Teoría de Juegos: conocimientos básicos para modelar interacciones estratégicas

Catalina Canals y Felipe Fábrega

Teoría de JuegosI Parte: Juegos en Forma Normal y en Forma

extensiva con información perfecta

Coloquios de Modelamiento Social. Sesión n°59.

Teoría de Juegos

I. Introducción a la teoría de juegos

II.Juegos en Forma NormalI. SolucionesII.Juegos Tipo

III.Juegos extensivos con información perfectaI. SolucionesII.Juego del Ultimatum

IV.Conclusiones

¿Qué es la teoría de juegos?• Forma de Modelamiento de las interacciones estratégicas entre personas orientadas por intereses/preferencias.

• Se basa en la construcción de un “Juego”, que es un modelo de una interacción entre 2 o más jugadores donde el resultado depende de las acciones de c/u.

• Supuestos:• Racionalidad de los jugadores• Conocimiento Común y Profundidad de los

jugadores

¿Qué se puede modelar con teoría de juegos?

I. Introducción a la teoría de Juegos

Elementos de un Juego• Jugadores I=

• Estrategias s=

• Utilidades Ui= sR


Soluciones de un Juego• Solución por Eliminación iterada de estrategias estrictamente dominantes (EIEED)

• Equilibrio de Nash (NE)

• Equilibrio Perfecto en el Subjuego (EPS)

•Equilibrio Bayesiano (EB)


Juegos en Forma Normal• Juegos estáticos: ambos jugadores deciden simultáneamente las estrategias a seguir.

• Elementos:– Jugadores– Estrategias Acciones– Utilidades

II. Juegos en Forma Normal

Representación del JuegoII. Juegos en Forma Normal

C IS 10,1

0-100,-100

NS 0,5 0,0Jugador 1 (Señora)

Jugador 2 (Parapentista)

Pago J1, Pago J2

El equilibrio es el perfil (S,C)

Solución por EIEED• Una estrategia es i estrictamente dominada si la utilidad de esta es siempre menor que la de otra.

Ui(Si,S-i)>Ui(i,S-i) S-i

• Una estrategia i es débilmente dominada si la utilidad de esta es siempre mayor o igual que la de otra.

Ui(Si,S-i) S-i

Un perfil de estrategias es solución por EIEED si es el único perfil que sobrevive este proceso.


Juegos sin Solución por EIEEDII. Juegos en Forma Normal

E alto E medio E bajoE bajo 10, 6 5, 3 1,0E medio 7, 6 5, 6 1,0E alto 5, 10 3, 7 0,0

Flojo

Trabajador

EQUILIBRIO DE NASH

EN ESTRATEGIAS PURAS

Equilibrio de Nash en Estrategias Puras

• Una estrategia pura es aquella donde se elige una acción con probabilidad =1.

• Una estrategia Pura Si* es mejor respuesta si es aquella que da mayor o igual utilidad que otras, dada la estrategia del otro jugador

Ui(Si*,S-i) Ui(Si,S-i) Si

• Un perfil de estrategias (Si*, S-i* ) es un equilibrio de Nash si ambos jugadores están dando sus mejores respuestas

Ui(Si*,S-i*) Ui(Si,S-i*) Si


Juegos sin ENEPII. Juegos en Forma Normal

D ID 0,0 1,-1I 1,-1 0,0

Arquero

Pateador

Cuando no hay ENEP es porque los

jugadores no tienen preferencias por una

u otra acción

P

Q

U1(D)= 0p+1 (1-p) =1-pU1(I)= 1p+0 (1-p) =p

U1(D)= 1-p=p=U1(I) 1=2pp=1/2Por simetría q=1/2

El equilibrio es = [(1/2, 1/2), (1/2,1/2)]

Equilibrios de Nash en Estrategias Mixtas

• Una estrategia mixta es una distribución de probabilidades sobre las posibles acciones de un jugador.

• Una estrategia mixta si*es mejor respuesta si es aquella que da mayor o igual utilidad que otras, dada la estrategia del otro jugador.

Ui(si*, s-i)≥ Ui(si, s-i ) Ѵ si.• Un perfil de estrategias (si*, s-i*) es un equilibrio de Nash en estrategias mixtas si ambos jugadores están dando sus mejores respuestas

Ui(si*, s-i*)≥ Ui(si, s-i* ) Ѵ si. Los ENEP son un caso especial de ENEM


El Dilema del PrisioneroII. Juegos en Forma Normal

• Ambos tienen incentivos unilaterales a desviarse del óptimo social

NC CNC 1,1 -1,2C 2,-1 0,0

Óptimo social

Solución por EIEED

¿Confieso o no confieso

?

Batalla de los sexosII. Juegos en Forma Normal

• Juego de Coordinación

Estadio

Opera

Estadio 2,1 0,0Opera 0,0 1,2

Equilibrio de Nash en EP

Mujer

Hombre

Matching PenniesII. Juegos en Forma Normal

Juego de Competencia pura

Cara Sello

Cara 1,-1 -1,1Sello -1,1 1,-1U1(C)= 1p-1 (1-p) =2p -1U1(S)= -1p+1(1-p) =1-2pU1(C)= 2p-1=1-2p=U1(S)

4p=2p=1/2Por simetría q=1/2

El equilibrio es = [(1/2, 1/2), (1/2,1/2)]

p

q

Juegos de Forma Extensiva• Juegos dinámicos: los jugadores realizan sus acciones secuencialmente.

• Elementos:– Jugadores– Estrategias Plan de Acciones para toda posible contingencia

– Utilidades

III. Juegos en Forma Extensiva

Representación del juegoIII. Juegos en Forma Extensiva

1E NE

(0,50)

2A G

(25,25)

(-10,-10)

Las estrategias de los jugadores son:S1=(E,NE) S2=(A,G)

Los perfiles de equilibrio posibles son:(E,A), (E,G), (NE,A), (NE,G)

¿Cuál es el problema de este

segundo NE?

Equilibrio Perfecto en el Subjuego (EPS)

• Un subjuego, es un juego que comienza en cada nodo de decisión del juego.


1

E NE

(0,50)

2A G

(25,25)

(-10,-10)

Equilibrio Perfecto en el Subjuego (EPS)

• Un equilibrio perfecto en el subjuego Es un perfil de estrategias que implicaría un equilibrio de Nash en cada subjuego.


2A G

(25,25)

(-10,-10)

1

E NE

(0,50)

2A G

(25,25)

(-10,-10)

NE= (E,A), (NE,G)

NE= (A)EPS=(E,

A)

Inducción ReversaIII. Juegos en Forma Extensiva

1

E NE

(0,50)

2A G

(25,25)

(-10,-10)

EPS=(E,A)

1

E NE

(0,50)

(25,25)

II. Juegos en Forma Extensiva

Juego del ultimátum

XA

R

1

(1-x, x)

2

2

Y1A R

(y, d-y)

(0,0)

ETAPA II: Suponiendo que ante indiferencia acepta. J1 acepta si y 0. Por tanto lo óptimo para el jugador 2 es ofrecer 0. Por tanto Y=0.

II. Juegos en Forma Extensiva

Juego del ultimátumII. Juegos en Forma Extensiva

XA

R

1

(1-x, x)

2

(0, d)

ETAPA I: J2 acepta si x d. Por tanto lo óptimo para el jugador 1 es ofrecerle x= d y así el obtener 1- d.

Los pagos en el EPS serán (1-d, d)

ConclusionesIII. Conclusiones

•La teoría de juegos permite modelar situaciones donde hay razonamiento estratégico por parte de los jugadores.•Para modelarlo se requiere definir:

•Jugadores

•Estrategias

•Pagos

ConclusionesIII. Conclusiones

•Los juegos en forma normal no permiten dar cuenta de una secuencia de acciones.

•Los juegos en forma extensiva de información perfecta no dan cuenta del razonamiento estratégico ante situaciones con falta de informaciónJuegos de forma extensiva

con información imperfectaJuegos bayesianos

Teoría de Juegos: conocimientos básicos para modelar interacciones estratégicas

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