Sucessões de números naturais que permitem determinar algumas das incertezas numéricas de...

Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

Sucessões de números naturais que permitem determinar algumas das incertezas

numéricas de números pares relacionadas com operações do tipo 𝒂

𝒏𝒏, com 𝒂, 𝒏 ∈ 𝑵

Cardoso, C., Morais, C., Ávila, M., Rocha, T. & Rodrigues A.F.

Resumo

Este trabalho de investigação em matemática baseia-se na definição de incerteza

numérica de Rodrigues & Martins, (2014) e tem um caracter totalmente teórico. Procura

encontrar regras que permitam quantificar e comparar as incertezas numéricas de

números pares, usando como critérios de incerteza o desvio padrão ou a distorção de

uma distribuição estatística de uma população de resultados de cálculos do tipo 𝑎𝑖

𝑏𝑗𝑏𝑗,

com 𝑎𝑖, 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a 1000 com j a variar de 1 a 1020.

O tratamento empírico de dados permitiu-nos encontrar um vasto número de regras que

foram sintetizadas sob a forma de sucessão de números naturais.

Palavras Chave: Incerteza Numérica, Operações Matemáticas, Desvio Padrão,

Distorção de uma Distribuição Estatística, Sucessões de Números Naturais.

1-Introdução

O conceito de incerteza de uma operação está normalmente associado a conceitos

físicos de medição, onde se pretende identificar as principais fontes de variabilidade de

ensaios de modo a controlar o erro. Por outro lado, considera-se que existe propagação

de erro quando se efetuam várias medições, todas elas sujeitas a variabilidade e cujo

resultado depende inequivocamente, mas não claramente das operações matemáticas

envolvidas (Albano & Raya-Rodriguez, 2009).

Ainda na área da incerteza física, à qual estão associados cálculos numéricos, considera-

se como fonte de incerteza, mas não exatamente como incerteza, o desvio padrão da

precisão intermédia (desvio de repetibilidade e reprodutibilidade) obtido através de um

estudo intralaboratorial para confirmação de desempenhos (Albano e Raya-Rodriguez,

2009).


Na área da matemática/física define-se incerteza algorítmica ou incerteza numérica,

aquela que está associada a erros numéricos ou a aproximações numéricas resultantes da

implementação de um determinado modelo computacional, isso porque a maioria dos

modelos são muito complexos e de resolução numérica difícil. Existem vários métodos

para calcular essas incertezas, como por exemplo o método do elemento finito, ou o

método das diferenças finitas que são usados para aproximar a solução numérica dos

valores fornecidos por determinada equação diferencial parcial, a qual, se assume, que

introduz erros numéricos (Kennedy & O'Hagan 2001).

A incerteza abordada neste trabalho é aquela definida por Rodrigues & Martins (2014)

que apesar de se relacionar com os algoritmos das operações envolvidas na obtenção de

um determinado resultado, não está dependente da aleatoriedade dos resultados

produzidos com diferentes números, mas sim, da incapacidade de memória para se

aplicar um algoritmo até à obtenção de um resultado exato. Parte do princípio que o

resultado é conhecido e estima o afastamento desse resultado teórico produzido por um

vasto conjunto de números naturais, estimados por sucessões de conjuntos de números

naturais. O exemplo mais simples que se pode dar desse tipo de incerteza numérica é o

caso de 1

3. 3 não ser exatamente igual a 1, mas um valor próximo de 1 quando se

aplicam os algoritmos, e percebe-se perfeitamente, pelas regras algébricas que qualquer

número diferente de zero a dividir por si próprio tem como resultado teórico a unidade.

Rodrigues & Martins (2014) afirmam que a unidade natural, não é coincidente com a

unidade dos números reais, pois neste segundo caso ela deverá ser representada pelo

conjunto de todos os números do tipo 𝑎𝑖

𝑏𝑗𝑏𝑗, com 𝑎𝑖, 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a ∞ e j

também a variar de 1 a ∞.

2- Metodologia

Para avaliar a incerteza numérica associada a números reais pares, teoricamente

equivalentes a números naturais pares, assumiu-se que essa incerteza seria função do

desvio padrão ou da distorção da distribuição estatística de uma sucessão de resultados

do tipo 𝑎𝑖

𝑏𝑗𝑏𝑗, com 𝑎𝑖, 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a 1000 e j a variar de 1 a 1020, com todos

os 𝑎𝑖 pares e independente do facto de 𝑏𝑗 ser par ou impar. Apesar do desvio padrão e

da distorção variarem com a dimensão da amostra, os números utilizados são


suficientemente grandes para os aceitarmos como representativos da população dos

resultados das distribuições do número 1, 2, 4, 6, 8,…..2n.

O desvio padrão a que nos referimos é uma medida do grau de dispersão dos valores em

relação ao valor médio (a média), que no caso em apreço e para cada uma das

distribuições vale 1, 2, 4, 6, 8, ….2n. O Desvio padrão foi calculado pela expressão

√∑(𝑎𝑖−�̿�)2

(𝑛−1) em que a é a média da amostra (1, 2, 4, 6, 8,…..2n) e n coincide com a

dimensão da amostra.

O desvio padrão de uma distribuição devolve a média aritmética dos desvios absolutos

dos pontos de dados a partir da sua média.

A Distorção mede o “afastamento” da média da amostra da média da população. É

usualmente calculada pela expressão:𝑛

(𝑛−1)(𝑛−2)∑ (

𝑎𝑖−�̅�

𝑠) onde n coincide com a dimensão

da amostra e a é a média dos valores reais cujos resultados teoricamente são a. S é a variância

da variável aleatória, e não é mais do que uma medida da sua dispersão estatística, indicando

quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.

Considerou-se então neste trabalho que qualquer número real par, aparentemente coincidente

com um número natural par, resulta de uma infinidade de operações do tipo 𝑛

𝑚𝑚, ou seja,

qualquer número real n é representado pelo conjunto 𝐶 = {𝑛

11,

𝑛

22,

𝑛

33,

𝑛

44 … … … …

𝑛

𝑚𝑚}. Neste

contexto, haverá uma dispersão em torno do número n, não sendo o conjunto C singular. Uma

forma de avaliar essa dispersão será através do desvio-padrão σ ou da distorção da distribuição

estatística da amostra relativamente à distribuição estatística esperada.

3- Resultados

Depois de se terem calculado em Excel o desvido padrão e a distorção de mil cálculos do tipo

1

𝑛𝑛, mil cálculos do tipo

2

𝑛𝑛, mil cálculos do tipo

4

𝑛𝑛,....até mil cálculos do tipo

2040

𝑛𝑛,

começou-se por comparar os desvios padrões das diferentes distribuições obtidas, com o desvio

padrão da distribuição de números resultantes dos cálculos de 1

𝑛𝑛.

Sejam então 1 o desvio padrão da distribuição de resultados de 1

𝑛𝑛, 2 o desvio padrão da

distribuição de resultados de 2

𝑛𝑛, 4 o desvio padrão da distribuição de resultados de

4

𝑛𝑛,………..e 2040 o desvio padrão da distribuição de resultados de

2040

𝑛𝑛.

Verificou-se ser 2=21, 4=4 1, 8=8 1, …..1024=1024 1. No entanto 6≠61, 10≠101,

12≠121,……..2040≠20401.


No gráfico 1, apresenta-se o comportamento da incerteza numérica de números de base 2.

Gráfico 1- Relação entre a potência de base 2 e o número de vezes que a sua incerteza

numérica é superior à unidade.

Generalizando os resultados obtidos pode afirmar-se que 𝜎2𝑛 = 2𝑛𝜎1. Rodrigues &

Martins (2014) obtiveram a mesma expressão, levando-os a concluir que o erro

numérico é quântico.

Se em vez do desvio padrão se utilizar como medida da incerteza numérica a distorção

das distribuições di, verificamos o mesmo comportamento tendo-se 𝑑2𝑛 = 2𝑛𝑑1. Os

autores anteriormente mencionados não referem esta relação, isso porque não utilizaram

a distorção das distribuições como uma possível medida da incerteza numérica.

Decidiu-se comparar os desvios padrão ou as distorções das distribuições estatísticas de

uma sucessão de resultados do tipo

1

𝑎𝑖

𝑏𝑗𝑏𝑗, com 𝑎𝑖, 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a 1000 e j a

variar de 1 a 1020, com todos os 𝑎𝑖 pares e independente do facto de 𝑏𝑗 ser par ou

impar.

Considerou-se, tal como anteriormente, que qualquer número fraccionário, com

denominador natural par do tipo 1

𝑛, resulta de uma infinidade de operações do tipo

1

𝑛

𝑚𝑚,

ou seja, qualquer númerofracionario 1

𝑛 de denominador par é representado por um

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 2 4 6 8 10

Número de vezes que a incerteza

numérica de 2n é superior à

incerteza numérica da unidade

Expoente a que se eleva a base 2


conjunto 𝐶 = {1

𝑛

11,

1

𝑛

22,

1

𝑛

33,

1

𝑛

44 … … … …

1

𝑛

𝑚𝑚}. Neste contexto, tal com anteriormente,

haverá uma dispersão de valores reais, relativamente pequenos, em torno do número 1

𝑛,

que representa a média da distribuição, fazendo com que o conjunto C não seja singular.

Obtêm-se, quando comparamos os diferentes valores padrão das distribuição com o 1

(desvio padrão do 1), relações do tipo: 𝜎1

2

=1

2𝜎1, 𝜎1

4

=1

4𝜎1, 𝜎1

8

=1

8𝜎1,………. 𝜎 1

2𝑛=

1

2𝑛 𝜎1.

No gráfico 2 apresenta-se o comportamento dos valores de a pares, em função da

incerteza numérica dos números 1

𝑎𝜎1.

Figura 2- Relação entre a incerteza algébrica relativa dos números do tipo 1

2𝑛 e os

valores de a (potências de 2)

De modo genérico verifica-se que 𝜎 1

2𝑛=

1

2𝑛 𝜎1 ⇔ 𝜎2−𝑛= 2−𝑛𝜎1.

Rodrigues & Martins, (2014) chegaram à mesma conclusão, com uma distribuição

diferente daquela com que aqui se trabalhou. Por outro lado, a mesma relação é obtida

se em vez de usarmos o desvio padrão da amostra como estimativa do erro numérico,

usarmos a distorção da distribuição da amostra relativamente à distribuição esperada.

Com base nas expressões gerais de incerteza numérica anteriormente referidas pode-se

afirmar que 𝜎2𝑘= 2𝑘𝜎1, com 𝑘 ∈ 𝑍.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 100 200 300 400 500 600

1/𝑎 𝜎1

Valor de a


Ainda foram obtidas outras relações de incerteza numérica relacionadas com os

números pares que resultam do produto de 2 por um número impar, como aquelas que

de seguida se apresentam:

𝜎3𝑥2𝑛 = (2𝑛−1)𝜎6; 𝜎5𝑥2𝑛 = (2𝑛−1)𝜎5; 𝜎7𝑥2𝑛 = (2𝑛−1)𝜎7;

𝜎9𝑥2𝑛 = (2𝑛−1)𝜎9;……. 𝜎253𝑥2𝑛 = (2𝑛−1)𝜎253;

que generalizando se obtém:

𝜎(2𝑛−1)𝑥2𝑛 = (2𝑛−1)𝜎(2𝑛−1).

Repare-se que a última expressão fornece uma infinidade de incertezas algébricas,

dependentes do número impar em questão, ou seja, os múltiplos pares de números

ímpares fornecem incertezas algébricas crescentes, crescimento esse, também ele

exponencial.

4- Conclusões

Com este trabalho de investigação conclui-se que aparecem inúmeras regras que

permitem determinar a incerteza numérica de números reais, mas também racionais, das

quais apenas conseguimos generaliza-las para três situações: quando os números pares

são potências de 2 obtêm-se uma incerteza algébrica, avaliada pelo desvio padrão da

amostra ou pela distorção da amostra que é dada pela expressão 1

𝜎2𝑛 = 2𝑛𝜎1 com 𝑛 ∈ 𝑁 Expressão 1

Caso avaliemos pelo mesmo processo potências negativas de 2, ou seja, o inverso de

números pares, a incerteza numérica é avaliada pela expressão geral 2:

𝜎 1

2𝑛= 2−𝑛𝜎1 com 𝑛 ∈ 𝑁 Expressão 2

Sendo a Expressão 2 um caso particular da expressão 1, pode-se afirmar que a

Expressão 3, no domínio dos números inteiros relativos, acaba por sintetizar a incerteza

numérica expressa pelas expressões 1 e 2.

𝜎2𝑘 = 2𝑘𝜎1 com 𝑘 ∈ 𝑍 Expressão 3

As expressões 1, 2 e 3, são idênticas às de Rodrigues & Martins, (2014), obtidas com

amostras distintas e uma variabilidade de números naturais e inteiros relativos também

diferente. Relativamente ao trabalho anteriormente citado, verificamos que as mesmas

expressões podem ser obtidas utilizando o parâmetro distorção das diferentes

distribuições estatísticas que também ele se revela um excelente indicador da incerteza

numérica de números reais.


Para números pares, que sejam resultado do produto de uma potência de base 2 por um

número impar, obteve-se a expressão 4:

𝜎(2𝑛−1)𝑥2𝑛 = (2𝑛−1)𝜎(2𝑛−1) com 𝑛 ∈ 𝑁 Expressão 4

Esta última expressão não consta do trabalho de Rodrigues & Martins, (2014), sendo

aqui apresentada pela primeira vez.

Apesar de se ter restringido a avaliação da incerteza algébrica aos números inteiros

pares, verifica-se que ela também pode ser aplicada com os mesmos critérios e as

mesmas definições aos números racionais de denominador par. Significa isso que

muitas outras regras de avaliação de incerteza numérica estarão subjacentes a muitos

outros subconjuntos de números reais. Por outro lado, os parâmetros estatísticos desvio

padrão e distorção da distribuição estatística da amostra relativamente à distribuição

esperada, parecem ser bons indicadores de uma medida relativa da incerteza numérica.

5- Bibliografia

Albano, F. M. & Raya-Rodriguez, M.T.R. 2009. Validação e garantia da qualidade de

ensaios laboratoriais. Rede Metrológica. Porto Alegre.

Kennedy, M.C. & O'Hagan, A. 2001. Bayesian calibration of computer models. Journal

of the Royal Statistical Society. Series B. Volume 63. Issue 3, pages 425–464.

Rodrigues, A.F. & Martins, N. 2014. Numerical uncertainty and its implications.

Journal of Applied Mathematics and Physics. Volume 2, pages 33-44.

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