какие есть вопросы к Диме?

§11 Êàê íåðàâíîìåðíîå ïîìåðèòü ðàâíîìåðíûì

§06

33

Вика: Очень много вопросов. Непонятно, что такое средняя скорость и как Дима получил 5 м/с.

Галя: Мне непонятно, почему он будет падать так же, как и подниматься. А сопротивление воздуха? Оно должно затормозить падение.

Боря: Тут вообще все непонятно.

Учитель: Давайте разбираться вместе. Начнем с того, что для простоты забудем о сопротивлении воздуха. Скорее всего, нам и не удастся решить эту задачу с учетом сопротивления воздуха. Дима, вероятнее всего, прав, когда предполагает симметричность движения мяча вверх и вниз (попробуйте это обосновать самостоятельно любым известным вам способом). Я не знаю точно, правильно ли Дима нашел среднюю скорость, но идея интересная. Он заменил неравномерное движение мяча со все уменьшающейся скоростью на равномерное движение с некоторой постоянной скоростью.

Подумайте, как лучше дать определение средней скорости.

Предположим, что Дима правильно рассчитал время подъема мяча. Сделайте в своей рабочей тетради рисунок и покажите на нем примерные положения шарика через равные промежутки времени Δt = 0,2 с. Покажите другим цветом, какие бы положения занимал каждые 0,2 с шарик, поднимающийся равномерно со скоростью 5 м/с.

Боря: Дима, ты можешь объяснить, как у тебя получилась средняя скорость 5 м/с?

Дима: Мяч начал лететь со скоростью 10, а наверху он остановился – скорость 0. Понятно, что в среднем скорость равна 5.

Учитель: Всем понятно, как действовал Дима? Предлагаю вам в группах решить задачу на нахождение средней скорости.

Задача 2. Автомобиль 2 часа ехал со скоростью 40 км/ч, а затем еще 3 часа со скоростью 60 км/ч. С какой средней скоростью двигался автомобиль?

Одна группа предложила такое решение:

Правильное ли это решение, с точки зрения Димы? Соответствует ли оно вашему определению средней скорости? Как бы вы сами решили эту задачу?

При решении задачи №2 в одной из групп сначала появилось такое же решение – (40+60) : 2 = 50 (км/ч). Прочитайте обсуждение этого решения в группе и оцените его.

Егор: Слишком просто. Нет ли здесь ловушки?

Женя: Получается, что мы не все данные использовали. Если автомобиль будет идти, например, 2 часа со скоростью 60 км/ч и 3 часа со скоростью 40 км/ч, решение изменится?

Зоя: А если он будет 100 часов ехать со скоростью 60 км/ч, а 1 час со скоростью 40 км/ч? Все равно средняя скорость − 50 км/ч? Здорово у нас получается!

Егор: Давайте посмотрим определение средней скорости, которое мы давали в классе. Средняя скорость – это скорость такого автомобиля, который движется столько же времени и

Êàê íåðàâíîìåðíîå ïîìåðèòü ðàâíîìåðíûì §11

§34

34

проходит то же расстояние, но у него не меняется скорость. Если мы знаем путь и время, то

найдем и скорость:

Женя: Время движения нам известно – 5 часов. А какой путь он проехал?

Зоя: 260 км. Тогда

Как Зоя нашла путь? С какой средней скоростью двигался автомобиль по условиям, которые она предложила выше?

Покажите на графике среднюю скорость и придумайте графический способ решения задачи №2. Измените условие задачи так, чтобы средняя скорость автомобиля стала равна 50 км/ч.

Прочитайте задачи №№3 и 4. Можно ли не решая сказать, в каком случае среднюю скорость можно найти как среднее арифметическое двух скоростей? Решите задачи №№3−5 двумя способами: аналитически (с помощью формул) и графически (для более точного решения воспользуйтесь миллиметровой бумагой).

Задача 3. Автомобиль первую половину пути двигался со скоростью 60 км/ч, а вторую – со скоростью 40 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Задача 4. Автомобиль первую половину времени двигался со скоростью 60 км/ч, а вторую – со скоростью 40 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути.

Задача 5. Автомобиль 1 час ехал по хорошей дороге со скоростью 80 км/ч, затем 3 часа по плохой асфальтированной дороге со скоростью 60 км/ч, последние 2 часа автомобиль двигался по грунтовой дороге. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если известно, что средняя скорость на всем пути составила 57 км/ч?

Вспомните, как находить средние величины с помощью тренажера «Прямая пропорциональная зависимость и среднее арифметическое».

Рассмотрим задачу.

Задача 6. Два шарика начали одновременно и с одинаковой скоростью двигаться по поверхностям (1 – по выпуклой, 2 – по вогнутой). Как будут отличаться скорости и время движения шариков к моменту их прибытия в точку В? Трением пренебречь.

Решение.

1. Поскольку трением в задаче можно пренебречь, механическая энергия шариков в процессе движения сохраняется. Примем начальное значение потенциальной энергии шариков в поле тяжести Земли равным нулю. Первый шарик вкатывается на горку, поэтому его кинетическая энергия начинает переходить в потенциальную. Будем считать, что начальной кинетической

энергии первому шарику хватит для преодоления горки в противном случае


§09

35

задача потеряет смысл. После прохождения вершины А потенциальная энергия шарика начнет переходить в кинетическую, скатившись с горки шарик будет иметь потенциальную энергию равной нулю, а его кинетическая энергия примет начальное значение. У второго шарика, напротив, сначала кинетическая энергия будет возрастать, затем убывать и на горизонтальном участке примет начальное значение. Следовательно, скорости в т. В у обоих шариков будут одинаковыми и равными начальной.

Изобразите примерный ход графиков (Wк, t) и (Wп, t).

2. На первый взгляд кажется, что и время движения шариков должно быть равным. Действительно, пути шарики проходят одинаковые, половину дуги они проходят с ускорением, половину – с замедлением. Казалось бы, можно предположить равенство средних скоростей у обоих шариков. Более внимательный анализ подсказывает другую логику рассуждений. Первый шарик сначала замедляется, его скорость уменьшается от υн до некоторой υА, следовательно, средняя скорость на этом участке υср < υн. На следующем участке шарик ускоряется и достигает максимальной скорости, равной υн. Значит, и на этом участке и на всем пути υср < υн . Нетрудно повторить эти рассуждения для второго шарика и убедиться, что у него, напротив, средняя скорость на каждом участке криволинейного пути и на всем пути больше начальной (υср > υн). Так как пути оба шарика прошли одинаковые, а средняя скорость у второго больше, первый шарик затратит больше времени на движение до т. В.

3. Приведем графическое доказательство того, что t1 > t2. Построим примерные графики зависимости скорости от времени для обоих шариков (ограничимся рассмотрением только криволинейных участков пути). Можно доказать, что для неравномерного движения, так же как и для равномерного, путь численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени.

Заштрихуйте на верхнем рисунке фигуры, площади которых должны быть численно равны пройденного пути первого и второго шариков.

На нижнем рисунке покажите графики движения двух точек, которые соответственно двум шарикам начинают движение, проходят такой же путь и движутся до т. В соответствующее время (t1 и t2), но движутся равномерно.

Вернемся к анализу задачи №1. Используя закон сохранения механической энергии, мы нашли

наибольшую высоту подъема мяча над землей – 5 м. Чтобы найти время подъема, Дима предложил разделить пройденный путь (5 м) на среднюю скорость. Он нашел среднюю скорость как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей:

Решая задачи, мы убедились, что далеко не всегда можно таким способом получить правильный результат при нахождении средней величины.


36

Изобразите в рабочей тетради зависимости скорости тела от времени, удовлетворяющие условиям: Во всех случаях примите

υн = 0, считайте, что скорость во время движения все время возрастает. Свое решение обоснуйте.

Указание: воспользуйтесь тем, что пройденный путь численно равен площади под графиком (υ, t) и определением средней скорости.

Рассмотрим подробнее случай, когда среднюю скорость можно находить как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей − равномерно ускоренное (равноускоренное) прямолинейное движение. При этом движении за любые равные промежутки времени скорость тела меняется на одну и ту же величину. Иными словами, скорость меняется по линейному закону: υк = υн + aΔt. Изменение скорости за единицу времени получило название ускорения:

. В СИ ускорение измеряется в м/с2. К равноускоренному движению относят не

только движение с увеличивающейся скоростью (a > 0), но и замедленное движение (a < 0). Равномерное движение можно рассматривать как частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.

На рисунках показаны различные случаи равноускоренного движения. Докажите геометрически, что во всех этих случаях средняя скорость равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей.

Эксперименты, которые проводил Галилей, показали, что тело, брошенное вертикально вверх или падающее вниз, движется равноускоренно (сопротивление воздуха не учитывается).

Следовательно, Дима решил задачу правильно, и теннисный мяч будет находиться в полете 2 с (одну секунду поднимается, вторую секунду опускается). А через 3 с мяч, вероятнее всего, будет лежать на земле.

Решите задачи:

1. Три автомобиля стартовали одновременно с максимальными ускорениями. Первый автомобиль за 10 с разогнался до скорости 150 км/ч. Второй приобрел скорость 80 км/ч за 4 с, а третий за каждую секунду увеличивал свою скорость на 17 км/ч. Сравните мощности двигателей автомобилей.


37

2. Определите по уравнениям, какие тела движутся: а) равномерно; б) ускоряются; в) замедляются; г) покоятся (x, y – координаты тела; S – пройденный телом путь; υ − скорость тела; t − время):

υ1 = 2t; x2 = 3t; υ3 = 6; y4 = 10 – 2t2; x5 = 15; υ6 = 3x; υ7 = 5 – 3t; S = 4 + 7t.

Все формулы проиллюстрируйте соответствующими графиками.

3. Приведите примеры уравнения, которые описывают: а) покой; б) равномерное движение; в) ускоренное движение; г) замедленное движение.

4. Постройте графики (υ, t), (x, t), (S, t), иллюстрирующие: а) покой; б) равномерное движение, в котором координата тела увеличивается; в) равномерное движение, в котором координата тела уменьшается; г) равномерное движение, в котором пройденный путь все время увеличивается; д) равномерное движение, в котором пройденный путь все время уменьшается; е) ускоренное движение, при котором скорость тела растет так же, как путь при равномерном движении; ж) замедленное движение.

5. Три частицы двигались так, как показано на графиках. Сравните пути, пройденные частицами, их наибольшие скорости и средние скорости.

Решите задачи:


4-04

4-05

38

12. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà

В соответствии с представлениями Галилея, для того чтобы тело стало ускоряться, на него должна подействовать сила. При каких условиях тело будет двигаться равноускоренно? Как можно управлять ускорением с помощью силы? Как зависит ускорение от действующей на тело силы?

Сначала вспомним, как движется изолированная частица. Если частица находится вдали от других частиц-источников полей, можно считать, что на нее не действуют силы. В соответствии с законом инерции Галилея (иногда его называют первым законом Ньютона) такая частица движется равномерно и прямолинейно или покоится. В качестве примера можно указать на молекулу разреженного газа, которая находится достаточно далеко от других молекул (силу тяжести, действующую на молекулу, не учитываем, а также пренебрегаем действием электрических и магнитных полей). Такая частица будет двигаться равномерно и прямолинейно до тех пор, пока не окажется вблизи другой частицы. Равномерно и прямолинейно движется космический корабль, который вдали от массивных тел несется в пустоте с выключенными двигателями.

Для решения следующей задачи примем без доказательства достаточно правдоподобное утверждение: частица, на которую действует постоянная сила, движется с постоянным ускорением.

Задача. Изолированная частица массой m движется со скоростью υ1. В некоторый момент времени t1 она попадает в однородное поле, где на нее начинает действовать сила F, сонаправленная скорости частицы (см. рис.). Найти: а) скорость υ2, с которой будет двигаться частица в момент времени t2 > t1; б) путь S, который пройдет частица за промежуток времени Δt = t2 − t1; в) ускорение частицы.

Решение. У нас нет готового способа решения этой задачи, поэтому сначала запишем все формулы, которые могут нам пригодиться:

1. Определение работы постоянной силы F на пути S: A = F · S (1)

2. Теорема об изменении кинетической энергии: (2)

3. Средняя скорость при равноускоренном движении: (3)

4. Пройденный путь со средней скоростью υср время Δt: S = υср · Δt (4)

5. Определение ускорения при равноускоренном движении: (5)

Воспользуйтесь предложенной схемой (см. стр. 39) и получите новые формулы:

§12 Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà

§02

§26

§05

§11

§34

1-04

39

Из (9) выразим искомую скорость: (10)

Преобразуем формулу (5) к похожему виду: υ2 = υ1 + a · (t2 – t1) и сравним с (10).

Итак, мы видим, что ускорение частицы равно:

(11)

Воспользуйтесь формулами (3), (4) и (10) и получите:

Используя полученные формулы, решите задачу.

Задача. Пластилиновый шарик без начальной скорости падает с высоты 20 м. Считая, что на него действует только сила тяжести F = mg (g ≈ 10 Н/кг), найти: а) ускорение шарика; б) скорость шарика через 1 с, 2 с, 3 с; в) путь, пройденный шариком за первую секунду, за вторую секунду, за третью секунду, за две секунды (за первую и вторую вместе), за три секунды; г) среднюю скорость за первую секунду, за вторую секунду, за третью секунду, на всем пути. Построить графики зависимости: а) ускорения от времени; б) скорости от времени; в) пути от времени.

Формулы (9) и (11) играют в физике настолько важную роль, что получили статус закона. Этот закон, получивший название второго закона Ньютона, принято записывать двумя способами:

Импульс действующей на тело силы равен изменению импульса тела.

Ускорение тела прямо пропорционально приложенной к телу силе и обратно

пропорционально массе тела.

В международной системе единиц (СИ) сила измеряется в ньютонах:

Прочитайте выдержки из книги И. Ньютона «Математические начала натуральной философии». Какая из приведенных выше формулировок ближе к ньютоновской? Как мы сейчас называем физическую величину, которая прежде называлась количеством движения? Что называется импульсом силы?

Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà §12

И. Ньютон (1642–1727)

1-04

40

§13 Ñâîáîäíîå ïàäåíèå

Итальянский физик Галилео Галилей доказал, что свободно падающее тело (без учета сопротивления воздуха) ускоряется равномерно. Это значит, что сила тяжести в каждую секунду сообщает телу одно и то же изменение скорости. Вот как примерно выглядят рассуждения Галилея:

Представим себе, что в определенный момент времени тело начинает свободно падать, и сила тяжести в течение секунды сообщает ему примерную скорость в 32 фута в секунду. Если бы по истечении этой секунды действие тяжести на тело прекратилось, то в каждую последующую секунду оно проходило бы 32 фута. Но в продолжение второй секунды тяжесть продолжает действовать, и поэтому скорость тела увеличивается с 32 футов в секунду до 64 футов в секунду. Таким образом: в начале движения скорость 0 фут/с, в конце первой секунды – 32 фут/с, в конце второй секунды – 64 фут/с, в конце третьей – 96 фут/с и т.д. В каждый момент времени скорость равна 32 фут/с, повторенным столько раз, сколько секунд падало тело.

Интересно, а от чего зависит ускорение, с которым падает тело?

Антон – последователь Аристотеля, он убежден: чем тяжелее тело, тем быстрее оно падает. Галя – последовательница Галилея, она считает, что легкое и тяжелое тела упадут одновременно (если не учитывать сопротивление воздуха).

Предложите опыты, которые могут подтвердить одну и вторую точки зрения.

Галилею было непросто исследовать падение тела − не было точных приборов для измерения времени, а процесс падения оказывался очень быстрым. По легенде, ученый сбрасывал разные тела с Пизанской башни, доказывая независимость ускорения от массы тела. Так это или нет, сказать сейчас трудно, но благодаря сочинениям Галилея мы знаем, что он решил заменить быстрое вертикальное падение тел довольно медленным наклонным «падением». На рисунке показан вариант конструкции, с которой экспериментировал ученый.

Четыре шарика (см. рис.) покрашены так, что более темный цвет соответствует большей массе (черный шарик в десять раз тяжелее белого). Они одновременно начинают скатываться по гладким желобкам. Как вы полагаете, какой шарик быстрее скатится? Как бы на этот вопрос ответили Антон и Галя? Постройте примерные графики зависимости скорости от времени для всех четырех шаров за Антона и Галю. Что показывает эксперимент?

§13 Ñâîáîäíîå ïàäåíèå

Аристотель (384 – 322 до н.э.)

41

Прочитайте одно из описаний опытов Галилея. Все ли вам понятно в этом описании? Со всем ли вы согласны?

Вдоль узкой стороны деревянной доски длиной около двенадцати локтей, шириной поллоктя и толщиной около трех дюймов был прорезан канал шириной немного больше одного дюйма. Канал этот был прорезан совершенно прямым и, чтобы сделать его достаточно гладким и скользким, оклеен внутри возможно ровным и полированным пергаментом. По этому каналу мы заставляли падать гладкий шарик из твердейшей бронзы совершенно правильной формы. Установив изготовленную таким образом доску, мы поднимали конец ее над горизонтальной плоскостью когда на один, когда на два локтя и заставляли скользить шарик по каналу, отмечая способом, о котором речь будет идти ниже, время, необходимое для пробега им всего пути. Повторяя много раз один и тот же опыт, чтобы точно определить время, мы не находили никакой разницы даже на одну десятую времени биения пульса. Что касается способа измерения времени, то мы пользовались большим ведром, наполненным водой и подвешенным наверху. В дне ведра был проделан узкий канал, через который вода изливалась тонкой струйкой и собиралась в маленьком бокале в течение всего того времени, как шарик спускался по всему каналу или части его. Собранные таким образом количества воды каждый раз взвешивались на точнейших весах. Разность и отношение веса воды для разных случаев давали нам разность и отношение времен падения, и притом с такой точно¬стью, что, как я уже упоминал, повторяя один опыт много и много раз, мы не могли заметить сколько-нибудь значительных отклонений.

С каким же ускорением падает тело под действием силы тяжести? Воспользовавшись вторым законом Ньютона, мы без труда ответим на этот вопрос:

Итак, коэффициент g = 9,8 Н/кг, которым мы в 7 классе пользовались для перехода от массы к весу, начинает приобретать физический смысл.

Покажите, что 1 Н/кг = 1 м/с2. Объясните, что такое ускорение свободного падения.

Решите задачи, округляя g ≈ 10 м/с2 и пренебрегая сопротивлением воздуха.

1. Камень брошен вертикально вверх со скоростью 50 м/с. Заполните таблицу:

t, с 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

υ, м/с 50

h, м 0

2. Яблоко падает с высоты 100 м без начальной скорости. Найдите путь, который проходит яблоко за одну секунду, две секунды и т.д. Как относятся эти пути? Найдите среднюю скорость яблока за одну, две, три и т.д. секунд. Найдите путь, который проходит тело за первую, вторую, третью секунды.

Ñâîáîäíîå ïàäåíèå §13

§12

§20

42

Δt, с 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ΔS, м 0

υср, м/с 0

Воспользуйтесь справочными материалами и предположите, от чего зависит ускорение свободного падения.

§14. Ñëîæåíèå ñèë. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ

Зная, какая сила действует на частицу, можно рассказать и о том, как она будет двигаться. В этом нам помогает второй закон Ньютона, который позволяет найти ускорение частицы или узнать, как изменился импульс тела за некоторый промежуток времени Δt.

Из этого закона можно вывести несколько следствий:

1. Если на частицу сила не действует, частица будет двигаться с постоянной скоростью − равномерно и прямолинейно, либо покоится.

Этот частный случай сильно напоминает закон инерции Галилея, или первый закон Ньютона. Можно ли обойтись без этих законов, сохранив только второй закон Ньютона, мы узнаем в 9 классе.

2. Если на частицу действует постоянная сила, то частица движется с постоянным ускорением (ее скорость за каждую секунду меняется на одну и ту же величину). Если сила сонаправлена со скоростью , ускорение будет также сонаправлено со скоростью

, и скорость частицы будет равномерно возрастать. Рассмотрите случай, когда сила направлена противоположно скорости .

3. Если на частицу действует переменная сила, у частицы ускорение должно изменяться. Рассчитывать движение в этом случае очень трудно.

Второй закон Ньютона справедлив и тогда, когда направление силы не совпадает с направлением мгновенной скорости.

Подумайте, как будет двигаться тело в разных случаях (на рисунках вектор скорости в начальный момент времени показан пунктиром, вектор постоянной силы − сплошной линией). Если возможно, нарисуйте фрагменты траекторий.

§14 Ñëîæåíèå ñèë. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ

6-07

§12

§02

43

На рисунке показаны фрагменты траектории частицы. Известно, что частица движется ускоренно в ситуациях а) и д); замедленно − в ситуациях б) и в); равномерно − в ситуациях г) и е). Покажите, куда направлена мгновенная скорость и куда примерно действует сила в выделенной точке.

Разберем вопрос о движении тела под действием нескольких сил. Многочисленные эксперименты показали, что силы действуют независимо друг от друга. Например, на заряженную массивную частицу действуют и гравитационное, и электрическое поля. Причем, электрическая сила не зависит от того, действует ли на частицу сила тяготения, и, наоборот, сила тяготения не меняется при включении или выключении электрического взаимодействия. Это утверждение получило название принципа независимости действия сил (сокращенно ПНДС).

Пусть на неподвижную частицу массой m подействовала некоторая постоянная сила . В

соответствии со вторым законом Ньютона частица начнет двигаться с ускорением

. Если

на эту же частицу подействовать силой , она будет двигаться с ускорением . С каким

ускорением будет двигаться частица в том случае, если подействуют обе силы одновременно? Ответ на этот вопрос вы найдете в рисунках.

Векторы складываются по правилу

параллелограмма:

О том, как складываются силы, действующие на протяженное тело, мы узнали на занятии физического кружка.

Выполните упражения.

Ñëîæåíèå ñèë. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ §14

§29

3-03

44

§15. Ñèëû â ïðèðîäå

Пакистанскому физику, лауреату Нобелевской премии Абдус Салам принадлежат слова: «Издавна человек стремился познать и понять окружающий его физический мир. На протяжении долгой истории этого познания он всегда верил, что окончательное решение будет законченным и лаконичным в своих исходных принципах. Исследования развивались в двух направлениях: с одной стороны – поиски элементарных составляющих, из которых образовано все вещество, а с другой – разработка идей, которые позволили бы унифицировать наши представления о силах, действующих между этими элементарными составляющими».

А. Салам

(1926–1995)

На каждом шагу мы встречаемся с проявлением сил. Чтобы это проверить, достаточно просто оглядеться. Вот стопка книг, лежащая на столе. Если бы не силы трения, стопка бы наверняка рассыпалась, и книги попадали на пол. Сила трения помогает гвоздю держаться в стене, но она же мешает передвигать мебель. Машина разгоняется благодаря трению, но и останавливается она так же силой трения. Сила тяжести помогает опускать тяжелые грузы, а сила упругости не дает им упасть на землю. Гравитация удерживает планеты в их движении вокруг звезд. Если бы не силы реакции опоры, мы бы провалились сквозь пол; а если бы не сила тяжести, мы бы парили в воздухе. Сила Архимеда уменьшает вес тел в воде, а некоторые тела заставляет всплывать. Вес воздуха заставляет работать вакуумные насосы, а вес воды позволяет сделать на даче душ. Колоссальные энергии освобождаются при химических реакциях, в атомных реакторах, на Солнце – все это происходит благодаря силам, действующим в микромире. Огромную роль в жизни играют электрические и магнитные силы, защищающие Землю от жесткого космического излучения, обеспечивая человека светом и теплом, помогая растениям и животным ориентироваться в пространстве.

Силы, с которыми сталкивается человек в повседневной жизни, многочисленны и разнообразны. Можно ли их «унифицировать», говоря словами Абдуса Салама, т.е. можно ли найти такие элементарные силы, к которым можно было бы свести все остальные? Сила, которая заставляет лететь камень, брошенный мальчишкой, кажется совершенно непохожей на силу, которая не отпускает спутник с орбиты Земли. Эта непохожесть кажущаяся, мы знаем, что это силы «одной природы» − силы тяготения, или гравитационные силы.

Только в XX веке стало ясно, что все многообразие сил можно свести к четырем типам

фундаментальных взаимодействий: гравитационному, электромагнитному, сильному и слабому. Последние два типа действуют только в микромире:

сильное взаимодействие (его образно называют гигантом с короткими руками) отвечает за силы, действующие внутри ядра;

слабое взаимодействие действует на еще меньших расстояниях, и оно слабее сильного примерно в 1010 раз (оно играет важную роль в распадах частиц).

§15 Ñèëû â ïðèðîäå

45

Ядерные силы действительно самые сильные, но слабое взаимодействие незаслуженно получило свое название, ведь гравитационное слабее его примерно в 1018 раз. Правда, гравитационные силы действуют на любом расстоянии − и в микромире, и в макромире. Вторым по силе является электромагнитное взаимодействие – оно слабее сильного примерно в 100 раз. Принято говорить, что у электромагнитного поля, так же как у гравитационного, радиус действия равен бесконечности. Электромагнитные силы также действуют и в микро-, и в макромире. Нетрудно посчитать, во сколько примерно раз электромагнитное взаимодействие сильнее гравитационного – именно поэтому мы без труда можем заставить притягиваться заряженные тела, чего не скажешь об окружающих нас массивных телах.

Подумайте, почему удается притянуть к наэлектризованной палочке маленькие кусочки бумаги, а большие тела остаются лежать на столе.

Сравните силу гравитационного притяжения двух протонов с силой их электрического отталкивания. Для оценочных расчетов можно принять mp ≈ 2 ⋅ 10-27кг, qp ≈ 2 ⋅ 10-19Кл.

Физикам показалось, что и четыре типа взаимодействий – много. Вот уже почти 100 лет физики-теоретики всего мира работают над созданием единых теорий поля. Оказывается, при огромных энергиях и сверхмалых расстояниях интенсивности всех взаимодействий сравниваются. Это позволяет надеяться на суперобъединение. На этом пути уже получены некоторые результаты. Создана теория электрослабого взаимодействия, идет работа над «великим объединением» электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Начаты исследования по объединению всех четырех типов взаимодействий, включая гравитационное.

Какую же природу имеют известные нам силы? Многие силы, которые мы изучали, имеют электромагнитную природу, хотя мы об этом могли и не догадываться. Так, силы трения, силы упругости, силы поверхностного натяжения возникают благодаря взаимодействию частиц вещества – ионов, атомов, молекул.

Ясно, что сила тяжести имеет гравитационную природу, но вот вес тела, который возникает благодаря притяжению к планете, имеет тоже электромагнитную природу. Подумайте, почему. Какую природу имеет сила Архимеда?

§16. Çàêîí Êóëîíà

Французский физик и военный инженер Шарль Огюстен Кулон исследовал кручение волос, шелковых и металлических нитей, для чего он сконструировал крутильные весы. На нижнем конце исследуемой проволоки подвешивалась палочка в горизонтальном положении. При отсутствии деформации проволоки палочка занимает определенное положение – положение равновесия. При небольшом повороте палочки проволока закручивается и оказывает сопротивление дальнейшему вращению. Кулон исследовал, как сила сопротивления закручиванию зависит от веса палочки, ее формы, скорости вращения.

Впоследствии крутильные весы получили достаточно широкое распространение в физических исследованиях. Сам Кулон использовал их для изучения законов взаимодействия полосовых магнитов, электрических зарядов.

Çàêîí Êóëîíà §16

Ш. Кулон(1736–1806)

3-01

46

На нижнем конце проволоки подвешивается магнитная стрелка, которая может свободно колебаться в большом стеклянном цилиндре. Магнитная стрелка стремится принять положение вдоль магнитного меридиана. При помощи головки микрометра, которая находится вверху, добиваются такого положения проволоки, что она не закручена тогда, когда стрелка ориентирована вдоль магнитного меридиана. Сквозь крышку стеклянного цилиндра в него вдвигается полосовой магнит так, что его северный магнитный полюс установился около северного полюса стрелки. Одноименные полюса отталкиваются, и величина силы отталкивания может быть измерена по углу отклонения стрелки. На стеклянном цилиндре были нанесены деления.

Кулон нашел, что сила отталкивания полюсов магнита убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. При двойном расстоянии она уменьшается вчетверо, а при тройном − в девять раз. Сила притяжения между разноименными полюсами магнита подчиняется тому же закону. Таким образом, убывание магнитной силы с расстоянием происходит по тому же закону, как и убывание яркости света, действия теплового излучения, гравитационной силы.

Используйте компьютерный практикум «Взаимодействие зарядов» и предположите характер зависимости силы взаимодействия электрических зарядов от различных параметров.

Кулон модифицировал крутильные весы, которые использовал для изучения взаимодействия магнитных полюсов, и исследовал силы взаимодействия электрических зарядов, что в свою очередь позволило производить электрические измерения более точно. Крутильные весы в этих опытах выглядели так: палочка весов была сделана из изолирующего материала (шеллака) и подвешена на серебряной проволоке, величина сопротивления кручению которой была известна. На одном конце палочки находился бузинный шарик t, на другом для равновесия бумажный кружок g, смоченный скипидаром. Этот кружок в то же время служил для уменьшения колебаний. В отверстие m крышки широкого цилиндра может вставляться другая палочка из шеллака, имеющая на нижнем конце бузинный шарик d такой же велечины, как и шарик t.

При производстве опыта сначала устанавливают горизонтальную палочку так,

§16 Çàêîí Êóëîíà

47

чтобы она указывала на нуль делений круга при отсутствии закручивания проволоки. Затем шарику d сообщают электрический заряд и опускают в цилиндр так, чтобы он коснулся шарика t. В результате оба шарика заряжаются одноименно и начинают отталкиваться друг от друга. Опыты показали, что сила отталкивания двух шариков убывает в том же отношении, в каком возрастает квадрат расстояния. Кулон заметил также, что необходимо следить за тем, чтобы воздух был сухим.

Подумайте, чем может помешать опыту влажный воздух. Воспользуйтесь любым источником информации и узнайте, почему для высушивания воздуха ученый использовал серную кислоту. Как еще можно высушить воздух?

Кулон также показал, что сила взаимодействия зарядов прямо пропорциональна величине каждого заряда. Это сделать было непросто, т.к. сами единицы измерения заряда к этому времени еще не были введены.

Узнайте об истории развития приборов для измерения электрического заряда.

Кулон пользовался приемом деления заряда пополам. Он измерял силу при некотором заряде на шарике, затем приводил заряженный шарик в соприкосновение с таким же незаряженным – заряд распределялся поровну между ними. При уменьшении заряда в 2, 4, 8 и т.д. раз сила взаимодействия уменьшалась соответственно в 2, 4, 8 и т.д. раз.

Закон Кулона записывается таким образом:

или:

где r − расстояние между точечными зарядами, k − коэффициент пропорциональности, который зависит от выбора системы единиц. За единицу электрического заряда в СИ приняли

1 Кл, коэффициент пропорциональности в СИ равен:

Сформулируйте закон Кулона.

Вспомните, в каком случае между точечными зарядами действуют силы отталкивания, а в каком – силы притяжения. Дает ли формула закона Кулона правильные знаки (силу отталкивания принято считать положительной, а силу притяжения – отрицательной)?

Выполните серию экспериментальных заданий.

Выполните упражнения.

Çàêîí Êóëîíà §16

§25

§20

1-05

2-04

3-02

48

§17. Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ

Прибор, аналогичный кулоновским крутильным весам, использовал английский физики и химик Генри Кавендиш. Результаты своих опытов он опубликовал в 1798 году. Благодаря этим опытам впервые удалось «взвесить Землю» и определить ее среднюю плотность, которая оказалось примерно в 5,5 раз больше плотности воды.

Вот краткое описание прибора, сделанное Кавендишем:

Прибор очень прост; он состоит из деревянного коромысла 6 футов длиной, сделанного так, чтобы соединять в себе большую прочность с малым весом. Это коромысло подвешено в горизонтальном положении посредством тонкой проволоки длиной 40 дюймов, и на каждом из его концов висит по свинцовому шарику диаметром около 2 дюймов; все это помещается в узкий деревянный кожух для защиты от ветра.

Поскольку для того, чтобы заставить это коромысло поворачиваться вокруг его центра, необходима сила не большая, чем та, которая требуется для закручивания подвеса, ясно, что если проволока достаточно тонка, то достаточно малейшей силы, такой, как притяжение свинцового груза диаметром в несколько дюймов, чтобы заметно отклонить коромысло.

Кавендиш поместил прибор в закрытую со всех сторон камеру (см. рис.). Наблюдатель находился вне комнаты и производил наблюдения с помощью зрительных труб, пропущенных сквозь стены камеры. Как вы думаете, для чего были соблюдены эти предосторожности?

Шары m и n, насаженные на горизонтальный прут, весили 729 г каждый, а шары M и N, насаженные на стержень, – по 158 кг. При помощи блока, приводимого в движение извне, можно вращать стержень так, что большие шары приближаются к малым. На некотором расстоянии становятся заметны гравитационные силы, и малые шары притягиваются к большим. В результате серебряная нить, на которой подвешен горизонтальный прут, закручивается. По углу закручивания можно судить о величине силы взаимодействия шаров.

§17 Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ

Г. Кавендиш(1731–1810)

3-01

§16

49

Впрочем, закон взаимодействия массивных тел был открыт не в этих опытах, что существенно отличает его от закона Кулона. Этот закон был сформулирован Ньютоном более чем за 100 лет до работ Кавендиша.

Закон всемирного тяготения можно записать так:

или:

Коэффициент пропорциональности G называется универсальной гравитационной

постоянной. Современное значение (1998 г.)

. В справочниках вы найдете

совсем другое наименование универсальной гравитационной постоянной − .

Докажите, что

Сформулируйте закон всемирного тяготения.

Сравните закон всемирного тяготения и закон Кулона, подумайте, почему в одном случае в формуле стоит знак «−», а в другом – нет.

§18. Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà

Допустим, некоторая частица создает поле (назовем ее «частица-источник», или просто «источник»). Для того чтобы узнать о существовании этого поля и изучать его, в поле надо поместить другую частицу, которую мы называем «частица-пробник» (или пробная частица, пробник). Если источник – магнит, он создает магнитное поле и обнаружить его можно по действию на пробник − магнитную стрелочку. Если источник – электрический заряд, он создает электрическое поле и обнаружить его можно по действию на пробный заряд. Если источник – массивное тело, создается гравитационное поле и обнаружить его можно по действию на пробную массу.

У Ани возник вопрос: откуда частицы знают, какую «работу» им надо выполнять. Откуда одна частица узнает, что ей надо создавать поле, а другая – о том, что она должна его обнаружить и измерить?

Отвечая на этот вопрос, Боря предположил, что частицы отличаются размерами: частица-источник больше частицы-пробника.

Вера не согласна с Борей, потому что все частицы маленькие. Она думает, что источник испускает какие-то лучи, а пробник их поглощает.

Как бы вы ответили на вопрос Ани?

Опыты показывают, что нет одностороннего действия одного тела на другое без обратного действия, что все силы – это силы взаимодействия. Это положение закреплено в третьем законе Ньютона, который упрощенно формулируют так: «сила действия равна силе противодействия».

Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà §18

§16

§20

50

Прочитайте и сделайте поясняющие рисунки к выдержке из книги И. Ньютона «Математические начала натуральной философии», посвященную третьему закону Ньютона.

Проиллюстрируйте третий закон Ньютона опытами по электричеству и магнетизму.

Опыты с гравитационными силами провести сложнее, потому что они очень слабые. Мы без труда замечаем силу, действующую со стороны Земли на падающее яблоко, но заметить воздействие яблока на Землю нам вряд ли удастся. Зато есть возможность наблюдать за космическими объектами, которые достаточно массивные и силы их взаимодействия существенны.

Вспомните, какие явления подтверждают тот факт, что не только Земля притягивает Луну, но и Луна воздействует на Землю.

У Гали возник вопрос: если Земля и Луна взаимно притягивают друг друга, почему Луна движется вокруг Земли, а не наоборот. Узнайте, как в науке решается эта проблема.

Рассмотрим торможение бруска на поверхности.

Сила тяжести действует на тело со стороны Земли. Вес тела действует на поверхность со стороны тела. Сила реакции опоры, согласно третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению весу тела, она действует на тело со стороны опоры: Силы трения возникают парами, они также равны по третьему закону Ньютона:

Найдите на рисунке силу, которой «осталась без пары». Какая сила «противодействует ей» по третьему закону Ньютона − имеет ту же природу, равна ей по величине, противоположно направлена и приложенная к другому телу?

§19. Íàïðÿæåííîñòü è ïîòåíöèàë

Как правило, к источнику поля никаких специальных требований не предъявляется, чего не скажешь о пробном теле – ведь это своеобразный измерительный прибор.

Во-первых, пробная частица должна быть малой по размерам – так, чтобы можно было измерять поле в малой области пространства (это существенно, потому что поле может существенно меняться при переходе от одной точки к другой).

Во-вторых, как и любой измерительный прибор, пробная частица не должна вносить искажения в измеряемое поле (по крайней мере, такие искажения должны быть сведены к минимуму).

Теперь нам предстоит выяснить, какие же величины помогут охарактеризовать поле. Мы введем две характеристики – силовую и энергетическую. Силовая характеристика получила название напряженности, а энергетическая – потенциала. Поскольку сила – величина векторная, то и напряженность − вектор. Потенциал, так же как и потенциальная энергия, является скалярной величиной.

§19 Íàïðÿæåííîñòü è ïîòåíöèàë

1-04

2-04

51

Пусть электрическое поле создается положительным точечным зарядом q. Представим себе, что в нашем распоряжении имеется прибор, который измеряет силу, действующую на пробную заряженную частицу qпр. Помещая этот прибор в разные точки поля, мы будем измерять электрическую силу.

Воспользуйтесь схемой и покажите, что сила взаимодействия двух зарядов не может быть выбрана в качестве характеристики поля. Предложите формулу для напряженности электрического поля точечного заряда.

Для введения характеристики поля зависимости 1 и 3 приемлемы: действительно, величина напряженности должна зависеть и от того, какой источник создает поле, и от того, какую точку поля мы рассматриваем. Зависимость же 2 от величины пробного заряда недопустима: характеристика поля не должна зависеть от заряда-пробника. Таким образом, сама сила, действующая на пробный заряд, не может являться характеристикой поля. Такой характеристикой

могло бы быть отношение

, которое не зависит от величины пробного заряда.

Почему к пробному заряду предъявляется требование точечности, понятно. Не совсем понятно, откуда следует требование малости по величине заряда пробной частицы. В законе Кулона есть упоминание о точечности взаимодействующих зарядов, но нигде нет указаний на величины самих зарядов. Обсудите эти вопросы в группе и предложите свой вариант ответа.

Эксперименты показывают, что при малых величинах пробного заряда это отношение не зависит от qпр и тогда, когда источник поля неточечный. Это значит, что для любого

электрического поля можно ввести: . Условились считать вектор напряженности

электрического поля сонаправленным с силой, действующей на положительный пробный заряд.

Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии.

Аналогично силовой характеристике поля вводится и его энергетическая характеристика. Потенциальная энергия положительного пробного заряда (пробной массы) в электрическом (гравитационном) поле прямо пропорциональна величине заряда (массы). Коэффициент пропорциональности назвали потенциалом (ϕ). Сравните две схемы (см. стр. 52):

Íàïðÿæåííîñòü è ïîòåíöèàë §19

§16

§22

52

Линии или поверхности равного потенциала получили название эквипотенциальных.

Определите, в каких единицах измеряется потенциал в СИ:

потенциал гравитационного поля [ϕгр] =

потенциал электрического поля [ϕэл] =

Единица измерения потенциала электрического поля получила название «вольт» – в честь знаменитого итальянского ученого Алессандро Вольта. Дайте определение 1 В.

В физике широко используется и другой способ определения потенциала – через работу, которую совершает поле при перемещении пробного заряда. Попробуем сконструировать это определение. Работа сил поля по перемещению заряда из т. 1 в т. 2 равна: A1→2 = Wп1 − Wп2.

Пользуясь первым определением потенциала, можем записать: Wп1 = qпрϕ1; Wп2 = qпрϕ2. Отсюда: A1→2 = qпр(ϕ1 − ϕ2).

Нетрудно заметить, что у нас пока получилось только определение для разности потенциалов. Эту величину назвали напряжением U = ϕ1 −ϕ2.

Дайте определение напряжения между двумя точками поля.

Как вы думаете, зависит ли работа по перемещению заряда из т.1 в т.2 от траектории? Зависит ли разность потенциалов (напряжение) между двумя точками поля от того, по каким путем перемещали пробный заряд из одной точки в другую?

Прочитайте определение потенциала и объясните, каким образом оно было получено.

Потенциал численно равен работе, которую совершает поле по переносу единичного положительного пробного заряда из данной точки поля в бесконечность (в точку, где поля нет).

Определите знак потенциала по описаниям:

Если силы поля сопротивляются перемещению положительного заряда или массы из бесконечности (где поля нет) в данную точку поля, потенциал в этой точке…

А. Вольта(1745–1827)

§23

§19 Íàïðÿæåííîñòü è ïîòåíöèàë

53

Если силы поля сами стремятся втянуть в поле положительный заряд или массу из бесконечности (где поля нет) в данную точку поля, потенциал в этой точке …

Воспользуйтесь любым из определений потенциала и получите формулы для расчета:

а) потенциала гравитационного поля Земли;

б) потенциала электрического поля положительного точечного заряда +Q;

в) потенциала электрического поля отрицательного точечного заряда –Q;

г) потенциала однородного гравитационного поля с напряженностью g;

д) потенциала однородного электрического поля с напряженностью E.

В каждом случае укажите, где выбран нулевой уровень отсчета потенциала (потенциальной энергии). Изобразите примерный ход графиков зависимости потенциала от расстояния до источника поля.

Получите формулы для расчета напряженности и потенциала: а) электрического поля точечного заряда; б) гравитационного поля массивной точки.

Мы определили потенциал, используя понятие потенциальной энергии. Сравните предложенные определения потенциала. Все ли эти определения эквивалентны? Согласны ли вы с такими формулировками?

§20. Ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ïîëå ìàññèâíîé òî÷êè

Обсудите в группах и ответьте на вопросы:

1. Что является источником гравитационного и электрического поля?

2. Как обнаруживается наличие гравитационного и электрического поля?

3. Почему к пробнику предъявляется требование точечности?

4. Какие еще требования предъявляются к пробнику?

5. Изменится ли сила взаимодействия источника и пробника при перемещении их из одной среды в другую?

Формулируя закон Кулона, большинство учебников проявляют удивительное единодушие: «Сила взаимодействия двух точечных заряженных тел в вакууме прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними».

или:

Казалось бы, аналогичная ситуация должна быть и в случае закона всемирного тяготения, который имеет похожую форму математической записи (без учета знака):

§20

§15

§19

5-02

Ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ïîëå ìàññèâíîé òî÷êè §20

54

или:

Однако разные авторы расходятся в характеристике условий, при которых можно говорить о точном соблюдении этого закона:

1. Размеры обоих тел должны быть пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между телами (требование точечности массивных тел);

2. Тела должны иметь шарообразную форму и быть однородными (иногда требование однородности заменяют требованием сферически симметричного распределения вещества);

3. Одно из тел должно иметь шарообразную форму и быть значительно больше и массивнее второго тела; второе тело может быть любой формы, но должно находиться вблизи поверхности шара.

Предположите, зачем в учебниках вводится третий случай. Прочитайте и оцените обоснование второго случая:

«Одна замечательная особенность этого закона – обратно пропорциональная зависимость силы тяготения от квадрата расстояния позволяет использовать его и в случае сферически симметричного распределения вещества».

Оцените мнения ребят, выскажите аргументы «за» и «против» каждой точки зрения.

Антон считает, что закон всемирного тяготения справедлив только в первом случае, что необходимо добавить условие неподвижности частиц в вакууме.

Борис считает, что закон всемирного тяготения можно формулировать для любых тел, так как коэффициент пропорциональности G очень мал.

Вера утверждает, что закон Кулона также должен допускать аналогичные три случая.

Один точечный заряд закреплен в начале координат, а другой движется к нему из удаленной точки сначала слева, затем справа.

Рассмотрите четыре случая:

1) в начале координат положительный заряд, к которому приближается положительный заряд;

2) в начале координат положительный заряд, к которому приближается отрицательный заряд;

3) в начале координат отрицательный заряд, к которому приближается положительный заряд;

4) в начале координат отрицательный заряд, к которому приближается отрицательный заряд.

§20 Ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ïîëå ìàññèâíîé òî÷êè

55

В соответствии с законом Кулона постройте качественно графики зависимости F(x).Предположите примерный ход графика Wк (x) и постройте Wп (x) в предположении, что полная механическая энергия сохраняется (на бесконечности потенциальную энергию взаимодействия удобно принять за 0).

Найдите на графиках (W, x) зоны отталкивания и притяжения. Сравните их с зонами отталкивания и притяжения на графиках (W, x). При необходимости поупражняйтесь на аналогичных заданиях.

Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов рассчитывают по следующей формуле (принимаем без вывода):

.

Найдем формулу, определяющую силовую характеристику электрического поля − напряженность (q – заряд, создающий поле; qпр – пробный заряд):

Так же как и сила, напряженность − векторная величина. Ее направление совпадает с направлением действия силы на положительный пробный заряд. Напряженность электрического поля измеряется в Н/Кл.

Покажите самостоятельно, что потенциал электрического поля равен: . Потенциал

измеряется в Дж/Кл. Эта единица получила особое название – ее назвали вольтом (именно в этих единицах измеряется напряжение, об этом мы поговорим позднее). Итак,

. Покажите, что

.

Вокруг любого массивного тела создается гравитационное поле, однако закон всемирного тяготения справедлив для точечных масс (для тел, размеры которых можно не учитывать). Приближенно его записывают и для тел шарообразной формы.

Математическая форма записи закона всемирного тяготения и закона Кулона очень похожи.

§10

3-05

Ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ïîëå ìàññèâíîé òî÷êè §20

56

Воспользуйтесь этой аналогией и запишите формулы для напряженности g и потенциала φ гравитационного поля.

Найдем формулы для напряженности и потенциала гравитационного поля Земли. Подставляя в соответствующие уравнения m = Mз, получим (без учета знака):

Из формул (1) и (2) видно, что и силовая, и энергетическая характеристики поля Земли убывают с расстоянием.

Но вот на поверхности Земли (r = Rз) они принимают постоянное значение. Подставим в формулы (1') и (2') значения универсальной гравитационной постоянной, массы и радиуса Земли:

Итак, напряженность гравитационного поля Земли вблизи ее поверхности − это ускорение свободного падения 9,8 м/с2. А что означает число 6,3·107 Дж/кг? Это та энергия, которую надо сообщить телу массой 1 кг, чтобы удалить из поля притяжения Земли.

Узнайте о второй космической скорости; покажите, что она равна .

§20 Ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ïîëå ìàññèâíîé òî÷êè

57

§21. Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå

Две группы учащихся предложили разные задачи про движение электрического заряда в электрическом поле.

Задача группы А. Наэлектризо-ванное перышко массой m = 1 мг несет на себе заряд q = 2 · 10-11 Кл. В тот момент, когда пушинка двигалась вертикально вверх со скоростью υ = 20 см/с, снизу поднесли шарик с зарядом Q = –5 · 10-8 Кл. На какое расстояние от шарика сможет улететь пушинка, и сколько времени она будет удаляться от шарика?

Задача группы Б. В тот момент, когда частица массой m = 10 г с зарядом q = 100 мкКл двигалась горизонтально со скоростью υ = 6 м/с, включили тормозящее электрическое поле с напряженностью E = 200 Н/Кл. Через сколько времени поле начнет ускорять частицу? Какое расстояние по горизонтали пройдет частица за это время?

Наметьте план решения каждой задачи.

Какая из этих задач, на ваш взгляд, ближе по способу решения к задаче из §11: «Теннисный мяч бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какой высоте он окажется через 3 с»?

Рассмотрим задачу, аналогичную той, которую предложила группа А.

Задача. Точечный источник поля с зарядом Q = +100 мкКл и массой M = 1 кг закреплен в начале координат. В начальный момент времени частица с зарядом q = +160 мкКл и массой m = 100 г покоится в точке с координатой 12 м. Частица может свободно перемещаться вдоль оси X, не испытывая сопротивления своему движению. Описать движение частицы.

В чем вы видите основную трудность этой задачи?

Рассчитайте гравитационную силу взаимодействия точек и силу их электрического взаимодействия. Найдите ускорение, с которым начинает движение частица.

В результате расчетов мы пришли к выводу, что гравитационной силой притяжения частиц можно пренебречь по сравнению с их электрическим взаимодействием. Предположим также, что описанный процесс происходит вне поля тяжести Земли или других массивных тел. Итак, будем считать, что частица движется только под действием электрической (кулоновской) силы. Расчеты показывают, что в первый момент времени (t = 0), когда частица находится в точке с координатой 12 м, ее ускорение равно 10 м/с2. При увеличении расстояния в два раза сила уменьшается в четыре раза, ускорение становится равным 2,5 м/с2. При увеличении расстояния в десять раз, ускорение уменьшается до 1 см/с2.

Изобразите графически зависимости (F, x) и (a, x), выбрав удобный масштаб. Найдите графически координату, в которой F = 0,8 Н; ускорение на расстоянии 26 м от начала координат. Покажите графический способ нахождения ускорения a1 в точке, в которой на частицу действует некоторая сила F1.

Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå §21

§11

3-02

58

Ученики работали над проектом «Оценить скорость, с которой надо было запустить снаряд героям Жюля Верна, чтобы он достиг Луны». Познакомьтесь с некоторыми материалами ребят. Знал ли Жюль Верн значение второй космической скорости?

Оценивая скорость снаряда, мы посчитали возможным не учитывать вращение Земли и Луны, рассматривали их как неподвижные планеты. Мы воспользовались приближенными значениями параметров: масса Земли Mз ≈ 100Mл; наименьшее расстояние от Земли до Луны L ≈ 356 000 км; ускорение свободного падения g ≈ 10 м/с2; радиус Земли Rз ≈ 6400 км.

Мы исходили из того, что снаряд надо выпускать тогда, когда расстояние между Землей и Луной наименьшее. Скорость снаряда должна дать ему возможность долететь до точки, где притяжение Земли и Луны сравнивается – в этом случае Луна «захватывает» снаряд и притягивает к себе (см. рис.).

Используя закон всемирного тяготения, можно записать:

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Пусть снаряд стартует с поверхности Земли со скоростью V. Вся его кинетическая энергия пойдет на совершение работы против силы притяжения Земли, и на расстоянии X − Rз от поверхности Земли ракета остановится. Большего запаса кинетической энергии не требуется, т.к. дальше ракету уже притянет к себе Луна.

Согласны ли вы с работой ребят? Устраивает ли вас полученный ответ? Если нет – предложите свое решение.

Прочитайте продолжение отчета учеников и попытайтесь ответить на вопрос, который у них возник.

После получения ответа мы обратились к справочникам. Мы нашли такое определение: «Вторая космическая скорость (скорость освобождения) – наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу для того, чтобы оно смогло покинуть планету. Для Земли вторая космическая скорость примерно равна 11,2 км/с». Полученная нами скорость больше примерно в семь раз! И это притом, что мы учли притяжение Луны! Мы задались вопросом: в чем наша ошибка?

Изобразим график зависимости величины гравитационной силы от расстояния до источника поля.

§21 Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå

§17

59

Заштрихуйте фигуру, площадь которой численно равна работе Aгр 1→2. Покажите фигуру, площадь которой равна Fгр ⋅ (r1 − r2). Объясните, почему Aгр ≠ Fгр ⋅ (r1 − r2).

Методами высшей математики эта площадь была вычислена. В результате получилась следующая формула:

Воспользуйтесь этим результатом и покажите, что потенциальная энергия взаимодействия двух массивных точек равна: . Подумайте, почему она имеет

отрицательное значение. Где потенциальная энергия взаимодействия будет равна нулю? Постройте качественно графики потенциальной, кинетической и полной энергии для снаряда Жюля Верна (можете упростить задачу и считать, что снаряд находился только в гравитационном поле Земли). Докажите, что вторая космическая скорость для планеты равна .

Положительный заряд Q закреплен в начале координат. В созданном им электрическом поле из точки 1 в точку 2 перемещается: а) положительный пробный заряд q; б) отрицательный пробный заряд q. Найдите работу, которую совершает электрическая сила в обоих случаях. Постройте примерный график (F, r), покажите на нем работу Aэл1→2. Запишите формулу для потенциальной энергии заряда в электрическом поле.

Воспользуйтесь аналогией между гравитационным и электрическим полями и напишите формулы: а) для потенциальной энергии массивной точки m, которая вдали от источников электрических полей попала в однородное гравитационное поле напряженностью g; б) для потенциальной энергии точечного заряда q, который вдали от источников гравитации попал в однородное электрическое поле напряженностью E. На рисунках показан нулевой уровень отсчета потенциальной энергии.

Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå §21

§08

60

Предположите вид траектории частицы при движении в разных полях.

Запишите формулы-помощники и решите задачи:

1. В удаленной точке от источника электрического поля частица с зарядом –4 мкКл и массой 2 г имела скорость 10 м/с. Найти знак и величину заряда источника поля, если известно, что частица остановилась на расстоянии 5 м. Построить графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергии частицы от расстояния до источника.

2. Маленький шарик массой m = 1 г, которому сообщили заряд q1 = 0,15 мкКл, брошен издалека со скоростью υ = 1 м/с в сферу, заряженную зарядом q2 = 0,3 мкКл. При каком минимальном значении радиуса сферы шарик достигнет ее поверхности?

3. Найти вторую космическую скорость для Луны.

4. Электрон движется по направлению силовых линий однородного поля, напряженность которого E = 120 Н/Кл. Какое расстояние он пролетит до полной остановки, если его начальная скорость υ = 1 Мм/с? Сколько времени электрон будет двигаться до остановки?

5. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью υ. Пользуясь законом сохранения механической энергии, определить скорость тела на высоте h над горизонтом.

6. Решить предыдущую задачу для планеты радиусом R, на которой вторая космическая скорость равна V.

7. Заряды 0,15 мкКл и 3,0 нКл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Какова потенциальная энергия этой системы? Какую работу совершат силы поля, если второй заряд, отталкиваясь от первого, удалится от него на расстояние 10 м?

8. Электрон, летевший горизонтально со скоростью υ0 = 16 Мм/с, попал в однородное электрическое поле с напряженностью E = 90 Н/Кл, направленное вертикально вверх. Какова будет скорость электрона через время t = 1 нс?

9. Частица массой m = 10 г и зарядом q = 1 мкКл оторвалась от поверхности шара радиусом R = 100 м с зарядом Q = 20 мкКл и массой М = 5 ⋅ 1011 кг. Оцените скорость частицы на бесконечном удалении от шара.

§21 Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå

4-01

4-02

61

§22. Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü ïîëå (ñèëîâûå ëèíèè)

Наличие магнитного поля обнаруживается по действию на магнитную стрелку. Компас – одно из древнейших изобретений человечества – показывает направление магнитного поля Земли в данной точке. Если бы мы могли равномерно по всей поверхности нашей планеты расположить магнитные стрелки, мы бы увидели картину земного магнетизма.

Довольно просто увидеть картину магнитного поля с помощью железных опилок. Для этого рассыпьте на листе бумаги опилки, а снизу поместите магнит; слегка постукивая по бумаге, вы увидите, как образуются четкие «картинки».

Рассыпать железные опилки вблизи магнита – это все равно, что разбросать множество маленьких компасов. Мельчайшие кусочки железа намагничиваются и ориентируются определенным образом.

На двух шуточных фотографиях видно, как, подобно магнитам, ведут себя утки в отсутствие «поля» (фото с сайта http://www.sweden4rus.nu/) и в тот момент, когда «поле» включают (фото М.А. Малинина):

Итак, пробником магнитного поля может выступать небольшая магнитная стрелочка. Поле действует на нее ориентирующим образом, заставляя поворачиваться и устанавливаться вдоль

Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü ïîëå (ñèëîâûå ëèíèè) §22

62

каких-то линий. Эти линии получили название силовых линий или линий напряженности поля (вспомним, что напряженность поля – это силовая характеристика). Силовые линии – воображаемые, их рисуют для получения картины поля.

Прочитайте и сравните два определения силовых линий:

Силовые линии соответствуют пути, вдоль которого должен был бы двигаться точечный заряд (масса), лишенный инерции.

Направление силовых линий в каждой точке совпадает с направлением напряженности поля в этой точке.

Полезно запомнить правила изображения силовых линий:

силовые линии никогда не пересекаются (подумайте, почему)

густота силовых линий показывает величину поля в данной области. На рисунках показаны для сравнения

две картины полей: на верхнем рисунке два магнита, обращенные друг к другу разноименными полюсами, а на нижнем – два разноименных электрических заряда. По существу, картины не отличимы друг от друга. Силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Силовые линии магнитного поля начинаются на северном полюсе и заканчиваются на южном.

Нарисуйте картину силовых линий в случае удаления друг от друга на большое расстояние положительного и отрицательного зарядов.

Иную картину мы будем наблюдать в случае

магнитного поля. Если, например, попытаться распилить магнит пополам и развести половинки, картина поля практически не изменится. Мы знаем, что разделить магнитные полюса не удается – распилив один полосовой магнит на две половинки, мы получим два магнита. Это привело к выводу, что в природе не существует магнитных зарядов.

Узнайте об опытах Эрстеда и повторите их. Получите и изобразите магнитные поля с помощью проводников с током, катушек с током.

С помощью разных источников информации ответьте на вопросы и выполните задания:

- как вводится силовая характеристика магнитного поля (напряженность или магнитная индукция)?

- как определить направление силовых линий магнитного поля?

- запишите правило буравчика (правило правой руки)

- придумайте задачи на применение правила буравчика.

§22 Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü ïîëå (ñèëîâûå ëèíèè)

63

§23. Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü ïîëå (ýêâèïîòåíöèàëû)

Мы умеем изображать поле с помощью силовых линий (линий напряженности). Силовые линии позволяют определить, куда направлена напряженность поля в различных точках поля, качественно оценить изменение напряженности поля (густота силовых линий указывает на величину напряженности поля). Силовые линии не существуют в действительности, они используются как удобная модель, которая позволяет судить о силовых характеристиках поля в разных точках.

Сформулируем несколько вопросов в связи с появлением новой (энергетической) характеристики поля – потенциала:

Как изображать поле, чтобы можно было судить о потенциале в разных точках?

Какие выводы можно будет делать с помощью этого изображения (для чего оно может пригодиться)?

Как будут соотноситься между собой две картины – линий напряженности и линий потенциала?

Начнем с последнего вопроса и рассмотрим одно из известных нам полей – поле точки (см. рис. – определите по нему, что представляет собой источник этого поля).

Пробная частица, попавшая в это поле, может двигаться самым произвольным образом, но в любой точке мы сможем показать направление действующей на нее силы.

Покажите силы, действующие на положительный

пробный заряд, помещенный в т. А и в т. В. Покажите направление движения этого заряда, если первоначально он покоился в т. А.

Каждой точке пространства, которое окружает данный источник поля, мы можем приписать число, характеризующее потенциал поля в этой точке.

Воспользуйтесь известной формулой для потенциала поля точечного заряда и определите, что происходит с потенциалом при перемещении вдоль силовой линии, в других направлениях. Подумайте самостоятельно или обсудите в группе, как можно с помощью потенциала судить о возможном перемещении пробного заряда?

В результате обсуждения этого вопроса ученики пришли к выводу, что поле стремится двигать положительный пробный заряд в направлении уменьшения потенциала, а отрицательный – в направлении увеличения потенциала. Согласны ли вы с этим утверждением?

При рассмотрении движения тела мы рассуждали так:

1. Если на тело не действуют силы, оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения (закон инерции Галилея, который иногда также называют первым законом Ньютона).

Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü ïîëå (ýêâèïîòåíöèàëû) §23

§22

§01

64

2. Если на тело действуют силы, оно движется ускоренно; по второму закону Ньютона

можно рассчитать его ускорение: .

При этом на тело действовало небольшое количество известных нам сил (сила тяжести, сила Кулона, сила трения и т.п.). К ситуациям, которые предлагаются ниже, такой подход неприменим, и количественно их описать очень сложно. Попробуем сделать это на качественном уровне.

Вещества, по которым электрические заряды могут легко перемещаться, называют проводниками. Вещества, которые этим свойством не обладают, называются изоляторами (или диэлектриками). Воспользуйтесь доступными вам источниками информации и запишите примеры проводников и изоляторов.

Проверьте, какие окружающие вас предметы являются проводниками, а какие – изоляторами?

Рассмотрим поле, созданное точечным электрическим зарядом, помещенным в непроводящую среду. В поле поместили кусочки алюминиевой проволоки. В металлах имеются свободные электроны, которые в отсутствии электрического поля движутся хаотически.

Расскажите и покажите на рисунке, как поведут себя свободные электроны в этих кусочках проволоки.

Подумайте, повлияют ли кусочки проволоки на характер силовых линий.

§23 Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü ïîëå (ýêâèïîòåíöèàëû)

§14

65

Итак, поле стремится перемещать отрицательные электрические заряды в направлении возрастания потенциала. Если бы положительные заряды в проводнике могли перемещаться, они стремились бы двигаться в направлении убывания потенциала.

Согласуются ли эти утверждения с силовым подходом (с точки зрения напряженности)? Что происходит с потенциалом при движении вдоль силовой линии? против силовой линии? перпендикулярно силовой линии?

Воспользуйтесь источниками информации и напишите конспект, в котором отразите следующие вопросы:

поведение проводника в электрическом поле

покажите с помощью силовых линий искажение электрического поля при помещении в него проводника

поведение полярных и неполярных диэлектриков в электрическом поле

конденсатор, емкость конденсатора

как устроены плоский и сферических конденсаторы

какую энергию накапливает конденсатор.

Ìîæíî ëè íàðèñîâàòü ïîëå (ýêâèïîòåíöèàëû) §23

66

§24. Òîê æèäêîñòè è ýëåêòðè÷åñêèé òîê

Ток − теча, поток; жидкость, текущая струей, руслом, стрежнем, все что льется, бежит и течет, разливаясь. Ток вод с Урала на восток, на запад. Проливать токи слез. Ток лавы. Ток расплавленного чугуна. Ток ветров. Ток электричества, гальванизма, движение его по проводнику.

(В. Даль. Толковый словарь живого великорусского языка)

Электрическим током называют упорядоченное движение электрических зарядов. Узнайте о других представлениях, которые существовали в истории науки.

Мы все знаем, какую роль играет электрический ток в нашей жизни.

Воспользуйтесь разными источниками информации и узнайте об истории открытия электрического тока. Запишите в таблицу устройства, имеющиеся у вас дома, в которых используется электрический ток. Обсудите свои результаты в группе или классе, в спорных случаях проконсультируйтесь со взрослыми и составьте общую таблицу.

Устройства, работающие на постоянном токе (от батарейки, аккумулятора, выпрямителя)

Устройства, работающие на переменном токе (подсоединяются непосредственно к розетке)

Отметим одно важно отличие: постоянный электрический ток имеет все время какое-то одно направление, переменный же ток меняет свое направление (например, в домашней сети за одну секунду направление тока меняется 100 раз). Постоянный электрический ток по многим признакам схож с током воды по трубам, чего нельзя сказать о переменном электрическом токе. В 8 классе мы изучаем только постоянный электрический ток.

Попробуйте создать переменный ток воды в трубке.

В нашем классе мы наметили план изучения постоянного электрического тока (какие-то вопросы мы изучали в 6 классе, их надо повторить и расширить материал):

как создать электрический ток (источники электрического тока)

где можно поддерживать электрический ток (проводники и изоляторы)

как управлять электрическим током (характеристики тока)

что может делать электрический ток (практические применения).

Поскольку электрическое и гравитационное поля очень схожи между собой, мы можем параллельно рассматривать эти вопросы и для тока электрического и для тока жидкости. Мы решили, что логично начать с тока жидкости: в отличие от электрического тока он видимый, его легко создать и изучать.

§24 Òîê æèäêîñòè è ýëåêòðè÷åñêèé òîê

1-06

1-07

5-02

§23

§25

67

Заполните таблицу:

Что заставляет воду течь?

Где течет вода?

Характеристики тока воды

Применения тока воды

Как же создать электрический ток? В чем причина течения рек? Реки текут с возвышенностей к низинам вследствие притяжения к Земле.

Узнайте о самой быстрой и самой медленной реке. Почему в озерах и прудах вода стоит, и в безветренную погоду никаких течений не заметно? Можно ли заставить реки течь вспять?

Проверьте, зависит ли скорость течения воды от перепада высот. Для экспериментов воспользуйтесь желобом или трубой. Предложите способ оценки скорости воды.

Воспользуйтесь законом сохранения энергии и оцените скорость воды у подножия самого высокого водопада в мире – Анхель в Южной Америке, – в котором вода свободно падает с высоты 978 м (данные с сайта http://vodopad.nm.ru/). Если предположить, что вся энергия падающей воды превращается в ее внутреннюю энергию, на сколько градусов должна быть теплее вода у подножия водопада, чем на его вершине?

Ток воды создает гравитационное поле, ток электричества создает поле электрическое. Источником гравитационного поля является Земля (хотя любое массивное тело создает свое гравитационное поле, но оно очень слабое по сравнению с полем Земли). Источником электрического поля является электрический заряд, и с помощью обычной батарейки, дающей напряжение всего в несколько вольт, мы без труда можем заставить двигаться электрический заряд.

Вспомните и проделайте некоторые простейшие опыты по электричеству:

1. Изготовьте простейшие электроскопы и/или электрометры. С помощью самодельных приборов и приборов, имеющихся в физической лаборатории, проведите опыты по разделению зарядов трением и через влияние (индукция). Используя разные способы, определите знаки заряженных тел.

2. Используя заряженные тела, получите кратковременный ток и определите направление движения зарядов.

3. Изготовьте и испытайте простейшие источники постоянного тока.

Мы задались вопросом: что нужно сделать для того, чтобы поддерживать электрический ток длительное время. Богдан предложил конструкцию двигателя (см. рис.), в которой вода из верхнего сосуда вытекала в нижний, вращала колесо, а затем возвращалась в верхний сосуд. но это длилось недолго.

Òîê æèäêîñòè è ýëåêòðè÷åñêèé òîê §24

2-04

68

С другой конструкцией (см. рис.) можно познакомиться в исследовательской лаборатории «Вечный двигатель».

Как обосновать невозможность таких «вечных» двигателей? В чем ошиблись его конструкторы?

Заполните пропуски и получите доказательство важного свойства консервативных сил (гравитационных и электрических): их работа по замкнутому пути равна нулю.

Определения.

1. Силовым полем называется часть пространства, в каждой точке которого на пробную частицу действует сила.

2. Если сила, действующая на пробную частицу, не зависит от времени, а зависит только от координат, такое силовое поле называется стационарным (от лат. stationarius – неподвижный).

3. Если сила, действующая на пробную частицу, зависит от времени, то поле называется нестационарным.

4. Если сила, действующая на пробную частицу, не зависит от координаты, такое силовое поле называется однородным.

5. Если работа сил поля, действующих на частицу при ее перемещении, не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положениями частицы, такое поле называется потенциальным, или консервативным.

6. Неконсервативным (непотенциальным) полем называется …

Следствие. В консервативном силовом поле работа по замкнутому пути равна нулю.

Доказательство.

Из определения №___ следует, что: , где a и b – две произвольные

траектории, по которым перемещают пробный заряд из т. 1 в т. 2.

Если перемещать пробную частицу из т. 2 в т. 1, изменится только знак работы:

Работа по замкнутому пути равна: …

§24 Òîê æèäêîñòè è ýëåêòðè÷åñêèé òîê

69

Проведя рассуждения в обратном порядке, можно доказать, что из того факта, что работа сил по замкнутому пути равна нулю, следует независимость работы сил от траектории (формы пути). Поэтому можно дать и другое определение консервативного (потенциального) силового поля ...

Изучите таблицу с доказательством консервативности гравитационного и электрического полей (для частного случая однородного поля). Выполните задания.

Гравитационное поле Электрическое поле

Показана сила, действующая на пробную ча-

стицу: .

Покажите пунктиром силовые линии поля.

Пунктиром показаны силовые линии поля.

Покажите силу, действующую на пробную частицу: ...

Найдем работу сил поля по перемещению проб-ной массы по замкнутому пути 1→3→2→1.

(1)

(2)

A1321 = A13 + A32 + A21 = ...

Покажите, что работа по перемещению проб-ной массы из т. 2 в т. 1 не зависит от формы пути (т.е. ).

Найдем работу сил поля по перемещению пробного заряда qпр из т. 1 в т. 2 по разным траекториям:

(1) (2)

Докажите равенство работ, вычисленных по формулам (1) и (2) .

Найдите работу электрических сил по пе-ремещению пробного заряда из т. 2 в т. 3 и из т. 3 в т. 1. Найдите работу по замкну-тому пути: 1→2→3→1.

Рассчитаем работу силы тяжести:

Aс. тяж 1→2 = −mgΔh, где Δh = S23.

Теперь, когда мы показали, что работа потен-циальных (консервативных) сил не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением пробной частицы в силовом поле, стало яснее, почему для таких сил (полей) можно ввести понятие потенци-альной энергии.

Aс. тяж 1→2 = −mg(h2 − h1) = mgh1 − mgh2 =

=Wп1 − Wп2, где Wп = mgh.

Рассчитаем работу электрической силы:

Aэл.силы 1→2 = qEΔd, где Δd = S23.

Продолжите вывод.

Попробуйте решить более сложную задачу: докажите, что работа по сложной траектории (b) такая же, как по прямой (a). Указание. Представьте сложную кривую в виде маленьких «ступенек» (последовательности горизонтальных и вертикальных отрезков).

Òîê æèäêîñòè è ýëåêòðè÷åñêèé òîê §24

70

§25. Õàðàêòåðèñòèêè è ïðèìåíåíèÿ òîêà

Электрический ток во многом подобен току жидкости, который более наглядный и доступен экспериментальном исследованию.

Возьмем трубу с переменным поперечным сечением (см. рис.). Заполним ее водой, а затем начнем опускать поршень. При этом по трубе начнет перемещаться вода. Поскольку мы считаем воду несжимаемой, через любое сечение пройдет одинаковая масса воды Δm. Если сделать ток равномерным (т.е. вдвигать поршень равномерно), то масса воды, проходящая через любое сечение, будет прямо пропорциональна времени наблюдения. Следовательно, коэффициент пропорциональности (или отношение Δm/Δt) будет характеризовать ток жидкости.

Аналогично обстоит дело и с электрическим током. Если через любое поперечное сечение проводника проходит заряд Δq, величина которого пропорциональна времени наблюдения Δt, такой ток называется постоянным и характеризуется силой тока:

Единица силы тока в СИ названа ампером − в честь французского физика, математика и химика Андре Мари Ампера. Если в проводнике создан постоянный ток силой 1А, через поперечное сечение за каждую секунду проходит 1 Кл электричества: 1 Кл = 1 А · 1 с.

Исторически сложилось так, что, хотя по металлическому проводнику движутся отрицательные заряды (электроны), за направление тока приняли движение положительных зарядов.

В 1826 году немецкий физик Георг Ом экспериментально открыл основной закон электрической цепи, в котором связал основные макропараметры − силу тока (I) и напряжение (U): в металлическом проводнике I ∼ U.

Коэффициент пропорциональности характеризует проводник и называется проводимостью, а обратная величина – сопротивлением R. [R] = [1 В/1 А = 1 Ом]. Обычно закон Ома записывают в таком виде:

Дайте определение 1 ома.

Постройте график зависимости силы тока от напряжения в металлическом проводнике. Постройте аналогичный график для проводника, у которого сопротивление а) в 2 раза больше первоначального; б) в три раза меньше первоначального.

Сопротивление проводника тем больше, чем длиннее проводник и чем меньше площадь его поперечного сечения. Как вы думаете, можно ли провести такую же аналогию с трубой, по которой течет вода?

Рассмотрим параллельное и последовательное соединения проводников. В этом нам также поможет гидродинамическая аналогия (аналогия с током жидкости).

§25 Õàðàêòåðèñòèêè è ïðèìåíåíèÿ òîêà

А. Ампер(1775–1836)

Г. Ом(1787–1854)

§36

4-08

71

Дополните схемы и получите формулы, показывающие распределение токов и напряжений при последовательном и параллельном соединении проводников. Выведите правила расчета эквивалентных сопротивлений при этих соединениях.

Получите формулы для расчета эквивалентных сопротивлений для следующих частных случаев: 1) два сопротивления R1 и R2 соединены параллельно; 2) n одинаковых сопротивлений R соединены последовательно; 3) n одинаковых сопротивлений R соединены параллельно.

Найдите распределение токов и напряжений для соединения, показанного на рисунке, если известно, что на схему подано напряжение 20 В.

Решите еще задачи на последовательное и параллельное соединения проводников.

Поговорим о работе, которую может совершить электрический ток. Вновь воспользуемся аналогией с водным потоком (дальнейшие рассуждения снабдите, где возможно, рисунками).

Допустим, водный поток некоторой величины X может привести в действие одну мельницу. Логично предположить, что вдвое больший поток приведет в движение две мельницы, вчетверо больший – четыре. При этом перепад воды H может оставаться неизменным. Итак, мощность воды пропорциональна водяному потоку.

Что вы можете сказать о мощности электрического тока, пользуясь этой аналогией? Изобразите другие способы увеличения мощности водяного потока и, соответственно, мощности электрического тока. Покажите, что можно потоком 2X и вдвое меньшим перепадом H/2 добиться работы четырех мельниц.

Õàðàêòåðèñòèêè è ïðèìåíåíèÿ òîêà §25

4-09

72

Пользуясь указанной аналогией, можно предположить, что мощность электрического тока P = IU, работа тока A = IUt. Покажем это более строго.

Работа тока по переносу электрического заряда q по проводнику равна: A = qU (это следует из определения разности потенциалов или напряжения). Заряд связан с силой тока известным соотношением: q = It. Следовательно, A = IUt. Так как мощность P = U/I, получим искомую формулу для мощности.

Если ток идет по металлическому проводнику, мы можем воспользоваться законом Ома для однородного участка цепи и получить еще две формулы для работы (мощности) тока: A = I2Rt,

P = I2R, .

Выведите эти формулы самостоятельно. Какие формулы носят более общий характер, а какие могут применяться в частных случаях (каких)? Как зависит работа тока от сопротивления проводника?

При ответе на последний вопрос возникает странная ситуация: по одной формуле работа тока никак не зависит от сопротивления, по другой – зависимость прямая пропорциональная, по третьей – обратно пропорциональная! Значит ли это, что какая-то из формул неверна? Если для данного участка цепи справедлив закон Ома, можно пользоваться любой из трех формул для работы (мощности) тока. Однако считается, что какая-то одна формула удобнее при анализе последовательного соединения, какая-то – при анализе параллельного соединения.

Подумайте, какую формулу для каких расчетов удобнее использовать.

Потенциальная энергия падающей воды уменьшается. Изменение потенциальной энергии равно работе A = −ΔW. Как сделать, так, чтобы эту энергию можно было использовать? Один из способов − с помощью гидротурбины. Если вода будет падать на лопатки турбины, то они будут вращаться. Давайте представим, что к турбине мы присоединили мельницу. Работа этой мельницы состоит в том, чтобы перемалывать зерно.

Как вы думаете, от чего зависит, сколько зёрен перемелется?

Очевидно, совершённая работа зависит от времени Δt, от разности высот Δh, от массы воды. Вспомним формулу для работы силы тяжести A = mgΔh.

Почему в эту формулу не входит время? Превращения каких видов энергии происходят при работе кофемолки? Заполните таблицу: какой вид энергии в какой превращается в следующих случаях. Придумайте свои примеры.

№ Энергияпервоначальная

Энергиятрансформированная

1 Водяная мельница2 Ветряная мельница3 Электрокофемолка, электромиксер4 Электроутюг, электроплитка

При переходе энергии из одного вида в другой неизбежны потери энергии. Поэтому вводят понятие коэффициента полезного действия. По определению это отношение полезной энергии к затраченной. Его можно выражать в долях затраченной энергии, а можно в процентах.

§25 Õàðàêòåðèñòèêè è ïðèìåíåíèÿ òîêà

4-10

2-03

73

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ

§26. Ìîæíî ëè âûèãðàòü â ðàáîòå

Группа Ани решила, что к закону сохранения энергии имеет отношение «золотое правило» механики, которое мы открыли при изучении простых механизмов в 7 классе. Напомним, в чем оно состоит: выигрыш в силе равен проигрышу в расстоянии. Иногда это правило еще называют законом сохранения работы и не случайно. Механическую работу мы определили как произведение силы на пройденный путь: A = F · S. Единицей работы в СИ выбран 1 Дж.

Объясните смысл записи: 1 Дж = 1 Н · 1 м.

Допустим, мы хотим поднять груз весом 30 Н (массой примерно 3 кг). В нашем распоряжении имеются следующие простые механизмы:

а) неподвижный блок, который не дает выигрыш в силе;

б) подвижный блок, который позволяет в 2 раза выиграть в силе;

в) рычаг, который дает выигрыш в силе в 3 раза.

Начнем с простой задачи – попробуем удержать с помощью этих механизмов груз в воздухе на высоте 50 см от пола.

Какую силу для этого необходимо приложить к грузу при использовании перечисленных выше простых механизмов? Какую работу совершит приложенная сила во всех трех случаях?

Теперь усложним задачу: поднимем наш груз на высоту 150 см от пола. Пройденный путь S = 1 м. Найдем работу, которую необходимо совершить для подъема тела с помощью наших простых механизмов:

а) A1 = 30 Н · 1 м = 30 Дж; б) А2 = 15 Н · 1 м = 15 Дж; в) А3 = 10 Н · 1 м = 10 Дж.

Итак, мы получили, что выигрыш в силе приводит к такому же выигрышу в работе (для поднятия груза во втором случае потребовалось не 30 Дж, а всего 15 Дж, а в третьем – 10 Дж). Если опираться на «золотое правило» механики, мы должны были бы получить совсем другой результат: A1 = A2 = A3 = 30 Н · 1 м = 15 Н · 2 м = 10 Н · 3 м = 30 Дж.

Воспользуйтесь рисунком и найдите ошибку в наших рассуждениях. Докажите, что выигрыш в работе противоречит закону сохранения энергии. Случай в) с рычагом проиллюстрируйте сами. Опираясь на наши ошибочные расчеты, предложите конструкцию вечного двигателя.

Ìîæíî ëè âûèãðàòü â ðàáîòå §26

74

§27. Ìîãóò ëè ïðîñòûå ìåõàíèçìû ïîâûñèòü ÊÏÄ

Группа Бориса предложила проанализировать и опровергнуть приведенные ниже расчеты. Ошибочность расчетов очевидна, так как ребята получили бесконечный рост коэффициента полезного действия (КПД) механизма.

Для подъема грузов используем одинаковые бензиновые моторчики. Каждый моторчик может поднять только 50 г. Решим несколько расчетных задач.

1. Один моторчик для подъема груза массой m = 50 г на высоту h = 20 м расходует 1 мг бензина. При сгорании этого количества бензина выделяется примерно 10 кал энергии. При поднятии груза на данную высоту совершается полезная работа 50 Г · 20 м = 1000 Г·м. Для удобства дальнейших расчетов учтем, что 1 кал ≈ 400 Г·м. Таким образом, при затратах Qзатр ≈ 10 кал полезная работа составляет лишь Aпол ≈ 2,5 кал, т.е. КПД примерно равен 25%.

2. Для того чтобы поднять на ту же высоту удвоенную массу, равную 100 г, использовали два моторчика. Два моторчика, естественно, сожгли вдвое больше бензина, затратив 20 кал энергии. При этом была совершена полезная работа, равная 2 · 50 Г · 20 м = 2000 Г·м ≈ 5 кал.

Найдем КПД:

3. Изменим способ решения предыдущей задачи. Вместо второго моторчика используем подвижный блок, который, как известно, позволяет выиграть в силе в 2 раза. Таким образом, моторчик, рассчитанный на подъем только 50 г, сможет поднять груз 100 г. Теперь:

Апол = 100 Г · 20 м = 2000 Г·м ≈ 5 кал.Qзатр ≈ 10 кал, так как работал только один моторчик.

Эти и другие решенные задачи представлены в таблице:Опыт№ Действие Механизм Затраченная

энергия Полезная работа КПД

1 50 г ↑ на 20 м Неподвижный блок 10 кал 1000 Г·м ≈ 2,5 кал 25 %2 100 г ↑ на 20 м Два моторчика 20 кал 2000 Г·м ≈ 5 кал 25 %3 100 г ↑ на 20 м 1 подвижный блок 10 кал 2000 Г·м ≈ 5 кал 50 %4 200 г ↑ на 20 м 2 подвижных блока 10 кал 4000 Г·м ≈ 10 кал 100 %5 300 г ↑ на 20 м 3 подвижных блока 10 кал 6000 Г·м ≈ 15 кал 150 %6 400 г ↑ на 20 м 3 подвижных блока 10 кал 8000 Г·м ≈ 20 кал 200 %Мы получили результат, который противоречит закону сохранения энергии: увеличивая

количество блоков, можно неограниченно увеличивать КПД!

В какой строчке допущена первая ошибка и в чем она состоит? Нарисуйте конструкции для трех подвижных блоков, в которых выигрыш в силе равен: а) 6 (опыт №5); б) 8 (опыт №6). Предложите и испытайте аналогичные конструкции для двух подвижных блоков и найдите выигрыш в силе, который дает каждая конструкция.

§27 Ìîãóò ëè ïðîñòûå ìåõàíèçìû ïîâûñèòü ÊÏÄ

75

§28. Êàê ïîêàçàòü ïðîèãðûø â ðàññòîÿíèè

Группа Веры решила продемонстрировать, что встречаются случаи, когда непросто показать проигрыш в расстоянии для простого механизма.

1. На рисунке показан гидравлический пресс. Так же как на рычаге, на прессе можно уравновесить легкий и тяжелый грузы. Для объяснения выигрыша в силе воспользуемся законом Паскаля: внешнее давление передается без изменения в каждую точку жидкости.

Докажите, что выигрыш в силе определяется отношением площадей поршней: .

Объясните по рисунку, как показать проигрыш в расстоянии. Докажите (без опоры на «золотое правило» механики), что проигрыш в расстоянии равен выигрышу в силе.

2. Наклонная плоскость – тоже простой механизм, позволяющий выиграть в силе.

Найдите выигрыш в силе, проигрыш в расстоянии, КПД наклонной плоскости. Необходимые данные найдите на рисунке. Объясните, почему нет равенства работ. В каком случае работа будет сохраняться?

3. Если пренебречь трением, работа на рычаге сохраняется, выигрыш в силе в точности равен проигрышу в расстоянии.

Найдите, какой выигрыш в силе получается в двух изображенных на рисунках случаях. Покажите на рисунках проигрыш в расстоянии.

Êàê ïîêàçàòü ïðîèãðûø â ðàññòîÿíèè §28

76

§29. Óòî÷íÿåì ïðàâèëî ìîìåíòîâ

Для того чтобы удерживать тело в равновесии, не нужны никакие механизмы. Груз можно подвесить на прочной нити или стержне, можно подпереть снизу. Обычная комнатная люстра висит, прикрепленная к потолку, на это не затрачивается энергия. А вот, например, в Мариинском театре (в городе Санкт-Петербурге) до недавнего времени большую люстру ежегодно приходилось опускать с помощью достаточно специального механизма. А в старину, когда в театральных люстрах горели свечи, их приходилось опускать ежедневно и не по одному разу. Конечно, для этого использовались довольно сложные «простые» механизмы.

Теорию простых механизмов начали разрабатывать еще древние ученые. Первое достаточно полное сочинение – «Механика» Герона Александрийского – было написано в I в. н. э. Вот как Герон формулирует основной закон работы простых механизмов: «Если при пользовании машиной требуется увеличение силы, то в результате происходит замедление, ибо чем менее движущая сила по отношению к движимой тяжести, тем больше потребуется и времени; таким образом, сила к силе и время ко времени находятся в том же самом обратном отношении». Имеет ли этот закон отношение к «золотому правилу» механики?

Воспользуйтесь рисунками и поясните, в чем состоит «золотое правило» механики.

Решите задачу. С помощью комбинации простых механизмов два рабочих, надавливая на полуметровую рукоятку ворота, могут поднять театральную люстру массой 2,5 т. Какую примерно силу развивает каждая рука при этом, если для поднятия люстры на высоту 18 м приходится сделать 150 оборотов?

§29 Óòî÷íÿåì ïðàâèëî ìîìåíòîâ

77

«Золотое правило» механики позволяет найти условия равновесия твердого тела. Для простого рычага мы нашли экспериментальным путем, что отношение грузов должно быть обратно пропорционально отношению плеч. Иногда мы его формулировали так: момент силы, вращающий по часовой стрелке, должен быть равен моменту силы, вращающему рычаг против часовой стрелки. Моментом мы называли произведение силы на плечо: M = F · d.

Проведем серию экспериментов (см. рис.)

Что же происходит? Точки приложения сил – веса груза и силы упругости пружины – расположены на одинаковом расстоянии от оси вращения. Должны были бы сохраняться показания динамометра, но этого не происходит. Дело в том, что теперь уже не вся сила упругости пытается повернуть рычаг, а только ее часть. Наше простое правило требует поправки: плечом силы следует считать не расстояние от точки приложения силы до оси, а расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Самостоятельно или воспользовавшись учебниками, докажите правило моментов, опираясь на «золотое правило» механики.

Потренируйтесь в применении «золотого правила» механики и правила моментов.

Силы, действующие на частицу, складываются по правилу параллелограмма (см. рис.). Рассмотрим простейший случай, когда две силы F1 = 2 Н и F2 = 3Н действуют на частицу в одном и том же направлении. Понятно, что равнодействующая R = 5 Н. А какую силу F3 надо приложить к частице, чтобы она находилась в равновесии?

Вероятно, она должна быть равна по величине равнодействующей и направлена в противоположную сторону (см. рис).

Представим себе, что наша частица растянулась в тонкий стержень (массой его пренебрежем, будем считать, что стержень бесконечно легкий). Сможем ли мы теперь найти равнодействующую двух сил? На первый взгляд, задача ничем не отличается от предыдущей. Равнодействующая направлена вниз и равна 5 Н. Зададим второй вопрос – какая сила уравновесит эту равнодействующую? Какую силу надо приложить, чтобы стержень покоился? Казалось бы, ответ столь же очевиден – направленная вверх сила равная 5 Н.

Óòî÷íÿåì ïðàâèëî ìîìåíòîâ §29

4-06

78

Проведите соответствующий эксперимент с помощью лабораторного рычага. При каком условии рычаг находится в равновесии?

А вот какие результаты получились в классе (см. рис.). Динамометр во всех случаях показывал величину, близкую к 5 Н, однако рычаг поворачивался. Только при подвешивании рычага к динамометру в одной определенной точке рычаг оказывался в равновесии (обозначим ее т. О).

Где находится эта точка? Проведите расчеты и проверьте результат на рычаге. Антон полагал, что т. O должна делить рычаг в отношении 3:2. Проверьте это предположение экспериментально.

Итак, в случае протяженного тела недостаточно указать величину и направление силы! Необходимо также найти точку приложения силы.

Как, пользуясь правилом моментов, найти положение точки O? Предложите способ экспериментального определения положения точки О.

§29 Óòî÷íÿåì ïðàâèëî ìîìåíòîâ

79

§30. Ìîæíî ëè âñå òåïëî ïðåâðàòèòü â ðàáîòó

Группа Гены вспомнила, что мы изучали первый закон термодинамики, который представляет собой закон сохранения энергии для тепловых процессов. Этот закон обычно записывается и формулируется двумя способами:

Сравните предложенные формулировки, укажите на их достоинства и недостатки. Предложите свой вариант. Дополните таблицу пояснениями (помните, что ΔU = U2 − U1; Агаза = − А над газом), где можно укажите процесс, который проводится с газом:

Q > 0 Тепло подводится к газу Aгаза > 0

Q < 0 Aгаза < 0

Q = 0 Aгаза = 0

ΔU > 0 Aнад газом > 0

ΔU < 0 Внутренняя энергия убывает Aнад газом < 0 Газ совершает работу

ΔU = 0 Aнад газом = 0

Запись первого закона термодинамики упрощается в трех случаях:

Предложите формулировки первого закона термодинамики для этих частных случаев.

Ìîæíî ëè âñå òåïëî ïðåâðàòèòü â ðàáîòó §30

80

Учитель предложил ребятам вспомнить, с какими парадоксами они сталкивались при изучении первого закона термодинамики в 7 классе, и вот что обнаружилось.

1. Каждое вещество характеризуется своей удельной теплоемкостью с – тем количеством теплоты Q, которое надо сообщить 1 г или 1 кг вещества, чтобы нагреть его на 1°С. В качестве единицы измерения количества теплоты обычно используют калорию и джоуль (1 кал ≈ 4,2 Дж).

Вспомните определение калории. Воспользуйтесь любым справочником и определите, какие вещества легче нагреть, а какие – тяжелее.

Газы также характеризуются удельной теплоемкостью, однако в справочниках указывается не одна теплоемкость, а две: сp и сV. сp − удельная теплоемкость газа при изобарном процессе, а сV − при изохорном процессе. Причем для всех газов сp > сV ! Например, 1 кг воздуха при нормальных условиях (t = 0 °С, p ≈ 105 Па) для изобарного нагревания на 1 °С требуется примерно 1000 Дж, а для изохорного нагревания при тех же условиях − около 700 Дж. Этот факт можно попытаться использовать для выигрыша в энергии. Подведем к 1 кг газу 700 Дж и изохорно нагреем на 1 °С, затем охладим изобарно на 1 °С, т.е. вернем газ в исходное состояние. Мы получим выигрыш в 300 Дж − налицо нарушение закона сохранения энергии!

Воспользуйтесь первым законом термодинамики и объясните этот парадокс.

2. Самые поразительные случаи кажущегося нарушения закона сохранения энергии связаны с агрегатными превращениями. Так, процессы плавления твердого вещества и кристаллизации жидкого вещества − изотермические (происходят при постоянной температуре), т.е. ΔU = 0. Естественно, что в этих процессах Q ≠ 0: например, для плавления льда нужно затратить около 80 кал (!) на каждый грамм (это же количества теплоты выделяется при кристаллизации 1 г воды). Совершение работы всегда сопровождается изменением объема, которое незначительно в процессах плавления-кристаллизации (A ≈ 0). Таким образом, совершенно непонятно, куда исчезают и откуда появляются искомые калории! Аналогичная ситуация имеет место и в процессах испарения-конденсации при температуре кипения.

Вспомните, как в 7 классе мы разрешили эти противоречия.

3. Следующее явление, которое мы должны вспомнить, − резкое охлаждение или нагревание вещества при адиабатном процессе. В этих опытах мы сталкиваемся с ситуациями, которые легко объяснимы с помощью первого закона термодинамики: если процесс совершения работы происходит быстро (или в идеальной телоизолирующей оболочке), он приводит либо к резкому уменьшению, либо к резкому увеличению внутренней энергии газа.

Объясните схему. Как с молекулярной точки зрения можно объяснить нагревание газа при адиабатном сжатии (охлаждение газа при расширении)? Воспользуйтесь результатами компьютерного эксперимента по упругому соударению тел для доказательства того, что при совершении работы у молекул меняется скорость.

Изучите тексты и ответьте на вопрос: можно ли все тепло превратить в работу.

§30 Ìîæíî ëè âñå òåïëî ïðåâðàòèòü â ðàáîòó

1-02

81

§31. Çàãàäêè âíóòðåííåé ýíåðãèè

Группа Даши занялась исследованием агрегатных превращений с энергетической точки зрения.

1. Прочитайте задачу: Как можно объяснить описанные в задаче процессы?

Быстро откачивая воздух из сосуда, в котором находится 17 г воды при 0 °С, можно воду превратить в лед. Сколько воды при этом испаряется, а сколько – кристаллизуется?

Ира считает, что при откачивании воздуха из сосуда его температура понижается, в результате вода превращается в лед.

Коля согласен с Ирой, но считает, что вся вода должна превратиться в лед.

Лена попросила объяснить, почему температура воздуха понижается в этом процессе.

Прочитайте объяснение, которое появилось в классе. Согласны ли вы с ним?

Температура связана с внутренней энергией воздуха. При откачивании уменьшается количество молекул, следовательно, уменьшается и внутренняя энергия, которая равна U = ΣWкин. Понятно, что если создать вакуум, U = 0 & T = 0.

Воспользуйтесь различными источниками информации и узнайте о том, как меняется температура атмосферы на различной высоте над Землей.

Учитель: Воспользуемся рисунком для доказательства несостоятельности приведенного объяснения.

Разберем возникшее противоречие. С одной стороны, внутренняя энергия связана с температурой вещества. Например, при охлаждении бутылки с водой молекулы воды в среднем начинают двигаться медленнее, уменьшается суммарная кинетическая энергия молекул, уменьшается внутренняя энергия воды. С другой стороны, внутренняя энергия может изменяться и при неизменной температуре. Например, можно вылить полбутылки воды и, тем самым, уменьшить внутреннюю энергию воды в бутылке вдвое при сохранившейся температуре.

Çàãàäêè âíóòðåííåé ýíåðãèè §31

82

Объясните парадокс с помощью схемы:

2. Воспользуйтесь законом сохранения энергии при тепловых процессах для объяснения следующих ситуаций:

во время снегопада температура воздуха обычно повышается;

для предохранения овощей от замерзания в погреб ставят бочку с водой;

во время ледохода вблизи реки заметно понижается температура.

Для того чтобы расплавить твердое вещество, необходимо: а) нагреть его до температуры плавления, подведя количество теплоты Q = cm(tпл – tнач); б) при температуре плавления подвести еще Q = λm.

Какое количество теплоты выделяется в процессе кристаллизации вещества с удельной теплотой плавления λ? Как объяснить с точки зрения закона сохранения энергии выделение тепла при кристаллизации жидкого тела?

Подведенное к телу тепло идет на увеличение его внутренней энергии и совершение телом работы: Q = ΔU + A. Работа всегда связана с изменением объема, которое очень незначительно при кристаллизации – можно считать это слагаемое равным нулю. Тепло не подводится к кристаллизующемуся телу, а, напротив, выделяется. Следовательно, Q < 0 и ΔU < 0 − внутренняя энергия тела в этом процессе уменьшается. С другой стороны, процесс кристаллизации – изотермический, средняя кинетическая энергия частиц не меняется. Не меняется и количество частиц (испарением можно смело пренебречь). Значит, ΔU = 0.

Налицо противоречие, с которым мы уже сталкивались в 7 классе. Для его разрешения нам пришлось исправить определение внутренней энергии и учесть также энергию взаимодействия частиц (потенциальную энергию):

U = ΣWк + ΣWп

Воспользуйтесь этой формулой и объясните, за счет чего меняется внутренняя энергия в циклическом процессе: нагревание льда от −10 °С до 0 °С → плавление льда → нагревание воды от 0 °С до +10 °С → охлаждение воды от +10 °С до 0 °С → кристаллизация льда → охлаждение льда от 0 °С до −10 °С.

При изучении газа в 7 классе мы полагали, что U = ΣWк и не учитывали взаимодействие частиц газа. Надо ли в связи с новым знанием пересматривать всю теорию газа?

Частицы твердого тела связаны сильнее, чем частицы жидкости; частицы жидкости, в свою очередь, связаны сильнее, чем частицы газа. Разве это не означает, что при конденсации и кристаллизации внутренняя энергия должна увеличиваться (ΔU > 0) и, так как Q = ΔU, тепло должно поглощаться, а не выделяться (Q > 0)?

§31 Çàãàäêè âíóòðåííåé ýíåðãèè

83

3. Как известно, при испарении жидкость охлаждается. С молекулярно-кинетической точки зрения это объясняется тем, что жидкость покидают «быстрые» молекулы, а «медленные» молекулы остаются.

Вспомните примеры, иллюстрирующие это явление. Что мешает «медленным» молекулам покидать поверхность жидкости? Что помогает «быстрым» молекулам? Можно ли с помощью испарения превратить воду в лед?

Решите задачу (см. п. 1) в предположении, что удельная теплота парообразования при 0 ° С равна 600 кал/г, а удельная теплота кристаллизации воды – 80 кал/г. Возможно ли такое в действительности? Какое молекулярно-кинетическое объяснение можно дать описанному процессу?

§32. Âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö

Теперь, когда мы там много узнали о различных силах, полезно вернуться к вопросу о взаимодействии частиц вещества – атомов и молекул. Мы знаем, что частицы разреженных газов взаимодействуют слабо, благодаря чему газы занимают весь предоставленный объем и легко сжимаемы. Частицы жидкостей и твердых тел расположены почти вплотную друг к другу, и поэтому они практически несжимаемы. Однако различия во взаимодействии частиц жидкостей и твердых тел должны быть, так как жидкости текучи, а твердые тела сохраняют свою форму. Например, для того чтобы растянуть металлический стержень, надо приложить значительные усилия.

Чем же обусловлено такое мощное сопротивление, которое оказывает твердое тело при попытке его растянуть? Понятно, что это силы притяжения, которые возникают между частицами твердого тела при попытке их «растащить». К какому типу взаимодействия следует отнести эти силы?

Слабое и сильное взаимодействия можно отбросить сразу, потому что эти силы короткодействующие и ощутимы на расстояниях в миллионы и миллиарды раз меньших, чем расстояния между атомами в кристалле.

Как нам известно, атомы электрически нейтральны, поэтому логично было бы предположить, что частицы удерживаются вблизи друг друга гравитационными силами. Но здесь возникает ряд возражений. Во-первых, гравитационные силы никак не объясняют сопротивление тел сжатию. Во-вторых, они чрезвычайно слабы. Например, в твердом кубике со стороной 1 дм содержится примерно 1026 пар частиц. Гравитационное притяжение двух частиц оценить несложно (учтем, что расстояние между центрами r ≈ 10-10м, масса частицы

m ≈ 10-25 кг): . Даже если считать, что все силы притяжения

складываются (понятно, что реально все сложнее), суммарная сила будет ничтожно мала − 10-14 Н ≈ 0,000001 мкГ (микрограмм-сила). Если учесть, что даже муравей развивает силу в сотни мкГ, абсурдность нашего предположения становится очевидной!

Как можно разрешить это противоречие?

Âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö §32

84

Прочитайте про взаимодействие частиц и покажите примерный ход графиков Wп(r) и F(r).

Взаимодействие частиц (атомов, молекул) очень сложное. На больших расстояниях частицы притягиваются, а на близких – отталкиваются. Огрубляя, можно сказать, что сила взаимодействия обращается в ноль, когда частицы расположены вплотную друг к другу, т.е. когда расстояние между их центрами равно диаметру частицы.

На рисунке показан примерный ход потенциальной кривой взаимодействия двух частиц (одна частица находится в начале координат).

Найдите на графике зону отталкивания и зону притяжения.

Где выбрано нулевое значение потенциальной энергии?

Какой участок графика указывает на положение равновесия? Какое это равновесие – устойчивое или неустойчивое?

По данной потенциальной кривой можно качественно определить, как будет двигаться частица в поле другой частицы. Правда, для этого надо указать значение полной энергии частиц.

Рассмотрите два случая:

1. W > 0. 2. W < 0.

Постройте графики кинетической энергии и расскажите о движении частицы.

Энергетически первый случай, когда полная энергия каждой частицы положительна, соответствует газообразному состоянию вещества. Частица имеет достаточную энергию, чтобы двигаться свободно. Второй случай можно интерпретировать как колебательное движение частицы в кристалле. Нетрудно заметить, что при увеличении температуры (и, следовательно, энергии частиц) увеличивается амплитуда колебаний.

Жидкость занимает промежуточное положение между газообразным и кристаллическим состояниями. Полная энергия частиц отрицательна, но близка к нулю. Поэтому частицы совершают колебания и перескоки (достаточно небольшого толчка, небольшого притока энергии, чтобы перескочить из одного равновесного положения в другое).

В завершение этого параграфа рассмотрим вопрос о тепловом расширении кристалла (см. рис.). Его часто ошибочно объясняют увеличением амплитуды колебаний частиц. Ключ к этой загадке – в форме потенциальной кривой. Благодаря тому что она несимметричная, при нагревании кристалла средняя точка, относительно которой происходят колебания, смещается вправо.

§32 Âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö

85

§33. Ñèëà óïðóãîñòè. Ñèëà òðåíèÿ

С «хорошей» пружиной, удлинение которой пропорционально приложенной силой, мы работаем уже давно. Это свойство мы использовали при изготовлении динамометров и манометров. Познакомьтесь с работой Роберта Гука, именем которого назван закон.

Проведите экспериментальные исследования силы упругости.

Для обработки результатов эксперимента можно воспользоваться лабораторной работой «Зависимость удлинения от нагрузки».

Дополните шпаргалку по силе упругости. Какие задачи с ее помощью можно решать?

1. Воспользуйтесь законом Гука и заполните пропуски в схеме. Придумайте четыре задачи, ответом к которым были бы формулы из схемы (по одной на каждую формулу).

2. Составьте аналогичную схему и придумайте задачи про работу силы упругости и потенциальную энергию пружины. Используйте формулы:

3. Допустим, некоторое тело массой m колеблется на пружине жесткостью k без потерь энергии (нет трения, сопротивления, неупругих деформаций). Тогда любые два состояния можно связать законом сохранения энергии:

4. Графические задачи (для «хороших» пружин).

Постройте график зависимости Fупр (Δℓ) для разных значений k.

Покажите графики зависимости, иллюстрирующие закон сохранения энергии при колебаниях груза на пружине: Wп (x) + Wк (x) = Wмех (x).

Вера попробовала соотнести графики зависимости потенциальной энергии груза на пружине и силы упругости от координаты. Результат ее работы показан на рисунке.

Оцените работу Веры.

Ñèëà óïðóãîñòè. Ñèëà òðåíèÿ §33

1-08

2-02

§08

§09

86

Используя разные источники информации узнайте о разных видах трения. Напишите эссе о «положительной» и «отрицательной» роли сил трения в природе и технике.

Проведите исследование силы трения скольжения.

Для обработки результатов эксперимента можно воспользоваться лабораторной работой «Исследование силы трения».

Дополните шпаргалку по силе трения. Какие задачи с ее помощью можно решать?

1. Сформулируйте закон Кулона − Амонтона. Покажите, что сила трения при перемещении тела по горизонтальной поверхности Fтр = μmg. Заполните пропуски в схеме и придумайте четыре задачи, ответом к которым были бы формулы из схемы (по одной на каждую формулу).

2. Составьте аналогичную схему и придумайте задачи про работу силы трения и работу внешней силы против силы трения (задачи снабдите поясняющими рисунками):

Сила трения неконсервативная, поэтому ее работа приводит к уменьшению механической энергии (например, движущееся тело останавливается). При этом выделяется тепло: Q = − Aс.тр = Aпротив с.тр

Придумайте задачу, в которой для нахождения температуры тела пришлось бы рассчитывать работу силы трения.

3. Если на тело действуют только силы трения, сопротивления (других сил нет или их действие скомпенсировано), для решения задач удобно воспользоваться теоремой об изменении кинетической энергии: Aвсех сил = Aс.тр ,сопр = ΔWк.

4. Допустим, брусок массой m колеблется на пружине жесткостью k. Какой путь пройдет брусок до остановки, если коэффициент трения бруска о поверхность равен μ?

Эта задача требует доопределения.

а) Пусть известны скорость бруска υ0 и координата x0 в начальный момент времени. По этим

данным можно найти механическую энергию системы: . В конечном счете,

вся эта энергия уйдет на работу против силы трения и превратиться в тепло (во внутреннюю энергию трущихся поверхностей): Wмех = Fтр · S. Учтите, что Fтр = μmg, решите эту систему уравнений и получите ответ.

§33 Ñèëà óïðóãîñòè. Ñèëà òðåíèÿ

2-02

6-04

§07

87

б) Пусть в начальный момент времени брусок проходил положение равновесия. Доопределите и решите задачу.

в) Пусть в начальный момент времени брусок находился в крайнем правом (левом) положении. Доопределите и решите задачу.

5. Графические задачи. Воспользуйтесь рисунком и докажите, что μ2 > μ1.

Покажите примерный ход графиков зависимости Wп(t), Wк(t), Wмех(t), иллюстрирующие превращение механической энергии в тепло при колебаниях груза на пружине с трением.

§34. Ðàâíîóñêîðåííîå äâèæåíèå

Прочитайте решение задачи, приведенное ниже. Найдите и исправьте ошибки.

Задача. Точечный источник поля с зарядом Q = 100 мкКл и массой М = 1 кг закреплен в начале координат. В начальный момент времени частица с зарядом q = 80 мкКл и массой m = 100 г покоится в точке с координатой 12 м. Частица может свободно перемещаться вдоль оси x, не испытывая сопротивления своему движению. Напишите уравнение зависимости скорости частицы от времени υ(t) и уравнение движения x(t).

Решение.

1. Гравитационной силой притяжения частиц можно пренебречь.

2. Сила Кулона равна:

3. Ускорение частицы находим по второму закону Ньютона:

4. υ=υ0+at ⇒ υ=5t

5. x=x0+υt ⇒ x=12+5t2

Прочитайте краткое содержание занятия, которое провели с ребятами Аня и Боря, а также выполните их задания. В своей тетради сделайте конспект занятия, отметьте на полях наиболее важные фрагменты, непонятные места и т.п.

Аня: Чтобы хорошо прогнозировать движение частицы, необходимо записать уравнения зависимости скорости и координаты от времени – υ(t) и x(t). Мы уже знаем, что эти уравнения мы можем записать только в том случае, если частица движется равноускоренно (т.е. на нее действует постоянная сила, частица находится в однородном поле). Особенно простые уравнения получаются, если сила равна нулю и частица движется равномерно и прямолинейно:

Ðàâíîóñêîðåííîå äâèæåíèå §34

§11

88

Задание 1. Через некоторое время после прыжка, когда парашютист находился на высоте 800 м от земли, его скорость снижения стабилизировалась и стала равна 4 м/с. Запишите уравнение движения парашютиста y (t). Изобразите графики зависимости υ(t) и y(t). Придумайте и решите несколько задач.

Теперь рассмотрим задачу, в которой частица движется равноускоренно.

Задание 2. На покоящуюся частицу массой m = 2 кг подействовала сила F = 6 Н.

Заполните таблицу:t, с 0 1 2υ, м/с 9 12

Задание 3. Заполните таблицу для той же частицы при условии, что у нее была начальная скорость, равная 2 м/с.

t, с 0 1 2 3 6υ, м/с

Аня: Выполняя это задание, вы могли действовать без всякой формулы. Для этого достаточно вспомнить второй закон Ньютона и найти ускорение. Ускорение – это скорость изменения скорости, оно показывает приращение скорости за единицу времени. Например, если начальная скорость у точки υ0 = 2 м/с и ускорение a = 3 м/с2, через 5 секунд скорость будет равна 2 м/с + 3 м/с2 ⋅ 5 с = 17 м/с. Удобнее все же пользоваться формулами.

Задание 4. В момент включения секундомера скорость тела массой 3 кг равнялась 10 м/с. На тело действует только сила сопротивления, равная 6 Н. Запишите формулу для нахождения скорости тела в любой момент времени. Постройте график зависимости υ ( t).

Задание 5. Опишите как можно подробнее характер движения точек, скорости которых заданы следующими уравнениями (время измеряется в с, скорость – в м/с):

а) υx = 5t; б) υx = 5t − 10; в) υx = 5t + 5; г) υx = 10.

Укажите все моменты времени, когда скорости каких-нибудь двух точек сравняются (решите двумя способами – аналитическим и графическим).

Задание 6. Напишите формулу зависимости (υ, t) прямолинейно движущейся точки массой 100 г и найдите силу, действующую на нее. Известно, что через 15 секунд после начала движения точка имела скорость 8 м/с. На рисунке показан график зависимости скорости точки от времени.

Боря: Теперь, после того, как мы научились работать с уравнением зависимости скорости точки от времени, надо научиться записывать уравнение движения – так называется зависимость координаты от времени.

Задание 7. Два шарика равномерно движутся по горизонтальному желобу навстречу друг другу. В момент времени t = 0 их положения показаны на рисунке. Напишите уравнения их движений и найдите время и место встречи, если известно, что υ1 = 3 м/с, υ2 = 2 м/с. Решите задачу аналитически и графически.

§34 Ðàâíîóñêîðåííîå äâèæåíèå

4-05

89

Боря: Уравнения движения в случае равномерного прямолинейного движения выглядят достаточно просто: x = x0 +υxt. Рассмотрим все возможные случаи. Во-первых, начальная координата может быть положительна, отрицательна, равна нулю. Во-вторых, скорость точки может быть направлена вдоль оси X, против оси X (в частном случае скорость может быть равна нулю, но это не очень интересный случай: x = x0 и не зависит от времени).

Задание 8. Изобразите на оси координат все тела и покажите их скорости в соответствии с таблицей:

x0 < 0 x0 = 0 x0 > 0υx < 0 тело А тело В тело Сυx > 0 тело D тело E тело G

Для каждого тела запишите уравнение движения и постройте график зависимости x(t).

Боря: Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение. Для простоты начнем с движения без начальной скорости. При равноускоренном движении за любые равные промежутки времени скорость тела меняется на одну и ту же величину. В этом утверждении все слова очень важны. Часто забывают слово «любые», посмотрите, что при этом может получиться. С помощью таблицы покажите, что недостаточно сказать «равные промежутки времени», надо обязательно указать на «любые равные промежутки времени».

t, c 0 1 2 3 4 5 6 7 8υ, см/с 0 10 15 22 30 33 45 45 60t, c 0 2 4 6 8υ, см/с 0 15 30 45 60

Боря: Пусть частица начинает двигаться из начала координат в положительном направлении без начальной скорости и с постоянным ускорением 2 м/с2. Наша задача: написать уравнение движения и построить график зависимости координаты от времени. Сначала заполните таблицу для скорости частицы:

t, c 0 1 2 3 4 5 6 7 8υ, м/с 0 2

Мы знаем, что путь, пройденный частицей за время Δt при равноускоренном движении, можно найти по формуле:

Воспользовавшись этой формулой, найдем координату частицы через 3 с после начала движения. Сначала найдем среднюю скорость за этот промежуток времени: υн = 0 м/с; υк = υн + aΔt ⇒ υк = 0 + 2 ⋅ 3 = 6 (м/с) ⇒ υср = (0 + 6)/2 = 3 (м/с) ⇒ S = 3 м/с ⋅ 3 с = 9 м. Поскольку частица движется из начала координат в положительном направлении в любой момент времени координата частицы будет равна пройденному пути. Вообще-то можно написать: x = xн + S

Ðàâíîóñêîðåííîå äâèæåíèå §34

90

На рис. дана иллюстрация для разных случаев перехода от пути (S = 9 м) к координате:

Заполните таблицу:t, c 0 1 2 3 4 5 6 7 8υср, м/с 0 3S, м 0 9x,м 0 9

По полученным таблицам постройте графики зависимости (υср, t) и (x, t).

Боря: Теперь нам предстоит написать уравнение движения для рассматриваемого движения. Мы уже убедились, что x = S. Путь мы находить умеем: S = υсрt. Средняя скорость все время меняется, но по очень простой формуле: υср = t ⇒ S = t2. Попробуем вывести общую формулу.

Уравнения для равноускоренного движения часто можно увидеть в такой записи:

, где индекс «0» помечены начальные условия, а

индекс «x» у скорости и ускорения указывает на то, что необходимо учитывать знак проекции вектора начальной скорости и ускорения на ось X.

На рисунке представлены разные начальные условия (во всех случаях речь идет о равноускоренном движении). Напишите для каждого случая уравнения зависимости скорости и координаты от времени.

§34 Ðàâíîóñêîðåííîå äâèæåíèå

4-04

91

В начальный момент времени частица находилась в точке с координатой –4 м, ее начальная скорость была сонаправлена с осью X и равна 3 м/с, ускорение частицы положительно, постоянно и равно 2 м/с2. Напишите уравнения и постройте графики (υ, t) и (a, t).

Рассмотрим движение массивной материальной точки, движущейся под действием одной силы – силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). В общем случае, если начальная скорость точки направлена под углом к горизонту, точка будет двигаться по параболе (см. рис.). По второму закону Ньютона ее ускорение будет направлено вниз и равно g = 9,8 м/с2.

Это движение описывать сложно. Если же разложить это движение на два – равномерное по оси X и равноускоренное по оси Y, решение существенно упрощается. Пусть начальная скорость точки равна 5 м/с и направлена так, что υ0x = 3 м/с, а υ0y = 4 м/с. Примем g ≈ 10 м/с2. Тогда можно записать систему уравнений:

Какими уравнения надо воспользоваться, чтобы найти: а) время подъема; б) время движения; в) высоту подъема; г) дальность полета; д) скорость в т. А.

§35. Ãàç â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå

Рассмотрите влияние гравитационного поля на газообразное тело на примере атмосферы Земли. Для выполнения заданий и ответа на вопросы пользуйтесь учебными пособиями для 7 − 8 классов, другими источниками информации.

1. Как известно, атмосфера Земли имеет слоистую структуру (вспомните названия и расположение основных сфер). Атмосферный воздух представляет собой смесь газов, частицы которых участвуют в хаотическом движении. Именно непрерывным беспорядочным тепловым движением частиц объясняется тот факт, что газ занимает весь предоставленный ему объем. Почему атмосферный воздух не рассеивается в космическом пространстве? Запишите процентное соотношение разных газов в тропосфере. Сделайте предположение об изменении этого соотношения по мере удаления от поверхности Земли. Почему экзосферу покидают, главным образом, частицы водорода и гелия, а не частицы кислорода?

2. Воздушное пространство Земли активно используется человеком, в нем перемещаются аэростаты, радиозонды, космические аппараты, самолеты, вертолеты. На их полеты существенное влияние оказывают давление, плотность и температура воздуха, влажность, сила

Ãàç â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå §35

4-03

92

ветра, облачность и т.п. Атмосфера неоднородна по своему составу и неодинакова по своим свойствам, ее параметры изменяются в довольно широком диапазоне, как во времени, так и в пространстве − все это существенно усложняет управление летательными аппаратами.

Для решения научных и практических задач международное сообщество договорилось использовать так называемую стандартную атмосферу, которая устанавливает средние значения параметров атмосферы на уровне моря для широты 45,5°. Предполагается, что воздух подчиняется газовым законам, для приблизительных расчетов можно считать, что температура падает с высотой примерно на 6,5 °C на каждые 1000 м.

Объясните, как может помочь стандартная атмосфера в решении следующих задач:

сравнение максимальных высот полета двух самолетов в разные дни;

определение максимальной скорости, которую может развить проектируемый самолет в разных условиях.

В соответствии с законом Бойля − Мариотта давление и объем газа связаны обратно пропорциональной зависимостью, следовательно, давление и плотность газа должны быть связаны прямой пропорциональной зависимостью (покажите это). Проверьте с помощью таблиц, так ли это (воспользуйтесь электронными таблицами или калькулятором).

3. Вспомните и проделайте опыты, связанные с атмосферным давлением, действием выталкивающей силы. Выполните задания и ответьте на вопросы:

1) Можно ли рассчитать атмосферное давление по формуле p = ρgh?

2) От чего зависит выталкивающая сила?

3) На рычажных весах уравновесили два тела и поместили под колокол воздушного насоса. Нарушится ли равновесие после откачивания воздуха?

4) Что должно происходить с объемом воздушного шара при подъеме и спуске?

5) На рисунке с аэрологической станции «Мурманск» показан запуск воздушного зонда массой около 400 г. Рассчитайте примерный объем воздушного шара, который наполняется водородом.

6) Воздушный шар с грузом общим объемом 0,5 м3 некоторое время висел на высоте около 2 км над Землей. Можно ли по этим данным оценить вес шара с грузом?

7) Как поведет себя воздушный шарик в состоянии невесомости в ракете?

4. Подъемная сила

Подниматься в поле силы тяжести тела могут не только под действием выталкивающей силы. Если бы это было так, то полеты самолетов и вертолетов были бы просто невозможны. Теорию возникновения подъемной силы крыла самолета создал основатель русской школы аэро- и гидродинамики Николай Егорович Жуковский.

Для демонстрации возникновения подъемной силы проведите простой опыт. Вырежьте из тетрадного листа полоску размером 17×2 см. Зажмите пальцами один конец полоски, так, чтобы противоположный Н.Е. Жуковский

(1847–1921)

§35 Ãàç â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå

6-01

6-02

93

свободно свисал. Сымитируйте аэродинамическую трубу − подуйте в горизонтальном направлении поверх полоски.

Из-за разности давлений возникает сила, направленная вверх, под действием которой и поднимается, наподобие крыла самолета, полоска бумаги.

§36. Æèäêîñòü â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå

Рассмотрите влияние гравитационного поля на жидкое тело в привычных для нас земных условиях. Для выполнения заданий и ответа на вопросы пользуйтесь учебными пособиями для 7 − 8 классов, другими источниками информации.

1. В соответствии с законом Паскаля, внешнее давление передается без изменения в каждую точку жидкости, а вследствие подвижности частиц жидкости силы давления направлены в разные стороны. Если жидкость сжимать, она начинает вести себя подобно пружине и препятствует сжатию, плотность ее при этом, хотя и незначительно, но увеличивается. Считая, что плотность воды вблизи поверхности Тихого океана равна 1030 кг/м3 при давлении 1 атм (≈ 760 мм рт. ст), а при увеличении давления на 1 атм объем воды уменьшается примерно на 1/20000 долю, рассчитайте плотность воды в Мариинской впадине (глубина около 11 км). Сравните выталкивающие силы, действующие на один и тот же шар а) погруженный на дно пресного водоема глубиной 2 м и б) находящийся на дне Мариинской впадины. Как объяснить тот факт, что затонувшие корабли не всплывают? Действует ли выталкивающая сила в невесомости?

2. Когда мы рассматриваем поведение жидких тел, зачастую приходится учитывать силы поверхностного натяжения. Расскажите о борьбе этих сил на следующих примерах:

- пронаблюдайте падение капли воды из пипетки (если есть возможность, проведите съемку и посмотрите запись в замедленном темпе);

- с помощью рисунка сравните форму капельки ртути (не экспериментируйте с ртутью, это очень опасно для здоровья!);

- подъем разных жидкостей по капиллярам;

- плавание иголки на поверхности воды.

3. Куда течет река?

Все тела, поднятые над землей, под действием силы тяжести стремятся упасть вниз. Если бы падающие тела не встретили по дороге препятствие, они продолжили бы свое падение и притянулись к центру Земли. Пусть на некоторый участок поверхности Земли (см. рис.) начал падать «дождь» из тяжелых шариков. Если эти шарики упадут на ровное поле, они распределятся по нему более или менее равномерно. Если же по дороге им встретится гора, большинство в конечном счете окажутся у

Æèäêîñòü â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå §36

94

ее подножия. Их движением будет управлять множество разнообразных взаимодействий, которые они будут испытывать, встречаясь с другими телами. Покажите, куда будут преимущественно катиться шарики, где их должно скопиться большое количество, где их практически не должно быть.

4. От чего зависит скорость жидкости?

Рассмотрим движение жидкости по трубе переменного сечения. Причиной движения жидкости является перепад давлений.

Будем считать жидкость несжимаемой: за некоторый промежуток времени Δt, через любое сечение трубы протекает один и тот же объем жидкости ΔV:

Сделайте вывод: как зависит скорость течения воды от поперечного сечения трубы.

Причиной изменения скорости является сила. В данном случае такой силой является равнодействующая сил давления на столбики жидкости Δℓ1 (давление жидкости позади столбика) и Δℓ2 (давление жидкости впереди столбика).

Сделайте вывод: как зависит скорость течения воды от давления.

Если рассмотреть движение жидкости с энергетической точки зрения, можно получить уравнение, которое в 1738 году получил швейцарский физик и математик, член Российской академии наук Даниил Бернулли. Для случая горизонтально течения жидкости уравнение Бернулли записывается так:

Величина p называется статическим давлением жидкости,

а величина – динамическим давлением.

Выполните задания.

1. По рисунку определите, с какой стороны дули мимо пламени свечи. Проверьте свое предположение экспериментально.

2. Объясните принцип действия пульве-ризатора.

3. Докажите теорему Торричелли: скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в стенке или дне сосуда можно вычислять по

§36 Æèäêîñòü â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå

Д. Бернулли(1700–1782)

95

формуле , то есть такая же какую

приобретает свободно падающее с высоты H тело. (Считать сосуд достаточно широким для того, чтобы выполнялось соотношение υ1 = 0).

4. Одинаковые сосуды наполнены водой и спиртом. Из какого сосуда жидкость вытечет быстрее, если отверстия в сосудах одинаковы?

§37. Ýëåêòðîííûé ãàç

Рассмотрим движение электрического заряда в однородном поле. Напряжение между двумя точками поля равно работе по перемещению единичного положительного заряда между ними U = A/q. Напряжение между двумя точками поля не зависит ни от переносимого заряда, ни от траектории перемещения заряда, а зависит от источника поля и от расположения этих точек. Сравнивая формулы A = qU и A = qEΔd, получаем формулу связи напряжения с напряженностью U = EΔd. Из этой формулы видно, что напряженность может измеряться в В/м.

Выразим силу тока через микропараметры. Пусть у нас есть некоторое количество беспорядочно движущихся электрических зарядов e, распределенных в металлическом проводнике с концентрацией n. Если не прикладывать внешнее поле, заряд, протекающий через любое сечение проводника,

равен нулю (при не очень малом времени наблюдения). Приложим внешнюю разность потенциалов U (будем поддерживать ее постоянной). Если считать поле однородным, можно записать E = U/Δl. В результате на беспорядочное движение заряженных частиц наложится дрейф в одном направлении. Для упрощения поступим так же, как в свое время с газом – будем считать, что все частицы движутся с некоторой средней скоростью υ вдоль проводника. Посчитаем заряд, протекающий за время Δt через поперечное сечение проводника:

Δq = eΔN ; ΔN = nΔV; ΔV = SΔl; Δl = υΔt.

Следовательно: ΔQ = enυSΔt

Т.к. ΔQ/Δt = I, можно записать: I = enυS.

Введем новую физическую величину − плотность тока: j = I / S.

Эта величина может характеризовать электрический ток в достаточно малой области (для этого надо выбирать маленькую площадку S). В физике принято считать ее векторной (за направление скорости принимают направление

Ýëåêòðîííûé ãàç §37

§21

96

движения положительных зарядов; если движутся отрицательные заряды, плотность тока направлена в противоположную сторону скорости отрицательных зарядов).

Пусть между двумя соударениями проходит в среднем τ секунд (время свободного пробега). Начальную скорость положим равной нулю. Максимальную скорость найдем с помощью второго закона Ньютона: Fτ = mυ. В свою очередь F = eE. Отсюда: υ = eEτ/m

Следовательно: (этот вывод нельзя рассматривать как строгий: надо было

бы брать среднюю скорость упорядоченного движения, учитывать вероятностный характер времени свободного пробега и т.п.).

Итак, при постоянстве тока мы имеем прямую пропорциональную зависимость между плотностью тока и напряженностью электрического поля: j = γE, γ называется удельной проводимостью. На практике чаще пользуются обратной величиной ρ = 1/γ − удельным сопротивлением. Отметим, что проводимость зависит от материала проводника (которая, в свою очередь, зависит от концентрации носителей зарядов, времени свободного пробега), от величины заряда и массы свободных носителей электричества.

Вспомним, как мы действовали при построении теории идеального газа. Сначала мы теоретически получили основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Затем перешли от микропараметров к макропараметрам и получили уравнение состояния газа, а также газовые законы. Экспериментальная проверка подтвердила построенную нами теорию.

Выполните все преобразования, показанные на схеме. Для получения всех указанных формул вам придется вспомнить и другие законы и определения. Найдите в справочниках и выпишите закон Менделеева − Клапейрона. Покажите, как из него можно получить газовые законы.

Аналогично следует поступить и при построении теории электрического тока в металлах.

Примечание. Формула справедлива только для цилиндрического проводника.

Объясните физический смысл сопротивления.

§37 Ýëåêòðîííûé ãàç

4-08

В.А. Львовский В.Ю. Грук

Documents

Transcript of В.А. Львовский В.Ю. Грук